Bản chất của ánh sáng là gì? Câu hỏi này đã thách thức nhận thức của nhân loại suốt nhiều thế kỷ. Tuy nhiên, câu trả lời toàn diện chỉ thực sự xuất hiện khi các hiện tượng điện và từ được thống nhất thành thuyết điện từ học qua hệ phương trình Maxwell.

Hệ phương trình chỉ ra rằng: Một biến thiên theo thời gian đóng vai trò là nguồn sinh ra xoáy, và ngược lại, một điện trường biến thiên theo thời gian cũng là nguồn sinh ra từ trường xoáy. Hai trường $\overrightarrow{E}$ và $\overrightarrow{B}$ này liên tục tương hỗ và duy trì lẫn nhau, tạo thành một thực thể lan truyền trong không gian. Ánh sáng nhìn thấy phát ra từ dây tóc bóng đèn nóng sáng là một ví dụ quen thuộc về sóng điện từ. Bên cạnh đó, sóng điện từ còn tồn tại dưới nhiều dạng khác nhau: Sóng vô tuyến từ các trạm phát Wi-Fi, tia X trong thiết bị chẩn đoán y tế, hay tia gamma phát ra từ các hạt nhân phóng xạ.

Trong chương này, ta sử dụng hệ phương trình Maxwell làm nền tảng lý thuyết để khảo sát bản chất của . Chúng ta sẽ thấy rằng sóng điện từ mang theo cả và . Đối với sóng điện từ hình sin, các trường $\overrightarrow{E}$ và $\overrightarrow{B}$ biến thiên điều hòa theo không gian và thời gian với và tần số xác định. Ánh sáng nhìn thấy, sóng vô tuyến, tia X và các bức xạ điện từ khác chỉ khác nhau ở tần số và bước sóng. Việc nghiên cứu quang học trong các chương tiếp theo sẽ dựa trên chính bản chất sóng điện từ này của ánh sáng.

Khác với sóng cơ học trên dây đàn hay sóng âm trong chất lưu, không cần môi trường vật chất để lan truyền. Ánh sáng từ các ngôi sao xa xôi vẫn truyền qua hàng chục hoặc hàng trăm năm ánh sáng của không gian liên sao gần như chân không để đến mắt chúng ta. Dù vậy, sóng điện từ và sóng cơ học có rất nhiều điểm tương đồng sâu sắc và được mô tả bằng cùng một ngôn ngữ toán học.

Ứng dụng mở đầu: Sóng điện từ bao gồm ánh sáng nhìn thấy, sóng vô tuyến và các bức xạ lan truyền qua không gian.

Câu hỏi mở đầu

Các vật thể bằng kim loại không chỉ phản xạ ánh sáng nhìn thấy mà còn phản xạ rất tốt sóng vô tuyến. Nguyên nhân vật lý cốt lõi là do tại bề mặt kim loại dẫn điện:

(i) Thành phần song song với bề mặt phải bằng không.

(ii) Thành phần vuông góc với bề mặt phải bằng không.

(iii) Thành phần song song với bề mặt phải bằng không.

(iv) Thành phần vuông góc với bề mặt phải bằng không.

(v) Nhiều hơn một trong các điều kiện trên.

Xem đáp án và giải thích

Chọn (i). Kim loại có tính phản xạ cao vì chúng là các vật dẫn điện rất tốt. Khi truyền tới bề mặt vật dẫn, thành phần của sóng làm dịch chuyển các electron tự do, tạo nên dòng điện cảm ứng trên bề mặt và chính dòng này phát ra sóng phản xạ ngược trở lại. Đối với một vật dẫn lý tưởng, điều kiện biên điện từ đòi hỏi thành phần điện trường tiếp tuyến (song song) với bề mặt phải triệt tiêu. Điều kiện này dẫn tới việc sóng phản xạ có cường độ lớn tương đương sóng tới. Các bề mặt kim loại bị xỉn màu phản xạ kém hơn do lớp oxit bên ngoài dẫn điện kém. Khi đánh bóng bề mặt, ta loại bỏ lớp oxit này và làm lộ ra lớp kim loại dẫn điện tốt.

Mục tiêu học tập

• 32.1: Phân tích cơ chế hình thành và bức xạ từ điện tích dao động.
• 32.2: Chứng minh và giải thích mối liên hệ giữa vận tốc ánh sáng với các hằng số điện, từ cơ bản.
• 32.3: Mô tả toán học sự lan truyền của hình sin trong chân không và trong môi trường vật chất.
• 32.4: Xác định , và do truyền đi.
• 32.5: Khảo sát sự hình thành và tính chất của dừng.

Kiến thức cần ôn lại

• ở mục 8.1.
• Sóng truyền và sóng dừng trên dây ở mục 15.3 và 15.7.
• Sóng âm dừng ở mục 16.4.
• trong vật dẫn ở mục 23.4.
• Mật độ và độ điện thẩm của chất điện môi ở mục 24.3, 24.4.
• của điện tích chuyển động và độ từ thẩm của chất từ ở mục 28.1, 28.8.
• và hệ phương trình Maxwell ở mục 29.2, 29.7.
• Mật độ và mạch dao động LC ở mục 30.3, 30.5.

5 chủ đề · tổng cộng khoảng 15 phút đọc

Trường, năng lượng và sự phản xạ của sóng điện từ

1. 1Maxwell và nguồn sóng điện từVì sao hai trường biến thiên có thể truyền trong chân không?Khoảng 3 phút
2. 2Sóng phẳng và tốc độ ánh sángCác phương trình trường quyết định tốc độ và hướng truyền như thế nào?Khoảng 3 phút
3. 3Sóng hình sin và môi trường vật chấtBiên độ, pha, bước sóng và vật liệu liên hệ ra sao?Khoảng 3 phút
4. 4Năng lượng, động lượng và áp suất bức xạSóng mang công suất và tạo lực lên vật nhận như thế nào?Khoảng 3 phút
5. 5Sóng đứng và hốc cộng hưởngPhản xạ tạo nút, bụng và các tần số riêng nào?Khoảng 3 phút

Tổng kết chương

Phương trình Maxwell và sóng điện từ

Hệ phương trình Maxwell dự đoán sự tồn tại của lan truyền trong chân không với tốc độ bằng tốc độ ánh sáng $c$. trải rộng ít nhất từ $1\mathrm{Hz}$ đến ${10}^{24}\mathrm{Hz}$ cùng dải tương ứng. Ánh sáng khả kiến với bước sóng từ $380\mathrm{nm}$ đến $750\mathrm{nm}$ chỉ chiếm một dải hẹp trong phổ này.

Trong sóng phẳng, $\overrightarrow{E}$ và $\overrightarrow{B}$ đồng nhất trên mọi mặt phẳng vuông góc với phương truyền sóng. và định luật Ampere thiết lập mối quan hệ độ lớn giữa hai trường. Điều kiện đồng thời thỏa mãn cả hai định luật cho biểu thức tốc độ ánh sáng theo hằng số điện và hằng số từ.

Một sóng phẳng chạy trong chân không là sóng ngang: $\overrightarrow{E}$ và $\overrightarrow{B}$ vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng. Hướng lan truyền của sóng được xác định bởi $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$.

Tổng kết 32.1: Sóng điện từ phẳng lan truyền trong chân không có các vector trường vuông góc với nhau và vuông góc với phương truyền sóng.

