44.2. Máy gia tốc và máy ghi nhận hạt

Trong giai đoạn đầu của vật lý hạt nhân, các nhà khoa học sử dụng hạt alpha và hạt beta phát ra từ các nguồn phóng xạ tự nhiên. Năng lượng từ các phân rã tự nhiên bị giới hạn trong khoảng vài MeV. Các máy gia tốc hiện đại ngày nay có khả năng tạo ra các chùm hạt được điều khiển chính xác, từ electron, positron cho đến các ion nặng, với dải năng lượng trải rộng từ vài MeV đến hàng TeV.

Các chùm hạt năng lượng cao phục vụ ba mục đích nghiên cứu:

1. Tạo hạt mới: Các hạt mang động năng rất lớn khi va chạm có thể chuyển hóa động năng thành khối lượng nghỉ để sản sinh các hạt mới theo hệ thức Einstein $E=m{c}^2$.
2. Thám hiểm cấu trúc vi mô: Theo hệ thức de Broglie $\lambda =h/p$, hạt có càng lớn thì bước sóng liên kết càng ngắn, cho phép phân giải các chi tiết cấu trúc sâu bên trong proton và neutron, tương tự như nguyên lý của kính hiển vi điện tử.
3. Kích thích phản ứng hạt nhân: Phục vụ các nghiên cứu khoa học cơ bản và ứng dụng xạ trị trong y học.

Máy gia tốc tuyến tính (Linac)

Máy gia tốc sử dụng điện trường để tăng tốc và từ trường để định hướng chùm hạt mang điện. Máy gia tốc tuyến tính (linac) tăng tốc hạt chuyển động theo một đường thẳng. Ống phóng tia catôt của J. J. Thomson là một dạng sơ khai của máy gia tốc tuyến tính.

Các linac hiện đại cấu tạo gồm một chuỗi các ống điện cực rỗng đặt thẳng hàng cách nhau bởi các khe hở hẹp. Hạt nhận thêm năng lượng mỗi khi băng qua khe giữa hai điện cực liên tiếp nhờ điện trường xoay chiều đồng bộ. Nhiều máy gia tốc năng lượng cao ngày nay sử dụng sóng điện từ chạy: Các hạt mang điện "lướt" trên đỉnh sóng điện từ tương tự như người lướt ván trên sóng biển. Tại Phòng thí nghiệm Gia tốc Quốc gia SLAC, máy gia tốc tuyến tính dài 3 km có thể gia tốc electron và positron đạt năng lượng 50 GeV. Ở mức năng lượng này, bước sóng de Broglie của electron chỉ khoảng $\mathrm{0,025}\text{fm}$, nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của một proton (khoảng $1\text{fm}$).

Hình 44.A2: Ứng dụng máy gia tốc tuyến tính trong xạ trị y học. Chùm electron năng lượng 4–20 MeV được dùng trực tiếp điều trị khối u nông hoặc bắn vào bia kim loại tạo bức xạ hãm tia X điều trị khối u sâu.

Trong y học, các máy gia tốc tuyến tính electron cung cấp động năng từ 4 đến 20 MeV là công cụ thiết yếu trong điều trị ung thư. Bản thân chùm electron được sử dụng trực tiếp để chiếu xạ các khối u nông ở bề mặt. Khi cần điều trị các khối u nằm sâu bên trong cơ thể, chùm electron được hướng vào một bia kim loại nặng để phát ra bức xạ hãm tia X có khả năng đâm xuyên cao.

Máy gia tốc cyclotron

Để khắc phục hạn chế về chiều dài của máy gia tốc thẳng, nhiều thiết bị sử dụng từ trường để uốn cong quỹ đạo hạt thành đường tròn, cho phép hạt đi qua cùng một vùng gia tốc nhiều lần. Máy gia tốc tròn đầu tiên là cyclotron, do E. O. Lawrence và M. Stanley Livingston phát minh năm 1931 tại Đại học California.

Hình 44.06: Sơ đồ cấu tạo và nguyên lý hoạt động của máy gia tốc cyclotron: (a) Hai hộp rỗng hình chữ D (đi-xơ) đặt trong từ trường đều vuông góc, (b) Hạt mang điện tích dương được tăng tốc qua khe hẹp bởi lực điện trường, (c) Quỹ đạo nửa đường tròn tiếp theo có bán kính lớn hơn. Khi hạt quay lại khe hẹp, điện áp đổi chiều và hạt tiếp tục được gia tốc.

