Một chùm sáng mạnh có nhất thiết chứa những photon mạnh hơn?

Một bác sĩ dùng đồng thời đèn đội đầu phát ánh sáng nhìn thấy và một laser cầm tay phát hồng ngoại. Chùm laser có thể tập trung rất mạnh vào một vùng nhỏ. Nhưng nếu xét từng riêng lẻ, photon của nguồn nào mang nhiều năng lượng hơn?

Mở đầu: Đèn đội đầu phát ánh sáng nhìn thấy và laser hồng ngoại minh họa sự khác nhau giữa năng lượng mỗi photon với năng lượng cả chùm truyền trong một giây.

Phương trình Maxwell cùng các thí nghiệm của Hertz xác lập ánh sáng là . Giao thoa, nhiễu xạ và phân cực tiếp tục thể hiện tính chất sóng ấy. Tuy nhiên, khi xét sự phát, hấp thụ và tán xạ, ta gặp một khía cạnh khác.

bức xạ được phát và hấp thụ thành những lượng xác định gọi là . Năng lượng một photon tỉ lệ với bức xạ. Vì vậy, cường độ chùm và năng lượng từng photon không phải cùng một đại lượng.

Ánh sáng thể hiện . Giao thoa và nhiễu xạ cần mô tả bằng sóng. Những trao đổi riêng lẻ khi phát và hấp thụ lại thể hiện tính chất hạt. Ta cần cả hai mặt để giải thích các thí nghiệm mà mô hình sóng cổ điển riêng lẻ không giải thích được.

Từ , sự phát tia X và , chương này xây dựng mô tả . Phần cuối nối lưỡng tính với xác suất và nguyên lý bất định. Những kết quả ấy chuẩn bị cho việc xét tính chất sóng của vật chất ở chương tiếp theo.

Mục tiêu của chương

• Giải thích bằng mô hình của Einstein.
• Liên hệ thí nghiệm phát tia X với việc ánh sáng được phát thành những lượng tử .
• Phân tích tán xạ , sự và bằng bảo toàn và .
• Giải thích vai trò của xác suất và những giới hạn mà nguyên lý bất định đặt ra cho các đại lượng được đo.

Kiến thức cần ôn

Cần ôn khối tâm, phách và đơn vị electronvolt. Mô tả ánh sáng bằng trường điện từ, sự tán xạ, và nhiễu xạ tia X là cơ sở cho các thí nghiệm. Quan hệ – được dùng khi xét và electron giật lùi.

Câu hỏi mở đầu

Đèn đội đầu phát ánh sáng nhìn thấy, còn laser cầm tay phát hồng ngoại. riêng lẻ của nguồn nào có lớn hơn?

• (i) Đèn đội đầu.
• (ii) Laser.
• (iii) Hai loại có bằng nhau.
• (iv) Chưa đủ thông tin để quyết định.

Xem đáp án và giải thích

Chọn (i). một liên hệ với bởi

$$E=\frac{hc}{\lambda }.$$

Ánh sáng nhìn thấy có ngắn hơn hồng ngoại, nên mỗi của đèn đội đầu có lớn hơn mỗi photon hồng ngoại trong tình huống này.

Trong bố trí minh họa, chùm laser hồng ngoại có cường độ lớn hơn vì phát nhiều mỗi giây và tập trung chúng lên một điểm rất nhỏ. mỗi photon vì thế không quyết định riêng cường độ của cả chùm.

4 chủ đề · tổng cộng khoảng 12 phút đọc

Hấp thụ và phát photon

1. 1Hiệu ứng quang điện và photonVì sao tăng cường độ không thay được tần số ngưỡng?Khoảng 3 phút
2. 2Phát tia X và bức xạ hãmĐiện áp gia tốc giới hạn bước sóng tia X như thế nào?Khoảng 3 phút

Tán xạ, xác suất và bất định

1. 3Compton, tạo cặp và hủy cặpPhoton chuyển năng lượng và động lượng cho vật chất bằng cách nào?Khoảng 3 phút
2. 4Lưỡng tính sóng–hạt và nguyên lý bất địnhVì sao các sự kiện photon riêng lẻ tạo nên phân bố nhiễu xạ?Khoảng 3 phút

Tổng kết chương Photon

Năng lượng và động lượng

Bức xạ điện từ biểu hiện cả tính sóng và tính hạt. được phát và hấp thụ theo từng lượng tử gọi là . Trong chân không, năng lượng của một photon tỷ lệ thuận với và tỷ lệ nghịch với bước sóng.

$$E=hf=\frac{hc}{\lambda }.$$

Độ lớn là

$$p=\frac{E}{c}=\frac{hf}{c}=\frac{h}{\lambda }.$$

hướng theo chiều truyền của bức xạ. có khối lượng nghỉ bằng không. Các hệ thức này dùng cho toàn bộ phổ điện từ, từ sóng vô tuyến đến tia gamma.

Hiệu ứng quang điện

Một electron có thể thoát khỏi bề mặt khi hấp thụ có ít nhất bằng $\varphi$. Phần năng lượng còn lại quyết định động năng cực đại. Độ lớn $V_0$ liên hệ với động năng ấy qua

$$e{V}_0=K_{max}=hf-\varphi .$$

ngưỡng là $f_0=\varphi /h$. Ở cùng vật liệu và tần số, tăng cường độ làm tăng số tới mỗi giây, do đó có thể tăng dòng quang điện. vẫn giữ nguyên trong mô hình một photon làm bật một electron.

Sơ đồ tổng kết: Catôt được chiếu sáng phát electron về anôt. Dòng quang điện được đo trong mạch ngoài và có thể bị chặn bằng điện áp ngược.

Chú thích:

• Ánh sáng đơn sắc (Monochromatic light)
• Catôt (Cathode)
• Anôt (Anode)

Phát tia X, tán xạ và chuyển hóa photon

Trong ống tia X, electron được gia tốc qua điện áp $V_{AC}$ rồi đập vào bia. Nếu toàn bộ động năng chuyển thành một thì

$$e{V}_{AC}=h{f}_{max}$$

và

$${\lambda }_{min}=\frac{hc}{e{V}_{AC}}.$$

Trong trên electron tự do ban đầu đứng yên, truyền và cho electron. Với góc tán xạ $\phi$,

$${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \phi ).$$

Ở đây $m$ là khối lượng nghỉ electron. Góc không đổi cho độ dịch không phụ thuộc tới. đi thẳng có độ dịch bằng không, còn tán xạ ngược có độ dịch lớn nhất bằng $2h/(mc)$.

Sơ đồ tổng kết: Photon tán xạ đổi hướng và bước sóng, còn electron nhận động lượng giật lùi. Tổng động lượng trước và sau tương tác được bảo toàn.

Chú thích:

• Photon tới: Bước sóng λ, động lượng p (Incident photon: wavelength λ, momentum p)
• Photon tán xạ: Bước sóng λ′, động lượng p′ (Scattered photon: wavelength λ′, momentum p′)
• Electron giật lùi: Động lượng Pₑ (Recoiling electron: momentum Pₑ)

có đủ có thể chuyển thành cặp electron–positron khi có hạt nhân hoặc vật khác nhận giật lùi. Quá trình ngược là sự , trong đó electron và positron biến mất và tạo photon. Khi cặp ban đầu có tổng động lượng bằng không và tạo hai photon, hai photon có cùng năng lượng và bay ngược chiều nhau.

Xác suất và nguyên lý bất định

Giao thoa và nhiễu xạ vẫn xuất hiện khi từng đi qua thiết bị. Cường độ xác định phân bố xác suất của các vị trí phát hiện sau nhiều lần lặp lại, còn từng sự kiện phát hiện xảy ra riêng lẻ.

Không thể chuẩn bị một trạng thái có cả độ bất định vị trí và liên hợp nhỏ tùy ý. Với các thành phần theo trục $x$,

$$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }{p}_x\ge \frac{\hslash }{2},$$

trong đó $\hslash =h/(2\pi )$. Có các quan hệ tương ứng cho $y,p_y$ và $z,p_z$. Độ bất định vị trí theo $x$ không trực tiếp ràng buộc độ bất định theo $y$.

Đồ thị tổng kết: Tích độ bất định vị trí và động lượng bằng ℏ/2 trên đường biên. Miền phía trên đường biên được phép, còn miền phía dưới bị loại.

Chú thích:

• Miền được phép: Tích độ bất định không nhỏ hơn ℏ/2 (Allowed: Δx Δpₓ ≥ ℏ/2)
• Miền không thể có: Tích độ bất định nhỏ hơn ℏ/2 (Impossible: Δx Δpₓ < ℏ/2)

Một trạng thái chỉ tồn tại trong khoảng thời gian đặc trưng $\mathrm{\Delta }t$ có độ rộng đặc trưng $\mathrm{\Delta }E$ liên hệ theo

$$\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }E\ge \frac{\hslash }{2}.$$

Đối với xung ánh sáng, thời gian xung ngắn đi kèm phổ tần rộng hơn. Ý nghĩa và quy ước đo độ rộng phải được giữ thống nhất khi dùng hệ thức –thời gian.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 38, trang 1253–1278.

Luyện tập hướng dẫn

Trong phần này, dùng $h=\mathrm{6,626}\times {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$, $c=\mathrm{2,998}\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và $e=\mathrm{1,602}\times {10}^{-19}\mathrm{C}$. Khối lượng nghỉ electron là $m_e=\mathrm{9,109}\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$, còn $\hslash =h/(2\pi )$.

Photon và hiệu ứng quang điện

Trước nhóm bài này, hãy ôn các ví dụ 38.1–38.3. Phân biệt một với năng lượng cả chùm truyền trong một giây, và phân biệt với .

Bài tập: VP38.3.1. Năng lượng mỗi photon và công suất laser

Một laser phát $2,13\times {10}^{16}$ mỗi giây, mỗi photon có $625\mathrm{nm}$. Tìm (a) và của một photon, (b) công suất phát của laser.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\lambda =625\mathrm{nm}$ và số phát mỗi giây $\dot{N}=2,13\times {10}^{16}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Hướng đi:

• Dùng $E=hc/\lambda$ và $p=h/\lambda$ cho một .
• Mỗi giây có $\dot{N}$ cùng , nên tổng năng lượng phát mỗi giây là công suất $P=\dot{N}E$.

(a) là

$$E=\frac{hc}{\lambda }\approx 3,18\times {10}^{-19}\mathrm{J}.$$

Độ lớn :

$$\begin{array}{rl}p& =\frac{h}{\lambda }\\ & \approx 1,06\times {10}^{-27}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

hướng theo chiều truyền.

(b) Công suất laser bằng

$$P=\dot{N}E\approx 6,77\times {10}^{-3}\mathrm{W}.$$

Tăng số mỗi giây làm tăng công suất mà không cần đổi từng photon nếu giữ nguyên.

Bài tập: VP38.3.2. Tần số ngưỡng và động năng quang electron

Một kim loại có $4,55\mathrm{eV}$. Tìm (a) nhỏ nhất của ánh sáng để phát , (b) tần số để quang electron có động năng cực đại $1,53\mathrm{eV}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\mathrm{\Phi }=4,55\mathrm{eV}$. Ở phần (b), $K_{max}=1,53\mathrm{eV}$.

Hướng đi:

• Dùng phương trình quang điện $hf=\mathrm{\Phi }+K_{max}$ vì một cung cấp để electron thoát ra và phần còn lại thành động năng.
• Tại ngưỡng, động năng cực đại bằng không. Khi tính theo joule, đổi các electronvolt bằng hệ số $e$.

(a) ngưỡng là

$$f_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\frac{\mathrm{\Phi }}{h}\approx 1,10\times {10}^{15}\mathrm{Hz}.$$

(b) cần có là $6,08\mathrm{eV}$, nên

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{\mathrm{\Phi }+K_{max}}{h}\\ & \approx 1,47\times {10}^{15}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

Bài tập: VP38.3.3. Đổi bước sóng chiếu và thế hãm

Trong thí nghiệm quang điện, bằng $1,37\mathrm{V}$ khi cathode được chiếu ánh sáng $475\mathrm{nm}$. Tìm (a) vật liệu theo electronvolt, (b) thế hãm khi giảm bước sóng xuống $425\mathrm{nm}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: ${\lambda }_1=475\mathrm{nm}$, $V_{s1}=1,37\mathrm{V}$ và ${\lambda }_2=425\mathrm{nm}$. được dùng theo độ lớn dương.

Hướng đi:

• Dùng $K_{max}=e{V}_s$ để đổi thành động năng cực đại.
• thuộc vật liệu và giữ nguyên khi đổi . Tìm nó từ lần chiếu đầu, rồi dùng lại cho lần chiếu sau.

(a) đầu xấp xỉ $2,61\mathrm{eV}$. Do đó,

$$\mathrm{\Phi }=\frac{hc}{{\lambda }_1}-e{V}_{s1}.$$

Kết quả là $\mathrm{\Phi }\approx 1,24\mathrm{eV}$.

(b) Lần chiếu sau cho

$$e{V}_{s2}=\frac{hc}{{\lambda }_2}-\mathrm{\Phi }.$$

Suy ra $V_{s2}\approx 1,68\mathrm{V}$. ngắn hơn làm và động năng cực đại tăng, nên cần lớn hơn.

Bài tập: VP38.3.4. Suy công thoát từ tốc độ electron

Một thí nghiệm cho tốc độ cực đại của bằng $6,95\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ khi cathode được chiếu tia tử ngoại $306\mathrm{nm}$. Tìm (a) động năng cực đại theo electronvolt, (b) theo electronvolt, (c) vật liệu.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $v_{max}=6,95\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và $\lambda =306\mathrm{nm}$.

Hướng đi:

• Tốc độ electron nhỏ hơn nhiều so với $c$, nên dùng gần đúng $K_{max}=m_e{v}_{max}^2/2$.
• Tính bằng $hc/\lambda$.
• Lấy trừ động năng cực đại để tìm , theo bảo toàn năng lượng trong quá trình quang điện.

(a) Động năng cực đại bằng $K_{max}\approx 1,37\mathrm{eV}$.

(b) bằng $E\approx 4,05\mathrm{eV}$.

(c) là

$$\mathrm{\Phi }=E-K_{max}\approx 2,68\mathrm{eV}.$$

Động năng cực đại chỉ là phần còn lại sau khi electron vượt rào .

Tán xạ Compton và hủy cặp

Trước nhóm bài này, hãy ôn các ví dụ 38.5–38.6. Công thức dịch Compton chuẩn xét hạt tán xạ ban đầu tự do và đứng yên. Trong đối đầu đối xứng, tổng ban đầu bằng không.

Bài tập: VP38.6.1. Độ dịch bước sóng ở góc nhỏ

Một thí nghiệm Compton dùng tia X $\mathrm{0,251}\mathrm{nm}$. Ở góc tán xạ $14,5^{\circ }$, bước sóng tăng bao nhiêu so với photon tới? Viết kết quả (a) theo nanômét và (b) theo phần trăm bước sóng tới.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tán xạ từ electron tự do ban đầu đứng yên, với $\lambda =\mathrm{0,251}\mathrm{nm}$ và $\varphi =14,5^{\circ }$.

Hướng đi:

• Dùng $\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }_C(1-\cos \varphi )$ với ${\lambda }_C=h/(m_{e}c)$.
• Lấy độ dịch chia tới để tìm phần trăm. Độ dịch tuyệt đối chỉ phụ thuộc góc và khối lượng hạt tán xạ, còn phần trăm còn phụ thuộc bước sóng ban đầu.

Compton electron xấp xỉ ${\lambda }_C=\mathrm{2,426}\times {10}^{-3}\mathrm{nm}$.

(a) Thay góc đã cho:

$$\mathrm{\Delta }\lambda \approx 7,73\times {10}^{-5}\mathrm{nm}.$$

(b) Tỉ số là $\mathrm{\Delta }\lambda /\lambda \approx 3,08\times {10}^{-4}$, nên tăng khoảng $\mathrm{0,030}8\mathrm{\%}$.

Bài tập: VP38.6.2. Tần số tia X sau tán xạ

Thí nghiệm Compton dùng tia X $\mathrm{1,260}\times {10}^{18}\mathrm{Hz}$. Tìm tần số tán xạ ở góc (a) $90,{00}^{\circ }$ và (b) $180,0^{\circ }$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tới $f_0=\mathrm{1,260}\times {10}^{18}\mathrm{Hz}$. Electron ban đầu đứng yên. Cần phân biệt tần số với bước sóng vì công thức dịch Compton cho hiệu bước sóng.