Chú thích:

• Mặt sóng phẳng (Planar wave front)

Quan hệ giữa các đại lượng trường trong chân không:

$$\begin{array}{rl}E& =cB,\\ B& ={ϵ}_0{\mu }_{0}cE,\\ c& =\frac{1}{\sqrt{{ϵ}_0{\mu }_0}}\end{array}$$

Sóng điện từ hình sin

hình sin lan truyền trong chân không theo chiều dương trục $x$ được mô tả bởi các hàm sóng:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}(x,t)& =\hat{ȷ}{E}_{max}\times \cos (kx-\omega t),\\ \overrightarrow{B}(x,t)& =\hat{k}{B}_{max}\times \cos (kx-\omega t),\\ E_{max}& =c{B}_{max}\end{array}$$

Nếu sóng truyền theo chiều âm trục $x$, $kx-\omega t$ được thay bằng $kx+\omega t$. Đồng thời phải đảo dấu tương đối giữa hai vector trường. Chẳng hạn, khi hướng $+y$, phải hướng $-z$ để chỉ theo $-x$.

Tổng kết 32.2: Sóng điện từ hình sin lan truyền theo chiều dương trục x với điện trường phân cực theo trục y và từ trường dao động theo trục z.

Biên độ và biên độ của sóng phẳng chạy trong chân không luôn liên hệ chặt chẽ qua tốc độ ánh sáng $c$.

Sóng điện từ trong vật chất

Khi lan truyền qua môi trường điện môi tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng, không tổn hao và được coi không tán sắc ở đang xét, tốc độ pha $v$ của sóng được xác định bởi:

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{1}{\sqrt{ϵ\mu }}\\ & =\frac{1}{\sqrt{K{K}_{\mathrm{m}}}}\frac{1}{\sqrt{{ϵ}_0{\mu }_0}}\\ & =\frac{c}{\sqrt{K{K}_{\mathrm{m}}}}\end{array}$$

Trong đó $K=ϵ/{ϵ}_0$ là hằng số điện môi và $K_{\mathrm{m}}=\mu /{\mu }_0$ là độ từ thẩm tương đối của môi trường. Với phần lớn chất điện môi không từ tính thông thường, $K>1$ và $K_{\mathrm{m}}\approx 1$ nên tốc độ truyền sóng nhỏ hơn tốc độ ánh sáng trong chân không ($v<c$).

Năng lượng và động lượng trong sóng điện từ

Tốc độ truyền trên một đơn vị diện tích của trong chân không được biểu diễn bởi $\overrightarrow{S}$:

$$\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$$

$I$ là độ lớn của trung bình theo thời gian: $I=|⟨\overrightarrow{S}⟩|=S_{\text{av}}$. Đối với sóng hình sin:

$$\begin{array}{rl}I& =S_{\text{av}}\\ & =\frac{E_{max}{B}_{max}}{2{\mu }_0}\\ & =\frac{E_{max}^2}{2{\mu }_{0}c}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}}{E}_{max}^2\\ & =\frac{1}{2}{ϵ}_{0}c{E}_{max}^2\end{array}$$

cũng mang . Tốc độ truyền động lượng trên một đơn vị diện tích là:

$$\frac{1}{A}\frac{dp}{dt}=\frac{S}{c}=\frac{EB}{{\mu }_{0}c}$$

Tổng kết 32.3: Năng lượng điện từ truyền qua tiết diện A trong thời gian dt được xác định bởi vector Poynting S.

Chú thích:

• Mặt phẳng cố định (Stationary plane)
• Mặt sóng tại thời điểm dt sau đó (Wave front at time dt later)

Khi sóng đập vào một bề mặt vuông góc với phương truyền, sóng tác dụng một $p_{\text{rad}}$:

Đối với bề mặt hấp thụ hoàn toàn:

$$\begin{array}{rl}{p}_{\text{rad}}& =\frac{S_{\text{av}}}{c}\\ & =\frac{I}{c}\end{array}$$

Đối với bề mặt phản xạ hoàn toàn:

$$\begin{array}{rl}{p}_{\text{rad}}& =\frac{2S_{\text{av}}}{c}\\ & =\frac{2I}{c}\end{array}$$

Sóng dừng điện từ

Nếu đặt một bề mặt dẫn điện lý tưởng tại vị trí $x=0$, sóng tới và sóng phản xạ giao thoa tạo thành :

$$\begin{array}{rl}{E}_y(x,t)& =-2E_{max}\times \sin kx\sin \omega t,\\ B_z(x,t)& =-2B_{max}\times \cos kx\cos \omega t\end{array}$$

Các mặt phẳng nút của $\overrightarrow{E}$ xuất hiện tại $kx=0,\pi ,2\pi ,\dots$ tương ứng với $x=0,\lambda /2,\lambda ,\dots$

Các mặt phẳng nút của $\overrightarrow{B}$ xuất hiện tại $kx=\pi /2,3\pi /2,5\pi /2,\dots$ tương ứng với $x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,\dots$

Tổng kết 32.4: Mặt phẳng dẫn điện lý tưởng tạo sóng dừng với nút điện trường và bụng từ trường tại bề mặt phản xạ.

Chú thích:

• Mặt phản xạ dẫn điện lý tưởng (Perfect conductor)

Tại những điểm có cả hai biên độ khác không, dao động của và lệch nhau ${90}^{\circ }$ theo thời gian. trung bình (độ lớn trung bình theo thời gian) trong sóng dừng triệt tiêu tại mọi điểm: $I=|⟨\overrightarrow{S}⟩|=S_{\text{av}}=0$.

Trong hộp cộng hưởng hai thành dẫn song song cách nhau khoảng cách $L$, các mode dao động riêng có và tần số gián đoạn:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_n& =\frac{2L}{n},\\ f_n& =n\frac{c}{2L}(n=1,2,3,\dots )\end{array}$$

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 32, trang 1048–1076.

Luyện tập có hướng dẫn

Trường của sóng và sự truyền trong vật liệu

Ôn Ví dụ 32.1–32.2 trước khi giải bốn bài sau. Phân biệt biên độ với giá trị tức thời, và xác định hướng truyền bằng của hai trường.

Bài tập: VP32.2.1

Một hình sin trong chân không có biên độ $4,30\times {10}^{-3}\mathrm{T}$ và số sóng $2,50\times {10}^6\mathrm{rad}/\mathrm{m}$. Tại một vị trí và thời điểm, hướng theo $-y$, từ trường hướng theo $+x$.

(a) Tìm biên độ . (b) Tìm . (c) Tìm tần số. (d) Xác định hướng truyền.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $B_{max}$, $k$ và hướng tức thời của hai trường. Cần tìm $E_{max}$, $\lambda$, $f$ và hướng truyền.

Hướng đi:

• Dùng $E_{max}=c{B}_{max}$ vì sóng truyền trong chân không.
• Dùng $k=2\pi /\lambda$ và $f=c/\lambda$ vì số sóng mô tả tốc độ thay đổi theo vị trí.
• Dùng $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ vì tích này cho hướng dòng của sóng chạy.

(a) Biên độ :

$$E_{max}=c{B}_{max}=1,29\times {10}^6\mathrm{V}/\mathrm{m}.$$

(b), (c) và tần số:

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{2\pi }{k}\\ & =2,51\times {10}^{-6}\mathrm{m},\\ f& =\frac{c}{\lambda }\\ & =1,19\times {10}^{14}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

(d) Với $\hat{\mathbf{x}}$, $\hat{\mathbf{y}}$, $\hat{\mathbf{z}}$ là các vector đơn vị dọc ba trục:

$$(-\hat{\mathbf{y}})\times \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{z}}.$$

Sóng truyền theo chiều dương trục $z$.

Bài tập: VP32.2.2

của một hình sin trong chân không có dạng sau. Đặt $\theta =ky-\omega t$:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}(y,t)& =\hat{\mathbf{x}}{E}_{max}\cos \theta ,\\ E_{max}& =2,45\times {10}^6\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ k& =6,50\times {10}^6\mathrm{rad}/\mathrm{m}.\end{array}$$

(a) Tìm . (b) Tìm tần số góc $\omega$. (c) Xác định hướng truyền. (d) Viết hàm sóng của .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Sóng có dọc $x$ và $ky-\omega t$. Các dữ kiện biên độ và số sóng đã cho.

