Solenoid lớn tạo từ trường đều bên trong tại một thí nghiệm ở CERN

Ảnh mở đầu: Cuộn dây hình trụ lớn là một (solenoid) tạo đều trong lòng cuộn dây tại CERN, Tổ chức Nghiên cứu Hạt nhân châu Âu.

Nếu ghép hai như vậy nối đuôi nhau và cho trục của chúng thẳng hàng, dọc trục chung sẽ thay đổi thế nào? Nó sẽ (i) mạnh gấp bốn, (ii) mạnh gấp đôi, (iii) mạnh gấp $\sqrt{2}$, (iv) không đổi hay (v) yếu đi?

Ở chương trước, ta đã tính tác dụng lên chuyển động và dây dẫn có . Khi ấy, được xem như đã có sẵn. Chương này trả lời câu hỏi tiếp theo: Những nguồn nào tạo ra từ trường?

Nam châm vĩnh cửu và đều tạo . Một điểm khác căn bản giữa và từ trường là điện trường tác dụng lực lên đứng yên lẫn điện tích chuyển động, còn chỉ xuất hiện khi điện tích chuyển động. Tương ứng, các điện tích chuyển động tạo từ trường. Ta bắt đầu từ một điện tích điểm, rồi mở rộng sang một phần tử dòng điện và dây dẫn có hình dạng bất kỳ.

Sau đó, ta sẽ dùng để khai thác tính đối xứng khi liên hệ với . Các dòng điện vi mô trong nguyên tử cũng đáp ứng với từ trường và có thể tạo ra từ trường. Những ý tưởng ấy giúp giải thích vì sao một số vật liệu, chẳng hạn sắt, có thể trở thành nam châm vĩnh cửu.

Mục tiêu học tập

Sau khi hoàn thành chương, người học có thể:

• Mô tả bản chất do một chuyển động tạo ra.
• Mô tả do một phần tử tạo ra.
• Tính do dây dẫn thẳng, dài, mang .
• Giải thích vì sao hai dây song song mang dòng cùng chiều hút nhau, còn dòng ngược chiều đẩy nhau.
• Tính do dây dẫn mang uốn thành vòng tròn.
• Phát biểu và giải thích ý nghĩa của định luật đối với .
• Dùng để tính của các phân bố có tính đối xứng.
• Giải thích cách các vi mô trong vật chất tạo nên tính chất từ.

Kiến thức cần ôn

• của một hạt.
• Định luật Coulomb và cách tính .
• Cách giải bài toán bằng .
• và , gồm chiều của và quy tắc bàn tay phải.

8 chủ đề · tổng cộng khoảng 24 phút đọc

Từ trường do dòng điện tạo ra

1. 1Từ trường do điện tích chuyển độngMột điện tích chuyển động tạo từ trường phụ thuộc vận tốc và vị trí ra sao?Khoảng 3 phút
2. 2Định luật Biot–SavartMỗi phần tử dòng điện đóng góp vào từ trường tại điểm khảo sát như thế nào?Khoảng 3 phút
3. 3Từ trường của dây dẫn thẳngĐối xứng trụ cho biết độ lớn và chiều trường quanh dây ra sao?Khoảng 3 phút
4. 4Lực giữa hai dây dẫn song songVì sao hai dòng cùng chiều hút nhau còn hai dòng ngược chiều đẩy nhau?Khoảng 3 phút
5. 5Từ trường trên trục vòng dâyCác phần tử đối xứng của vòng dây tổng hợp trường trên trục thế nào?Khoảng 3 phút
6. 6Định luật AmpereTích phân đường kín liên hệ với dòng điện bao quanh như thế nào?Khoảng 3 phút
7. 7Ứng dụng định luật AmpereĐối xứng nào cho phép tìm trường trong dây trụ, ống dây và xuyến?Khoảng 3 phút
8. 8Vật liệu từTừ hóa, độ cảm từ và từ trễ mô tả phản ứng của vật liệu ra sao?Khoảng 3 phút

Tóm tắt Chương 28: Nguồn của từ trường

Từ trường do điện tích chuyển động

Sơ đồ chồng chất các vectơ trường do điện tích chuyển động tạo ra

Với $q$ chuyển động vận tốc $\overrightarrow{v}$, trường tại điểm cách nguồn khoảng $r$ vuông góc với cả $\overrightarrow{v}$ và vectơ đơn vị $\hat{r}$ hướng từ nguồn đến điểm khảo sát:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\overrightarrow{v}\times \hat{r}}{r^2}.$$

(28.2)

Với nhiều chuyển động, trường tổng là tổng vectơ các trường riêng.

Từ trường do phần tử dòng điện

Phần tử dòng điện và hướng trường vi phân theo định luật Biot–Savart

Chú thích:

• Trục của phần tử dòng điện dℓ. (Axis of dℓ)

cho trường vi phân do phần tử $I,d\overrightarrow{l}$ tạo ra. Trường vuông góc với $d\overrightarrow{l}$ và $\hat{r}$:

$$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\overrightarrow{l}\times \hat{r}}{r^2}.$$

(28.6)

Trường của một dây hữu hạn là các đóng góp vi phân dọc toàn bộ dây.

Dây dẫn thẳng dài và lực giữa hai dây

Đường sức tròn quanh dây dẫn thẳng dài

Với dây thẳng dài mang dòng $I$, trường tại khoảng cách $r$ có độ lớn:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

(28.9)

Đường sức là các đường tròn đồng tâm với dây, chiều theo quy tắc bàn tay phải.

Hai dây song song mang dòng hút nhau khi cùng chiều và đẩy nhau khi ngược chiều

Hai dây thẳng dài song song cách nhau khoảng $r$, mang các dòng $I$ và $I^{\prime }$, chịu lực trên một đơn vị chiều dài:

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_{0}I{I}^{\prime }}{2\pi r}.$$

(28.11)

Dòng cùng chiều làm hai dây hút nhau. Dòng ngược chiều làm chúng đẩy nhau. Định nghĩa ampe gắn với lực trên một đơn vị chiều dài giữa hai dây song song.

Vòng dây mang dòng

Phân tích thành phần trường do phần tử dòng điện của vòng tròn

Với vòng tròn bán kính $a$, trường tại điểm trên trục cách tâm $x$ chỉ còn thành phần theo trục. Các thành phần ngang của những phần tử đối diện triệt tiêu. Trường trên trục và trường ở tâm cuộn $N$ vòng là:

$$B_x=\frac{{\mu }_{0}I{a}^2}{2(x^2+a^2{)}^{3/2}}.$$

(28.15)

Tại tâm của cuộn $N$ vòng, kết quả là $B_x(0)={\mu }_{0}NI/(2a)$ (28.17).

Nếu cuộn có $N$ vòng giống nhau, trường của một vòng trên trục được nhân với $N$. Các biểu thức này chỉ dùng trên trục. Chiều trường được xác định bằng quy tắc bàn tay phải.

Định luật Ampere

Đường tích phân kín và thành phần tiếp tuyến của trường từ

đường kín của trường từ bằng chân không nhân tổng đại số xuyên qua mặt được đường kín bao quanh:

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{encl}}.$$

(28.20)

Quy tắc bàn tay phải xác định dấu . Định luật hữu ích để tính trực tiếp $B$ khi phân bố dòng có đối xứng cao, chẳng hạn dây thẳng dài, dây trụ, và hình xuyến. Trong cách dùng từ tĩnh, các dòng phải không đổi và không có biến thiên theo thời gian.

Bảng trường của các phân bố dòng điện đối xứng

Bảng đầy đủ các trường từ do dây thẳng, vòng dây, dây trụ, ống dây và hình xuyến tạo ra

Chú thích:

• Các từ trường do những phân bố dòng điện tạo ra. (Magnetic fields due to current distributions:)
• Bảng liệt kê từ trường do một số phân bố dòng điện tạo ra. (The table lists magnetic fields caused by several current distributions.)
• Trong mỗi trường hợp, dây dẫn mang dòng điện I. (In each case the conductor is carrying current I.)
• Phân bố dòng điện. (Current Distribution)
• Điểm khảo sát trong từ trường. (Point in Magnetic Field)
• Độ lớn từ trường. (Magnetic-Field Magnitude)
• Dây dẫn thẳng dài. (Long, straight conductor)
• Điểm cách dây dẫn một khoảng r. (Distance r from conductor)
• Vòng dây tròn bán kính a. (Circular loop of radius a)
• Đối với N vòng, nhân các biểu thức này với N để được độ lớn từ trường. (for N loops, multiply these expressions for magnetic-field amplitude by N)
• Trên trục của vòng dây. (On axis of loop)
• Tại tâm vòng dây. (At center of loop)
• Dây dẫn trụ dài bán kính R. (Long cylindrical conductor of radius R)
• Bên trong dây dẫn, r < R. (Inside conductor, r < R)
• Bên ngoài dây dẫn, r > R. (Outside conductor, r > R)
• Ống dây dài, quấn sít, có n vòng trên một đơn vị chiều dài, xét gần trung điểm. (Long, closely wound solenoid with n turns per unit length, near its midpoint)
• Bên trong ống dây, gần tâm. (Inside solenoid, near center)
• Bên ngoài ống dây. (Outside solenoid)
• Ống dây hình xuyến quấn sít, có N vòng. (Tightly wound toroidal solenoid (toroid) with N turns)
• Trong vùng được các vòng dây bao quanh, tại điểm cách trục đối xứng một khoảng r. (Within the space enclosed by the windings, distance r from symmetry axis)
• Bên ngoài vùng được các vòng dây bao quanh. (Outside the space enclosed by the windings)

Bảng dưới đây tổng hợp vị trí khảo sát, điều kiện hình học và độ lớn trường của các cấu hình đối xứng.

Dây thẳng dài

Điểm khảo sát cách dây mang dòng I một khoảng r:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

Vòng dây tròn và cuộn đồng tâm

Vòng có bán kính a. Điểm nằm trên trục cách tâm x:

$$B_x=\frac{{\mu }_{0}I{a}^2}{2(x^2+a^2{)}^{3/2}}.$$

Với N vòng cùng diện tích và cùng chiều dòng, nhân trường của một vòng với N. Tại tâm:

$$B(0)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2a}.$$

Dây trụ đặc có dòng phân bố đều

Dây dài bán kính R, tổng dòng I. Bên trong trụ:

$$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\frac{r}{R^2}.$$

Bên ngoài trụ:

$$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

Hai biểu thức cho cùng giá trị tại r = R.

Ống dây dài quấn sít

Mật độ vòng n, dòng I. Bên trong gần trung điểm:

$$B\approx {\mu }_{0}nI.$$

Bên ngoài gần trung điểm:

$$B\approx 0.$$

Ống dây hình xuyến

Cuộn quấn sít có N vòng, dòng I. Trong vùng lõi ở khoảng cách r tới trục xuyến:

$$B(r)=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}.$$

Trong mô hình lý tưởng, trường bằng không trong lỗ giữa và phía ngoài xuyến:

$$B=0.$$

Với thẳng, các giá trị trong bảng là gần đúng cho miền giữa một ống dài và quấn sít. Với xuyến, trường trong lõi phụ thuộc bán kính $r$. Trường ngoài xuyến quấn thực không hoàn toàn bằng không vì dây quấn có độ nghiêng hữu hạn.

Từ tính trong vật chất

Đường trễ biểu diễn độ từ hóa theo trường ngoài

$\overrightarrow{M}$ là tổng trên một đơn vị thể tích, và đóng góp thêm vào trường là ${\mu }_0\overrightarrow{M}$. Nếu ${\overrightarrow{B}}_0$ là trường do các ngoài vật liệu tạo ra, trường tổng là $\overrightarrow{B}={\overrightarrow{B}}_0+{\mu }_0\overrightarrow{M}$. Với hoặc trong miền đáp ứng tuyến tính, có thể thay ${\mu }_0$ trong công thức trường bằng $\mu =K_m{\mu }_0$. được định nghĩa:

$${\chi }_m=K_m-1.$$

có dương nhỏ. có độ cảm từ âm nhỏ và gần như ít phụ thuộc nhiệt độ. $K_m$ và ${\chi }_m$ đều không thứ nguyên. có lớn nhưng không cố định. phụ thuộc quá trình tăng và giảm trường ngoài, tạo vòng trễ. Một số vật liệu sắt từ vẫn giữ độ từ hóa đáng kể khi bỏ trường ngoài, nên có thể dùng làm nam châm vĩnh cửu.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 28, trang 918–952.

Luyện tập có hướng dẫn

Mục 28.2: Từ trường của điện tích chuyển động và phần tử dòng điện

Hãy ôn Ví dụ 28.1 và Ví dụ 28.2 trước khi làm bốn bài dưới đây.

Bài tập: VP28.2.1

Một proton có $+1,60\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ ở gốc tọa độ $(x=y=z=0)$, chuyển động với tốc độ $2,00\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ theo chiều $+x$. Tìm do proton tạo ra tại các điểm sau.

(a) $x=0$, $y=1,00\mathrm{mm}$, $z=0$.

(b) $x=0$, $y=0$, $z=2,00\mathrm{mm}$.

(c) $x=1,00\mathrm{mm}$, $y=0$, $z=0$.

(d) $x=1,00\mathrm{mm}$, $y=1,00\mathrm{mm}$, $z=0$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $q=+1,60\times {10}^{-19}\mathrm{C}$, $\overrightarrow{v}=(2,00\times {10}^5)\hat{i}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Các từ nguồn proton đến bốn điểm lần lượt là $1,00\mathrm{mm}\hat{j}$, $2,00\mathrm{mm}\hat{k}$, $1,00\mathrm{mm}\hat{i}$ và $1,00\mathrm{mm}(\hat{i}+\hat{j})$.

Hướng đi:

• Dùng $\overrightarrow{B}=({\mu }_0/4\pi )q\overrightarrow{v}\times \hat{r}/r^2$, trong đó $\hat{r}$ hướng từ tới điểm đo.
• Xác định hướng bằng trước, rồi thay độ lớn $r$ vào biểu thức. Khi điểm nằm trên đường chuyển động, tích có hướng bằng không.

Các bước giải:

(a) Với $\overrightarrow{r}=1,00\times {10}^{-3}\hat{j}\mathrm{m}$, ta có $\hat{i}\times \hat{j}=\hat{k}$:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{B}& ={10}^{-7}\frac{qv}{r^2}\hat{k}\\ & =3,20\times {10}^{-15}\hat{k}\mathrm{T}.\end{array}$$

(b) Hướng $\overrightarrow{r}$ là $+z$, còn $\hat{i}\times \hat{k}=-\hat{j}$:

$$\overrightarrow{B}=-8,00\times {10}^{-16}\hat{j}\mathrm{T}.$$

(c) Điểm nằm trên đường chuyển động, vì vậy $\overrightarrow{v}\times \hat{r}=0$ và $\overrightarrow{B}=0$.

(d) Ở đây $r=\sqrt{2}\times {10}^{-3}\mathrm{m}$ và $\overrightarrow{v}\times \hat{r}$ hướng $+z$. Do đó

$$\overrightarrow{B}=1,13\times {10}^{-15}\hat{k}\mathrm{T}.$$

Bài tập: VP28.2.2

Một proton có $+1,60\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ và một electron có điện tích $-1,60\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ cùng chuyển động trong mặt phẳng $xy$ với tốc độ $4,20\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Proton chuyển động theo $+y$ trên đường $x=0$, còn electron chuyển động theo $-y$ trên đường $x=+2,00\mathrm{mm}$. Tại thời điểm chúng ở gần nhau nhất, tìm độ lớn và hướng của (a) proton tác dụng lên electron và (b) electron tác dụng lên proton.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai hạt cách nhau $d=2,00\times {10}^{-3}\mathrm{m}$, có cùng tốc độ $v=4,20\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và có độ lớn $e=1,60\times {10}^{-19}\mathrm{C}$.

Hướng đi:

• Tính của một chuyển động tại vị trí hạt kia, rồi dùng $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$.
• Giữ dấu trong để xác định mỗi lực. Hai lực trong cấu hình này hướng vào nhau vì hai hạt nằm ngang lệch vị trí nhưng chuyển động ngược chiều.

Các bước giải:

(a) Từ proton đến electron, vị trí hướng $+x$. Vì $\hat{j}\times \hat{i}=-\hat{k}$, tại electron hướng $-z$. Electron chuyển động theo $-y$, nên ${\overrightarrow{v}}_e\times {\overrightarrow{B}}_p$ hướng $+x$. âm đảo chiều lực về $-x$, tức hướng về proton.

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^2{v}^2}{d^2}\\ & =1,13\times {10}^{-28}\mathrm{N}.\end{array}$$

(b) do electron tại proton hướng $+z$. Với proton chuyển động theo $+y$, lực hướng $+x$, tức về phía electron. Độ lớn vẫn là $1,13\times {10}^{-28}\mathrm{N}$. Hai đều hướng vào nhau, nên chúng hút nhau.

Bài tập: VP28.2.3

Một đoạn dây dài $2,00\mathrm{mm}$, đặt đối xứng quanh gốc tọa độ, mang $6,00\mathrm{A}$ theo chiều $+y$. của đoạn dây được đo tại điểm $x=3,00\mathrm{m}$, $y=4,00\mathrm{m}$, $z=0$. Tìm (a) đơn vị từ đoạn dây tới điểm đo và (b) từ trường tại điểm đó.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=6,00\mathrm{A}$, $d\overrightarrow{l}=(2,00\times {10}^{-3}\mathrm{m})\hat{j}$, $\overrightarrow{r}=(3,00\hat{i}+4,00\hat{j})\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Chuẩn hóa vị trí bằng độ dài $r=\sqrt{3^2+4^2}\mathrm{m}$.
• Dùng cho phần tử . Hướng trường do $d\overrightarrow{l}\times \hat{r}$ quyết định.

Các bước giải:

(a)

$$\hat{r}=\mathrm{0,600}\hat{i}+\mathrm{0,800}\hat{j}.$$

(b) Vì $\hat{j}\times \hat{r}=-\mathrm{0,600}\hat{k}$, trường hướng $-z$:

$$\begin{array}{rl}B& ={10}^{-7}\frac{Idl\sin \theta }{r^2}\\ & =\frac{7,20\times {10}^{-10}}{25,0}\\ & =2,88\times {10}^{-11}\mathrm{T}.\end{array}$$

$d\overrightarrow{l}\times \hat{r}$ hướng $-z$, nên $\overrightarrow{B}=-B\hat{k}$.

Bài tập: VP28.2.4

Một đoạn dây dài $8,00\mathrm{mm}$ đặt tại gốc tọa độ, mang $4,00\mathrm{A}$ theo chiều $+z$. Đoạn dây tác dụng lên electron có $-1,60\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ ở điểm $x=1,25\mathrm{m}$, $y=z=0$. Electron chuyển động với tốc độ $3,00\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ theo chiều $-x$. Tìm lực từ này.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=4,00\mathrm{A}$, $dl=8,00\times {10}^{-3}\mathrm{m}$ theo $+z$, còn electron ở trên trục $+x$ và có vận tốc theo $-x$.

Hướng đi:

• Trước hết tìm của đoạn dây tại electron bằng $d\overrightarrow{l}\times \hat{r}$.
• Sau đó dùng $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Dấu âm của sẽ đảo chiều lực trên hạt.

Các bước giải:

Tại điểm trên trục $+x$, $\hat{k}\times \hat{i}=\hat{j}$, do đó

$$\overrightarrow{B}=\mathrm{2,048}\times {10}^{-9}\hat{j}\mathrm{T}.$$

Vì $(-\hat{i})\times \hat{j}=-\hat{k}$ và electron mang điện âm, lực hướng $+z$:

$$\overrightarrow{F}=|q|vB\hat{k}=9,83\times {10}^{-23}\hat{k}\mathrm{N}.$$

Mục 28.4: Lực giữa các dây dẫn song song

Hãy ôn Ví dụ 28.3, 28.4 và 28.5 trước khi giải nhóm bài này.

Bài tập: VP28.5.1

Một dây dẫn thẳng dài phải mang bao nhiêu để do dây tạo ra tại điểm cách trục dây $1,40\mathrm{cm}$ có độ lớn $3,20\times {10}^{-5}\mathrm{T}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $r=1,40\times {10}^{-2}\mathrm{m}$ và $B=3,20\times {10}^{-5}\mathrm{T}$.

Hướng đi:

• Dùng $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$ vì dây thẳng đủ dài so với khoảng cách đo, rồi giải theo $I$.

Các bước giải:

$$I=\frac{2\pi rB}{{\mu }_0}=2,24\mathrm{A}.$$

Bài tập: VP28.5.2

Hai dây dẫn thẳng dài cùng vuông góc với mặt phẳng $xy$. Dây 1 đi qua $x=0$, $y=+1,00\mathrm{cm}$, $z=0$ và mang dòng $1,00\mathrm{A}$ theo $+z$. Dây 2 đi qua $x=0$, $y=-1,00\mathrm{cm}$, $z=0$ và mang dòng $4,00\mathrm{A}$ cũng theo $+z$. Tìm tổng hợp tại các điểm sau.

(a) $(0,0,0)$.

(b) $(0,+2,00\mathrm{cm},0)$.

(c) $(0,-2,00\mathrm{cm},0)$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây mang dòng cùng chiều $+z$, nằm tại $y=\pm \mathrm{0,010}0\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• quanh mỗi dây có độ lớn $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$.
• Dùng quy tắc bàn tay phải để cộng . Ở giữa hai dây, hai trường ngược chiều, còn ở ngoài cả hai dây, chúng cùng chiều.

Các bước giải:

(a) Tại gốc, dây trên tạo trường $+x$ có độ lớn $20,0\mu \mathrm{T}$, dây dưới tạo trường $-x$ có độ lớn $80,0\mu \mathrm{T}$:

$${\overrightarrow{B}}_{\mathrm{net}}=-60,0\mu \mathrm{T}\hat{i}.$$

(b) Điểm ở trên cả hai dây. Cả hai trường hướng $-x$, với khoảng cách lần lượt $1,00\mathrm{cm}$ và $3,00\mathrm{cm}$:

$${\overrightarrow{B}}_{\mathrm{net}}=-46,7\mu \mathrm{T}\hat{i}.$$

(c) Điểm ở dưới cả hai dây. Hai trường hướng $+x$, với khoảng cách lần lượt $3,00\mathrm{cm}$ và $1,00\mathrm{cm}$:

$${\overrightarrow{B}}_{\mathrm{net}}=+86,7\mu \mathrm{T}\hat{i}.$$

Bài tập: VP28.5.3

Một dây thẳng dài mang dòng $2,00\mathrm{A}$. Dây thứ hai giống hệt, song song và cách dây thứ nhất $3,00\mathrm{cm}$. tại điểm chính giữa hai dây có độ lớn $4,00\times {10}^{-5}\mathrm{T}$. Tìm trong dây thứ hai nếu nó (a) cùng chiều hoặc (b) ngược chiều với dòng điện thứ nhất.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây cách nhau $3,00\mathrm{cm}$, nên điểm giữa cách mỗi dây $1,50\mathrm{cm}$. Dòng dây thứ nhất là $2,00\mathrm{A}$.

Hướng đi:

• Ở điểm giữa, hai trường triệt tiêu một phần nếu dòng cùng chiều và cộng lại nếu dòng ngược chiều.
• Mỗi ampe tạo trường ${\mu }_0/(2\pi r)=\mathrm{1,333}\times {10}^{-5}\mathrm{T}/\mathrm{A}$ tại điểm đó.

Các bước giải:

(a) Với dòng cùng chiều, các trường đối nhau:

$$\begin{array}{rl}|2,00-I_2|& =3,00\\ I_2& =5,00\mathrm{A}.\end{array}$$

Nghiệm âm tương ứng với dòng ngược chiều, không thuộc trường hợp (a).

(b) Với dòng ngược chiều, hai trường cùng hướng:

$$\begin{array}{rl}2,00+I_2& =3,00\\ I_2& =1,00\mathrm{A}.\end{array}$$

Bài tập: VP28.5.4

Hai dây siêu dẫn thẳng song song cách nhau $\mathrm{0,900}\mathrm{m}$, đều thẳng đứng. Một dây mang dòng $1,30\times {10}^4\mathrm{A}$ hướng lên và chịu trên đơn vị chiều dài $95,0\mathrm{N}/\mathrm{m}$ hút về phía dây kia. Tìm độ lớn và hướng trong dây còn lại.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $r=\mathrm{0,900}\mathrm{m}$, $I_1=1,30\times {10}^4\mathrm{A}$ hướng lên, $F/L=95,0\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng lực trên một đơn vị chiều dài giữa hai dây dài. Vì lực hút nên hai dòng cùng chiều.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}{I}_2& =\frac{(F/L)2\pi r}{{\mu }_0{I}_1}\\ & =3,29\times {10}^4\mathrm{A}.\end{array}$$

thứ hai hướng lên.

Mục 28.7: Các ứng dụng của định luật Ampere

Hãy ôn Ví dụ 28.8, 28.9 và 28.10 trước khi giải các bài sau.

Bài tập: VP28.10.1

Một dây dẫn hình trụ đặc bán kính $4,50\mathrm{cm}$ mang dòng $2,00\mathrm{A}$ phân bố đều trên tiết diện. Tìm độ lớn tại các khoảng cách tới trục dây sau.

(a) $2,50\mathrm{cm}$.

(b) $4,50\mathrm{cm}$.

(c) $6,00\mathrm{cm}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bán kính dây $R=\mathrm{0,045}0\mathrm{m}$, dòng tổng $I=2,00\mathrm{A}$.

Hướng đi:

• Bên trong dây, mật độ dòng đều nên dòng bao bởi đường tròn bán kính $r$ bằng $I(r^2/R^2)$.
• Bên ngoài, dòng bao là toàn bộ $I$. Dùng cho đường tròn đồng tâm.

Các bước giải:

(a) $r<R$:

$$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi R^2}=4,94\times {10}^{-6}\mathrm{T}.$$

(b) Tại mặt dây, $B={\mu }_{0}I/(2\pi R)=8,89\times {10}^{-6}\mathrm{T}$.

(c) $r>R$:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}=6,67\times {10}^{-6}\mathrm{T}.$$

Bài tập: VP28.10.2

Một ống trụ dài rỗng có bán kính trong $R_1$ và bán kính ngoài $R_2$ mang dòng theo chiều dài ống. Dòng phân bố đều trên tiết diện và có mật độ dòng $J$. (a) Tìm độ lớn $B$ theo khoảng cách $r$ tới trục cho điểm trong khoang rỗng $(r<R_1)$, trong phần vật liệu $(R_1<r<R_2)$ và bên ngoài ống $(r>R_2)$. (b) Tại giá trị $r$ nào thì $B$ lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dòng chỉ phân bố trong vành trụ $R_1<r<R_2$ với mật độ đều $J$.

Hướng đi:

• Chọn đường Ampere tròn đồng tâm vì đối xứng trụ làm $B$ không đổi trên đường đó và tiếp tuyến với đường.
• Tính dòng bao riêng cho từng miền, rồi dùng $B(2\pi r)={\mu }_0{I}_{\mathrm{encl}}$.

Các bước giải:

Trong khoang rỗng không có dòng bao, nên

$$B=0(r<R_1).$$

Trong vật liệu, diện tích vành khăn được bao là:

$$\begin{array}{rl}{A}_{\mathrm{encl}}& =\pi (r^2-R_1^2),\\ I_{\mathrm{encl}}& =J{A}_{\mathrm{encl}}.\end{array}$$

Từ :

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_0{I}_{\mathrm{encl}}}{2\pi r}\\ & =\frac{{\mu }_{0}J{A}_{\mathrm{encl}}}{2\pi r}.\end{array}$$

Bên ngoài, với $r>R_2$, dòng bao là tổng dòng $J\pi (R_2^2-R_1^2)$:

$$B=\frac{{\mu }_{0}J}{2r}(R_2^2-R_1^2).$$

Trong vật liệu, $B$ tăng theo $r$. Bên ngoài, $B$ giảm theo $1/r$. Vì vậy $B$ lớn nhất tại bề mặt ngoài $r=R_2$.

Bài tập: VP28.10.3

Một rất dài, quấn sít, có $8,00\times {10}^3$ vòng trên mỗi mét. cần thiết là bao nhiêu để bên trong ống dây có độ lớn $\mathrm{0,032}0\mathrm{T}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $n=8,00\times {10}^3{\mathrm{m}}^{-1}$, $B=\mathrm{0,032}0\mathrm{T}$.

Hướng đi:

• Ở gần tâm một , $B={\mu }_{0}nI$. Giải biểu thức này theo $I$.

