26.1. Điện trở mắc nối tiếp và mắc song song

có mặt trong nhiều mạch điện, từ máy sấy tóc, lò sưởi điện đến các mạch dùng để giới hạn hoặc phân chia và giảm hoặc chia điện áp. Vì một mạch thường có nhiều điện trở, ta cần biết cách phân tích các tổ hợp của chúng. Chuỗi bóng đèn trang trí ngày lễ là một ví dụ đơn giản: Mỗi bóng hoạt động như một điện trở, nên nhìn từ góc độ phân tích mạch, cả chuỗi là một tổ hợp điện trở.

Hình 26.1 minh họa bốn cách mắc ba $R_1$, $R_2$ và $R_3$ giữa hai điểm $a$ và $b$. Khi các phần tử mạch được nối liên tiếp và chỉ có một đường giữa hai điểm, chúng mắc nối tiếp. Khi mỗi điện trở tạo thành một đường riêng nối cùng hai điểm, chúng mắc song song. Hình 26.1c là tổ hợp trong đó $R_2$ và $R_3$ song song rồi nối tiếp với $R_1$. Ở Hình 26.1d, $R_2$ và $R_3$ nối tiếp rồi mắc song song với $R_1$.

Hình 26.1: Bốn cách mắc ba điện trở giữa hai điểm

Chú thích:

• (a) Các điện trở R₁, R₂ và R₃ mắc nối tiếp. ((a) R1, R2, and R3 in series)
• Các điện trở R₁, R₂ và R₃ mắc nối tiếp. (R1, R2, and R3 in series)
• Các điện trở R₁, R₂ và R₃ mắc song song. (R1, R2, and R3 in parallel)
• R₁ mắc nối tiếp với tổ hợp song song gồm R₂ và R₃. (R1 in series with parallel combination of R2 and R3)
• R₁ mắc song song với tổ hợp nối tiếp gồm R₂ và R₃. (R1 in parallel with series combination of R2 and R3)

Hình 26.1: Bốn cách mắc ba . (a) $R_1$, $R_2$ và $R_3$ nối tiếp. (b) Cả ba điện trở song song. (c) $R_1$ nối tiếp với tổ hợp song song của $R_2$ và $R_3$. (d) $R_1$ song song với tổ hợp nối tiếp của $R_2$ và $R_3$.

Với bất kỳ tổ hợp nào, ta có thể thay cả tổ hợp bằng một điện trở duy nhất sao cho tổng và hai đầu vẫn như cũ. Điện trở duy nhất ấy gọi là $R_{\mathrm{eq}}$. Nếu mạng điện nằm giữa hai đầu $a$ và $b$, có hiệu điện thế $V_{ab}$ và dòng điện tổng $I$, thì

$$V_{ab}=I{R}_{\mathrm{eq}},R_{\mathrm{eq}}=\frac{V_{ab}}{I}.$$

Để tìm $R_{\mathrm{eq}}$, ta đặt $V_{ab}$ lên mạng điện thật, tính tương ứng $I$, rồi lấy tỉ số $V_{ab}/I$.

Điện trở mắc nối tiếp

Trong Hình 26.1a, $I$ như nhau qua cả ba . Định luật Ôm cho từng điện trở:

$$V_{ax}=I{R}_1,V_{xy}=I{R}_2,V_{yb}=I{R}_3.$$

trên từng không nhất thiết bằng nhau, trừ trường hợp đặc biệt các điện trở bằng nhau. Hiệu điện thế giữa hai đầu toàn bộ tổ hợp bằng tổng các độ giảm thế thành phần:

$$V_{ab}=V_{ax}+V_{xy}+V_{yb}=I{R}_1+I{R}_2+I{R}_3=I(R_1+R_2+R_3).$$

Chia hai vế cho chung $I$ và dùng định nghĩa , ta được

$$R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2+R_3.$$

(26.1)

Với nhiều nối tiếp, tổng quát hóa bằng cách cộng lần lượt các điện trở:

$$R_{\mathrm{eq}}=R_1+R_2+R_3+\cdots .$$

Vì các đều dương, của một tổ hợp nối tiếp lớn hơn từng điện trở thành phần. Trong dây bóng đèn nối tiếp, chẳng hạn, thêm bóng làm tăng điện trở tương đương của chuỗi.

Hình 26.2: Đèn pha và đèn hậu ô tô mắc song song

Hình 26.2: Đèn pha và đèn hậu ô tô mắc song song. Mỗi đèn nhận toàn bộ của hệ thống điện trên xe nên đạt độ sáng thiết kế. Nếu một đèn hỏng, các đèn còn lại vẫn sáng (xem Ví dụ 26.2).