Hướng đi:

• Dùng $\lambda =2\pi /k$ và $\omega =ck$ vì vận tốc trong chân không bằng $c$.
• Theo dõi mặt không đổi để xác định hướng truyền, vì dấu của số hạng thời gian quyết định chiều chuyển động của pha.
• Chọn hướng $\overrightarrow{B}$ để $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ cùng hướng truyền, rồi dùng $B_{max}=E_{max}/c$.

(a), (b):

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{2\pi }{k}\\ & =9,67\times {10}^{-7}\mathrm{m},\\ \omega & =ck\\ & =1,95\times {10}^{15}\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

(c) Trên một mặt , $ky-\omega t$ không đổi. Vì vậy $y$ tăng khi $t$ tăng, nên sóng truyền theo $+y$.

(d) Tích $\hat{\mathbf{x}}\times (-\hat{\mathbf{z}})=\hat{\mathbf{y}}$ cho hướng cần chọn. Hai trường cùng :

$$\begin{array}{rl}{B}_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =8,17\times {10}^{-3}\mathrm{T},\\ \overrightarrow{B}(y,t)& =-\hat{\mathbf{z}}{B}_{max}\times \cos (ky-\omega t).\end{array}$$

Khi hàm cosin âm, cả hai vector trường đổi chiều, còn hướng truyền vẫn giữ nguyên.

Bài tập: VP32.2.3

Một laser nha khoa phát hình sin truyền trong chân không theo $+x$, có $2,94\mu \mathrm{m}$. Tại $x=0$, $t=0$, hướng theo $+y$ và đạt biên độ $E_{max}=4,20\mathrm{MV}/\mathrm{m}$.

Tìm độ lớn và hướng của (a) tại $x=0$, $t=0$, (b) tại $x=1,85\mu \mathrm{m}$, $t=0$, (c) từ trường tại vị trí và thời điểm ở (b).

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết , hướng truyền và giá trị trường cực đại tại gốc. Cần giữ đúng dấu của hàm sóng ở vị trí mới.

Hướng đi:

• Chọn ban đầu bằng không vì tại gốc đạt cực đại dương.
• Dùng $k=2\pi /\lambda$ để tính ở vị trí mới.
• Dùng $B=E/c$ cho các thành phần có dấu, vì hai trường của sóng chạy cùng .

Đặt $\theta =kx-\omega t$. Hàm sóng có thể viết:

$$\begin{array}{rl}{E}_y(x,t)& =E_{max}\cos \theta ,\\ B_z(x,t)& =\frac{E_{max}}{c}\cos \theta .\end{array}$$

Hướng $+z$ của tại gốc bảo đảm $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ hướng theo $+x$.

(a):

$$B_z(0,0)=\frac{E_{max}}{c}=\mathrm{0,014}0\mathrm{T}.$$

có độ lớn $\mathrm{0,014}0\mathrm{T}$ và hướng theo $+z$.

(b) Với $x=1,85\mu \mathrm{m}$, $t=0$:

$$\begin{array}{rl}kx& =2\pi \frac{1,85}{2,94}\\ & =\mathrm{3,953}7\mathrm{rad},\\ E_y& =E_{max}\cos (kx)\\ & =-2,89\times {10}^6\mathrm{V}/\mathrm{m}.\end{array}$$

có độ lớn $2,89\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ và hướng theo $-y$.

(c):

$$B_z=\frac{E_y}{c}=-9,63\times {10}^{-3}\mathrm{T}.$$

có độ lớn $9,63\mathrm{mT}$ và hướng theo $-z$. Hai vector cùng đảo dấu nên vẫn hướng theo $+x$.

Bài tập: VP32.2.4

Ánh sáng của một bút laser đỏ có trong chân không $6,35\times {10}^{-7}\mathrm{m}$. Khi truyền vào vật liệu trong suốt có độ từ thẩm tương đối $1,00$, bước sóng giảm còn $3,47\times {10}^{-7}\mathrm{m}$.

Tìm (a) trong chân không, (b) tần số trong vật liệu, (c) vận tốc trong vật liệu và (d) hằng số điện môi của vật liệu.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết hai và ${\mu }_r=1$. Cần tìm tần số, vận tốc và ${\epsilon }_r$ tại tần số ánh sáng đang xét.

Hướng đi:

• Dùng $f=c/{\lambda }_0$ để xác định nguồn.
• Giữ qua mặt phân cách đứng yên, vì trường ở hai bên phải dao động đồng bộ theo thời gian.
• Dùng $v=f\lambda$ và $v=c/\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}$ cho mô hình vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng và tổn hao không đáng kể.

(a), (b):

$$\begin{array}{rl}{f}_0& =\frac{c}{{\lambda }_0}\\ & =4,72\times {10}^{14}\mathrm{Hz},\\ f_{\mathrm{m}}& =f_0.\end{array}$$

(c):

$$v=f_0{\lambda }_{\mathrm{m}}=1,64\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

(d) Vì ${\mu }_r=1$:

$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_r& ={\left(\frac{c}{v}\right)}^2\\ & ={\left(\frac{{\lambda }_0}{{\lambda }_{\mathrm{m}}}\right)}^2\\ & =3,35.\end{array}$$

Đây là hằng số điện môi tại đang xét, không nhất thiết bằng giá trị đo ở trạng thái tĩnh.

Năng lượng và công suất truyền

Ôn Ví dụ 32.3–32.4 trước khi giải bốn bài sau. Sóng có trường không đổi phía sau mặt sóng và sóng hình sin có cách lấy trung bình khác nhau.

Bài tập: VP32.4.1

Một không hình sin có và đồng đều như mô hình sóng phẳng có mặt sóng. Độ lớn là $11,0\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$.

(a) Tìm độ lớn và . (b) Tìm mật độ trong sóng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường trong vùng phía sau mặt sóng không đổi, với $S=11,0\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$.

Hướng đi:

• Dùng $S=EB/{\mu }_0$ và $E=cB$ vì đây là sóng phẳng trong chân không.
• Không dùng hệ số $1/2$ của trung bình sóng hình sin, vì trường đang xét có độ lớn không đổi.
• Dùng $S=uc$ để tìm mật độ .

(a):

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{E^2}{{\mu }_{0}c},\\ E& =\sqrt{{\mu }_{0}cS}\\ & =64,4\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B& =\frac{E}{c}\\ & =2,15\times {10}^{-7}\mathrm{T}.\end{array}$$

(b):

$$u=\frac{S}{c}=3,67\times {10}^{-8}\mathrm{J}/{\mathrm{m}}^3.$$

và đóng góp bằng nhau vào $u$.

Bài tập: VP32.4.2

Một sóng hình sin trong chân không có hai trường:

$$\begin{array}{rl}{E}_y& =E_{max}\cos (kx-\omega t),\\ B_z& =B_{max}\cos (kx-\omega t).\end{array}$$

Tìm tại (a) $x=0$, $t=0$, (b) $x=\lambda /4$, $t=0$, (c) $x=\lambda /4$, $t=\pi /(4\omega )$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Sóng truyền theo $+x$, cần tính dòng tức thời ở ba cặp vị trí và thời điểm.

Hướng đi:

• Nhân hai trường qua $\overrightarrow{S}=(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})/{\mu }_0$, vì đề hỏi giá trị tức thời.
• Dùng $k\lambda =2\pi$ để thay vị trí vào .

