34.2. Phản xạ tại mặt cầu

Gương phẳng là trường hợp đặc biệt đơn giản nhất của hệ quang học phản xạ. Trong thực tế đời sống và khoa học kỹ thuật, các bề mặt phản xạ dạng cong, đặc biệt là mặt cầu, được dùng từ đèn pha ô tô, cho tới gương nha khoa và tại các khúc cua đường bộ. Bài học này khảo sát định lượng quá trình tạo ảnh qua các bề mặt phản xạ hình cầu.

Gương cầu lõm

Xét một bề mặt phản xạ hình cầu lõm, trong đó mặt phản xạ quay về phía ánh sáng tới như biểu diễn ở Hình 34.10. Một gương như vậy được gọi là (concave spherical mirror).

Hình 34.10: Quá trình tạo ảnh của một vật điểm qua gương cầu lõm. (a) Cách dựng hình hình học để xác định vị trí ảnh P′ dựa trên các định luật phản xạ. (b) Minh họa gần đúng cận trục khi góc nghiêng α của tia sáng rất nhỏ, đảm bảo mọi tia xuất phát từ P đều hội tụ tại cùng một ảnh điểm P′.

Chú thích:

• Đỉnh gương (Vertex)
• Trục quang (Optic axis)
• Tâm cong (Center of curvature)
• Vật điểm (Point object)
• Các khoảng s và s′ đều mang giá trị dương. (s and s′ are both positive.)
• Mọi tia sáng từ P lập góc α nhỏ đều đi qua P′, tạo thành ảnh thật. (All rays from P that have a small angle a pass through P′, forming a real image.)
• Đối với gương cầu, (For a spherical mirror,)
• Cách dựng hình tìm vị trí ảnh P′ tạo bởi gương cầu lõm (Construction for finding the position P′ of an image formed by a concave spherical mirror)
• Gần đúng cận trục, áp dụng cho các tia có góc α nhỏ (The paraxial approximation, which holds for rays with small a)

Bề mặt phản xạ có bán kính cong $R$, tâm cong của mặt cầu đặt tại điểm $C$, và tâm hình học của bề mặt gương được gọi là đỉnh gương $V$ (vertex). Đường thẳng nối tâm cong $C$ và đỉnh gương $V$ được định nghĩa là trục quang (optic axis).

Xét một vật điểm $P$ nằm trên trục quang, cách đỉnh gương $V$ một khoảng $s$. Một $PV$ truyền dọc theo trục quang sẽ đập thẳng góc vào gương tại $V$ và bật ngược trở lại theo đúng phương cũ. Một tia sáng thứ hai xuất phát từ $P$ đập vào mặt gương tại điểm $B$ dưới góc tới $\theta$.

Đoạn thẳng nối tâm cong $C$ với điểm tới $B$ chính là bán kính của mặt cầu, do đó $CB$ đóng vai trò là pháp tuyến của bề mặt gương tại $B$. Theo định luật phản xạ, tia phản xạ $B{P}^{\prime }$ tạo với pháp tuyến $CB$ một góc phản xạ đúng bằng góc tới $\theta$. Tia phản xạ này cắt trục quang tại điểm $P^{\prime }$, cách đỉnh gương một khoảng $s^{\prime }$. Vì hai phản xạ cắt nhau tại $P^{\prime }$, điểm $P^{\prime }$ chính là ảnh của $P$. Vì các tia sáng thực sự hội tụ tại $P^{\prime }$, đây là một (real image).

Để thiết lập mối liên hệ định lượng giữa khoảng cách vật $s$, khoảng cách ảnh $s^{\prime }$ và bán kính cong $R$, ta xét các góc $\alpha$, $\beta$ và $\varphi$ mà các đoạn thẳng $PB$, $P^{\prime }B$ và $CB$ tạo với trục quang:

Trong tam giác $PBC$, góc $\varphi$ là góc ngoài tại đỉnh $C$, do đó ta có:

$$\varphi =\alpha +\theta$$

Suy ra:

$$\theta =\varphi -\alpha$$

Hoàn toàn tương tự, xét tam giác $P^{\prime }BC$, góc $\beta$ là góc ngoài tại đỉnh $P^{\prime }$, nên ta có:

$$\beta =\varphi +\theta$$

Thay biểu thức của $\theta$ từ hệ thức trên vào, ta thu được:

$$\beta =\varphi +(\varphi -\alpha )=2\varphi -\alpha$$

Chuyển vế, ta tìm được mối quan hệ góc cơ bản:

$$\alpha +\beta =2\varphi$$

(34.3)

Gọi $h$ là khoảng cách từ điểm tới $B$ hạ vuông góc xuống trục quang, và $d$ là khoảng cách từ chân đường vuông góc này tới đỉnh gương $V$. Nhận xét rằng $s$, $s^{\prime }$ và $R$ đều là các độ dài hình học dương, ta có thể viết biểu thức tang của các góc:

$$\tan \alpha =\frac{h}{s-d}$$

$$\tan \beta =\frac{h}{s^{\prime }-d}$$

$$\tan \varphi =\frac{h}{R-d}$$

Các phương trình lượng giác này phụ thuộc vào điểm tới $B$ cụ thể. Tuy nhiên, nếu góc $\alpha$ rất nhỏ, góc tới $\theta$ cũng nhỏ, kéo theo các góc $\beta$ và $\varphi$ đều rất nhỏ. Khi đó điểm tới $B$ nằm rất gần đỉnh gương $V$, khoảng cách $d$ trở nên không đáng kể so với $s$, $s^{\prime }$ và $R$ ($d\approx 0$). Đồng thời ta có thể áp dụng gần đúng góc nhỏ theo radian:

$$\tan \alpha \approx \alpha \approx \frac{h}{s}$$

$$\tan \beta \approx \beta \approx \frac{h}{s^{\prime }}$$

$$\tan \varphi \approx \varphi \approx \frac{h}{R}$$

Các tạo các góc nhỏ với trục quang và truyền đi gần trục quang được gọi là (paraxial rays), và phép đơn giản hóa này được gọi là gần đúng cận trục (paraxial approximation).