Điện trở và tụ điện mắc nối tiếp

Không nên nhầm quy tắc mắc nối tiếp của với quy tắc mắc nối tiếp của . Điện trở mắc nối tiếp cộng trực tiếp theo (26.1), vì trên mỗi điện trở tỉ lệ thuận với điện trở của nó khi cùng một chạy qua. Tụ điện mắc nối tiếp cộng nghịch đảo theo (24.5), vì hiệu điện thế trên mỗi tụ tỉ lệ nghịch với điện dung khi điện tích trên chúng bằng nhau.

Điện trở mắc song song

Trong Hình 26.1b, qua mỗi có thể khác nhau. Tuy nhiên, hai đầu của từng điện trở được nối vào cùng hai điểm $a$ và $b$, nên trên mỗi điện trở đều bằng $V_{ab}$. Kết luận này không phụ thuộc đường đi giữa hai điểm.

Gọi các qua ba lần lượt là $I_1$, $I_2$ và $I_3$. Từ định luật Ôm:

$$I_1=\frac{V_{ab}}{R_1},I_2=\frac{V_{ab}}{R_2},I_3=\frac{V_{ab}}{R_3}.$$

Điện tích không tích tụ tại điểm $a$ cũng không biến mất khỏi đó. Bởi vậy, dòng tổng bằng tổng các dòng phân nhánh:

$$I=I_1+I_2+I_3=\frac{V_{ab}}{R_1}+\frac{V_{ab}}{R_2}+\frac{V_{ab}}{R_3}.$$

Theo định nghĩa , $I/V_{ab}=1/R_{\mathrm{eq}}$. Do đó,

$$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}.$$

(26.2)

Với $n$ mắc song song, ta khai triển ba số hạng đầu trước khi viết gọn bằng ký hiệu tổng:

$$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\cdots +\frac{1}{R_n}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}.$$

song song luôn nhỏ hơn từng nhánh. Mỗi nhánh thêm vào tạo thêm một đường cho điện tích chuyển động, làm tổng dòng tăng khi không đổi.

Điện trở và tụ điện mắc song song

mắc song song cộng nghịch đảo theo (26.2), vì dòng qua mỗi nhánh tỉ lệ thuận với chung và tỉ lệ nghịch với điện trở nhánh. mắc song song cộng trực tiếp theo (24.7), vì điện tích trên mỗi tụ tỉ lệ thuận với điện dung khi hiệu điện thế trên các tụ bằng nhau.

Với hai song song, quy tắc trên cho

$$\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1{R}_2}.$$

Suy ra công thức tích trên tổng:

$$R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}.$$

(26.3)

Với hai mắc song song, tỉ số là

$$\frac{I_1}{I_2}=\frac{R_2}{R_1}.$$

(26.4)

trong hai nhánh tỉ lệ nghịch với . Nhánh có điện trở nhỏ mang dòng lớn hơn.

Chiến lược giải bài toán 26.1: Điện trở nối tiếp và song song

Nhận diện khái niệm

Nhiều mạng điện gồm những nhóm mắc nối tiếp, mắc song song hoặc kết hợp cả hai kiểu. Có thể thay các mạng như vậy bằng một . Cách suy luận tương tự chiến lược giải mạng ở Mục 24.2.

Bố trí bài giải

1. Vẽ sơ đồ mạng điện.
2. Xác định những nhóm mắc nối tiếp hoặc song song.
3. Ghi các đại lượng cần tìm. Chúng có thể là của mạng, trên từng hoặc qua từng điện trở.

Thực hiện

1. Dùng (26.1) hoặc (26.2) để tìm của nhóm nối tiếp hoặc song song.
2. Với mạng phức tạp hơn, thử rút gọn từng nhóm. Trong Hình 26.1c, trước hết thay cặp $R_2$, $R_3$ song song bằng , rồi ghép kết quả nối tiếp với $R_1$. Trong Hình 26.1d, trước hết gộp $R_2$, $R_3$ nối tiếp, rồi xét tổ hợp đó song song với $R_1$.
3. Ghi nhớ toàn tổ hợp nối tiếp bằng tổng hiệu điện thế trên từng . Trong tổ hợp song song, hiệu điện thế trên mỗi điện trở bằng hiệu điện thế trên cả tổ hợp.
4. Dòng qua các nối tiếp như nhau và bằng dòng qua tổ hợp. Dòng tổng qua các điện trở song song bằng tổng dòng qua từng nhánh.

Đánh giá

Kiểm tra xem kết quả có phù hợp với cấu trúc mạch không. nối tiếp phải lớn hơn từng thành phần. Điện trở tương đương song song phải nhỏ hơn từng điện trở thành phần.

Ví dụ 26.1. Điện trở tương đương

Tìm của mạng trong Hình 26.3a và qua mỗi . Nguồn điện có $18\mathrm{V}$ và không đáng kể.