Các bước giải:

$$I=\frac{B}{{\mu }_{0}n}=3,18\mathrm{A}.$$

Bài tập: VP28.10.4

Một dây đồng mang dòng $\mathrm{0,840}\mathrm{A}$ được quấn quanh lõi hình xuyến rỗng, tạo thành một . Bán kính trong và ngoài của lõi lần lượt là $6,00\mathrm{cm}$ và $8,00\mathrm{cm}$. (a) Cần bao nhiêu vòng dây để tại khoảng cách $7,00\mathrm{cm}$ từ trục hình xuyến có độ lớn $2,00\times {10}^{-3}\mathrm{T}$? (b) Với số vòng này, tìm độ lớn lớn nhất và nhỏ nhất của từ trường trong lõi.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=\mathrm{0,840}\mathrm{A}$, $r=\mathrm{0,070}0\mathrm{m}$, $B=2,00\times {10}^{-3}\mathrm{T}$, $r_{\mathrm{trong}}=\mathrm{0,060}0\mathrm{m}$, $r_{\mathrm{ext}}=\mathrm{0,080}0\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Trong lõi hình xuyến, $B={\mu }_{0}NI/(2\pi r)$.
• Suy ra $N$ từ điểm đã cho, rồi thay bán kính trong và ngoài để lấy giá trị biên. Trường mạnh hơn ở bán kính nhỏ.

Các bước giải:

(a)

$$\begin{array}{rl}N& =\frac{2\pi rB}{{\mu }_{0}I}\\ & \approx 833\text{ turns}.\end{array}$$

(b) Đặt $r_1=\mathrm{0,060}0\mathrm{m}$ và $r_2=\mathrm{0,080}0\mathrm{m}$ lần lượt là bán kính trong và ngoài. Khi đó:

$$\begin{array}{rl}{B}_{max}& =\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r_1}\\ & =2,33\times {10}^{-3}\mathrm{T},\\ B_{min}& =\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r_2}\\ & =1,75\times {10}^{-3}\mathrm{T}.\end{array}$$

Bài toán cầu nối: Từ trường của đĩa điện môi tích điện đang quay

Bài tập: Bài cầu nối 28

Một đĩa điện môi mỏng bán kính $a$ có tổng $+Q$ phân bố đều trên mặt đĩa. Đĩa quay $n$ vòng mỗi giây quanh trục vuông góc với mặt đĩa và đi qua tâm. Tìm tại tâm.

Bài toán cầu nối: Đĩa tích điện quay tạo từ trường tại tâm, có thể chia thành các vòng vành khăn vi phân.

Chú thích:

• Đĩa điện môi, bán kính a, điện tích +Q. (Dielectric disk, radius a, charge +Q)
• Tốc độ quay bằng n vòng mỗi giây. (n rotations per second)
• Vòng vành khăn, bán kính trong r, bán kính ngoài r + dr. (Ring, inner radius r, outer radius r + dr)
• Từ trường tại tâm đĩa = ? (B at center of disk = ?)

Nhận diện và thiết lập

1. Xem đĩa quay như tập hợp các vòng tròn đồng tâm. Mỗi vòng tạo tại tâm đĩa như một vòng dây mang dòng.
2. Dùng kết quả của mục 28.5 cho một vòng rồi theo bán kính.

Thực hiện

3. Tìm trên một vành khăn có bán kính trong $r$ và bán kính ngoài $r+dr$.
4. Từ thời gian để vành khăn quay hết một vòng, suy ra tương đương của vành khăn.
5. Dùng công thức trường tại tâm của vòng tròn để tìm đóng góp $dB$.
6. các vành khăn từ $r=0$ đến $r=a$.

Đánh giá

7. Kiểm tra đơn vị của kết quả.
8. So sánh với trường hợp toàn bộ nằm ở vành ngoài, $r=a$. Trường hợp nào tạo trường mạnh hơn tại tâm?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: mặt đều $\sigma =Q/(\pi a^2)$, tốc độ quay $n$ vòng mỗi giây.

Hướng đi:

• Chia đĩa thành vành khăn bán kính $r$, bề rộng $dr$, rồi tìm vi phân $dQ$.
• Một vành khăn quay hết vòng trong $1/n$ giây, nên tạo dòng $dI=ndQ$. Dùng trường tại tâm của vòng dòng bán kính $r$.
• Cộng liên tục các đóng góp từ tâm đến mép đĩa.

Các bước giải:

Vành khăn vi phân có diện tích $dA=2\pi rdr$, nên

$$dQ=\sigma dA=2\pi \sigma rdr.$$

Trong thời gian $1/n$, lượng $dQ$ đi qua một mặt cắt của vòng. Vì vậy dòng tương đương là

$$dI=\frac{dQ}{1/n}=2\pi n\sigma rdr.$$

do vòng nhỏ tại tâm hướng theo trục quay, theo quy tắc bàn tay phải. Độ lớn là

$$dB=\frac{{\mu }_{0}dI}{2r}={\mu }_0\pi n\sigma dr.$$

trên toàn đĩa:

$$\begin{array}{rl}B& ={\int }_0^{a}dB\\ & ={\mu }_0\pi n\sigma {\int }_0^{a}dr\\ & ={\mu }_0\pi n\sigma a\\ & =\frac{{\mu }_{0}nQ}{a}.\end{array}$$

Hướng theo chiều trục xác định bằng quy tắc bàn tay phải quanh chiều quay. Đơn vị ${\mu }_{0}nQ/a$ là tesla. Nếu cùng $Q$ tập trung ở vành ngoài, dòng là $nQ$ và trường tâm chỉ bằng ${\mu }_{0}nQ/(2a)$, tức bằng một nửa trường của đĩa tích điện đều.

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q28.1

Một chủ đề đang được nghiên cứu trong vật lý là tìm kiếm đơn cực từ cô lập, dù đến nay chưa phát hiện được. Nếu tìm thấy một vật như vậy, có thể nhận biết nó bằng cách nào? Nó có những tính chất gì?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đơn cực từ giả định là một nguồn từ đơn lẻ, không đi kèm cực đối diện trong cùng vật.

Hướng đi:

• Khảo sát quanh vật cô lập và lực tác dụng lên các cực nam châm thử.
• Đối chiếu với nam châm thông thường, vốn luôn có cả hai cực và các đường sức từ khép kín.

Các bước giải:

Một đơn cực sẽ tạo có đối xứng hướng tâm, tương tự trường điện của một điểm. Từ thông qua mặt kín bao quanh nó sẽ khác không, thay vì bằng không như trường hợp không có đơn cực. Một cực bắc hoặc cực nam thử sẽ bị hút hoặc đẩy tùy dấu của đơn cực. Vật chỉ có một cực từ sẽ không thể tách thành hai cực đối diện bằng cách bẻ đôi như nam châm thông thường.

Bài tập: Q28.2

Các dòng hạt mang điện phóng ra từ Mặt Trời trong những đợt hoạt động mạnh gây nhiễu loạn Trái Đất như thế nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần giải thích cách các hạt mang điện chuyển động làm thay đổi gần Trái Đất.

Hướng đi:

• Một chùm hạt mang điện chuyển động tương đương với .
• tạo , còn từ trường mới chồng chất với từ trường Trái Đất và tương tác với các dòng điện trong từ quyển.

Các bước giải:

Các hạt Mặt Trời chuyển động tạo thành trong không gian. Dòng này sinh ra riêng, làm tổng từ trường quanh Trái Đất thay đổi theo thời gian và vị trí. Khi dòng hạt bị từ trường Trái Đất làm lệch, các dòng điện cảm ứng trong từ quyển cũng đổi, khiến cấu hình từ trường bị nén, kéo dài hoặc dao động.

Bài tập: Q28.3

Sách đã khảo sát của một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang . Dĩ nhiên không có dây nào dài vô hạn. Làm thế nào quyết định một dây cụ thể đã đủ dài để có thể xem như vô hạn?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Gần một đầu dây hữu hạn, khác với trường của dây vô hạn.

Hướng đi:

• So sánh khoảng cách từ điểm đo đến dây với khoảng cách từ điểm đo đến hai đầu dây.
• Kiểm tra xem các đầu dây có tạo hiệu chỉnh đáng kể so với trường của dây vô hạn hay không.

Các bước giải:

Không có một chiều dài ngưỡng dùng cho mọi phép đo. Tại điểm quan sát, dây có thể xem là vô hạn khi điểm đó ở rất xa hai đầu so với khoảng cách vuông góc đến dây. Khi ấy các góc nhìn từ điểm đo tới hai đầu gần như tạo cùng giới hạn như hai đầu ở vô cực, nên hiệu chỉnh đầu dây nhỏ hơn độ chính xác cần thiết.

Bài tập: Q28.4

Hai dây dẫn song song mang cùng chiều hút nhau. Nếu chúng được thả cho tiến lại gần, lực hút sinh công. Năng lượng ấy đến từ đâu? Điều này có mâu thuẫn với kết luận ở Chương 27 rằng tác dụng lên chuyển động không sinh công không? Hãy giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tổng hợp tác dụng lên dây dẫn có thể làm dây chuyển động, dù lực Lorentz trên từng hạt tải luôn vuông góc vận tốc.

Hướng đi:

• Phân biệt công trên hạt riêng lẻ với công cơ học lên toàn bộ dây dẫn.
• Theo dõi sự biến đổi năng lượng của nguồn điện, và chuyển động của dây.

Các bước giải:

lên một hạt là $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, nên công suất tức thời của lực này bằng $q\overrightarrow{v}\cdot (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})=0$. Tuy nhiên, lực từ tác dụng lên có thể truyền lực qua va chạm giữa hạt tải và mạng tinh thể, làm dây chuyển động. Năng lượng cơ học thu được đến từ năng lượng của trường và nguồn duy trì dòng điện. Nếu nguồn tiếp tục giữ dòng không đổi, nó có thể cung cấp hoặc nhận năng lượng khi cấu hình dây thay đổi. Vì vậy, lực từ không làm tăng động năng của hạt tải theo hướng chuyển động, nhưng hệ điện từ vẫn có thể chuyển năng lượng sang cơ năng của dây.

Bài tập: Q28.5

Trong thiết bị điện tử, các cặp dây nối với bộ nguồn đôi khi được xoắn vào nhau để giảm ảnh hưởng của . Vì sao cách này có tác dụng?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây cấp và hồi dòng mang các dòng bằng nhau, ngược chiều và nằm sát nhau.

Hướng đi:

• So sánh của hai dây ở khoảng cách lớn hơn nhiều khoảng cách giữa chúng.
• Xét diện tích vòng mà cặp dây tạo ra.

Các bước giải:

Ở xa cặp dây, của hai dòng ngược chiều gần triệt tiêu vì điểm đo gần như cách đều hai dây. Khi xoắn dây, cặp dây liên tục đổi vị trí tương đối, nên diện tích vòng nhỏ và từ trường rò giảm thêm. Điều này cũng làm giảm từ thông ngoài xuyên qua vòng mạch và giảm nhiễu cảm ứng.

Bài tập: Q28.6

Ba dây dẫn dài song song được bố trí sao cho khi nhìn theo tiết diện, chúng nằm ở ba đỉnh của một tam giác đều. Có thể chọn chiều để cả ba dây hút lẫn nhau không? Có thể chọn chiều để cả ba dây đẩy lẫn nhau không? Hãy giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây song song hút nhau khi dòng cùng chiều và đẩy nhau khi dòng ngược chiều.

Hướng đi:

• Xét điều kiện chiều cho từng cặp dây.
• Kiểm tra xem ba cặp có thể đồng thời thỏa các điều kiện đó hay không.

Các bước giải:

Cả ba dây hút từng đôi khi cả ba dòng cùng chiều. Trái lại, không thể làm cả ba cặp đẩy nhau. Nếu dây 1 và 2 ngược chiều, đồng thời dây 2 và 3 ngược chiều, thì dòng 1 và 3 phải cùng chiều. Vì vậy cặp 1–3 sẽ hút nhau.

Bài tập: Q28.7

Khi suy ra lực tác dụng lên một trong hai dây dẫn dài mang ở Mục 28.4, vì sao chỉ dùng do dây kia tạo ra? Vì sao không dùng tổng từ trường do cả hai dây tạo ra?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Muốn tính lực lên một dây, cần dùng trường ngoài tác dụng lên trong dây đó.

Hướng đi:

• Tách do dây gây lực với từ trường do chính dây đang xét tạo ra.
• Xét tính đối xứng của tự trường quanh một dây thẳng dài.

Các bước giải:

Ta dùng trường do dây kia tạo ra vì đó là trường ngoài tác dụng lên của dây đang xét. Nếu cộng thêm tự trường của chính dây, ta đang tính lực của dây lên bản thân nó. Trong mô hình dây thẳng đối xứng, các tác dụng nội bộ triệt tiêu khi xét lực tổng trên dây. Tự trường còn có vấn đề tại vị trí dòng điện lý tưởng, nên không thể đưa vào phép tính lực tương hỗ như một trường ngoài.

Bài tập: Q28.8

Hai vòng dây tròn đồng tâm, đồng phẳng, có đường kính khác nhau và mang cùng chiều. Hãy mô tả lực mà vòng ngoài tác dụng lên vòng trong và lực mà vòng trong tác dụng lên vòng ngoài.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai vòng đồng tâm có cùng hướng theo trục chung.

Hướng đi:

• Xét hướng thành phần vuông góc mặt vòng tại vị trí dây của vòng kia.
• Dùng $d\overrightarrow{F}=Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$ để suy ra lực hướng tâm hay hướng ra ngoài.

Các bước giải:

Trong vùng bên trong vòng ngoài, do vòng ngoài hướng theo trục chung. Dòng trên vòng trong cùng chiều với vòng ngoài nên trên mỗi đoạn dây có thành phần hướng ra xa trục. Vòng trong chịu lực phân bố làm nó có xu hướng nở ra. Ở vị trí vòng ngoài, trường do vòng trong đổi chiều so với trường ở phía trong vòng. Lực phân bố trên vòng ngoài hướng vào trục, làm vòng ngoài có xu hướng co lại. Do đối xứng, lực tổng tịnh tiến của mỗi vòng bằng không. Tuy nhiên, ứng suất hướng tâm vẫn khác không.

Bài tập: Q28.9

Khi có chạy qua lò xo hình xoắn, lò xo co lại như thể bị nén. Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Các vòng dây kề nhau của lò xo xoắn mang gần song song.

Hướng đi:

• Xét lực giữa hai đoạn dây gần nhau, nơi có thành phần cùng chiều.
• Dùng quy tắc lực giữa các dây song song.

Các bước giải:

Các đoạn dây kề nhau mang dòng cùng chiều hút nhau. Lực hút giữa các vòng làm khoảng cách dọc trục giảm, nên lò xo co lại. Các đoạn ở mặt đối diện không triệt tiêu hiệu ứng này vì hình học lò xo làm các thành phần lực dọc trục hướng vào nhau.

Bài tập: Q28.10

và có ưu điểm, nhược điểm tương đối nào khi dùng để tính trong thực tế?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cả hai định luật đều mô tả tĩnh do , nhưng phù hợp với các dạng đối xứng khác nhau.

Hướng đi:

• So sánh số phép tính cần thiết khi có đối xứng cao.
• Xét khả năng áp dụng khi phân bố có hình học tổng quát.

Các bước giải:

đặc biệt gọn khi đối xứng cho phép chọn đường kín mà $B$ có độ lớn không đổi và tiếp tuyến trên từng đoạn. Khi đó một đường nhanh chóng cho $B$. Nếu trường biến thiên phức tạp dọc mọi đường thuận tiện, định luật vẫn đúng nhưng không đủ để xác định $B$ một cách đơn giản.

cho phép cộng đóng góp từ từng phần tử , nên dùng được với nhiều hình học hơn. Đổi lại, thường dài và phải xác định hướng tại từng điểm. Vì vậy Ampere nhanh trong các trường hợp đối xứng, còn Biot–Savart linh hoạt hơn cho phân bố dòng tổng quát.

Bài tập: Q28.11

Các đường sức từ không có điểm bắt đầu hay điểm kết thúc. Dựa vào tính chất này, hãy giải thích vì sao trường của một lý tưởng có thể chỉ tồn tại trong phần bên trong các vòng dây, trong khi thẳng vẫn có trường ở bên ngoài.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đường sức từ phải khép kín vì không có đơn cực từ làm nguồn hay hố của đường sức.

Hướng đi:

• Theo một đường sức từ bên trong và tìm đường khép kín tương ứng.
• Phân biệt hình xuyến với thẳng có hai đầu.

Các bước giải:

Trong , các đường sức lý tưởng chạy thành những vòng kín quanh trục hình xuyến, hoàn toàn nằm trong vùng được cuộn dây bao quanh. Chúng không cần đi ra ngoài để khép kín. Với thẳng hữu hạn, đường sức chạy dọc bên trong rồi phải quay trở lại bên ngoài để tạo đường kín. Do đó trường ngoài của ống dây thẳng không thể triệt tiêu ở mọi nơi, dù gần tâm nó nhỏ hơn trường trong.

Bài tập: Q28.12

Hai dây rất dài song song mang các bằng nhau nhưng ngược chiều. (a) Có vị trí nào của hai dây triệt tiêu hoàn toàn không? Nếu có, vị trí đó ở đâu? Nếu không, vì sao? (b) Câu trả lời ở phần (a) thay đổi thế nào nếu hai dòng điện cùng chiều?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: của mỗi dây là các đường tròn đồng tâm, với độ lớn tỉ lệ nghịch khoảng cách đến dây.

Hướng đi:

• Biểu diễn mỗi trường bằng của với từ dây tới điểm đo.
• Không chỉ so sánh độ lớn, vì hai có thể không ngược hướng ngay cả tại điểm cách đều hai dây.

Các bước giải:

(a) Đặt hai dây tại hai vị trí khác nhau trong mặt phẳng. Với dòng ngược chiều, điều kiện tổng trường bằng không đòi hỏi hai vị trí đã chuẩn hóa theo bình phương khoảng cách phải bằng nhau. Phép biến đổi $\overrightarrow{r}\mapsto \overrightarrow{r}/r^2$ là một-một, nên điều đó chỉ xảy ra nếu hai dây ở cùng vị trí. Vì vậy không có điểm hữu hạn nào mà hai trường triệt tiêu hoàn toàn.

(b) Với dòng cùng chiều, hai trường giữa hai dây ngược hướng. Tại trung điểm, khoảng cách tới hai dây bằng nhau nên độ lớn bằng nhau và trường tổng bằng không. Ngoài khoảng giữa, hai trường cùng hướng hoặc không thể cân bằng nhau.

Bài tập: Q28.13

Trong mạch ở hình Q28.13, khi công tắc $S$ vừa đóng, dây $L$ bị kéo về phía dây dưới mang $I$. Cực nào của pin, $a$ hay $b$, là cực dương? Vì sao?

Hình Q28.13: Mạch điện có dây L và công tắc S, đặt gần dây thẳng mang dòng I.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lực hút giữa hai dây song song đòi hỏi trên dây $L$ cùng chiều với dòng $I$ ở dây dưới.

Hướng đi:

• Dùng chiều lực giữa hai dây song song để suy ra chiều dòng trên $L$.
• Theo chiều quy ước quanh mạch để xác định cực dương của pin.

Các bước giải:

Dòng $I$ ở dây dưới hướng sang trái. Vì dây $L$ bị hút về phía dây dưới, dòng trên $L$ cũng phải hướng sang trái. Khi cực $b$ dương, quy ước đi ra khỏi cực $b$, qua công tắc và xuống nhánh phải, rồi chạy trên dây $L$ từ phải sang trái trước khi trở về cực $a$. Vậy cực dương là $b$.

Bài tập: Q28.14

Một vòng kim loại mang tạo $B_0$ tại tâm và từ trường $B$ tại điểm $P$ cách tâm một đoạn $x$ dọc theo trục vòng. Nếu bán kính vòng tăng gấp đôi, hãy tìm từ trường tại tâm. Từ trường tại $P$ có đổi theo cùng hệ số không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giữ không đổi khi bán kính vòng đổi từ $a$ thành $2a$.

Hướng đi:

• Tại tâm dùng $B_0={\mu }_{0}I/(2a)$.
• Trên trục dùng $B(x)={\mu }_{0}I{a}^2/[2(a^2+x^2{)}^{3/2}]$, vì khoảng cách $x$ tới điểm quan sát không đổi.

Các bước giải:

Tại tâm, bán kính tăng gấp đôi làm giảm một nửa:

$$B_0^{\prime }=\frac{{\mu }_{0}I}{4a}=\frac{B_0}{2}.$$

Tại $P$, hệ số thay đổi là

$$\frac{B^{\prime }(x)}{B(x)}=4{\left(\frac{a^2+x^2}{4a^2+x^2}\right)}^{3/2}.$$

Hệ số này phụ thuộc $x/a$, nên nói chung không bằng $1/2$. Chỉ khi $x=0$ mới trở lại trường hợp tại tâm.

Bài tập: Q28.15

Chứng minh rằng đơn vị $\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$ và $\mathrm{J}/\mathrm{T}$ của là tương đương.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dùng quan hệ đơn vị của tesla để đổi $\mathrm{J}/\mathrm{T}$ sang đơn vị cơ bản.

Hướng đi:

• Từ trên dây, $1\mathrm{T}=1\mathrm{N}/(\mathrm{A}\mathrm{m})$, còn $1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\mathrm{m}$.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{T}}& =\frac{\mathrm{N}\mathrm{m}}{\mathrm{N}/(\mathrm{A}\mathrm{m})}\\ & =\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Bài tập: Q28.16

Vì sao của được dự đoán sẽ giảm khi nhiệt độ tăng?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: có các vi mô có thể định hướng theo trường ngoài.

Hướng đi:

• So sánh năng lượng định hướng do trường với chuyển động nhiệt làm các mômen mất trật tự.

Các bước giải:

Khi nhiệt độ tăng, dao động nhiệt mạnh hơn và làm các vi mô khó giữ cùng hướng với trường ngoài. thêm vào vì thế giảm. Với mô hình loãng, tỉ lệ nghịch gần đúng với nhiệt độ tuyệt đối, nên $\mu ={\mu }_0(1+{\chi }_m)$ giảm dần về gần ${\mu }_0$ khi nhiệt độ tăng.

Bài tập: Q28.17

Nếu treo một nam châm phía trên bình chứa không khí lỏng, nam châm hút các giọt chất lỏng về phía các cực. Những giọt ấy chỉ chứa oxy lỏng. Nitơ là thành phần chính của không khí, nhưng không bị hút trong thí nghiệm này. Điều này cho biết gì về của oxy và nitơ? Hãy giải thích vì sao nam châm trong không khí ở nhiệt độ phòng không hút các phân tử oxy về phía các cực.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Oxy lỏng bị hút rõ, còn nitơ lỏng không bị hút rõ trong thí nghiệm.

Hướng đi:

• Liên hệ hướng lực với dấu của .
• Phân biệt lực trên khối chất lỏng đậm đặc với lực rất nhỏ trên khí loãng ở nhiệt độ phòng.

Các bước giải:

Oxy có dương nên là chất , bị hút về vùng mạnh. Nitơ có độ cảm từ âm nên là chất , bị đẩy rất yếu. Trong không khí thường, oxy ở dạng khí loãng và chuyển động nhiệt mạnh. trên từng phân tử rất nhỏ so với tác động của chuyển động nhiệt và va chạm phân tử, nên nam châm thông thường không tạo lực hút quan sát được lên không khí.

Bài tập: Q28.18

Những đặc điểm nào của cấu trúc nguyên tử quyết định một nguyên tố là hay ? Hãy giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tính từ của nguyên tử phụ thuộc vào tổng hợp từ electron.

Hướng đi:

• Xét các cặp electron có mômen spin và mômen quỹ đạo triệt tiêu hay còn phần dư.

Các bước giải:

Khi các electron ghép đôi sao cho của chúng triệt tiêu từng cặp, nguyên tử không có mômen từ thường trực và đáp ứng . Khi còn electron chưa ghép đôi, nguyên tử có mômen từ thường trực. Các mômen này có thể định hướng yếu theo trường ngoài, làm .

Bài tập: Q28.19

của phụ thuộc khá mạnh vào nhiệt độ, trong khi độ cảm từ của gần như không phụ thuộc nhiệt độ. Vì sao hai loại vật liệu khác nhau như vậy?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: có mômen nguyên tử thường trực, còn có mômen cảm ứng do trường ngoài.

Hướng đi:

• Xác định cơ chế tạo ở mỗi loại và xem nhiệt độ tác động trực tiếp lên cơ chế đó hay không.

Các bước giải:

Trong chất , trường ngoài cố gắng định hướng các thường trực, còn chuyển động nhiệt làm chúng phân bố ngẫu nhiên. Tăng nhiệt độ làm giảm mức định hướng, nên giảm rõ. Trong chất , trường ngoài cảm ứng các dòng vi mô trong quỹ đạo electron. Đáp ứng cảm ứng này gần như không phụ thuộc vào hướng nhiệt của các mômen thường trực, nên độ cảm từ thường ít thay đổi theo nhiệt độ.

Bài tập: Q28.20

Một trụ sắt có thể quay tự do quanh trục của nó. Ban đầu trụ đứng yên, rồi được đặt trong làm nó song song với trục. Nếu đảo nhanh chiều từ trường ngoài, chiều từ hóa cũng đảo và trụ bắt đầu quay quanh trục. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Einstein–de Haas. Hãy giải thích vì sao trụ bắt đầu quay.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đảo chiều làm thay đổi vi mô gắn với các trong trụ.

Hướng đi:

• Dùng bảo toàn cho hệ gồm các vi mô và chuyển động quay của trụ.

Các bước giải:

của vật liệu gắn với quỹ đạo và spin của các electron. Khi đảo chiều, tổng mômen động lượng vi mô đổi hướng. Nếu mômen động lượng tổng của hệ không bị ngoại lực tạo mômen làm thay đổi đáng kể trong quá trình đảo, phần thay đổi vi mô phải được bù bằng mômen động lượng cơ học của trụ. Vì vậy trụ quay quanh trục. Chiều quay được xác định sao cho tổng mômen động lượng trước và sau quá trình được bảo toàn.

Bài tập 28.1–28.30

Từ trường của điện tích chuyển động

Bài tập 28: 1

Một điểm $+6,00\mu \mathrm{C}$ chuyển động đều với tốc độ $8,00\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$ theo chiều $+y$. Khi điện tích ở gốc tọa độ, hãy tìm vectơ tại các điểm sau.

(a) $(\mathrm{0,500}\mathrm{m},0,0)$.

(b) $(0,-\mathrm{0,500}\mathrm{m},0)$.

(c) $(0,0,\mathrm{0,500}\mathrm{m})$.

(d) $(0,-\mathrm{0,500}\mathrm{m},\mathrm{0,500}\mathrm{m})$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $q=6,00\mu \mathrm{C}$ có $\overrightarrow{v}=8,00\times {10}^6\hat{ȷ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Bốn vị trí quan sát đều cách điện tích theo các vectơ khác nhau.

Hướng đi:

• Dùng $\overrightarrow{B}={\displaystyle \frac{{\mu }_0}{4\pi }}{\displaystyle \frac{q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}}{r^3}}$ vì chuyển động chậm so với ánh sáng và vị trí được xét tại một thời điểm. xác định chiều, còn $r^3$ giữ đúng độ phụ thuộc khoảng cách.

Các bước giải: Đặt $C={\mu }_{0}qv/(4\pi )=4,80\times {10}^{-6}\mathrm{T}{\mathrm{m}}^2$. Với (a), $\overrightarrow{r}=\mathrm{0,500}\hat{ı}$ nên $\hat{ȷ}\times \hat{ı}=-\hat{k}$ và $B=C/r^2=1,92\times {10}^{-5}\mathrm{T}$. Do đó ${\overrightarrow{B}}_a=-19,2\mu \mathrm{T}\hat{k}$.

Ở (b), $\overrightarrow{r}$ song song hoặc ngược chiều $\overrightarrow{v}$, nên bằng không: ${\overrightarrow{B}}_b=0$. Ở (c), $\hat{ȷ}\times \hat{k}=\hat{ı}$, cũng với $r=\mathrm{0,500}\mathrm{m}$, nên ${\overrightarrow{B}}_c=+19,2\mu \mathrm{T}\hat{ı}$.

Ở (d), $\overrightarrow{r}=-\mathrm{0,500}\hat{ȷ}+\mathrm{0,500}\hat{k}$, $r=\sqrt{\mathrm{0,500}}\mathrm{m}$, và $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}=4,00\times {10}^6\hat{ı}$. Suy ra ${\overrightarrow{B}}_d=+6,79\mu \mathrm{T}\hat{ı}$.

Bài tập 28: 2

Trường trong nguyên tử. Trong mô hình Bohr, electron chuyển động tròn bán kính $5,3\times {10}^{-11}\mathrm{m}$ với tốc độ $2,2\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Nhìn quỹ đạo nằm trong mặt phẳng trang giấy và electron chuyển động theo chiều kim đồng hồ, hãy xác định độ lớn và chiều của và do electron tạo ra tại hạt nhân.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách từ electron đến hạt nhân là $r=5,3\times {10}^{-11}\mathrm{m}$, tốc độ $v=2,2\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$, electron $-e$.

