Năng lượng của tụ và điện trường

Tụ được nạp bằng cách tách điện tích trái dấu và đặt chúng lên hai khác nhau. Công cần để làm việc ấy trở thành điện. Khi tụ phóng điện, lực điện có thể sinh công và giải phóng phần năng lượng đã tích trữ.

Công nạp tăng dần theo điện tích

Gọi Q,V là điện tích và điện áp cuối quá trình nạp. Ở một thời điểm trung gian, tụ có điện tích q và điện áp v = q/C. Chuyển thêm dq từ bản này sang bản kia cần công:

$$dW=vdq=\frac{q}{C}dq.$$

Điện áp không cố định bằng giá trị cuối trong toàn quá trình. từ q = 0 đến Q cho:

$$\begin{array}{rl}W& =\frac{1}{C}{\int }_0^{Q}qdq\\ & =\frac{Q^2}{2C}.\end{array}$$

(24.8)

Khi phóng điện từ Q về không, từng phần điện tích đi qua điện áp giảm dần từ V về không. Tổng công lực điện có thể sinh cũng bằng biểu thức này.

Chọn tụ chưa nạp có U = 0. Dùng Q = CV, ba dạng tương đương của là:

$$\begin{array}{rl}U& =\frac{Q^2}{2C}\\ & =\frac{1}{2}C{V}^2\\ & =\frac{1}{2}QV.\end{array}$$

(24.9)

Q đo bằng coulomb, C bằng farad, V bằng volt thì U bằng joule. Dạng QV/2 còn cho thấy công nạp bằng tổng điện tích nhân điện áp trung bình V/2 trong quá trình tăng điện tích tuyến tính theo điện áp.

Tụ tương tự một lò xo kéo giãn có κx²/2. Điện tích Q đóng vai trò độ giãn x, còn 1/C đóng vai trò độ cứng κ. Nạp tụ tương tự sinh công để kéo lò xo.

Giữ điện áp hay giữ điện tích cho hai so sánh khác nhau. Ở cùng V, C lớn hơn cho cả Q và U lớn hơn. Nếu cần chuyển cùng một Q giữa hai , công Q²/(2C) nhỏ hơn khi C lớn hơn. Vì vậy lớn giúp giữ nhiều điện tích ở cùng điện áp, đồng thời giảm công cần để đạt một điện tích cho trước.

Lời giải: Trở lại câu hỏi đèn flash

Tụ giữ nguyên . Tăng Q gấp đôi làm Q² tăng gấp bốn, nên tăng 4 lần, chọn (iv). Không dùng U tỷ lệ Q ở điện áp cố định vì trong câu hỏi này điện áp cũng tăng theo Q.

Ứng dụng: Tích trữ và giải phóng năng lượng

Trong đèn flash, nhấn chụp tạo đường dẫn từ bản này qua ống flash tới bản kia. tụ được chuyển nhanh thành một chớp sáng ngắn và mạnh.

Máy Z tại Phòng thí nghiệm Quốc gia Sandia, New Mexico, dùng một bộ nhiều tụ trong thí nghiệm về nhiệt hạch có kiểm soát. Cấu hình được xét giải phóng hơn một triệu joule trong thời gian cỡ vài phần tỷ giây, cho công suất tức thời cỡ $2.9\times {10}^{14}$ W. Phép so sánh dùng tổng công suất các nhà máy điện làm mốc cho giá trị khoảng 80 lần. Đây là công suất trong khoảng thời gian xung rất ngắn, không phải công suất được duy trì liên tục.

Hình 24.11: Bộ tụ song song của máy Z phóng năng lượng vào mục tiêu nhỏ

Mắc nhiều tụ song song làm tương đương lớn, nên ở điện áp cho trước có thể tích trữ lớn. Trong cấu hình minh họa, hồ quang xuất hiện khi năng lượng được dồn vào một mục tiêu cỡ cuộn chỉ, làm nhiệt độ mục tiêu vượt $2\times {10}^9$ K.

Ở ứng dụng khác, tụ giải phóng chậm hơn. Lò xo hệ treo xe hấp thụ năng lượng của va đập rồi trả dần. Tương tự, tụ trong mạch có thể làm dịu những biến thiên điện áp do xung nguồn. Các mạch ấy được xét ở chương 26.

Năng lượng nằm trong điện trường

Chuyển electron giữa hai bản đòi hỏi công chống trong khe. Vì vậy có thể diễn tả là năng lượng của điện trường. Với tụ phẳng diện tích A, khe d, thể tích khe là Ad. Mật độ năng lượng là năng lượng trên mỗi đơn vị thể tích:

$$\begin{array}{rl}u& =\frac{U}{Ad}\\ & =\frac{C{V}^2}{2Ad}.\end{array}$$

(24.10)

Thay C = ${\epsilon }_0$A/d và V = Ed. Các yếu tố hình học triệt tiêu:

$$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2.$$

(24.11)

Ta vừa suy công thức bằng tụ phẳng, nhưng kết quả còn đúng cho mọi cấu hình trong chân không. Chân không không có vật chất vẫn có thể chứa điện trường và . Công thức này sẽ được dùng khi tính năng lượng sóng điện từ ở chương 32.

là cách diễn tả thế năng điện đã xét. Không cộng thêm nó vào năng lượng tương tác các nguồn như thể đó là hai phần khác nhau. Có thể gán năng lượng cho toàn hệ điện tích hoặc cho điện trường do hệ tạo ra. Hai cách tính cùng một năng lượng.

