28.2 Từ trường của một phần tử dòng điện

Khi nhiều chuyển động, mỗi điện tích góp một phần vào tổng. Vì từ trường là , ta cộng các đóng góp theo quy tắc cộng véc-tơ. Với hai nguồn:

$${\overrightarrow{B}}_{\mathrm{tot}}={\overrightarrow{B}}_1+{\overrightarrow{B}}_2.$$

(28.5)

Với $N$ nguồn, cách viết tường minh là:

$${\overrightarrow{B}}_{\mathrm{tot}}={\overrightarrow{B}}_1+{\overrightarrow{B}}_2+\cdots +{\overrightarrow{B}}_N.$$

Ta dùng nguyên lý chồng chất để tính do một đoạn rất ngắn của dây dẫn mang tạo ra. Gọi $A$ là diện tích tiết diện dây, $d\ell$ là độ dài đoạn dây, $n$ là mật độ hạt tải điện và $q$ là của mỗi hạt. Đoạn dây có thể tích $Ad\ell$, nên số hạt tải trong đoạn ấy là $nAd\ell$. Nếu các hạt cùng trôi với tốc độ $v_d$, độ lớn điện tích chuyển động tương đương là:

$$|dQ|=n|q|Ad\ell .$$

Các vận tốc nhiệt ngẫu nhiên phân bố theo nhiều hướng nên đóng góp của chúng triệt tiêu trung bình. Phần từ trường còn lại tương ứng với chuyển động có hướng của các hạt tải.

Véc-tơ từ trường do một phần tử dòng điện tạo ra và các đường sức từ quanh trục dòng điện

Chú thích:

• Quy tắc bàn tay phải xác định chiều từ trường do một phần tử dòng điện tạo ra. (Right-hand rule for the magnetic field due to a current element:)
• Ngón cái bàn tay phải chỉ theo chiều dòng điện. (Point the thumb of your right hand in the direction of the current.)
• Các ngón tay khum quanh phần tử dòng điện theo chiều đường sức từ. (Your fingers now curl around the current element in the direction of the magnetic field lines.)
• Tại các điểm này, véc-tơ r và dℓ cùng nằm trong mặt phẳng màu be, còn dB vuông góc với mặt phẳng ấy. (For these field points, r and dℓ both lie in the beige plane, and dB is perpendicular to this plane.)
• Tại các điểm này, véc-tơ r và dℓ cùng nằm trong mặt phẳng màu vàng kim, còn dB vuông góc với mặt phẳng ấy. (For these field points, r and dℓ both lie in the gold plane, and dB is perpendicular to this plane.)
• (a) Hình nhìn phối cảnh. ((a) Perspective view)
• Trục của dℓ. (Axis of dℓ)
• (b) Hình nhìn dọc trục của phần tử dòng điện. ((b) View along the axis of the current element)
• Dòng điện hướng đi vào mặt phẳng trang giấy. (Current directed into the plane of the page)

Hình 28.3: của phần tử có dạng tương tự từ trường của một chuyển động.

Độ lớn của đoạn nhỏ được tính từ công thức cho chuyển động. Thay điện tích bằng $|dQ|$ và tốc độ bằng $v_d$, ta có:

$$\begin{array}{rl}dB& =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{|dQ|v_d\sin \varphi }{r^2}\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }n|q|A{v}_d\frac{d\ell \sin \varphi }{r^2}.\end{array}$$

là lượng quy ước đi qua tiết diện trong một đơn vị thời gian. Với các hạt tải có cùng tốc độ trôi, độ lớn dòng điện là $I=n|q|v_{d}A$. Thay tích này vào biểu thức trên, ta được ở dạng độ lớn:

$$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{d\ell \sin \varphi }{r^2}.$$

luôn chỉ theo chiều dòng điện quy ước. Với hạt tải âm, vận tốc trôi ngược chiều dòng điện nhưng $q$ cũng mang dấu âm, nên $q{\overrightarrow{v}}_d$ vẫn cùng chiều dòng điện. Vì thế, biểu thức dùng $Id\overrightarrow{\ell }$ mô tả đúng hướng dù dòng điện do electron hay ion dương tạo ra.