Hình 26.3: Các bước rút gọn tổ hợp điện trở

Hình 26.3: Các phần (a)–(c) lần lượt cho thấy mạng ban đầu, thay cặp song song bằng $2\mathrm{\Omega }$, rồi thay toàn mạng bằng $6\mathrm{\Omega }$. Các sơ đồ (d)–(f) lặp lại các bước theo chiều ngược để khôi phục dòng và ban đầu.

Nhận diện và bố trí

Mạng gồm ba , trong đó $6\mathrm{\Omega }$ song song với $3\mathrm{\Omega }$, rồi nhóm này nối tiếp với điện trở $4\mathrm{\Omega }$. Ta tìm của cặp song song trước, rồi cộng với $4\mathrm{\Omega }$. Sau đó, từ dòng qua mạng tổng thể, ta lần lượt tìm dòng trong nhánh nối tiếp và các nhánh song song.

Thực hiện

Từ (26.2), của cặp $6\mathrm{\Omega }$ và $3\mathrm{\Omega }$ là

$$\frac{1}{R_{6\parallel 3}}=\frac{1}{6\mathrm{\Omega }}+\frac{1}{3\mathrm{\Omega }}=\frac{1}{2\mathrm{\Omega }}⟹R_{6\parallel 3}=2\mathrm{\Omega }.$$

Cặp tương đương này nối tiếp với $4\mathrm{\Omega }$, nên

$$R_{\mathrm{eq}}=2\mathrm{\Omega }+4\mathrm{\Omega }=6\mathrm{\Omega }.$$

Nguồn đặt $18\mathrm{V}$ lên , vì vậy dòng qua nguồn và $4\mathrm{\Omega }$ là

$$I=\frac{18\mathrm{V}}{6\mathrm{\Omega }}=3\mathrm{A}.$$

Dòng $3\mathrm{A}$ cũng đi qua $2\mathrm{\Omega }$. trên nhóm song song là

$$V_{cb}=I(2\mathrm{\Omega })=6\mathrm{V}.$$

Hai song song cùng chịu này. Do đó,

$$I_{6\mathrm{\Omega }}=\frac{6\mathrm{V}}{6\mathrm{\Omega }}=1\mathrm{A},I_{3\mathrm{\Omega }}=\frac{6\mathrm{V}}{3\mathrm{\Omega }}=2\mathrm{A}.$$

Đánh giá

Trong hai nhánh song song, $3\mathrm{\Omega }$ mang dòng gấp đôi nhánh $6\mathrm{\Omega }$, đúng với (26.4). Tổng dòng qua hai nhánh là $1\mathrm{A}+2\mathrm{A}=3\mathrm{A}$, bằng dòng qua điện trở nối tiếp $4\mathrm{\Omega }$.

Ý chính

Trong mạch nối tiếp, qua các bằng nhau, còn thành phần có thể khác nhau. Trong mạch song song, hiệu điện thế trên các điện trở bằng nhau, còn dòng điện nhánh có thể khác nhau. nối tiếp cộng trực tiếp, còn điện trở tương đương song song được tìm bằng tổng các nghịch đảo.

Ví dụ 26.2. Mắc nối tiếp và mắc song song

Hai bóng đèn dây tóc giống nhau, mỗi bóng có $R=2\mathrm{\Omega }$, được mắc vào nguồn $\mathcal{E}=8\mathrm{V}$ có không đáng kể. Tìm dòng qua từng bóng, trên từng bóng, công suất của mỗi bóng và công suất toàn mạch khi hai bóng mắc (a) nối tiếp và (b) song song. (c) Nếu một bóng bị đứt dây tóc, điều gì xảy ra với bóng kia trong mỗi cách mắc?

Hình 26.4: Hai bóng đèn mắc nối tiếp và mắc song song

Chú thích:

• (a) Các bóng đèn mắc nối tiếp. ((a) Light bulbs in series)
• (b) Các bóng đèn mắc song song. ((b) Light bulbs in parallel)

Hình 26.4: Hai sơ đồ lần lượt cho thấy (a) hai bóng nối tiếp giữa $a$ và $c$ và (b) hai bóng song song giữa $d$ và $e$.

Nhận diện và bố trí

Bóng đèn được xem như các mạch đơn giản ở đây. Khi biết qua bóng, có thể tính công suất bằng $P=I^{2}R$ hoặc $P=V^2/R$.