Ví dụ 24.7: Chia sẻ điện tích giữa hai tụ

Nạp C₁ = 8,0 µF đến V₀ = 120 V rồi ngắt nguồn. C₂ = 4,0 µF ban đầu chưa nạp. Công tắc S đang mở. Tìm (a) điện tích đầu, (b) đầu, (c) điện áp và điện tích từng tụ sau khi đóng S để hai tụ song song và đạt trạng thái ổn định, (d) năng lượng cuối.

Hình 24.12: Công tắc nối hai bản trên với nhau và hai bản dưới với nhau

Phần giữa của công tắc là tay cầm cách điện. Điện tích chỉ chạy giữa hai cực trên hoặc giữa hai cực dưới, không chạy qua tay cầm nối tắt hai phía tụ.

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Khi nguồn đã ngắt, tổng điện tích ở nhóm bản trên được bảo toàn, tương tự nhóm bản dưới. Đóng S làm hai tụ song song, nên cuối cùng cùng điện áp V.

$$\begin{array}{rl}{Q}_0& =C_1{V}_0=960\mu \mathrm{C},\\ U_0& =\frac{1}{2}{C}_1{V}_0^2\\ & =0.0576\mathrm{J}.\end{array}$$

Đặt Q₁,Q₂ là độ lớn điện tích cuối từng tụ. Ba quan hệ Q₁ + Q₂ = Q₀, Q₁ = C₁V, Q₂ = C₂V cho:

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{Q_0}{C_1+C_2}=80\mathrm{V},\\ Q_1& =640\mu \mathrm{C},\\ Q_2& =320\mu \mathrm{C},\\ U_f& =\frac{1}{2}{Q}_{1}V+\frac{1}{2}{Q}_{2}V\\ & =\frac{1}{2}{Q}_{0}V\\ & =0.0384\mathrm{J}.\end{array}$$

đầu xấp xỉ 0,058 J, cuối xấp xỉ 0,038 J theo độ chính xác dữ kiện.

Đánh giá. Điện tích bảo toàn nhưng còn trong hai tụ giảm. Phần chênh 0,0192 J chuyển thành nhiệt trong điện trở dây và có thể thành bức xạ điện từ khi dòng thay đổi. Không đặt bảo toàn riêng năng lượng hai tụ trong quá trình nối chúng rồi bỏ qua các dạng năng lượng ấy.

Ví dụ 24.8: Năng lượng trên mỗi mét khối

(a) Cần trường có độ lớn bao nhiêu để chứa 1,00 J trong 1,00 m³ chân không? (b) Nếu trường mạnh gấp 10 thì trên mỗi mét khối bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Mật độ cần đạt là 1,00 J/m³. Giải (24.11) theo E:

$$E=\sqrt{2u/{\epsilon }_0}=4.75\times {10}^5\mathrm{V}/\mathrm{m}.$$

Tăng E gấp 10 làm E² gấp 100, nên mật độ cuối là 100 J/m³.

Đánh giá. Không khí khô chịu được trường cỡ $3\times {10}^6$ V/m trước khi đánh thủng. Một số chất cách điện có thể chịu trường cao hơn. Các ngưỡng phụ thuộc vật liệu và điều kiện, được xét ở mục 24.4.

Ví dụ 24.9: Hai cách tìm năng lượng tụ cầu

Tụ cầu ở Ví dụ 24.3 có hai mặt bán kính rₐ,rᵦ và điện tích ±Q. Tìm (a) từ , (b) từ .

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Trong mô hình cầu đồng tâm này, trường chỉ khác không trong khe rₐ < r < rᵦ. Trong hốc và vật liệu dẫn trường bằng không. Ngoài tụ, mặt Gauss bao tổng điện tích không và đối xứng cho trường không. Hai cách phải cho cùng một .

(a) Dùng tụ cầu:

$$\begin{array}{rl}C& =4\pi {\epsilon }_0{r}_a{r}_b/(r_b-r_a),\\ U& =Q^2/(2C)\\ & =\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}).\end{array}$$

(b) Trong khe E = Q/(4π${\epsilon }_0$r²). Do đó:

$$u(r)=\frac{Q^2}{32{\pi }^2{\epsilon }_0{r}^4}.$$

Mật độ không đều mà giảm theo r⁻⁴. Chia khe thành các lớp cầu, mỗi lớp có thể tích $d\mathcal{V}=4\pi r^{2}dr$:

$$\begin{array}{rl}U& =\int ud\mathcal{V}\\ & =\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0}{\int }_{r_a}^{r_b}\frac{dr}{r^2}\\ & =\frac{Q^2}{8\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}).\end{array}$$

Đánh giá. Hai cách trùng nhau. Một cách xét công đặt điện tích lên hai mặt, cách kia xét trường ở từng điểm rồi toàn vùng có trường.

Bài tập: Câu hỏi ôn lại mục 24.3

Mắc hai tụ 4 µF, 8 µF theo cách nào để tụ 4 µF giữ lớn hơn tụ 8 µF? (i) Nối tiếp, (ii) song song, (iii) cả hai cách, hoặc (iv) không cách nào?

Lời giải: Giải thích

Chọn (i). Nối tiếp giữ cùng Q, nên U = Q²/(2C) lớn hơn ở tụ nhỏ. Song song giữ cùng V, nên U = CV²/2 lớn hơn ở tụ lớn. Có thể dùng bất kỳ dạng tương đương nào của U, nhưng phải tính đúng điện áp hoặc điện tích thực của mỗi tụ, không tự coi cả Q lẫn V đều giống nhau.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 24.3, trang 790–793.