22.2. Tính điện thông

Muốn biến phát biểu định tính thành công cụ tính toán, ta cần phân biệt độ lớn trường, diện tích mặt và góc giữa trường với mặt. Một ví dụ chất lưu giúp xác định đúng đại lượng hình học cần dùng.

Hình dung từ dòng chất lưu

Cho chất lưu chảy đều với vận tốc $\overrightarrow{v}$ qua một khung chữ nhật diện tích A. Khi mặt khung vuông góc dòng chảy, thể tích đi qua mỗi giây bằng vA. Nếu nghiêng khung, dòng chỉ nhìn thấy diện tích hình chiếu của khung lên mặt vuông góc với vận tốc.

Hình 22.5: Diện tích vuông góc với dòng chảy và diện tích hình chiếu của khung nghiêng

Chú thích:

• (a) Khung dây hình chữ nhật trong dòng chất lưu. ((a) A wire rectangle in a fluid)
• (b) Khung dây hình chữ nhật nghiêng một góc φ. ((b) The wire rectangle tilted by an angle φ)

Gọi φ là góc giữa vận tốc và pháp tuyến của khung. Hai cạnh hình chiếu không đổi, hai cạnh còn lại ngắn đi theo hệ số cosφ. Do đó:

$$\begin{array}{rl}{A}_{\perp }& =A\cos \phi ,\\ \frac{dV}{dt}& =vA\cos \phi \\ & =v_{\perp }A.\end{array}$$

Khi $\phi ={90}^{\circ }$, khung nằm dọc dòng, không có chất lưu xuyên qua. Ta định nghĩa vector diện tích $\overrightarrow{A}$ có độ lớn A và vuông góc mặt. Khi ấy:

$$\frac{dV}{dt}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{A}.$$

Vector này đồng thời mô tả độ lớn diện tích và hướng của mặt trong không gian.

Mặt phẳng trong điện trường đều

Thay vector vận tốc bằng vector để định nghĩa , ký hiệu ${\mathrm{\Phi }}_E$, đọc là phi với chỉ số E. Với mặt phẳng diện tích A và điện trường đều:

$${\mathrm{\Phi }}_E=EA\cos \phi .$$

(22.1)

Ở đây φ là góc giữa trường và pháp tuyến đã chọn, không phải góc giữa trường và mặt phẳng. Các dạng tương đương là:

$${\mathrm{\Phi }}_E=E_{\perp }A.$$

(22.2)

$${\mathrm{\Phi }}_E=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{A}.$$

(22.3)

Diện tích lớn hơn có nhiều đường sức xuyên qua hơn. Với cùng diện tích và hướng, trường mạnh hơn cũng có nhiều đường sức hơn. Đây là cách hình dung , không phải phép đếm số đường sức có ý nghĩa tuyệt đối.

Hình 22.6: Điện thông phụ thuộc góc giữa điện trường và vector diện tích

Chú thích:

• (a) Mặt hướng chính diện với điện trường. ((a) Surface is face-on to electric field:)
• E và A song song, góc giữa chúng bằng φ = 0. (E and A are parallel (the angle between E and A is φ = 0).)
• Điện thông bằng tích vô hướng E·A và bằng EA. (The flux ΦE = E · A = EA.)
• (b) Mặt nghiêng một góc φ so với hướng chính diện với điện trường. ((b) Surface is tilted from a face-on orientation by an angle f:)
• Góc giữa E và A bằng φ. (The angle between E and A is φ.)
• Điện thông bằng tích vô hướng E·A và bằng EA cosφ. (The flux ΦE = E · A = EA cos φ.)
• (c) Mặt song song với điện trường. ((c) Surface is edge-on to electric field:)
• E và A vuông góc, góc giữa chúng bằng φ = 90°. (E and A are perpendicular (the angle between E and A is φ = 90°).)
• Điện thông bằng không. (The flux ΦE = E · A = EA cos 90° = 0.)

Hình 22.6: (a) Mặt hướng chính diện với trường, φ = 0, bằng EA. (b) Mặt nghiêng có điện thông EA cosφ. (c) Mặt nằm dọc trường, φ = 90°, điện thông bằng không.

Đơn vị SI của là $\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}$. Viết vector diện tích qua pháp tuyến đơn vị $\hat{\mathbf{n}}$:

$$\overrightarrow{A}=A\hat{\mathbf{n}}.$$

(22.4)

Mỗi mặt phẳng có hai hướng pháp tuyến đối nhau, vì vậy phải nói rõ hướng đã chọn. Với mặt kín, quy ước luôn chọn pháp tuyến hướng ra ngoài thể tích được bao. Trường hướng ra cho dương, trường hướng vào cho điện thông âm.