Hướng đi:

• Tìm tới $\lambda =c/f_0$.
• Cộng độ dịch Compton để có ${\lambda }^{\prime }$, rồi lấy $f^{\prime }=c/{\lambda }^{\prime }$.
• Góc vuông cho độ dịch ${\lambda }_C$, còn tán xạ ngược cho độ dịch lớn nhất $2{\lambda }_C$.

Ta có $\lambda \approx \mathrm{0,237}9\mathrm{nm}$.

(a) Ở $90,{00}^{\circ }$,

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }& =\frac{c}{\lambda +{\lambda }_C}\\ & \approx \mathrm{1,247}\times {10}^{18}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

(b) Ở $180,0^{\circ }$,

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }& =\frac{c}{\lambda +2{\lambda }_C}\\ & \approx \mathrm{1,235}\times {10}^{18}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

giảm ở cả hai trường hợp vì một phần được chuyển cho electron giật lùi.

Bài tập: VP38.6.3. Compton trên proton

có thể từ proton đứng yên, có khối lượng $\mathrm{1,673}\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$. Với photon gamma $2,50\times {10}^{-12}\mathrm{m}$, tức $2,50\mathrm{pm}$, góc tán xạ nào làm bước sóng tăng (a) $\mathrm{0,010}0\mathrm{\%}$ và (b) $\mathrm{0,080}0\mathrm{\%}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt tán xạ là proton, không phải electron. tới $\lambda =2,50\mathrm{pm}$.

Hướng đi:

• Dùng cùng quan hệ dịch Compton nhưng thay khối lượng electron bằng khối lượng proton.
• Đổi phần trăm thành tỉ số trước khi nhân với tới.
• Giải $\cos \varphi =1-\mathrm{\Delta }\lambda /{\lambda }_{C,p}$, đồng thời giữ miền $0\le \varphi \le \pi$.

Compton proton là

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{C,p}& =\frac{h}{m_{p}c}\\ & \approx \mathrm{1,321}\times {10}^{-15}\mathrm{m}.\end{array}$$

(a) Độ dịch cần có bằng ${10}^{-4}\lambda$. Thay vào cho $\varphi \approx 35,8^{\circ }$.

(b) Độ dịch cần có bằng $8,00\times {10}^{-4}\lambda$. Kết quả là $\varphi \approx {121}^{\circ }$.

Vì proton nặng hơn electron rất nhiều, độ dịch tuyệt đối ở cùng góc nhỏ hơn tương ứng.

Bài tập: VP38.6.4. Proton và phản proton hủy cặp

Phản proton có cùng khối lượng và $938,3\mathrm{MeV}$ như proton, nhưng điện tích bằng $-e$. Một proton và một phản proton ban đầu ở xa nhau, bay thẳng về phía nhau với cùng tốc độ rồi hủy thành hai .

Tìm và mỗi nếu động năng ban đầu của mỗi hạt (a) không đáng kể và (b) bằng $545\mathrm{MeV}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai hạt ban đầu có cùng khối lượng nghỉ và vận tốc đối nhau. Hệ phòng thí nghiệm cũng là hệ khối tâm. Trạng thái cuối có đúng hai .

Hướng đi:

• Tổng ban đầu bằng không, nên hai phải truyền ngược chiều và có cùng độ lớn động lượng.
• Với , $E=pc$, nên hai bằng nhau. Bảo toàn năng lượng cho mỗi photon nhận năng lượng toàn phần của một hạt ban đầu.
• Dùng $\lambda =hc/E$ sau khi đổi MeV sang joule.

(a) Động năng không đáng kể, nên mỗi có

$$E_{\gamma }=938,3\mathrm{MeV}.$$

tương ứng là $\lambda \approx 1,32\times {10}^{-15}\mathrm{m}$.

(b) mỗi bằng tổng và động năng của một hạt:

$$\begin{array}{rl}{E}_{\gamma }& =E_0+K\\ & =1483,3\mathrm{MeV}.\end{array}$$

Khi đó $\lambda \approx 8,36\times {10}^{-16}\mathrm{m}$. Cả lẫn động năng ban đầu đều góp vào cuối.

Xung laser và độ bất định

Trước nhóm bài này, hãy ôn ví dụ 38.7. Các độ dài và thời gian đặc trưng được dùng như độ rộng tương ứng trong mô hình ước lượng của bài. Khi yêu cầu độ bất định nhỏ nhất, ta xét giới hạn bằng trong quan hệ bất định với cùng quy ước độ rộng. Không tự đồng nhất các độ rộng này với độ rộng nửa cực đại của mọi dạng xung.

Bài tập: VP38.7.1. Photon trong một xung ngắn

Laser phát ánh sáng $633\mathrm{nm}$ thành các xung truyền theo chiều $+x$, mỗi xung dài $7,00\times {10}^{-6}\mathrm{m}$. Với một trung bình trong xung, tìm (a) , (b) độ bất định động lượng nhỏ nhất theo $\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và theo phần trăm động lượng trung bình, (c) , (d) độ bất định năng lượng nhỏ nhất theo joule và theo phần trăm năng lượng trung bình.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\lambda =633\mathrm{nm}$ và chiều dài xung $L=7,00\times {10}^{-6}\mathrm{m}$. Xét truyền theo một phương, lấy $\mathrm{\Delta }x=L$ trong ước lượng này.

Hướng đi:

• Dùng $p=h/\lambda$ và $E=pc$ cho trung bình.
• Quan hệ vị trí– cho $\mathrm{\Delta }p=\hslash /(2L)$ trong mô hình độ rộng được chọn.
• Với truyền theo cùng chiều, $E=cp$ là tuyến tính nên $\mathrm{\Delta }E=c\mathrm{\Delta }p$. Hai tỉ số bất định tương đối vì thế bằng nhau.

(a) trung bình có độ lớn

$$p\approx 1,05\times {10}^{-27}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Hướng là $+x$.

(b) Độ bất định nhỏ nhất là

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =\frac{\hslash }{2L}\\ & \approx 7,53\times {10}^{-30}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Tỉ số $\mathrm{\Delta }p/p$ tương ứng khoảng $\mathrm{0,720}\mathrm{\%}$.

(c) trung bình là $E\approx 3,14\times {10}^{-19}\mathrm{J}$.

(d) Độ bất định nhỏ nhất là

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }E& =c\mathrm{\Delta }p\\ & \approx 2,26\times {10}^{-21}\mathrm{J}.\end{array}$$

Nó cũng bằng khoảng $\mathrm{0,720}\mathrm{\%}$ trung bình.

Bài tập: VP38.7.2. Xung radar thời tiết

Một hệ radar thời tiết phát sóng vô tuyến thành xung, với điển hình $3,00\mathrm{GHz}$. Độ bất định nhỏ nhất của vô tuyến là $5,50\times {10}^{-29}\mathrm{J}$.

Tìm (a) thời gian mỗi xung, (b) chiều dài mỗi xung, (c) trung bình, (d) độ bất định nhỏ nhất. Biết $1\mathrm{GHz}={10}^9\mathrm{Hz}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $f=3,00\times {10}^9\mathrm{Hz}$ và $\mathrm{\Delta }E=5,50\times {10}^{-29}\mathrm{J}$. Xét mô hình xung đạt giới hạn độ rộng –thời gian đã dùng trong chương.

Hướng đi:

• Dùng $\mathrm{\Delta }t=\hslash /(2\mathrm{\Delta }E)$ để tìm độ rộng thời gian trong mô hình giới hạn.
• Chiều dài xung truyền trong chân không là $L=c\mathrm{\Delta }t$.
• Dùng $E=hf$ và $\mathrm{\Delta }E=h\mathrm{\Delta }f$ để liên hệ trung bình với độ rộng phổ.

(a) Thời gian đặc trưng của xung là

$$\mathrm{\Delta }t\approx 9,59\times {10}^{-7}\mathrm{s}.$$

(b) Chiều dài xung bằng khoảng $2,87\times {10}^2\mathrm{m}$ với các hằng số đã nêu, tức khoảng $2,9\times {10}^2\mathrm{m}$.

(c) trung bình:

$$E=hf\approx 1,99\times {10}^{-24}\mathrm{J}.$$

(d) Độ bất định nhỏ nhất:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }f& =\frac{\mathrm{\Delta }E}{h}\\ & \approx 8,30\times {10}^4\mathrm{Hz}.\end{array}$$

Kết quả cũng bằng $8,30\times {10}^{-5}\mathrm{GHz}$.

Bài tập: VP38.7.3. Suy bước sóng và thời gian từ độ rộng năng lượng

Một laser xung có độ bất định nhỏ nhất $2,33\times {10}^{-20}\mathrm{J}$, bằng $6,70\mathrm{\%}$ năng lượng photon trung bình. Tìm (a) và tần số trung bình, (b) độ bất định tần số nhỏ nhất, (c) thời gian xung.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\mathrm{\Delta }E=2,33\times {10}^{-20}\mathrm{J}$ và $\mathrm{\Delta }E/E=\mathrm{0,067}0$.

Hướng đi:

• Tìm trung bình từ phần trăm đã cho trước khi suy và bước sóng.
• Dùng tính tuyến tính $E=hf$ để chuyển độ bất định thành độ bất định .
• Xung được xét ở giới hạn nhỏ nhất tương ứng, nên dùng $\mathrm{\Delta }t=\hslash /(2\mathrm{\Delta }E)$ với quy ước của mô hình.

(a) trung bình là

$$E=\frac{\mathrm{\Delta }E}{\mathrm{0,067}0}.$$

Suy ra $\lambda \approx 571\mathrm{nm}$ và $f\approx 5,25\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$ với các hằng số ở đầu phần.

(b) Độ bất định nhỏ nhất là $\mathrm{\Delta }f\approx 3,52\times {10}^{13}\mathrm{Hz}$.

(c) Độ rộng thời gian xung là

$$\mathrm{\Delta }t\approx 2,26\times {10}^{-15}\mathrm{s}.$$

Giữ trung bình không đổi mà làm xung ngắn hơn sẽ đòi hỏi phổ năng lượng rộng hơn trong cùng mô hình.

Bài tập: VP38.7.4. Năng lượng một xung có nhiều photon

Một chùm laser xung có trung bình $2,39\mathrm{eV}$ và độ bất định năng lượng nhỏ nhất $\mathrm{0,015}5\mathrm{eV}$. Mỗi xung có trung bình $5,00\times {10}^{12}$ photon.

Tìm (a) thời gian mỗi xung, (b) ánh sáng, (c) mỗi xung theo joule.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $E=2,39\mathrm{eV}$, $\mathrm{\Delta }E=\mathrm{0,015}5\mathrm{eV}$ và $N=5,00\times {10}^{12}$.

Hướng đi:

• Đổi các theo electronvolt sang joule trước khi dùng $\hslash$ theo đơn vị SI.
• Tìm thời gian xung từ giới hạn –thời gian trong mô hình đã chọn.
• dùng một , còn năng lượng cả xung bằng số photon nhân năng lượng trung bình mỗi photon.

(a) Thời gian xung bằng

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }t& =\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }E}\\ & \approx 2,12\times {10}^{-14}\mathrm{s}.\end{array}$$

(b) trung bình là $\lambda =hc/E\approx 519\mathrm{nm}$.

(c) trung bình mỗi xung, ký hiệu $E_x$, là

$$\begin{array}{rl}{E}_x& =NE\\ & \approx 1,91\times {10}^{-6}\mathrm{J}.\end{array}$$

Đây là khoảng $1,91\mu \mathrm{J}$. Tiền tố micro tương ứng ${10}^{-6}$, nên không được đổi giá trị này thành $1,91\mathrm{mJ}$.

Bài tập cầu nối: Compton và electron giật lùi

Bài tập: Bài cầu nối 38. Photon tán xạ ngược

Một tia X tán xạ từ electron tự do ban đầu đứng yên. Photon quay ngược lại ở góc ${180}^{\circ }$ và có sau tán xạ $\mathrm{0,083}0\mathrm{nm}$.

(a) tới bằng bao nhiêu? (b) Độ lớn và tốc độ electron sau va chạm bằng bao nhiêu? (c) Động năng electron bằng bao nhiêu? Hãy đối chiếu với phần bị mất. Có thể dùng gần đúng phi tương đối tính cho electron nếu tốc độ thu được nhỏ hơn khoảng $0,1c$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron đứng yên trước va chạm, $\varphi ={180}^{\circ }$ và ${\lambda }^{\prime }=\mathrm{0,083}0\mathrm{nm}$. Chọn chiều dương theo tới.

Hướng đi:

• Dùng độ dịch Compton ngược ${\lambda }^{\prime }-\lambda =2{\lambda }_C$ để tìm ban đầu.
• tán xạ có ngược chiều photon tới. Bảo toàn động lượng vì thế cho động lượng electron bằng tổng hai độ lớn động lượng photon.
• Tính tốc độ và động năng bằng công thức tương đối tính, rồi so với gần đúng $p_e=m_{e}v$ và $K=p_e^2/(2m_e)$.
• Bảo toàn yêu cầu động năng electron bằng năng lượng tới trừ năng lượng photon tán xạ.

(a) Với ${\lambda }_C=h/(m_{e}c)$,

$$\lambda ={\lambda }^{\prime }-2{\lambda }_C\approx \mathrm{0,078}1\mathrm{nm}.$$

(b) Sơ đồ có tới theo chiều dương, photon cuối theo chiều âm và electron cuối theo chiều dương. Phương trình một chiều là

Lời giải cầu nối: Photon tán xạ ngược, còn electron nhận động lượng theo chiều photon tới. Các mũi tên chỉ hướng, không theo tỉ lệ độ lớn.

$$\frac{h}{\lambda }=-\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}+p_e.$$

Suy ra

$$\begin{array}{rl}{p}_e& =\frac{h}{\lambda }+\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\\ & \approx 1,65\times {10}^{-23}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

toàn phần electron là

$$E_e=\sqrt{(m_e{c}^2{)}^2+(p_{e}c{)}^2}.$$

Từ $v=p_e{c}^2/E_e$, ta có $v\approx 1,80\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s}$, xấp xỉ $\mathrm{0,060}2c$. Gần đúng phi tương đối tính cho $v\approx 1,81\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s}$, phù hợp với mức chính xác cần xét.

(c) Động năng từ bảo toàn là

$$\begin{array}{rl}K& =\frac{hc}{\lambda }-\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}\\ & \approx 1,49\times {10}^{-16}\mathrm{J}.\end{array}$$

Tính bằng $E_e-m_e{c}^2$ cho cùng giá trị. Gần đúng $p_e^2/(2m_e)$ cũng cho $1,49\times {10}^{-16}\mathrm{J}$ ở ba chữ số có nghĩa. đã mất đúng phần chuyển thành động năng giật lùi của electron.

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q38.1. Photon giống và khác electron thế nào?

giống những hạt như electron ở những điểm nào và khác ở những điểm nào? Photon có khối lượng, điện tích hay khả năng được gia tốc không? Nó có những tính chất cơ học nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh tính chất hạt của với electron, đồng thời giữ rõ ý nghĩa khối lượng nghỉ.

Hướng đi:

• Dùng , và các định luật bảo toàn để nhận ra những thuộc tính cơ học chung.
• Phân biệt không khối lượng nghỉ, không điện tích với electron có khối lượng nghỉ dương và điện tích âm.

Cả và electron đều trao đổi , trong những tương tác riêng lẻ. Chúng có thể tạo tín hiệu tại các vị trí xác định trên detector, nhưng phân bố xác suất của nhiều lần ghi nhận còn biểu hiện tính chất sóng.

có khối lượng nghỉ bằng không và điện tích bằng không. Nó vẫn có $E=hf$ và độ lớn $p=E/c$. Vì vậy, một chùm photon có thể truyền động lượng và gây áp suất bức xạ.

trong chân không truyền với tốc độ $c$, không có trạng thái nghỉ để được tăng tốc từ không lên $c$ như electron. Trong tương tác, và hướng truyền của photon có thể thay đổi, hoặc photon có thể được phát hay hấp thụ. Không được mô tả điều ấy bằng cách tăng tốc độ photon vượt $c$.

Bài tập: Q38.2. Một electron hấp thụ hai photon

Trong một laser cường độ lớn, có xác suất để một electron đồng thời hấp thụ hai giống nhau. Điều này ảnh hưởng thế nào đến ngưỡng và các phương trình quang điện? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xét quá trình hấp thụ đồng thời hai cùng $f$, thay cho cơ chế một photon cung cấp cho một electron.

Hướng đi:

• Cộng hai trước khi dùng bảo toàn năng lượng.
• vật liệu không đổi, nhưng tổng hấp thụ trong một sự kiện đã đổi từ $hf$ thành $2hf$.