Đặt $S_0=E_{max}{B}_{max}/{\mu }_0$. Khi đó:

$$\overrightarrow{S}=\hat{\mathbf{x}}{S}_0{\cos }^2(kx-\omega t).$$

(a) bằng không:

$$\overrightarrow{S}(0,0)=\hat{\mathbf{x}}{S}_0.$$

(b) bằng $\pi /2$:

$$\overrightarrow{S}(\lambda /4,0)=\overrightarrow{0}.$$

(c) bằng $\pi /2-\pi /4=\pi /4$:

$$\overrightarrow{S}=\frac{S_0}{2}\hat{\mathbf{x}}.$$

không đảo chiều khi hai trường cùng đổi dấu.

Bài tập: VP32.4.3

Một đài trên mặt đất phát sóng vô tuyến hình sin đều theo mọi hướng trong bán cầu phía trên. Máy bay ở ngay trên đài, cao $12,5\mathrm{km}$, đo được biên độ $\mathrm{0,360}\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

(a) Tìm biên độ và tại máy bay. (b) Tìm tổng công suất phát của đài.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn phát đều trên bán cầu, khoảng cách đến máy bay là $r=12,5\mathrm{km}$.

Hướng đi:

• Dùng $B_{max}=E_{max}/c$ và cường độ trung bình của sóng hình sin.
• Nhân cường độ với diện tích bán cầu $2\pi r^2$, vì nguồn chỉ phát vào nửa không gian đã nêu.

(a):

$$\begin{array}{rl}{B}_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =1,20\times {10}^{-9}\mathrm{T},\\ I& =\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2\\ & =1,72\times {10}^{-4}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

(b):

$$P=I(2\pi r^2)=1,69\times {10}^5\mathrm{W}.$$

Nếu thay bán cầu bằng mặt cầu thì công suất sẽ bị nhân sai thêm hai lần.

Bài tập: VP32.4.4

Mặt Trời phát ánh sáng đều theo mọi hướng, được mô hình hóa bằng sóng hình sin. Khoảng cách đến Trái Đất là $1,50\times {10}^{11}\mathrm{m}$. Cường độ ánh sáng ở đỉnh khí quyển là $1,36\mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2$.

(a) Tìm biên độ và tại đỉnh khí quyển. (b) Tìm tổng công suất bức xạ của Mặt Trời.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết cường độ trung bình $I$ trên mặt cầu bán kính bằng khoảng cách đến Trái Đất.

Hướng đi:

• Giải $I={\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2/2$ vì dữ kiện là cường độ trung bình.
• Dùng $P=4\pi r^{2}I$ vì bức xạ phân bố trên toàn mặt cầu.

(a):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =1,01\times {10}^3\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =3,38\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

(b):

$$P=4\pi r^{2}I=3,85\times {10}^{26}\mathrm{W}.$$

Sóng đứng điện từ

Ôn Ví dụ 32.6–32.7 trước khi giải bốn bài sau. Trong sóng đứng, hai trường vuông theo thời gian và các mặt nút của chúng lệch nhau một phần tư bước sóng.

Bài tập: VP32.7.1

Xét sóng đứng:

$$\begin{array}{rl}{E}_y(x,t)& =-2E_{max}\sin (kx)\times \sin (\omega t),\\ B_z(x,t)& =-2B_{max}\cos (kx)\times \cos (\omega t).\end{array}$$

(a) Tìm độ lớn lớn nhất của ở mọi vị trí và thời điểm. Tìm vector Poynting tại $x=\lambda /8$ ở các thời điểm (b) $t=0$, (c) $t=\pi /(3\omega )$, (d) $t=3\pi /(4\omega )$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biên độ $E_{max}$ và $B_{max}$ thuộc mỗi sóng thành phần, còn các trường tổng có hệ số hai.

Hướng đi:

• Dùng để giữ dấu dòng , vì sóng đứng trao đổi năng lượng theo cả hai chiều.
• Dùng $\sin 2a=2\sin a\cos a$ để tách hệ số vị trí và thời gian.

Đặt $S_0=E_{max}{B}_{max}/{\mu }_0$. Tích hai trường cho:

$$\begin{array}{rl}{S}_x& =4S_0\sin (kx)\cos (kx)\times \sin (\omega t)\cos (\omega t)\\ & =S_0\sin (2kx)\sin (2\omega t).\end{array}$$

(a) Hai hàm sin cùng có độ lớn tối đa bằng một, nên:

$$|\overrightarrow{S}{|}_{max}=S_0.$$

Tại $x=\lambda /8$, ta có $\sin (2kx)=1$. Do đó:

$$\begin{array}{rl}\text{(b)}\overrightarrow{S}& =\overrightarrow{0},\\ \text{(c)}\overrightarrow{S}& =\frac{\sqrt{3}}{2}{S}_0\hat{\mathbf{x}},\\ \text{(d)}\overrightarrow{S}& =-S_0\hat{\mathbf{x}}.\end{array}$$

Hai kết quả cuối cho hai chiều chuyển đối lập. Trung bình của vector qua cả chu kỳ bằng không, dù giá trị tức thời có thể khác không.

Bài tập: VP32.7.2

Trong một , biên độ tại mặt vật dẫn là $1,20\times {10}^{-7}\mathrm{T}$. Mặt nút từ trường gần vật dẫn nhất cách vật dẫn $3,60\mathrm{mm}$.

(a) Tìm . (b) Tìm tần số. (c) Tìm biên độ ở mặt nút đầu tiên.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt vật dẫn là bụng và nút . Khoảng cách đến nút từ trường đầu tiên bằng $\lambda /4$.

Hướng đi:

• Dùng cấu trúc nút, bụng để suy từ khoảng cách đã đo.
• Dùng $f=c/\lambda$.
• Phân biệt biên độ của trường tổng với biên độ của từng sóng chạy, vì tại tường bằng $2B_{max}$.

(a), (b):

$$\begin{array}{rl}\lambda & =4(3,60\mathrm{mm})\\ & =14,4\mathrm{mm},\\ f& =\frac{c}{\lambda }\\ & =2,08\times {10}^{10}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

(c) Ở nút đầu tiên, đạt bụng. Biên độ này là $2E_{max}$, trong khi biên độ từ trường tại tường là $2B_{max}$. Tỉ số vẫn bằng $c$:

$$E_{\max }=c{B}_{\mathrm{wall}}=36,0\mathrm{V}/\mathrm{m}.$$

Đây là quan hệ giữa hai biên độ tại hai vị trí khác nhau. Không áp dụng $E=cB$ cho hai giá trị tức thời tại cùng điểm của sóng đứng.

Bài tập: VP32.7.3

Một hốc có hai mặt dẫn song song tại $x=0$ và $x=4,56\mathrm{cm}$ chứa .

(a) Tìm ba thấp nhất và bước sóng tương ứng. (b) Tìm vị trí các mặt nút của từng mode.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách giữa hai tường là $L=4,56\mathrm{cm}$. Cả hai tường đều phải là nút .

Hướng đi:

• Dùng $L=n{\lambda }_n/2$ vì mỗi mode chứa một số nguyên nửa .
• Bắt đầu từ $n=1,2,3$ để có ba thấp nhất.
• Dùng $x_j=jL/n$ với $j=0,1,\dots ,n$ vì các nút cách nhau ${\lambda }_n/2$.

(a):

$${\lambda }_n=\frac{2L}{n},f_n=\frac{nc}{2L}.$$

Các kết quả:

Mode
1	9,12 cm	3,29 GHz
2	4,56 cm	6,58 GHz
3	3,04 cm	9,87 GHz

(b) Vị trí nút , đo bằng centimét:

• Mode 1 có $x=0$ và $x=4,56$.
• Mode 2 có $x=0$, $x=2,28$ và $x=4,56$.
• Mode 3 có $x=0$, $x=1,52$, $x=3,04$ và $x=4,56$.

Hai tường là nút chung của mọi mode, còn số nút trong hốc tăng theo số mode.

