33.7. Nguyên lý Huygens

Các định luật thực nghiệm về phản xạ và khúc xạ ánh sáng (như ) đã được khám phá từ trước khi bản chất sóng của ánh sáng được xác lập vững chắc. Tuy nhiên, bằng cách xuất phát từ mô hình sóng, ta hoàn toàn có thể dẫn giải lại toàn bộ các định luật này một cách chặt chẽ, chứng minh rằng là hệ quả tự nhiên và nhất quán của quang học sóng.

Để xây dựng cầu nối đó, Christiaan vào năm 1678 đã đề xuất một phương pháp hình học mẫu mực, cho phép xác định hình dạng và vị trí của một ở thời điểm kế tiếp từ một mặt sóng đã biết trước đó. Phương pháp này được gọi là nguyên lý Huygens.

Phát biểu nguyên lý Huygens

phát biểu rằng: Nếu biết vị trí của một tại một thời điểm, vị trí của mặt sóng ở thời điểm sau đó có thể được dựng bằng cách xem mỗi điểm trên mặt sóng ban đầu như một nguồn phát sóng thứ cấp.

Đối với , các kết quả này cũng suy được từ hệ phương trình Maxwell. Cách dựng hình của giúp ta hình dung sự lan truyền mà chưa cần giải trực tiếp hệ phương trình trường.

Hình 33.33: Dựng mặt sóng mới theo nguyên lý Huygens. Mỗi điểm trên mặt sóng ban đầu AA' đóng vai trò là một tâm phát sóng thứ cấp hình cầu bán kính r = vt. Mặt bao tiếp tuyến ngoài BB' chính là mặt sóng mới sau khoảng thời gian t.

Chú thích:

• Các sóng thứ cấp (Secondary wavelets)

Hình 33.33 minh họa . Xét ban đầu $A{A}^{\prime }$ đang lan ra xa nguồn với tốc độ $v$. Ta muốn xác định hình dạng mặt sóng sau khoảng thời gian $t$. Giả sử tốc độ sóng $v$ đồng nhất tại mọi điểm trong môi trường:

• Trong khoảng thời gian $t$, sóng truyền được một quãng đường là $r=vt$.
• Lấy các điểm nằm trên $A{A}^{\prime }$ làm tâm, ta vẽ vô số đường tròn (vết của các sóng thứ cấp hình cầu) có cùng bán kính $r=vt$.
• Mặt bao tiếp tuyến tiếp xúc với tất cả các sóng thứ cấp này tạo thành đường cong $B{B}^{\prime }$, biểu diễn vị trí của mới sau thời gian $t$.

Dẫn giải Định luật phản xạ từ nguyên lý Huygens

Để rút ra định luật phản xạ ánh sáng, hãy xem xét một sóng phẳng lan truyền tới một bề mặt phản xạ phẳng $M{M}^{\prime }$.

Hình 33.34: Sử dụng nguyên lý Huygens để chứng minh định luật phản xạ ánh sáng. Phần (a) mô tả các vị trí liên tiếp của mặt sóng phẳng khi gặp bề mặt phản xạ. Phần (b) phóng đại chi tiết hai tam giác vuông bằng nhau, suy ra góc tới bằng góc phản xạ.

Chú thích:

• Các vị trí liên tiếp của mặt sóng phẳng khi phản xạ từ bề mặt phẳng (Successive positions of a plane wave AA′ as it is reflected from a plane surface)
• Phần phóng đại chi tiết (Magnified portion)

Trong phần (a) của Hình 33.34, các đường thẳng $A{A}^{\prime }$, $O{B}^{\prime }$ và $N{C}^{\prime }$ biểu diễn các vị trí liên tiếp của phẳng đang tiến lại gần bề mặt phản xạ $M{M}^{\prime }$:

• Tại thời điểm ban đầu, điểm $A$ trên $A{A}^{\prime }$ vừa chạm tới bề mặt phản xạ.
• Sau một khoảng thời gian $t$, điểm $A^{\prime }$ trên ban đầu truyền tự do trong môi trường và tới vị trí $B^{\prime }$, vượt qua quãng đường $vt$.
• Nếu không có bề mặt phản xạ cản trở, sóng thứ cấp phát ra từ điểm $A$ sẽ tiếp tục lan truyền về phía dưới bề mặt phản xạ theo cung tròn nét đứt.
• Sự xuất hiện của bề mặt phản xạ làm đổi hướng chuyển động của các sóng thứ cấp đập vào nó. Phần sóng thứ cấp đáng lẽ đi sâu vào môi trường bên dưới sẽ bị phản xạ ngược trở lại vào môi trường ban đầu, tạo thành cung tròn nét liền có tâm tại $A$ với bán kính đúng bằng $AQ=vt$.