Chú thích:

• (a) Sơ đồ cấu tạo của cyclotron ((a) Schematic diagram of a cyclotron)
• Điện áp xoay chiều tần số cao (High-frequency alternating voltage)
• Đi-xơ (Dee)
• (b) Khi hạt điện tích dương tới khe hẹp, hạt được gia tốc bởi lực điện trường... ((b) As the positive particle reaches the gap, it is accelerated by the electric-field force ...)
• (c) ... và quỹ đạo nửa đường tròn tiếp theo có bán kính lớn hơn. ((c) ... and the next semicircular orbit has a larger radius.)
• Đến khi hạt tới khe hẹp một lần nữa, điện áp giữa hai đi-xơ đã đổi chiều và hạt lại tiếp tục được gia tốc. (By the time the particle reaches the gap again, the dee voltage has reversed and the particle is again accelerated.)

Trong cyclotron, các hạt có khối lượng $m$ và điện tích $q$ chuyển động bên trong một buồng chân không đặt giữa hai cực của nam châm tạo ra từ trường đều $\overrightarrow{B}$ vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo. Dưới tác dụng của lực từ Lorentz, hạt chuyển động tròn với bán kính quỹ đạo:

$$r=\frac{mv}{|q|B}$$

(44.6)

Tần số góc quay (tần số cyclotron) của hạt là:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{|q|B}{m}$$

(44.7)

Điểm mấu chốt của cyclotron phi tương đối tính là tần số góc $\omega$ hoàn toàn không phụ thuộc vào bán kính quỹ đạo $r$ hay vận tốc $v$ của hạt.

Buồng chân không gồm hai điện cực rỗng bằng kim loại hình bán nguyệt gọi là các đi-xơ ($D_1$ và $D_2$). Một điện áp xoay chiều tần số cao được đặt vào giữa hai đi-xơ, tạo ra điện trường trong khe hở hẹp giữa chúng. Điện thế này đảo chiều đúng hai lần trong mỗi chu kỳ quay của hạt. Mỗi lần hạt đi qua khe hẹp, lực điện trường tăng tốc hạt, làm động năng tăng lên và đẩy hạt sang quỹ đạo có bán kính lớn hơn. Vận tốc cực đại $v_{max}$ và động năng cực đại $K_{max}$ được xác định bởi bán kính lớn nhất $R$ của đi-xơ:

$$v_{max}=\frac{|q|BR}{m}$$

$$K_{max}=\frac{1}{2}m{v}_{max}^2$$

$$K_{max}=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2m}$$

(44.8)

Ví dụ 44.1: Tần số và năng lượng trong cyclotron proton

Một máy gia tốc cyclotron chế tạo vào những năm 1930 có bán kính quỹ đạo cực đại $R=\mathrm{0,500}\text{m}$ và độ lớn từ trường $B=1,50\text{T}$. Thiết bị được dùng để gia tốc hạt proton. Hãy xác định:

(a) Tần số của điện áp xoay chiều đặt vào hai đi-xơ.

(b) Động năng cực đại mà proton có thể đạt được.

Phương pháp giải

Tần số dao động $f$ của điện áp xoay chiều đặt vào các đi-xơ phải bằng đúng tần số chuyển động tròn của proton để duy trì điều kiện cộng hưởng. Từ phương trình (44.7), ta tính tần số góc $\omega$ và suy ra tần số quay $f=\omega /(2\pi )$. Động năng cực đại của proton $K_{max}$ đạt được khi bán kính quỹ đạo của hạt bằng bán kính $R$ của đi-xơ, tính theo phương trình (44.8).

Lời giải chi tiết

(a) Đối với proton, điện tích là $q=1,60\times {10}^{-19}\text{C}$ và khối lượng nghỉ là $m=1,67\times {10}^{-27}\text{kg}$. Áp dụng hệ thức (44.7):

$$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{|q|B}{2\pi m}$$

Thay các giá trị số của điện tích $q$, từ trường $B$ và khối lượng $m$, ta thu được tần số quay:

$$f\approx 2,3\times {10}^7\text{Hz}$$

Giá trị này tương đương $23\text{MHz}$.

