39.6. Nguyên lý bất định đối với vật chất

Nếu vật chất có tính sóng, ta phải xem lại cách mô tả vị trí và chuyển động. Trong cơ học Newton, ba tọa độ và ba thành phần vận tốc xác định trạng thái chất điểm tại một thời điểm. Nhưng ở thang kích thước tương đương , mô tả ấy không còn đầy đủ.

Giao thoa của từng electron

Xét chùm electron đi qua hai khe song song tới một đầu dò. Thiết bị đặt trong chân không để electron không va chạm với phân tử không khí. Phân bố phát hiện có cùng dạng giao thoa như với .

Hình 39.34: (a) Bố trí giao thoa hai khe với electron trong chân không. (b) Các ảnh sau 28, 1000 và 10.000 electron cho thấy vân dần xuất hiện từ những sự kiện phát hiện riêng lẻ.

Chú thích:

• Chùm electron trong chân không (Electron beam (vacuum))
• Khe 1 (Slit 1)
• Khe 2 (Slit 2)
• Đầu dò electron (Electron detector)
• Phân bố giao thoa electron (Electron interference pattern)
• Sau 28 electron (After 28 electrons)
• Sau 1000 electron (After 1000 electrons)
• Sau 10.000 electron (After 10,000 electrons)
• Đồ thị cho số electron đến mỗi vùng của đầu dò (Graph shows number of electrons striking each region of detector.)

Mô tả sóng giải thích phân bố giao thoa. Mô tả hạt giải thích từng sự kiện ghi nhận electron. Không thể dùng một quỹ đạo chất điểm cổ điển để dự đoán chắc electron tiếp theo sẽ rơi ở đâu.

Muốn xác định electron đi qua khe nào bằng cách tán xạ lên nó, ta phải để ánh sáng tương tác với electron. Tương tác gây giật lùi và có thể phá thông tin cần cho vân giao thoa.

Vân không đòi hỏi hai electron đi qua hai khe cùng lúc

Cho từng electron riêng lẻ qua thiết bị vẫn tạo cùng phân bố giao thoa sau nhiều lần lặp lại. Vì vậy, không thể giải thích vân bằng việc một electron qua khe này giao thoa với một electron khác qua khe kia. Các biên độ của cùng trạng thái electron đóng góp vào phân bố.

Các quan hệ bất định

Electron và các hạt vật chất tuân theo những quan hệ bất định như :

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }{p}_x& \ge \hslash /2,\\ \mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }{p}_y& \ge \hslash /2,\\ \mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}_z& \ge \hslash /2.\end{array}$$

(39.29)

Các đại lượng ghép đôi thuộc cùng một trục. Với dạng vị trí– chính xác, độ bất định được hiểu theo độ lệch chuẩn của cùng trạng thái.

Quan hệ –thời gian là

$$\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }E\ge \hslash /2,$$

(39.30)

trong đó $\hslash =h/(2\pi )\approx \mathrm{1,055}\times {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$. Ý nghĩa của $\mathrm{\Delta }t$ và quy ước độ rộng phải được xác định trong từng mô hình.

Các không phải lúc nào cũng có độ rộng bằng không. Một tồn tại lâu có thể có được xác định rất hẹp. Trạng thái tồn tại ngắn đi kèm thang độ rộng năng lượng lớn hơn.

Hình 39.35: Độ rộng năng lượng gắn với thời gian sống. Trạng thái sống ngắn có độ rộng lớn, trạng thái sống lâu có độ rộng nhỏ hơn.

Chú thích:

• Độ rộng năng lượng trung bình (Medium ΔE)
• Thời gian sống trung bình (Medium Δt)
• Độ rộng năng lượng lớn (Large ΔE)
• Thời gian sống ngắn (Short Δt)
• Độ rộng năng lượng nhỏ (Small ΔE)
• Thời gian sống dài (Long Δt)

Ví dụ 39.9: Bất định vị trí và động lượng

Electron bị giam trong vùng có bề rộng $\mathrm{5,000}\times {10}^{-11}\mathrm{m}$, cỡ bán kính Bohr. (a) Ước lượng độ bất định tối thiểu của thành phần theo $x$. (b) Electron có động lượng bằng độ lớn ấy mang động năng bao nhiêu, tính theo joule và electronvolt?