Phương trình trở thành

$$K_{max}=2hf-\mathrm{\Phi }.$$

Với cơ chế hai này, ngưỡng thỏa mãn $2h{f}_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\mathrm{\Phi }$, nên ngưỡng bằng một nửa ngưỡng của cơ chế một photon. Độ lớn thỏa mãn $e{V}_s=2hf-\mathrm{\Phi }$.

Đây không phải việc một electron tích lũy từ sóng cổ điển liên tục. Nó là một cơ chế hấp thụ lượng tử nhiều , với xác suất phụ thuộc điều kiện chiếu sáng. Công thức một photon vẫn áp dụng cho những sự kiện hấp thụ một photon.

Bài tập: Q38.3. Vì sao không thấy ánh sáng như một chuỗi chớp riêng?

Nếu ánh sáng mang thành những lượng tử riêng gọi là , vì sao khi nhìn đồ vật ta không thấy một chuỗi chớp sáng tách rời?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần phân biệt các sự kiện hấp thụ riêng lẻ với tín hiệu tổng hợp mà mắt và hệ thần kinh xử lý.

Hướng đi:

• Xét số lượng lớn sự kiện trong điều kiện nhìn thông thường.
• Mắt tích hợp tín hiệu theo không gian và thời gian, nên không tách được từng lần hấp thụ trong dòng tín hiệu dày đặc.

Ở mức chiếu sáng thông thường, nhiều đến những tế bào cảm quang trong khoảng thời gian mắt tổng hợp tín hiệu. Các sự kiện riêng lẻ tạo nên cảm giác sáng gần liên tục.

Khi giảm thông lượng và dùng detector thích hợp, có thể ghi từng sự kiện riêng. Tập hợp nhiều sự kiện lại tạo thành hình ảnh và phân bố cường độ. Việc không nhìn thấy từng bằng mắt trong điều kiện thường không có nghĩa trao đổi là liên tục ở mọi thang.

Bài tập: Q38.4. Tính chất photon rõ hơn ở đầu nào của phổ?

Các hiệu ứng do tính chất thường quan trọng hơn ở vùng thấp như sóng vô tuyến, hay vùng tần số cao như tia X và gamma? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: một tỉ lệ với , còn cường độ chùm liên quan cả năng lượng photon lẫn số photon.

Hướng đi:

• Dùng $E=hf$ để so mỗi lượng tử.
• Với cùng tổng bức xạ, năng lượng cao có số lượng ít hơn nên các trao đổi năng lượng riêng lẻ thường rõ hơn.

Ở vùng tia X và gamma, mỗi mang lớn hơn nhiều so với photon vô tuyến. Sự hấp thụ hoặc tán xạ một photon có thể tạo một biến đổi năng lượng đáng kể, nên mô tả hạt thường trở nên thiết yếu.

Điều này không loại bỏ mô tả lượng tử ở thấp. Nó chỉ giải thích vì sao nhiều hiện tượng vô tuyến có thể được mô tả rất tốt bằng trường sóng cổ điển khi số lượng tham gia rất lớn.

Bài tập: Q38.5. Vì sao bật đèn không làm kim loại mất hết electron?

Ánh sáng có thể bật electron ra khỏi kim loại trong . Vì sao các vật kim loại trong nhà không mất electron hàng loạt khi ta bật đèn?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Muốn một electron thoát ra trong cơ chế một , photon phải đủ vượt của bề mặt.

Hướng đi:

• Dùng điều kiện ngưỡng $hf\ge \mathrm{\Phi }$.
• Phân biệt tăng cường độ với tăng từng .

Ánh sáng trong nhà thường không có đủ để gây quang điện ngoài đáng kể trên nhiều bề mặt kim loại thông dụng. Tăng số photon dưới ngưỡng không tự làm mỗi photon vượt trong cơ chế một photon.

Nếu một bề mặt thích hợp thật sự phát electron, việc tích điện dương cũng ảnh hưởng sự thoát thêm electron nếu vật bị cô lập. Vật nối với môi trường dẫn có thể nhận electron bù lại. Không thể suy từ hiện tượng quang điện rằng mọi vật kim loại dưới mọi nguồn sáng đều mất hết electron.

Bài tập: Q38.6. Độ nhạy màu của phim ảnh

Phần lớn phim ảnh đen trắng truyền thống, trừ một số loại chuyên dụng, kém nhạy với ánh sáng đỏ hơn ánh sáng xanh và gần như không nhạy với hồng ngoại. Có thể hiểu điều này bằng thế nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So các ở khác nhau với cần cho quá trình tạo biến đổi trong vật liệu ảnh.

Hướng đi:

• Dùng $E=hc/\lambda$ để nhận ra xanh có lớn hơn photon đỏ và hồng ngoại.
• Phản ứng ghi ảnh cần những chuyển mức và biến đổi vật liệu phù hợp, nên đáp ứng phụ thuộc phổ hấp thụ và cấu tạo phim.

dài có thể không đủ cho cơ chế tạo ảnh của vật liệu đang xét, trong khi photon xanh có thể kích hoạt quá trình ấy hiệu quả hơn. Vì vậy, giảm độ nhạy từ xanh sang đỏ và hồng ngoại phù hợp với mô hình photon.

Không chỉ quyết định mọi loại phim. Chất nhạy sáng và cơ chế hấp thụ có thể được thay đổi, nên các phim chuyên dụng có đáp ứng phổ khác nhau như điều kiện đề đã nêu.

Bài tập: Q38.7. Ánh sáng nhìn thấy và tia tử ngoại trên da

Da tương đối ít nhạy với ánh sáng nhìn thấy trong những điều kiện thông thường, nhưng tia tử ngoại có thể gây tổn thương mạnh. Điều đó có liên quan không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần liên hệ lượng tử với khả năng gây những biến đổi phân tử, không đánh đồng năng lượng với tổng năng lượng chiếu.

Hướng đi:

• tử ngoại có cao hơn, nên mang nhiều hơn photon nhìn thấy.
• Một số quá trình quang hóa đòi hỏi hấp thụ đủ lớn và được phân tử hấp thụ phù hợp.

Có liên quan. cao hơn của tử ngoại cho phép kích hoạt những biến đổi phân tử mà photon nhìn thấy năng lượng thấp hơn có thể không gây ra qua cùng cơ chế một photon.

Mức tác động còn phụ thuộc phổ hấp thụ, cường độ, thời gian chiếu và cơ chế tương tác. Không thể từ riêng sự so sánh này kết luận mọi chùm sáng nhìn thấy đều vô hại. Một chùm nhìn thấy cường độ lớn vẫn có thể truyền nhiều và gây tác động nhiệt.

Bài tập: Q38.8. Vì sao nhiều quang electron có động năng dưới cực đại?

Giải thích vì sao đường dòng quang điện trong Hình 38.4 cho thấy phần lớn electron phát ra có động năng nhỏ hơn $hf-\mathrm{\Phi }$. Những động năng nhỏ hơn ấy hình thành thế nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phương trình $K_{max}=hf-\mathrm{\Phi }$ cho cực đại, không buộc mọi electron có cùng .

Hướng đi:

• Xét mức ban đầu khác nhau của electron trong vật liệu và năng lượng có thể mất trước khi thoát ra.
• Liên hệ việc electron bị chặn dần bởi điện thế ngược với một phân bố động năng.

là tối thiểu để một electron thích hợp thoát khỏi bề mặt. Electron xuất phát ở trạng thái liên kết sâu hơn có thể cần nhiều năng lượng hơn. Electron được kích thích bên trong còn có thể mất một phần năng lượng khi tương tác trên đường ra bề mặt.

Do đó, nhiều electron thoát ra với động năng thấp hơn cực đại. Khi tăng điện , các electron thấp không tới được cực thu trước, còn electron năng lượng cao tiếp tục tạo dòng cho đến thế hãm cực đại.

Bài tập: Q38.9. Dòng bão hòa có độc lập tần số không?

Trong thí nghiệm quang điện, ở những giá trị dương đủ lớn của hiệu điện thế cực thu–cathode, dòng có thể đạt cùng giá trị dù đổi ánh sáng, miễn tần số vượt ngưỡng. Giải thích điều kiện để nhận xét này đúng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điện thế dương đủ lớn giúp thu gần hết electron đã phát. Muốn so dòng bão hòa giữa hai , còn phải biết đại lượng nào của chùm chiếu được giữ nguyên.

Hướng đi:

• Dòng bão hòa do số electron được thu mỗi giây quyết định, không do riêng động năng cực đại.
• Gọi $\dot{N}$ là số tới mỗi giây và $\eta$ là số electron phát trung bình trên một photon tới. Khi thu hết, $i_s=e\eta \dot{N}$.

Nếu giữ thông lượng $\dot{N}$ và hiệu suất lượng tử $\eta$ như nhau, dòng bão hòa như nhau. Đổi chủ yếu làm đổi động năng cực đại và trong phép so sánh đó.

Nhận xét không đúng vô điều kiện khi chỉ nói giữ nguyên công suất chiếu. Với công suất $P$ cố định,

$$i_s=\frac{e\eta P}{hf}.$$

Khi ấy số mỗi giây thay đổi theo , và $\eta$ của vật liệu cũng có thể phụ thuộc tần số. Vì vậy, phải nêu điều kiện thông lượng và đáp ứng vật liệu trước khi kết luận dòng bão hòa độc lập tần số.

Bài tập: Q38.10. Giảm cường độ mười lần

Chiếu ánh sáng có trên ngưỡng lên cathode. Giữ các điều kiện khác và giảm cường độ mười lần. Những phát biểu nào đúng?

• (a) Số phát ra trong cùng khoảng thời gian nhiều khả năng giảm mười lần.
• (b) Động năng cực đại giảm mười lần.
• (c) Tốc độ cực đại giảm mười lần.
• (d) Tốc độ cực đại giảm $\sqrt{10}$ lần.
• (e) Thời gian để đầu tiên bật ra tăng mười lần.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: giữ nguyên, nên từng không đổi. Xét cơ chế một photon và cùng hiệu suất phát electron.

Hướng đi:

• Giảm cường độ ở cùng làm giảm thông lượng .
• Động năng cực đại phụ thuộc $hf-\mathrm{\Phi }$, không phụ thuộc thông lượng trong mô hình này.
• Phân biệt độ trễ phát electron sau một lần hấp thụ với thời gian chờ thống kê đến sự kiện đầu tiên sau khi bật một nguồn rất yếu.

(a) Đúng trong cùng khoảng quan sát: Số sự kiện hấp thụ có khả năng phát electron giảm trung bình mười lần.

(b), (c), (d) Sai. $K_{max}$ không đổi, nên tốc độ cực đại cũng không đổi.

(e) Không đúng nếu hiểu là electron phải tích lũy lâu hơn sau khi tương tác với ánh sáng. Trong mô hình một đủ năng lượng, không có quy luật tích lũy mười lần thời gian ấy.

Nếu hiểu câu (e) là thời gian chờ từ lúc bật nguồn đến lần phát hiện electron đầu tiên ở thông lượng rất thấp, cần xét thống kê . Với tốc độ sự kiện trung bình giảm mười lần, thời gian chờ trung bình có thể tăng mười lần. Đó là thời gian chờ photon/sự kiện, không phải bằng chứng electron hấp thụ liên tục một sóng rồi tích đủ để thoát.

Bài tập: Q38.11. Chuyển ánh sáng nhìn thấy thành tử ngoại

Chất phát quang phủ bên trong đèn huỳnh quang chuyển tia tử ngoại từ phóng điện hơi thủy ngân thành ánh sáng nhìn thấy. Có thể làm chất phát quang chuyển ánh sáng nhìn thấy thành tử ngoại hay không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tử ngoại có lớn hơn photon nhìn thấy. Cần nêu nguồn năng lượng của quá trình chuyển đổi.

Hướng đi:

• Dùng bảo toàn cho quá trình hấp thụ và phát.
• Phân biệt một vào–một photon ra với quá trình có nhiều photon hoặc nguồn bổ sung.

Trong cơ chế một nhìn thấy được hấp thụ rồi phát một photon, không có nguồn bổ sung, photon phát không thể có năng lượng lớn hơn photon tới. Vì vậy, không thể đảo chiều thông thường của huỳnh quang chỉ bằng cơ chế ấy.

Nếu vật liệu hấp thụ nhiều hoặc lấy thêm từ nguồn khác, tổng năng lượng cung cấp có thể đủ tạo photon cao hơn. Khả năng ấy không vi phạm bảo toàn năng lượng, nhưng là cơ chế khác với việc đổi một photon nhìn thấy riêng lẻ thành một photon tử ngoại năng lượng cao hơn.

Bài tập: Q38.12. Cách tăng động năng cực đại

Trong thí nghiệm quang điện, cách nào làm động năng cực đại tăng? (a) Tăng cường độ ánh sáng, (b) tăng , (c) tăng bước sóng, (d) dùng kim loại có lớn hơn. Giải thích từng trường hợp.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xét phương trình một $K_{max}=hf-\mathrm{\Phi }$ trong miền có phát electron.

Hướng đi:

• Xét trực tiếp đại lượng nào làm tăng và đại lượng nào làm năng lượng cần để thoát tăng.
• Giữ rõ tăng cường độ khác tăng .

(a) Không làm tăng cực đại ở cùng trong mô hình một . Nó làm tăng số photon và có thể tăng số electron phát ra.

(b) Làm tăng động năng cực đại vì $hf$ tăng.

(c) Làm giảm do $f=c/\lambda$, nên không tăng động năng cực đại. Nếu vượt ngưỡng thích hợp, quang điện ngoài còn có thể ngừng.

(d) Làm giảm phần còn lại sau khi thoát, nên không tăng động năng cực đại ở cùng ánh sáng chiếu. Vì vậy, chỉ (b) là cách tăng theo những thay đổi đơn lẻ đã nêu.

Bài tập: Q38.13. Tần số photon sau Compton

$f$ từ electron ban đầu đứng yên, theo góc $\varphi$. Tần số sau tán xạ là $f^{\prime }$. So sánh $f^{\prime }$ với $f$ và cho biết kết luận phụ thuộc góc thế nào.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron ban đầu tự do, đứng yên. Góc tán xạ thuộc khoảng $0\le \varphi \le \pi$.

Hướng đi:

• Dùng Compton tăng một lượng không âm.
• Vì $f=c/\lambda$, tăng tương ứng tần số giảm.

Đặt $a=hf/(m_e{c}^2)$. Công thức là

$$f^{\prime }=\frac{f}{1+a(1-\cos \varphi )}.$$

Nếu $\varphi =0$, ta có $f^{\prime }=f$. Với góc khác không, $1-\cos \varphi >0$, nên $f^{\prime }<f$. Độ giảm phụ thuộc góc và đạt lớn nhất khi quay ngược ở $\varphi =\pi$.

Tỉ số giảm còn phụ thuộc ban đầu qua $a$, dù độ dịch ở cùng góc không phụ thuộc bước sóng tới.

Bài tập: Q38.14. Compton trên proton và trên electron

có thể xảy ra trên proton không? Nếu chiếu tia X lên hydrogen lỏng, với hạt nhân hydrogen là một proton, ta dự đoán những điểm giống và khác nào so với tán xạ trên electron?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh cùng tới và cùng góc tán xạ, nhưng hạt giật lùi có khối lượng khác nhau.

Hướng đi:

• Bảo toàn và áp dụng cho cả hai loại hạt.
• Hệ số dịch Compton là $h/(mc)$, nên độ dịch tỉ lệ nghịch khối lượng hạt tán xạ.

Có thể có Compton trên proton. Trong mô hình proton tự do ban đầu đứng yên,

$$\mathrm{\Delta }\lambda =\frac{h}{m_{p}c}(1-\cos \varphi ).$$

Hình thức phụ thuộc góc giống trường hợp electron. Nhưng proton nặng hơn nhiều nên độ dịch nhỏ hơn khoảng 1837 lần ở cùng góc. Proton nhận giật lùi mà tốc độ của nó nhỏ hơn nhiều so với một electron nhận động lượng cùng độ lớn.

Hydrogen lỏng còn chứa electron. Phân tích phổ thực phải xét các đóng góp và điều kiện liên kết, không chỉ coi toàn bộ mục tiêu là những proton tự do độc lập.

Bài tập: Q38.15. Tia X trong thiết bị cao áp

Vì sao kỹ sư và nhà khoa học phải tính đến che chắn tia X trong thiết bị có điện áp cao?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điện áp cao có thể gia tốc electron, còn electron bị hãm khi đập vào vật liệu có thể phát tia X.