Thay các gần đúng góc này vào phương trình (34.3):

$$\frac{h}{s}+\frac{h}{s^{\prime }}=\frac{2h}{R}$$

Triệt tiêu đại lượng $h$ ở cả hai vế, ta thu được phương trình tạo ảnh của :

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{2}{R}$$

(34.4)

Phương trình (34.4) hoàn toàn không chứa góc $\alpha$. Điều này mang ý nghĩa vật lý cốt lõi: Trong giới hạn , mọi xuất phát từ vật điểm $P$ sau khi phản xạ trên mặt đều hội tụ tại cùng một ảnh điểm duy nhất $P^{\prime }$.

Quy tắc dấu cho bán kính cong

Để phương trình tạo ảnh có thể áp dụng nhất quán cho cả gương phẳng, và gương cầu lồi, ta thiết lập quy tắc dấu chuẩn mực cho bán kính cong $R$:

• Quy tắc dấu cho bán kính cong: Bán kính cong $R$ mang giá trị dương ($R>0$) khi tâm cong $C$ nằm ở phía ánh sáng phản xạ (ánh sáng ra). Ngược lại, $R$ mang giá trị âm ($R<0$) khi tâm cong $C$ nằm ở phía đối diện với ánh sáng phản xạ.

Hình 34.11: Quy ước dấu cho bán kính cong R của mặt phản xạ hình cầu. Khi tâm cong C nằm cùng phía với chùm tia phản xạ (ánh sáng ra), R mang giá trị dương. Khi tâm cong C nằm ở phía đối diện, R mang giá trị âm.

Chú thích:

• Phía ánh sáng phản xạ (ánh sáng ra) (Outgoing)
• Tâm cong nằm cùng phía với ánh sáng phản xạ: R mang giá trị dương. (Center of curvature on same side as outgoing light: R is positive.)
• Tâm cong không nằm cùng phía với ánh sáng phản xạ: R mang giá trị âm. (Center of curvature not on same side as outgoing light: R is negative.)

Đối với , tâm cong $C$ nằm cùng phía với chùm tia phản xạ truyền ra, do đó $R>0$. Đối với mặt gương phẳng, bề mặt không có độ cong, tương ứng với bán kính cong vô cùng lớn ($R=\mathrm{\infty }$). Khi đó phương trình (34.4) trở thành:

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=0$$

Kéo theo:

$$s^{\prime }=-s$$

Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với định luật tạo ảnh của gương phẳng.

Quang sai cầu

Nếu chùm tới mở rộng và góc $\alpha$ không còn nhỏ, sẽ không còn chính xác. Các tia sáng đập vào gần rìa mép ngoài của sẽ hội tụ tại một điểm trên trục quang nằm gần đỉnh gương hơn so với các tia cận trục. Hiện tượng này làm cho ảnh của một vật điểm không còn là một điểm sắc nét mà bị nhòe mờ, gọi là hiện tượng (spherical aberration).

Hình 34.12: Gương vật kính Hubble đường kính 2,4m ở phần (a). Sau khi lên quỹ đạo năm 1990, gương được phát hiện quá nông một lượng chỉ khoảng 1/50 bề rộng sợi tóc, gây quang sai cầu và ảnh sao nhòe ở (b). Hệ quang học hiệu chỉnh được lắp năm 1993 giúp gần như loại bỏ ảnh hưởng ấy ở (c).

Chú thích:

• Gương chính đường kính 2,4 m của Kính thiên văn không gian Hubble (The 2.4-m-diameter primary mirror of the Hubble Space Telescope)
• Hình ảnh ngôi sao chụp bởi gương ban đầu (A star seen with the original mirror)
• Cùng ngôi sao đó sau khi gắn hệ quang học hiệu chỉnh (The same star with corrective optics)

Để triệt tiêu hoàn toàn đối với chùm tia song song với trục quang, người ta có thể thay thế mặt bằng một mặt paraboloid phản xạ. Gương paraboloid có đặc tính hình học tuyệt đối: Mọi tia tới song song với trục đối xứng sau khi phản xạ đều hội tụ chính xác tại của paraboloid, bất kể khoảng cách từ tia tới tới trục lớn bao nhiêu.

Tiêu điểm và tiêu cự

Khi một vật điểm nằm ở rất xa gương, khoảng cách vật tiến tới vô cực ($s\to \mathrm{\infty }$). Các tới xuất phát từ vật đi tới gương sẽ là một chùm tia song song với trục quang. Theo phương trình (34.4):

$$\frac{1}{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{2}{R}$$

Suy ra khoảng cách ảnh tương ứng:

$$s^{\prime }=\frac{R}{2}$$

Điểm hội tụ của chùm tia tới song song này được gọi là (focal point), ký hiệu là $F$. Khoảng cách từ đỉnh gương tới tiêu điểm được gọi là tiêu cự (focal length), ký hiệu là $f$. Ta có hệ thức liên hệ trực tiếp giữa tiêu cự và bán kính cong:

$$f=\frac{R}{2}$$

(34.5)

Hình 34.13: Khái niệm tiêu điểm F và tiêu cự f của gương cầu lõm. (a) Chùm tia tới song song với trục quang sau phản xạ hội tụ tại tiêu điểm F, nằm cách đỉnh gương một khoảng f = R/2. (b) Ngược lại, một nguồn sáng đặt tại tiêu điểm F sẽ tạo ra chùm tia phản xạ song song với trục quang.