Bài tập: VP32.7.4

Một lò vi sóng tạo sóng đứng có $12,2\mathrm{cm}$ giữa hai tường dẫn song song cách nhau $48,8\mathrm{cm}$.

(a) Tìm sóng. (b) Tìm số mặt bụng giữa hai tường.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $\lambda$ và chiều dài hốc $L$. Tường dẫn là nút .

Hướng đi:

• Dùng $f=c/\lambda$ vì sóng truyền trong không khí với tốc độ xấp xỉ $c$.
• Đếm số nửa $n=2L/\lambda$, vì mỗi khoảng giữa hai nút liên tiếp chứa một bụng.

(a):

$$f=\frac{c}{\lambda }=2,46\times {10}^9\mathrm{Hz}.$$

(b):

$$n=\frac{2L}{\lambda }=\frac{2(48,8)}{12,2}=8.$$

Có tám mặt bụng giữa hai tường. Các vị trí là $x_j=(2j+1)\lambda /4$, với $j=0,1,\dots ,7$.

Bài cầu nối: Phát hiện sóng điện từ

Bài tập: Bài cầu nối 32

Một vòng dây tròn có thể dùng làm anten vô tuyến. Anten có đường kính $18,0\mathrm{cm}$, đặt cách nguồn $2,50\mathrm{km}$. Nguồn có $95,0\mathrm{MHz}$ và tổng công suất $55,0\mathrm{kW}$. Hướng vòng dây và phân cực của sóng được chỉ trên Hình 32.24. Giả sử nguồn phát đều theo mọi hướng.

Tìm biên độ suất điện động cảm ứng trong vòng dây.

Hình 32.24: Vòng anten trong mặt phẳng xy nhận từ thông của từ trường dọc z

Chú thích:

• Hình (Figure)
• Dùng anten vòng tròn để phát hiện sóng vô tuyến (Using a circular loop antenna to detect radio waves.)
• Gần vòng dây, sóng truyền theo chiều dương trục x (In vicinity of loop, wave propagates in +x-direction.)
• Antena vòng tròn nằm trong mặt phẳng xy (Circular loop antenna lies in xy-plane.)
• Gần vòng dây, điện trường chỉ có thành phần y và từ trường chỉ có thành phần z (In vicinity of loop, E has only a y-component and B has only a z-component.)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Anten một vòng có bán kính $a=\mathrm{0,090}0\mathrm{m}$. Mặt vòng vuông góc của sóng. Biết công suất nguồn, khoảng cách và .

Hướng đi:

• Dùng $I=P/(4\pi r^2)$ vì nguồn phát đều trên mặt cầu.
• Tìm $B_{max}$ từ cường độ trung bình của sóng hình sin.
• Dùng ${\mathrm{\Phi }}_B=AB(t)$ trong gần đúng trường đồng đều trên vòng, vì kích thước vòng nhỏ so với .
• Lấy từ thông theo . Tốc độ biến thiên có hệ số $\omega =2\pi f$.

Cường độ sóng tại anten:

$$I=\frac{P}{4\pi r^2}=7,00\times {10}^{-4}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.$$

Biên độ :

$$\begin{array}{rl}{B}_{max}& =\sqrt{\frac{2{\mu }_{0}I}{c}}\\ & =2,42\times {10}^{-9}\mathrm{T}.\end{array}$$

Diện tích vòng:

$$A=\pi a^2=2,54\times {10}^{-2}{\mathrm{m}}^2.$$

Chọn gốc tại anten để $B_z=B_{max}\cos (\omega t)$. Trong gần đúng trường đồng đều:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_B(t)& =A{B}_{max}\cos (\omega t),\\ \mathcal{E}(t)& =-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}\\ & =A\omega B_{max}\sin (\omega t).\end{array}$$

Biên độ cần tìm:

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{E}}_{max}& =A(2\pi f)B_{max}\\ & =3,68\times {10}^{-2}\mathrm{V}\\ & =36,8\mathrm{mV}.\end{array}$$

khoảng $3,16\mathrm{m}$, lớn hơn đường kính vòng. Suất điện động ở mức vài chục millivolt có thể tạo tín hiệu đầu vào cho máy thu. Mức tín hiệu hữu ích còn phụ thuộc trở kháng anten, tải, hướng đặt và nhiễu.

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q32.1

Bằng cách đo và tại một điểm trong không gian có , có thể xác định sóng đến từ hướng nào không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết hai vector trường tại một điểm và cần suy hướng sóng tới.

Hướng đi:

• Dùng $\overrightarrow{S}=(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})/{\mu }_0$ vì xác định hướng truyền tại điểm đo.
• Phân biệt một sóng chạy với trường tổng của nhiều sóng, vì phép cộng trường có thể làm mất khả năng suy duy nhất hướng nguồn.

Đối với một sóng phẳng chạy duy nhất, khi hai trường khác không, hướng $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ là hướng sóng đang truyền. Sóng đến từ phía đối diện với hướng này. Đo cả hướng của hai trường cho đủ thông tin, còn đo riêng độ lớn không xác định được hướng truyền.

Nếu đo đúng lúc cả hai trường bằng không, cũng bằng không. Cần theo dõi thêm các thời điểm lân cận.

Trong vùng giao thoa hoặc sóng đứng, vẫn cho dòng tức thời. Tuy nhiên, chỉ hai trường tại một điểm không đủ để tách duy nhất mọi sóng thành phần và xác định hướng của từng nguồn.

Bài tập: Q32.2

Khi lái xe về phía tây trên tầng trên của cầu Bay Bridge, từ Oakland đến San Francisco, máy thu radio trong xe có thể thu nhiều đài. Khi đi về phía đông ở tầng dưới, nơi các dầm thép hai bên đỡ tầng trên, tín hiệu thu kém hơn nhiều. Vì sao có sự khác biệt?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh khả năng thu sóng vô tuyến ở vùng thoáng với vùng bị các kết cấu thép bao quanh.

Hướng đi:

• Xét điện tích và dòng cảm ứng trong vật dẫn, vì chúng tạo trường phản xạ làm thay đổi sóng tới.
• Xét khả năng che chắn của kết cấu kim loại, vì tín hiệu đến anten phụ thuộc môi trường truyền chứ không chỉ công suất đài.

Sóng tới gây điện tích mặt và dòng điện trên kết cấu thép. Trường do các nguồn cảm ứng này phát ra kết hợp với trường tới để thỏa điều kiện biên của vật dẫn. Vì vậy phần sóng bị phản xạ tăng và trường đi vào vùng phía sau kết cấu giảm.

Ở tầng trên, anten nhận sóng qua nhiều hướng thoáng. Ở tầng dưới, dầm hai bên và kết cấu phía trên tạo vùng che chắn nên trường tại anten yếu hơn. Sóng vẫn có thể vào qua các khoảng hở hoặc đường truyền gián tiếp, nhưng mức thu còn phụ thuộc , hình học và giao thoa do phản xạ.

Kết cấu dầm hở không phải một hộp kim loại kín hoàn toàn. Do đó tín hiệu giảm không đồng nghĩa với mọi sóng đều bị chặn tuyệt đối.

Bài tập: Q32.3

Nêu một số ví dụ về gặp trong đời sống. Chúng giống nhau ở những điểm nào và khác nhau ở những điểm nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nhận diện các loại và đặc điểm thống nhất của chúng.

Hướng đi:

• Dùng cấu trúc , và phương trình Maxwell để nhận diện điểm chung.
• Dùng $c=f\lambda$ và tương tác với vật chất để phân biệt các miền phổ.

Sóng radio dùng truyền âm thanh, vi ba dùng trong liên lạc và lò vi sóng, hồng ngoại phát ra từ vật nóng, ánh sáng nhìn thấy và tia X dùng tạo ảnh đều là các ví dụ.