Hướng đi:

• Liên hệ động năng electron nhận từ hiệu điện thế với phát khi hãm.
• Phân biệt mục đích sử dụng thiết bị với những bức xạ có thể phát sinh trong quá trình vận hành.

Electron có thể nhận động năng cỡ $e\mathrm{\Delta }V$. Nếu phần đáng kể động năng ấy được phát thành một khi electron bị hãm trong vật liệu, photon có thể thuộc vùng tia X.

Tia X có thể truyền qua vật liệu và gây ion hóa, nên thiết bị không chuyên tạo ảnh tia X vẫn có thể cần kiểm soát bức xạ phát sinh. cực đại gắn với điện áp gia tốc, còn số photon và phổ còn phụ thuộc dòng electron và vật liệu bị đập vào.

Bài tập: Q38.16. Photon có cưỡi trên đỉnh sóng không?

Một cách hình dung cho rằng chạy lên xuống theo các đỉnh và đáy của . Mô tả ấy sai ở những điểm nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần phân biệt dao động của trường với một quỹ đạo cơ học của một vật nhỏ.

Hướng đi:

• mô tả điện trường và từ trường biến thiên, không phải một bề mặt vật chất có đỉnh để hạt bám vào.
• Tính chất hạt mô tả các trao đổi và rời rạc. Nó không buộc có một quỹ đạo lượn sóng cổ điển trong chân không.

Các đỉnh và đáy của sóng là giá trị của trường, không phải vị trí cao thấp trong không gian của một đường ray. Hướng dao động điện trường có thể vuông góc hướng truyền, nhưng điều đó không có nghĩa phải lắc ngang theo trường.

Mô hình cưỡi sóng còn không giải thích được giao thoa và phân bố xác suất của những sự kiện riêng lẻ. Ta cần liên hệ biên độ sóng với xác suất đo, thay vì ghép một quả cầu cổ điển với một sóng vật chất làm giá đỡ.

Bài tập: Q38.17. Xung ngắn có thể đơn sắc tuyệt đối không?

Một số laser phát xung chỉ dài ${10}^{-12}\mathrm{s}$. Với tốc độ ánh sáng xấp xỉ $3\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$, xung dài khoảng $3\times {10}^{-4}\mathrm{m}$, tức $0,3\mathrm{mm}$. Ánh sáng xung có thể đơn sắc như chùm liên tục lý tưởng không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xung có thời gian hữu hạn, trong khi một sóng chỉ có đúng một là dao động điều hòa không bị giới hạn trong thời gian.

Hướng đi:

• Một xung cần chồng chất nhiều để có miền tồn tại ngắn.
• Dùng quan hệ độ rộng phổ–thời gian với cùng quy ước độ bất định để ước lượng giới hạn, không mặc nhiên gán nó cho mọi loại độ rộng thực nghiệm.

Không thể có một xung hữu hạn chỉ gồm đúng một . Với mô hình độ rộng đạt giới hạn đã dùng trong chương,

$$\mathrm{\Delta }f\mathrm{\Delta }t\ge \frac{1}{4\pi }.$$

Độ rộng thời gian cỡ ${10}^{-12}\mathrm{s}$ tương ứng độ rộng tối thiểu cỡ $8\times {10}^{10}\mathrm{Hz}$ theo quy ước ấy. Rút ngắn xung buộc phổ rộng hơn, nên không thể đạt tính đơn sắc tuyệt đối của sóng liên tục lý tưởng.

Điều này nói về giới hạn lý tưởng. Độ rộng phổ của một laser liên tục thực tế còn phụ thuộc cấu tạo và nhiễu, nên không thể chỉ từ nhãn “liên tục” kết luận nó luôn hẹp phổ hơn mọi laser xung cụ thể.

Bài tập 38.1–38.12

Trong các bài này, dùng các hằng số đã nêu ở phần luyện tập hướng dẫn. tra bảng chỉ là giá trị gần đúng, nhạy với trạng thái và độ sạch bề mặt.

Bài tập 38: 1

Một ánh sáng xanh lục có $520\mathrm{nm}$. Tìm tần số, độ lớn và photon. Viết năng lượng theo joule và electronvolt.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\lambda =520\mathrm{nm}$. Cần tìm $f,p,E$ của một .

Hướng đi:

• Dùng $f=c/\lambda$, $p=h/\lambda$ và $E=hf$ vì đây là các quan hệ của trong chân không.
• Đổi joule sang electronvolt bằng cách chia cho $\mathrm{1,602}\times {10}^{-19}\mathrm{J}/\mathrm{eV}$.

Kết quả là

Đại lượng	Giá trị
	$5,77\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$
	$1,27\times {10}^{-27}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$
theo joule	$3,82\times {10}^{-19}\mathrm{J}$
theo electronvolt	$2,38\mathrm{eV}$

cùng hướng truyền của .

Bài tập 38: 2

Mắt có độ nhạy cao với ánh sáng xanh lục $505\mathrm{nm}$. Trong thí nghiệm mắt đã thích nghi bóng tối, một xanh lục có thể kích hoạt tế bào cảm thụ ở tế bào que của võng mạc.

(a) bằng bao nhiêu? (b) truyền cho tế bào bằng bao nhiêu joule và electronvolt? (c) Một vi khuẩn khối lượng $9,5\times {10}^{-12}\mathrm{g}$ sẽ có tốc độ bao nhiêu nếu nhận cùng năng lượng ấy thành động năng?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\lambda =505\mathrm{nm}$ và khối lượng vi khuẩn $m=9,5\times {10}^{-15}\mathrm{kg}$.

Hướng đi:

• Tính $f=c/\lambda$ và $E=hc/\lambda$ cho .
• Trong phép so sánh giả định ở (c), đặt $m{v}^2/2=E$. Đây không phải một mô hình toàn bộ phản ứng sinh học của mắt.

(a) là $f\approx 5,94\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$.

(b) là $E\approx 3,93\times {10}^{-19}\mathrm{J}$, tương ứng khoảng $2,46\mathrm{eV}$.

(c) Nếu cùng trở thành động năng vi khuẩn,

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{\frac{2E}{m}}\\ & \approx 9,1\times {10}^{-3}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Kết quả làm rõ mức rất nhỏ của một sự kiện , dù nó vẫn có thể khởi phát một quá trình trong vật liệu hoặc tế bào phù hợp.

Bài tập 38: 3

Một nguồn sáng tiêu thụ công suất điện $75\mathrm{W}$. Giả sử toàn bộ ấy được phát thành ánh sáng $600\mathrm{nm}$.

(a) ánh sáng bằng bao nhiêu? (b) Nguồn phát bao nhiêu mỗi giây? (c) Hai kết quả có bằng nhau không? Tần số ánh sáng có phải số photon phát mỗi giây không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất quang học trong mô hình là $P=75\mathrm{W}$ và $\lambda =600\mathrm{nm}$.

Hướng đi:

• sóng là $f=c/\lambda$.
• Số mỗi giây là $\dot{N}=P/E$ với $E=hc/\lambda$.
• So sánh ý nghĩa hai đại lượng, dù đơn vị của chúng đều có thể chứa nghịch đảo giây.

(a) $f\approx 5,00\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$.

(b) mỗi xấp xỉ $3,31\times {10}^{-19}\mathrm{J}$, nên

$$\dot{N}=\frac{P}{E}\approx 2,27\times {10}^{20}{\mathrm{s}}^{-1}.$$

(c) Hai kết quả không bằng nhau và không cùng ý nghĩa. là số chu kỳ dao động của trường mỗi giây. Thông lượng đếm số lượng tử phát mỗi giây. Giữ tần số nhưng đổi công suất sẽ đổi thông lượng mà không đổi số chu kỳ của trường trong một giây.

Bài tập 38: 4

Một laser dùng trong mô hình hàn võng mạc phát ánh sáng $652\mathrm{nm}$ thành xung dài $20,0\mathrm{ms}$. Công suất trung bình trong mỗi xung là $\mathrm{0,600}\mathrm{W}$.

(a) mỗi xung bằng bao nhiêu joule và electronvolt? (b) Năng lượng một bằng bao nhiêu theo hai đơn vị ấy? (c) Mỗi xung có bao nhiêu photon?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{0,020}0\mathrm{s}$, $P=\mathrm{0,600}\mathrm{W}$ và $\lambda =652\mathrm{nm}$.

Hướng đi:

• Dùng $E_x=P\mathrm{\Delta }t$ cho tổng xung.
• Dùng $E_{\gamma }=hc/\lambda$ cho một .
• Số là tỉ số hai , không phải nhân thời gian xung.

(a) xung là $E_x=\mathrm{0,012}0\mathrm{J}$, tương ứng khoảng $7,49\times {10}^{16}\mathrm{eV}$.

(b) một bằng $3,05\times {10}^{-19}\mathrm{J}$, tức khoảng $1,90\mathrm{eV}$.

(c) Số mỗi xung là

$$N=\frac{E_x}{E_{\gamma }}\approx 3,94\times {10}^{16}.$$

Bài tập 38: 5

Một có độ lớn $8,24\times {10}^{-28}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Tính theo joule và electronvolt. (b) Tìm và vùng phổ tương ứng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $p$. Photon có khối lượng nghỉ bằng không.

Hướng đi:

• Dùng $E=pc$ để tìm mà không áp dụng công thức động năng vật có khối lượng nghỉ dương.
• Dùng $\lambda =h/p$ rồi so với miền quang học.

(a) là $E\approx 2,47\times {10}^{-19}\mathrm{J}$, tức khoảng $1,54\mathrm{eV}$.

(b) là

$$\lambda =\frac{h}{p}\approx 804\mathrm{nm}.$$

Giá trị này ở vùng cận hồng ngoại, ngoài phía dài của vùng nhìn thấy thông thường.

Bài tập 38: 6

Chiếu ánh sáng $235\mathrm{nm}$ lên bề mặt nickel sạch. Tìm tốc độ cực đại của , dùng nickel ở Bảng 38.1.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\lambda =235\mathrm{nm}$ và nickel gần đúng $\mathrm{\Phi }=5,1\mathrm{eV}$.

Hướng đi:

• Tính $K_{max}=hc/\lambda -\mathrm{\Phi }$ và kiểm tra kết quả dương.
• động học thu được nhỏ hơn rất nhiều electron, nên dùng $v_{max}=\sqrt{2K_{max}/m_e}$.

xấp xỉ $5,28\mathrm{eV}$. Động năng cực đại khoảng $\mathrm{0,177}\mathrm{eV}$. Suy ra

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{\frac{2K_{max}}{m_e}}\\ & \approx 2,5\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Độ chính xác thực tế phụ thuộc của chính bề mặt được chuẩn bị, vì bảng chỉ cho giá trị gần đúng.

Bài tập 38: 7

Ánh sáng $400,0\mathrm{nm}$ chiếu lên một kim loại tạo có động năng cực đại $1,10\mathrm{eV}$. Nếu đổi sang bước sóng $300,0\mathrm{nm}$ trên cùng bề mặt, động năng cực đại bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cùng vật liệu nên không đổi. Biết $K_1=1,10\mathrm{eV}$ và hai ${\lambda }_1,{\lambda }_2$.

Hướng đi:

• Viết phương trình quang điện cho hai lần chiếu rồi lấy hiệu để loại chưa biết.
• Độ tăng động năng bằng độ tăng .

Gọi $E_1=hc/{\lambda }_1$ và $E_2=hc/{\lambda }_2$ là hai . Lấy hiệu hai phương trình quang điện cho

$$K_2-K_1=E_2-E_1.$$

tăng khoảng $1,03\mathrm{eV}$, nên $K_2\approx 2,13\mathrm{eV}$.

Bài tập 38: 8

Potassium có $2,3\mathrm{eV}$. Chiếu ánh sáng $190\mathrm{nm}$, tìm (a) theo volt, (b) động năng cực đại theo electronvolt, (c) tốc độ electron có lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\mathrm{\Phi }=2,3\mathrm{eV}$ và $\lambda =190\mathrm{nm}$.

Hướng đi:

• Tính rồi trừ .
• theo độ lớn thỏa mãn $e{V}_s=K_{max}$.
• Dùng động năng phi tương đối tính cho electron vì chỉ vài electronvolt.

có khoảng $6,53\mathrm{eV}$. Vì vậy,

$$K_{max}\approx 4,23\mathrm{eV}.$$

(a) có độ lớn khoảng $4,23\mathrm{V}$.

(b) Động năng cực đại khoảng $4,23\mathrm{eV}$.

(c) Tốc độ cực đại xấp xỉ $1,22\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Với độ chính xác của đã cho, có thể làm tròn các kết quả lần lượt thành $4,2\mathrm{V}$, $4,2\mathrm{eV}$ và $1,2\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Bài tập 38: 9

Chiếu tia tử ngoại $254\mathrm{nm}$ lên bề mặt đồng sạch. để dòng quang điện vừa triệt tiêu có độ lớn $\mathrm{0,181}\mathrm{V}$.

(a) ngưỡng bằng bao nhiêu? (b) suy ra bằng bao nhiêu, và so với Bảng 38.1 thế nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\lambda =254\mathrm{nm}$ và $V_s=\mathrm{0,181}\mathrm{V}$. Bảng cho đồng gần đúng $4,7\mathrm{eV}$.

Hướng đi:

• Dùng $\mathrm{\Phi }=hc/\lambda -e{V}_s$ để tìm từ phép đo.
• Tại ngưỡng, động năng bằng không nên ${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=hc/\mathrm{\Phi }$.

(a) Sau khi tìm , ngưỡng là ${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}\approx 264\mathrm{nm}$.

(b) suy ra bằng $\mathrm{\Phi }\approx 4,70\mathrm{eV}$, phù hợp với giá trị gần đúng của bảng. chiếu $254\mathrm{nm}$ ngắn hơn bước sóng ngưỡng, nên có thể phát như dữ kiện.

Phát tia X

Bài tập 38: 10

Ống tia cathode tạo ảnh trong các máy thu hình màu đời đầu có thể phát tia X. Nếu điện áp gia tốc bằng $15,0\mathrm{kV}$, tia X ngắn nhất là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron nhận động năng từ độ chênh điện thế có độ lớn $V=15,0\mathrm{kV}$.

Hướng đi:

• có lớn nhất khi nhận toàn bộ động năng electron $eV$ trong một sự kiện hãm.
• lớn nhất tương ứng nhỏ nhất qua $E=hc/\lambda$.

Ta có

$${\lambda }_{min}=\frac{hc}{eV}\approx \mathrm{0,082}7\mathrm{nm}.$$

Đây là giới hạn ngắn của phổ liên tục trong mô hình, không phải mọi đều có cùng ấy.

Bài tập 38: 11

Electron được gia tốc qua hiệu điện thế $50,0\mathrm{kV}$ trong ống tia X. Khi đập vào bia, $70,0\mathrm{\%}$ động năng electron chuyển cho một . Tìm , bước sóng và độ lớn photon ấy.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Động năng electron là $eV$, còn nhận $E_{\gamma }=\mathrm{0,700}eV$.

Hướng đi:

• Tính phần thực sự được truyền cho , không dùng luôn giới hạn toàn bộ $eV$.
• Dùng $f=E_{\gamma }/h$, $\lambda =hc/E_{\gamma }$ và $p=E_{\gamma }/c$.

bằng $35,0\mathrm{keV}$. Kết quả tương ứng là

Đại lượng	Giá trị
	$8,46\times {10}^{18}\mathrm{Hz}$
	$\mathrm{0,035}4\mathrm{nm}$
	$1,87\times {10}^{-23}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Bài tập 38: 12

(a) Muốn ống tia X tạo $\mathrm{0,150}\mathrm{nm}$, hiệu điện thế nhỏ nhất giữa sợi đốt và bia phải có độ lớn bao nhiêu? (b) Ở điện áp $30,0\mathrm{kV}$, bước sóng ngắn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần dùng giới hạn nhận toàn bộ động năng electron trong hai chiều suy luận ngược nhau.

Hướng đi:

• Với cho trước, đặt $e{V}_{min}=hc/\lambda$.
• Với điện áp cho trước, dùng ${\lambda }_{min}=hc/(eV)$.

(a) Điện áp nhỏ nhất là $V_{min}\approx 8,27\mathrm{kV}$.

(b) ngắn nhất là ${\lambda }_{min}\approx \mathrm{0,041}3\mathrm{nm}$.