Nhận dạng: Dùng bất định vị trí– và quan hệ giữa động lượng với động năng.

Chuẩn bị: Trong ước lượng này, lấy $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{5,000}\times {10}^{-11}\mathrm{m}$. Bề rộng vùng giam chưa tự xác định phân bố vị trí, nên đây là lựa chọn thang độ rộng cho mô hình. Ta tính cận nhỏ nhất rồi xét một electron có bằng thang vừa tìm.

Thực hiện:

(a) Dùng dấu bằng ở giới hạn:

$$\mathrm{\Delta }{p}_x=\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }x}.$$

Giá trị là $\mathrm{1,055}\times {10}^{-24}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Đơn vị $\mathrm{J}\mathrm{s}/\mathrm{m}$ cũng bằng $\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

(b) Với động năng phi tương đối tính,

$$\begin{array}{rl}K& =\frac{1}{2}m{v}^2\\ & =\frac{(mv{)}^2}{2m}\\ & =\frac{p^2}{2m}.\end{array}$$

Thay $p=\mathrm{\Delta }{p}_x$ và $m=9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$:

$$\begin{array}{rl}K& \approx 6,11\times {10}^{-19}\mathrm{J}\\ & \approx 3,81\mathrm{eV}.\end{array}$$

Đánh giá: này cùng bậc với năng lượng electron trong nguyên tử, cho thấy vai trò của bất định đối với cấu trúc nguyên tử.

Nếu ép electron vào vùng cỡ kích thước hạt nhân, $\mathrm{\Delta }x\sim {10}^{-14}\mathrm{m}$, cận lớn hơn khoảng $5000$ lần. Thang động năng khi ấy rất lớn. Không được tiếp tục dùng động năng phi tương đối tính ở thang động lượng cao như vậy.

Trong lập luận về nguyên tử, việc định xứ electron quá mạnh trong hạt nhân đòi hỏi lớn, trái với ý tưởng electron có thể đơn giản rơi vào đó và nằm yên.

Khái niệm cần nhớ: Giam hạt trong một vùng nhỏ hơn làm tăng giới hạn dưới của độ phân tán . Động lượng lớn đi kèm động năng lớn.

Ví dụ 39.10: Thời gian sống và độ rộng vạch

Nguyên tử natri ở một mức kích thích thấp tồn tại trung bình $1,6\times {10}^{-8}\mathrm{s}$ rồi chuyển về mức cơ bản. phát ra có $589,0\mathrm{nm}$ và $\mathrm{2,105}\mathrm{eV}$. Hãy ước lượng độ bất định năng lượng của mức kích thích và độ rộng bước sóng tương ứng.

Nhận dạng: Cần liên hệ thời gian sống với thang độ rộng , sau đó đổi độ rộng năng lượng sang .

Chuẩn bị: Lấy $\mathrm{\Delta }t$ bằng thời gian sống trung bình và dùng dấu bằng trong quan hệ –thời gian để ước lượng thang nhỏ nhất. Mức cơ bản tồn tại bền trong mô hình này, nên độ rộng của nó được bỏ qua.