(b) Động năng cực đại của proton tính theo công thức (44.8):

$$K_{max}=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2m}$$

Thay các giá trị số $q=1,60\times {10}^{-19}\text{C}$, $B=1,50\text{T}$, $R=\mathrm{0,500}\text{m}$ và $m=1,67\times {10}^{-27}\text{kg}$, động năng cực đại thu được là:

$$K_{max}\approx 4,3\times {10}^{-12}\text{J}$$

Quy đổi sang đơn vị mega electron-volt ($1\text{eV}=\mathrm{1,602}\times {10}^{-19}\text{J}$), giá trị động năng cực đại là $2,7\times {10}^7\text{eV}$, tương đương:

$$K_{max}\approx 27\text{MeV}$$

Đánh giá kết quả

Vận tốc cực đại của proton khi rời cyclotron tính theo biểu thức:

$$v=\frac{|q|BR}{m}$$

Thay số cho kết quả $v\approx 7,2\times {10}^7\text{m/s}$, đạt khoảng $24\mathrm{\%}$ tốc độ ánh sáng. Ở vận tốc này, các hiệu ứng tương đối tính bắt đầu xuất hiện. Do tính toán phi tương đối tính đã bỏ qua sự tăng khối lượng tương đối tính, kết quả thu được có sai số vài phần trăm. Đây là lý do các kết quả số học chỉ giữ hai chữ số có nghĩa.

Ý chính

Trong cyclotron, các hạt mang điện chuyển động tròn trên mặt phẳng vuông góc với từ trường đều. Cứ mỗi nửa vòng quay, hạt được tăng tốc qua một hiệu điện thế xoay chiều đồng bộ làm tăng động năng và mở rộng bán kính quỹ đạo. Bán kính cực đại của buồng cyclotron quyết định động năng cực đại mà hạt có thể đạt tới.

Giới hạn tương đối tính và máy gia tốc synchrotron

Khi động năng của hạt tăng lên đến mức vận tốc tiệm cận tốc độ ánh sáng, tăng làm tần số góc quay giảm dần:

$$\omega =\frac{|q|B}{m}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Sự suy giảm tần số góc khiến chuyển động của hạt lệch pha với điện áp xoay chiều của đi-xơ, ngăn hạt nhận thêm năng lượng. Trong máy gia tốc synchrocyclotron, tần số của điện áp xoay chiều được điều chỉnh giảm dần theo thời gian để phù hợp với sự chậm pha của hạt.

Cyclotron và synchrocyclotron cần nam châm bao trùm vùng quỹ đạo. Một synchrocyclotron lớn được xét có buồng chân không đường kính khoảng 8 m và đưa proton tới khoảng 600 MeV. Kích thước nam châm tạo một giới hạn thiết kế khác, bên cạnh yêu cầu đồng bộ tương đối tính.

Để đạt năng lượng cao hơn, synchrotron dùng một vòng gia tốc hẹp với các nam châm uốn cong đặt dọc vòng. Bán kính quỹ đạo $R$ được giữ gần như cố định. Khi $p$ tăng, từ trường $B$ được điều khiển đồng bộ:

$$B=\frac{p}{|q|R}$$

Khi các hạt mang điện chuyển động cong với gia tốc hướng tâm lớn, chúng liên tục phát ra bức xạ điện từ gọi là bức xạ synchrotron. Năng lượng tiêu hao do bức xạ tỷ lệ thuận với bậc bốn của $\gamma =E/(m{c}^2)$ và tỷ lệ nghịch với bán kính cong $R$. Do đó, để giảm thiểu tiêu hao năng lượng, các máy gia tốc hạt năng lượng cao phải có bán kính rất lớn.

Hình 44.07: (a) Máy gia tốc va chạm Hadron lớn (LHC) tại CERN. Vòng gia tốc ngầm dưới lòng đất 100 m có đường kính 8,5 km, trải dài qua biên giới Thụy Sĩ và Pháp, (b) Kỹ sư bảo trì một trong 9593 nam châm điện siêu dẫn đặt dọc theo đường hầm LHC.

Năng lượng khả dụng trong va chạm hạt

Khi một chùm hạt năng lượng cao bắn vào một bia đứng yên trong phòng thí nghiệm, không phải toàn bộ năng lượng của hạt tới đều có thể chuyển hóa thành các hạt mới. Để bảo toàn , các hạt sau va chạm bắt buộc phải tiếp tục chuyển động. Do đó, một phần năng lượng ban đầu phải duy trì dưới dạng động năng của khối tâm hệ.