Trong chân không, một sóng phẳng chạy có hai trường vuông góc nhau và cùng vuông góc hướng truyền. Mọi miền phổ đều truyền với tốc độ $c$, mang và , đồng thời có thể phản xạ, giao thoa và nhiễu xạ.

Chúng khác nhau về , bước sóng, phổ, phân cực, cơ chế phát và cách tương tác với vật chất. Chẳng hạn, mắt nhận một khoảng phổ nhìn thấy, còn anten được thiết kế để ghép với sóng vô tuyến. Trong vật liệu, vận tốc và mức hấp thụ có thể phụ thuộc tần số.

Bài tập: Q32.4

Một số biển đèn neon gần đài phát vô tuyến công suất lớn phát sáng yếu vào ban đêm, dù nguồn điện của biển đã tắt. Điều gì đang xảy ra?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đèn khí nhận dù không được cấp từ nguồn điện nối trực tiếp.

Hướng đi:

• Xét điện áp và dòng được trường sóng cảm ứng trên điện cực, dây dẫn và khí.
• Dùng chuyển hóa trường thành kích thích nguyên tử để giải thích phát sáng.

Trường điện từ đủ mạnh của đài có thể tạo điện áp xoay chiều trên các bộ phận dẫn điện của biển. Các bộ phận này ghép với sóng tới như một hệ anten. trong ống có thể làm electron chuyển động và va chạm kích thích các nguyên tử khí.

Khi nguyên tử trở về trạng thái thấp hơn, chúng phát ánh sáng. Công suất chiếu sáng được lấy từ sóng vô tuyến hấp thụ, nên việc tắt nguồn nối trực tiếp không loại bỏ nguồn năng lượng bên ngoài này.

Độ sáng yếu phản ánh mức ghép vào đèn, không phải đèn tự tạo năng lượng.

Bài tập: Q32.5

Phân cực có phải là tính chất của mọi hay chỉ của ánh sáng nhìn thấy? Sóng âm có thể phân cực không? Sự phân biệt cơ bản nào về tính chất sóng liên quan đến vấn đề này?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Liên hệ khả năng phân cực với phương dao động của sóng.

Hướng đi:

• Xét tính ngang hay dọc của dao động, vì phân cực mô tả hướng dao động trong mặt phẳng vuông góc hướng truyền.
• Phân biệt sóng âm trong chất lưu với các sóng đàn hồi trong chất rắn.

trong chân không là sóng ngang. Vì có thể dao động theo các hướng khác nhau trong mặt phẳng vuông góc hướng truyền, mọi miền đều có trạng thái phân cực. Tính chất này không chỉ thuộc ánh sáng nhìn thấy.

Một chùm không phân cực vẫn là sóng ngang, nhưng hướng dao động không giữ một quy luật phân cực cố định theo thời gian.

Sóng âm thông thường trong không khí hoặc chất lỏng là sóng dọc. Phần tử môi trường dao động theo phương truyền nên không có sự lựa chọn phương ngang để tạo phân cực như ánh sáng.

Trong chất rắn, sóng đàn hồi có thể có thành phần ngang. Thành phần ngang này có thể phân cực. Vì vậy kết luận về âm trong chất lưu không được mở rộng cho mọi loại sóng đàn hồi.

Bài tập: Q32.6

Một điện tích điểm dương $q$ ban đầu đứng yên trên trục $x$, trong đường đi của có mặt sóng. Sau khi mặt sóng tới điện tích, điện tích có chuyển động không? Nếu có, mô tả định tính chuyển động. và có cùng giá trị tại mọi điểm phía sau mặt sóng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điện tích ban đầu có vận tốc bằng không. Chọn sóng truyền theo $+x$, theo $+y$ và theo $+z$.

Hướng đi:

• Dùng lực Lorentz $\overrightarrow{F}=q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$ vì điện tích chịu tác dụng đồng thời của hai trường.
• Xét thời điểm ban đầu trước, vì lực từ chỉ xuất hiện khi điện tích có vận tốc.
• Dùng tính chất lực từ không sinh công để phân biệt vai trò của hai trường.

Ngay khi mặt sóng tới, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ nên lực từ bằng không. Lực điện $q\overrightarrow{E}$ làm điện tích dương tăng vận tốc theo $+y$.

Khi $v_y>0$, tích $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ có thành phần theo $+x$. Vì vậy điện tích còn bị đẩy theo hướng truyền của sóng. Khi thành phần $v_x$ xuất hiện, lực từ cũng có thành phần theo $-y$:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =q{v}_{y}B,\\ F_y& =q(E-v_{x}B).\end{array}$$

Điện tích chuyển động trong mặt phẳng $xy$, vừa đáp ứng ngang vừa nhận thành phần vận tốc theo hướng truyền. động học do lực điện cung cấp:

$$q(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{v}=0.$$

Mô tả bằng cơ học Newton phù hợp khi tốc độ còn nhỏ so với $c$. Không kéo dài gần đúng đó để suy một vận tốc vượt tốc độ ánh sáng.

Bài tập: Q32.7

Một chùm đèn có thể có cỡ $1000\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Nếu nhân với chiều cao $1,5\mathrm{m}$, ta được $1500\mathrm{V}$ giữa đầu và chân người được chiếu sáng. Điều này có làm người đó cảm thấy điện giật mạnh không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần đánh giá cách hiểu của ánh sáng như một điện áp tĩnh đặt lên cơ thể.

Hướng đi:

• Xét sự biến thiên theo không gian và thời gian của trường sóng, vì tích $E\ell$ chỉ trực tiếp cho chênh lệch điện thế trong điều kiện trường thích hợp.
• Phân biệt đáp ứng ở quang học với dòng dẫn ở tần số mạng điện.

Phép nhân $1000\times 1,5$ không mô tả một điện áp không đổi đặt giữa đầu và chân. ánh sáng đổi dấu rất nhanh. thay đổi theo phương truyền, còn trên một mặt phẳng ngang của sóng phẳng lý tưởng, các điểm có thể cùng pha.

Ngay cả khi tức thời đồng đều dọc một đoạn dài $1,5\mathrm{m}$, trên đoạn đó vẫn thay đổi ở quang học. Không được diễn giải giá trị tức thời ấy như một nguồn điện áp tĩnh duy trì qua cơ thể.

Hơn nữa, trong trường điện từ biến thiên, phụ thuộc đường đi và không luôn được mô tả bằng một chênh lệch điện thế tĩnh duy nhất.

Các điện tích trong vật chất không đáp ứng ánh sáng như một dòng dẫn duy trì qua toàn cơ thể do nguồn điện một chiều hoặc mạng điện thấp. Vì vậy lập luận trên không dẫn đến cảm giác điện giật mạnh.

Ánh sáng vẫn truyền vào vật chất qua hấp thụ. Tác dụng nhiệt hoặc quang học phải xét bằng cường độ, phổ và thời gian chiếu, thay vì coi $E\ell$ là điện áp tĩnh.

Bài tập: Q32.8

Một sóng hình sin có cường độ $I$ và biên độ $B$. Biên độ từ trường của một sóng tương tự có cường độ $2I$ bằng bao nhiêu theo $B$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh hai sóng trong cùng môi trường với cường độ tăng gấp đôi.

Hướng đi:

• Dùng cường độ tỉ lệ bình phương biên độ , vì trung bình bình phương của hàm hình sin bằng một nửa.

Trong chân không:

$$I=\frac{c}{2{\mu }_0}{B}^2.$$

Gọi biên độ mới là $B^{\prime }$:

$$\begin{array}{rl}\frac{2I}{I}& =\frac{(B^{\prime }{)}^2}{B^2},\\ B^{\prime }& =\sqrt{2}B.\end{array}$$

Biên độ tăng $\sqrt{2}$ lần, không tăng hai lần.