Mặt cong hoặc điện trường không đều

Khi trường thay đổi theo vị trí hoặc mặt bị cong, không thể lấy một giá trị E nhân với toàn diện tích. Chia mặt thành các phần rất nhỏ. Mỗi phần có diện tích dA và vector diện tích $d\overrightarrow{A}=\hat{\mathbf{n}}dA$. Trên phần nhỏ đó, là của trường tại phần ấy với vector diện tích.

Với ba phần nhỏ để hình dung, tổng gần đúng là:

$${\mathrm{\Phi }}_E\approx E_{\perp 1}\mathrm{\Delta }{A}_1+E_{\perp 2}\mathrm{\Delta }{A}_2+E_{\perp 3}\mathrm{\Delta }{A}_3.$$

Chia ngày càng mịn rồi lấy giới hạn cho mặt:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& ={\int }_A{E}_{\perp }dA\\ & ={\int }_A\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}.\end{array}$$

(22.5)

Với $E_{\perp }=E\cos \phi$, cách viết thứ ba là ${\int }_{A}E\cos \phi dA$.

Ba cách viết là cùng một đại lượng. Tùy hình học, một dạng có thể thuận tiện hơn các dạng còn lại. cũng bằng giá trị trung bình có dấu của thành phần trường vuông góc mặt nhân với diện tích mặt.

Ví dụ 22.1: Điện thông qua một đĩa

Đĩa bán kính 0,10 m có pháp tuyến đơn vị hợp góc 30° với đều $E=2.0\times {10}^3$ N/C. (a) Tìm . (b) Điện thông bằng bao nhiêu nếu quay đĩa để pháp tuyến vuông góc trường? (c) Nếu pháp tuyến cùng chiều trường thì sao?

Hình 22.7: Pháp tuyến đĩa hợp góc 30 độ với điện trường

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Mặt phẳng trong trường đều cho phép dùng (22.1). Đĩa không phải mặt kín, nên không có hướng “ra ngoài” mặc định. Hướng pháp tuyến đã được chỉ trong hình.

Thực hiện. Diện tích đĩa là $A=\pi (0.10{)}^2=0.0314$ m².

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{Ea}& =(2.0\times {10}^3)(0.0314)\cos {30}^{\circ }\\ & \approx 54\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C},\\ {\mathrm{\Phi }}_{Eb}& =EA\cos {90}^{\circ }=0,\\ {\mathrm{\Phi }}_{Ec}& =EA\cos 0^{\circ }\\ & \approx 63\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}.\end{array}$$

Đánh giá. ở (b) nhỏ nhất, ở (c) lớn nhất. Cùng diện tích, chỉ thành phần trường vuông góc mặt góp phần vào điện thông.

Ứng dụng: Nước đi qua miệng cá nhám phơi

Khác cá mập trắng săn mồi, cá nhám phơi thu sinh vật phù du từ nước đi qua mang khi bơi. Miệng có thể rộng đến một mét, cho phép thông lượng nước rất lớn. Tích của tốc độ bơi với diện tích miệng có thể đạt khoảng 0,5 m³/s, tức 500 lít mỗi giây hoặc gần $5\times {10}^5$ gallon mỗi giờ. Tương tự, phụ thuộc độ lớn trường, diện tích và hướng tương đối giữa trường với mặt.

Cá nhám phơi mở miệng để nước mang sinh vật phù du đi qua

Ví dụ 22.2: Điện thông qua một lập phương

Một mặt lập phương tưởng tượng cạnh L nằm trong đều $\overrightarrow{E}$. Tìm qua từng mặt và qua toàn lập phương khi (a) hai mặt vuông góc trường và (b) lập phương quay góc θ quanh trục đứng.

Hình 22.8: Các pháp tuyến ra ngoài của lập phương trước và sau khi quay

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Mỗi mặt là phẳng, trường đều và diện tích bằng L². Dùng với pháp tuyến ra ngoài cho từng mặt, rồi cộng sáu .