Năng lượng hữu ích lớn nhất để tạo ra các trạng thái hạt mới xuất hiện trong hệ quy chiếu có tổng bằng không, gọi là hệ khối tâm (center-of-momentum system). Xét trong hệ phòng thí nghiệm, hạt bia có khối lượng $M$ ban đầu đứng yên, bị bắn phá bởi hạt đạn có khối lượng $m$ mang năng lượng toàn phần $E_m$ (bao gồm cả năng lượng nghỉ). Đặt $E_T=M{c}^2$ là năng lượng nghỉ của hạt bia và $E_0=m{c}^2$ là năng lượng nghỉ của hạt đạn, toàn phần $E_a$ trong hệ khối tâm thỏa mãn hệ thức tương đối tính:

$$E_a^2=2E_T{E}_m+E_T^2+E_0^2$$

(44.9)

Khi hạt đạn và hạt bia có khối lượng bằng nhau ($M=m$, tức $E_T=E_0=m{c}^2$), biểu thức (44.9) rút gọn thành:

$$E_a^2=2m{c}^2(E_m+m{c}^2)$$

(44.10)

Nếu năng lượng của hạt tới lớn hơn rất nhiều so với năng lượng nghỉ ($E_m\gg m{c}^2$), ta có thể bỏ qua số hạng $m{c}^2$ thứ hai trong dấu ngoặc:

$$E_a\approx \sqrt{2m{c}^2{E}_m}$$

(44.11)

Sự xuất hiện của căn bậc hai trong biểu thức (44.11) dẫn đến một hạn chế rất lớn của phương pháp bia đứng yên: Nếu tăng gấp đôi năng lượng hạt đạn $E_m$, $E_a$ chỉ tăng lên một hệ số bằng $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$.

Ví dụ 44.2: Năng lượng ngưỡng tạo pion

Một proton (năng lượng nghỉ $938\text{MeV}$) mang động năng $K$ va chạm với một proton đứng yên. Sau va chạm, cả hai proton ban đầu đều tồn tại và một hạt pion trung hòa (${\pi }^0$, năng lượng nghỉ $135\text{MeV}$) được sinh ra. Hãy xác định động năng ngưỡng $K$ tối thiểu của proton tới để phản ứng có thể xảy ra.

Phương pháp giải

Trạng thái cuối cùng gồm ba hạt: Hai proton ban đầu (khối lượng $m$) và một pion (khối lượng $m_{\pi }$). Năng lượng ngưỡng tương ứng với trường hợp tiêu tốn ít năng lượng nhất, khi cả ba hạt đều đứng yên trong hệ khối tâm sau va chạm. tối thiểu $E_a$ trong hệ khối tâm bằng tổng năng lượng nghỉ của các hạt sinh ra: $E_a=2m{c}^2+m_{\pi }{c}^2$. Chúng ta thay giá trị này vào phương trình (44.10) để tìm năng lượng toàn phần $E_m$ của hạt proton tới, sau đó trừ đi năng lượng nghỉ $m{c}^2$ để thu được động năng ngưỡng $K=E_m-m{c}^2$.

Lời giải chi tiết

Thay $E_a=2m{c}^2+m_{\pi }{c}^2$ vào phương trình (44.10):

$$E_a^2=2m{c}^2(E_m+m{c}^2)$$

Bình phương được khai triển thành:

$$4m^2{c}^4+4m{m}_{\pi }{c}^4+m_{\pi }^2{c}^4$$

Cân bằng với vế phải $2m{c}^2{E}_m+2m^2{c}^4$ và rút gọn, ta thu được:

$$E_m=m{c}^2+K$$

Trong đó động năng ngưỡng $K$ thỏa mãn hệ thức:

$$K=m_{\pi }{c}^2(2+\delta )$$

với tỷ số hiệu chỉnh năng lượng nghỉ $\delta$ được xác định bởi:

$$\delta =\frac{m_{\pi }{c}^2}{2m{c}^2}\approx \mathrm{0,072}0$$

Thay các giá trị số $m_{\pi }{c}^2=135\text{MeV}$ và $\delta \approx \mathrm{0,072}0$:

$$K=(135\text{MeV})(2+\delta )$$

$$K\approx 280\text{MeV}$$

Đánh giá kết quả

Động năng của proton tới phải đạt tối thiểu $280\text{MeV}$, lớn hơn gấp hai lần năng lượng nghỉ của hạt pion được tạo thành ($135\text{MeV}$). Ngược lại, nếu cho hai proton chuyển động ngược chiều đối đầu trực diện trong hệ khối tâm, mỗi proton chỉ cần mang động năng $67,5\text{MeV}$ (tổng cộng $135\text{MeV}$) là đủ để sinh ra hạt ${\pi }^0$.

