28.1 Từ trường của điện tích chuyển động

Một điểm $q$ chuyển động đều với vận tốc $\overrightarrow{v}$ tạo ra . Trong các ứng dụng, một gồm rất nhiều điện tích chuyển động cùng nhau. Ta bắt đầu với một điện tích để thấy rõ từ trường phụ thuộc vào điện tích, vận tốc và vị trí đo như thế nào.

Gọi điểm nguồn là vị trí tức thời của . Gọi điểm trường $P$ là vị trí cần tìm . $\overrightarrow{r}$ hướng từ điểm nguồn đến $P$, độ dài của nó là $r$, còn $\hat{r}=\overrightarrow{r}/r$ là véc-tơ đơn vị theo hướng đó. Ký hiệu $\varphi$ là góc giữa vận tốc $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{r}$.

Véc-tơ từ trường và đường sức quanh điện tích dương chuyển động đều

Chú thích:

• (a) Hình nhìn phối cảnh. ((a) Perspective view)
• Quy tắc bàn tay phải xác định chiều từ trường do điện tích dương chuyển động đều tạo ra. (Right-hand rule for the magnetic field due to a positive charge moving at constant velocity:)
• Ngón cái bàn tay phải chỉ theo chiều vận tốc. (Point the thumb of your right hand in the direction of the velocity.)
• Các ngón tay khum quanh điện tích theo chiều đường sức từ. (Your fingers now curl around the charge in the direction of the magnetic field lines.)
• Nếu điện tích âm, đường sức từ có chiều ngược lại. (If the charge is negative, the field lines are in the opposite direction.)
• Tại các điểm này, véc-tơ r và vận tốc v cùng nằm trong mặt phẳng màu be, còn B vuông góc với mặt phẳng ấy. (For these field points, r and v both lie in the beige plane, and B is perpendicular to this plane.)
• Tại các điểm này, véc-tơ r và vận tốc v cùng nằm trong mặt phẳng màu vàng kim, còn B vuông góc với mặt phẳng ấy. (For these field points, r and v both lie in the gold plane, and B is perpendicular to this plane.)
• (b) Hình nhìn từ phía sau điện tích. ((b) View from behind the charge)
• Ký hiệu × cho biết điện tích chuyển động đi vào mặt phẳng trang giấy, ra xa người quan sát. (The × symbol indicates that the charge is moving into the plane of the page (away from you).)

Hình 28.1: vuông góc với mặt phẳng chứa vận tốc và hướng từ đến điểm đo. Độ lớn phụ thuộc vào góc $\varphi$.

Thực nghiệm cho thấy độ lớn tỉ lệ với độ lớn $|q|$, tốc độ $v$, $\sin \varphi$ và nghịch đảo bình phương khoảng cách $r$. Vì vậy, từ trường bằng không trên đường thẳng song song với vận tốc, nơi $\sin \varphi =0$. Ở cùng khoảng cách, từ trường lớn nhất trên mặt phẳng vuông góc với vận tốc, nơi $\sin \varphi =1$.

$$B=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\times \frac{|q|v\sin \varphi }{r^2}.$$

(28.1)

Hằng số ${\mu }_0$ được gọi là hằng số từ và đọc là “mu không”. Thừa số $4\pi$ trong mẫu được chọn phù hợp với cách viết định luật Coulomb và sẽ xuất hiện tự nhiên khi xét các nguồn có đối xứng.

Độ lớn của công thức trên chưa cho biết chiều của $\overrightarrow{B}$. gói cả độ lớn lẫn hướng vào một biểu thức. $\overrightarrow{v}\times \hat{r}$ vuông góc với mặt phẳng chứa $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{r}$. Nếu $q$ dương, chiều được xác định bằng quy tắc bàn tay phải. Nếu $q$ âm, dấu của $q$ đảo chiều .

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}q}{4\pi r^2}(\overrightarrow{v}\times \hat{r}).$$

(28.2)

Các đường sức từ của dương chuyển động là những đường tròn có trục song song với $\overrightarrow{v}$. Chúng nằm trong các mặt phẳng vuông góc với vận tốc. Để xác định chiều, đặt ngón cái bàn tay phải theo $\overrightarrow{v}$. Các ngón tay khum lại theo chiều đường sức từ. Với điện tích âm, chiều của cả $\overrightarrow{B}$ lẫn đường sức đảo ngược.

điểm ở đây chuyển động với vận tốc không đổi. Khi điện tích gia tốc, có cấu trúc phức tạp hơn. Trong dây dẫn, hạt tải có thể gia tốc tại chỗ dây uốn cong vì hướng chuyển động đổi chiều. Tuy nhiên, tốc độ trôi $v_d$ trong kim loại rất nhỏ. Gia tốc hướng tâm $v_d^2/r$ vì thế đủ nhỏ để bỏ qua trong các bài toán của chương này.