Gọi $\hat{r}$ là đơn vị hướng từ phần tử đến điểm đo. Hướng của được xác định bằng $d\overrightarrow{\ell }\times \hat{r}$. Từ trường vuông góc với mặt phẳng chứa phần tử dây và đường nối phần tử dây với điểm đo.

$$d\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}(d\overrightarrow{\ell }\times \hat{r}).$$

(28.6)

Các đường sức của phần tử là những vòng tròn nằm trong các mặt phẳng vuông góc với $d\overrightarrow{\ell }$. Ngón cái bàn tay phải chỉ theo chiều dòng điện, các ngón tay khum theo chiều đường sức từ. Khi quan sát một mạch hoàn chỉnh, ta không thể tách riêng một phần tử dòng điện để đo. Ta kiểm tra định luật bằng cách tính trường của cả mạch rồi so sánh với phép đo.

Nếu đặt vật liệu gần dây dẫn, sự của vật liệu có thể bổ sung thêm . Phần bổ sung thường nhỏ nếu vật liệu không phải . Trường biến thiên theo thời gian và vật liệu siêu dẫn tạo ra những vấn đề khác, dành cho phần sau của chương.

Từ trường của toàn bộ mạch

Để tìm của cả dây, ta chia dây thành các đoạn vi phân. Mỗi đoạn tạo một $d\overrightarrow{B}$ tại điểm cần xét. Từ trường tổng là véc-tơ trên toàn đường dây mang :

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_{\mathrm{wire}}\frac{d\overrightarrow{\ell }\times \hat{r}}{r^2}.$$

(28.7)

này là phép cộng liên tục các đóng góp trên toàn bộ dây. Nếu các $d\overrightarrow{B}$ cùng hướng, ta có thể cộng độ lớn. Nếu hướng khác nhau, phải phân tích thành phần rồi cộng theo từng trục.

Ứng dụng: Từ trường của các hành tinh

So sánh kích thước Trái Đất và Sao Mộc trong ứng dụng về từ trường hành tinh

Chú thích:

• Trái Đất. (Earth)
• Sao Mộc. (Jupiter)

Trái Đất tạo nhờ các lưu thông trong phần lõi nóng chảy có khả năng dẫn điện. Sự quay của hành tinh khuấy trộn vật chất dẫn điện ấy. Trái Đất quay hết một vòng trong khoảng 24 giờ.

Các bên trong Sao Mộc mạnh hơn. Sao Mộc lớn hơn Trái Đất, có phần bên trong chủ yếu là hiđrô lỏng dẫn điện tốt dưới áp suất lớn, đồng thời quay nhanh hơn. Một vòng quay của Sao Mộc kéo dài khoảng 10 giờ. Ở cùng khoảng cách từ tâm hành tinh, độ lớn của Sao Mộc vào khoảng $2\times {10}^4$ lần từ trường của Trái Đất.

Chiến lược giải 28.1: Tính từ trường

Nhận diện. phù hợp khi cần tìm tại điểm $P$ do phần tử hoặc dây dẫn có hình dạng bất kỳ tạo ra.

Thiết lập. Vẽ dây và điểm đo. Chọn một phần tử $d\overrightarrow{\ell }$ theo đúng chiều quy ước. Vẽ $\hat{r}$ từ phần tử đến $P$, rồi xác định đại lượng cần tìm, thường là $\overrightarrow{B}$.

Thực hiện. Dùng phương trình (28.5) hoặc (28.6) để viết đóng góp của từng phần tử. Cộng các đóng góp theo , bằng cách trực tiếp hoặc tính từng thành phần. Nếu đối xứng buộc một thành phần bằng không, nêu rõ đối xứng đó trước khi bỏ thành phần ấy.

Với một dây gồm nhiều đoạn đơn giản, có thể tính của từng đoạn rồi cộng các . Hãy tận dụng đối xứng khi nó làm giảm số thành phần cần tính.