Chú thích:

• Tiêu cự (Focal length)
• Tiêu điểm (Focal point)
• Mọi tia tới song song với trục quang của gương cầu đều phản xạ đi qua tiêu điểm. (All parallel rays incident on a spherical mirror reflect through the focal point.)
• Các tia sáng xuất phát từ tiêu điểm phản xạ thành chùm tia song song với trục quang. (Rays diverging from the focal point reflect to form parallel outgoing rays.)

Nhờ tính thuận nghịch của chiều truyền ánh sáng, nếu ta đặt một vật điểm tại đúng $F$ ($s=f=R/2$), các tia phản xạ sẽ trở thành một chùm tia song song với trục quang ($s^{\prime }\to \mathrm{\infty }$). Thay hệ thức $f=R/2$ vào phương trình (34.4), ta có thể viết phương trình tạo ảnh của dưới dạng quen thuộc:

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{f}$$

(34.6)

Kích thước ảnh và độ phóng đại ngang

Xét một vật phẳng nhỏ có chiều cao $y$ đặt vuông góc với trục quang tại điểm $P$, như mô tả ở Hình 34.14. Đỉnh của vật là điểm $Q$. Để tìm ảnh $Q^{\prime }$ của điểm $Q$, ta vẽ một xuất phát từ $Q$ đập vào đỉnh gương $V$. Góc tới của tia này là $\theta$. Tia phản xạ $V{Q}^{\prime }$ tạo với trục quang một góc phản xạ đúng bằng $\theta$. Tia này cắt đường thẳng hạ vuông góc từ ảnh điểm $P^{\prime }$ tại $Q^{\prime }$. Đoạn thẳng $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ có chiều cao là $y^{\prime }$, chính là ảnh của vật $PQ$.

Hình 34.14: Cách xác định độ phóng đại ngang m của gương cầu lõm. Do hai tam giác vuông PVQ và P′VQ′ đồng dạng, tỷ số kích thước ảnh trên kích thước vật liên hệ trực tiếp với tỷ số khoảng cách ảnh và khoảng cách vật.

Chú thích:

• Vật (Object)
• Ảnh (Image)
• Hai tam giác màu be và xanh lam đồng dạng, do đó độ phóng đại ngang là m = y′/y = -s′/s. Giá trị âm của m thể hiện ảnh bị ngược chiều. (The beige and blue triangles are similar, so the lateral magnification is m = y′>y = -s′>s. The negative value of m means that the image is inverted.)

(lateral magnification) $m$ được định nghĩa là tỷ số giữa kích thước ảnh $y^{\prime }$ và kích thước vật $y$:

$$m=\frac{y^{\prime }}{y}$$

Quan sát hai tam giác vuông $PVQ$ và $P^{\prime }V{Q}^{\prime }$ ở Hình 34.14, ta thấy chúng đồng dạng vì có chung góc nhọn $\theta$. Do đó ta có tỷ số cạnh:

$$\frac{y}{s}=-\frac{y^{\prime }}{s^{\prime }}$$

Dấu âm xuất hiện vì vật và ảnh nằm ở hai phía đối diện của trục quang: Khi vật hướng lên trên trục quang ($y>0$), ảnh hướng xuống dưới trục quang ($y^{\prime }<0$). Từ đó ta thu được công thức tính :

$$\begin{array}{rl}m& =\frac{y^{\prime }}{y}\\ & =-\frac{s^{\prime }}{s}\end{array}$$

(34.7)

Ý nghĩa của $m$:

• Nếu $m>0$: Ảnh cùng chiều với vật (erect image).
• Nếu $m<0$: Ảnh ngược chiều với vật (inverted image).
• Độ lớn $|m|$ cho biết ảnh lớn gấp bao nhiêu lần vật: Nếu $|m|>1$, ảnh phóng đại lớn hơn vật. Nếu $|m|<1$, ảnh thu nhỏ hơn vật.

Độ phóng đại có thể nhỏ hơn1

Tên gọi độ phóng đại không hàm ý ảnh luôn lớn hơn vật. Ảnh có thể nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng vật. Ảnh của một ngôi sao qua gương thiên văn chỉ rộng vài milimét, dù đường kính ngôi sao hàng trăm nghìn kilômét.

ở ngoài gương lõm cho ảnh thật ngược chiều. Vật ở trong tiêu cự cho ảnh ảo cùng chiều và phóng đại. Vì vậy, gương trang điểm là gương lõm, dùng với khoảng mặt–gương nhỏ hơn tiêu cự.

Ứng dụng: Chảo thu tín hiệu truyền hình vệ tinh

Chảo thu truyền hình vệ tinh là một gương parabol lõm. Sóng thu có tần số khoảng $1,2\times {10}^{10}$ đến $1,8\times {10}^{10}\mathrm{Hz}$, thấp hơn nhiều so với ánh sáng nhìn thấy, khoảng $4,0\times {10}^{14}$ đến $7,9\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$. Tuy nhiên, chúng tuân theo cùng định luật phản xạ.

Máy phát trên quỹ đạo ở rất xa nên các tia sóng tới gần như song song. Chảo phản xạ và hội tụ chúng tại ống thu sóng. Từ đó, tín hiệu được dẫn đến bộ giải mã để tách nội dung truyền hình.

Ứng dụng: Chảo parabol và sơ đồ phản xạ hội tụ sóng từ vệ tinh tại ống thu. Phần chảo lệch trục giúp bộ thu không chắn sóng tới.