Mặt bao tiếp tuyến kẻ từ điểm $O$ tới sóng thứ cấp phản xạ này là đoạn thẳng $OB$. Toàn bộ tại thời điểm đó có dạng đường gấp khúc $BO{B}^{\prime }$. Dựng tương tự cho khoảng thời gian $t$ tiếp theo sẽ cho mặt sóng phản xạ hoàn chỉnh $CN{C}^{\prime }$.

Để xác lập mối liên hệ giữa góc tới ${\theta }_a$ và góc phản xạ ${\theta }_r$, hãy quan sát hình phóng đại chi tiết trong phần (b) của Hình 33.34:

• Góc tới ${\theta }_a$ là góc giữa tia tới và pháp tuyến của mặt phản xạ, cũng chính là góc giữa tới $A{A}^{\prime }$ và bề mặt phản xạ.
• Góc phản xạ ${\theta }_r$ là góc giữa tia phản xạ và pháp tuyến, cũng chính là góc giữa phản xạ $OB$ và bề mặt phản xạ.
• Từ điểm $O$, ta hạ đoạn vuông góc $OP=vt$ xuống $A{A}^{\prime }$.
• Từ điểm $A$, ta kẻ đoạn $AQ=vt$ vuông góc với mặt tiếp tuyến $OB$ tại tiếp điểm $Q$.

Xét hai tam giác vuông $\mathrm{△}APO$ (vuông tại $P$) và $\mathrm{△}OQA$ (vuông tại $Q$):

• Hai tam giác có chung cạnh huyền $AO$.
• Cạnh góc vuông $OP$ bằng cạnh góc vuông $AQ$ vì đều bằng quãng đường sóng truyền trong thời gian $t$: $OP=AQ=vt$.

Do đó, hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông:

$$\mathrm{△}APO\cong \mathrm{△}OQA$$

Hai tam giác bằng nhau kéo theo hai góc tương ứng bằng nhau:

$${\theta }_a={\theta }_r$$

Định luật phản xạ ánh sáng đã được chứng minh trọn vẹn từ nguyên lý sóng của .

Dẫn giải Định luật khúc xạ từ nguyên lý Huygens

Bằng phương pháp tương tự, ta có thể dẫn giải ánh sáng (định luật Snell).

Hình 33.35: Dẫn giải định luật khúc xạ ánh sáng từ nguyên lý Huygens. Mặt sóng phẳng AA' đi từ môi trường a (tốc độ v_a) sang môi trường b (tốc độ v_b). Phần (b) phóng đại chi tiết hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AO.

Chú thích:

• Môi trường a (Material a)
• Môi trường b (Material b)
• Các vị trí liên tiếp của mặt sóng phẳng khi khúc xạ qua bề mặt phẳng (Successive positions of a plane wave AA′ as it is refracted by a plane surface)
• Phần phóng đại chi tiết (Magnified portion)

Xét một phẳng biểu diễn bởi đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$ truyền từ môi trường $a$ ( $n_a$, tốc độ ánh sáng $v_a$) sang môi trường $b$ (chiết suất $n_b$, tốc độ ánh sáng $v_b$). Mặt phân cách phẳng giữa hai môi trường là $S{S}^{\prime }$:

• Điểm $A$ trên vừa chạm tới mặt phân cách.
• Trong khoảng thời gian $t$, các sóng thứ cấp còn ở môi trường $a$ lan với tốc độ $v_a$, đạt bán kính $v_{a}t$. Trên hình phóng đại, $OQ=v_{a}t$ là đoạn vuông góc với tới $AQ$.
• Trong cùng khoảng thời gian $t$ đó, điểm $A$ đã đi vào môi trường $b$ và phát ra một sóng thứ cấp hình cầu lan truyền với tốc độ $v_b$. Bán kính của sóng thứ cấp này là $AB=v_{b}t$.
• Mặt bao tiếp tuyến kẻ từ điểm $O$ tiếp xúc với sóng thứ cấp này tại điểm $B$, tạo thành khúc xạ $OB$. Vết của mặt sóng tổng hợp tại thời điểm này là đường gấp khúc $BO{B}^{\prime }$.