Bài tập 38.13–38.23

Compton, tạo cặp và hủy cặp

Bài tập 38: 13

Một tia X $\mathrm{0,100}\mathrm{nm}$ va chạm với electron ban đầu đứng yên. Bước sóng cuối photon là $\mathrm{0,110}\mathrm{nm}$. Động năng cuối của electron bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tăng từ $\lambda =\mathrm{0,100}\mathrm{nm}$ lên ${\lambda }^{\prime }=\mathrm{0,110}\mathrm{nm}$. Cần phân biệt phép cân bằng với khả năng thực hiện một va chạm Compton riêng lẻ.

Hướng đi:

• Nếu toàn bộ phần mất đi trở thành động năng electron, lấy hiệu hai năng lượng photon.
• Kiểm tra giới hạn dịch Compton đối với electron tự do đứng yên, vì bảo toàn riêng lẻ chưa đủ bảo đảm một quá trình khả dĩ.

Cân bằng cho giá trị ứng viên

$$K=\frac{hc}{\lambda }-\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}.$$

Thay số cho $K\approx 1,81\times {10}^{-16}\mathrm{J}$, tức khoảng $1,13\mathrm{keV}$.

Tuy nhiên, dịch đã cho bằng $\mathrm{0,010}0\mathrm{nm}$, trong khi một lần Compton trên electron tự do đứng yên chỉ có thể cho

$$\mathrm{\Delta }\lambda \le \frac{2h}{m_{e}c}\approx \mathrm{0,004}85\mathrm{nm}.$$

Vì vậy, hai không phù hợp với chính mô hình một va chạm Compton ấy. Con số động năng ở trên chỉ là kết quả có điều kiện từ chênh . Nếu giữ nguyên dữ kiện, cần một cơ chế khác hoặc thêm đối tượng nhận /năng lượng. Không thể dùng hai bước sóng này để dựng một góc Compton vật lý cho electron tự do ban đầu đứng yên.

Bài tập 38: 14

Ống tia X hoạt động ở $24,0\mathrm{kV}$. có nhỏ nhất do ống phát ra chiếu lên bia và ở góc $45,0^{\circ }$.

(a) ban đầu bằng bao nhiêu? (b) Bước sóng tán xạ bằng bao nhiêu? (c) tán xạ theo electronvolt bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điện áp gia tốc $V=24,0\mathrm{kV}$ và góc $\varphi =45,0^{\circ }$. Electron tán xạ ban đầu tự do, đứng yên.

Hướng đi:

• ngắn nhất có $eV$.
• Sau đó cộng độ dịch Compton, rồi dùng theo cuối.

(a) ban đầu là $\lambda =hc/(eV)\approx \mathrm{0,051}7\mathrm{nm}$.

(b) Dùng ${\lambda }^{\prime }=\lambda +{\lambda }_C(1-\cos \varphi )$, thu được ${\lambda }^{\prime }\approx \mathrm{0,052}4\mathrm{nm}$.

(c) cuối là

$$E^{\prime }=\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}\approx 2,37\times {10}^4\mathrm{eV}.$$

này nhỏ hơn năng lượng ban đầu $24,0\mathrm{keV}$ do electron nhận động năng giật lùi.

Bài tập 38: 15

Tia X ban đầu $\mathrm{0,066}5\mathrm{nm}$ . Bước sóng dài nhất của tia X tán xạ bằng bao nhiêu và xuất hiện ở góc nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tới cố định. Hệ số góc trong độ dịch là $1-\cos \varphi$.

Hướng đi:

• Độ dịch lớn nhất khi $\cos \varphi =-1$, tức quay ngược.
• Khi ấy tăng $2{\lambda }_C$.

Ta được

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{max}^{\prime }& =\lambda +2{\lambda }_C\\ & \approx \mathrm{0,071}4\mathrm{nm}.\end{array}$$

Góc tán xạ là ${180}^{\circ }$.

Bài tập 38: 16

$\mathrm{0,138}5\mathrm{nm}$ tán xạ từ electron ban đầu đứng yên. Nếu electron ngay sau va chạm có tốc độ $8,90\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}$, góc giữa hướng photon tới và photon tán xạ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết tới và tốc độ electron, chưa biết bước sóng cuối và góc .

Hướng đi:

• Tính động năng electron từ tốc độ.
• Bảo toàn xác định năng lượng cuối, từ đó tìm cuối.
• Dùng độ dịch Compton để suy góc và kiểm tra cos nằm trong khoảng từ âm một đến một.

Với $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$, động năng electron bằng

$$\begin{array}{rl}K& =(\gamma -1)m_e{c}^2\\ & \approx 3,61\times {10}^{-17}\mathrm{J}.\end{array}$$

Gọi $E=hc/\lambda$. cuối có $E^{\prime }=E-K$, nên ${\lambda }^{\prime }=hc/E^{\prime }\approx \mathrm{0,142}076\mathrm{nm}$.

Góc thỏa mãn

$$\cos \varphi =1-\frac{{\lambda }^{\prime }-\lambda }{{\lambda }_C}.$$

Kết quả là $\varphi \approx {118}^{\circ }$. Dùng gần đúng động năng Newton ở tốc độ electron nhỏ này cũng cho cùng giá trị ở ba chữ số có nghĩa.

Bài tập 38: 17

$\mathrm{0,042}50\mathrm{nm}$ tán xạ từ electron tự do ban đầu đứng yên ở góc $35,0^{\circ }$.

Tìm (a) độ đổi , (b) bước sóng cuối, (c) độ đổi và xác định photon mất hay nhận năng lượng, (d) năng lượng electron nhận.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\lambda =\mathrm{0,042}50\mathrm{nm}$ và $\varphi =35,0^{\circ }$.

Hướng đi:

• Dùng độ dịch Compton để tìm $\mathrm{\Delta }\lambda$ và ${\lambda }^{\prime }$.
• Tính hiệu cuối trừ đầu của . Electron nhận phần năng lượng photon mất do electron ban đầu đứng yên.

(a) Độ tăng là

$$\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }_C(1-\cos \varphi ).$$

Giá trị xấp xỉ $\mathrm{0,000}439\mathrm{nm}$.

(b) cuối xấp xỉ $\mathrm{0,042}94\mathrm{nm}$.

(c) Độ đổi là

$$\mathrm{\Delta }{E}_{\gamma }=\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}-\frac{hc}{\lambda }.$$

Kết quả $\mathrm{\Delta }{E}_{\gamma }\approx -4,78\times {10}^{-17}\mathrm{J}$. mất .

(d) Electron nhận động năng $4,78\times {10}^{-17}\mathrm{J}$, bằng độ lớn phần mất của .

Bài tập 38: 18

tán xạ ngược ở góc ${180}^{\circ }$ từ proton tự do ban đầu đứng yên. tới phải bằng bao nhiêu để độ tăng bước sóng bằng $10,0\mathrm{\%}$ bước sóng tới?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt tán xạ có khối lượng proton $m_p=\mathrm{1,673}\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$, và $\mathrm{\Delta }\lambda =\mathrm{0,100}\lambda$.

Hướng đi:

• Dùng Compton của proton, không thay bằng bước sóng Compton electron.
• Tán xạ ngược cho độ dịch bằng $2h/(m_{p}c)$, rồi giải điều kiện phần trăm.

Ta có

$$\mathrm{0,100}\lambda =\frac{2h}{m_{p}c}.$$

Suy ra $\lambda \approx 2,64\times {10}^{-14}\mathrm{m}$.

Bài tập 38: 19

Một chùm có mỗi photon vừa đủ . Trước khi tạo cặp, photon từ electron tự do.

(a) tán xạ còn được không? (b) Tìm độ lớn photon tán xạ ở góc $20,0^{\circ }$ so với chùm tới.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tới lấy ở ngưỡng lý tưởng $E_0\approx 2m_e{c}^2$, khi bỏ qua hiệu chỉnh giật lùi rất nhỏ của hạt nhân nặng tham gia .

Hướng đi:

• Compton ở góc khác không làm mất , nên phải so năng lượng còn lại với ngưỡng .
• Dùng quan hệ Compton rồi lấy $p^{\prime }=E^{\prime }/c$.

(a) Với góc tán xạ khác không, còn ít hơn ngưỡng ban đầu, nên không đủ tạo cùng cặp trong mô hình ngưỡng ấy. Trường hợp hướng không đổi $\varphi =0$ là giới hạn không có độ chuyển năng lượng Compton, cần được tách khỏi kết luận này.

(b) Đặt $a=E_0/(m_e{c}^2)=2$. cuối là

$$E^{\prime }=\frac{E_0}{1+a(1-\cos \varphi )}.$$

Ở $\varphi =20,0^{\circ }$, $E^{\prime }\approx \mathrm{0,912}\mathrm{MeV}$. là

$$\begin{array}{rl}{p}^{\prime }& =\frac{E^{\prime }}{c}\\ & \approx 4,87\times {10}^{-22}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Bài tập 38: 20

Electron và positron bay thẳng về phía nhau, mỗi hạt có tốc độ $\mathrm{0,500}c$ trong hệ phòng thí nghiệm.

(a) Động năng mỗi hạt bằng bao nhiêu? (b) Khi chúng hủy thành hai , mỗi photon bằng bao nhiêu? (c) mỗi photon bằng bao nhiêu và so với trường hợp động năng ban đầu không đáng kể thế nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai hạt có cùng khối lượng nghỉ $m_e$ và đối nhau, nên phòng thí nghiệm cũng là hệ khối tâm.

Hướng đi:

• Dùng $K=(\gamma -1)m_e{c}^2$ cho từng hạt.
• Tổng bằng không buộc hai ngược chiều và có cùng .
• Bảo toàn cho mỗi nhận $\gamma m_e{c}^2$, gồm cả và động năng của một hạt ban đầu.

Với $\gamma =1/\sqrt{1-{\mathrm{0,500}}^2}\approx \mathrm{1,154}70$:

(a) Động năng mỗi hạt xấp xỉ $79,1\mathrm{keV}$.

(b) mỗi xấp xỉ $590\mathrm{keV}$.

(c) là $\lambda =hc/E_{\gamma }\approx 2,10\times {10}^{-12}\mathrm{m}$. Khi động năng ban đầu không đáng kể, bước sóng xấp xỉ $2,43\times {10}^{-12}\mathrm{m}$. Tỉ số hai bước sóng là $1/\gamma \approx \mathrm{0,866}$, nên trong bài có bước sóng ngắn hơn.

Xung và nhiễu xạ

Bài tập 38: 21

Một xung siêu ngắn kéo dài $9,00\mathrm{fs}$, có ánh sáng $556\mathrm{nm}$. Tìm và độ bất định động lượng của một trong xung.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\mathrm{\Delta }t=9,00\times {10}^{-15}\mathrm{s}$ và $\lambda =556\mathrm{nm}$. Dùng độ dài đặc trưng xung làm $\mathrm{\Delta }x=c\mathrm{\Delta }t$ trong ước lượng giới hạn của bài.

Hướng đi:

• trung bình do xác định qua $p=h/\lambda$.
• Dùng quan hệ bất định để tìm cận dưới $\mathrm{\Delta }p\ge \hslash /(2c\mathrm{\Delta }t)$. Chỉ thời gian xung chưa buộc xung thực đạt đúng cận dưới.

trung bình có độ lớn

$$p\approx 1,19\times {10}^{-27}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Gọi $B$ là cận dưới độ bất định theo mô hình. Ta có

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{\hslash }{2c\mathrm{\Delta }t}\\ & \approx 1,95\times {10}^{-29}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Độ bất định thỏa mãn $\mathrm{\Delta }p\ge B$. Nếu xung không đạt giới hạn nhỏ nhất, độ rộng có thể lớn hơn giá trị này.

Bài tập 38: 22

Chùm laser nằm ngang, $585\mathrm{nm}$, đi qua khe có bề rộng theo phương đứng $\mathrm{0,062}0\mathrm{mm}$. Màn đứng cách khe $2,00\mathrm{m}$.

(a) Độ bất định nhỏ nhất của thành phần đứng sau khe bằng bao nhiêu? (b) Dùng kết quả ấy để ước lượng bề rộng cực đại nhiễu xạ trung tâm trên màn.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bề rộng khe $a=6,20\times {10}^{-5}\mathrm{m}$, $\lambda =585\mathrm{nm}$ và khoảng màn $R=2,00\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng bề rộng khe làm độ dài định xứ đặc trưng trong ước lượng bất định.
• Liên hệ độ rộng đứng với độ mở góc qua $\mathrm{\Delta }\theta \sim \mathrm{\Delta }{p}_y/p$ khi góc nhỏ.
• Phân biệt cận dưới độ rộng thống kê với bề rộng giữa hai cực tiểu đầu của hệ vân khe đơn. Hai đại lượng không đồng nhất.

(a) Trong mô hình ước lượng lấy $\mathrm{\Delta }y=a$, gọi cận dưới là $B$. Khi đó,

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{\hslash }{2a}\\ & \approx 8,50\times {10}^{-31}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Độ bất định trong mô hình thỏa mãn $\mathrm{\Delta }{p}_y\ge B$.

(b) Với $p=h/\lambda$, độ rộng hai phía $2R\mathrm{\Delta }{p}_y/p$ suy từ cận dưới ấy chỉ khoảng $3,00\mathrm{mm}$. Đây là một thang độ mở tối thiểu theo ước lượng, không phải vị trí hai cực tiểu đầu.

Để tính chính bề rộng cực đại trung tâm, dùng điều kiện khe đơn đã học: $a\sin {\theta }_1=\lambda$. Ở góc nhỏ,

$$W\approx \frac{2R\lambda }{a}\approx 37,7\mathrm{mm}.$$

Sự khác nhau của hệ số không phải mâu thuẫn. Quan hệ bất định là một giới hạn theo các độ rộng thống kê, còn $W$ đo khoảng cách giữa hai điểm cường độ bằng không. Với một khe có mép lý tưởng rất sắc, việc định nghĩa và tính phương sai còn cần xét đuôi của phân bố. Không được đặt cận dưới bất định bằng bề rộng cực đại trung tâm một cách chính xác.

Bài tập 38: 23

Laser phát ánh sáng $625\mathrm{nm}$ trong một xung siêu ngắn. Thời gian xung nhỏ nhất bằng bao nhiêu nếu độ bất định bằng $1,0\mathrm{\%}$ năng lượng trung bình trong mô hình giới hạn của bài?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $E=hc/\lambda$ và $\mathrm{\Delta }E=\mathrm{0,010}E$. Dùng cùng quy ước độ rộng và thời gian như phần lý thuyết.

Hướng đi:

• xác định trung bình, còn phần trăm xác định độ rộng năng lượng.
• Dùng $\mathrm{\Delta }t\ge \hslash /(2\mathrm{\Delta }E)$ để tìm thời gian nhỏ nhất tương ứng, không nhầm độ rộng phổ với cả xung.

trung bình xấp xỉ $3,18\times {10}^{-19}\mathrm{J}$. Do đó,

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{t}_{min}& =\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }E}\\ & \approx 1,7\times {10}^{-14}\mathrm{s}.\end{array}$$

Giá trị trước làm tròn là khoảng $1,66\times {10}^{-14}\mathrm{s}$. Xung ngắn hơn giới hạn này cần độ rộng lớn hơn $1,0\mathrm{\%}$ trong cùng mô hình.

Bài tập 38.24–38.31

Bài tập 38: 24

(a) Một bóng đèn tiêu thụ $120\mathrm{W}$, phát $10,0\mathrm{\%}$ công suất thành ánh sáng nhìn thấy có trung bình $5,00\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$. Ước lượng số nhìn thấy phát mỗi giây.

(b) Nếu phát đều theo mọi hướng, ở khoảng cách nào thông lượng bằng $1,00\times {10}^{11}$ trên mỗi centimét vuông mỗi giây?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất nhìn thấy $P=12,0\mathrm{W}$. Thông lượng mặt cần tìm bằng ${10}^{15}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}$ sau khi đổi từ centimét vuông.

Hướng đi:

• Chia công suất quang học cho trung bình $hf$ để tìm số photon mỗi giây.
• Phát đều theo mọi hướng làm số phân bố trên mặt cầu diện tích $4\pi r^2$.

(a) Số phát mỗi giây là

$$\dot{N}=\frac{P}{hf}\approx 3,62\times {10}^{19}{\mathrm{s}}^{-1}.$$

(b) Gọi thông lượng mặt là $F_N$. Điều kiện là $F_N=\dot{N}/(4\pi r^2)$, nên

$$r=\sqrt{\frac{\dot{N}}{4\pi F_N}}\approx 53,7\mathrm{m}.$$

Phép tính bỏ qua hấp thụ, vật chắn và sự khác nhau giữa các trong phổ thực của bóng đèn.