Hướng đi:

• điểm có độ lớn $ke/r^2$ và hướng về electron vì nguồn âm. Với , dùng biểu thức của điện tích chuyển động, rồi xác định chiều bằng vận tốc tức thời của electron và .

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{ke}{r^2}=5,13\times {10}^{11}\mathrm{N}/\mathrm{C},\\ B& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{ev}{r^2}=12,5\mathrm{T}.\end{array}$$

tại hạt nhân hướng từ hạt nhân về phía electron. Với quỹ đạo theo chiều kim đồng hồ, quy ước tương đương chạy ngược chiều kim đồng hồ. Quy tắc nắm tay phải cho tại tâm hướng ra khỏi trang giấy.

Bài tập 28: 3

Electron chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,100}c$ như Hình E28.3. Tìm độ lớn và chiều do electron tạo ra tại các điểm cách electron $2,00\mu \mathrm{m}$ sau.

(a) A và B.

(b) C.

(c) D.

Electron chuyển động và các điểm A, B, C, D

Chú thích:

• Electron. (Electron)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $v=\mathrm{0,100}c$ và $r=2,00\mu \mathrm{m}$. Hình cho góc giữa vận tốc và bán kính nối tới điểm quan sát.

Hướng đi:

• Độ lớn trường là $B=({\mu }_0/4\pi )|q|v\sin \theta /r^2$. Xác định chiều trước cho dương rồi đảo chiều vì nguồn là electron.

Các bước giải: Hệ số trường khi $\sin \theta =1$ là $1,20\times {10}^{-7}\mathrm{T}$. Nhãn ${60}^{\circ }$ đo từ phương ngang, nên góc với vận tốc hướng lên ở A là ${30}^{\circ }$, còn ở B là ${150}^{\circ }$. Cả hai có $\sin \theta =1/2$, do đó trường đều có độ lớn $6,00\times {10}^{-8}\mathrm{T}$. Hai điểm A và B đều nằm bên phải đường chuyển động. Vì $v_y>0$, $r_x>0$ nên $(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}{)}_z=-v_y{r}_x<0$ ở cả hai điểm. electron âm đảo chiều, vì vậy cả hai trường đều hướng ra khỏi trang.

Tại C, $\theta ={90}^{\circ }$, do đó $B=1,20\times {10}^{-7}\mathrm{T}$. Từ hình, $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}$ cho dương hướng vào trang, vì vậy electron tạo trường hướng ra trang. Tại D, $\overrightarrow{r}$ song song với vận tốc nên $\sin \theta =0$ và $B=0$.

Bài tập 28: 4

Một hạt alpha mang $+2e$ và một electron cùng rời một điểm với tốc độ $2,50\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ theo hai hướng ngược nhau, như Hình E28.4. Tìm độ lớn và chiều tổng hợp tại P, cách mỗi hạt $8,65\mathrm{nm}$.

Hạt alpha và electron chuyển động ngược chiều, điểm P cách đều

Chú thích:

• Electron. (Electron)
• Hạt alpha. (Alpha particle)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $q_{\alpha }=+2e$, $q_e=-e$, hai tốc độ bằng nhau $v=2,50\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và khoảng cách tới P là $r=8,65\mathrm{nm}$. Góc hình học được ghi trên hình là ${140}^{\circ }$.

Hướng đi:

• Tính riêng trường của từng hạt bằng biểu thức dành cho chuyển động, rồi cộng hai vectơ. Do vận tốc ngược chiều và điện tích trái dấu, chiều quy ước của hai hạt cùng chiều. Tuy nhiên, các vectơ bán kính đến P khác nhau, nên phải dùng để xác định chiều từng trường trước khi cộng.

Các bước giải: Theo hình, góc giữa vận tốc hạt alpha và vectơ nối hạt alpha đến P là ${140}^{\circ }$. Hai cùng hướng ra khỏi mặt phẳng hình. Độ lớn tổng bằng tổng hai trường:

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{3ev\sin {140}^{\circ }}{r^2}\\ & =1,03\times {10}^{-4}\mathrm{T}.\end{array}$$

Chiều của trường tổng hợp hướng ra khỏi trang giấy.

Bài tập 28: 5

$-4,80\mu \mathrm{C}$ chuyển động đều với tốc độ $6,80\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ theo chiều $+x$. Khi điện tích ở gốc tọa độ, hãy tìm vectơ tại các điểm sau.

(a) $(\mathrm{0,500}\mathrm{m},0,0)$.

(b) $(0,\mathrm{0,500}\mathrm{m},0)$.

(c) $(\mathrm{0,500}\mathrm{m},\mathrm{0,500}\mathrm{m},0)$.

(d) $(0,0,\mathrm{0,500}\mathrm{m})$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $q=-4,80\mu \mathrm{C}$, $\overrightarrow{v}=6,80\times {10}^5\hat{ı}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Áp dụng $\overrightarrow{B}=({\mu }_0/4\pi )q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}/r^3$. Dấu âm của đảo chiều quy tắc .

Các bước giải: Trên trục x, $\overrightarrow{r}\parallel \overrightarrow{v}$ nên (a) $\overrightarrow{B}=0$. Với (b), $r=\mathrm{0,500}\mathrm{m}$ và $\hat{ı}\times \hat{ȷ}=\hat{k}$, nhưng $q<0$, do đó ${\overrightarrow{B}}_b=-1,31\mu \mathrm{T}\hat{k}$.

Ở (c), $r=\sqrt{\mathrm{0,500}}\mathrm{m}$, $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{r}=\mathrm{0,340}\times {10}^6\hat{k}$, nên ${\overrightarrow{B}}_c=-\mathrm{0,462}\mu \mathrm{T}\hat{k}$. Với (d), $\hat{ı}\times \hat{k}=-\hat{ȷ}$, rồi nhân $q<0$ cho chiều $+y$. Vì thế ${\overrightarrow{B}}_d=+1,31\mu \mathrm{T}\hat{ȷ}$.

Bài tập 28: 6

Hai dương $q=+8,00\mu \mathrm{C}$ và $q^{\prime }=+3,00\mu \mathrm{C}$ chuyển động như Hình E28.6. Khoảng cách $d=\mathrm{0,120}\mathrm{m}$, $v=4,50\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và $v^{\prime }=9,00\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Tìm độ lớn và chiều tổng hợp tại P. (b) Tìm độ lớn, chiều lực điện và mỗi điện tích tác dụng lên điện tích kia, cùng tỉ số độ lớn hai lực. (c) Nếu đảo chiều ${\overrightarrow{v}}^{\prime }$, tìm độ lớn và chiều các lực từ.

Hai điện tích chuyển động và điểm quan sát P

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dương ở cách P một khoảng $d$, với vận tốc vuông góc các bán kính đến P như hình.

Hướng đi:

• Tính hai trường tại P riêng rẽ bằng cho chuyển động. Lực điện dùng Coulomb, còn chuyển động dùng $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Hai định luật này có vai trò khác nhau nên không gộp trường của một điện tích vào lực tác dụng lên chính nó.

Các bước giải: Tại P, hai trường do các hạt tạo ra đều hướng vào trang. Mỗi trường có độ lớn $({\mu }_0/4\pi )qv/d^2$. Vì chúng cùng hướng, cộng hai độ lớn để được:

$$\begin{array}{rl}{B}_P& =\frac{{\mu }_0}{4\pi d^2}(qv+q^{\prime }{v}^{\prime })\\ & =4,38\times {10}^{-4}\mathrm{T}.\end{array}$$

Lực điện đẩy có độ lớn $F_E=kq{q}^{\prime }/(2d{)}^2=3,74\mathrm{N}$. Lực này hướng xuống trên q và lên trên q'. Khoảng cách giữa hai là $2d$, nên trường do $q^{\prime }$ tại q có độ lớn $B^{\prime }={\mu }_0{q}^{\prime }{v}^{\prime }/[4\pi (2d{)}^2]$. Từ đó, có độ lớn $F_B=qv{B}^{\prime }=1,69\times {10}^{-3}\mathrm{N}$. Tỉ số hai lực là $F_E/F_B=2,22\times {10}^3$. Theo chiều vận tốc trong hình, lực từ lên q hướng lên, còn lực từ lên q' hướng xuống.

Khi đảo chiều ${\overrightarrow{v}}^{\prime }$, trường do $q^{\prime }$ tại q đổi sang hướng ra trang. lên q hướng xuống, còn lực từ lên $q^{\prime }$ hướng lên. Độ lớn của mỗi lực vẫn là $1,69\times {10}^{-3}\mathrm{N}$.

Bài tập 28: 7

Tại một thời điểm, P ở cách proton $6,60\mu \mathrm{m}$ về bên trái. Proton chuyển động trong chân không với tốc độ $3,30\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (a) Vectơ đơn vị trong phương trình (28.2) hướng thế nào? (b) Tìm nếu proton chuyển động sang phải hoặc sang trái. (c) Tìm độ lớn và chiều từ trường nếu proton chuyển động lên phía trên trang. (d) Trả lời (c) nếu thay proton bằng electron.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Từ proton đến P có hướng sang trái, $r=6,60\mu \mathrm{m}$ và $v=3,30\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Trong biểu thức $\overrightarrow{v}\times \hat{r}$, $\hat{r}$ hướng từ nguồn đến điểm khảo sát. cho biết khi nào trường triệt tiêu và chiều của trường.

Các bước giải: (a) $\hat{r}=-\hat{ı}$. (b) Khi proton đi sang phải hoặc trái, $\overrightarrow{v}$ song song $\hat{r}$ hoặc ngược chiều nó, nên $\overrightarrow{B}=0$.

Với vận tốc lên trên, $\hat{ȷ}\times (-\hat{ı})=+\hat{k}$, do đó proton tạo trường ra khỏi trang. Độ lớn:

$$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{ev}{r^2}=1,21\times {10}^{-12}\mathrm{T}.$$

Electron có cùng độ lớn nhưng dấu âm nên trường đảo chiều, tức hướng vào trang.

Bài tập 28: 8

Electron và proton mỗi hạt chuyển động với tốc độ $735\mathrm{km}/\mathrm{s}$ theo hai quỹ đạo vuông góc như Hình E28.8. Khi chúng ở các vị trí đã vẽ, hãy tìm các đại lượng sau.

(a) Độ lớn và chiều tổng hợp tại gốc tọa độ.

(b) do electron tạo ra tại proton.

(c) Lực điện tổng hợp và tổng hợp mà electron tác dụng lên proton.

Electron, proton và khoảng cách tới gốc tọa độ

Chú thích:

• Electron. (Electron)
• Proton. (Proton)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Các khoảng cách tới O là $5,00\mathrm{nm}$ và $4,00\mathrm{nm}$. Hai vận tốc vuông góc và cùng độ lớn $7,35\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Cộng vectơ từ từng hạt tại O. Tại proton chỉ dùng trường của electron. Lực điện luôn hút, còn chiều lấy từ $e{\overrightarrow{v}}_p\times {\overrightarrow{B}}_e$.

Các bước giải: Electron ở $y=5,00\mathrm{nm}$ chuyển động sang trái. Tại O, trường của electron hướng vào trang và có độ lớn $471\mu \mathrm{T}$. Proton ở $x=4,00\mathrm{nm}$ chuyển động xuống. ${\overrightarrow{v}}_p\times {\overrightarrow{r}}_p$ cho thấy trường của proton cũng hướng vào trang, với độ lớn $736\mu \mathrm{T}$. Vì vậy, trường tổng hợp là $1,21\mathrm{mT}$ vào trang. Khoảng cách electron–proton là $6,40\mathrm{nm}$. Trường electron tại proton có độ lớn $\mathrm{0,224}\mathrm{mT}$ và hướng vào trang.

Lực điện hút dọc đường nối hai hạt về phía electron, độ lớn $F_E=k{e}^2/r^2=5,63\times {10}^{-12}\mathrm{N}$. có độ lớn $F_B=ev{B}_e=2,64\times {10}^{-17}\mathrm{N}$. Từ hình, ${\overrightarrow{v}}_p$ hướng xuống và ${\overrightarrow{B}}_e$ vào trang, nên ${\overrightarrow{v}}_p\times {\overrightarrow{B}}_e$ hướng sang phải. Lực từ nhỏ hơn lực điện hơn năm bậc độ lớn.

Phần tử dòng điện và dây thẳng

Bài tập 28: 9

Một dây thẳng mang dòng $10,0\mathrm{A}$ như Hình E28.9. ABCD là hình chữ nhật. D là trung điểm của đoạn dây dài $1,10\mathrm{mm}$, còn C nằm trên dây. Tìm độ lớn và chiều do riêng đoạn dây này tạo ra tại các điểm sau.

(a) A.

(b) B.

(c) C.

Đoạn dây nhỏ và hình chữ nhật ABCD

Chú thích:

• Đoạn dây dài 1,10 mm. (1.10 mm segment)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=10,0\mathrm{A}$, $d\ell =1,10\mathrm{mm}$. A cách dây $5,00\mathrm{cm}$ theo phương vuông góc. B lệch ngang $14,0\mathrm{cm}$ so với đoạn dây và cũng cao $5,00\mathrm{cm}$. C nằm trên dây.

Hướng đi:

• Dùng dạng phần tử của , $dB=({\mu }_0/4\pi )Id\ell \sin \theta /r^2$. Đoạn dây nhỏ nên lấy trường của một phần tử, không thay bằng trường của dây dài vô hạn.

Các bước giải: Tại A và B, hình học cho $\theta ={90}^{\circ }$. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}{B}_A& =\frac{1,10\times {10}^{-9}}{\mathrm{0,050}{0}^2}\\ & =4,40\times {10}^{-7}\mathrm{T},\\ r_B& =\sqrt{0,{14}^2+0,{05}^2}=\mathrm{0,149}\mathrm{m},\\ B_B& =\frac{5,50\times {10}^{-12}}{(\mathrm{0,149}{)}^3}\\ & =1,67\times {10}^{-8}\mathrm{T}.\end{array}$$

Theo quy tắc bàn tay phải, chiều ở hai điểm được xác định bởi chiều trong hình. Hai điểm nằm cùng một phía của dây nên trường cùng chiều. Tại C, vectơ nối phần tử dòng điện với điểm C song song dây. bằng không, do đó $B_C=0$.

Bài tập 28: 10

Một phần tử ngắn có $d\overrightarrow{\ell }=(\mathrm{0,500}\mathrm{mm})\hat{ȷ}$ và dòng $5,40\mathrm{A}$ cùng chiều $d\overrightarrow{\ell }$. Điểm P có vectơ vị trí $\overrightarrow{r}=(-\mathrm{0,730}\mathrm{m})\hat{ȷ}+(\mathrm{0,390}\mathrm{m})\hat{k}$. Dùng vectơ đơn vị biểu diễn tại P.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $d\overrightarrow{\ell }=5,00\times {10}^{-4}\hat{ȷ}\mathrm{m}$, $I=5,40\mathrm{A}$, $\overrightarrow{r}=-\mathrm{0,730}\hat{ȷ}+\mathrm{0,390}\hat{k}\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng $d\overrightarrow{B}=({\mu }_0/4\pi )I(d\overrightarrow{\ell }\times \overrightarrow{r})/r^3$. tạo ra chiều vuông góc với mặt phẳng chứa phần tử và điểm quan sát.

Các bước giải: $r=\sqrt{{\mathrm{0,730}}^2+{\mathrm{0,390}}^2}=\mathrm{0,828}\mathrm{m}$ và $d\overrightarrow{\ell }\times \overrightarrow{r}=(1,95\times {10}^{-4})\hat{ı}{\mathrm{m}}^2$. Do đó:

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{\mathrm{1,053}\times {10}^{-10}}{(\mathrm{0,828}{)}^3}\\ & =1,86\times {10}^{-10}\mathrm{T}.\end{array}$$

Vì hướng theo $+x$, ta có $\overrightarrow{B}=+B\hat{ı}$.

Bài tập 28: 11

Một dây thẳng dài trùng trục z mang dòng $4,00\mathrm{A}$ theo chiều $+z$. Tìm do một đoạn $\mathrm{0,500}\mathrm{mm}$ đặt đối xứng qua gốc tạo ra tại các điểm sau.

(a) $(2,00,0,0)\mathrm{m}$.

(b) $(0,2,00,0)\mathrm{m}$.

(c) $(2,00,2,00,0)\mathrm{m}$.

(d) $(0,0,2,00)\mathrm{m}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=4,00\mathrm{A}$, $d\ell =\mathrm{0,500}\mathrm{mm}$ theo $+z$.

Hướng đi:

• Dùng cho đoạn ngắn. Điểm có thành phần z không làm đổi hướng , nhưng làm đổi độ dài $r$ và góc.

Các bước giải: Với (a), $r=2,00\mathrm{m}$ và $\hat{k}\times \hat{ı}=\hat{ȷ}$, nên $B_a=50,0\mathrm{pT}$ theo $+y$. Với (b), $\hat{k}\times \hat{ȷ}=-\hat{ı}$, do đó ${\overrightarrow{B}}_b=-50,0\mathrm{pT}\hat{ı}$.

Ở (c), $r=\sqrt{8}\mathrm{m}$ và thành phần vuông góc có độ lớn $2,00\mathrm{m}$. Tính được ${\overrightarrow{B}}_c=17,7\mathrm{pT}(-\hat{ı}+\hat{ȷ})$. Ở (d), $\overrightarrow{r}$ song song dây nên bằng không, ${\overrightarrow{B}}_d=0$.

Bài tập 28: 12

Hai dây song song cách nhau $5,00\mathrm{cm}$ mang dòng ngược chiều như Hình E28.12. Tìm độ lớn và chiều tại P do hai đoạn dây dài $1,50\mathrm{mm}$ đối diện nhau tạo ra. Mỗi đoạn cách P $8,00\mathrm{cm}$. trong hai đoạn lần lượt là $12,0\mathrm{A}$ và $24,0\mathrm{A}$.

Hai đoạn dây đối diện và điểm P

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai phần tử dòng có chiều ngược nhau, độ lớn $12,0$ và $24,0\mathrm{A}$, cùng dài $1,50\mathrm{mm}$. Tại P, $r=8,00\mathrm{cm}$. Hình học cho $\sin \theta =5,00/8,00$.

Hướng đi:

• Cộng vectơ hai đóng góp . của mỗi phần tử với bán kính đến P cho cùng chiều vào trang, dù hai ngược chiều.

Các bước giải: Với từng đoạn, $d{B}_i={10}^{-7}{I}_{i}d\ell \sin \theta /r^2$. Từ hình, hai trường tại P cùng hướng vào trang, nên dòng có độ lớn cộng:

$$\begin{array}{rl}{B}_P& =\frac{\mathrm{3,375}\times {10}^{-9}}{\mathrm{0,080}{0}^2}\\ & =5,27\times {10}^{-7}\mathrm{T}.\end{array}$$

Chiều tổng hợp hướng vào trang.

Bài tập 28: 13

Dây mang dòng $28,0\mathrm{A}$ uốn qua góc vuông. Xét hai đoạn dây dài $2,00\mathrm{mm}$, mỗi đoạn cách chỗ uốn $3,00\mathrm{cm}$ như Hình E28.13. Tìm độ lớn và chiều do hai đoạn này tạo ra tại P, điểm nằm chính giữa chúng.

Hai phần tử dòng ở hai nhánh vuông góc và điểm P

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai phần tử dài $2,00\mathrm{mm}$ mang cùng dòng $28,0\mathrm{A}$. Mỗi phần tử nằm cách góc dây $3,00\mathrm{cm}$. Điểm P là trung điểm đoạn nối hai phần tử.

Hướng đi:

• Mỗi đóng góp được tính bằng . Do hai phần tử vuông góc và đối xứng, cả hai vectơ trường tại P cùng vuông góc mặt phẳng hình.

Các bước giải: Hai phần tử nằm ở hai nhánh vuông góc, cùng cách góc dây một khoảng $a=3,00\mathrm{cm}$. Đoạn nối chúng là cạnh huyền dài $a\sqrt{2}$. Vì P là trung điểm, khoảng cách từ P đến mỗi phần tử bằng một nửa cạnh huyền:

$$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}=2,12\mathrm{cm}.$$

Góc giữa phần tử dòng và nối đến P bằng ${45}^{\circ }$. Hai phần tử đều tạo trường hướng vào trang. Mỗi đóng góp có độ lớn:

$$\begin{array}{rl}dB& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl\sin {45}^{\circ }}{r^2}\\ & =8,80\mu \mathrm{T}.\end{array}$$

Hai trường cùng chiều nên:

$$B_P=2dB=17,6\mu \mathrm{T}.$$

Quy tắc bàn tay phải với chiều trong hình cho hướng vào trang.

Dây thẳng dài và các hệ dòng điện

Bài tập 28: 14

Một dây thẳng dài nằm trên trục x, mang dòng $I=60,0\mathrm{A}$ theo $+x$. Hạt nhỏ có khối lượng $3,00\times {10}^{-6}\mathrm{kg}$ và $8,00\times {10}^{-3}\mathrm{C}$ đang ở $y=8,00\mathrm{cm}$. Gia tốc tại thời điểm đó có $a_x=-5,00\times {10}^3\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ và $a_y=+9,00\times {10}^3\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$. Tìm $v_x$ và $v_y$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây tạo trường $B={\mu }_{0}I/(2\pi y)=1,50\times {10}^{-4}\mathrm{T}$ theo $+z$. Hạt tích dương có gia tốc trong mặt phẳng xy.

Hướng đi:

• Dùng $m\overrightarrow{a}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Vì $\overrightarrow{B}=B\hat{k}$, thành phần lực x phụ thuộc $v_y$, còn thành phần lực y phụ thuộc $-v_x$.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}{v}_y& =\frac{m{a}_x}{qB}\\ & =\frac{-\mathrm{0,015}}{1,20\times {10}^{-6}}\\ & =-1,25\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s},\\ v_x& =-\frac{m{a}_y}{qB}\\ & =\frac{-\mathrm{0,027}}{1,20\times {10}^{-6}}\\ & =-2,25\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Hai thành phần vận tốc đều hướng theo chiều âm trên trục tương ứng.

Bài tập 28: 15

do sét. Sét có thể mang dòng khoảng $20\mathrm{kA}$. Mô hình hóa nó như dây thẳng rất dài. (a) Từ trường cách sét $5,0\mathrm{m}$ là bao nhiêu? (b) So sánh với từ trường cách dây điện gia dụng mang $10\mathrm{A}$ một khoảng $5,0\mathrm{cm}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh hai cấu hình có $I_1=20\mathrm{kA},r_1=5,0\mathrm{m}$ và $I_2=10\mathrm{A},r_2=\mathrm{0,050}\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Với dây thẳng dài, $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$. So sánh tỉ số $I/r$ để biết mức chênh lệch.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}{B}_1& =2,00\times {10}^{-7}(4,00\times {10}^3)\\ & =8,0\times {10}^{-4}\mathrm{T},\\ B_2& =2,00\times {10}^{-7}(2,00\times {10}^2)\\ & =4,0\times {10}^{-5}\mathrm{T}.\end{array}$$

Trường do sét trong mô hình lớn gấp $20$ lần.

Bài tập 28: 16

Một dây thẳng nằm ngang rất dài mang dòng sao cho mỗi giây có $8,20\times {10}^{18}$ electron đi qua một điểm theo chiều từ tây sang đông. Tìm độ lớn và chiều tại điểm cách dây $4,00\mathrm{cm}$ thẳng đứng phía trên.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron đi về phía đông với lưu lượng hạt $8,20\times {10}^{18}{\mathrm{s}}^{-1}$, điểm khảo sát ở trên dây $r=\mathrm{0,040}0\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dòng quy ước ngược chiều chuyển động electron, tức hướng tây. quanh dây lấy theo quy tắc nắm tay phải.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}I& =(8,20\times {10}^{18})e=1,31\mathrm{A},\\ B& =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}=6,57\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

Chọn $+x$ hướng đông, $+y$ hướng bắc và $+z$ thẳng đứng lên. Dòng quy ước hướng tây, tức $-x$. Tại điểm phía trên dây, $(-\hat{ı})\times \hat{k}=+\hat{ȷ}$, nên hướng bắc.

Bài tập 28: 17

trong tim. Các dòng ion trong cơ thể tạo nhỏ. Từ trường quanh ngực do tim vào khoảng $10\mu \mathrm{G}$. Ước lượng dòng điện trong tim bằng mô hình dây thẳng dài, biết mặt ngực cách dòng điện $5,0\mathrm{cm}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $B=10\mu \mathrm{G}=1,0\times {10}^{-9}\mathrm{T}$, $r=\mathrm{0,050}\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng trường của dây thẳng dài rồi giải ngược theo $I$. Mô hình chỉ nhằm ước lượng độ lớn vì dòng trong cơ thể không tập trung thành một dây.

Các bước giải:

$$I=\frac{2\pi rB}{{\mu }_0}=250\mu \mathrm{A}.$$

Bài tập 28: 18

Hai dây thẳng dài cách nhau $2a$, song song trục x, mỗi dây mang dòng $I$ theo $+x$. Trục y hướng từ dây dưới đến dây trên. Tìm độ lớn và chiều trường tổng hợp tại các điểm sau trong mặt phẳng hai dây.

(a) Giữa hai dây.

(b) Cách dây trên một khoảng a về phía trên.

(c) Cách dây dưới một khoảng a về phía dưới.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây cùng chiều , vị trí lần lượt $y=+a$ và $y=-a$.

Hướng đi:

• Tính riêng $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$ cho mỗi dây, sau đó cộng đại số theo trục z. Quy tắc bàn tay phải làm hai trường triệt tiêu ở giữa và cùng chiều ở ngoài.

Các bước giải: (a) Tại trung điểm, hai khoảng cách bằng nhau nhưng hai trường ngược chiều, nên $B=0$.

(b) Điểm ở $y=2a$, cách dây trên a và dây dưới 3a. Cả hai trường cùng hướng $+z$:

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}(1+\frac{1}{3})\\ & =\frac{2{\mu }_{0}I}{3\pi a}.\end{array}$$

Chiều trường là $+z$.

(c) Đối xứng qua gốc, độ lớn như (b) và chiều ngược lại, $\overrightarrow{B}=-B\hat{k}$.

Bài tập 28: 19

Một dây thẳng dài trùng trục y mang dòng $I=8,00\mathrm{A}$ theo chiều $-y$ như Hình E28.19. Ngoài trường do dây, có trường đều ${\overrightarrow{B}}_0$ độ lớn $1,50\times {10}^{-6}\mathrm{T}$ theo $+x$. Tìm độ lớn và hướng trường tổng hợp tại các điểm sau.

(a) $x=0$, $z=1,00\mathrm{m}$.

(b) $x=1,00\mathrm{m}$, $z=0$.

(c) $x=0$, $z=-0,25\mathrm{m}$.

Dây dọc trục y và các điểm trong mặt phẳng xz

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dòng theo $-y$ tạo tròn quanh trục y. Cộng trường này với ${\overrightarrow{B}}_0=1,50\mu \mathrm{T}\hat{ı}$.

Hướng đi:

• Dùng $B_w={\mu }_{0}I/(2\pi r)$ rồi xác định hướng tại từng điểm. Hai vectơ vuông góc thì cộng theo định lý Pythagore.

Các bước giải: (a) Ở $z=+1,00\mathrm{m}$, trường dây hướng $-x$, độ lớn $1,60\mu \mathrm{T}$. Nó hơi lớn hơn trường nền, nên trường tổng hợp $\mathrm{0,100}\mu \mathrm{T}$ hướng $-x$.

(b) Ở $x=1,00\mathrm{m}$, trường dây hướng $+z$, độ lớn $1,60\mu \mathrm{T}$, vuông góc với trường nền. Do đó $B=2,19\mu \mathrm{T}$, tạo góc $46,8^{\circ }$ từ $+x$ về phía $+z$.

(c) Ở $z=-0,25\mathrm{m}$, trường dây hướng $+x$, độ lớn $6,40\mu \mathrm{T}$. Cộng trường nền được $7,90\mu \mathrm{T}$ theo $+x$.

Bài tập 28: 20

Đường dây tải điện và sức khỏe. một chiều trên đường dây có thể đạt $100\mathrm{A}$ hoặc lớn hơn. Với đường dây mang $150\mathrm{A}$ ở độ cao $8,0\mathrm{m}$, tìm do dây tạo ra ở mặt đất, biểu diễn bằng tesla và bằng phần trăm từ trường Trái Đất $0,50\mathrm{G}$. Giá trị này có đáng lo ngại không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=150\mathrm{A}$, khoảng cách vuông góc $r=8,0\mathrm{m}$, Trái Đất $0,50\mathrm{G}=5,0\times {10}^{-5}\mathrm{T}$.