(a) Trường đi vào mặt 1, đi ra mặt 2 và song song bốn mặt còn lại:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{E1}& =E{L}^2\cos {180}^{\circ }=-E{L}^2,\\ {\mathrm{\Phi }}_{E2}& =E{L}^2\cos 0^{\circ }=+E{L}^2,\\ {\mathrm{\Phi }}_{E3}& ={\mathrm{\Phi }}_{E4}=0,\\ {\mathrm{\Phi }}_{E5}& ={\mathrm{\Phi }}_{E6}=0.\end{array}$$

tổng là:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& ={\mathrm{\Phi }}_{E1}+{\mathrm{\Phi }}_{E2}+{\mathrm{\Phi }}_{E3}+{\mathrm{\Phi }}_{E4}+{\mathrm{\Phi }}_{E5}+{\mathrm{\Phi }}_{E6}\\ & =(-E{L}^2+E{L}^2)+(0+0)+(0+0)\\ & =0.\end{array}$$

(b) Sau khi quay, trường đi vào mặt 1 và 3, đi ra mặt 2 và 4. Các góc tương ứng là 180° − θ, θ, 90° + θ và 90° − θ:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{E1}& =-E{L}^2\cos \theta ,\\ {\mathrm{\Phi }}_{E2}& =+E{L}^2\cos \theta ,\\ {\mathrm{\Phi }}_{E3}& =-E{L}^2\sin \theta ,\\ {\mathrm{\Phi }}_{E4}& =+E{L}^2\sin \theta ,\\ {\mathrm{\Phi }}_{E5}& ={\mathrm{\Phi }}_{E6}=0.\end{array}$$

Từng cặp triệt tiêu, nên tổng vẫn bằng không. Đây là kết quả đã thấy ở Hình 22.3c. Khi tính qua mặt kín, phải giữ quy ước pháp tuyến ra ngoài ở tất cả các phần mặt.

Ví dụ 22.3: Điện thông qua một mặt cầu

điểm $q=+3.0\mu \mathrm{C}$ ở tâm mặt cầu tưởng tượng bán kính $r=0.20$ m. Tìm qua mặt cầu.

Hình 22.9: Trường và vector diện tích cùng hướng ra ngoài trên mặt cầu tâm tại nguồn

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Mặt cong và hướng trường thay đổi nên dùng mặt (22.5). Tuy vậy, ở từng điểm trường luôn vuông góc mặt và hướng ra ngoài. Do đó $E_{\perp }=E$. Khoảng cách đến nguồn bằng nhau nên độ lớn E không đổi trên mặt cầu.

Thực hiện. Đưa E ra ngoài rồi lấy diện tích cầu:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& =E{\int }_{A}dA\\ & =\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}(4\pi r^2)\\ & =\frac{q}{{\epsilon }_0}\\ & \approx 3.4\times {10}^5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}.\end{array}$$

Đánh giá. Bán kính triệt tiêu. Mặt cầu bán kính 2,0 m hoặc 200 m cũng có như vậy. Đối xứng của nguồn và mặt làm đơn giản. Quan hệ không phụ thuộc kích thước còn đúng cho mặt kín khác hình dạng, như sẽ được chứng minh ngay sau đây. Các bài biến thể của ví dụ nằm trong phần luyện tập cuối chương.

Bài tập: Câu hỏi ôn lại mục 22.2

Xếp bốn mặt sau theo từ dương nhất đến âm nhất. Đơn vị vector diện tích là m² và đơn vị trường là N/C:

• (i) Mặt chữ nhật có $\overrightarrow{A}=6\hat{\mathbf{i}}$ và $\overrightarrow{E}=4\hat{\mathbf{j}}$.
• (ii) Mặt tròn có $\overrightarrow{A}=3\hat{\mathbf{j}}$ và $\overrightarrow{E}=4\hat{\mathbf{i}}+2\hat{\mathbf{j}}$.
• (iii) Mặt vuông có $\overrightarrow{A}=3\hat{\mathbf{i}}+7\hat{\mathbf{j}}$ và $\overrightarrow{E}=4\hat{\mathbf{i}}-2\hat{\mathbf{j}}$.
• (iv) Mặt bầu dục có $\overrightarrow{A}=3\hat{\mathbf{i}}-7\hat{\mathbf{j}}$ và cùng trường như (iii).

Lời giải: Giải thích

hai vector đơn vị cùng trục bằng 1, khác trục bằng không. Các tương ứng là 0, 6, −2 và 26 N m²/C. Vì vậy thứ tự là (iv), (ii), (i), (iii). Hình dạng đường biên không thay thế được thông tin về vector diện tích và hướng trường.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 22.2, trang 721–725.