Để tìm quan hệ giữa góc tới ${\theta }_a$ và góc khúc xạ ${\theta }_b$, quan sát phần phóng đại (b) của Hình 33.35:

• Tam giác $\mathrm{△}AOQ$ vuông tại $Q$, có cạnh đối $OQ=v_{a}t$ và cạnh huyền $AO$:

$$\sin {\theta }_a=\frac{OQ}{AO}=\frac{v_{a}t}{AO}$$

• Tam giác $\mathrm{△}AOB$ vuông tại $B$, có cạnh đối $AB=v_{b}t$ và cạnh huyền chung $AO$:

$$\sin {\theta }_b=\frac{AB}{AO}=\frac{v_{b}t}{AO}$$

Lập tỷ số giữa $\sin {\theta }_a$ và $\sin {\theta }_b$, đại lượng cạnh huyền chung $AO$ và thời gian $t$ triệt tiêu:

$$\frac{\sin {\theta }_a}{\sin {\theta }_b}=\frac{v_a}{v_b}$$

Theo định nghĩa của môi trường quang học, $v_a=c/n_a$ và $v_b=c/n_b$. Thay vào tỷ số trên:

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin {\theta }_a}{\sin {\theta }_b}& =\frac{v_a}{v_b}\\ & =\frac{c/n_a}{c/n_b}\\ & =\frac{n_b}{n_a}\end{array}$$

(33.9)

Nhân chéo cả hai vế của Hệ thức (33.9), ta thu được dạng quen thuộc của :

$$n_a\sin {\theta }_a=n_b\sin {\theta }_b$$

Kết quả từ làm sáng tỏ cơ chế khúc xạ: Khi ánh sáng đi vào môi trường có tốc độ nhỏ hơn ($v_b<v_a$, tức $n_b>n_a$), phần vào trước tiến chậm hơn. Do đó, tia tới xiên lệch gần pháp tuyến hơn.

Ở thời điểm tiếp theo, cách dựng tương tự cho vết $CP{C}^{\prime }$. Ta cũng có thể coi Snell là kết quả thực nghiệm xác định . Khi đó, phép phân tích bằng sóng xác nhận mối liên hệ giữa chiết suất và tốc độ $v=c/n$.

Hình 33.36: Giải thích hiện tượng ảo ảnh trên mặt đường nóng bằng nguyên lý Huygens. Lớp không khí sát mặt đất có nhiệt độ cao nên chiết suất nhỏ hơn, tốc độ ánh sáng lớn hơn. Các sóng thứ cấp gần mặt đất có bán kính lớn hơn, làm mặt sóng bị bẻ cong hướng lên trên.

Chú thích:

• Ở trên cao, các mặt sóng lan truyền xấp xỉ thẳng (Higher up, the wave fronts travel approximately straight.)
• Lớp không khí nóng sát mặt đất có chiết suất nhỏ hơn, ánh sáng truyền nhanh nhất ở sát đất (The hot air near ground has a smaller n than cooler air higher up, so light travels fastest near the ground.)
• Các sóng thứ cấp sát đất có bán kính lớn nhất, làm mặt sóng uốn cong hướng lên trên (Thus, the secondary wavelets nearest the ground have the largest radii vt, and the wave fronts tilt as they travel.)
• Mặt đường/bề mặt nóng (Hot surface)

Ứng dụng giải thích hiện tượng ảo ảnh (Mirage)

Ảo ảnh trên mặt đường nóng hoặc cát sa mạc là một ứng dụng của .