Hướng đi:

• Dùng trường dây thẳng dài và so sánh tỉ số với trường Trái Đất. Kết quả định lượng cho phép đánh giá mức độ tương đối, không tự nó thay thế một chuẩn an toàn y tế.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\\ & =3,75\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\\ \frac{B}{B_E}& =\frac{3,75\times {10}^{-6}}{5,0\times {10}^{-5}}\\ & =\mathrm{0,075}=7,5\mathrm{\%}.\end{array}$$

Trong mô hình dây thẳng, trường chỉ bằng một phần nhỏ trường Trái Đất. Từ dữ kiện của bài, mức trường này không lớn so với nền địa từ.

Bài tập 28: 21

Hai dây thẳng dài song song cách nhau $10,0\mathrm{cm}$, cùng mang dòng $4,00\mathrm{A}$ theo một chiều như Hình E28.21. Tìm độ lớn và chiều tại các điểm sau.

(a) $P_1$, trung điểm hai dây.

(b) $P_2$, cách $P_1$ $25,0\mathrm{cm}$ về bên phải.

(c) $P_3$, cách $P_1$ $20,0\mathrm{cm}$ thẳng đứng phía trên.

Hai dây song song và ba điểm khảo sát

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây ở $x=\pm \mathrm{0,050}\mathrm{m}$, mang cùng dòng $4,00\mathrm{A}$.

Hướng đi:

• Tính từng trường theo ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$ và cộng vectơ. Tại trung điểm hai đóng góp có độ lớn bằng nhau và ngược chiều.

Các bước giải: (a) $B_{P_1}=0$. (b) $P_2$ cách hai dây lần lượt $\mathrm{0,300}$ và $\mathrm{0,200}\mathrm{m}$. Tại điểm nằm bên phải cả hai dây, hai trường cùng chiều nên phải cộng độ lớn:

$$B_{P_2}=8,00\times {10}^{-7}(8,33)=6,67\mu \mathrm{T}.$$

Theo quy tắc bàn tay phải, trường tổng hợp tại P2 hướng lên trên mặt phẳng hình.

Ở (c), P3 nằm trên đường trung trực. Hai khoảng cách bằng nhau, thành phần y triệt tiêu, còn thành phần x hướng sang trái. Với $r=\sqrt{{\mathrm{0,050}}^2+{\mathrm{0,200}}^2}\mathrm{m}$, mỗi trường có độ lớn ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$, nên thành phần ngang tổng là $7,53\mu \mathrm{T}$ sang trái.

Bài tập 28: 22

Một khung dây chữ nhật kích thước $4,20\mathrm{cm}\times 9,50\mathrm{cm}$ mang dòng I. tại tâm có độ lớn $5,50\times {10}^{-5}\mathrm{T}$ và hướng ra xa người quan sát khi nhìn vào mặt phẳng khung. Tìm độ lớn và cho biết dòng chạy theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng hồ.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nửa cạnh là $a=\mathrm{0,021}0\mathrm{m}$ và $b=\mathrm{0,047}5\mathrm{m}$. Trường tại tâm hướng vào trang.

Hướng đi:

• Tính trường của bốn cạnh thẳng hữu hạn tại tâm, rồi giải ngược theo I. Quy tắc bàn tay phải xác định chiều dòng từ hướng trường.

Các bước giải: Một cặp cạnh song song, cách tâm $a$, có tổng trường ${\mu }_{0}Ib/[\pi a\sqrt{a^2+b^2}]$. Cặp còn lại thu được bằng hoán đổi a và b. Cộng hai cặp:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{\pi }\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}.$$

Thay $B=5,50\times {10}^{-5}\mathrm{T}$ cho $I=2,64\mathrm{A}$. Trường hướng vào trang nên dòng chạy theo chiều kim đồng hồ khi nhìn vào khung.

Tương tác dòng điện và đoạn dây hữu hạn

Bài tập 28: 23

Bốn đường dây điện song song dài, mỗi dây mang dòng $100\mathrm{A}$. Mặt cắt ngang tạo thành hình vuông cạnh $20,0\mathrm{cm}$. Với từng cấu hình (a)–(c) trong Hình E28.23, tính tại tâm hình vuông.

Ba cấu hình chiều dòng điện trong bốn dây ở các đỉnh hình vuông

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bốn dây ở các đỉnh hình vuông cạnh $s=\mathrm{0,200}\mathrm{m}$, tâm cách mỗi dây $r=s/\sqrt{2}$.

Hướng đi:

• Cộng vectơ từng dây. Tại tâm, mỗi độ lớn bằng ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$, nhưng chiều phụ thuộc dấu dòng ở từng đỉnh.

Các bước giải: Gọi $a=s/2=\mathrm{0,100}\mathrm{m}$, vậy mỗi dây cách tâm $r=a\sqrt{2}$. Mỗi trường có độ lớn $B_0={\mu }_{0}I/(2\pi r)=1,41\times {10}^{-4}\mathrm{T}$. Ở (a), bốn dòng đều đi vào trang, nên các thành phần đối xứng triệt tiêu. Ở (b), hai cặp ở các đỉnh đối diện cho các vectơ trường triệt tiêu từng đôi. Ở (c), các thành phần y triệt tiêu, còn bốn thành phần x cùng hướng sang trái. Vì mỗi thành phần x bằng $B_0/\sqrt{2}$, tổng là $4B_0/\sqrt{2}=4,00\times {10}^{-4}\mathrm{T}$ sang trái.

Bài tập 28: 24

Bốn dây rất dài cùng nằm trong một mặt phẳng, giao nhau tạo thành hình vuông cạnh $40,0\mathrm{cm}$ như Hình E28.24. Tìm độ lớn và chiều I để tại tâm vuông bằng không.

Bốn dây cắt nhau ở các cạnh hình vuông, hai dòng đã biết

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bốn dây nằm trong mặt phẳng hình, chạy dọc bốn cạnh của hình vuông $\mathrm{0,400}\mathrm{m}$. Dây ngang trên mang $8,0\mathrm{A}$ sang phải, dây ngang dưới mang $20,0\mathrm{A}$ sang phải và dây đứng trái mang $10,0\mathrm{A}$ lên trên. Cần tìm dòng trong dây đứng phải.

Hướng đi:

• Mỗi dây cách tâm cùng một khoảng bằng nửa cạnh vuông, nên độ lớn trường tại tâm tỉ lệ với dòng qua dây.
• Các trường đều vuông góc mặt phẳng hình. Dùng quy tắc bàn tay phải để gán dấu cho từng đóng góp, rồi đặt tổng đại số bằng không.

Các bước giải: Gọi chiều ra khỏi trang là dương. Vì các dây cách tâm bằng nhau, tổng các trường tỷ lệ với tổng đại số các dòng có dấu. Hai dây ngang tạo tổng đại số $20-8=12\mathrm{A}$ theo dấu của dây dưới, còn dây đứng trái đóng góp $-10\mathrm{A}$. Tổng đã biết tương đương $+2\mathrm{A}$. Dây đứng phải tạo trường tại tâm cùng dấu với dòng hướng lên, nên để triệt tiêu cần $I=2,00\mathrm{A}$ hướng xuống.

Bài tập 28: 25

Hai dây cách điện rất dài vuông góc nhau trong cùng mặt phẳng như Hình E28.25. Dòng trong dây thứ nhất có độ lớn $10,0\mathrm{A}$. Tìm độ lớn tổng hợp tại P và Q trong hai trường hợp sau.

(a) Dòng trong dây thứ nhất chạy sang phải.

(b) Dòng trong dây thứ nhất chạy sang trái.

Dòng trong dây kia là $12,0\mathrm{A}$.

Hai dây vuông góc, các khoảng cách từ P và Q đến dây

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây ngang mang $10,0\mathrm{A}$, dây đứng mang $12,0\mathrm{A}$ hướng lên. Mỗi điểm cách dây ngang $8,0\mathrm{cm}$ và dây đứng $15\mathrm{cm}$.

Hướng đi:

• Dùng trường dây thẳng cho từng dây rồi cộng đại số theo phương vuông góc mặt phẳng hình. Hai trường hoặc cùng chiều hoặc ngược chiều tùy điểm và chiều dòng.

Các bước giải: Ở mỗi điểm, khoảng cách đến dây ngang là $\mathrm{0,080}\mathrm{m}$ và đến dây đứng là $\mathrm{0,150}\mathrm{m}$. Đóng góp của dây ngang là $25,0\mu \mathrm{T}$, còn của dây đứng là $16,0\mu \mathrm{T}$. Hai trường vuông góc với mặt phẳng hình. Khi chúng cùng hướng, tổng độ lớn là $41,0\mu \mathrm{T}$. Khi ngược hướng, tổng độ lớn là $9,0\mu \mathrm{T}$. Theo quy tắc bàn tay phải, chiều và kết quả là:

(a) Tại P, trường vào trang. Tại Q, trường ra trang. Ở cả hai điểm, độ lớn là $41,0\mu \mathrm{T}$.

(b) Tại P, trường ra trang. Tại Q, trường vào trang. Ở cả hai điểm, độ lớn là $9,0\mu \mathrm{T}$.

Bài tập 28: 26

Một dây dài $20,0\mathrm{cm}$ nằm dọc trục x, tâm ở gốc, mang dòng $I=8,00\mathrm{A}$ theo $-x$. (a) Tìm độ lớn tại điểm $y=5,00\mathrm{cm}$ trên trục y. (b) Tính phần trăm chênh lệch giữa kết quả (a) và kết quả khi coi dây dài vô hạn, dùng phương trình (28.9).

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nửa chiều dài dây $L/2=\mathrm{0,100}\mathrm{m}$, khoảng cách vuông góc $a=\mathrm{0,050}0\mathrm{m}$, $I=8,00\mathrm{A}$.

Hướng đi:

• Dây hữu hạn tạo trường $B=({\mu }_{0}I/4\pi a)(\sin {\theta }_1+\sin {\theta }_2)$. Vì điểm nằm trên đường trung trực, hai góc bằng nhau. Sau đó so với công thức dây vô hạn.

Các bước giải: $\sin \theta =(L/2)/\sqrt{(L/2{)}^2+a^2}=\mathrm{0,894}4$. Do đó:

$$\begin{array}{rl}{B}_{\mathrm{finite}}& =2,86\times {10}^{-5}\mathrm{T},\\ B_{\mathrm{\infty }}& =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}=3,20\times {10}^{-5}\mathrm{T}.\end{array}$$

Lấy giá trị hữu hạn làm mốc, phần trăm chênh lệch là $11,8\mathrm{\%}$. Giả thiết dây vô hạn làm tăng dự đoán vì bỏ qua hai đầu dây.

Bài tập 28: 27

Dây ngang dài AB nằm trên mặt bàn và mang dòng I. Dây CD nằm phía trên, trượt tự do lên xuống theo hai thanh dẫn đứng như Hình E28.27. Dây CD nối với mạch sao cho dòng trong nó có cùng độ lớn nhưng ngược chiều dòng trong AB. Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của CD là $\lambda$. Tìm độ cao cân bằng h, giả sử trên CD chỉ do dòng trong AB gây ra.

Hai dây song song ngược dòng, dây trên trượt trên thanh dẫn

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dòng ngược chiều nên đẩy nhau. Dây trên có khối lượng trên đơn vị dài $\lambda$.

Hướng đi:

• Cân bằng lực trên một đơn vị chiều dài. ${\mu }_0{I}^2/(2\pi h)$ hướng lên, bằng trọng lượng trên một đơn vị dài $\lambda g$ hướng xuống.

Các bước giải:

$$\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi h}=\lambda g⟹h=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi \lambda g}.$$

Độ cao tăng theo bình phương dòng và giảm khi dây có khối lượng dài lớn hơn.

Bài tập 28: 28

Ba dây rất dài song song, mỗi dây mang dòng I theo chiều trong Hình E28.28. Khoảng cách giữa hai dây kề nhau là d. Tính độ lớn và chiều tổng hợp trên mỗi dây trên một đơn vị chiều dài.

Ba dây song song với chiều dòng như hình

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dòng ở hai dây ngoài cùng cùng chiều, còn dòng ở dây giữa ngược chiều. Khoảng cách giữa hai dây kề nhau là $d$.

Hướng đi:

• Lực trên một đơn vị dài giữa hai dây là $f/L={\mu }_0{I}^2/(2\pi r)$. Cộng lực hút/đẩy theo trục nối các dây.

Các bước giải: Trên dây giữa, hai dây ngoài đẩy với độ lớn bằng nhau theo hai chiều đối nhau nên lực tổng hợp bằng không. Với dây trên, dây giữa cách d và đẩy dây trên ra ngoài, còn dây dưới cách 2d và hút dây trên về phía dưới. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}\frac{F_{\mathrm{top}}}{L}& =\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi d}-\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi (2d)}\\ & =\frac{{\mu }_0{I}^2}{4\pi d}.\end{array}$$

Hướng là ra xa dây giữa. Dây dưới chịu lực cùng độ lớn, hướng ra xa dây giữa theo phía đối diện.

Bài tập 28: 29

Hai dây song song dài cách nhau $\mathrm{0,400}\mathrm{m}$ như Hình E28.29, mang dòng $I_1=5,00\mathrm{A}$ và $I_2=2,00\mathrm{A}$. (a) Tính độ lớn lực mỗi dây tác dụng lên đoạn dài $1,20\mathrm{m}$ của dây kia. Lực hút hay đẩy? (b) Nếu tăng dòng thành $10,0\mathrm{A}$ và $4,00\mathrm{A}$, lực mới là bao nhiêu?

Hai dây song song cách 0,400 m mang dòng ngược chiều

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $r=\mathrm{0,400}\mathrm{m}$ và $L=1,20\mathrm{m}$. Hai dòng ban đầu ngược chiều như hình.

Hướng đi:

• Dùng $F/L={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi r)$. Hai dòng ngược chiều nên đẩy nhau. Khi mỗi dòng tăng gấp đôi, tích $I_1{I}_2$ tăng gấp bốn.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}\frac{F_1}{L}& =\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi r}\\ & =5,00\times {10}^{-6}\mathrm{N}/\mathrm{m},\\ F_1& =(5,00\times {10}^{-6})(1,20)\\ & =6,00\mu \mathrm{N}.\end{array}$$

Khi mỗi dòng tăng gấp đôi, lực tăng gấp bốn:

$$F_2=4F_1=24,0\mu \mathrm{N}.$$

Mỗi dây chịu lực đẩy bằng độ lớn và ngược chiều lực tác dụng lên dây kia.

Bài tập 28: 30

Hai dây dài song song cách nhau $2,50\mathrm{cm}$. Lực trên một đơn vị chiều dài giữa chúng là $4,00\times {10}^{-5}\mathrm{N}/\mathrm{m}$ và hai dây đẩy nhau. Một dây mang dòng $\mathrm{0,600}\mathrm{A}$. (a) Tìm dây còn lại. (b) Hai dòng cùng chiều hay ngược chiều?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $r=\mathrm{0,025}0\mathrm{m}$, $f/L=4,00\times {10}^{-5}\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $I_1=\mathrm{0,600}\mathrm{A}$.

Hướng đi:

• Giải ngược từ $f/L={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi r)$. Lực đẩy giữa hai dây song song cho biết ngược chiều.

Các bước giải:

$$I_2=\frac{(f/L)2\pi r}{{\mu }_0{I}_1}=8,33\mathrm{A}.$$

Do hai dây đẩy nhau, trong chúng ngược chiều.

Bài tập 28.31–28.60

Vòng dây và trường từ tĩnh

Bài tập 28: 31

trong não. quanh đầu người được đo xấp xỉ $3,0\times {10}^{-8}\mathrm{G}$. Các dòng điện tạo ra trường này rất phức tạp, nhưng có thể ước lượng độ lớn của chúng bằng cách mô hình hóa thành một vòng dòng điện tròn duy nhất, đường kính $16\mathrm{cm}$ (bề rộng của đầu người). Dòng điện cần có là bao nhiêu để tạo trường ấy tại tâm vòng?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tại tâm vòng có $B=3,0\times {10}^{-8}\mathrm{G}$. Đường kính vòng $d=16\mathrm{cm}$. Cần tìm dòng $I$.

Hướng đi:

• Đổi gauss sang tesla, rồi dùng trường tại tâm một vòng tròn $B={\mu }_{0}I/(2a)$.
• Đường kính đã cho nên bán kính là $a=d/2$.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}B& =3,0\times {10}^{-8}\mathrm{G}\\ & =3,0\times {10}^{-12}\mathrm{T},\\ a& =\mathrm{0,080}\mathrm{m}.\end{array}$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{2aB}{{\mu }_0}\\ & =\frac{2(\mathrm{0,080})(3,0\times {10}^{-12})}{4\pi \times {10}^{-7}}\\ & =3,82\times {10}^{-7}\mathrm{A}.\end{array}$$

Đây là mô hình ước lượng: Nó thay toàn bộ các dòng phân bố phức tạp quanh đầu bằng một vòng tương đương.

Bài tập 28: 32

Tính độ lớn và chiều của tại điểm $P$ do đoạn dây hình bán nguyệt trong Hình E28.32 tạo ra. Gợi ý: Đoạn dây thẳng dài có tạo trường tại $P$ không?

Đoạn dây hình bán nguyệt bán kính R cùng hai đoạn thẳng hướng tâm tại P

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dòng $I$ chạy từ trái sang phải qua đoạn bán nguyệt bán kính $R$, theo chiều từ đầu trái lên vòng rồi xuống đầu phải. Hai đoạn dây thẳng nằm trên đường kính đi qua $P$.

Hướng đi:

• Dùng kết quả cho cung tròn góc $\varphi$: $B={\mu }_{0}I\varphi /(4\pi R)$.
• Hai đoạn thẳng không góp trường vì tại mọi phần tử của chúng, $d\overrightarrow{l}$ song song với vectơ nối phần tử đến $P$.

Các bước giải: Cung bán nguyệt chắn góc $\varphi =\pi$, do đó:

$$B_P=\frac{{\mu }_{0}I\pi }{4\pi R}=\frac{{\mu }_{0}I}{4R}.$$

đi quanh cung từ trái sang phải theo nửa đường phía trên, tức theo chiều kim đồng hồ khi nhìn vào hình. Quy tắc bàn tay phải cho biết trường tại tâm hướng vào mặt giấy. Các đoạn thẳng hướng tâm không tạo trường tại $P$ vì $d\overrightarrow{l}\times \hat{r}$ bằng không.

Bài tập 28: 33

Tính độ lớn tại điểm $P$ trong Hình E28.33 theo $R$, $I_1$ và $I_2$. Biểu thức thu được bằng bao nhiêu khi $I_1=I_2$?

Hai bán nguyệt đồng tâm mang dòng I1 và I2 cùng chiều dọc theo các đoạn thẳng nối

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai bán nguyệt đồng tâm bán kính $R$ mang các dòng $I_1$ và $I_2$. Trong hình, cả hai dòng đều đi từ trái sang phải trên đoạn thẳng nối, nên dòng trên cung trên chạy theo chiều kim đồng hồ, còn dòng trên cung dưới chạy ngược chiều kim đồng hồ.

Hướng đi:

• Hai đoạn thẳng nối nằm trên đường qua $P$, nên không tạo trường tại đó.
• Mỗi cung bán nguyệt tạo trường có độ lớn ${\mu }_{0}I/(4R)$.
• Hai trường ngược chiều nhau, vì vậy lấy hiệu đại số.

Các bước giải: Chọn chiều ra khỏi mặt giấy là chiều dương. Cung dưới đóng góp $+{\mu }_0{I}_2/(4R)$, còn cung trên đóng góp $-{\mu }_0{I}_1/(4R)$. Do đó:

$${\overrightarrow{B}}_P=\frac{{\mu }_0}{4R}(I_2-I_1)\hat{k}.$$

Độ lớn và chiều là:

$$B_P=\frac{{\mu }_0|I_2-I_1|}{4R}.$$

Nếu $I_1=I_2$, hai đóng góp triệt tiêu hoàn toàn và $B_P=0$.

Bài tập 28: 34

Một cuộn dây tròn quấn sít có bán kính $2,40\mathrm{cm}$ và $800$ vòng. (a) trong cuộn phải bằng bao nhiêu để trường tại tâm là $\mathrm{0,077}0\mathrm{T}$? (b) Trên trục cuộn dây, điểm nào cách tâm bao xa thì trường bằng một nửa trường tại tâm?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $a=\mathrm{0,024}0\mathrm{m}$, $N=800$, $B(0)=\mathrm{0,077}0\mathrm{T}$. Tìm $I$ và vị trí $x$ sao cho $B(x)=B(0)/2$.

Hướng đi:

• Dùng trường tâm của cuộn $N$ vòng để tìm dòng.
• Với phần (b), chia biểu thức trường trên trục cho trường tại tâm để khử $N$, $I$ và ${\mu }_0$.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}B(0)& =\frac{{\mu }_{0}NI}{2a},\\ I& =\frac{2aB(0)}{{\mu }_{0}N}\\ & =\frac{2(\mathrm{0,024}0)(\mathrm{0,077}0)}{(4\pi \times {10}^{-7})(800)}\\ & =3,68\mathrm{A}.\end{array}$$

Trên trục, tỉ số trường so với tâm là:

$$\frac{B(x)}{B(0)}=\frac{a^3}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}.$$

Đặt tỉ số bằng $1/2$:

$$\begin{array}{rl}\frac{B(x)}{B(0)}& =\frac{1}{2},\\ \frac{a^3}{(x^2+a^2{)}^{3/2}}& =\frac{1}{2}.\end{array}$$

Từ đó:

$$\begin{array}{rl}\frac{x}{a}& =\sqrt{2^{2/3}-1}=\mathrm{0,766.}\\ x& =1,84\mathrm{cm}.\end{array}$$

Có hai điểm đối xứng qua tâm, $x=\pm 1,84\mathrm{cm}$.

Bài tập 28: 35

Hai vòng dây tròn đồng tâm nằm trên mặt bàn, vòng này nằm bên trong vòng kia. Đường kính vòng trong là $20,0\mathrm{cm}$ và dòng chạy theo chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống, có độ lớn $12,0\mathrm{A}$. Vòng ngoài có đường kính $30,0\mathrm{cm}$. Dòng trong vòng ngoài phải có độ lớn và chiều nào (nhìn từ trên xuống) để tổng tại tâm bằng không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vòng trong có $a_1=\mathrm{0,100}\mathrm{m}$, $I_1=12,0\mathrm{A}$ theo chiều kim đồng hồ. Vòng ngoài có $a_2=\mathrm{0,150}\mathrm{m}$. Cần triệt tiêu trường tại tâm.

Hướng đi:

• Trường tâm của một vòng tỉ lệ với $I/a$.
• Để tổng bằng không, hai trường phải ngược chiều, nên hai dòng phải chạy ngược chiều khi nhìn từ cùng phía.

Các bước giải: Đặt độ lớn hai trường bằng nhau:

$$\frac{{\mu }_0{I}_1}{2a_1}=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2a_2}.$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}\frac{I_2}{I_1}& =\frac{a_2}{a_1}\\ & =\frac{\mathrm{0,150}}{\mathrm{0,100}}=1,50,\\ I_2& =18,0\mathrm{A}.\end{array}$$

Dòng trong vòng ngoài phải ngược chiều kim đồng hồ, để trường của nó hướng ra khỏi mặt bàn và triệt tiêu trường hướng vào mặt bàn do vòng trong tạo ra.

Bài tập 28: 36

Một cuộn dây quấn sít bán kính $6,00\mathrm{cm}$ mang dòng $2,50\mathrm{A}$. Cuộn cần có bao nhiêu vòng để tại điểm trên trục cách tâm $6,00\mathrm{cm}$, trường có độ lớn $6,39\times {10}^{-4}\mathrm{T}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $a=x=\mathrm{0,060}0\mathrm{m}$, $I=2,50\mathrm{A}$, $B=6,39\times {10}^{-4}\mathrm{T}$. Tìm $N$.

Hướng đi:

• Dùng trường trên trục của cuộn $N$ vòng.
• Giải công thức theo $N$ vì các đại lượng còn lại đã biết.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_{0}NI{a}^2}{2(x^2+a^2{)}^{3/2}},\\ N& =\frac{2B(x^2+a^2{)}^{3/2}}{{\mu }_{0}I{a}^2}\\ & =69,0.\end{array}$$

Vậy cuộn cần khoảng 69 vòng. Kết quả gần số nguyên vì số liệu đầu vào có độ chính xác hữu hạn.

Định luật Ampere và các phân bố dòng điện

Bài tập 28: 37

Một đường kín bao quanh một số dây dẫn. đường $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}$ theo đường này bằng $3,83\times {10}^{-4}\mathrm{T}\mathrm{m}$. (a) Tổng đại số qua mặt do đường kín bao quanh bằng bao nhiêu? (b) Nếu đi quanh đường theo chiều ngược lại, tích phân có giá trị bao nhiêu? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=+3,83\times {10}^{-4}\mathrm{T}\mathrm{m}$. Tìm bao và khi đảo chiều đi.

Hướng đi:

• Áp dụng để suy ra đại số.
• Đổi chiều đường làm đổi dấu tích phân và chiều dương quy ước cho dòng.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{encl}}& =\frac{1}{{\mu }_0}\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}\\ & =\frac{3,83\times {10}^{-4}}{4\pi \times {10}^{-7}}\\ & =3,05\times {10}^2\mathrm{A}.\end{array}$$

Dòng tổng $305\mathrm{A}$ hướng theo ngón cái khi khum các ngón tay phải theo chiều ban đầu. Khi đi ngược chiều:

đảo dấu, nên nhận giá trị $-3,83\times {10}^{-4}\mathrm{T}\mathrm{m}$.

Khi ấy dòng dương quy ước cũng đảo chiều, nên quan hệ Ampere vẫn được thỏa mãn.

Bài tập 28: 38

Hình E28.38 biểu diễn mặt cắt của một số dây dẫn mang dòng xuyên qua mặt phẳng hình. Độ lớn các dòng là $I_1=4,0\mathrm{A}$, $I_2=6,0\mathrm{A}$ và $I_3=2,0\mathrm{A}$, theo chiều các ký hiệu trong hình. Bốn đường kín được ký hiệu $a$ đến $d$. Với mỗi đường, xác định tổng đại số được bao quanh rồi tính $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}$ theo chiều ngược kim đồng hồ.

Bốn đường kín a đến d bao các tổ hợp dây mang dòng I1, I2, I3

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dòng $I_1=4,0\mathrm{A}$ hướng vào mặt giấy, còn $I_2=6,0\mathrm{A}$ và $I_3=2,0\mathrm{A}$ hướng ra. Đường $a$ bao $I_3$, đường $b$ bao $I_1$, đường $c$ bao $I_1$ và $I_2$, đường $d$ bao cả ba.

Hướng đi:

• Với chiều ngược kim đồng hồ, dòng hướng ra khỏi mặt giấy là dương.
• Tính tổng đại số dòng được mỗi đường bao rồi nhân với ${\mu }_0$.

Các bước giải:

cho mỗi đường $C$ giá trị ${\oint }_C\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{encl}}$. Kết quả cụ thể:

Đường a: Bao dòng 2,0 A hướng ra.

$$I_a=+2,0\mathrm{A},{\oint }_a\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=+2,51\times {10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}.$$

Đường b: Bao dòng 4,0 A hướng vào.

$$I_b=-4,0\mathrm{A},{\oint }_b\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=-5,03\times {10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}.$$

Đường c: Bao hai dòng 4,0 A vào và 6,0 A ra.

$$I_c=-4,0+6,0=+2,0\mathrm{A},{\oint }_c\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=+2,51\times {10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}.$$

Đường d: Bao cả ba dòng.

$$I_d=-4,0+6,0+2,0=+4,0\mathrm{A},{\oint }_d\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=+5,03\times {10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}.$$

Dòng không nằm trong một đường kín có thể tạo trường trên đường đi. Tuy vậy, nó không góp vào quanh đường kín ấy.

Bài tập 28: 39

Cáp đồng trục gồm lõi đặc bán kính a và ống dẫn ngoài có bán kính trong b, ngoài c

Một dây dẫn đặc bán kính $a$ được đỡ bằng các đĩa cách điện trên trục của một ống dẫn điện rỗng, bán kính trong $b$ và bán kính ngoài $c$. Lõi và ống mang hai dòng bằng nhau $I$ nhưng ngược chiều. Mỗi dòng phân bố đều trên tiết diện dây dẫn tương ứng. Hãy suy ra biểu thức độ lớn trường từ (a) tại các điểm ngoài lõi đặc nhưng nằm trong ống, $a<r<b$, và (b) bên ngoài ống, $r>c$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lõi đặc mang dòng $+I$ và vỏ trụ mang dòng $-I$, phân bố đều. Cần tìm $B$ trong khe $a<r<b$ và ngoài cáp $r>c$.

Hướng đi:

• Chọn đường tròn Ampere đồng tâm với cáp.
• Trong khe, đường bao toàn bộ dòng lõi nhưng chưa bao vỏ.
• Bên ngoài, đường bao cả hai dòng và tổng dòng đại số bằng không.