Chú thích:

• Chảo thu (Dish)
• Ống thu sóng (Feed horn)
• Chảo thu là một phần của gương cong. Chỉ dùng một phần lệch trục để ống thu không chắn các sóng tới (Dish = segment of a curved mirror. Only a segment away from the optic axis is used so that the feed horn does not block incoming waves.)
• Các tia từ vệ tinh (Rays from satellite)
• Trục quang của chảo (Optic axis of dish)
• Ống thu đặt tại tiêu điểm (Feed horn at focal point)

Ví dụ 34.1: Tạo ảnh bằng gương cầu lõm

Một gương lõm tạo ảnh dây tóc đèn pha trên bức tường cách gương $3,00\mathrm{m}$ phía trước. Dây tóc cách gương $10,0\mathrm{cm}$ và cao $5,00\mathrm{mm}$.

(a) Hãy xác định bán kính cong cần thiết của gương và của gương.

(b) Tính và chiều cao ảnh trên tường.

Hình 34.15: Bản phác thảo các tia sáng cho bài toán này (Ví dụ 34.1).

Nhận dạng bài toán: Bài toán yêu cầu tìm các thông số hình học của (bán kính $R$ và $f$) và chiều cao ảnh khi biết khoảng cách vật $s$, khoảng cách $s^{\prime }$, và chiều cao vật ban đầu $y$.

Chuẩn bị: Áp dụng phương trình tạo ảnh (34.4), hệ thức liên hệ (34.5), và công thức (34.7).

Các dữ kiện đã cho:

• Chiều cao vật: $y=+\mathrm{0,500}\mathrm{cm}$.
• Khoảng cách vật: $s=+10,0\mathrm{cm}=+\mathrm{0,100}\mathrm{m}$.
• Vì ảnh được hứng rõ nét trên màn, ảnh là nằm ở phía ánh sáng phản xạ, do đó khoảng cách ảnh mang dấu dương: $s^{\prime }=+3,00\mathrm{m}=+300\mathrm{cm}$.

Thực hiện:

(a) Áp dụng phương trình tạo ảnh của :

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{2}{R}$$

Thay số:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{10,0\mathrm{cm}}+\frac{1}{300\mathrm{cm}}& =\frac{2}{R}\\ \mathrm{0,100}{\mathrm{cm}}^{-1}+\mathrm{0,003}33{\mathrm{cm}}^{-1}& =\frac{2}{R}\\ \mathrm{0,103}33{\mathrm{cm}}^{-1}& =\frac{2}{R}\end{array}$$

Suy ra bán kính cong:

$$\begin{array}{rl}R& =\frac{2}{\mathrm{0,103}33{\mathrm{cm}}^{-1}}\\ & \approx 19,35\mathrm{cm}\approx 19,4\mathrm{cm}\end{array}$$

của gương:

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{R}{2}\\ & =\frac{19,35\mathrm{cm}}{2}\\ & \approx 9,68\mathrm{cm}\end{array}$$

(b) của gương là:

$$\begin{array}{rl}m& =-\frac{s^{\prime }}{s}\\ & =-\frac{300\mathrm{cm}}{10,0\mathrm{cm}}\\ & =-30,0\end{array}$$

Chiều cao của ảnh là:

$$y^{\prime }=my=(-30,0)(\mathrm{0,500}\mathrm{cm})=-15,0\mathrm{cm}$$

Đánh giá: Giá trị âm của $m$ và $y^{\prime }$ khẳng định ảnh tạo thành là ảnh ngược chiều so với vật. Chiều cao độ lớn của ảnh là $15,0\mathrm{cm}$, lớn gấp 30 lần kích thước vật ban đầu. Bán kính cong $R$ và $f$ đều mang dấu dương, hoàn toàn phù hợp với tính chất của .

Khái niệm cần nhớ: Một có thể tạo ra , phóng đại rất lớn của một vật đặt ngoài nhưng gần tiêu điểm của gương.

Ví dụ 34.2: Một nửa gương bị phủ bồ hóng

Xét lại chiếc trong Ví dụ 34.1. Giả sử người ta phủ một lớp bồ hóng đen hoàn toàn lên nửa dưới của bề mặt gương, khiến nửa dưới không còn khả năng phản xạ ánh sáng. Điều gì sẽ xảy ra với hình ảnh của vật trên màn hứng?

Nhận dạng bài toán: Câu hỏi định tính về bản chất tạo ảnh của từng phần tử diện tích trên bề mặt gương.

Chuẩn bị: Áp dụng nguyên lý tạo ảnh độc lập: Mỗi điểm trên vật phát ra ánh sáng tỏa theo mọi hướng đến khắp các vùng trên bề mặt gương.

Thực hiện: Mọi điểm trên vật phát ra vô số truyền tới nửa trên của gương. Vì nửa trên của gương vẫn giữ nguyên hình dạng cầu với cùng bán kính cong $R$, mọi tia sáng cận trục đập vào nửa trên này vẫn phản xạ và hội tụ chính xác về cùng các ảnh điểm $P^{\prime }$ trên màn như trước.

Do đó, toàn bộ hình ảnh đầy đủ của vật vẫn được tạo ra trọn vẹn trên màn, không có bất kỳ phần nào của ảnh bị biến mất hay bị cắt cụt. Tuy nhiên, vì diện tích phản xạ của gương bị giảm đi một nửa, tổng năng lượng ánh sáng hội tụ về màn bị giảm 50%, khiến hình ảnh hiển thị bị mờ đi và có độ sáng chỉ bằng một nửa so với ban đầu.

Đánh giá: Kết luận này hoàn toàn thống nhất với thực tế: Khi che bớt một phần gương hay thấu kính, ảnh không bị mất góc mà chỉ bị giảm độ sáng.