Thực hiện: Ta có

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }E& =\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }t}\\ & \approx 3,3\times {10}^{-27}\mathrm{J}\\ & \approx 2,1\times {10}^{-8}\mathrm{eV}.\end{array}$$

So với , tỉ số làm tròn là

$$\frac{\mathrm{\Delta }E}{E}\approx 1,0\times {10}^{-8}.$$

Từ $E=hc/\lambda$, vi phân cho $dE=-(hc/{\lambda }^2)d\lambda$. Lấy độ lớn của các độ rộng nhỏ:

$$\frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{\lambda }\approx \frac{\mathrm{\Delta }E}{E}.$$

Vì vậy,

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }\lambda & \approx \lambda \frac{\mathrm{\Delta }E}{E}\\ & \approx 5,9\times {10}^{-6}\mathrm{nm}.\end{array}$$

Giá trị cuối dùng tỉ số đã làm tròn ở bước trước. Giữ các chữ số trung gian cho giá trị gần $5,8\times {10}^{-6}\mathrm{nm}$, cùng thang độ rộng.

Đánh giá: Đây là thang , nhỏ nhưng có thể nằm trong khả năng phân giải của máy quang phổ. Trong điều kiện thường, hiệu ứng Doppler và va chạm giữa các nguyên tử còn làm vạch rộng hơn.

Phép tính trên dùng quy ước độ rộng của mô hình thời gian sống. Không nên tự coi kết quả là độ lệch chuẩn của mọi dạng vạch phổ. Khi dùng một dạng vạch cụ thể, cần phân biệt độ rộng toàn phần và nửa độ rộng.

Khái niệm cần nhớ: Trạng thái kích thích tồn tại càng ngắn thì thang độ rộng tự nhiên càng lớn.

Vì sao mô hình Bohr còn bị giới hạn?

giải thích tốt nhiều đặc điểm của phổ hydrogen. Tuy nhiên, quỹ đạo electron như một hành tinh nhỏ không tương thích với nguyên lý bất định.

Gọi mặt phẳng quỹ đạo là $xy$. Mô hình quỹ đạo xác định cho electron luôn có $z=0$ và $p_z=0$. Khi ấy cả độ bất định vị trí lẫn theo $z$ đều bằng không:

$$\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}_z=0.$$

Điều này mâu thuẫn với cận $\hslash /2$ trong phương trình (39.29). đã trộn mô tả quỹ đạo chất điểm với điều kiện sóng.

Muốn mô tả electron trong nguyên tử và trong các tình huống khác, ta cần xây dựng cơ học lượng tử dựa trên tính sóng. Phương trình Schrödinger sẽ đóng vai trò mô tả động lực học, tương tự vai trò của các định luật Newton trong cơ học cổ điển hoặc phương trình Maxwell trong điện từ học.

Câu hỏi tự kiểm tra 39.6

Xếp các trường hợp sau theo độ bất định theo $x$, từ lớn đến nhỏ. Khối lượng proton bằng $1836$ lần khối lượng electron.

• (i) Electron có tọa độ $x$ được biết trong khoảng $2\times {10}^{-15}\mathrm{m}$.
• (ii) Electron có tọa độ $x$ được biết trong khoảng $4\times {10}^{-15}\mathrm{m}$.
• (iii) Proton có tọa độ $x$ được biết trong khoảng $2\times {10}^{-15}\mathrm{m}$.
• (iv) Proton có tọa độ $x$ được biết trong khoảng $4\times {10}^{-15}\mathrm{m}$.

Xem đáp án và giải thích

Nếu so các giới hạn nhỏ nhất do nguyên lý bất định đặt ra, thứ tự là (i) = (iii) > (ii) = (iv).

Cận dưới $\mathrm{\Delta }{p}_x\ge \hslash /(2\mathrm{\Delta }x)$ không chứa khối lượng. Cùng độ bất định vị trí thì proton và electron có cùng cận dưới của độ bất định . Vị trí được xác định trong khoảng nhỏ hơn một nửa cho cận động lượng lớn gấp đôi.

Chỉ biết độ rộng vị trí chưa đủ xác định độ phân tán thực tế của mọi trạng thái. Vì vậy, thứ tự trên là thứ tự các cận nhỏ nhất, hoặc của các trạng thái đang được xét ở giới hạn ấy.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 39.6, trang 1308–1310.