Các bước giải:

(a) Trong khe $a<r<b$: $I_{\mathrm{encl}}=I$. Đối xứng trụ cho $B$ không đổi và tiếp tuyến trên đường tròn:

$$\begin{array}{rl}2\pi rB& ={\mu }_{0}I,\\ B& =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.\end{array}$$

(b) Ngoài ống $r>c$: Dòng bao là $I-I=0$. Do đó:

$$B(2\pi r)=0,B(r)=0.$$

Kết luận bên ngoài bằng không dựa trên cả lẫn đối xứng, vốn buộc trường trên đường tròn phải có cùng độ lớn.

Bài tập 28: 40

Là một kỹ thuật viên điện mới, bạn được giao thiết kế một lớn để tạo đều $\mathrm{0,150}\mathrm{T}$ gần tâm. Bạn có đủ dây để quấn $4000$ vòng. Ống dây dài $55,0\mathrm{cm}$ và đường kính $2,80\mathrm{cm}$. Cần bao nhiêu để tạo trường yêu cầu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $B=\mathrm{0,150}\mathrm{T}$, $N=4000$, $L=\mathrm{0,550}\mathrm{m}$. Tìm $I$.

Hướng đi:

• Dùng gần đúng $B={\mu }_{0}nI$ với mật độ vòng $n=N/L$.
• gấp gần 20 lần đường kính nên vùng giữa phù hợp mô hình này.

Các bước giải: Mật độ vòng là $n=N/L=7,27\times {10}^3{\mathrm{m}}^{-1}$. Do đó ${\mu }_{0}n=9,14\times {10}^{-3}\mathrm{T}/\mathrm{A}$.

$$I=\frac{\mathrm{0,150}}{9,14\times {10}^{-3}}=16,4\mathrm{A}.$$

Bài tập 28: 41

Làm lại bài 28.39 trong trường hợp ở lõi đặc là $I_1$, dòng trong ống dẫn ngoài là $I_2$, và hai dòng cùng chiều thay vì ngược chiều.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lõi có bán kính $a$ và mang dòng $I_1$. Vỏ trụ dẫn điện chiếm miền $b<r<c$ và mang dòng $I_2$ cùng chiều. Cần tìm trường trong khe $a<r<b$ và ngoài vỏ $r>c$.

Hướng đi:

• Chọn đường tròn Ampere đồng tâm.
• Trong khe, đường bao toàn bộ $I_1$ nhưng chưa bao $I_2$.
• Ngoài vỏ, đường bao cả hai dòng cùng dấu.

Các bước giải: Với $a<r<b$:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{encl}}& =I_1,\\ B& =\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi r}.\end{array}$$

Với $r>c$:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{encl}}& =I_1+I_2,\\ B& =\frac{{\mu }_0(I_1+I_2)}{2\pi r}.\end{array}$$

Khác trường hợp dòng ngược chiều, dòng bao ngoài vỏ không triệt tiêu.

Bài tập 28: 42

Một $15,0\mathrm{cm}$, bán kính $\mathrm{0,750}\mathrm{cm}$, được quấn sít bằng $600$ vòng dây. Dòng trong cuộn dây là $8,00\mathrm{A}$. Tính tại một điểm gần tâm ống dây.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $N=600$, $L=\mathrm{0,150}\mathrm{m}$, $I=8,00\mathrm{A}$. Tìm trường gần tâm.

Hướng đi:

• Dùng mô hình quấn sít, $B={\mu }_0(N/L)I$.
• Điểm gần tâm, xa hai đầu, nên trường gần đều.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}B& ={\mu }_{0}nI\\ & ={\mu }_0(3,20\times {10}^4)\\ & =4,02\times {10}^{-2}\mathrm{T}.\end{array}$$

Ở đây mật độ vòng là $n=4,00\times {10}^3{\mathrm{m}}^{-1}$.

Bài tập 28: 43

Một được thiết kế để tạo trường $\mathrm{0,027}0\mathrm{T}$ tại tâm. Ống có bán kính $1,40\mathrm{cm}$, chiều dài $40,0\mathrm{cm}$ và dây chịu được dòng tối đa $12,0\mathrm{A}$. (a) Mật độ vòng tối thiểu phải là bao nhiêu? (b) Cần tổng chiều dài dây xấp xỉ bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $B=\mathrm{0,027}0\mathrm{T}$, $a=\mathrm{0,014}0\mathrm{m}$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{m}$, $I_{max}=12,0\mathrm{A}$. Tìm $n_{min}$ và chiều dài dây.

Hướng đi:

• Trong , $B={\mu }_{0}nI$.
• Muốn số vòng tối thiểu thì dùng dòng lớn nhất cho phép.
• Sau đó tính $N=nL$ và nhân chu vi mỗi vòng $2\pi a$.

Các bước giải:

Từ $B={\mu }_{0}nI$, mật độ vòng tối thiểu là $n_{min}=B/({\mu }_0{I}_{max})$.

Vì ${\mu }_0{I}_{max}=\mathrm{1,508}\times {10}^{-5}\mathrm{T}\mathrm{m}$:

Vì $\mathrm{0,027}0/\mathrm{1,508}=\mathrm{0,017}90$:

$$n_{min}=\mathrm{1,790}\times {10}^3.$$

Đơn vị của $n_{min}$ là vòng trên mỗi mét.

Số vòng liên tục tối thiểu là $nL=716,2$. Vì số vòng phải nguyên, cần quấn ít nhất $N=717$ vòng. Bỏ qua độ dài tăng thêm do dây đi theo đường xoắn sít:

$$\begin{array}{rl}{\ell }_{\mathrm{wire}}& \approx N(2\pi a)\\ & =(717)(2\pi )(\mathrm{0,014}0)\\ & \approx 63,1\mathrm{m}.\end{array}$$

Bài tập 28: 44

Một lý tưởng có bán kính trong $r_1=15,0\mathrm{cm}$ và bán kính ngoài $r_2=18,0\mathrm{cm}$. Cuộn có $250$ vòng và mang dòng $8,50\mathrm{A}$. Tính độ lớn tại ba khoảng cách tới tâm xuyến sau.

• (a) $12,0\mathrm{cm}$.
• (b) $16,0\mathrm{cm}$.
• (c) $20,0\mathrm{cm}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lõi xuyến chiếm miền $\mathrm{0,150}<r<\mathrm{0,180}\mathrm{m}$, có $N=250$, $I=8,50\mathrm{A}$. Tính trường trong lỗ, trong lõi và ngoài xuyến.

Hướng đi:

• Trong mô hình xuyến lý tưởng, trường bằng không nếu đường tròn Ampere không bao dòng đại số.
• Trong lõi, dùng $B={\mu }_{0}NI/(2\pi r)$.

Các bước giải:

• (a) $r=\mathrm{0,120}\mathrm{m}<r_1$. Đường đi không bao dòng, nên $B=0$.
• (b) $r=\mathrm{0,160}\mathrm{m}$ nằm trong lõi:

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\\ & =2,00\times {10}^{-7}\frac{2125}{\mathrm{0,160}}\\ & =2,66\times {10}^{-3}\mathrm{T}.\end{array}$$

• (c) $r=\mathrm{0,200}\mathrm{m}>r_2$. Với xuyến lý tưởng, dòng đại số được bao bên ngoài bằng không, nên $B=0$.

Bài tập 28: 45

Phòng thí nghiệm Francis Bitter của MIT đã đạt $37,2\mathrm{T}$. Tìm cần có để tạo trường ấy trong từng cấu hình dưới đây.

• (a) Tại điểm cách dây thẳng dài $2,00\mathrm{cm}$.
• (b) Tại tâm cuộn tròn bán kính $42,0\mathrm{cm}$ gồm $100$ vòng.
• (c) Gần tâm bán kính $2,40\mathrm{cm}$, dài $32,0\mathrm{cm}$ và có $40000$ vòng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cùng một trường đích $B=37,2\mathrm{T}$. Tìm dòng cho dây thẳng, cuộn tròn nhiều vòng và .

Hướng đi:

• Dùng công thức trường phù hợp với từng hình học.
• Dây thẳng cần $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$, cuộn tròn ở tâm cần $B={\mu }_{0}NI/(2a)$, còn dùng $B={\mu }_0(N/L)I$.

Các bước giải:

(a) Dây thẳng dài:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{2\pi rB}{{\mu }_0}\\ & =\frac{\mathrm{0,744}}{2,00\times {10}^{-7}}\\ & =3,72\times {10}^6\mathrm{A}.\end{array}$$

(b) Cuộn tròn $N=100$ vòng:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{2aB}{{\mu }_{0}N}\\ & =\frac{\mathrm{31,248}}{\mathrm{1,257}\times {10}^{-4}}\\ & =2,49\times {10}^5\mathrm{A}.\end{array}$$

(c) : Cuộn có $N=40000$ vòng và chiều dài $L=\mathrm{0,320}\mathrm{m}$, nên $n=N/L=1,25\times {10}^5{\mathrm{m}}^{-1}$. Khi đó ${\mu }_{0}n=\mathrm{0,157}1\mathrm{T}/\mathrm{A}$, nên:

$$I=\frac{37,2}{\mathrm{0,157}1}=237\mathrm{A}.$$

Các giá trị rất khác nhau vì mỗi cấu hình phân bố khác nhau. Với , hàng chục nghìn vòng cùng đóng góp trường tại tâm.

Bài tập 28: 46

Một có $400$ vòng, bán kính trung bình $6,0\mathrm{cm}$, mang dòng $0,25\mathrm{A}$. Lõi có $K_m=80$. (a) trong lõi bằng bao nhiêu? (b) Phần nào của trường là do các nguyên tử trong lõi tạo ra?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $N=400$, $r=\mathrm{0,060}\mathrm{m}$, $I=0,25\mathrm{A}$, $K_m=80$. Tách trường tổng thành trường do dòng dây và phần do .

Hướng đi:

• Trường chân không của xuyến là $B_0={\mu }_{0}NI/(2\pi r)$.
• Với lõi tuyến tính, trường tổng $B=K_m{B}_0$, còn phần do mômen nguyên tử là $B-B_0$.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}{B}_0& =\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\\ & =2,00\times {10}^{-7}\frac{100}{\mathrm{0,060}}\\ & =3,33\times {10}^{-4}\mathrm{T},\\ B& =K_m{B}_0=80B_0\\ & =2,67\times {10}^{-2}\mathrm{T}.\end{array}$$

Đóng góp của các nguyên tử là:

$$B_{\mathrm{atom}}=B-B_0=2,63\times {10}^{-2}\mathrm{T}.$$

Tỉ phần của trường tổng bằng $1-1/K_m=79/80=98,75\mathrm{\%}$.

Bài tập 28: 47

Một có $60$ vòng trên mỗi centimet, mang dòng $0,15\mathrm{A}$. Dây cuộn được cách điện và quấn quanh lõi thép silic có $K_m=5200$, nên dòng không chạy vào lõi.

(a) Tại một điểm bên trong lõi, hãy tìm độ lớn của ba đại lượng sau:

1. Trường ${\overrightarrow{B}}_0$ do trong tạo ra.
2. $\overrightarrow{M}$.
3. Trường tổng $\overrightarrow{B}$.

(b) Vẽ và lõi, biểu diễn chiều của $\overrightarrow{B}$, ${\overrightarrow{B}}_0$ và $\overrightarrow{M}$ trong lõi.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $n=60\mathrm{turns}/\mathrm{cm}=6000{\mathrm{m}}^{-1}$, $I=0,15\mathrm{A}$, $K_m=5200$. Tính trường do dòng tự do, và trường tổng.

Hướng đi:

• Với , $B_0={\mu }_{0}nI$.
• Trong mô hình tuyến tính, dùng $B=K_m{B}_0$ để tìm trường tổng, rồi dùng $B=B_0+{\mu }_{0}M$ để suy .
• Vì lõi là thép, xem $K_m$ không đổi là giả thiết đơn giản hóa của bài.

Các bước giải:

Với $nI=900\mathrm{A}/\mathrm{m}$:

$$\begin{array}{rl}{B}_0& ={\mu }_{0}nI\\ & =1,13\times {10}^{-3}\mathrm{T}.\\ M& =(K_m-1)nI\\ & =5199(900)\\ & =4,68\times {10}^6\mathrm{A}/\mathrm{m}.\\ B& =K_m{B}_0=5,88\mathrm{T}.\end{array}$$

(b) Vì $K_m>1$, cùng chiều ${\overrightarrow{B}}_0$. Do đó $\overrightarrow{B}$, ${\overrightarrow{B}}_0$ và $\overrightarrow{M}$ đều song song và cùng chiều với trục trong lõi.

Hình lời giải 28.47: Ống dây có lõi thép với ba vector trường dòng ngoài, từ hóa và trường tổng cùng hướng.

Bài tập 28: 48

Dòng trong các vòng dây của một là $\mathrm{2,400}\mathrm{A}$. Cuộn có $500$ vòng và bán kính trung bình $25,00\mathrm{cm}$. Lõi từ có trường $\mathrm{1,940}\mathrm{T}$. Tính (a) và (b) của vật liệu lõi.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=\mathrm{2,400}\mathrm{A}$, $N=500$, $r=\mathrm{0,250}0\mathrm{m}$, $B=\mathrm{1,940}\mathrm{T}$. Tìm $K_m$ và ${\chi }_m$.

Hướng đi:

• Trước hết tính trường $B_0$ khi thay lõi bằng chân không.
• Tỉ số $B/B_0$ là trong mô hình tuyến tính, sau đó ${\chi }_m=K_m-1$.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}{B}_0& =\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\\ & =9,60\times {10}^{-4}\mathrm{T},\\ K_m& =\frac{B}{B_0}\\ & =\mathrm{2,021}\times {10}^3,\\ {\chi }_m& =K_m-1\\ & =\mathrm{2,020}\times {10}^3.\end{array}$$

Bài toán tổng hợp

Bài tập 28: 49

Hai điện tích chuyển động trong mặt phẳng xy, cùng tạo từ trường tại gốc O

Hai điểm $q=+8,00\mu \mathrm{C}$ và $q^{\prime }=-5,00\mu \mathrm{C}$ chuyển động như Hình P28.49 với tốc độ lần lượt $v=9,00\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và $v^{\prime }=6,50\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tại thời điểm trong hình, hãy tìm độ lớn và chiều của các đại lượng sau.

• (a) do hai tạo ra tại gốc tọa độ.
• (b) do $q^{\prime }$ tác dụng lên $q$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $q$ ở $(0,\mathrm{0,300}\mathrm{m})$ chuyển động theo $+x$. $q^{\prime }$ ở $(\mathrm{0,400}\mathrm{m},0)$ chuyển động theo $+y$. Tính trường tại $O$ và lực lên $q$ do của $q^{\prime }$.

Hướng đi:

• Với mỗi , dùng $\overrightarrow{B}=({\mu }_0/4\pi )q\overrightarrow{v}\times \hat{r}/r^2$, trong đó $\hat{r}$ luôn hướng từ điện tích đến điểm khảo sát.
• Cộng trường theo vectơ.
• Phần lực dùng $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$.

Các bước giải:

(a) tại gốc: Với $q$, vectơ từ nguồn đến $O$ hướng $-y$. Tích $+x\times (-y)$ hướng vào mặt giấy. Vì $q>0$, ${\overrightarrow{B}}_q$ hướng vào mặt giấy. Với $q^{\prime }$, vectơ từ nguồn đến $O$ hướng $-x$. Tích $+y\times (-x)$ hướng ra mặt giấy, nhưng $q^{\prime }<0$ đảo chiều trường, nên ${\overrightarrow{B}}_{q^{\prime }}$ cũng hướng vào mặt giấy.

$$\begin{array}{rl}{B}_q& =\frac{7,20\times {10}^{-8}}{(\mathrm{0,300}{)}^2}\\ & =\mathrm{0,800}\mu \mathrm{T},\\ B_{q^{\prime }}& =\frac{3,25\times {10}^{-8}}{(\mathrm{0,400}{)}^2}\\ & =\mathrm{0,203}\mu \mathrm{T}.\end{array}$$

Hai trường cùng chiều, nên $B=\mathrm{1,003}\mu \mathrm{T}\approx 1,00\mu \mathrm{T}$, hướng vào mặt giấy.

(b) Lực do $q^{\prime }$ tác dụng lên $q$: Khoảng cách giữa hai là $r=\sqrt{{\mathrm{0,400}}^2+{\mathrm{0,300}}^2}=\mathrm{0,500}\mathrm{m}$. Vectơ từ $q^{\prime }$ đến $q$ là $(-\mathrm{0,400}\hat{i}+\mathrm{0,300}\hat{j})\mathrm{m}$. Do đó trường của $q^{\prime }$ tại $q$ có độ lớn:

$$\begin{array}{rl}{B}_{q^{\prime }\to q}& =\frac{1,30\times {10}^{-8}}{(\mathrm{0,500}{)}^3}\\ & =1,04\times {10}^{-7}\mathrm{T}.\end{array}$$

Tích ${\overrightarrow{v}}_q\times {\overrightarrow{B}}_{q^{\prime }\to q}$ hướng lên theo $+y$. Vì chịu lực là $q>0$, lực cũng hướng $+y$:

$$\begin{array}{rl}qv& =\mathrm{0,720}\mathrm{C}\mathrm{m}/\mathrm{s},\\ F& =(\mathrm{0,720})(1,04\times {10}^{-7})\\ & =7,49\times {10}^{-8}\mathrm{N}.\end{array}$$

Bài tập 28: 50

Tại một thời điểm, $q_1=+4,80\times {10}^{-6}\mathrm{C}$ ở $(0,\mathrm{0,250}\mathrm{m},0)$ và có vận tốc ${\overrightarrow{v}}_1=(9,20\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s})\hat{i}$. Điện tích $q_2=-2,90\times {10}^{-6}\mathrm{C}$ ở $(\mathrm{0,150}\mathrm{m},0,0)$ và có vận tốc ${\overrightarrow{v}}_2=(-5,30\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s})\hat{j}$. Tại thời điểm ấy, hãy tìm độ lớn và chiều của do $q_1$ tác dụng lên $q_2$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tính trường do $q_1$ tại vị trí $q_2$, rồi tính lên $q_2$. Vectơ phân cách từ $q_1$ đến $q_2$ là $(\mathrm{0,150}\hat{i}-\mathrm{0,250}\hat{j})\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Trường do $q_1$ tỷ lệ với $q_1{\overrightarrow{v}}_1\times \overrightarrow{r}$.
• Vì ${\overrightarrow{v}}_1$ hướng $+x$ và thành phần vuông góc của $\overrightarrow{r}$ hướng $-y$, trường hướng $-z$.
• Sau đó dùng dấu âm của $q_2$ để xác định chiều lực.

Các bước giải: $r=\sqrt{{\mathrm{0,150}}^2+{\mathrm{0,250}}^2}=\mathrm{0,291}5\mathrm{m}$. Thành phần của $\overrightarrow{r}$ vuông góc ${\overrightarrow{v}}_1$ có độ lớn $\mathrm{0,250}\mathrm{m}$.

Vì $r^3=(\mathrm{0,291}5{)}^3=\mathrm{0,024}78{\mathrm{m}}^3$:

$$\begin{array}{rl}{B}_1& =\frac{\mathrm{1,104}\times {10}^{-7}}{\mathrm{0,024}78}\\ & =4,45\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

hướng theo $-z$. Vận tốc ${\overrightarrow{v}}_2$ hướng $-y$, nên ${\overrightarrow{v}}_2\times {\overrightarrow{B}}_1$ hướng $+x$. Vì $q_2$ âm, lực đảo sang $-x$:

Với $|q_2|v_2=\mathrm{1,537}\mathrm{C}\mathrm{m}/\mathrm{s}$:

$$F_{12}=6,85\times {10}^{-6}\mathrm{N}.$$

Vậy lực hướng theo $-x$.

Bài tập 28: 51

Một dây thẳng dài nằm trên trục $x$ và mang dòng $I_1=2,00\mathrm{A}$ theo $+x$. Dây thứ hai nằm trong mặt phẳng $xy$, song song với trục $x$ tại $y=+\mathrm{0,800}\mathrm{m}$, mang dòng $I_2=6,00\mathrm{A}$ cũng theo $+x$. Ngoài các vị trí ở vô cực nơi trường tiến tới không, tại điểm nào trên trục $y$ trường tổng bằng không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây song song tại $y=0$ và $y=\mathrm{0,800}\mathrm{m}$, mang dòng cùng chiều $I_1=2,00\mathrm{A}$, $I_2=6,00\mathrm{A}$. Tìm vị trí hữu hạn trên trục $y$ nơi hai trường triệt tiêu.

Hướng đi:

• Giữa hai dây, quy tắc bàn tay phải cho hai trường ngược chiều.
• Bên ngoài khoảng giữa, hai trường cùng chiều nên không thể triệt tiêu.
• Trong khoảng giữa, đặt độ lớn hai trường bằng nhau.

Các bước giải: Gọi vị trí cần tìm là $y$, với $0<y<\mathrm{0,800}\mathrm{m}$:

$$\begin{array}{rl}2,00(\mathrm{0,800}-y)& =6,00y,\\ y& =\mathrm{0,200}\mathrm{m}.\end{array}$$

Điểm triệt tiêu nằm giữa hai dây và cách dây 1 khoảng $20,0\mathrm{cm}$.

Bài tập 28: 52

Làm lại bài 28.51 khi dòng $I_2$ hướng theo $-x$, còn mọi dữ kiện khác giữ nguyên.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây 1 tại $y=0$ mang $2,00\mathrm{A}$ theo $+x$. Dây 2 tại $y=\mathrm{0,800}\mathrm{m}$ mang $6,00\mathrm{A}$ theo $-x$. Tìm vị trí hữu hạn có trường tổng bằng không.

Hướng đi:

• Giữa hai dây, hai trường cùng chiều nên không thể triệt tiêu.
• Bên ngoài, chúng ngược chiều.
• So sánh độ lớn trường ở phía $y<0$ và $y>\mathrm{0,800}\mathrm{m}$ để chọn miền nghiệm trước khi giải.

Các bước giải: Ở phía $y<0$, khoảng cách đến dây 1 là $-y$ và đến dây 2 là $\mathrm{0,800}-y$. Đặt hai độ lớn bằng nhau:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{1,600}-2,00y& =-6,00y,\\ 4,00y& =-\mathrm{1,600},\\ y& =-\mathrm{0,400}\mathrm{m}.\end{array}$$

Nghiệm thuộc đúng miền $y<0$. Ở phía phải dây 2, phương trình cân bằng sẽ đòi hỏi khoảng cách âm nên không có nghiệm tại đó.

Bài tập 28: 53

Có thể ước lượng độ mạnh của một nam châm tủ lạnh bằng cách xem nó như tập hợp các lưỡng cực từ dạng vòng . (a) Suy ra lực giữa hai vòng dây giống nhau, bán kính $R$, dòng $I$, cách nhau khoảng $d\ll R$. Rất gần dây, của vòng gần giống trường của dây thẳng dài, nên dùng được kết quả lực giữa hai dây song song. (b) Dùng trường tại tâm vòng để biểu diễn $I$ theo $B$, rồi biểu diễn $R$ theo diện tích vòng $A$. Từ đó suy ra lực $F$ theo $A$, trường tâm $B$ và khoảng cách nhỏ $d$. (c) Biến đổi để biểu diễn trường của một lưỡng cực có diện tích $A$ theo lực tách hai lưỡng cực giống nhau cách nhau $d$. (d) Ước lượng lực cần để tách nam châm khỏi tủ lạnh bằng lực cần để tách hai nam châm dính nhau. (e) Ước lượng diện tích một nam châm tủ lạnh. (f) Giả sử khi hai nam châm dính nhau, chúng cách nhau hiệu dụng $d=25\mathrm{mm}$. Dùng công thức vừa suy ra để ước lượng từ trường nam châm.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai vòng giống nhau bán kính $R$, dòng $I$, nằm đồng trục, cách $d\ll R$. Sau đó dùng các ước lượng lực và diện tích để suy ra $B$.

Hướng đi:

• Trên các đoạn dây đối diện gần nhau, coi hai dòng là song song.
• Lực trên mỗi đơn vị chiều dài là ${\mu }_0{I}^2/(2\pi d)$.
• xấp xỉ quanh chu vi $2\pi R$ cho lực giữa hai vòng.
• Dùng $B={\mu }_{0}I/(2R)$ để khử dòng.

Các bước giải:

(a) Lực giữa hai vòng:

$$F\approx \frac{{\mu }_0{I}^{2}R}{d}.$$

Đây là độ lớn. Hai vòng cùng chiều dòng hút nhau trong cấu hình đang xét.

(b) Viết theo $A$ và $B$: Tại tâm vòng $B={\mu }_{0}I/(2R)$, nên $I=2RB/{\mu }_0$. Mặt khác $R=\sqrt{A/\pi }$. Thay vào biểu thức lực:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{4B^2{R}^3}{{\mu }_{0}d}\\ & =\frac{4B^2}{{\mu }_{0}d}{\left(\frac{A}{\pi }\right)}^{3/2}.\end{array}$$

(c) Giải theo $B$:

$$B=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mu }_{0}Fd}{(A/\pi {)}^{3/2}}}.$$

(d)–(f) Ước lượng có nêu giả định: Chọn lực tách $F\approx 5\mathrm{N}$ và diện tích nam châm $A\approx 25{\mathrm{cm}}^2=2,5\times {10}^{-3}{\mathrm{m}}^2$. Đây là các ước lượng cho một nam châm nhỏ, không phải số đo của một mẫu cụ thể. Với $d=\mathrm{0,025}\mathrm{m}$:

$$R=\sqrt{\frac{A}{\pi }}=2,82\times {10}^{-2}\mathrm{m}.$$

Thay vào biểu thức trường:

$$B=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\mu }_{0}Fd}{R^3}}.$$

Với các giả định đã chọn, bình phương trường ước lượng là $\mathrm{1,749}\times {10}^{-3}{\mathrm{T}}^2$, nên:

$$B=\sqrt{\mathrm{1,749}\times {10}^{-3}}=4,18\times {10}^{-2}\mathrm{T}.$$

Do mô hình giả sử khoảng cách rất nhỏ so với bán kính, còn các kích thước và lực đều chỉ được ước lượng, kết quả chỉ cho bậc độ lớn.

Lực lên điện tích và dây dẫn

Bài tập 28: 54

Một dây thẳng dài mang dòng $8,60\mathrm{A}$. Một electron ở gần dây, cách dây $4,50\mathrm{cm}$, đang chuyển động trực tiếp về phía dây với tốc độ $6,00\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tìm độ lớn và chiều của do của tác dụng lên electron, mô tả chiều tương đối với dòng điện.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=8,60\mathrm{A}$, $r=\mathrm{0,045}0\mathrm{m}$, electron có tốc độ hướng xuyên tâm vào dây $v=6,00\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• dây dài có độ lớn $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$.
• Vì $\overrightarrow{v}$ hướng bán kính còn $\overrightarrow{B}$ tiếp tuyến, góc giữa chúng là ${90}^{\circ }$.
• Dùng $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, nhớ electron âm.

Các bước giải:

$$\begin{array}{rl}B& =3,82\times {10}^{-5}\mathrm{T},\\ ev& =\mathrm{9,613}\times {10}^{-15}\mathrm{C}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\\ F& =3,67\times {10}^{-19}\mathrm{N}.\end{array}$$

Để xác định chiều, gọi $\hat{\ell }$ là chiều và $\hat{r}$ hướng từ dây tới electron. Khi đó $\overrightarrow{B}$ hướng $\hat{\ell }\times \hat{r}$, còn vận tốc electron hướng $-\hat{r}$. cho lực của hạt âm hướng $+\hat{\ell }$. Lực cùng chiều dòng điện.

Bài tập 28: 55

Một dây thẳng dài mang dòng $13,0\mathrm{A}$. Electron được bắn song song với dây, cùng chiều , với tốc độ $250\mathrm{km}/\mathrm{s}$ và cách dây $2,00\mathrm{cm}$. (a) Tìm độ lớn và chiều gia tốc ban đầu của electron. (b) đều cần có độ lớn và chiều nào để electron tiếp tục chuyển động song song với dây? (c) Có cần tính đến trọng lực không? Hãy biện minh.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=13,0\mathrm{A}$, $r=\mathrm{0,020}0\mathrm{m}$, $v=2,50\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cùng chiều dây. Tính , gia tốc, cân bằng và so sánh trọng lực.

Hướng đi:

• Ở phía trên dây, trường từ xác định bằng quy tắc bàn tay phải.
• Electron âm nên chiều lực ngược $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$.
• Muốn vận tốc không đổi theo hướng thẳng, điện lực phải cân bằng .
• Trọng lực cần so với bằng độ lớn.