Bài tập: Q32.9

Biên độ của chùm laser ở Ví dụ 32.1 lớn hơn từ trường Trái Đất khoảng một trăm lần. Nếu chiếu chùm laser lên la bàn, có chờ đợi kim la bàn bị lệch không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh tác dụng của trường quang học dao động rất nhanh với Trái Đất gần như không đổi trong thang thời gian chuyển động của kim.

Hướng đi:

• Xét mômen từ $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{m}\times \overrightarrow{B}$ và khả năng đáp ứng cơ học của kim.
• Lấy trung bình trường hình sin trên thang thời gian dài hơn chu kỳ quang học.

Biên độ lớn không có nghĩa tác dụng định hướng trung bình lớn. laser đổi dấu ở quang học, nên kim la bàn có quán tính cơ học không thể quay theo từng chu kỳ.

Trong gần đúng mômen từ của kim không đổi trong một chu kỳ:

$$\begin{array}{rl}⟨{\overrightarrow{B}}_{\mathrm{laser}}⟩& =\overrightarrow{0},\\ ⟨{\overrightarrow{\tau }}_{\mathrm{laser}}⟩& =\overrightarrow{0}.\end{array}$$

Không chờ đợi một độ lệch định hướng ổn định như khi đặt kim trong tĩnh. Từ trường Trái Đất vẫn có hướng gần như cố định để định hướng kim. Hấp thụ ánh sáng và tác dụng nhiệt là các quá trình khác, không phải cơ chế định hướng đang so sánh.

Bài tập: Q32.10

Phần lớn anten radio của ô tô được đặt thẳng đứng. Điều này cho biết gì về hướng phân cực của sóng phát thanh được dùng?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Suy hướng được thu hiệu quả bởi anten dây thẳng đứng.

Hướng đi:

• Xét lực điện dọc dây, vì song song dây làm điện tích trong anten dao động theo chiều dài của nó.

Antena dây thẳng đáp ứng mạnh với thành phần dọc dây. Dây đặt thẳng đứng vì vậy phù hợp với sóng có thành phần phân cực điện trường thẳng đứng tại vị trí thu.

Nếu hoàn toàn nằm ngang và vuông góc anten lý tưởng, điện tích không được thúc đẩy dọc chiều dài dây theo cùng cách. Độ ghép sẽ giảm. Trong môi trường thực, phản xạ và nhiều đường truyền có thể làm trạng thái phân cực tại anten thay đổi.

Bài tập: Q32.11

Nếu ánh sáng mang , người cầm đèn pin có phải chịu lực giật lùi tương tự người bắn súng không? Vì sao không quan sát thấy lực giật lùi này?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đèn phát và ra phía trước. Cần xét phản lực lên đèn.

Hướng đi:

• Dùng bảo toàn , vì tổng động lượng đèn và bức xạ phải được bảo toàn.
• Dùng tốc độ truyền bằng $P/c$ cho chùm truyền gần cùng một hướng.

Đèn chịu phản lực ngược hướng phát sáng. Nếu công suất bức xạ theo chùm là $P$, độ lớn phản lực xấp xỉ:

$$F=\frac{P}{c}.$$

Vì $c$ rất lớn, phản lực này rất nhỏ với công suất của đèn cầm tay. Không dễ phân biệt nó với lực của bàn tay, rung động cơ học và các tác động khác. Nếu đèn phát nhiều hướng, phải cộng theo vector, nên chỉ phần bức xạ không đối xứng góp vào phản lực tổng.

Bài tập: Q32.12

Một nguồn phát sóng hình sin đều theo mọi hướng. Sóng gây áp suất trung bình $p$ lên mặt phản xạ hoàn toàn ở khoảng cách $R$. Sóng sẽ gây áp suất bao nhiêu theo $p$ lên mặt hấp thụ hoàn toàn cách nguồn $2R$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách tăng gấp đôi và mặt nhận chuyển từ phản xạ hoàn toàn sang hấp thụ hoàn toàn. Xét tới vuông góc.

Hướng đi:

• Dùng $I\propto 1/r^2$ vì công suất phân bố đều trên mặt cầu.
• Dùng $p_{\mathrm{refl}}=2I/c$ và $p_{\mathrm{abs}}=I/c$ vì phản xạ đảo còn hấp thụ nhận một lần động lượng tới.

Tại khoảng cách ban đầu:

$$p=\frac{2I(R)}{c}.$$

Tại khoảng cách mới:

$$\begin{array}{rl}I(2R)& =\frac{I(R)}{4},\\ p^{\prime }& =\frac{I(2R)}{c}\\ & =\frac{I(R)}{4c}\\ & =\frac{p}{8}.\end{array}$$

Hai hệ số giảm, một phần tư do khoảng cách và một phần hai do loại mặt nhận, cùng góp vào kết quả.

Bài tập: Q32.13

có không? Có không? Các câu trả lời có giống với sóng chạy không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phân biệt được tích trữ, cục bộ tức thời và dòng năng lượng trung bình.

Hướng đi:

• Dùng mật độ $u={\epsilon }_0{E}^2/2+B^2/(2{\mu }_0)$ vì năng lượng vẫn tồn tại khi các trường khác không.
• Dùng mật độ $\overrightarrow{g}=\overrightarrow{S}/c^2$ trong chân không.
• Xét hai sóng chạy ngược chiều có cùng biên độ để giải thích sự triệt tiêu dòng trung bình.

Sóng đứng có trong và . Một giá trị trung bình của bằng không không làm mật độ năng lượng bằng không:

$$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2+\frac{B^2}{2{\mu }_0}.$$

tức thời của sóng đứng có thể khác không và đổi chiều. Khi đó mật độ tức thời:

$$\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{S}}{c^2}$$

cũng có thể khác không. Trung bình qua chu kỳ của $\overrightarrow{S}$ và $\overrightarrow{g}$ bằng không đối với sóng đứng lý tưởng được tạo bởi hai sóng bằng nhau đi ngược chiều.

Một sóng chạy duy nhất truyền và trung bình theo một hướng. Trong sóng đứng, đóng góp trung bình của hai hướng triệt tiêu, dù các trường vẫn chứa năng lượng và có thể gây lực lên mặt phản xạ.

Bài tập 32.1–32.29

Sóng phẳng và vận tốc ánh sáng

Bài tập 32: 1

(a) Ánh sáng đi từ Mặt Trăng đến Trái Đất, khoảng cách $384000\mathrm{km}$, mất bao lâu?

(b) Ánh sáng từ sao Sirius mất $8,61$ năm để đến Trái Đất. Khoảng cách đến Sirius bằng bao nhiêu kilômét?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết quãng đường ở (a) và thời gian truyền ở (b). Lấy tốc độ ánh sáng $c=3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Dùng $t=d/c$ và $d=ct$ vì xét truyền trong chân không với tốc độ không đổi.
• Đổi đơn vị trước khi thay số, vì vận tốc được cho bằng mét trên giây.

(a) Đổi $384000\mathrm{km}=3,84\times {10}^8\mathrm{m}$:

$$t=\frac{d}{c}=1,28\mathrm{s}.$$

(b) Dùng một năm bằng $365,25$ ngày:

$$\begin{array}{rl}t& =8,61(365,25)(86400)\mathrm{s}\\ & =\mathrm{2,717}1\times {10}^8\mathrm{s},\\ d& =ct\\ & =8,15\times {10}^{16}\mathrm{m}\\ & =8,15\times {10}^{13}\mathrm{km}.\end{array}$$

Quy ước một năm khác nhau một phần nhỏ chỉ ảnh hưởng mức làm tròn cuối.

Bài tập 32: 2

Với mỗi cặp hướng và sau, xác định hướng truyền sóng:

(a) $\overrightarrow{E}$ theo $+x$, $\overrightarrow{B}$ theo $+y$.