Ý chính

$E_a$ trong va chạm hạt là năng lượng thực sự dùng để tạo ra các hạt mới sau va chạm, tương đương với tổng năng lượng trong hệ khối tâm nơi tổng triệt tiêu. Trong hệ quy chiếu bia đứng yên, hạt tới phải mang thêm động năng đáng kể để bảo toàn động lượng của toàn hệ.

Ví dụ 44.3: Gia tăng năng lượng khả dụng trong va chạm bia cố định

Máy gia tốc tại Fermilab (bang Illinois, Hoa Kỳ) từng được thiết kế để bắn chùm proton năng lượng 800 GeV vào các bia proton cố định.

(a) Xác định $E_a$ trong một va chạm proton–proton.

(b) Xác định giá trị $E_a$ nếu năng lượng chùm proton được nâng lên thành 980 GeV.

Phương pháp giải

Biến mục tiêu là $E_a$ trong va chạm bia cố định giữa hai hạt có khối lượng bằng nhau. Vì năng lượng chùm proton $E_m$ ($800\text{GeV}$ và $980\text{GeV}$) lớn hơn rất nhiều so với năng lượng nghỉ của proton ($m{c}^2=\mathrm{0,938}\text{GeV}$), ta áp dụng công thức xấp xỉ (44.11).

Lời giải chi tiết

(a) Với $E_m=800\text{GeV}$, áp dụng phương trình (44.11):

$$E_a\approx \sqrt{2m{c}^2{E}_m}$$

Thay các giá trị $m{c}^2=\mathrm{0,938}\text{GeV}$ và $E_m=800\text{GeV}$, tính được là:

$$E_a\approx 38,7\text{GeV}$$

(b) Khi năng lượng chùm proton tăng lên $E_m=980\text{GeV}$, tính toán tương tự cho kết quả:

$$E_a\approx 42,9\text{GeV}$$

Đánh giá kết quả

Khi nâng năng lượng chùm hạt tới thêm một lượng rất lớn là $180\text{GeV}$ (từ $800\text{GeV}$ lên $980\text{GeV}$), $E_a$ trong hệ khối tâm chỉ tăng thêm vỏn vẹn $4,2\text{GeV}$ (từ $38,7\text{GeV}$ lên $42,9\text{GeV}$). Đây là hạn chế vật lý cốt tử của các thí nghiệm bia cố định.

Ý chính

Trong các thí nghiệm bia cố định, do toàn phần của hệ khác không, phần lớn năng lượng của hạt tới bị lãng phí dưới dạng động năng chuyển động tịnh tiến của khối tâm. Một mức gia tăng lớn về năng lượng hạt tới chỉ đem lại một mức tăng khiêm tốn về .

Chùm hạt va chạm (Collider)

Để vượt qua giới hạn của phương pháp bia cố định, các nhà vật lý phát triển kỹ thuật chùm hạt va chạm (colliding beams). Thay vì bắn vào bia đứng yên, hai chùm hạt chuyển động ngược chiều nhau được hội tụ chính xác để va chạm trực diện.

Khi hai hạt va chạm có bằng nhau về độ lớn nhưng ngược chiều, tổng động lượng của hệ bằng không. Khi đó, hệ phòng thí nghiệm trùng với hệ khối tâm, và toàn bộ năng lượng của cả hai hạt đều trở thành :

$$E_a=2E_{\text{chùm}}$$

Tại Máy va chạm Lớn (LHC), hai chùm proton năng lượng $7\text{TeV}$ chuyển động ngược chiều nhau va chạm trực diện, tạo ra lên tới $E_a=14\text{TeV}$. Mức năng lượng khả dụng cao này cho phép sản sinh những hạt có khối lượng rất lớn chưa từng quan sát thấy trước đây.

Máy ghi nhận hạt (Detector) và nghiên cứu tia vũ trụ

Để phát hiện và đo đạc tính chất của các hạt sinh ra trong va chạm, các nhà vật lý chế tạo những hệ thống máy ghi nhận hạt (detector) phức tạp.