Bài tập 38: 25

Laser màu xung phát $585\mathrm{nm}$ thành các xung $450\mu \mathrm{s}$. Hemoglobin hấp thụ mạnh trong vùng này, nên bài toán xét mô hình dùng laser làm bay hơi một lượng máu rất nhỏ.

Coi máu có nhiệt dung riêng và nhiệt hóa hơi bằng nước, lần lượt $4190\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\mathrm{K})$ và $\mathrm{2,256}\times {10}^6\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. Mỗi xung phải làm bay hơi $2,0\mu \mathrm{g}$ máu ban đầu ở ${33}^{\circ }\mathrm{C}$.

(a) Mỗi xung cần truyền bao nhiêu ? (b) Công suất trong xung bằng bao nhiêu? (c) Mỗi xung truyền bao nhiêu ?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khối lượng $m=2,0\times {10}^{-9}\mathrm{kg}$ và thời gian xung $\tau =450\times {10}^{-6}\mathrm{s}$. Trong mô hình nước ở điều kiện sôi đang xét, cần đun từ ${33}^{\circ }\mathrm{C}$ đến ${100}^{\circ }\mathrm{C}$ rồi hóa hơi.

Hướng đi:

• Cộng nhiệt tăng nhiệt độ và nhiệt hóa hơi, vì bỏ một trong hai phần sẽ thiếu .
• Chia tổng cho thời gian xung để tìm công suất trung bình trong xung.
• Chia xung cho $hc/\lambda$ để tìm số , với giả thiết toàn bộ năng lượng xung cần xét được hấp thụ như mô hình.

(a) Đặt $c_w$ là nhiệt dung riêng và $L_v$ là nhiệt hóa hơi. là

$$Q=m{c}_w\mathrm{\Delta }T+m{L}_v.$$

Với $\mathrm{\Delta }T=67\mathrm{K}$, ta được $Q\approx 5,1\times {10}^{-3}\mathrm{J}$.

(b) Công suất trong xung là $P=Q/\tau \approx 11\mathrm{W}$.

(c) Mỗi mang khoảng $3,40\times {10}^{-19}\mathrm{J}$. Số photon mỗi xung xấp xỉ $1,5\times {10}^{16}$.

Đây là ước lượng nhiệt lượng trong mô hình đã cho. Nó chưa bao gồm truyền nhiệt sang vùng xung quanh hoặc phần ánh sáng không được hấp thụ.

Bài tập 38: 26

Chùm sáng công suất $2,50\mathrm{W}$, $124\mathrm{nm}$, chiếu lên kim loại. Động năng cực đại của electron phát ra là $4,16\mathrm{eV}$. Giả sử mỗi tới làm bật một electron.

(a) bằng bao nhiêu electronvolt? (b) Mỗi giây phát bao nhiêu electron? (c) Nếu chỉ giảm công suất một nửa, kết quả (b) thế nào? (d) Nếu chỉ giảm một nửa nhưng giữ công suất, kết quả (b) thế nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hiệu suất phát electron giả định bằng một. Công suất và được thay đổi riêng ở (c), (d).

Hướng đi:

• Dùng $\mathrm{\Phi }=hc/\lambda -K_{max}$ để tìm .
• Số electron mỗi giây bằng số mỗi giây, tức $P/(hc/\lambda )$ theo giả thiết.
• Khi giảm một nửa, mỗi tăng gấp đôi. Với cùng công suất, số photon mỗi giây giảm một nửa.

(a) gần $10,0\mathrm{eV}$, nên $\mathrm{\Phi }\approx 5,84\mathrm{eV}$.

(b) Tốc độ phát electron là

$$\begin{array}{rl}\dot{N}& =\frac{P\lambda }{hc}\\ & \approx 1,56\times {10}^{18}{\mathrm{s}}^{-1}.\end{array}$$

(c) Công suất giảm một nửa cho khoảng $7,80\times {10}^{17}$ electron mỗi giây.

(d) giảm một nửa ở cùng công suất cũng cho khoảng $7,80\times {10}^{17}$ electron mỗi giây. Động năng cực đại của các electron tăng, nhưng số tới giảm. Không được suy rằng tần số cao hơn ở cùng công suất luôn tạo dòng bão hòa lớn hơn.

Bài tập 38: 27

Cường độ ánh sáng Mặt Trời tại mặt đất lấy cỡ $1000\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. Ánh sáng gián tiếp hoặc đèn trong phòng tạo cường độ bằng một phần giá trị ấy.

(a) Ước lượng cường độ ánh sáng vào phòng. (b) Coi ánh sáng đi đều từ trần xuống sàn, hãy ước lượng diện tích $A$ của trần và sàn cùng chiều cao $H$. (c) Tính thời gian truyền từ trần xuống sàn. (d) Tính công suất đi vào phòng. (e) Tính ánh sáng có trong phòng tại một thời điểm. (f) Tính năng lượng trung bình $500\mathrm{nm}$. (g) Ước lượng số photon đang có trong phòng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đây là bài ước lượng, chưa có số đo cụ thể của phòng. Giữ kết quả theo $I,A,H$, rồi chọn một bộ giả thiết minh họa rõ ràng.

Hướng đi:

• Thời gian ánh sáng có trong miền mô hình là thời gian đi hết chiều cao $H$.
• Công suất đi vào là cường độ nhân diện tích. tức thời bằng công suất nhân thời gian lưu trong miền ấy.
• Chia tức thời cho năng lượng mỗi để tính số photon, không nhân thêm thời gian chiếu cả ngày.

(a), (b) Chọn minh họa $I=1,0\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$, bằng ${10}^{-3}$ mốc ánh sáng Mặt Trời đã cho. Chọn $A=20{\mathrm{m}}^2$ và $H=2,5\mathrm{m}$. Đây là các giả thiết ước lượng, không phải dữ liệu đo phòng của người đọc.

(c) Thời gian truyền là

$$t=\frac{H}{c}\approx 8,3\times {10}^{-9}\mathrm{s}.$$

(d) Công suất đi vào $P=IA=20\mathrm{W}$.

(e) tức thời của mô hình là

$$\begin{array}{rl}{E}_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{m}}& =\frac{IAH}{c}\\ & \approx 1,7\times {10}^{-7}\mathrm{J}.\end{array}$$

(f) $500\mathrm{nm}$ có $E_{\gamma }\approx 3,97\times {10}^{-19}\mathrm{J}$.

(g) Số đang ở trong miền mô hình là

$$N=\frac{E_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{m}}}{E_{\gamma }}\approx 4,2\times {10}^{11}.$$

Công thức tổng quát tương đương là $N=IAH\lambda /(h{c}^2)$. Phòng thật có phản xạ ở tường và nhiều hướng truyền, nên thời gian lưu và số có thể khác mô hình đi một lượt từ trần xuống sàn.

Bài tập 38: 28

$\mathrm{0,098}0\mathrm{nm}$ tới electron ban đầu đứng yên và bị tán xạ ngược. Độ lớn electron ngay sau va chạm bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\varphi ={180}^{\circ }$ và $\lambda =\mathrm{0,098}0\mathrm{nm}$. Chọn chiều dương theo tới.

Hướng đi:

• Dịch Compton ngược cho ${\lambda }^{\prime }=\lambda +2{\lambda }_C$.
• cuối có âm theo chiều đã chọn, nên động lượng electron bằng tổng hai độ lớn động lượng photon.

Từ bảo toàn ,

$$p_e=\frac{h}{\lambda }+\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}.$$

Thay cuối đã tìm được, độ lớn electron xấp xỉ $1,32\times {10}^{-23}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hướng theo tới.

Bài tập 38: 29

$\mathrm{0,105}0\mathrm{nm}$ tới electron ban đầu đứng yên và tán xạ ở góc $60,0^{\circ }$. Tìm độ lớn và hướng electron ngay sau va chạm.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn trục $+x$ theo tới. Giả sử photon cuối lệch lên phía $+y$, với góc $\varphi =60,0^{\circ }$.

Hướng đi:

• Tìm cuối bằng Compton để biết độ lớn cuối.
• Bảo toàn hai thành phần . Thành phần ngang của electron phải triệt tiêu thành phần ngang cuối.

Đặt $p=h/\lambda$ và $p^{\prime }=h/{\lambda }^{\prime }$, trong đó ${\lambda }^{\prime }=\lambda +{\lambda }_C(1-\cos \varphi )$. electron có thành phần

$$\begin{array}{rl}{p}_{ex}& =p-p^{\prime }\cos \varphi ,\\ p_{ey}& =-p^{\prime }\sin \varphi .\end{array}$$

Độ lớn là

$$\begin{array}{rl}{p}_e& =\sqrt{p_{ex}^2+p_{ey}^2}\\ & \approx 6,27\times {10}^{-24}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Góc electron so với chiều tới là

$$\begin{array}{rl}{\theta }_e& =\arctan \left(\frac{|p_{ey}|}{p_{ex}}\right)\\ & \approx 59,4^{\circ }.\end{array}$$

Electron lệch về phía đối diện tán xạ, tức phía $-y$ trong quy ước này.

Bài tập 38: 30

dinh dưỡng trong rau quả bắt nguồn từ Mặt Trời qua quang hợp. (a) Ước lượng năng lượng một quả cà chua từ số Calorie của nó, dùng $1\mathrm{Cal}=1\mathrm{kcal}=4186\mathrm{J}$. (b) Ước lượng tổng diện tích lá cây cà chua.

(c) Với cường độ nắng $800\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$, công suất tới các lá bằng bao nhiêu? (d) Giả sử hiệu suất sử dụng photon cho quang hợp là $5\mathrm{\%}$, phần còn lại không tới lục lạp hoặc không ở vùng phù hợp. Dùng bước sóng trung bình $600\mathrm{nm}$ để tính số photon tham gia mỗi giây.

(e) Cây có mười quả, và một nửa quang hợp đến quả, phần còn lại dùng cho rễ và duy trì tế bào. Mỗi quả nhận tương đương bao nhiêu mỗi giây? (f) Cần bao nhiêu photon để cung cấp năng lượng của một quả? (g) Nếu có nắng 12 giờ mỗi ngày, mô hình năng lượng này cho thời gian bao lâu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bài yêu cầu tự ước lượng kích thước và . Chọn một quả cỡ vừa, khoảng $148\mathrm{g}$, mang khoảng 25 Calorie theo bảng thực phẩm của FDA. Chọn tổng diện tích lá minh họa $A=0,50{\mathrm{m}}^2$.

Hướng đi:

• Đổi Calorie sang joule theo hệ số của bài.
• Tính công suất tới lá bằng $IA$ và phần được sử dụng bằng $0,05IA$.
• Chia /công suất cho năng lượng để đổi sang số lượng photon tương đương.
• Chia đều một nửa công suất hữu ích cho mười quả, rồi tính số giờ có nắng cần cho một quả.

(a) dinh dưỡng ước lượng là $E_t=25(4186)\approx 1,05\times {10}^5\mathrm{J}$.

(b) Diện tích lá chọn là $0,50{\mathrm{m}}^2$. Kết quả có thể được thay đổi theo một giá trị đo khác bằng cách giữ $A$ trong các công thức.

(c) Công suất tới lá là $P=IA=400\mathrm{W}$.

(d) Công suất hữu ích trong mô hình là $P_q=0,05P=20\mathrm{W}$. Với $E_{\gamma }=hc/\lambda$, số tham gia mỗi giây là

$${\dot{N}}_q=\frac{P_q}{E_{\gamma }}\approx 6,0\times {10}^{19}{\mathrm{s}}^{-1}.$$

(e) Mỗi quả nhận phần tương đương

$$\begin{array}{rl}{\dot{N}}_t& =\frac{0,50{\dot{N}}_q}{10}\\ & \approx 3,0\times {10}^{18}{\mathrm{s}}^{-1}.\end{array}$$

(f) Số cần cho một quả là $N_t=E_t/E_{\gamma }\approx 3,2\times {10}^{23}$.

(g) Thời gian có nắng cần thiết là $t=N_t/{\dot{N}}_t\approx 1,05\times {10}^5\mathrm{s}$. Với 12 giờ nắng mỗi ngày, kết quả khoảng $2,4$ ngày.

Con số cuối là thời gian tích lũy của mô hình lý tưởng, không phải thời gian sinh trưởng thực tế của quả cà chua. Nó bỏ qua giới hạn sinh học, nước, dinh dưỡng, thay đổi diện tích lá, che bóng và sự phân phối năng lượng thay đổi trong quá trình phát triển.

Bài tập 38: 31

gamma sinh trong phản ứng nhiệt hạch ở tâm Mặt Trời có cỡ $1\mathrm{MeV}$, trong khi ánh sáng ra khỏi bề mặt có cỡ $500\mathrm{nm}$. Xét mô hình ước lượng photon bị khoảng ${10}^{26}$ lần trên đường từ tâm ra bề mặt.

(a) Độ tăng trung bình mỗi lần bằng bao nhiêu? (b) Góc tán xạ tương ứng theo độ bằng bao nhiêu? Có thể dùng $\cos \varphi \approx 1-{\varphi }^2/2$ khi góc nhỏ, với góc tính theo radian. (c) Nếu thời gian từ tâm ra mặt ngoài cỡ ${10}^6$ năm, quãng đường trung bình giữa hai lần tán xạ là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: đầu ${\lambda }_i=hc/E_i$, bước sóng cuối ${\lambda }_f=500\mathrm{nm}$, số lần $N={10}^{26}$ và tổng thời gian $T={10}^6$ năm. Đây là mô hình đơn giản hóa quá trình truyền bức xạ.

Hướng đi:

• Chia tổng độ tăng cho số lần tán xạ.
• Ở góc nhỏ, độ dịch Compton xấp xỉ ${\lambda }_C{\varphi }^2/2$. Dùng dạng này để tránh lấy hiệu hai số cos gần một trong phép tính.
• Tổng quãng đường đi theo các đoạn giữa những lần đổi hướng là $cT$, không phải khoảng cách thẳng từ tâm đến mặt ngoài.

(a) đầu cỡ $1,24\times {10}^{-12}\mathrm{m}$, rất nhỏ so với bước sóng cuối. Do đó,

$$\begin{array}{rl}\delta \lambda & =\frac{{\lambda }_f-{\lambda }_i}{N}\\ & \approx 5\times {10}^{-33}\mathrm{m}.\end{array}$$

(b) Từ $\delta \lambda \approx {\lambda }_C{\varphi }^2/2$, ta được

$$\varphi \approx \sqrt{\frac{2\delta \lambda }{{\lambda }_C}}.$$

Giá trị tương ứng khoảng $3,7\times {10}^{-9}$ độ.

(c) Quãng đường trung bình giữa hai lần tán xạ là

$$\ell =\frac{cT}{N}\approx 9,5\times {10}^{-5}\mathrm{m}.$$

Thang độ dài cỡ $0,1\mathrm{mm}$ biểu thị một môi trường rất đục theo những giả thiết của mô hình. Nó không mô tả đầy đủ hấp thụ, tái phát xạ và phân bố của bức xạ trong Mặt Trời thực.

Bài tập 38.32–38.37

Bài tập 38: 32

Một positron bay theo phương ngang với tốc độ $v$, gặp một electron đứng yên. Chúng hủy thành hai cùng $\lambda$, mỗi photon lệch góc $\varphi$ về một phía của phương ngang.

(a) Viết bảo toàn theo $m,\gamma ,c,h$, với $m$ là khối lượng nghỉ electron và $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. (b) Viết bảo toàn theo các đại lượng ấy và góc $\varphi$. (c) Tìm năng lượng mỗi và góc $\varphi$ chỉ theo $\gamma$.

(d) Nếu động năng positron là $5,11\mathrm{MeV}$, tìm mỗi và góc. (e) Positron phải có tốc độ nào để hai photon vuông góc nhau? (f) Nếu positron bay theo $+x$, cần chuyển sang hệ có vận tốc $u$ nào để tổng ban đầu bằng không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron đứng yên có $m{c}^2$, còn positron có năng lượng $\gamma m{c}^2$ và $\gamma mv$. Hai có cùng năng lượng, truyền đối xứng quanh phương $+x$.

Hướng đi:

• Bảo toàn để tìm tổng năng lượng .
• Thành phần ngang của hai triệt tiêu. Thành phần theo $x$ phải bằng động lượng positron ban đầu.
• Hệ khối tâm của toàn hệ chuyển động với $u=c^{2}P/E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}$, trong đó phải tính cả electron đứng yên.