Vào buổi trưa nắng gắt, bề mặt đường nhựa hấp thụ bức xạ mặt trời và nóng ran lên. Lớp không khí sát mặt đường bị hun nóng đến nhiệt độ rất cao, trong khi các lớp không khí ở phía trên cao mát mẻ hơn:

• Không khí nóng nở ra, có mật độ khối lượng nhỏ hơn và $n$ nhỏ hơn lớp không khí lạnh bên trên.
• Do $v=c/n$, ánh sáng truyền nhanh nhất ở lớp không khí sát mặt đường và truyền chậm hơn ở các tầng không khí cao hơn.
• Xét một phẳng truyền nghiêng từ bầu trời hướng xuống mặt đường như Hình 33.36.
• Theo , các sóng thứ cấp phát ra ở phần dưới gần mặt đất lan truyền nhanh hơn và có bán kính $r=vt$ lớn hơn các sóng thứ cấp phát ra ở phần trên.
• Sự chênh lệch bán kính này làm cho bị uốn nghiêng và bẻ cong dần hướng lên phía trên.

Trong mô hình môi trường đẳng hướng biến đổi chậm, tia vuông góc với nên đường tia cong lên và đi vào mắt. Ở cao hơn, tia bị uốn ít hơn và gần như truyền thẳng. Người quan sát có thể thấy vật ở vị trí thật và một ảnh đảo ngược phía dưới, như phản chiếu trên mặt ngang. Vì vậy mặt đường hoặc sa mạc có vẻ có một lớp nước.

Đối với sự truyền , Maxwell vẫn là hệ phương trình nền tảng. cung cấp cách dựng hình thuận tiện để hình dung quá trình ấy.

Câu hỏi tự kiểm 33.7

Âm thanh truyền trong không khí ấm với tốc độ nhanh hơn so với trong không khí lạnh. Giả sử có một frông thời tiết trải dài theo hướng bắc nam, với khối không khí ấm ở phía tây và khối không khí lạnh ở phía đông của frông. Một sóng âm ban đầu lan truyền theo hướng đông bắc trong khối không khí ấm đập vào frông thời tiết này. Hướng lan truyền của sóng âm sẽ thay đổi như thế nào sau khi đi vào khối không khí lạnh?

• (i) Hướng truyền của sóng sẽ lệch về phía bắc.
• (ii) Hướng truyền của sóng sẽ lệch về phía đông.
• (iii) Hướng truyền của sóng hoàn toàn không thay đổi.

Xem đáp án và giải thích chi tiết

Đáp án đúng: (ii) Hướng truyền của sóng sẽ lệch về phía đông.

Giải thích chi tiết: áp dụng cho mọi dạng sóng cơ học và điện từ, bao gồm cả sóng âm.

Tình huống này tương đồng với hiện tượng khúc xạ ánh sáng trên Hình 33.35:

• Môi trường a: Khối không khí ấm ở phía tây là môi trường sóng truyền nhanh hơn ($v_a$).
• Môi trường b: Khối không khí lạnh ở phía đông là môi trường sóng truyền chậm hơn ($v_b<v_a$).
• Mặt phân cách: Frông thời tiết chạy dọc theo hướng bắc nam.

Định hướng không gian trên bản đồ: Hướng bắc hướng lên trên, hướng đông hướng sang phải, pháp tuyến của frông thời tiết nằm theo phương ngang tây đông. Tia sóng âm truyền theo hướng đông bắc, nghĩa là hợp với pháp tuyến một góc tới ${\theta }_a$.

Khi truyền từ môi trường có tốc độ lớn sang môi trường có tốc độ nhỏ hơn ($v_b<v_a$), theo (33.9):

$$\begin{array}{rl}\frac{\sin {\theta }_a}{\sin {\theta }_b}& =\frac{v_a}{v_b}>1\\ & ⟹\sin {\theta }_b<\sin {\theta }_a\\ & ⟹{\theta }_b<{\theta }_a\end{array}$$

Góc khúc xạ nhỏ hơn góc tới, đồng nghĩa với việc tia sóng âm bị bẻ gãy lại gần pháp tuyến hơn (lệch về phương ngang tây đông, tức là bẻ về phía đông). Do đó, hướng lan truyền của sóng âm lệch về phía đông (phương án ii).

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 33.7, trang 1099–1101.