Khái niệm cần nhớ: Mỗi phần của bề mặt phản xạ đều tham gia tạo dựng toàn bộ hình ảnh. Việc che bớt một phần bề mặt chỉ làm giảm độ rọi của ảnh chứ không làm mất thông tin hình học của ảnh.

Gương cầu lồi

Khi bề mặt lồi của mặt cầu quay về phía ánh sáng tới, ta có một (convex spherical mirror).

Hình 34.16: Quá trình tạo ảnh qua gương cầu lồi. (a) Cách dựng hình tìm vị trí ảnh ảo P′ của một vật điểm P. Vì tâm cong C nằm ở phía sau gương (khác phía với ánh sáng phản xạ), bán kính R mang giá trị âm. (b) Cách xác định độ phóng đại ngang của vật PQ: Ảnh P′Q′ luôn là ảnh ảo, cùng chiều và nhỏ hơn vật.

Chú thích:

• Pháp tuyến (Normal)
• Khoảng s dương, còn s′ và R âm. (s is positive; s′ is negative. R is negative.)
• Tương tự gương cầu lõm, (As with a concave spherical mirror,)
• Cách dựng hình tìm vị trí ảnh tạo bởi gương cầu lồi (Construction for finding the position of an image formed by a convex mirror)
• Cách dựng hình tìm độ phóng đại của ảnh tạo bởi gương cầu lồi (Construction for finding the magnification of an image formed by a convex mirror)

Ở , tâm cong $C$ nằm ở phía sau gương, tức là phía đối diện với chùm tia phản xạ truyền ra. Theo quy tắc dấu ở Hình 34.11, bán kính cong của gương cầu lồi mang giá trị âm ($R<0$).

Xét một $PB$ xuất phát từ vật điểm $P$ nằm trên trục quang (Hình 34.16a). Pháp tuyến tại điểm tới $B$ là đường thẳng nối tâm cong $C$ với $B$. Tia phản xạ bị bẻ lệch xa trục quang. Khi kéo dài tia phản xạ này về phía sau mặt gương, nó cắt trục quang tại điểm $P^{\prime }$. Mọi khác phát ra từ $P$ sau khi phản xạ đều có đường kéo dài đi qua điểm $P^{\prime }$.

Vì các tia phản xạ thực tế phân kỳ ra xa nhau và chỉ có đường kéo dài hình học của chúng cắt nhau ở phía sau gương, điểm $P^{\prime }$ là một (virtual image). Khoảng cách ảnh $s^{\prime }$ mang giá trị âm ($s^{\prime }<0$).

Bằng các bước chứng minh hình học hoàn toàn tương tự như , với việc tuân thủ chặt chẽ quy tắc dấu ($s>0,s^{\prime }<0,R<0$), ta chứng minh được rằng phương trình tạo ảnh (34.4) và công thức (34.7) hoàn toàn nghiệm đúng đối với gương cầu lồi:

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{2}{R}=\frac{1}{f}$$

$$m=-\frac{s^{\prime }}{s}$$

Tiêu điểm ảo của gương cầu lồi

Khi chùm tới song song với trục quang chiếu vào ($s\to \mathrm{\infty }$), các tia phản xạ phân kỳ ra như thể chúng xuất phát từ một điểm $F$ nằm ở phía sau gương, cách đỉnh một khoảng $f=R/2$ (Hình 34.17a).

Hình 34.17: Tiêu điểm ảo F của gương cầu lồi. (a) Chùm tia tới song song với trục quang sau khi phản xạ trên mặt cầu lồi phân kỳ như thể phát ra từ tiêu điểm ảo F ở phía sau gương. (b) Các tia tới hội tụ hướng về tiêu điểm ảo F sau phản xạ sẽ trở thành chùm tia song song với trục quang.

Chú thích:

• Tiêu điểm ảo (Virtual focal point)
• Các tia cận trục tới gương cầu lồi phản xạ phân kỳ như thể xuất phát từ một tiêu điểm ảo. (Paraxial rays incident on a convex spherical mirror diverge from a virtual focal point.)
• Các tia hướng tới tiêu điểm ảo sau phản xạ sẽ song song với trục quang. (Rays aimed at the virtual focal point are parallel to the axis after reflection.)

Vì tâm cong $C$ nằm ở phía sau gương nên $R$ mang dấu âm, kéo theo $f$ của cũng mang dấu âm ($f<0$). Điểm $F$ này được gọi là tiêu điểm ảo (virtual focal point).

Hình 34.18: Quả cầu trang trí mạ bạc đóng vai trò như một gương cầu lồi. (a) Quả cầu tạo ra một ảnh ảo, thu nhỏ và cùng chiều của ông già Noel. (b) Bản phác thảo hai tia sáng tạo nên hình ảnh.

Ví dụ 34.3: Bài toán tạo ảnh của ông già Noel

Ông già Noel tự kiểm tra xem mình có bị dính bồ hóng hay không bằng cách nhìn hình ảnh phản xạ của bản thân trong một quả cầu trang trí cây thông Noel mạ bạc cách ông $\mathrm{0,750}\mathrm{m}$ (Hình 34.18a). Đường kính của quả cầu trang trí là $7,20\mathrm{cm}$. Các tài liệu tiêu chuẩn mô tả ông là một "chàng yêu tinh già vui vẻ", vì vậy ta ước lượng chiều cao của ông là $1,6\mathrm{m}$. Hình ảnh của ông già Noel do quả cầu tạo ra nằm ở đâu và cao bao nhiêu? Ảnh này là ảnh cùng chiều hay ngược chiều?