(a) Bảo toàn cho

$$(\gamma +1)m{c}^2=\frac{2hc}{\lambda }.$$

(b) Bảo toàn theo phương ngang:

$$\gamma mv=\frac{2h}{\lambda }\cos \varphi .$$

(c) Từ (a), mỗi là

$$E_{\gamma }=\frac{\gamma +1}{2}m{c}^2.$$

Chia phương trình nhân $c$ cho phương trình , ta được

$$\cos \varphi =\frac{\gamma (v/c)}{\gamma +1}.$$

Vì ${\gamma }^2(v/c{)}^2={\gamma }^2-1$,

$$\cos \varphi =\sqrt{\frac{\gamma -1}{\gamma +1}}.$$

(d) Dùng electron xấp xỉ $\mathrm{0,511}\mathrm{MeV}$, ta có $\gamma =1+5,11/\mathrm{0,511}=11$. Khi đó mỗi có $\mathrm{3,066}\mathrm{MeV}$ và $\varphi \approx 24,1^{\circ }$. Góc giữa hai photon là $2\varphi$, không phải $\varphi$.

(e) Hai vuông góc khi $2\varphi ={90}^{\circ }$. Đặt ${\cos }^2\varphi =1/2$ vào biểu thức trên cho $\gamma =3$, nên

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}\approx \mathrm{0,943.}$$

(f) Tổng ban đầu $P=\gamma mv$ và tổng $E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=(\gamma +1)m{c}^2$. Vì vậy, vận tốc hệ khối tâm là

$$u=\frac{\gamma }{\gamma +1}v.$$

Hệ cần chuyển động theo chiều $+x$. Trong trường hợp (d), tốc độ ấy xấp xỉ $\mathrm{0,913}c$.

Bài tập 38: 33

$\mathrm{0,110}0\mathrm{nm}$ va chạm với electron tự do ban đầu đứng yên. Sau va chạm, photon có bước sóng $\mathrm{0,113}2\mathrm{nm}$.

(a) Tìm động năng và tốc độ electron. (b) Nếu electron đột ngột bị dừng trong một bia rắn và toàn bộ động năng của nó được phát thành một , photon ấy bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết hai trước và sau. Electron ban đầu không có động năng. Phần (b) giả định một sự kiện hãm đạt giới hạn chuyển động năng thành photon.

Hướng đi:

• Động năng electron bằng mất.
• Suy $\gamma =1+K/(m_e{c}^2)$ rồi tính tốc độ, thay vì mặc nhiên dùng công thức cổ điển.
• Ở (b), phát có bằng $K$. Bia tham gia cân bằng , với năng lượng giật lùi được bỏ qua trong giới hạn đang xét.

(a) Động năng là

$$K=\frac{hc}{\lambda }-\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}.$$

Kết quả $K\approx 5,10\times {10}^{-17}\mathrm{J}$. Từ hệ số Lorentz suy ra tốc độ $v\approx 1,06\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

(b) phát ra khi hãm là

$${\lambda }_s=\frac{hc}{K}\approx 3,89\mathrm{nm}.$$

này có bằng động năng electron, không phải toàn bộ năng lượng gồm cả của electron.

Bài tập 38: 34

tia X tán xạ từ electron tự do khối lượng $m$ ban đầu đứng yên. photon cuối là ${\lambda }^{\prime }$, tốc độ electron cuối là $v$.

(a) Tìm ban đầu theo ${\lambda }^{\prime },v,m$. Dùng động năng tương đối tính của electron. (b) Tìm góc photon tán xạ theo $\lambda ,{\lambda }^{\prime },m$. (c) Tính cho ${\lambda }^{\prime }=5,10\times {10}^{-3}\mathrm{nm}$ và $v=1,80\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$, với góc theo độ.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron nhận động năng do mất . Khối lượng $m$ ở đây là khối lượng nghỉ electron.

Hướng đi:

• Đặt $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ để tính động năng từ tốc độ.
• Bảo toàn cho tới, rồi dùng dịch Compton để tìm góc.
• Dùng một biến trung gian có đơn vị nghịch đảo chiều dài để biểu thức gọn và vẫn giữ đầy đủ sự phụ thuộc vào dữ kiện.

(a) Gọi $B=(\gamma -1)mc/h$. Từ bảo toàn ,

$$\frac{hc}{\lambda }=\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}+(\gamma -1)m{c}^2.$$

Chia cho $hc$ và giải theo ban đầu:

$$\lambda =\frac{1}{1/{\lambda }^{\prime }+B}.$$

Vì $B$ đã được định nghĩa theo $v,m$, biểu thức này xác định $\lambda$ từ đúng ba dữ kiện đề yêu cầu.

(b) Với ${\lambda }_C=h/(mc)$,

$$\cos \varphi =1-\frac{{\lambda }^{\prime }-\lambda }{{\lambda }_C}.$$

Cần có $0\le {\lambda }^{\prime }-\lambda \le 2{\lambda }_C$ để góc vật lý tồn tại.

(c) Thay số và dùng khối lượng electron cho $\lambda \approx 3,34\times {10}^{-3}\mathrm{nm}$. Góc tán xạ là $\varphi \approx 74,0^{\circ }$.

Bài tập 38: 35

Trong thí nghiệm quang điện để xác định bề mặt dùng trong thiết bị nhìn đêm, bạn đo $V_0$ theo :

$\lambda$ (nm)	$V_0$ (V)
$100$	$7,53$
$120$	$5,59$
$140$	$3,98$
$160$	$2,92$
$180$	$2,06$
$200$	$1,43$

Dùng $c=\mathrm{2,998}\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và $e=\mathrm{1,602}\times {10}^{-19}\mathrm{C}$. (a) Chọn cách vẽ gần tuyến tính và tìm hệ số góc, tung độ gốc của đường hồi quy. (b) Suy và theo electronvolt. (c) Tìm dài nhất còn phát . (d) Tìm bước sóng để động năng cực đại bằng $10,0\mathrm{eV}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Có sáu điểm đo. Phương trình quang điện viết theo là $V_0=hc/(e\lambda )-\mathrm{\Phi }/e$.

Hướng đi:

• Dùng hoành độ $X=1/\lambda$ để tuyến tính hóa. Cần ghi rõ đơn vị của để đổi hệ số góc đúng sang SI.
• Hệ số góc cho $hc/e$, còn tung độ gốc cho $-\mathrm{\Phi }/e$.
• Dùng chính các hệ số hồi quy để suy ngưỡng và cần thiết, không thay đã biết vào rồi giả vờ đó là kết quả thí nghiệm.

(a) Nếu $\lambda$ tính bằng nanômét, đường hồi quy sáu điểm là

$$V_0=SX+b.$$

Kết quả $S\approx 1232,22\mathrm{V}\mathrm{nm}$ và $b\approx -\mathrm{4,765}07\mathrm{V}$.

Lời giải 38.35: Cả sáu điểm thế hãm được vẽ theo nghịch đảo bước sóng, cùng đường hồi quy để tìm hằng số Planck và công thoát.

(b) Đổi hệ số góc sang volt mét trước khi dùng $h=Se/c$, ta được

$$h\approx 6,58\times {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}.$$

là $\mathrm{\Phi }\approx 4,77\mathrm{eV}$. Kết quả thực nghiệm gần đã biết, nhưng không bị ép bằng đúng giá trị ấy.

(c) Tại ngưỡng $V_0=0$, ta có ${\lambda }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=S/|b|\approx 259\mathrm{nm}$ khi dùng đúng đơn vị của $S$.

(d) Động năng $10,0\mathrm{eV}$ tương ứng $10,0\mathrm{V}$. Do đó,

$$\lambda =\frac{S}{10,0-b}\approx 83,5\mathrm{nm}.$$

Bài tập 38: 36

Bạn xét các bề mặt vật liệu trong Bảng 38.1 cho một ứng dụng quang điện dùng tia tử ngoại $270\mathrm{nm}$.

(a) Vật liệu nào phát ? (b) Vật liệu nào cho động năng cực đại lớn nhất, và tốc độ cực đại bằng bao nhiêu? (c) Với vàng trong bảng, dài nhất gây quang điện là bao nhiêu? (d) Ở bước sóng tìm được trong (c), động năng cực đại trên sodium có công thoát trong bảng bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $270\mathrm{nm}$ có khoảng $4,59\mathrm{eV}$. So với các gần đúng của tám vật liệu trong bảng.

Hướng đi:

• Vật liệu phát electron khi vượt .
• Vật liệu có nhỏ nhất cho động năng cực đại lớn nhất ở cùng ánh sáng chiếu.
• Ngưỡng vàng cho đúng bằng vàng; dùng năng lượng ấy khi chuyển sang sodium.

(a) Ba vật liệu phát electron là aluminum, silver và sodium, tức nhôm, bạc và natri. Hai vật liệu đầu có khoảng $4,3\mathrm{eV}$, còn natri khoảng $2,7\mathrm{eV}$.

(b) Natri cho động năng cực đại lớn nhất, khoảng $1,89\mathrm{eV}$. Tốc độ cực đại tương ứng khoảng $8,2\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

(c) Với vàng, ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{A}\mathrm{u}}=5,1\mathrm{eV}$. ngưỡng là

$${\lambda }_{\mathrm{A}\mathrm{u}}=\frac{hc}{{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{A}\mathrm{u}}}\approx 243\mathrm{nm}.$$

(d) Ở ấy, có $5,1\mathrm{eV}$. Trên natri, động năng cực đại bằng $5,1-2,7=2,4\mathrm{eV}$.

Bài tập 38: 37

Bạn kiểm tra mô hình bằng trên electron tự do đứng yên. Các photon tán xạ đo theo góc là

$\varphi$ (độ)	${\lambda }^{\prime }$ (pm)
$30,6$	$5,52$
$58,7$	$6,40$
$90,2$	$7,60$
$119,2$	$8,84$
$151,3$	$9,69$

(a) Vẽ ${\lambda }^{\prime }$ theo $1-\cos \varphi$ và tìm đường hồi quy tốt nhất. (b) Dùng hệ số hồi quy để suy Compton ${\lambda }_C=h/(m_{e}c)$. (c) Suy bước sóng tới.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Có năm điểm đo góc và . Quan hệ lý tưởng là ${\lambda }^{\prime }=\lambda +{\lambda }_C(1-\cos \varphi )$.

Hướng đi:

• Đặt $X=1-\cos \varphi$ để quan hệ thành đường thẳng.
• Hệ số góc là Compton, tung độ gốc là bước sóng tới.
• Dùng cả năm điểm và giữ rõ đây là suy từ dữ liệu, không chép sẵn hệ số lý thuyết.

(a) Hồi quy cho

$${\lambda }^{\prime }\approx SX+b,$$

với $S\approx \mathrm{2,404}21\mathrm{pm}$ và $b\approx \mathrm{5,211}45\mathrm{pm}$.

Lời giải 38.37: Cả năm điểm bước sóng Compton được vẽ theo một trừ cos góc tán xạ. Hệ số góc và tung độ gốc được suy từ dữ liệu.

(b) Compton suy ra xấp xỉ $2,40\mathrm{pm}$.

(c) tới xấp xỉ $5,21\mathrm{pm}$. Các điểm đo gần đường thẳng phù hợp với dạng phụ thuộc góc của mô hình, còn độ lệch nhỏ của hệ số so với giá trị lý thuyết phản ánh mức chính xác của dữ liệu.

Bài tập nâng cao 38.38–38.40

Bài tập 38: 38

Dùng mạch ở Hình P38.38 để khảo sát . Ampe kế đo dòng quang điện $i$, còn $V_{AC}$ là điện thế anode so với cathode.

Hình P38.38: Mạch khảo sát quang điện có hai nguồn 15,0 V mắc ngược cực tính, điện trở 1,00 kΩ và biến trở R. Cần đọc cực tính nguồn cùng nhãn vị trí công tắc.

(a) Công tắc ở vị trí a, chiếu $140\mathrm{nm}$ và $R=3,20\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$, không có dòng quang điện. Tìm $V_{AC}$. (b) Giảm dần $R$, dòng bắt đầu xuất hiện tại $R=334\mathrm{\Omega }$. Tìm $V_{AC}$. (c) Tìm cathode.

(d) Chuyển công tắc sang b, ampe kế chỉ $i=3,71\mathrm{mA}$. Dòng $I$ qua $R$ theo mũi tên hình bằng bao nhiêu? (e) Tìm $V_{AC}$ lúc ấy. (f) Trở lại a, giảm xuống $65,0\mathrm{nm}$. Tìm $R$ nhỏ nhất để dòng quang điện vừa ngừng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nhánh nguồn có cực tính ngược nhau. Cần kiểm tra rằng vị trí được dùng để hãm electron thật sự đặt anode ở điện thế thấp hơn cathode. Điện trở cố định $R_0=1000\mathrm{\Omega }$.

Hướng đi:

• Khi dòng quang điện bằng không, dùng mạch chia điện áp giữa $R_0$ và $R$.
• Tại ngưỡng dòng, độ lớn điện bằng động năng cực đại chia $e$.
• Khi có dòng quang điện, phải dùng định luật nút, không tiếp tục dùng công thức chia áp của mạch không tải.
• Đối chiếu dấu điện áp với cực tính trong hình trước khi dùng dữ kiện phát electron.

Với đúng nhãn và cực tính đang vẽ, vị trí a nối nguồn làm anode dương hơn cathode. Khi không có dòng quang điện,

$$V_{AC}=\frac{15,0R}{R+R_0}>0.$$

Ở $R=3,20\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$, điện áp là $+11,43\mathrm{V}$. Giảm $R$ vẫn giữ điện áp dương. Vì vậy, chuỗi “không có dòng rồi dòng vừa xuất hiện do giảm ” không phù hợp với vị trí a được ghi trên chính hình này trong mô hình quang điện chuẩn.

Muốn thực hiện phép đo hãm được mô tả ở (a)–(c), phải dùng nhánh làm anode âm, tức vị trí b theo cực tính hình. Các kết quả có điều kiện dưới đây giữ nguyên số liệu và thực hiện đúng chức năng điện của hai nhánh, tương đương hoán đổi tên a và b trong phần mô tả thao tác.

(a) Với nhánh hãm, điện áp là $V_{AC}\approx -11,43\mathrm{V}$.

(b) Tại $R=334\mathrm{\Omega }$,

$$\begin{array}{rl}{V}_{AC}& =-\frac{15,0(334)}{334+1000}\\ & \approx -\mathrm{3,756}\mathrm{V}.\end{array}$$

(c) $140\mathrm{nm}$ có khoảng $\mathrm{8,857}\mathrm{eV}$. Động năng cực đại là $e|V_{AC}|$, nên suy ra xấp xỉ $5,10\mathrm{eV}$.

(d), (e) Đổi sang nhánh tăng tốc, vẫn giữ $R=334\mathrm{\Omega }$. Chọn anode làm mốc điện thế không, và gọi điện thế cathode là $U$. Đầu bên kia của $R_0$ có điện thế $-15,0\mathrm{V}$. Dòng quang điện theo mũi tên đi vào cathode, nên định luật nút là

$$\frac{U+15,0}{R_0}+\frac{U}{R}=i.$$

Suy ra

$$U=\frac{i-15,0/R_0}{1/R_0+1/R}.$$

Với $i=3,71\mathrm{mA}$, ta có $U\approx -\mathrm{2,827}\mathrm{V}$. Do đó,

$$\begin{array}{rl}I& =U/R\approx -8,46\mathrm{mA},\\ V_{AC}& =-U\approx +2,83\mathrm{V}.\end{array}$$

Dòng qua biến trở thực sự đi ngược mũi tên $I$ đã chọn trong hình.

(f) Với $65,0\mathrm{nm}$ và cùng , độ lớn cần khoảng $V_s=13,98\mathrm{V}$. Trong nhánh hãm,

$$V_s=\frac{15,0R}{R+R_0}.$$

Giải theo $R$:

$$R=\frac{R_0{V}_s}{15,0-V_s}\approx 13,6\mathrm{k}\mathrm{\Omega }.$$

Ở điện trở lớn hơn, thế ngược có độ lớn lớn hơn nên vẫn chặn dòng. Những giá trị (a)–(f) này chỉ áp dụng với chức năng hai nhánh được nêu rõ. Không thể đồng thời giữ nguyên tên thao tác ban đầu, đúng cực tính đang vẽ và mọi dữ kiện dòng điện mà bỏ qua sự không nhất quán ấy.

Bài tập 38: 39

$\lambda$ tới một hạt đứng yên có khối lượng $M$. Photon bị hấp thụ, đồng thời tạo electron–positron. Hạt bia chuyển động theo hướng photon tới với tốc độ $V_M$. Electron và positron có cùng tốc độ $v$, đi đối xứng ở góc $\varphi$ với hướng ban đầu.