Các bước giải: Lấy dây theo $+x$ và electron ở phía $+y$. Khi đó $\overrightarrow{B}$ hướng $+z$, nên $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ hướng $-y$. âm làm hướng $+y$, ra xa dây.

$$\begin{array}{rl}B& =1,30\times {10}^{-4}\mathrm{T}.\\ F_B& =5,21\times {10}^{-18}\mathrm{N}.\\ a& =5,72\times {10}^{12}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Gia tốc hướng ra xa dây. Để bù , lực điện phải hướng vào dây. Vì electron mang âm, phải hướng ra xa dây:

$$E=32,5\mathrm{V}/\mathrm{m}.$$

Trọng lực electron chỉ có độ lớn $m_{e}g\approx 8,93\times {10}^{-30}\mathrm{N}$, nhỏ hơn khoảng $5,8\times {10}^{11}$ lần. Có thể bỏ qua trọng lực.

Bài tập 28: 56

Một electron chuyển động gần dây thẳng dài nằm dọc trục $x$. Dây mang dòng không đổi $9,00\mathrm{A}$ theo chiều $-x$. Tại thời điểm electron ở $(0,\mathrm{0,200}\mathrm{m},0)$, các thành phần vận tốc là $v_x=5,00\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và $v_y=-3,00\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tìm lực do dây tác dụng lên electron, biểu diễn theo các vectơ đơn vị và tính độ lớn.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây theo $x$ mang $-9,00\mathrm{A}$. Electron ở $y=\mathrm{0,200}\mathrm{m}$ có $\overrightarrow{v}=(5,00\times {10}^4\hat{i}-3,00\times {10}^4\hat{j})\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Tại phía $+y$, quy tắc bàn tay phải cho trường theo $-z$.
• Tính $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ theo từng thành phần rồi nhân với âm $-e$.

Các bước giải:

$$B=9,00\times {10}^{-6}\mathrm{T}.$$

Trường có hướng $-\hat{k}$.

Vì $\hat{i}\times \hat{k}=-\hat{j}$ và $\hat{j}\times \hat{k}=\hat{i}$, các thành phần là:

$$\begin{array}{rl}(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}{)}_x& =\mathrm{0,270}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot \mathrm{T},\\ (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}{)}_y& =\mathrm{0,450}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot \mathrm{T}.\end{array}$$

Vì electron mang $-e$:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =-4,33\times {10}^{-20}\mathrm{N},\\ F_y& =-7,21\times {10}^{-20}\mathrm{N}.\end{array}$$

Do đó $\overrightarrow{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}$.

Độ lớn là căn bậc hai của tổng bình phương hai thành phần:

$$\begin{array}{rl}{F}^2& =7,07\times {10}^{-39}{\mathrm{N}}^2,\\ F& =8,41\times {10}^{-20}\mathrm{N}.\end{array}$$

Ước lượng và từ trường của nhiều dây

Bài tập 28: 57

Công suất phát của điện thoại. (a) Xác định công suất truyền phát $P$ của điện thoại di động. Thông tin này có thể tra trực tuyến. (b) Pin điện thoại có hiệu điện thế $1,5\mathrm{V}$. Nếu pin cấp công suất $P$, hãy ước lượng pin cấp. (c) Ước lượng bề rộng đầu. (d) Ước lượng đường kính loa điện thoại đặt gần tai. Mô hình dòng điện trong loa như một vòng tròn có cùng đường kính với loa. Dùng các số liệu này để ước lượng do điện thoại tạo ra tại trung điểm giữa hai tai khi áp điện thoại gần một tai. (e) So sánh kết quả với từ trường Trái Đất, khoảng $50\mu \mathrm{T}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Gọi $P$ là công suất phát của một mẫu điện thoại cụ thể. Từ pin $1,5\mathrm{V}$, suy ra dòng theo mô hình đề bài. Sau đó ước lượng trường trên trục vòng loa tại trung điểm giữa hai tai.

Hướng đi:

• Công suất phát phụ thuộc mẫu điện thoại, băng tần và trạng thái mạng.
• Vì đề không nêu mẫu, giữ $P$ như tham số thay vì gán cho mọi điện thoại một công suất “điển hình”.
• Giả sử để ước lượng hình học rằng bề rộng đầu là $w=16\mathrm{cm}$ và đường kính loa là $d_s=2,0\mathrm{cm}$.
• Giữ $P$ theo watt trong kết quả.

Các bước giải:

(a) Công suất phát: Tra cứu theo đúng mẫu máy và băng tần đang xét, ký hiệu giá trị đó là $P$. Bài không cung cấp mẫu máy nên không có một giá trị số duy nhất có thể suy ra.

(b) pin: Theo giả thiết đơn giản hóa của đề, pin cấp công suất $P$ ở hiệu điện thế $V_b=1,5\mathrm{V}$:

$$I_b=\frac{P}{V_b}=\frac{P}{1,5\mathrm{V}}.$$

Ví dụ, nếu thông số của máy đang xét là $P=0,10\mathrm{W}$, mô hình này cho $I_b=\mathrm{0,066}7\mathrm{A}$. Đây chỉ là phép thế minh họa, không phải khẳng định công suất điển hình. Mô hình cũng bỏ qua tổn hao và công suất của các bộ phận khác trong điện thoại.

(c)–(d) Hình học ước lượng: Với giả định $w=0,16\mathrm{m}$, điểm giữa hai tai cách loa một khoảng $x=w/2=\mathrm{0,080}\mathrm{m}$. Bán kính vòng tương đương là $a=d_s/2=\mathrm{0,010}\mathrm{m}$. Giả sử trục vòng hướng từ loa về tai đối diện, để dùng công thức trường trên trục. Khi đó:

Áp dụng trường trên trục $B={\mu }_0{I}_b{a}^2/[2(x^2+a^2{)}^{3/2}]$:

Từ đó suy ra $B_{\mathrm{mid}}=8,0\times {10}^{-8}(P/1\mathrm{W})\mathrm{T}$.

Nếu chọn riêng kịch bản minh họa $P=0,10\mathrm{W}$, thì $B_{\mathrm{mid}}\approx 8,0\mathrm{nT}$.

(e) So sánh: Vì $50\mu \mathrm{T}=5,0\times {10}^{-5}\mathrm{T}$, tỉ lệ phần trăm là:

Tỉ số $B_{\mathrm{mid}}/(50\mu \mathrm{T})$ bằng $1,60\times {10}^{-3}(P/1\mathrm{W})$. Tỉ lệ phần trăm bằng 100 lần tỉ số đó, tức $\mathrm{0,160}(P/1\mathrm{W})\mathrm{\%}$.

Trong kịch bản minh họa $P=0,10\mathrm{W}$, kết quả khoảng $\mathrm{0,016}\mathrm{\%}$ trường Trái Đất. Muốn có con số phù hợp điện thoại thực, thay $P$ bằng công suất phát tra đúng mẫu máy và điều kiện hoạt động.

Bài tập 28: 58

Hai dây thẳng song song cách trục x các khoảng a, mang dòng ngược chiều

Hình P28.58 nhìn dọc theo trục của hai dây dài song song với trục $z$, đặt tại $y=+a$ và $y=-a$. Hai dòng có cùng độ lớn $I$ nhưng ngược chiều. (a) Vẽ các vectơ trường do từng dây và trường tổng tại điểm $P$ trên trục $x$. (b) Suy ra biểu thức độ lớn và chiều của trường tại mọi điểm trên trục $x$, theo tọa độ $x$. (c) Vẽ đồ thị độ lớn $B(x)$. (d) Tại giá trị $x$ nào độ lớn đạt cực đại? (e) Độ lớn trường khi $x\gg a$ là bao nhiêu theo gần đúng?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây phía trên tại $y=+a$ mang dòng ra khỏi mặt giấy $+I\hat{k}$. Dây phía dưới tại $y=-a$ mang dòng vào mặt giấy $-I\hat{k}$. Tính trường trên trục $x$.

Hướng đi:

• Dùng trường của dây thẳng dài dưới dạng vectơ.
• Ở điểm $(x,0)$, khoảng cách đến mỗi dây là $\sqrt{x^2+a^2}$.
• Các thành phần theo $y$ của hai trường triệt tiêu, còn thành phần theo $x$ cộng lại.

Các bước giải: Trường của một dây mang dòng đại số $I_z$ tại vectơ vị trí tương đối $\overrightarrow{r}=(x,y)$ là:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0{I}_z}{2\pi r^2}(-y\hat{i}+x\hat{j}).$$

Tại điểm $(x,0)$, thay lần lượt tọa độ của hai dây:

$$\begin{array}{rl}& C=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi (x^2+a^2)},\\ & {\overrightarrow{B}}_{\mathrm{top}}=C(a\hat{i}+x\hat{j}),\\ & {\overrightarrow{B}}_{\mathrm{bot}}=C(a\hat{i}-x\hat{j}).\end{array}$$

Do đó:

$$\overrightarrow{B}(x)=2Ca\hat{i}.$$

Thay định nghĩa của $C$, độ lớn là $B(x)={\mu }_{0}Ia/[\pi (x^2+a^2)]$.

Đồ thị lời giải 28.58: Các vector trường của hai dây và trường tổng tại điểm P.

Trường luôn hướng theo $+x$. Đồ thị là hàm chẵn, có đỉnh tại $x=0$, rồi giảm đối xứng về hai phía.

Đồ thị lời giải 28.58: Độ lớn trường trên trục x chia cho giá trị tại gốc.

Một số điểm trên đồ thị:

Vị trí	$B/B(0)$
$x=0$	1
$x=\pm a$	$1/2$
$x=\pm 2a$	$1/5$

Vì mẫu số nhỏ nhất tại $x=0$, cực đại là:

$$B_{max}=B(0)=\frac{{\mu }_{0}I}{\pi a}.$$

Khi $x\gg a$, bỏ $a^2$ so với $x^2$:

$$B(x)\approx \frac{{\mu }_{0}Ia}{\pi x^2}.$$

Bài tập 28: 59

Hai dây song song cách nhau 1.00 m với các điểm P, Q và S được đặt quanh chúng

Hai dây thẳng dài song song cách nhau $1,00\mathrm{m}$ như Hình P28.59. Dây bên trái mang dòng $I_1=6,00\mathrm{A}$ đi vào mặt giấy. (a) Dòng $I_2$ ở dây bên phải phải có độ lớn và chiều nào để trường tổng tại $P$ bằng không? (b) Khi ấy, tìm độ lớn và chiều trường tổng tại $Q$. (c) Tìm độ lớn trường tổng tại $S$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây trái tại $x=0$ mang $6,00\mathrm{A}$ vào mặt giấy. Dây phải ở $x=1,00\mathrm{m}$. Điểm $P$ ở bên phải dây phải $0,50\mathrm{m}$, $Q$ ở bên trái dây trái $0,50\mathrm{m}$. Điểm $S$ cách hai dây lần lượt $0,60\mathrm{m}$ và $0,80\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Tại $P$, trường do dây trái hướng xuống.
• Muốn triệt tiêu, dòng dây phải phải hướng ra khỏi mặt giấy để tạo trường hướng lên.
• Sau đó cộng vectơ tại $Q$ và $S$ theo quy tắc bàn tay phải.

Các bước giải:

(a) Dòng $I_2$: Khoảng cách từ $P$ đến dây trái là $1,50\mathrm{m}$, còn đến dây phải là $0,50\mathrm{m}$. Đặt hai độ lớn bằng nhau:

$$\begin{array}{rl}\frac{I_2}{I_1}& =\frac{0,50}{1,50}=\frac{1}{3},\\ I_2& =2,00\mathrm{A}.\end{array}$$

Dòng $I_2$ hướng ra khỏi mặt giấy.

(b) Trường tại $Q$: Tại điểm bên trái, dòng $I_1$ vào mặt giấy tạo trường hướng lên, còn dòng $I_2$ ra mặt giấy tạo trường hướng xuống. Khoảng cách lần lượt là $0,50\mathrm{m}$ và $1,50\mathrm{m}$:

$$\begin{array}{rl}{B}_Q& =\frac{{\mu }_0}{2\pi }(\frac{6,00}{0,50}-\frac{2,00}{1,50})\\ & =2,13\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

Chiều tổng là hướng lên trên mặt giấy.

(c) Trường tại $S$: Từ các khoảng cách $r_1=0,60\mathrm{m}$, $r_2=0,80\mathrm{m}$ và khoảng cách ngang giữa dây $1,00\mathrm{m}$, tam giác tạo bởi hai dây và $S$ là tam giác vuông. Tọa độ của $S$ so với dây trái là $(0,36,0,48)\mathrm{m}$. Cộng các thành phần trường:

$$\begin{array}{rl}{B}_{Sx}& =1,30\times {10}^{-6}\mathrm{T},\\ B_{Sy}& =-1,60\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

Do đó:

$$\begin{array}{rl}{B}_S^2& =4,25\times {10}^{-12}{\mathrm{T}}^2.\\ B_S& =2,06\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

Trường hướng chếch xuống và sang phải, tạo góc khoảng $50,9^{\circ }$ dưới chiều $+x$.

Bài tập 28: 60

Dây thẳng AB mang 14 A nằm trên vòng chữ nhật mang 5 A, hai cạnh dài song song

Dây thẳng dài $AB$ trong Hình P28.60 mang dòng $14,0\mathrm{A}$. Vòng chữ nhật có các cạnh dài song song với dây mang dòng $5,00\mathrm{A}$. Tìm độ lớn và chiều của lực tổng hợp do của dây thẳng tác dụng lên vòng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây thẳng mang $I_1=14,0\mathrm{A}$ sang phải. Vòng mang $I_2=5,00\mathrm{A}$, rộng $L=20,0\mathrm{cm}$. Cạnh gần cách dây $r_1=2,6\mathrm{cm}$, chiều cao vòng $10,0\mathrm{cm}$ nên cạnh xa cách dây $r_2=12,6\mathrm{cm}$.

Hướng đi:

• Hai cạnh dài song song dây chịu lực thẳng đứng ngược chiều.
• Cạnh gần có dòng cùng chiều dây nên bị hút lên.
• Cạnh xa có dòng ngược chiều nên bị đẩy xuống.
• Lực trên hai cạnh ngắn nằm ngang và triệt tiêu từng đôi.

Các bước giải: Lực trên một đoạn dây song song dài $L$ cách dây thẳng khoảng $r$ là $F=I_{2}LB(r)$, với $B(r)={\mu }_0{I}_1/(2\pi r)$. Do đó lực tổng hợp theo phương thẳng đứng:

Đặt $C={\mu }_0{I}_1{I}_{2}L/(2\pi )=2,80\times {10}^{-6}\mathrm{N}\mathrm{m}$ và $\mathrm{\Delta }=1/r_1-1/r_2=\mathrm{30,525}{\mathrm{m}}^{-1}$. Từ đó:

$$F_{\mathrm{net}}=8,55\times {10}^{-5}\mathrm{N}.$$

Vì cạnh gần được hút mạnh hơn cạnh xa bị đẩy, lực tổng hợp hướng lên trên, về phía dây $AB$.

Bài tổng hợp 28.61–28.75

Bài tập 28: 61 ••• CP

Hai dây dài, song song được treo bằng các dây treo dài $4,00\mathrm{cm}$ từ cùng một trục như Hình P28.61. Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của mỗi dây là $\mathrm{0,012}5\mathrm{kg}/\mathrm{m}$. Hai có cùng độ lớn nhưng ngược chiều. Tìm dòng điện trong mỗi dây nếu mỗi dây treo tạo góc $6,{00}^{\circ }$ với phương thẳng đứng.

Hình P28.61: Hai dây mang dòng điện ngược chiều đẩy nhau và làm các dây treo nghiêng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chiều dài dây treo $l=\mathrm{0,040}0\mathrm{m}$, khối lượng dài $\lambda =\mathrm{0,012}5\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ và góc lệch $\theta =6,{00}^{\circ }$. Hai dòng có độ lớn $I$.

Hướng đi:

• Hai dòng ngược chiều tạo lực đẩy. Dùng lực giữa hai dây dài để tính lực ngang trên một đơn vị chiều dài.
• Mỗi dây treo giữ cân bằng theo hai phương. Tỉ số lực ngang và trọng lượng bằng $\tan \theta$, giúp loại lực căng.
• Khoảng cách giữa hai dây nhận đóng góp từ cả hai phía của trục treo, nên bằng $2l\sin \theta$.

Khoảng cách giữa hai dây là:

$$d=2l\sin \theta =8,36\times {10}^{-3}\mathrm{m}.$$

Xét một đoạn dây dài $L$. hướng ngang, trọng lực hướng xuống và lực căng có hướng dọc dây treo. Hai phương trình cân bằng cho:

$$\begin{array}{rl}T\sin \theta & =F_B,\\ T\cos \theta & =\lambda Lg,\\ \frac{F_B}{L}& =\lambda g\tan \theta .\end{array}$$

Mặt khác, trên một đơn vị chiều dài bằng:

$$\frac{F_B}{L}=\frac{{\mu }_0{I}^2}{2\pi d}.$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}I& =\sqrt{\frac{2\pi d\lambda g\tan \theta }{{\mu }_0}}\\ & =23,2\mathrm{A}.\end{array}$$

Mỗi dây mang dòng $23,2\mathrm{A}$, theo hai chiều ngược nhau như đã cho.

Bài tập 28: 62 •

Hai cung dây bán nguyệt trong Hình P28.62 có bán kính $a$ và $b$. Tính độ lớn và chiều của tổng do tạo ra tại $P$.

Hình P28.62: Hai cung bán nguyệt đồng tâm có dòng điện chạy theo hai chiều ngược nhau.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $P$ là tâm chung, $a$ là bán kính cung trong, $b>a$ là bán kính cung ngoài. Dòng trên cung trong ngược chiều kim đồng hồ, còn dòng trên cung ngoài theo chiều kim đồng hồ.

Hướng đi:

• Dùng tại tâm của cung tròn, vì khoảng cách từ mọi phần tử cung đến $P$ không đổi.
• Các đoạn nối theo bán kính không đóng góp, vì phần tử dây song song với hướng đến $P$.
• Hai cung tạo trường ngược chiều. Cung có bán kính nhỏ hơn tạo trường mạnh hơn.

Với cung góc $\alpha$, cho:

$$\begin{array}{rl}{B}_{\mathrm{arc}}& =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}\alpha ,\\ \alpha & =\pi ,\\ B_{\mathrm{semicircle}}& =\frac{{\mu }_{0}I}{4R}.\end{array}$$

Trường của cung trong hướng ra khỏi trang giấy, còn trường của cung ngoài hướng vào. Do đó:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}).$$

Vì $a<b$, trường tổng hướng ra khỏi trang giấy.

Bài tập 28: 63 •

Một trụ dẫn đặc, dài, có trục theo phương $z$. Mật độ dòng đối xứng quanh trục nhưng thay đổi theo khoảng cách $r$ đến trục:

$$\overrightarrow{J}(r)=\frac{\beta }{r}{e}^{(r-a)/\delta }\hat{k}.$$

Biểu thức này áp dụng trong trụ với $0<r\le a$. Ngoài trụ, $\overrightarrow{J}=0$.

Bán kính trụ là $a=5,00\mathrm{cm}$, hằng số $\beta =600\mathrm{A}/\mathrm{m}$ và $\delta =2,50\mathrm{cm}$. (a) Tìm tổng dòng $I_0$ theo $\beta ,\delta ,a$ và tính giá trị số.

(b) Dùng tìm ở $r\ge a$, biểu diễn theo $I_0$ thay vì $\beta$.

(c) Tìm dòng bao trong tiết diện tròn bán kính $r\le a$, biểu diễn theo $I_0$.

(d) Tìm trong trụ.

(e) Tính độ lớn trường ở $r=\delta$, $r=a$ và $r=2a$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $a=\mathrm{0,050}0\mathrm{m}$, $\delta =\mathrm{0,025}0\mathrm{m}$. Dòng theo $+z$, có mật độ $J=\beta e^{(r-a)/\delta }/r$ trong trụ.

Hướng đi:

• Chia tiết diện thành các vành khăn có diện tích $2\pi rdr$. Mật độ dòng không đều nên phải , không thể nhân một giá trị $J$ với toàn tiết diện.
• Đối xứng trụ làm trường tiếp tuyến với đường tròn đồng tâm và có độ lớn không đổi trên đường ấy. Vì vậy, Ampere trở thành $B(2\pi r)$.
• Bên ngoài dùng tổng dòng $I_0$. Bên trong chỉ dùng dòng nằm trong bán kính đường .

(a) Gọi $s$ là biến bán kính trong phép . Khi đó:

$$\begin{array}{rl}{I}_0& ={\int }_0^{a}J(s)2\pi sds\\ & =2\pi \beta {\int }_0^a{e}^{(s-a)/\delta }ds\\ & =2\pi \beta \delta (1-e^{-a/\delta })\\ & =81,5\mathrm{A}.\end{array}$$

Thừa số $1/s$ trong mật độ triệt tiêu với thừa số $s$ của diện tích vành khăn. Vì vậy tổng dòng hữu hạn dù mật độ tăng không giới hạn khi tiến đến trục.

(b) Với $r\ge a$, đường Ampere bao toàn bộ dòng:

$$\begin{array}{rl}B(2\pi r)& ={\mu }_0{I}_0,\\ \overrightarrow{B}(r)& =\frac{{\mu }_0{I}_0}{2\pi r}\hat{\varphi }.\end{array}$$

đơn vị $\hat{\varphi }$ chỉ chiều đi quanh trục theo quy tắc bàn tay phải của dòng $+z$.

(c) Dòng nằm trong bán kính $r$ là:

$$\begin{array}{rl}I(r)& =2\pi \beta \delta (e^{(r-a)/\delta }-e^{-a/\delta }),\\ I(r)& =I_0\frac{e^{r/\delta }-1}{e^{a/\delta }-1}.\end{array}$$

(d) Thay dòng bao vào . Với $0<r\le a$:

$$\overrightarrow{B}(r)=\frac{{\mu }_0{I}_0}{2\pi r}\frac{e^{r/\delta }-1}{e^{a/\delta }-1}\hat{\varphi }.$$

Hai biểu thức trong và ngoài cho cùng giá trị tại $r=a$. Tại đúng trục $r=0$, mô hình mật độ đã cho không xác định. Không gán tùy tiện giá trị trường bằng không tại điểm ấy. Độ lớn trường có giới hạn hữu hạn khi $r$ tiến đến không, nhưng hướng $\hat{\varphi }$ phụ thuộc hướng tiếp cận trục.

(e) Các giá trị cần tìm là:

$$\begin{array}{rl}B(\delta )& =1,75\times {10}^{-4}\mathrm{T},\\ B(a)& =3,26\times {10}^{-4}\mathrm{T},\\ B(2a)& =1,63\times {10}^{-4}\mathrm{T}.\end{array}$$

Bài tập 28: 64 ••

Tính độ lớn và chiều của tại $P$ do dòng $I=12,0\mathrm{A}$ trong Hình P28.64. Cung $BC$ có bán kính $30,0\mathrm{cm}$, cung $DA$ có bán kính $20,0\mathrm{cm}$. $P$ là tâm cong của cả hai cung. Hai đoạn thẳng $CD$ và $AB$ đều dài $10,0\mathrm{cm}$.

Hình P28.64: Dòng chạy trên hai cung đồng tâm góc 120 độ và hai đoạn nối theo bán kính.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $I=12,0\mathrm{A}$, bán kính ngoài $b=\mathrm{0,300}\mathrm{m}$, bán kính trong $a=\mathrm{0,200}\mathrm{m}$, góc cung $\alpha ={120}^{\circ }=2\pi /3$.

Hướng đi:

• Hai đoạn thẳng theo bán kính cho bằng không tại tâm $P$.
• Tính trường của từng cung bằng công thức cung tròn, vì mỗi cung có bán kính không đổi.
• Giữ dấu chiều trường khi cộng. Cung ngoài chạy ngược chiều kim đồng hồ, cung trong chạy theo chiều kim đồng hồ.

Chọn chiều ra khỏi trang giấy là dương. Trường của cung ngoài dương, còn trường của cung trong âm:

$$\begin{array}{rl}{B}_z& =\frac{{\mu }_{0}I\alpha }{4\pi }(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})\\ & =-4,19\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

Độ lớn là $4,19\mu \mathrm{T}$, hướng vào trang giấy.

Bài tập 28: 65 • CALC

Dây thẳng dài, tiết diện tròn bán kính $R$, mang tổng dòng $I$. Mật độ dòng thay đổi theo bán kính theo quy luật $J=\alpha r$. (a) Tìm $\alpha$ theo $I,R$ bằng điều kiện mật độ trên tiết diện bằng tổng dòng.

(b) Dùng tìm độ lớn trường ở (i) $r\le R$ và (ii) $r\ge R$, biểu diễn kết quả theo $I$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $J(r)=\alpha r$, tiết diện tròn bán kính $R$, tổng dòng $I$.

Hướng đi:

• $JdA$ trên các vành khăn để tìm tổng dòng và hằng số $\alpha$.
• chỉ đến bán kính đường Ampere khi tính trường bên trong.
• Đối xứng trụ cho $B(2\pi r)={\mu }_0{I}_{\mathrm{bao}}$.

(a) Tổng dòng là:

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^R\alpha s2\pi sds\\ & =\frac{2\pi \alpha R^3}{3},\\ \alpha & =\frac{3I}{2\pi R^3}.\end{array}$$

(b) Với $r\le R$, dòng bao là:

$$\begin{array}{rl}I(r)& =\frac{2\pi \alpha r^3}{3}\\ & =I{\left(\frac{r}{R}\right)}^3,\\ B(r)& =\frac{{\mu }_{0}I{r}^2}{2\pi R^3}.\end{array}$$

Với $r\ge R$, đường bao toàn bộ dòng:

$$B(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}.$$

Tại trục, trường bằng không. Tại $r=R$, cả hai biểu thức cho ${\mu }_{0}I/(2\pi R)$. Chiều trường đi quanh trục theo quy tắc bàn tay phải của dòng.

Bài tập 28: 66 • CALC

Dây trong Hình P28.66 dài vô hạn và mang dòng $I$. Tính độ lớn và chiều của tại $P$.

Hình P28.66: Dây gấp vuông góc với dòng đi sang phải rồi đi xuống, điểm P nằm cách góc một đoạn a.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $P$ nằm trên phần kéo dài của đoạn ngang, cách góc dây một khoảng $a$. Đoạn thẳng đứng kéo dài xuống vô hạn và mang dòng đi xuống.

Hướng đi:

• Đoạn ngang không đóng góp, vì mọi phần tử dây và đến $P$ cùng phương.
• Đoạn thẳng đứng là dây bán vô hạn, không phải dây vô hạn về cả hai phía. Phải lấy đúng giới hạn .
• của phần tử dòng đi xuống và sang phải chỉ ra khỏi trang giấy.

Gọi $s\ge 0$ là khoảng cách từ góc dây xuống phần tử đang xét. Khoảng cách đến $P$ bằng $\sqrt{a^2+s^2}$, và thừa số hình học trong cho:

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{ads}{(a^2+s^2{)}^{3/2}}\\ & =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\left[\frac{s}{a\sqrt{a^2+s^2}}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}.\end{array}$$

Trường hướng ra khỏi trang giấy. Kết quả bằng một nửa trường của dây thẳng dài vô hạn cách $P$ một khoảng $a$.

Bài tập 28: 67 • CALC

Trụ dẫn đặc, dài, có bán kính $a$ và trục theo $z$. Mật độ dòng đối xứng trục, có dạng:

$$\overrightarrow{J}(r)=\frac{2I_0}{\pi a^2}(1-\frac{r^2}{a^2})\hat{k}.$$

Trong trụ, biểu thức áp dụng với $r\le a$. Ngoài trụ, $\overrightarrow{J}=0$.

(a) Chứng minh $I_0$ là tổng dòng qua tiết diện.

(b) Tìm độ lớn ở $r\ge a$.

(c) Tìm dòng bao trong tiết diện tròn đồng tâm bán kính $r\le a$.

(d) Tìm trong trụ và so sánh hai kết quả tại $r=a$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ giảm từ $2I_0/(\pi a^2)$ tại trục đến không ở mặt trụ. Dòng theo $+z$.

Hướng đi:

• Dùng vành khăn $2\pi rdr$ để cộng dòng, vì $J$ phụ thuộc bán kính.
• Đường Ampere đồng tâm có trường tiếp tuyến và độ lớn không đổi.
• Dòng bao bên trong phải tính theo bán kính thực của đường .

(a) trên toàn tiết diện:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{tot}}& =\frac{4I_0}{a^2}{\int }_0^a(s-\frac{s^3}{a^2})ds\\ & =\frac{4I_0}{a^2}(\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4})\\ & =I_0.\end{array}$$

(b) Bên ngoài, tổng dòng bao là $I_0$:

$$B(r)=\frac{{\mu }_0{I}_0}{2\pi r}.$$

(c) Khi chỉ đến $r$:

$$\begin{array}{rl}I(r)& =\frac{4I_0}{a^2}(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4a^2})\\ & =I_0(\frac{2r^2}{a^2}-\frac{r^4}{a^4}).\end{array}$$

(d) Từ :

$$\begin{array}{rl}B(r)& =\frac{{\mu }_{0}I(r)}{2\pi r}\\ & =\frac{{\mu }_0{I}_{0}r}{2\pi a^2}(2-\frac{r^2}{a^2}).\end{array}$$

Biểu thức trong cho trường bằng không tại trục. Tại mặt trụ, biểu thức trong và ngoài đều cho:

$$B(a)=\frac{{\mu }_0{I}_0}{2\pi a}.$$

Chiều trường tuân theo quy tắc bàn tay phải quanh dòng $+z$.