Đánh giá. Kiểm tra hướng bằng quy tắc bàn tay phải. Xét các giới hạn xa hoặc gần nguồn và đối chiếu với dự đoán đối xứng.

Ví dụ: Ví dụ 28.2 Từ trường của một đoạn dây

Một dây đồng mang ổn định $I=125\mathrm{A}$. Xét đoạn dây dài $d\ell =1,0\mathrm{cm}$ như Hình 28.4. Tìm do đoạn dây này tạo ra tại điểm cách nó $r=1,2\mathrm{m}$ trong hai trường hợp sau. Trường hợp (a), điểm $P_1$ nằm ngang bên cạnh đoạn dây, theo phương vuông góc với dây. Trường hợp (b), điểm $P_2$ nằm trong mặt phẳng $xy$, theo hướng tạo góc ${30}^{\circ }$ so với chiều $-x$.

Đoạn dây mang dòng điện 125 A và hai điểm đo P₁, P₂

Hình 28.4: Hai vị trí đo của cùng một đoạn dây ngắn.

Trong hình, quy ước hướng theo $-x$, nên $d\overrightarrow{\ell }=-d\ell \hat{ı}$. Ở $P_1$, đơn vị từ đoạn dây đến điểm đo là ${\hat{r}}_1=\hat{ȷ}$. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{B}}_1& =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}(d\overrightarrow{\ell }\times {\hat{r}}_1)\\ & =-\frac{{\mu }_{0}Id\ell }{4\pi r^2}\hat{k}.\end{array}$$

Thay ${\mu }_0/(4\pi )=1,0\times {10}^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}/\mathrm{A}$, $d\ell =1,0\times {10}^{-2}\mathrm{m}$ và $r=1,2\mathrm{m}$:

$${\overrightarrow{B}}_1=-8,7\times {10}^{-8}\hat{k}\mathrm{T}.$$

Tại $P_2$, đơn vị là ${\hat{r}}_2=-\cos {30}^{\circ }\hat{ı}+\sin {30}^{\circ }\hat{ȷ}$. Khi tính , thành phần theo $x$ triệt tiêu, còn thành phần theo $y$ tạo hướng $-z$:

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{B}}_2& =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}[-d\ell \hat{ı}\times {\hat{r}}_2]\\ & =-\frac{{\mu }_{0}Id\ell \sin {30}^{\circ }}{4\pi r^2}\hat{k}\\ & =-4,3\times {10}^{-8}\hat{k}\mathrm{T}.\end{array}$$

Ở cả hai điểm, hướng vào mặt phẳng $xy$. Kết quả này phù hợp với Hình 28.3: Mặt phẳng $xy$ tương ứng với mặt phẳng màu be, nhưng chiều trong ví dụ ngược với chiều phần tử trong hình nên chiều từ trường cũng đảo lại.

Tự kiểm tra 28.2

Một phần tử nằm tại gốc tọa độ và có dòng điện hướng theo $+y$. Hãy xếp bốn điểm $(i)$ $(L,0,0)$, $(ii)$ $(0,L,0)$, $(iii)$ $(0,0,L)$ và $(iv)$ $(L/\sqrt{2},L/\sqrt{2},0)$ theo độ lớn do phần tử tạo ra, từ lớn nhất đến nhỏ nhất.

Đáp án

Độ lớn tỉ lệ với $\sin \varphi /r^2$. Cả bốn điểm cách gốc một khoảng $L$. Tại (i) và (iii), $\varphi ={90}^{\circ }$ nên $\sin \varphi =1$. Tại (ii), điểm nằm dọc chiều nên $\varphi =0$ và từ trường bằng không. Tại (iv), $\varphi ={45}^{\circ }$ nên $\sin \varphi =1/\sqrt{2}$. Thứ tự là (i) và (iii) đồng hạng, tiếp đến (iv), cuối cùng là (ii).

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 28.2, trang 921–923.