Đơn vị SI của là tesla, ký hiệu $\mathrm{T}$:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{T}& =1\frac{\mathrm{N}\mathrm{s}}{\mathrm{C}\mathrm{m}}\\ & =1\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}\mathrm{m}}.\end{array}$$

(28.3)

Từ các đơn vị này, đơn vị của ${\mu }_0$ có thể viết theo nhiều cách tương đương. Giá trị số của hằng số trong SI là:

$$\begin{array}{rl}{\mu }_0& \approx \mathrm{1,256}63706\times {10}^{-6}\times \frac{\mathrm{N}{\mathrm{s}}^2}{{\mathrm{C}}^2}\\ & =\mathrm{1,256}63706\times {10}^{-6}\times \frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{A}\mathrm{m}}\\ & \approx 4\pi \times {10}^{-7}\times \frac{\mathrm{T}\mathrm{m}}{\mathrm{A}}.\end{array}$$

Hằng số điện ${\epsilon }_0$ và hằng số từ liên hệ với tốc độ ánh sáng trong chân không:

$$\begin{array}{rl}c& =\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}\\ & =\mathrm{2,998}\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

(28.4)

Sự liên hệ này cho thấy và có quan hệ sâu sắc trong bản chất của ánh sáng. Ta sẽ trở lại chủ đề ấy khi học sóng điện từ.

Ví dụ: Ví dụ 28.1 Lực giữa hai proton chuyển động ngược chiều

Hai proton chuyển động song song với trục $x$, ngược chiều nhau và cùng tốc độ $v$, với $v$ nhỏ so với tốc độ ánh sáng $c$. Tại thời điểm xét, proton dưới chuyển động theo $+x$, còn proton trên chuyển động theo $-x$. Khoảng cách giữa chúng là $r$. Hãy tìm lực điện, tác dụng lên proton trên và so sánh độ lớn.

Hai proton chuyển động ngược chiều, cùng chịu lực điện và lực từ

Hình 28.2: Lực điện và giữa hai proton đang chuyển động.

Định luật Coulomb cho lực điện có độ lớn:

$$F_E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\times \frac{q^2}{r^2}.$$

Hai proton cùng dấu nên đẩy nhau. Lực điện lên proton trên hướng theo $+y$.

Proton dưới có $\overrightarrow{v}=v\hat{ı}$, còn $\hat{r}=\hat{ȷ}$ hướng từ proton dưới đến proton trên. Dùng phương trình (28.2), do proton dưới tạo ra tại vị trí proton trên là:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{B}& =\frac{{\mu }_{0}qv}{4\pi r^2}(\hat{ı}\times \hat{ȷ})\\ & =\frac{{\mu }_{0}qv}{4\pi r^2}\hat{k}.\end{array}$$

Proton trên chuyển động với $-v\hat{ı}$. lên nó là:

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{F}}_B& =q(-v\hat{ı})\times \overrightarrow{B}\\ & =\frac{{\mu }_0{q}^2{v}^2}{4\pi r^2}\hat{ȷ}.\end{array}$$

cũng hướng theo $+y$, nên tương tác từ trong tình huống này là lực đẩy. Tỉ số hai độ lớn là:

$$\begin{array}{rl}\frac{F_B}{F_E}& =\frac{{\mu }_0{q}^2{v}^2}{4\pi r^2}\times \frac{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{q^2}\\ & ={\epsilon }_0{\mu }_0{v}^2\\ & =\frac{v^2}{c^2}.\end{array}$$

Vì $v\ll c$, nhỏ hơn nhiều so với lực điện, dù cả hai đều đẩy proton trên lên trên.

Hệ quy chiếu khi mô tả lực

Các vận tốc, và trong Ví dụ 28.1 được mô tả trong hệ quy chiếu đứng yên như hình. Trong một hệ quy chiếu chuyển động cùng proton dưới, proton ấy đứng yên nên không có tác dụng lên nó trong hệ đó. Đây không phải là mâu thuẫn. Điện trường và từ trường thay đổi khi chuyển hệ quy chiếu, còn lực tổng hợp vẫn nhất quán. Sự hòa giải đầy đủ thuộc thuyết tương đối đặc biệt.

Tự kiểm tra 28.1

Hai proton chuyển động song song cùng chiều với cùng tốc độ $v$. (a) giữa chúng hút hay đẩy? (b) Lực tổng giữa chúng hút, đẩy hay bằng không? Giả sử $v$ nhỏ hơn nhiều so với $c$.

Đáp án

(a) hút. do proton phía sau tạo ra tại proton phía trước giống chiều trong hình, nhưng vận tốc proton phía trước cùng chiều proton phía sau, nên lực $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ đổi chiều so với Ví dụ 28.1. (b) Lực điện vẫn đẩy và lớn hơn lực từ theo tỉ số $F_B/F_E=v^2/c^2\ll 1$. Vì vậy lực tổng vẫn đẩy.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 28.1, trang 918–921.