Bài tập 28: 68 •

Vòng dây tròn bán kính $R$ mang dòng $I_2$ theo chiều kim đồng hồ như Hình P28.68. Tâm vòng cách dây thẳng dài bên dưới một khoảng $D$. Tìm độ lớn và chiều dòng $I_1$ trong dây thẳng để tổng tại tâm vòng bằng không.

Hình P28.68: Vòng dây có dòng theo chiều kim đồng hồ đặt phía trên một dây thẳng dài.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tâm vòng cách dây thẳng một khoảng $D$, bán kính vòng $R$, dòng vòng $I_2$ theo chiều kim đồng hồ.

Hướng đi:

• Trường của vòng tại tâm hướng vào trang giấy. Dây thẳng phải tạo trường ra khỏi trang giấy để triệt tiêu.
• Dùng trường tại tâm vòng và trường của dây dài tại khoảng cách $D$.
• Sau khi xác định chiều đối nhau, đặt hai độ lớn bằng nhau.

Với điểm nằm phía trên dây, dòng từ trái sang phải tạo trường ra khỏi trang giấy. Do đó $I_1$ phải chạy sang phải. Điều kiện độ lớn là:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi D}& =\frac{{\mu }_0{I}_2}{2R},\\ I_1& =\frac{\pi D}{R}{I}_2.\end{array}$$

Bài tập 28: 69 •

Mặt vô hạn được tạo bởi các dây dài, tiết diện vuông, đặt sát nhau như Hình P28.69. Các dây nằm trong mặt phẳng $xy$, song song trục $y$, mỗi dây mang dòng $I$ theo $+y$. Có $n$ dây trên một đơn vị chiều dài đo theo $x$. Tìm độ lớn và chiều trường (a) ở khoảng cách $a$ phía dưới mặt dòng và (b) ở khoảng cách $a$ phía trên mặt dòng.

Hình P28.69: Các dây song song mang dòng theo trục y tạo thành mặt dòng điện vô hạn.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt dòng nằm ở $z=0$, dòng theo $+y$, mật độ dây $n$ và dòng mỗi dây $I$. Hai điểm cần xét có $z=-a$ và $z=+a$.

Hướng đi:

• Đối xứng và chồng chất làm các thành phần vuông góc mặt triệt tiêu. Trường còn lại song song trục $x$.
• Phản xạ qua mặt dòng cho hai trường cùng độ lớn và ngược chiều.
• Dùng đường Ampere hình chữ nhật cắt qua mặt dòng để tính độ lớn từ dòng bao.

Chọn hình chữ nhật có hai cạnh dài $l$ song song $x$, một cạnh ở phía trên và một cạnh ở phía dưới mặt dòng. Hai cạnh còn lại vuông góc trường nên không đóng góp. Có $nl$ dây xuyên qua mặt chữ nhật, mỗi dây mang dòng $I$:

$$\begin{array}{rl}\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}& =2Bl,\\ I_{\mathrm{bao}}& =nlI,\\ 2Bl& ={\mu }_{0}nlI,\\ B& =\frac{{\mu }_{0}nI}{2}.\end{array}$$

Quy tắc bàn tay phải cho trường phía trên hướng $+x$, phía dưới hướng $-x$. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{B}(z=-a)& =-\frac{{\mu }_{0}nI}{2}\hat{i},\\ \overrightarrow{B}(z=+a)& =+\frac{{\mu }_{0}nI}{2}\hat{i}.\end{array}$$

Độ lớn không phụ thuộc $a$ trong mô hình mặt dòng vô hạn.

Bài tập 28: 70 •

Các dây dài có tiết diện vuông, đặt sát nhau tạo thành mặt dòng vô hạn với dòng hướng ra khỏi trang giấy. Mặt dòng thứ hai nằm phía dưới, song song mặt thứ nhất và cách một khoảng $d$, có dòng hướng vào trang giấy. Mỗi mặt có $n$ dây trên một đơn vị chiều dài, mỗi dây mang dòng $I$. Dùng kết quả bài 28.69 để tìm độ lớn và chiều trường tổng tại (a) $P$ phía trên mặt trên, (b) $R$ giữa hai mặt và (c) $S$ phía dưới mặt dưới.

Hình P28.70: Hai mặt dòng vô hạn song song có dòng điện ngược chiều.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mỗi mặt tạo trường có độ lớn $B_0={\mu }_{0}nI/2$ ở mỗi phía. Mặt trên có dòng đi ra, mặt dưới có dòng đi vào trang giấy.

Hướng đi:

• Xác định riêng chiều trường của từng mặt tại từng điểm bằng quy tắc bàn tay phải.
• Cộng , vì hai mặt không làm thay đổi dòng của nhau trong mô hình đang xét.
• Bên ngoài hai mặt, hai trường đối nhau. Ở giữa, hai trường cùng chiều.

Điểm	Trường của mặt trên	Trường của mặt dưới	Tổng
$P$	Sang trái	Sang phải	Bằng không
$R$	Sang phải	Sang phải	Sang phải
$S$	Sang phải	Sang trái	Bằng không

Do đó:

$$\begin{array}{rl}{B}_P& =0,\\ B_R& =2B_0={\mu }_{0}nI,\\ B_S& =0.\end{array}$$

Trường ở $R$ hướng sang phải như mặt hình. Khoảng cách $d$ không ảnh hưởng độ lớn trong mô hình hai mặt dòng vô hạn.

Bài tập 28: 71 ••• CP

Vỏ trụ bán kính $R_1$, cao $H$, mang $Q_1$ và quay quanh trục với tốc độ góc ${\omega }_1$. Một đĩa rất nhỏ có bán kính $R_2$, khối lượng $M$ và điện tích $Q_2$ nằm bên trong, xa hai mép trụ. Tâm đĩa nằm trên trục trụ. Đĩa quay nhanh với vận tốc góc ${\overrightarrow{\omega }}_2$, trục đĩa tạo góc $\theta$ với trục trụ như Hình P28.71. Tương tác từ làm trục đĩa tiến động.

(a) Tìm độ lớn dòng bao bởi đường kín có một cạnh dọc theo trục trụ, kéo dài quá cả hai đầu trụ, còn cạnh đối diện nằm rất xa ngoài trụ.

(b) Giả sử trường đều bên trong và dùng tìm trường tại tâm đĩa.

(c) của đĩa có độ lớn $\mu =Q_2{\omega }_2{R}_2^2/4$. Tìm độ lớn mômen lực tác dụng lên đĩa.

(d) Tìm độ lớn của đĩa.

Hình P28.71: Vỏ trụ tích điện quay tạo từ trường tác dụng mômen lên đĩa tích điện đang quay.

Chú thích:

• Trục hình trụ. (Axis of cylinder)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ trụ có phân bố đều $Q_1$, chiều cao $H$, tốc độ góc ${\omega }_1$. Đĩa nhỏ có $Q_2,R_2,M,{\omega }_2$ và góc nghiêng $\theta$.

Hướng đi:

• quay qua một vị trí sau mỗi chu kỳ tạo . Tổng dòng cắt đường Ampere bằng điện tích vỏ trụ chia chu kỳ quay.
• Dùng mô hình trường đều trong trụ và trường ngoài rất nhỏ để áp dụng Ampere, giống .
• Đĩa là lưỡng cực từ nhỏ, nên mômen lực có độ lớn $\mu B\sin \theta$.
• của đĩa đồng chất bằng mômen quán tính $M{R}_2^2/2$ nhân tốc độ góc.

(a) Một vòng quay kéo dài $2\pi /{\omega }_1$. Dòng bao có độ lớn:

$$I_{\mathrm{bao}}=\frac{|Q_1|{\omega }_1}{2\pi }.$$

(b) Mật độ dòng mặt theo phương vòng quanh trụ là:

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_1& =\frac{Q_1}{2\pi R_{1}H},\\ K& ={\sigma }_1{R}_1{\omega }_1\\ & =\frac{Q_1{\omega }_1}{2\pi H}.\end{array}$$

Trong mô hình bỏ qua hiệu ứng mép và trường ngoài, dọc cạnh trong bằng $BH$:

$$\begin{array}{rl}BH& ={\mu }_0{I}_{\mathrm{bao}},\\ B& =\frac{{\mu }_0|Q_1|{\omega }_1}{2\pi H}.\end{array}$$

Trường dọc trục trụ. Chiều được xác định từ chiều chuyển động của quy ước bằng quy tắc bàn tay phải. Khi dấu điện tích đảo, chiều trường đảo.

(c) dọc trục quay của đĩa, nên góc với là $\theta$. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}\tau & =\mu B\sin \theta \\ & =\frac{{\mu }_0|Q_1{Q}_2|R_2^2}{8\pi H}\times {\omega }_1{\omega }_2\sin \theta .\end{array}$$

Mômen lực vuông góc với và trường, làm đổi hướng trục quay của đĩa.

(d) có độ lớn:

$$L=\frac{1}{2}M{R}_2^2{\omega }_2.$$

Bài tập 28: 72 •• DATA

Một $L=40,0\mathrm{cm}$, đường kính $2,80\mathrm{cm}$ có hai cuộn được quấn sát nhau, cùng chiều, trên cùng một khuôn trụ rỗng. Cần tìm số vòng trong từng cuộn. Dòng qua cuộn 1 giữ ở $2,00\mathrm{mA}$, còn dòng $I$ qua cuộn 2 thay đổi. Hai dòng cùng chiều. Đo trường $B$ tại tâm và biểu diễn $BL/{\mu }_0$ theo $I$ như Hình P28.72.

(a) Giải thích vì sao các điểm gần nằm trên một đường thẳng.

(b) Dùng đồ thị để tính $N_1,N_2$.

(c) Giữ dòng cuộn 1 như trước, cho cuộn 2 mang dòng $5,00\mathrm{mA}$ theo chiều ngược lại. Tìm tại tâm.

Hình P28.72: Đồ thị trường trong ống dây có hai cuộn theo dòng điện qua cuộn thứ hai.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $L=\mathrm{0,400}\mathrm{m}$, $I_1=\mathrm{0,002}00\mathrm{A}$. Trục đứng là $BL/{\mu }_0$ tính bằng ampere, trục ngang là $I$ tính bằng milliampere.

Hướng đi:

• Hai trường cùng chiều cộng đại số trong , nên $B={\mu }_0(N_1{I}_1+N_{2}I)/L$.
• Hệ số góc theo dòng tính bằng ampere cho số vòng $N_2$. Tung độ gốc cho tích $N_1{I}_1$.
• Khi đảo dòng cuộn 2, giữ dấu âm của đóng góp ấy trước khi lấy độ lớn trường.

(a) Ta có:

$$\frac{BL}{{\mu }_0}=N_1{I}_1+N_{2}I.$$

Đây là quan hệ đường thẳng với $I$. Cuộn 1 tạo tung độ gốc, còn cuộn 2 quyết định hệ số góc.

(b) Đọc hai điểm tại các giao điểm lưới rõ trên đồ thị:

$I$ (mA)	$BL/{\mu }_0$ (A)
2,00	8,00
5,00	16,00

Khi đổi milliampere sang ampere, số vòng cuộn 2 là:

$$\begin{array}{rl}{N}_2& =\frac{16,00-8,00}{\mathrm{0,005}00-\mathrm{0,002}00}\\ & \approx 2,67\times {10}^3.\end{array}$$

Dùng điểm thứ nhất để tìm cuộn 1:

$$\begin{array}{rl}{N}_1{I}_1& =8,00-N_2(\mathrm{0,002}00)\\ & \approx 2,67\mathrm{A},\\ N_1& \approx 1,33\times {10}^3.\end{array}$$

Các số vòng là ước lượng từ đường thẳng trên đồ thị.

(c) Chọn trục $+z$ dọc chiều trường ban đầu. Khi dòng cuộn 2 đảo:

$$\begin{array}{rl}{B}_z& =\frac{{\mu }_0}{L}(N_1{I}_1-N_2{I}_2)\\ & =-3,35\times {10}^{-5}\mathrm{T}.\end{array}$$

Trường có độ lớn khoảng $3,4\times {10}^{-5}\mathrm{T}$ và hướng ngược trường ban đầu.

Bài tập 28: 73 •• DATA

Dùng teslameter dựa trên hiệu ứng Hall để đo trường gần một cáp đồng trụ dày, dài, mang dòng lớn không đổi. Đặt máy về không trước khi đo để loại trường Trái Đất. Đo độ lớn $B$ ở các khoảng cách $x$ tính từ mặt ngoài của cáp:

$x$ (cm)	2,0	4,0	6,0	8,0	10,0
$B$ (mT)	0,406	0,250	0,181	0,141	0,116

(a) Nếu nhớ trường dây tỉ lệ nghịch khoảng cách, có thể chờ đợi $Bx$ không đổi. Tính $Bx$ cho từng số đo, xét nó có không đổi không và giải thích.

(b) Vẽ đồ thị $x$ theo $1/B$ và giải thích vì sao gần là đường thẳng.

(c) Từ đồ thị, tìm dòng $I$ và bán kính $R$ của cáp.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $x$ đo từ mặt cáp, không phải từ trục. Các số đo $B$ ở bên ngoài cáp.

Hướng đi:

• Khoảng cách đến trục là $r=R+x$, nên phải dùng $B={\mu }_{0}I/[2\pi (R+x)]$.
• Sắp xếp biểu thức thành quan hệ tuyến tính giữa $x$ và $1/B$ để đọc hệ số góc và tung độ gốc.
• Dùng toàn bộ các điểm để xác định một đường thẳng phù hợp với số đo.

(a) Đổi số đo sang SI trước khi nhân:

$x$ (cm)	2,0	4,0	6,0	8,0	10,0
$Bx$ (${10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}$)	8,12	10,0	10,86	11,28	11,60

Tích không cố định. Công thức tỉ lệ nghịch dùng khoảng cách $R+x$ đến trục. Chính $B(R+x)$ mới không đổi trong mô hình dây dài, còn:

$$Bx=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\frac{x}{R+x}.$$

(b) Sắp xếp công thức trường:

$$x=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\frac{1}{B}-R.$$

Vì thế đồ thị có hệ số góc dương và tung độ gốc âm.

Đồ thị lời giải 28.73: Khoảng cách từ mặt cáp theo nghịch đảo độ lớn từ trường.

(c) Đặt $s$ là hệ số góc và $c$ là tung độ gốc. Đường thẳng phù hợp với toàn bộ dữ liệu cho:

$$\begin{array}{rl}s& \approx \mathrm{1,298}\times {10}^{-5}\mathrm{T}\mathrm{m},\\ c& \approx -\mathrm{1,191}\times {10}^{-2}\mathrm{m}.\end{array}$$

So sánh với biểu thức lý thuyết:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{2\pi s}{{\mu }_0}\\ & \approx 64,9\mathrm{A},\\ R& =-c\\ & \approx 1,19\mathrm{cm}.\end{array}$$

Từ độ chính xác của số đo và đồ thị, có thể nêu kết quả khoảng $65\mathrm{A}$ và $1,2\mathrm{cm}$.

Bài tập 28: 74 ••• DATA

Hai thanh kim loại cứng, dài $0,50\mathrm{m}$, nằm song song trên bàn không ma sát. Hai đầu tương ứng được nối bằng hai lò xo dẫn điện giống nhau, rất nhẹ, có chiều dài tự nhiên $l_0$ và hằng số lực $k$ như Hình P28.74. Dòng $I$ chạy qua mạch gồm thanh và lò xo làm các lò xo giãn.

Khi $I=8,05\mathrm{A}$, mỗi lò xo giãn $x=0,40\mathrm{cm}$. Khi $I=13,1\mathrm{A}$, độ giãn là $0,80\mathrm{cm}$. Trong cả hai trường hợp, thanh dài hơn nhiều khoảng cách giữa hai thanh, nên có thể dùng công thức hai dây dài vô hạn. (a) Tìm $l_0,k$.

(b) Tìm độ giãn khi $I=12,0\mathrm{A}$.

(c) Tìm dòng cần để mỗi lò xo giãn $1,00\mathrm{cm}$.

Hình P28.74: Hai thanh mang dòng ngược chiều được nối bởi hai lò xo dẫn điện.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chiều dài thanh $L=0,50\mathrm{m}$, khoảng cách hai thanh $d=l_0+x$. Hai cặp số đo là $(8,05\mathrm{A},\mathrm{0,004}0\mathrm{m})$ và $(13,1\mathrm{A},\mathrm{0,008}0\mathrm{m})$.

Hướng đi:

• Dòng qua hai thanh ngược chiều nên tạo lực đẩy. Tính lực trên cả chiều dài $L$ bằng công thức hai dây song song.
• Mỗi thanh chịu lực kéo từ hai lò xo, mỗi lò xo có lực $kx$. Vì vậy lực phục hồi tổng là $2kx$.
• Hai số đo cung cấp hai phương trình để tìm hai ẩn $k,l_0$. Sau đó giải phương trình cân bằng cho độ giãn hoặc dòng.

Điều kiện cân bằng của một thanh là:

$$\begin{array}{rl}2kx& =\frac{{\mu }_0{I}^{2}L}{2\pi (l_0+x)},\\ kx(l_0+x)& =\alpha I^2,\\ \alpha & =\frac{{\mu }_{0}L}{4\pi }.\end{array}$$

(a) Chia mỗi phương trình đo cho độ giãn tương ứng:

$$\begin{array}{rl}k{l}_0+k{x}_1& =\frac{\alpha I_1^2}{x_1},\\ k{l}_0+k{x}_2& =\frac{\alpha I_2^2}{x_2}.\end{array}$$

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:

$$\begin{array}{rl}k& =\frac{\alpha }{x_2-x_1}(\frac{I_2^2}{x_2}-\frac{I_1^2}{x_1})\\ & =6,56\times {10}^{-2}\mathrm{N}/\mathrm{m},\\ l_0& =\frac{\alpha I_1^2}{k{x}_1}-x_1\\ & =8,34\times {10}^{-3}\mathrm{m}.\end{array}$$

Chiều dài tự nhiên khoảng $0,83\mathrm{cm}$, hằng số lực khoảng $\mathrm{0,066}\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

(b) Viết cân bằng thành phương trình bậc hai:

$$x^2+l_{0}x-\frac{\alpha I^2}{k}=0.$$

Chọn nghiệm dương vì lò xo giãn:

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{-l_0+\sqrt{l_0^2+4\alpha I^2/k}}{2}\\ & =7,10\times {10}^{-3}\mathrm{m}\\ & \approx 0,71\mathrm{cm}.\end{array}$$

(c) Khi $x=\mathrm{0,010}0\mathrm{m}$, là:

$$I=\sqrt{\frac{kx(l_0+x)}{\alpha }}=15,5\mathrm{A}.$$

Bài tập 28: 75 ••• CP CALC

Plasma là khí chứa các hạt đã ion hóa. Khi plasma chuyển động, tương tác từ có thể tạo áp suất ép vào trong, gọi là hiệu ứng thắt dòng. Xét một ống plasma trụ bán kính $R$, dài $L$, chuyển động với vận tốc $\overrightarrow{v}$ dọc trục. Có $n$ ion trên một đơn vị thể tích, mỗi ion mang $q$.

(a) Tìm mật độ thể tích $\rho$ theo $n,q$.

(b) Bề dày của lớp bề mặt được lấy là $n^{-1/3}$. Tìm mật độ mặt $\sigma$.

(c) Với mật độ dòng $\overrightarrow{J}=\rho \overrightarrow{v}$, dùng Ampere tìm trường trên mặt trụ, gọi đơn vị theo chiều vòng quanh trụ là $\hat{\varphi }$.

(d) Dải dòng bề mặt có bề rộng $Rd\varphi$. Tìm dòng vi phân qua dải.

(e) Tìm lực vi phân tác dụng lên dải do trường của dòng trong thể tích.

(f) lực ép lên thành và chia diện tích thành trụ để tìm áp suất theo $n,q,R,v$.

(g) Tính áp suất khi $R=2,0\mathrm{cm}$, mật độ số ion là $8,0\times {10}^{16}\mathrm{ion}/{\mathrm{cm}}^3$, $q=1,6\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ và $v=20,0\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Plasma trụ có mật độ số $n$, mỗi ion $q$, dòng dọc trục và lớp bề mặt mỏng có bề dày $n^{-1/3}$. Cần tính riêng áp suất ép do tương tác từ.

Hướng đi:

• Nhân mật độ số với mỗi hạt để chuyển sang mật độ điện tích.
• Mật độ mặt bằng mật độ thể tích nhân bề dày lớp bề mặt.
• Dòng thể tích đối xứng trụ cho trường tiếp tuyến theo Ampere. Dòng trên dải bề mặt chịu lực $I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$ hướng vào trục.
• Áp suất dùng độ lớn lực ép trên diện tích. Tổng của các lực hướng vào từ mọi phía bằng không, nhưng áp suất không bằng không.

(a) Mật độ thể tích là:

$$\rho =nq.$$

(b) Mật độ mặt của lớp bề mặt:

$$\sigma =\rho n^{-1/3}=q{n}^{2/3}.$$

(c) Chọn dòng dọc $+z$. Dòng trong tiết diện trụ bằng $J\pi R^2=nqv\pi R^2$. Do đó:

$$\begin{array}{rl}{B}_R(2\pi R)& ={\mu }_{0}nqv\pi R^2,\\ {\overrightarrow{B}}_R& =\frac{{\mu }_{0}nqvR}{2}\hat{\varphi }.\end{array}$$

(d) Dòng mặt trên một đơn vị bề rộng là $\sigma v$. Nhân với bề rộng dải:

$$d{I}_{\mathrm{face}}=\sigma vRd\varphi .$$

(e) Dải dài $L$ theo trục. Vì $\hat{z}\times \hat{\varphi }=-\hat{r}$, lực hướng vào:

$$d\overrightarrow{F}=-\sigma vRL{B}_{R}d\varphi \hat{r}.$$

(f) Cộng các độ lớn lực ép theo phương bán kính. Mỗi dải có diện tích $RLd\varphi$, nên:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{comp}}& ={\int }_0^{2\pi }\sigma vRL{B}_{R}d\varphi \\ & =2\pi RL\sigma v{B}_R,\\ p& =\frac{F_{\mathrm{comp}}}{2\pi RL}\\ & =\sigma v{B}_R\\ & =\frac{{\mu }_0}{2}{n}^{5/3}{q}^{2}R{v}^2.\end{array}$$

Ở đây $F_{\mathrm{comp}}$ là tổng độ lớn lực ép lên các phần thành trụ. Các hướng bán kính khác nhau triệt tiêu khi cộng lực, chứ không làm mất áp suất trên từng phần thành.

(g) Đổi mật độ sang đơn vị SI:

$$\begin{array}{rl}n& =8,0\times {10}^{22}{\mathrm{m}}^{-3},\\ R& =\mathrm{0,020}\mathrm{m},\\ p& =1,91\times {10}^{-5}\mathrm{Pa}\\ & \approx 1,9\times {10}^{-5}\mathrm{Pa}.\end{array}$$

Bài nâng cao 28.76–28.80

Bài tập 28: 76 ••• CALC

Vỏ trụ bán kính $R$, dài $W$, mang phân bố đều $Q$ và quay quanh trục với tốc độ góc $\omega$. Tâm trụ ở gốc $O$, trục trụ trùng trục $x$ như Hình P28.76. (a) Tìm mật độ điện tích mặt $\sigma$.

(b) Tìm dòng vi phân $dI$ của một dải vòng tròn rộng $dx$ tại tọa độ $x$.

(c) Dùng công thức trường trên trục vòng dây để viết $d\overrightarrow{B}$ tại gốc do dải ấy.

(d) tìm trường tại gốc.

Hình P28.76: Vỏ trụ tích điện quay được chia thành những dải vòng tròn rộng dx.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ trụ có bán kính $R$, chiều dài $W$, đều $Q$. Các dải vòng nằm từ $x=-W/2$ đến $x=+W/2$.

Hướng đi:

• Chia vỏ thành các vòng, vì trường trên trục của từng vòng đã biết.
• của dải bằng mật độ mặt nhân diện tích dải. Dòng của dải bằng điện tích ấy chia chu kỳ quay.
• Các trường tại tâm trụ cùng phương trục, nên cộng bằng theo $x$, giữ khoảng cách từ vòng đến điểm đo.

(a) Diện tích mặt bên là $2\pi RW$:

$$\sigma =\frac{Q}{2\pi RW}.$$

(b) Dải rộng $dx$ có :

$$dQ=\sigma 2\pi Rdx=\frac{Q}{W}dx.$$

Với chu kỳ $T=2\pi /\omega$, dòng vi phân là:

$$dI=\frac{dQ}{T}=\frac{Q\omega }{2\pi W}dx.$$

(c) Vòng nằm cách gốc một khoảng $|x|$. Trường trên trục do vòng ấy là:

$$\begin{array}{rl}d\overrightarrow{B}& =\frac{{\mu }_0{R}^{2}dI}{2(x^2+R^2{)}^{3/2}}\hat{i}\\ & =\frac{{\mu }_{0}Q\omega R^2}{4\pi W}\times \frac{dx}{(x^2+R^2{)}^{3/2}}\hat{i}.\end{array}$$

Đã chọn chiều quay dương quanh $+x$. Dấu của $Q$ quyết định chiều dòng quy ước và chiều trường.

(d) Cộng từ hai đầu vỏ trụ:

$$\begin{array}{rl}{B}_x(O)& =\frac{{\mu }_{0}Q\omega R^2}{4\pi W}\mathcal{K},\\ \mathcal{K}& ={\int }_{-W/2}^{W/2}\frac{dx}{(x^2+R^2{)}^{3/2}}.\end{array}$$

Để tính $\mathcal{K}$, dùng nguyên hàm:

$$F(x)=\frac{x}{R^2\sqrt{x^2+R^2}}.$$

$\mathcal{K}$ bằng $F(W/2)-F(-W/2)$. Sau khi thay hai cận, ta được:

$$\begin{array}{rl}{B}_x(O)& =\frac{{\mu }_{0}Q\omega }{4\pi }{[R^2+(W/2{)}^2]}^{-1/2},\\ \overrightarrow{B}(O)& =B_x(O)\hat{i}.\end{array}$$

Bài tập 28: 77 ••• CALC

Khi một phân bố rắn, có tổng điện tích $Q$ và khối lượng $M$, quay quanh một trục, ${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{mag}}$ tỉ lệ với $\overrightarrow{L}$:

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{M}}_{\mathrm{mag}}& =\gamma \overrightarrow{L},\\ \gamma & =g\frac{Q}{2M}.\end{array}$$

$\gamma$ là tỉ số hồi chuyển từ, còn $g$ là hệ số không có đơn vị. Xét vỏ cầu bán kính $R$, khối lượng $M$, $Q$ phân bố đều, tâm tại $O$, quay quanh trục $z$ với tốc độ góc $\omega$.

(a) Dải mỏng ở góc cực $\theta$ đo từ $+z$ có bề rộng $Rd\theta$ và bán kính vòng $r=R\sin \theta$ như Hình P28.77. Tìm dòng vi phân $dI$ theo $Q,\omega ,R,\theta ,d\theta$.

(b) Với diện tích vòng $A=\pi r^2$, mômen vi phân là $d\mu =AdI$. Tìm $d\mu$.

(c) tìm của vỏ.

(d) Tìm độ lớn .

(e) Tìm $\gamma$.

(f) Tìm hệ số $g$ của vỏ cầu.

Hình P28.77: Dải mỏng trên vỏ cầu tích điện quay tạo thành một vòng dòng điện.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ cầu có và khối lượng phân bố đều. Trục quay là $z$, góc cực chạy từ $0$ đến $\pi$.

Hướng đi:

• Dải có diện tích bằng chu vi vòng nhân bề rộng, nên lấy đúng thừa số $\sin \theta$.
• Dòng của dải bằng qua một chu kỳ quay. của dải dùng diện tích vòng mà dòng bao quanh, khác diện tích bề mặt dải.
• Cộng mômen của các dải theo trục $z$. Tính của vỏ cầu rồi lấy tỉ số để tìm $\gamma ,g$.