Hình 44.08: Hình ảnh tái tạo từ mô phỏng máy tính về một sự kiện va chạm proton–proton tại LHC. Các đường vết màu khác nhau biểu diễn các loại hạt sinh ra chuyển động qua các lớp detector bao quanh ống chùm.

Các detector hiện đại như ATLAS và CMS tại LHC phối hợp nhiều tầng thiết bị. Đầu dò vết ghi quỹ đạo, còn từ trường bẻ cong đường đi để suy điện tích và . Nhiệt lượng kế đo năng lượng, và các buồng ngoài cùng còn ghi nhận muon.

Bên cạnh máy gia tốc, tia vũ trụ từ không gian là nguồn hạt năng lượng cao tự nhiên liên tục bắn phá Trái Đất, với năng lượng trải dài từ dưới $1\text{MeV}$ đến hơn ${10}^{20}\text{eV}$. Khí quyển và từ trường Trái Đất che chắn hầu hết các bức xạ này. Do đó, các thí nghiệm tia vũ trụ thường được đưa lên tầng cao khí quyển bằng khinh khí cầu hoặc vệ tinh không gian.

Ngược lại, để nghiên cứu hạt neutrino, các detector neutrino như Super-Kamiokande (chứa 50.000 tấn nước tinh khiết) được đặt sâu dưới lòng đất trong các hầm mỏ hoặc đáy đại dương. Lớp đất đá dày đóng vai trò như một màng chắn tự nhiên làm giảm mạnh nền của nhiều hạt khác. Neutrino tương tác yếu nên có khả năng xuyên qua. Lớp che chắn không phải một bộ lọc hoàn hảo ngăn mọi hạt ngoài neutrino.

Các thiết bị còn sử dụng nhiều dạng ion hóa khác nhau. Trong buồng mây, các ion kích thích ngưng tụ thành giọt trong hơi quá bão hòa. Trong buồng bọt, đường đi của hạt tạo các vùng hơi trong chất lỏng quá nhiệt. Trong bán dẫn, tín hiệu có thể là các cặp electron–lỗ trống.

Buồng dây dùng những mảng dây đặt gần nhau để ghi điện tích và thời điểm tín hiệu. Kết hợp các số đo cho phép tái dựng quỹ đạo. Từ trường bẻ cong các quỹ đạo theo dấu điện tích và , nhờ đó bổ sung thông tin nhận diện hạt.

Câu tự kiểm tra 44.2

Trong một thí nghiệm chùm hạt va chạm đối đầu, một electron mang năng lượng 90 GeV va chạm trực diện với một positron mang năng lượng 90 GeV. Cặp electron và positron hủy lẫn nhau, tạo thành một duy nhất, sau đó photon ảo này biến đổi thành các hạt khác. Photon ảo này có tuân theo hệ thức liên hệ $E=pc$ giống như thực hay không?

::: Details Lời giải chi tiết Đáp án: Không. trung gian trong trường hợp này không thỏa hệ thức của photon thực.

Trong va chạm đối đầu trực diện giữa electron và positron có năng lượng bằng nhau:

1. của hai hạt có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng. Do đó, tổng động lượng của hệ bằng không: ${\overrightarrow{p}}_{\text{tổng}}={\overrightarrow{p}}_{e^{-}}+{\overrightarrow{p}}_{e^{+}}=\overrightarrow{0}$.
2. Theo định luật bảo toàn , sinh ra cũng phải có động lượng triệt tiêu: $p=0$.
3. Theo định luật bảo toàn năng lượng toàn phần, năng lượng của bằng tổng năng lượng của hai hạt ban đầu, tức $E=180\text{GeV}$ (tổng năng lượng của hai hạt tới).

Nếu áp dụng hệ thức $E=pc$, với $p=0$ ta sẽ thu được $E=0$, mâu thuẫn hoàn toàn với giá trị năng lượng thực tế $E=180\text{GeV}$. Do đó, sinh ra trong va chạm không tuân theo hệ thức $E=pc$ của thực. Đây là đặc tính cơ bản của các hạt ảo: Chúng không nằm trên lớp vỏ khối lượng (off-shell) và không phải một trạng thái photon tự do. Hệ thức bất định không tạo ngoại lệ cho bảo toàn năng lượng và . :::

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 44.2, trang 1488–1492.