Nhận dạng và chuẩn bị: Hình 34.18b mô tả tình huống bài toán. Ông già Noel đóng vai trò là vật sáng, và bề mặt quả cầu gần ông nhất đóng vai trò như một . Các hệ thức liên hệ giữa khoảng cách vật, khoảng cách ảnh, và độ phóng đại hoàn toàn giống như đối với gương cầu lõm, miễn là ta áp dụng nhất quán quy tắc dấu. Bán kính cong và tiêu cự của gương cầu lồi mang dấu âm.

• Đường kính $D=7,20\mathrm{cm}⟹$ Bán kính cong hình học là $r=D/2=3,60\mathrm{cm}$.
• Vì tâm cong nằm ở phía sau mặt phản xạ, bán kính cong mang dấu âm: $R=-3,60\mathrm{cm}$.
• của gương: $f=R/2=-1,80\mathrm{cm}$.
• Khoảng cách vật: $s=+\mathrm{0,750}\mathrm{m}=+75,0\mathrm{cm}$.
• Chiều cao ước tính của ông già Noel: $y=1,6\mathrm{m}$.

Ta giải phương trình tạo ảnh của để tìm khoảng cách ảnh $s^{\prime }$, sau đó dùng công thức để tính $m$ và chiều cao ảnh $y^{\prime }$. Dấu của $m$ sẽ cho biết ảnh cùng chiều hay ngược chiều.

Thực hiện:

Áp dụng phương trình tạo ảnh:

$$\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{\prime }}=\frac{1}{f}$$

Biến đổi tìm khoảng cách ảnh $s^{\prime }$:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{s^{\prime }}& =\frac{1}{f}-\frac{1}{s}\\ & =\frac{1}{-1,80\mathrm{cm}}-\frac{1}{75,0\mathrm{cm}}\\ & =-\mathrm{0,555}6{\mathrm{cm}}^{-1}-\mathrm{0,013}3{\mathrm{cm}}^{-1}\\ & =-\mathrm{0,568}9{\mathrm{cm}}^{-1}\end{array}$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}{s}^{\prime }& =\frac{1}{-\mathrm{0,568}9{\mathrm{cm}}^{-1}}\\ & \approx -1,76\mathrm{cm}\end{array}$$

Vì $s^{\prime }$ mang giá trị âm, ảnh nằm ở phía sau gương, tức là ở phía đối diện với ánh sáng phản xạ (Hình 34.18b), và đây là một . Vị trí của ảnh nằm ở khoảng giữa đỉnh mặt trước và tâm của quả cầu.

Từ công thức :

$$\begin{array}{rl}m& =-\frac{s^{\prime }}{s}\\ & =-\frac{-1,76\mathrm{cm}}{75,0\mathrm{cm}}\\ & =+\mathrm{0,023}4\end{array}$$

Chiều cao của hình ảnh là:

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =my\\ & =(\mathrm{0,023}4)(1,6\mathrm{m})\\ & =3,8\times {10}^{-2}\mathrm{m}\\ & =3,8\mathrm{cm}\end{array}$$

Đánh giá: Bản phác thảo cho thấy ảnh là ảnh cùng chiều, do đó cả $m$ và $y^{\prime }$ đều mang dấu dương, hoàn toàn phù hợp với kết quả tính toán. Khi khoảng cách vật $s$ dương, luôn luôn tạo ra một ảnh cùng chiều, là , thu nhỏ và bị đảo trái - phải. Vì vậy, gương cầu lồi được dùng ở giao lộ khuất, để giám sát cửa hàng và làm gương chiếu hậu góc rộng cho ô tô, xe tải. Lời nhắc trên nhiều gương có nghĩa: Vật ở gần hơn so với khoảng cách mà chúng có vẻ ở.

Khái niệm cần nhớ: Một có mang giá trị âm: Các tới song song phản xạ từ gương phân kỳ như thể chúng xuất phát từ một tiêu điểm nằm ở phía sau gương. Các mối liên hệ giữa khoảng cách vật, khoảng cách ảnh và tiêu cự, cũng như giữa độ phóng đại, khoảng cách vật và khoảng cách ảnh đều giống hệt như đối với gương cầu lõm.

Phương pháp đồ thị cho gương cầu

Bên cạnh việc giải đại số bằng các phương trình (34.6) và (34.7), ta có thể xác định trực quan vị trí, kích thước và tính chất của ảnh bằng phương pháp vẽ tia hình học. Phương pháp này dựa trên việc tìm giao điểm của một vài đặc biệt xuất phát từ đỉnh của vật (điểm $Q$ không nằm trên trục quang). Bốn tia sáng này được gọi là các tia chính (principal rays), như biểu diễn ở Hình 34.19:

Hình 34.19: Bốn tia chính dùng để dựng ảnh bằng phương pháp đồ thị. (a) Đối với gương cầu lõm. (b) Đối với gương cầu lồi. Chỉ cần vẽ chính xác hai trong số bốn tia chính là đủ để xác định vị trí của ảnh điểm Q′.