(a) Mật độ mặt và diện tích dải là:

$$\begin{array}{rl}\sigma & =\frac{Q}{4\pi R^2},\\ d{A}_{\mathrm{strip}}& =2\pi R^2\sin \theta d\theta ,\\ dQ& =\frac{Q}{2}\sin \theta d\theta .\end{array}$$

Sau mỗi chu kỳ $2\pi /\omega$, này đi qua cùng một vị trí. Vì vậy:

$$dI=\frac{Q\omega }{4\pi }\sin \theta d\theta .$$

(b) Diện tích vòng được bao là $\pi R^2{\sin }^2\theta$, nên:

$$d\mu =\frac{Q\omega R^2}{4}{\sin }^3\theta d\theta .$$

(c) Mọi vòng có mômen cùng phương trục quay. góc là:

$$\begin{array}{rl}\mathcal{I}& ={\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta ,\\ \mathcal{I}& ={\int }_{-1}^1(1-u^2)du\\ & ={[u-\frac{u^3}{3}]}_{-1}^1\\ & =\frac{4}{3},\end{array}$$

trong đó đã đặt $u=\cos \theta$. Do đó:

$${\overrightarrow{M}}_{\mathrm{mag}}=\frac{Q\omega R^2}{3}\hat{k}.$$

(d) Với khối lượng phân bố đều, một dải có $dm=(M/2)\sin \theta d\theta$. Khoảng cách dải đến trục bằng $R\sin \theta$. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}{I}_z& =\frac{M{R}^2}{2}{\int }_0^{\pi }{\sin }^3\theta d\theta \\ & =\frac{2}{3}M{R}^2,\\ L& =I_z\omega =\frac{2}{3}M{R}^2\omega .\end{array}$$

(e) So sánh hai theo cùng trục:

$$\gamma =\frac{Q}{2M}.$$

Tỉ số có dấu theo $Q$. Với âm, ngược hướng .

(f) Đối chiếu với $\gamma =gQ/(2M)$:

$$g=1.$$

Bài tập 28: 78 ••• CALC

cho dòng mặt có thể viết:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\sigma \overrightarrow{v}\times \hat{r}}{r^2}da,$$

trong đó $\sigma$ là mật độ mặt tại chỗ, $\overrightarrow{v}$ là vận tốc điện tích và $da$ là phần tử diện tích. Dùng biểu thức này để giải lại bài 28.76.

(a) Viết $\sigma$.

(b) Tìm từ phần tử ở $(x,R\cos \varphi ,R\sin \varphi )$ đến gốc.

(c) Tìm vận tốc phần tử.

(d) Tính $\overrightarrow{v}\times \hat{r}$.

(e) Với $da=Rdxd\varphi$, viết kép và tính trường tại tâm.

(f) So sánh với kết quả bài 28.76.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ trụ của bài 28.76 có tâm ở gốc, trục $x$, bán kính $R$, dài $W$, $Q$ đều và tốc độ góc $\omega$.

Hướng đi:

• Giữ khoảng cách theo chiều từ nguồn đến điểm đo, vì đảo nó sẽ đảo chiều .
• Dùng $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_{\mathrm{pos}}$ để tìm vận tốc quay quanh $x$.
• theo $\varphi$ trước. Đối xứng làm các thành phần ngang trục triệt tiêu, chỉ còn thành phần $x$.

(a) Mật độ mặt là:

$$\sigma =\frac{Q}{2\pi RW}.$$

(b) từ phần tử đến gốc là:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{r}& =-x\hat{i}-R\cos \varphi \hat{j}-R\sin \varphi \hat{k},\\ r& =\sqrt{x^2+R^2}.\end{array}$$

(c) Chọn $\overrightarrow{\omega }=\omega \hat{i}$. Từ của vận tốc góc và vị trí:

$$\overrightarrow{v}=-\omega R\sin \varphi \hat{j}+\omega R\cos \varphi \hat{k}.$$

(d) Tính từng thành phần thay vì suy chiều từ một vị trí riêng:

$$\begin{array}{rl}(\overrightarrow{v}\times \hat{r}{)}_x& =\frac{\omega R^2}{\sqrt{x^2+R^2}},\\ (\overrightarrow{v}\times \hat{r}{)}_y& =-\frac{\omega xR\cos \varphi }{\sqrt{x^2+R^2}},\\ (\overrightarrow{v}\times \hat{r}{)}_z& =-\frac{\omega xR\sin \varphi }{\sqrt{x^2+R^2}}.\end{array}$$

(e) Thay $da=Rdxd\varphi$ và $r^2=x^2+R^2$. Đặt $r(x)=\sqrt{x^2+R^2}$. Mỗi thành phần có cùng mẫu số $r(x{)}^3$. Gọi $D$ là miền có các cận $-W/2\le x\le W/2$ và $0\le \varphi \le 2\pi$. Tích phân kép của từng thành phần là:

$$\begin{array}{rl}{B}_x& =\frac{{\mu }_0\sigma \omega R^3}{4\pi }{\iint }_D\frac{d\varphi dx}{r(x{)}^3},\\ B_y& =-\frac{{\mu }_0\sigma \omega R^2}{4\pi }{\iint }_D\frac{x\cos \varphi d\varphi dx}{r(x{)}^3},\\ B_z& =-\frac{{\mu }_0\sigma \omega R^2}{4\pi }{\iint }_D\frac{x\sin \varphi d\varphi dx}{r(x{)}^3}.\end{array}$$

Các góc của $\cos \varphi$ và $\sin \varphi$ đều bằng không, nên $B_y=B_z=0$. Tích phân góc trong $B_x$ bằng $2\pi$:

$$\begin{array}{rl}{B}_x& =\frac{{\mu }_0\sigma \omega R^3}{2}{\int }_{-W/2}^{W/2}\frac{dx}{r(x{)}^3}\\ & =\frac{{\mu }_0\sigma \omega RW}{2}{[R^2+(W/2{)}^2]}^{-1/2}\\ & =\frac{{\mu }_{0}Q\omega }{4\pi }{[R^2+(W/2{)}^2]}^{-1/2}.\end{array}$$

(f) Vì vậy trường tại tâm đúng bằng biểu thức thu được khi chia vỏ thành các vòng:

$$\begin{array}{rl}{B}_x(O)& =\frac{{\mu }_{0}Q\omega }{4\pi }{[R^2+(W/2{)}^2]}^{-1/2},\\ \overrightarrow{B}(O)& =B_x(O)\hat{i}.\end{array}$$

Bài tập 28: 79 ••• CP

Hai dây dẫn dài, thẳng, có khối lượng dài $\lambda$, được treo bằng dây treo để nằm ngang, song song và cách nhau $d$. Hai đầu phía sau được nối bằng dây dẫn điện trở nhỏ, chùng. Tụ đã tích điện có điện dung $C$ được mắc vào hai đầu phía trước bằng các dây nối cũng chùng, điện trở nhỏ như Hình P28.79. Bản dương ban đầu mang $+Q_0$, bản âm mang $-Q_0$.

Khi nối mạch, lực đẩy từ làm hai dây nhận vận tốc ngang ban đầu có độ lớn $v_0$. Thời gian phóng tụ rất nhỏ so với thời gian để dây dịch chuyển đáng kể. (a) Chứng minh:

$$v_0=\frac{{\mu }_0{Q}_0^2}{4\pi \lambda RCd},$$

trong đó $R$ là tổng điện trở mạch.

(b) Tìm độ cao $h$ mà mỗi dây dâng lên sau khi nối mạch.

Hình P28.79: Tụ phóng qua hai dây song song, tạo xung lực từ đẩy hai dây ra xa nhau.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dòng phóng tụ đi theo hai chiều ngược nhau trên hai dây. Trong thời gian phóng, coi khoảng cách $d$ không đổi. Điện trở toàn mạch $R$, điện dung $C$, ban đầu $Q_0$.

Hướng đi:

• Dùng dòng phóng tụ theo thời gian của mạch RC, vì phụ thuộc bình phương dòng.
• lực theo thời gian để lấy xung lực, thay vì nhân lực ban đầu với một thời gian phóng tùy chọn.
• Xét một đoạn dây bất kỳ. Chiều dài triệt tiêu khi chia xung lực cho khối lượng đoạn dây.
• Sau xung, dùng bảo toàn cơ năng của chuyển động nâng lên để tìm độ cao ở vị trí dừng tức thời.

(a) trong mạch là:

$$\begin{array}{rl}I(t)& =\frac{Q_0}{RC}{e}^{-t/(RC)},\\ \frac{F(t)}{L}& =\frac{{\mu }_{0}I(t{)}^2}{2\pi d}.\end{array}$$

Với đoạn dây dài $L$, khối lượng là $\lambda L$. Xung lực cho:

$$\begin{array}{rl}\lambda L{v}_0& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}F(t)dt,\\ v_0& =\frac{{\mu }_0}{2\pi \lambda d}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(t{)}^{2}dt.\end{array}$$

Gọi $S$ là bình phương dòng theo thời gian. Ta tính riêng đại lượng này:

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}I(t{)}^{2}dt,\\ S& =\frac{Q_0^2}{R^2{C}^2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2t/(RC)}dt\\ & =\frac{Q_0^2}{R^2{C}^2}\frac{RC}{2}\\ & =\frac{Q_0^2}{2RC}.\end{array}$$

Thay lại vào xung lực:

$$v_0=\frac{{\mu }_0{Q}_0^2}{4\pi \lambda RCd}.$$

(b) Khi dòng đã tắt, động năng ban đầu chuyển thành thế năng trọng trường trong quá trình dây nâng lên. Ở vị trí dâng cao nhất của chuyển động này:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\lambda L{v}_0^2& =\lambda Lgh,\\ h& =\frac{v_0^2}{2g}\\ & =\frac{1}{2g}{\left(\frac{{\mu }_0{Q}_0^2}{4\pi \lambda RCd}\right)}^2.\end{array}$$

Khối lượng dài ảnh hưởng vận tốc nhận được trong xung, còn chiều dài đoạn dây đã chọn không ảnh hưởng kết quả.

Bài tập 28: 80 •••

Một dải cách điện rộng, dài, mang mặt đều $\sigma$ trên mặt trên. Các con lăn ở hai đầu làm dải chạy sang phải với tốc độ không đổi $v$. Tính độ lớn và chiều của tại điểm ngay phía trên dải. Xét điểm gần mặt dải và rất xa hai mép cũng như hai đầu, để dải chuyển động được xem như mặt vô hạn của bài 28.69.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: mặt $\sigma$ chuyển động cùng dải với vận tốc $v$. Bỏ qua ảnh hưởng hai mép và hai đầu trong vùng xét.

Hướng đi:

• Dòng ở đây do chuyển động cùng vật cách điện, không cần điện tích tự do dẫn điện trong vật.
• Mật độ dòng mặt bằng mặt nhân vận tốc, có đơn vị ampere trên mét.
• Dùng kết quả mặt dòng vô hạn, thay mật độ dòng mặt $nI$ bằng $\sigma v$.

Chọn dải nằm trong mặt phẳng $xy$, chạy theo $+x$, phía trên là $+z$. Mật độ dòng mặt:

$$\overrightarrow{K}=\sigma v\hat{i}.$$

Trường ngay phía trên có dạng:

$$\overrightarrow{B}=-\frac{{\mu }_0\sigma v}{2}\hat{j}.$$

Độ lớn là ${\mu }_0|\sigma |v/2$. Với $\sigma >0$, trường nằm ngang, vuông góc chiều chạy và theo $-y$ trong hệ trục vừa chọn. Nếu mặt âm, chiều trường đảo.

Đoạn dẫn và câu hỏi MCAT

BIO: Nghiên cứu vi khuẩn có từ tính

Một số vi khuẩn chứa các chuỗi hạt song song với trục dài của chúng. Các chuỗi này hoạt động như nam châm thanh nhỏ, định hướng vi khuẩn theo Trái Đất.

Trong một thí nghiệm nghiên cứu phản ứng của những vi khuẩn ấy với , dây đồng đường kính $1,0\mathrm{mm}$ được quấn đều thành một tầng vòng xoắn. $40\mathrm{cm}$, đường kính $12\mathrm{cm}$. Dây có một tầng cách điện rất mỏng. Các vòng được quấn sao cho hai vòng kề vừa chạm nhau.

tạo được đặt trong một hộp che chắn khỏi những từ trường khác. Mẫu vi khuẩn có từ tính được đặt trong ống dây. Mômen lực lên một vi khuẩn tỉ lệ với độ lớn từ trường và với sin của góc giữa trục dài của vi khuẩn và hướng trường.

Bài tập 28: 81

trong dây phải bằng bao nhiêu để vi khuẩn chịu có độ lớn $150\mu \mathrm{T}$?

• (a) $\mathrm{0,095}\mathrm{A}$.
• (b) $0,12\mathrm{A}$.
• (c) $0,30\mathrm{A}$.
• (d) $14\mathrm{A}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bước vòng bằng đường kính dây $1,0\mathrm{mm}$. Cần $B=150\mu \mathrm{T}$ trong mô hình .

Hướng đi:

• Các vòng vừa chạm nhau, nên số vòng trên một đơn vị chiều dài bằng nghịch đảo đường kính dây.
• Dùng $B={\mu }_{0}nI$ ở bên trong để tìm dòng.

Mật độ vòng và số vòng của ống là:

$$\begin{array}{rl}n& =\frac{1}{1,0\times {10}^{-3}}\\ & =1,0\times {10}^3{\mathrm{m}}^{-1},\\ N& =nL=400.\end{array}$$

cần có:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{B}{{\mu }_{0}n}\\ & =\mathrm{0,119}\mathrm{A}\\ & \approx 0,12\mathrm{A}.\end{array}$$

Chọn (b).

Bài tập 28: 82

Để dùng mẫu lớn hơn, người thí nghiệm chế tạo có cùng chiều dài, loại dây và khoảng cách giữa các vòng, nhưng đường kính gấp đôi. So sánh mômen cực đại lên vi khuẩn trong ống mới với ống ban đầu, giả sử trong hai ống bằng nhau. Mômen cực đại trong ống mới là:

• (a) Gấp đôi mômen trong ống ban đầu.
• (b) Bằng một nửa mômen trong ống ban đầu.
• (c) Bằng mômen trong ống ban đầu.
• (d) Bằng một phần tư mômen trong ống ban đầu.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chiều dài, bước vòng và dòng không đổi. Chỉ đường kính khuôn trụ tăng gấp đôi.

Hướng đi:

• Trong mô hình , trường phụ thuộc $n,I$, không phụ thuộc đường kính.
• Mật độ vòng không đổi vì bước vòng không đổi.
• Với cùng vi khuẩn, mômen cực đại tỉ lệ với độ lớn trường khi sin của góc bằng một.

Ta có:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{n}_{\mathrm{new}}& =n_{\mathrm{old}},\\ B_{\mathrm{new}}& ={\mu }_{0}nI=B_{\mathrm{old}},\\ \\ ta{u}_{ \\ max,\mathrm{new}}& =\\ ta{u}_{ \\ max,\mathrm{old}}.\end{array} \end{gathered}$$

Chọn (c). Kết luận dùng mô hình bỏ qua hiệu ứng mép đang áp dụng cho các câu hỏi này.

Bài tập 28: 83

Lấy ra khỏi hộp che chắn và đặt ở nơi trường Trái Đất có độ lớn $50\mu \mathrm{T}$, hướng ngang. Đặt mẫu vi khuẩn ở tâm ống và dùng đúng dòng đã tạo trường $150\mu \mathrm{T}$ trong phòng thí nghiệm. Vi khuẩn chịu :

• (a) Vẫn bằng $150\mu \mathrm{T}$.
• (b) Bằng $200\mu \mathrm{T}$.
• (c) Nằm giữa $100$ và $200\mu \mathrm{T}$, tùy hướng .
• (d) Nằm giữa $50$ và $150\mu \mathrm{T}$, tùy hướng .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường của ống có độ lớn $B_s=150\mu \mathrm{T}$, trường Trái Đất $B_T=50\mu \mathrm{T}$. Góc giữa hai trường phụ thuộc cách đặt ống.

Hướng đi:

• tuân theo nguyên lý chồng chất, nên phải cộng hai .
• Tổng lớn nhất khi hai trường cùng hướng, nhỏ nhất khi chúng ngược hướng.
• Các hướng trung gian cho những độ lớn nằm giữa hai giới hạn ấy.

Với góc $\alpha$ giữa hai trường:

$$B^2=B_s^2+B_T^2+2B_s{B}_T\cos \alpha .$$

Vì $-1\le \cos \alpha \le 1$:

$$\begin{array}{rl}{B}_{min}& =B_s-B_T=100\mu \mathrm{T},\\ B_{max}& =B_s+B_T=200\mu \mathrm{T}.\end{array}$$

Chọn (c).

Đáp số tra cứu

Các bảng sau liệt kê đáp số theo từng tiểu mục. Bài 28.57 là bài ước lượng mở nên kết quả được ghi theo công suất phát $P$ của thiết bị cụ thể.

Lời giải: 12 bài tập có hướng dẫn

Bài	Đáp số
VP28.2.1	(a) $3,20\times {10}^{-15}\hat{k}\mathrm{T}$. (b) $-8,00\times {10}^{-16}\hat{j}\mathrm{T}$. (c) $0$. (d) $1,13\times {10}^{-15}\hat{k}\mathrm{T}$.
VP28.2.2	(a) $1,13\times {10}^{-28}\mathrm{N}$, hướng về proton. (b) $1,13\times {10}^{-28}\mathrm{N}$, hướng về electron. Hai hút nhau.
VP28.2.3	(a) $\hat{r}=\mathrm{0,600}\hat{i}+\mathrm{0,800}\hat{j}$. (b) $\overrightarrow{B}=-2,88\times {10}^{-11}\hat{k}\mathrm{T}$.
VP28.2.4	$\overrightarrow{B}=\mathrm{2,048}\times {10}^{-9}\hat{j}\mathrm{T}$. lên electron $\overrightarrow{F}=9,83\times {10}^{-23}\hat{k}\mathrm{N}$.
VP28.5.1	$I=2,24\mathrm{A}$.
VP28.5.2	(a) $-60,0\mu \mathrm{T}\hat{i}$. (b) $-46,7\mu \mathrm{T}\hat{i}$. (c) $+86,7\mu \mathrm{T}\hat{i}$.
VP28.5.3	(a) Dòng cùng chiều: $I_2=5,00\mathrm{A}$. (b) dòng ngược chiều: $I_2=1,00\mathrm{A}$.
VP28.5.4	$I_2=3,29\times {10}^4\mathrm{A}$, hướng lên.
VP28.10.1	(a) $4,94\mu \mathrm{T}$. (b) $8,89\mu \mathrm{T}$. (c) $6,67\mu \mathrm{T}$.
VP28.10.2	(a) $B=0$ khi $r<R_1$; $B={\mu }_{0}J(r^2-R_1^2)/(2r)$ khi $R_1<r<R_2$; $B={\mu }_{0}J(R_2^2-R_1^2)/(2r)$ khi $r>R_2$. (b) Cực đại tại $r=R_2$.
VP28.10.3	$I=3,18\mathrm{A}$.
VP28.10.4	(a) $N\approx 833$ vòng. (b) $B_{max}=2,33\mathrm{mT}$ ở bán kính trong, $B_{min}=1,75\mathrm{mT}$ ở bán kính ngoài.

Lời giải: Câu hỏi mở đầu chương, bài toán cầu nối và câu hỏi MCAT

Mục	Đáp số
Câu hỏi mở đầu chương	(iv) Không đổi độ lớn . Nối hai đồng trục đầu-cuối làm số vòng và chiều dài cùng tăng gấp đôi, nên mật độ vòng không đổi.
Bài toán cầu nối	$B={\mu }_{0}nQ/a$, hướng theo trục quay theo quy tắc bàn tay phải, trong đó $n$ là số vòng quay mỗi giây.
28.81	(b) $0,12\mathrm{A}$.
28.82	(c) Mômen cực đại không đổi.
28.83	(c) Độ lớn trường nằm trong khoảng $100$–$200\mu \mathrm{T}$, tùy hướng .

Lời giải: Đáp số các bài lẻ 28.1–28.29

Bài	Đáp số
28.1	(a) $-19,2\mu \mathrm{T}\hat{k}$. (b) $0$. (c) $+19,2\mu \mathrm{T}\hat{i}$. (d) $+6,79\mu \mathrm{T}\hat{i}$.
28.3	(a) $60,0\mathrm{nT}$, hướng ra trang tại cả A và B. (b) $\mathrm{0,120}\mu \mathrm{T}$ hướng ra trang. (c) $0$.
28.5	(a) $0$. (b) $-1,31\mu \mathrm{T}\hat{k}$. (c) $-\mathrm{0,462}\mu \mathrm{T}\hat{k}$. (d) $+1,31\mu \mathrm{T}\hat{j}$.
28.7	(a) $\hat{r}=-\hat{i}$. (b) $0$. (c) $1,21\mathrm{pT}$ hướng ra trang. (d) $1,21\mathrm{pT}$ hướng vào trang.
28.9	(a) $\mathrm{0,440}\mu \mathrm{T}$ hướng ra trang. (b) $16,7\mathrm{nT}$ hướng ra trang. (c) $0$.
28.11	(a) $+50,0\mathrm{pT}\hat{j}$. (b) $-50,0\mathrm{pT}\hat{i}$. (c) $17,7\mathrm{pT}(-\hat{i}+\hat{j})$. (d) $0$.
28.13	$17,6\mu \mathrm{T}$, hướng vào trang.
28.15	(a) $0,8\mathrm{mT}$. (b) $40\mu \mathrm{T}$, nhỏ hơn trường hợp (a) 20 lần.
28.17	$250\mu \mathrm{A}$. Dữ kiện là $10\mu \mathrm{G}$ tại khoảng cách $5,0\mathrm{cm}$.
28.19	(a) $\mathrm{0,100}\mu \mathrm{T}$ theo $-x$. (b) $2,19\mu \mathrm{T}$, hợp góc $46,8^{\circ }$ từ $+x$ về $+z$. (c) $7,90\mu \mathrm{T}$ theo $+x$.
28.21	(a) $0$. (b) $6,67\mu \mathrm{T}$ hướng lên đầu trang. (c) $7,53\mu \mathrm{T}$ hướng sang trái.
28.23	(a) $0$. (b) $0$. (c) $\mathrm{0,400}\mathrm{mT}$ hướng sang trái.
28.25	(a) Tại P: $41\mu \mathrm{T}$ vào trang. Tại Q: $41\mu \mathrm{T}$ ra trang. (b) Tại P: $9,0\mu \mathrm{T}$ ra trang. Tại Q: $9,0\mu \mathrm{T}$ vào trang.
28.27	Độ cao cân bằng: $h={\mu }_0{I}^2/(2\pi \lambda g)$.
28.29	Hai dòng ngược chiều nên đẩy nhau. (a) $6,00\mu \mathrm{N}$. (b) $24,0\mu \mathrm{N}$.

Lời giải: Đáp số các bài lẻ 28.31–28.59

Bài	Đáp số
28.31	$\mathrm{0,382}\mu \mathrm{A}$.
28.33	$B=\mu_0
28.35	$18,0\mathrm{A}$, ngược chiều kim đồng hồ.
28.37	(a) $305\mathrm{A}$. (b) $-3,83\times {10}^{-4}\mathrm{T}\mathrm{m}$.
28.39	(a) Trong khe giữa lõi và ống dẫn, $a<r<b$: $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$. (b) ngoài ống $r>c$: $B=0$ vì hai dòng bằng nhau và ngược chiều.
28.41	(a) $B={\mu }_0{I}_1/(2\pi r)$. (b) $B={\mu }_0(I_1+I_2)/(2\pi r)$.
28.43	(a) $1,79\times {10}^3$ vòng/m. (b) $63,0\mathrm{m}$ dây.
28.45	(a) $3,72\mathrm{MA}$. (b) $124\mathrm{kA}$. (c) $237\mathrm{A}$.
28.47	(a) (i) $1,13\mathrm{mT}$. (ii) $4,68\mathrm{MA}/\mathrm{m}$. (iii) $5,88\mathrm{T}$. (b) Ba ${\overrightarrow{B}}_0$, $\overrightarrow{M}$ và $\overrightarrow{B}$ cùng hướng dọc trục .
28.49	(a) $1,00\mu \mathrm{T}$ vào trang. (b) $74,9\mathrm{nN}$ theo $+\hat{j}$.
28.51	$\mathrm{0,200}\mathrm{m}$.
28.53	(a) $F\approx {\mu }_0{I}^{2}R/d$. (b) $F\approx 4B^2{R}^3/({\mu }_{0}d)$. (c) $B=\frac{1}{2}\sqrt{{\mu }_{0}Fd/R^3}$. (d) giả sử lực tách khoảng $5\mathrm{N}$. (e) diện tích nam châm khoảng $25{\mathrm{cm}}^2$. (f) với $d=25\mathrm{mm}$, $B\approx 41,8\mathrm{mT}$.
28.55	(a) $5,7\times {10}^{12}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$, ra xa dây. (b) $32,5\mathrm{N}/\mathrm{C}$, ra xa dây. (c) Không cần tính trọng lực vì lớn hơn trọng lực rất nhiều.
28.57	(a) Gọi công suất phát đo/tra của mẫu máy là $P$. (b) dòng pin là $P/(1,5\mathrm{V})$. (c) giả sử bề rộng đầu $0,16\mathrm{m}$. (d) loa đường kính $2,0\mathrm{cm}$ cho trường $8,0\times {10}^{-8}\mathrm{T}$ trên mỗi watt công suất. (e) tỉ số trường điện thoại/trường Trái Đất là $\mathrm{0,160}\mathrm{\%}$ trên mỗi watt. Ví dụ tại $P=0,10\mathrm{W}$: $I=66,7\mathrm{mA}$, $B=8,0\mathrm{nT}$, bằng $\mathrm{0,016}\mathrm{\%}$ trường Trái Đất.
28.59	(a) $I_2=2,00\mathrm{A}$ ra khỏi trang. (b) $2,13\mu \mathrm{T}$ hướng lên trong mặt phẳng hình. (c) $2,06\mu \mathrm{T}$.

Lời giải: Đáp số các bài lẻ 28.61–28.83

Bài	Đáp số
28.61	$23,2\mathrm{A}$ trong mỗi dây.
28.63	(a) $I_0=81,5\mathrm{A}$. (b) $B={\mu }_0{I}_0/(2\pi r)$. (c) $I(r)=I_0(e^{r/\delta }-1)/(e^{a/\delta }-1)$. (d) $B={\mu }_{0}I(r)/(2\pi r)$ với $I(r)$ từ (c). (e) $B(\delta )=175\mu \mathrm{T}$, $B(a)=326\mu \mathrm{T}$, $B(2a)=163\mu \mathrm{T}$.
28.65	(a) $\alpha =3I/(2\pi R^3)$. (b) $B={\mu }_{0}I{r}^2/(2\pi R^3)$ khi $r\le R$, và $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$ khi $r\ge R$.
28.67	(a) mật độ dòng trên tiết diện cho tổng dòng $I_0$. (b) $B={\mu }_0{I}_0/(2\pi r)$ khi $r\ge a$. (c) $I(r)=I_0[2(r/a{)}^2-(r/a{)}^4]$. (d) $B={\mu }_{0}I(r)/(2\pi r)$ khi $r\le a$, khớp liên tục tại $r=a$.
28.69	(a) Bên dưới: $B={\mu }_{0}nI/2$ theo $-x$. (b) bên trên: $B={\mu }_{0}nI/2$ theo $+x$.
28.71	(a) Dòng bao $Q_1{\omega }_1/(2\pi )$. (b) $B={\mu }_0{Q}_1{\omega }_1/(2\pi H)$ theo $+z$. (c) $\tau =\mu B\sin \theta$ với đĩa đã cho trong đề. (d) $L=M{R}_2^2{\omega }_2/2$.
28.73	(a) Với $x=(2,4,6,8,10)\mathrm{cm}$, các tích $Bx$ là 8,12, 10,00, 10,86, 11,28 và 11,60, tính bằng ${10}^{-6}\mathrm{T}\mathrm{m}$, không cố định. (b) đồ thị $x$ theo $1/B$ gần tuyến tính. (c) $I=64,9\mathrm{A}$, $R=1,19\mathrm{cm}$.
28.75	(a) $\rho =nq$. (b) $\sigma =n^{2/3}q$. (c) $B={\mu }_{0}nqvR/2$ theo $\hat{\varphi }$. (d) $d{I}_{\mathrm{face}}=n^{2/3}qvRd\varphi$. (e) lực dải: $dF=d{I}_{\mathrm{face}}LB$. (f) $p_{\mathrm{comp}}={\mu }_0{n}^{5/3}{q}^2{v}^{2}R/2$. (g) $1,9\times {10}^{-5}\mathrm{Pa}$.
28.77	(a) $dI=(Q\omega /4\pi )\sin \theta d\theta$. (b) $d\mu =(Q\omega R^2/4){\sin }^3\theta d\theta$. (c) $\mu =Q\omega R^2/3$ theo $+z$. (d) $L=2M{R}^2\omega /3$. (e) $\gamma =Q/(2M)$. (f) $g=1$.
28.79	(a) $v_0={\mu }_0{Q}_0^2/(4\pi \lambda RCd)$. (b) mỗi dây dâng $h=v_0^2/(2g)$.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, ấn bản 15, chương 28, trang 943–952 và phụ lục đáp số A-17.