Hình P38.39: Hạt bia nhận giật lùi khi một photon tạo cặp electron–positron. Hai hạt mới có động lượng ngang đối nhau.

Chú thích:

• Trước tương tác (BEFORE)
• Sau tương tác (AFTER)

Đặt $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ và ${\gamma }_M=1/\sqrt{1-V_M^2/c^2}$.

(a) Viết bảo toàn với khối lượng nghỉ electron $m$. (b) Viết bảo toàn . (c) Khử $h/\lambda$ để liên hệ $v/c,V_M/c,\varphi$ và $m/M$. (d) Dùng khai triển ở $V_M/c$ nhỏ để suy tốc độ giật lùi gần đúng. (e) Có lựa chọn hữu hạn nào của $v,\varphi$ cho $V_M=0$ không?

(f) Nếu bia là proton và hai hạt mới đứng yên, proton đi nhanh bao nhiêu theo $\mathrm{km}/\mathrm{s}$? (g) Nếu mỗi hạt mới có toàn phần $5,00\mathrm{MeV}$ và $\varphi ={60}^{\circ }$, proton đi nhanh bao nhiêu? (h) Năng lượng tới trong trường hợp (g) bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt bia giữ nguyên khối lượng nghỉ $M$. Hai hạt mới có khối lượng nghỉ $m$ và ngang triệt tiêu. Đặt $r=m/M$, $\beta =v/c$, $B=V_M/c$ và $G={\gamma }_M$.

Hướng đi:

• Giữ cả ban đầu của bia trong phương trình .
• Chiếu theo hướng tới, vì các thành phần vuông góc của cặp triệt tiêu.
• Chuẩn hóa hai phương trình bằng $M{c}^2$ để khử , rồi dùng định nghĩa $G$.
• Ở tốc độ bia nhỏ, khai triển theo $B$ và giữ rõ bậc gần đúng.

(a) Gọi là $E_{\gamma }=hc/\lambda$, năng lượng toàn phần của hạt bia sau tương tác là $E_M=GM{c}^2$ và của cặp mới là $E_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}=2\gamma m{c}^2$. Bảo toàn năng lượng là

$$E_{\gamma }+M{c}^2=E_M+E_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}.$$

(b) Bảo toàn dọc:

$$\frac{h}{\lambda }=GM{V}_M+2\gamma mv\cos \varphi .$$

(c) Chia phương trình cho $M{c}^2$ và phương trình cho $Mc$, rồi khử . Đặt $F=2r\gamma$ và $C=\beta \cos \varphi$, ta thu được

$$(G-1)+F=GB+FC.$$

Để viết gọn mà vẫn giữ mọi phụ thuộc, đặt

$$D=2r\gamma (1-\beta \cos \varphi ).$$

Quan hệ cần tìm là

$$G(1-B)=1-D.$$

Vì $G(1-B)=\sqrt{(1-B)/(1+B)}$, đặt $A=1-D$ cho nghiệm chính xác

$$B=\frac{1-A^2}{1+A^2}.$$

Trong cấu hình bia chuyển động về phía trước, cần $0<A\le 1$ để nghiệm thuộc miền vật lý đã chọn.

(d) Khi $B$ nhỏ, khai triển nhị thức cho

$$G\approx 1+\frac{1}{2}{B}^2.$$

Giữ đến hiệu chỉnh bậc hai trong quan hệ đã khử cho

$$B-\frac{1}{2}{B}^2\approx D.$$

Nghiệm nhỏ là $B\approx 1-\sqrt{1-2D}$. Nếu chỉ giữ bậc nhất, ta có $B\approx D$, hay

$$V_M\approx 2r\gamma c(1-\beta \cos \varphi ).$$

(e) Không có nghiệm $V_M=0$ với hai hạt mới có hữu hạn trong cấu hình này. Vì $\beta <1$ và $\cos \varphi \le 1$, ta có $D>0$. Bia phải nhận giật lùi để bảo toàn cả năng lượng lẫn của một tới.

(f) Với $v=0$, $\gamma =1$ và $D=2m/M$. Dùng khối lượng proton $M=\mathrm{1,673}\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$ cho tốc độ khoảng $327\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Nghiệm chính xác và gần đúng nhỏ đều phù hợp ở độ chính xác này.

(g) Mỗi hạt mới có $5,00\mathrm{MeV}$ nên $\gamma \approx 9,78$ và $\beta \approx \mathrm{0,994}8$. Thay $\varphi ={60}^{\circ }$ vào $D$ rồi tính nghiệm nhỏ, ta được $V_M\approx 1,61\times {10}^3\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

(h) Gọi động năng giật lùi của bia là $K_M=(G-1)M{c}^2$. tới phải cung cấp tổng toàn phần $10,00\mathrm{MeV}$ của cặp và động năng giật lùi của proton. Bảo toàn năng lượng cho

$$E_{\gamma }=E_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{r}}+K_M.$$

Giá trị trước làm tròn xấp xỉ $\mathrm{10,013}5\mathrm{MeV}$. hơi lớn hơn tổng năng lượng của riêng cặp vì bia cũng chuyển động sau tương tác.

Bài tập 38: 40

$\lambda$ bay theo $+x$, va chạm trực diện với electron bay theo $-x$. Electron có toàn phần $E$, gồm $m{c}^2$. Sau va chạm, photon bị tán xạ ngược theo $-x$, và electron cũng chuyển động theo $-x$.

(a) Suy biểu thức cuối ${\lambda }^{\prime }$. Chứng minh giới hạn $E\gg m{c}^2$ cho dạng gần đúng có số hạng $hc/E$ và hiệu chỉnh phụ thuộc bước sóng tới. (b) Với laser CO₂ có $\lambda =10,6\mu \mathrm{m}$ và electron có toàn phần $10,0\mathrm{GeV}$, tính ${\lambda }^{\prime }$ ở góc tán xạ ${180}^{\circ }$. (c) Photon cuối thuộc vùng phổ nào và hiệu ứng có thể dùng làm gì?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đặt $E_0=m{c}^2$, tới $\epsilon =hc/\lambda$ và photon cuối ${\epsilon }^{\prime }=hc/{\lambda }^{\prime }$. Gọi $q=\sqrt{E^2-E_0^2}$ là độ lớn electron ban đầu nhân $c$.

Hướng đi:

• Viết bảo toàn và một chiều với dấu của cuối là âm.
• Dùng hệ thức – cho electron sau tương tác để khử trạng thái cuối của nó.
• Chỉ sau khi có biểu thức chính xác mới dùng $q\approx E$ trong miền siêu tương đối tính.

(a) electron cuối là $E_f=E+\epsilon -{\epsilon }^{\prime }$. Thành phần electron cuối nhân $c$ là

$$p_{f}c=\epsilon -q+{\epsilon }^{\prime }.$$

Hệ thức electron $E_f^2-(p_{f}c{)}^2=E_0^2$, cùng $E^2-q^2=E_0^2$, rút gọn thành

$$\epsilon (E+q)={\epsilon }^{\prime }(E-q+2\epsilon ).$$

Do đó,

$${\epsilon }^{\prime }=\frac{\epsilon (E+q)}{E-q+2\epsilon }.$$

Đặt $S=E+q$. Vì $(E-q)S=E_0^2$, cuối có thể viết bằng hai số hạng

$$L_1=\frac{2hc}{S},$$

$$L_2=\frac{E_0^2\lambda }{S^2},$$

$${\lambda }^{\prime }=L_1+L_2.$$

Khi $E\gg E_0$, ta có $S\approx 2E$. Đặt $a=E_0^2\lambda /(4hcE)$, biểu thức gần đúng là

$${\lambda }^{\prime }\approx \frac{hc}{E}(1+a).$$

Thay định nghĩa $a$ và $E_0=m{c}^2$ vào, đây chính là tổng $hc/E$ và hiệu chỉnh $m^2{c}^4\lambda /(4E^2)$. Mỗi số hạng đều có đơn vị chiều dài.

(b) Đổi $10,0\mathrm{GeV}$ thành toàn phần trong đơn vị SI, rồi thay vào biểu thức chính xác cho

$${\lambda }^{\prime }\approx 7,05\times {10}^{-15}\mathrm{m}.$$

Điều kiện electron cuối vẫn theo $-x$ được thỏa mãn vì $p_{f}c<0$ với các dữ kiện này.

(c) cuối xấp xỉ $176\mathrm{MeV}$, thuộc vùng gamma. Electron nhanh đã truyền năng lượng cho photon, nên đây là Compton ngược. Cơ chế có thể dùng tạo chùm photon năng lượng cao từ nguồn laser và chùm electron, với năng lượng và hình học tương tác được điều khiển.

Bài tập theo đoạn thông tin

Photon năng lượng cao trong mô hình xạ trị

Một máy gia tốc thẳng đưa chùm electron cao đến bia kim loại, thường là tungsten. Khi đi gần hạt nhân bia, electron bị đổi hướng và gia tốc, phát qua . Chùm tia X được chuẩn trực và hướng đến vùng đích.

Trong mô hình dưới đây, truyền cho mô qua các tương tác Compton và quang điện. Giả sử vùng đích có ${10}^8$ tế bào trên mỗi centimét khối. Photon có năng lượng $4\mathrm{MeV}$. Tổng liều hấp thụ được cho là $70\mathrm{Gy}$, chia thành 35 phần bằng nhau vào các ngày khác nhau.

Gray là đơn vị hấp thụ trên mỗi khối lượng:

$$1\mathrm{Gy}=1\mathrm{J}/\mathrm{kg}.$$

Các câu hỏi sử dụng những giả thiết định lượng ấy để phân tích trao đổi.

Bài tập 38: 41

Trong một ngày của mô hình, mỗi tế bào nhận bao nhiêu trung bình? Coi tỉ trọng vùng đích bằng một, tương ứng khối lượng riêng bằng nước, và dùng $1\mathrm{J}=6\times {10}^{18}\mathrm{eV}$.

• (a) $120\mathrm{keV}$.
• (b) $12\mathrm{MeV}$.
• (c) $120\mathrm{MeV}$.
• (d) $120\times {10}^3\mathrm{MeV}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Liều mỗi phần là $70/35=2\mathrm{J}/\mathrm{kg}$. Mỗi centimét khối có khối lượng $1\mathrm{g}$ và chứa ${10}^8$ tế bào.

Hướng đi:

• Chia khối lượng thể tích đang xét cho số tế bào để tìm khối lượng trung bình mỗi tế bào.
• mỗi tế bào bằng liều hấp thụ nhân khối lượng ấy, rồi đổi đơn vị theo hệ số đề cho.

Khối lượng trung bình mỗi tế bào là

$$m_{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}=\frac{{10}^{-3}}{{10}^8}={10}^{-11}\mathrm{kg}.$$

trung bình mỗi phần cho tế bào bằng $2,0\times {10}^{-11}\mathrm{J}$. Đổi đơn vị cho $1,2\times {10}^8\mathrm{eV}$, tức $120\mathrm{MeV}$.

Chọn (c). Đây là trung bình tổng hợp trên một tế bào trong mỗi phần của mô hình, không phải năng lượng một .

Bài tập 38: 42

Electron Compton hoặc tương tác với các phân tử, chủ yếu là nước, và gây một chuỗi ion hóa. Nếu mỗi lần ion hóa cần khoảng $40\mathrm{eV}$, một do máy gia tốc trong đoạn thông tin phát ra có thể tạo tối đa khoảng bao nhiêu lần ion hóa trong mô?

• (a) $100$.
• (b) $1000$.
• (c) ${10}^4$.
• (d) ${10}^5$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: là $4\times {10}^6\mathrm{eV}$, còn năng lượng cần cho mỗi ion hóa lấy bằng $40\mathrm{eV}$.

Hướng đi:

• Lấy tổng sẵn có chia năng lượng mỗi sự kiện để ước lượng số tối đa.
• Đây là giới hạn lý tưởng nếu toàn bộ cuối cùng được dùng cho những lần ion hóa đang tính.

Ta có

$$N_{max}=\frac{4\times {10}^6}{40}={10}^5.$$

Chọn (d). Những cơ chế mất khác có thể làm số ion hóa thực nhỏ hơn ước lượng cực đại này.

Bài tập 38: 43

cao có thể từ electron trong mô. Electron nhận năng lượng lớn nhất khi photon bị tán xạ ngược. Với năng lượng photon trong đoạn thông tin, năng lượng lớn nhất electron có thể nhận là bao nhiêu?

• (a) $3,8\mathrm{MeV}$.
• (b) $2,0\mathrm{MeV}$.
• (c) $0,40\mathrm{MeV}$.
• (d) $0,23\mathrm{MeV}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: tới có $E=4\mathrm{MeV}$, electron được mô hình hóa tự do ban đầu đứng yên, và $\varphi ={180}^{\circ }$. electron xấp xỉ $E_e=\mathrm{0,511}\mathrm{MeV}$.

Hướng đi:

• Dùng quan hệ Compton theo để tính năng lượng còn lại.
• Electron nhận phần mất, không phải toàn bộ năng lượng photon vì photon tán xạ vẫn tồn tại.

Với tán xạ ngược,

$$\begin{array}{rl}{E}^{\prime }& =\frac{E}{1+2E/E_e}\\ & \approx \mathrm{0,240}\mathrm{MeV}.\end{array}$$

Động năng electron là $K=E-E^{\prime }\approx 3,76\mathrm{MeV}$. Chọn (a), giá trị làm tròn $3,8\mathrm{MeV}$.

Giá trị gần $0,24\mathrm{MeV}$ thuộc sau tán xạ, không phải phần electron nhận.

Bài tập 38: 44

Xác suất tương tác quang điện và Compton phụ thuộc . Dùng Hình P38.44 để chọn mô tả phù hợp nhất cho photon từ máy gia tốc trong mô hình đoạn thông tin.

Hình P38.44: Đồ thị xác suất tương đối của hai cơ chế Compton và quang điện theo năng lượng photon.

Chú thích:

• Năng lượng photon (MeV) (Photon energy (MeV))
• Xác suất tương đối (Relative probability)
• Tán xạ Compton (Compton)
• Hiệu ứng quang điện (Photoelectric)

• (a) Chỉ qua Compton.
• (b) Chủ yếu qua quang điện cho đến khi mất phần lớn , rồi chủ yếu qua Compton.
• (c) Chủ yếu qua Compton cho đến khi mất phần lớn , rồi chủ yếu qua quang điện.
• (d) Compton và quang điện đóng góp bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: ban đầu ở vùng vài MeV. Hình cho hai đường xác suất tương đối của các cơ chế được xét.

Hướng đi:

• So độ cao hai đường tại ban đầu.
• Theo sự dịch chuyển sang trái của sau các tương tác để nhận ra cơ chế chiếm ưu thế khi năng lượng đã giảm.

Ở vùng ban đầu của bài, đường Compton nằm trên đường quang điện. Khi giảm năng lượng đủ nhiều, đường quang điện vượt lên.

Chọn (c). Không chọn (a), vì đường quang điện không đồng nhất bằng không và có thể chiếm ưu thế ở thấp. Cũng không chọn (d), vì hai đường chỉ có thể giao ở một vùng chuyển tiếp, không bằng nhau trên toàn miền.

Kết luận này thuộc đồ thị hai cơ chế của bài. Nó không phải một mô tả đầy đủ mọi tương tác có thể có của cao với mọi vật liệu.

Bài tập 38: 45

Muốn do máy gia tốc trong mô hình có cao hơn, thay đổi nào phù hợp?

• (a) Tăng số electron đập vào bia tungsten.
• (b) Gia tốc electron qua hiệu điện thế lớn hơn.
• (c) Thực hiện cả (a) và (b).
• (d) Không có cách nào trong hai thay đổi ấy.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần tăng riêng lẻ hoặc giới hạn năng lượng của phổ, không chỉ tăng số photon.

Hướng đi:

• Động năng electron do điện trường cung cấp là $e\mathrm{\Delta }V$.
• Giới hạn do động năng electron đặt ra. Số electron mỗi giây chủ yếu ảnh hưởng thông lượng và công suất.

Chọn (b). Điện thế gia tốc lớn hơn cho electron cao hơn, nên có thể phát năng lượng cao hơn khi bị hãm.

Tăng riêng số electron không làm mỗi electron có thêm động năng. Vì vậy, nó không tự nâng giới hạn , dù có thể tăng số photon và tổng công suất bức xạ.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 38, trang 1273–1278.