Chú thích:

• Tia song song với trục quang phản xạ đi qua tiêu điểm. (Ray parallel to axis reflects through focal point.)
• Tia đi qua tiêu điểm phản xạ song song với trục quang. (Ray through focal point reflects parallel to axis.)
• Tia đi qua tâm cong tới vuông góc với mặt gương và phản xạ ngược lại theo đường cũ. (Ray through center of curvature intersects the surface normally and reflects along its original path.)
• Tia tới đỉnh gương phản xạ đối xứng qua trục quang. (Ray to vertex reflects symmetrically around optic axis.)
• Tia phản xạ của tia tới song song có đường kéo dài đi qua tiêu điểm. (Reflected parallel ray appears to come from focal point.)
• Tia có hướng tới tiêu điểm phản xạ song song với trục quang. (Ray toward focal point reflects parallel to axis.)
• Tương tự gương lõm: Tia theo phương bán kính qua tâm cong tới vuông góc mặt gương và phản xạ ngược lại theo đường cũ. (As with concave mirror: Ray radial to center of curvature intersects the surface normally and reflects along its original path.)
• Tương tự gương lõm: Tia tới đỉnh gương phản xạ đối xứng qua trục quang. (As with concave mirror: Ray to vertex reflects symmetrically around optic axis.)
• Các tia chính đối với gương cầu lõm (Principal rays for concave mirror)
• Các tia chính đối với gương cầu lồi (Principal rays for convex mirror)

Bốn tia chính bao gồm:

1. Tia 1 (Tia song song): Tia tới truyền song song với trục quang, sau khi phản xạ sẽ đi qua $F$ của , hoặc có đường kéo dài đi qua tiêu điểm ảo $F$ của gương cầu lồi.
2. Tia 2 (Tia ): Tia tới đi qua tiêu điểm $F$ của (hoặc có đường hướng tới tiêu điểm ảo $F$ của gương cầu lồi), sau khi phản xạ sẽ truyền song song với trục quang.
3. Tia 3 (Tia tâm cong): Tia tới truyền dọc theo đường nối tâm cong $C$ sẽ đập vuông góc vào mặt gương và phản xạ bật ngược trở lại theo đúng đường truyền ban đầu.
4. Tia 4 (Tia đỉnh gương): Tia tới đập vào đỉnh gương $V$ sẽ phản xạ đối xứng qua trục quang (góc phản xạ bằng góc tới so với trục quang).

CAUTION

Các tia chính không phải là những duy nhất tạo ảnh. Thực tế, mọi tia sáng từ điểm vật đập vào gương đều phản xạ đi qua điểm ảnh (đối với ) hoặc có đường kéo dài đi qua điểm ảnh (đối với ảnh ảo). Chúng ta lựa chọn bốn tia chính đơn thuần vì quỹ đạo hình học của chúng có thể vẽ được ngay lập tức mà không cần dùng thước đo góc.

Chiến lược giải bài toán: Tạo ảnh bằng gương cầu

• Nhận dạng bài toán: Áp dụng cho các bài toán xác định vị trí, kích thước hoặc tính chất của ảnh tạo bởi gương phẳng, hoặc gương cầu lồi.
• Chuẩn bị:
  1. Vẽ sơ đồ quang học rõ ràng thể hiện trục quang, vị trí đỉnh gương $V$, $F$ và tâm cong $C$.
  2. Xác định các đại lượng đã cho và biến số cần tìm, luôn ghi nhớ liên hệ với bán kính cong qua hệ thức $f=R/2$.
• Thực hiện:
  1. Dựng đồ thị hình học bằng cách vẽ ít nhất hai tia chính xuất phát từ ngọn của vật để định vị điểm ảnh.
  2. Áp dụng phương trình tạo ảnh $1/s+1/s^{\prime }=1/f$ và $m=-s^{\prime }/s$.
  3. Tuân thủ nghiêm ngặt quy tắc dấu: có $s>0$. Ảnh thật có $s^{\prime }>0$, ảnh ảo có $s^{\prime }<0$. Gương lõm có $R>0,f>0$. Gương lồi có $R<0,f<0$.
• Đánh giá: Đối chiếu kết quả đại số tính toán được với hình vẽ đồ thị: Vị trí của ảnh trên hình vẽ phải hoàn toàn trùng khớp với giá trị $s^{\prime }$, chiều của ảnh (cùng chiều hay ngược chiều) phải khớp với dấu của $m$.

Ví dụ 34.4: Tạo ảnh bằng gương cầu lõm ở các khoảng cách vật khác nhau

Một chiếc có bán kính cong $R=+20\mathrm{cm}$, tương ứng với $f=R/2=+10\mathrm{cm}$. Hãy dựng ảnh bằng phương pháp đồ thị và tính toán vị trí, độ phóng đại của ảnh đối với các khoảng cách vật sau:

(a) $s=30\mathrm{cm}$.

(b) $s=20\mathrm{cm}$.

(c) $s=10\mathrm{cm}$.

(d) $s=5\mathrm{cm}$.

Hình 34.20: Dựng ảnh bằng phương pháp đồ thị cho gương cầu lõm có f = 10 cm ở bốn vị trí vật khác nhau. (a) Khi s = 30 cm, ảnh thật, ngược chiều và thu nhỏ. (b) Khi s = 20 cm = 2f, ảnh thật, ngược chiều và có kích thước bằng vật. (c) Khi s = 10 cm = f, chùm tia phản xạ song song, ảnh ở vô cực. (d) Khi s = 5 cm < f, ảnh ảo, cùng chiều và phóng đại.

Chú thích:

• Có thể vẽ được cả bốn tia chính. Ảnh là ảnh ngược chiều. (All principal rays can be drawn. The image is inverted.)
• Các khoảng s và s′ bằng nhau. (s and s′ are equal.)
• Tia 2 (từ Q qua F) không vẽ được vì không chạm vào gương. Tia 3 (từ Q qua C) không vẽ được vì không chạm vào gương. Ảnh là ảnh ngược chiều. (Ray 2 (from Q through F ) cannot be drawn because it does not strike the mirror. Ray 3 (from Q through C ) cannot be drawn because it does not strike the mirror. The image is inverted.)
• Các tia phản xạ song song ứng với khoảng cách ảnh ở vô cực. (Parallel outgoing rays correspond to an infinite image distance.)
• Ảnh là ảnh ảo và cùng chiều. (The image is virtual and erect.)
• Cách dựng hình cho s = 30 cm (Construction for s = 30 cm)
• Cách dựng hình cho s = 20 cm (Construction for s = 20 cm)
• Cách dựng hình cho s = 10 cm (Construction for s = 10 cm)
• Cách dựng hình cho s = 5 cm (Construction for s = 5 cm)

Nhận dạng bài toán: Khảo sát toàn diện sự biến đổi tính chất ảnh tạo bởi khi vật di chuyển từ xa vào sát mặt gương.