Thực hiện

(a) Hai bóng mắc nối tiếp. giữa $a$ và $c$ là

$$R_{\mathrm{eq}}=R+R=2(2\mathrm{\Omega })=4\mathrm{\Omega }.$$

qua mỗi bóng giống nhau:

$$I=\frac{8\mathrm{V}}{4\mathrm{\Omega }}=2\mathrm{A}.$$

Vì hai bằng nhau, trên từng bóng cũng bằng nhau:

$$V_{ab}=V_{bc}=IR=(2\mathrm{A})(2\mathrm{\Omega })=4\mathrm{V}.$$

Công suất mỗi bóng là

$$P=I^{2}R=(2\mathrm{A}{)}^2(2\mathrm{\Omega })=8\mathrm{W}.$$

Có thể kiểm tra công suất bằng trên bóng:

$$P=\frac{V^2}{R}=\frac{(4\mathrm{V}{)}^2}{2\mathrm{\Omega }}=8\mathrm{W}.$$

Tổng công suất cấp cho hai bóng là

$$P_{\mathrm{tot}}=2P=16\mathrm{W}.$$

(b) Hai bóng mắc song song. trên mỗi bóng bằng hiệu điện thế hai đầu nguồn, tức $8\mathrm{V}$. Dòng qua mỗi bóng là

$$I=\frac{8\mathrm{V}}{2\mathrm{\Omega }}=4\mathrm{A}.$$

Công suất mỗi bóng là

$$P=I^{2}R=(4\mathrm{A}{)}^2(2\mathrm{\Omega })=32\mathrm{W}.$$

Kiểm tra theo :

$$P=\frac{V^2}{R}=\frac{(8\mathrm{V}{)}^2}{2\mathrm{\Omega }}=32\mathrm{W}.$$

Tổng công suất của hai bóng là

$$P_{\mathrm{tot}}=2P=64\mathrm{W}.$$

Ở cách mắc song song, mỗi bóng có và gấp đôi so với cách mắc nối tiếp. Công suất mỗi bóng vì thế gấp bốn. được lấy từ nguồn nhanh hơn bốn lần, nên nếu nguồn là pin thì pin cạn nhanh hơn bốn lần.

(c) Một bóng bị đứt dây tóc. Trong mạch nối tiếp, bóng bị đứt làm hở toàn mạch. qua cả hai bóng bằng không, nên bóng còn nguyên cũng tắt. Trong mạch song song, nhánh có bóng hỏng bị hở nhưng trên bóng còn hoạt động vẫn như cũ. Dòng điện và công suất của bóng còn lại không đổi.

Đánh giá

Mô hình tính toán này chưa hoàn toàn chính xác với bóng đèn thật, vì $R=V/I$ của bóng thay đổi theo . Dây tóc nóng hơn khi hiệu điện thế tăng, làm điện trở tăng. Tuy vậy, bóng nối tiếp với cùng nguồn thực tế vẫn sáng yếu hơn bóng mắc song song.

Hình 26.5: Độ sáng của hai bóng đèn khi mắc nối tiếp và song song

Hình 26.5: Hai bóng đèn dây tóc nối tiếp ở phía trên nhận công suất nhỏ hơn và sáng yếu hơn hai bóng mắc song song ở phía dưới khi cùng nối với một nguồn.

Ý chính

Với cùng một nguồn, mỗi nhóm song song nhận dòng lớn hơn và tiêu thụ công suất lớn hơn so với khi các mắc nối tiếp.

Kiểm tra hiểu mục 26.1

Giả sử ba Hình 26.1 có cùng $R$. Hãy xếp bốn cách mắc (a)–(d) theo từ lớn nhất đến nhỏ nhất.

• (i) $(a)$, $(b)$, $(c)$, $(d)$.
• (ii) $(a)$, $(c)$, $(d)$, $(b)$.
• (iii) $(b)$, $(d)$, $(c)$, $(a)$.
• (iv) $(d)$, $(c)$, $(b)$, $(a)$.

Lời giải kiểm tra hiểu

Tóm tắt

Cả bốn mạng đều có ba bằng nhau, mỗi điện trở là $R$. Cần so sánh của từng cấu trúc.

Hướng đi

• Ở (a), ba nối tiếp nên $R_{\mathrm{eq}}=R+R+R=3R$.
• Ở (b), ba song song nên $1/R_{\mathrm{eq}}=1/R+1/R+1/R=3/R$, suy ra $R_{\mathrm{eq}}=R/3$.
• Ở (c), hai song song có $R/2$. Nhóm đó nối tiếp với điện trở thứ ba, nên $R_{\mathrm{eq}}=R+R/2=3R/2$.
• Ở (d), hai nối tiếp có $2R$. Nhóm đó song song với điện trở còn lại, nên $1/R_{\mathrm{eq}}=1/R+1/(2R)=3/(2R)$, do đó $R_{\mathrm{eq}}=2R/3$.

Vì $3R>3R/2>2R/3>R/3$, thứ tự là (a), (c), (d), (b). Đáp án (ii).

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 26.1, trang 845–849.