Chuẩn bị: Áp dụng phương trình tạo ảnh (34.6) và công thức (34.7) với $f=+10\mathrm{cm}$.

Thực hiện:

(a) Khi $s=30\mathrm{cm}$ (vật đặt ngoài tâm cong $C$, Hình 34.20a):

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{s^{\prime }}& =\frac{1}{f}-\frac{1}{s}\\ & =\frac{1}{10\mathrm{cm}}-\frac{1}{30\mathrm{cm}}\\ & =\frac{2}{30\mathrm{cm}}\end{array}$$

Suy ra:

$$s^{\prime }=+15\mathrm{cm}$$

:

$$\begin{array}{rl}m& =-\frac{s^{\prime }}{s}\\ & =-\frac{15\mathrm{cm}}{30\mathrm{cm}}\\ & =-0,50\end{array}$$

Ảnh là ($s^{\prime }>0$), ngược chiều ($m<0$), thu nhỏ bằng một nửa vật, nằm giữa $F$ và $C$. Cả 4 tia chính đều vẽ được dễ dàng.

(b) Khi $s=20\mathrm{cm}$ (vật đặt đúng tại tâm cong $C=2f$, Hình 34.20b):

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{s^{\prime }}& =\frac{1}{10\mathrm{cm}}-\frac{1}{20\mathrm{cm}}\\ & =\frac{1}{20\mathrm{cm}}\end{array}$$

Suy ra:

$$s^{\prime }=+20\mathrm{cm}$$

:

$$m=-\frac{20\mathrm{cm}}{20\mathrm{cm}}=-1,0$$

Ảnh là , ngược chiều, có kích thước bằng đúng vật và nằm đối xứng ngay tại tâm cong $C$.

(c) Khi $s=10\mathrm{cm}$ (vật đặt đúng tại $F$, Hình 34.20c):

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{s^{\prime }}& =\frac{1}{10\mathrm{cm}}-\frac{1}{10\mathrm{cm}}\\ & =0\end{array}$$

Suy ra:

$$s^{\prime }\to \pm \mathrm{\infty }$$

Các tia phản xạ song song với nhau. Ảnh ở xa vô cực.

(d) Khi $s=5\mathrm{cm}$ (vật đặt trong khoảng , giữa $F$ và $V$, Hình 34.20d):

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{s^{\prime }}& =\frac{1}{10\mathrm{cm}}-\frac{1}{5\mathrm{cm}}\\ & =-\frac{1}{10\mathrm{cm}}\end{array}$$

Suy ra:

$$s^{\prime }=-10\mathrm{cm}$$

:

$$m=-\frac{-10\mathrm{cm}}{5\mathrm{cm}}=+2,0$$

Ảnh là ($s^{\prime }<0$), cùng chiều ($m>0$), lớn gấp 2 lần vật và nằm ở phía sau mặt gương $10\mathrm{cm}$.

Đánh giá: Quan sát quy luật biến đổi qua 4 trường hợp: Khi vật ở rất xa, ảnh là nhỏ hơn vật và nằm sát . Khi vật tiến lại gần gương, ảnh thật di chuyển ra xa gương hơn và tăng dần kích thước. Khi vật đến đúng tiêu điểm $F$, ảnh dịch ra vô cực. Khi vật vượt qua tiêu điểm vào trong khoảng tiêu cự, ảnh lập tức đổi bản chất thành ảnh ảo, cùng chiều và lớn hơn vật. Chúng ta có thể kiểm nghiệm trực tiếp các kết luận này bằng cách đưa ngón tay lại gần mặt lõm của một chiếc thìa kim loại sáng bóng.

Khái niệm cần nhớ: Đối với , vị trí của vật so với quyết định bản chất thật hay ảo và chiều của ảnh.

Câu hỏi tự kiểm tra 34.2

Một chiếc gương trang điểm được thiết kế sao cho hình ảnh phản chiếu khuôn mặt của bạn luôn cùng chiều và được phóng đại lớn hơn thực tế.

(a) Chiếc gương này là hay gương cầu lồi?

(b) Để nhìn thấy ảnh phóng đại, khoảng cách từ gương (có $f$) tới khuôn mặt bạn phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

• (i) Bằng $|f|$.
• (ii) Nhỏ hơn $|f|$.
• (iii) Lớn hơn $|f|$.

Xem đáp án và giải thích

(a) . (b) Chọn (ii).

Giải thích:

luôn luôn tạo ra ảnh cùng chiều nhưng ảnh đó luôn luôn nhỏ hơn vật đối với mọi khoảng cách (như đã chứng minh ở Hình 34.16b). Do đó, để thu được ảnh phóng đại lớn hơn vật, bắt buộc phải sử dụng gương cầu lõm.

Đối với , ảnh chỉ cùng chiều và phóng đại khi khoảng cách từ vật (khuôn mặt bạn) đến gương nhỏ hơn của gương ($s<f$), tương tự như trường hợp ở Hình 34.20d. Nếu đặt mặt xa hơn tiêu cự, ảnh sẽ trở thành và bị lộn ngược chiều.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 34.2, trang 1114–1122.