(b) $\overrightarrow{E}$ theo $-y$, $\overrightarrow{B}$ theo $+x$.

(c) $\overrightarrow{E}$ theo $+z$, $\overrightarrow{B}$ theo $-x$.

(d) $\overrightarrow{E}$ theo $+y$, $\overrightarrow{B}$ theo $-z$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai trường của một sóng phẳng chạy đã biết hướng.

Hướng đi:

• Dùng hướng $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ vì đây là hướng dòng và hướng truyền của sóng chạy.
• Giữ dấu của mỗi vector, vì đổi một dấu sẽ đảo hướng .

Các vector đơn vị thỏa quy tắc bàn tay phải:

$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{x}}\times \hat{\mathbf{y}}& =\hat{\mathbf{z}},\\ \hat{\mathbf{y}}\times \hat{\mathbf{z}}& =\hat{\mathbf{x}},\\ \hat{\mathbf{z}}\times \hat{\mathbf{x}}& =\hat{\mathbf{y}}.\end{array}$$

Suy ra:

• (a) Hướng $+z$.
• (b) Hướng $+z$, vì $(-\hat{\mathbf{y}})\times \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{z}}$.
• (c) Hướng $-y$.
• (d) Hướng $-x$.

Bài tập 32: 3

Một hình sin truyền trong chân không theo $+z$. Tại một vị trí và thời điểm, hướng theo $+x$ và có độ lớn $4,00\mathrm{V}/\mathrm{m}$. tại cùng vị trí và thời điểm có độ lớn và hướng nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết tức thời và hướng truyền sóng trong chân không.

Hướng đi:

• Dùng $E=cB$ cho hai trường tức thời của sóng chạy, vì chúng cùng .
• Chọn hướng $\overrightarrow{B}$ sao cho $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ theo $+z$.

Độ lớn :

$$B=\frac{E}{c}=1,33\times {10}^{-8}\mathrm{T}.$$

Vì $\hat{\mathbf{x}}\times \hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}$, hướng theo $+y$.

Bài tập 32: 4

Với $E>0$ và $B>0$, xác định hướng truyền trong các trường hợp:

(a) $\overrightarrow{E}=E\hat{\mathbf{x}}$, $\overrightarrow{B}=-B\hat{\mathbf{y}}$.

(b) $\overrightarrow{E}=E\hat{\mathbf{y}}$, $\overrightarrow{B}=B\hat{\mathbf{x}}$.

(c) $\overrightarrow{E}=-E\hat{\mathbf{z}}$, $\overrightarrow{B}=-B\hat{\mathbf{x}}$.

(d) $\overrightarrow{E}=E\hat{\mathbf{x}}$, $\overrightarrow{B}=-B\hat{\mathbf{z}}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần tính của hai vector trường, có giữ dấu âm.

Hướng đi:

• Dùng $\overrightarrow{S}=(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})/{\mu }_0$, vì hệ số dương không đổi hướng .
• Dùng tính phản giao hoán và tính tuyến tính của .

(a):

$$\hat{\mathbf{x}}\times (-\hat{\mathbf{y}})=-\hat{\mathbf{z}}.$$

(b):

$$\hat{\mathbf{y}}\times \hat{\mathbf{x}}=-\hat{\mathbf{z}}.$$

(c):

$$(-\hat{\mathbf{z}})\times (-\hat{\mathbf{x}})=\hat{\mathbf{y}}.$$

(d):

$$\hat{\mathbf{x}}\times (-\hat{\mathbf{z}})=\hat{\mathbf{y}}.$$

Hướng truyền lần lượt là $-z$, $-z$, $+y$ và $+y$.

Sóng điện từ hình sin

Bài tập 32: 5

Tia X dùng trong tạo ảnh y học có cỡ $0,10\mathrm{nm}$ trong không khí. Tìm tần số, chu kỳ và số sóng của sóng này.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $\lambda =0,10\mathrm{nm}=1,0\times {10}^{-10}\mathrm{m}$. Lấy tốc độ trong không khí xấp xỉ $c$.

Hướng đi:

• Dùng $f=c/\lambda$, $T=1/f$ và $k=2\pi /\lambda$, vì mỗi đại lượng mô tả một đặc trưng của cùng .

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{c}{\lambda }=3,0\times {10}^{18}\mathrm{Hz},\\ T& =\frac{1}{f}=3,3\times {10}^{-19}\mathrm{s},\\ k& =\frac{2\pi }{\lambda }\\ & =6,3\times {10}^{10}\mathrm{rad}/\mathrm{m}.\end{array}$$

Số sóng có đơn vị radian trên mét, khác đơn vị hertz của .

Bài tập 32: 6

Xét hai dải tử ngoại với các khoảng dùng trong bài toán: UVA từ $320\mathrm{nm}$ đến $400\mathrm{nm}$ và UVB từ $280\mathrm{nm}$ đến $320\mathrm{nm}$. Bức xạ tử ngoại có liên quan đến quá trình tổng hợp vitamin D và tổn thương da.

(a) Tìm khoảng của từng dải. (b) Tìm khoảng số sóng của từng dải.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết hai khoảng . Cần chuyển thành khoảng tần số và số sóng.

Hướng đi:

• Dùng $f=c/\lambda$ và $k=2\pi /\lambda$.
• Đảo thứ tự hai đầu khoảng, vì cả hai đại lượng đều giảm khi tăng.

(a) Các khoảng :

$$f_{\mathrm{UVA}}\in [7,50;9,38]\times {10}^{14}\mathrm{Hz},f_{\mathrm{UVB}}\in [9,38;10,7]\times {10}^{14}\mathrm{Hz}.$$

(b) Các khoảng số sóng:

$$k_{\mathrm{UVA}}\in [1,57;1,96]\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{m},k_{\mathrm{UVB}}\in [1,96;2,24]\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{m}.$$

Về tác dụng sinh học, UVB kích hoạt quá trình tạo tiền vitamin D trong da. Cả UVA và UVB đều có thể gây tổn hại, nên lợi ích sinh học không đồng nghĩa với không có nguy cơ. Cơ chế tổng hợp vitamin D được mô tả tại NIH Office of Dietary Supplements.

Bài tập 32: 7

Xét truyền trong không khí.

(a) Tìm khi bước sóng lần lượt là (i) $5,0\mathrm{km}$, (ii) $5,0\mu \mathrm{m}$, (iii) $5,0\mathrm{nm}$.

(b) Tìm bằng mét và nanômét của (i) tia gamma có tần số $6,50\times {10}^{21}\mathrm{Hz}$, (ii) sóng đài AM tần số $590\mathrm{kHz}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dữ kiện trải từ kilômét đến nanômét. Dữ kiện tần số gồm một tia gamma và một sóng radio AM.

Hướng đi:

• Dùng $f=c/\lambda$ hoặc $\lambda =c/f$ tùy đại lượng đã cho.
• Đổi micro thành ${10}^{-6}$, nano thành ${10}^{-9}$ và kilo thành ${10}^3$, vì sai tiền tố sẽ làm kết quả lệch nhiều bậc.

(a):

$$\begin{array}{rl}{f}_{\mathrm{i}}& =\frac{c}{5,0\times {10}^3\mathrm{m}}\\ & =6,0\times {10}^4\mathrm{Hz},\\ f_{\mathrm{ii}}& =\frac{c}{5,0\times {10}^{-6}\mathrm{m}}\\ & =6,0\times {10}^{13}\mathrm{Hz},\\ f_{\mathrm{iii}}& =\frac{c}{5,0\times {10}^{-9}\mathrm{m}}\\ & =6,0\times {10}^{16}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

(b) Tia gamma:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\gamma }& =\frac{c}{6,50\times {10}^{21}\mathrm{Hz}}\\ & =4,62\times {10}^{-14}\mathrm{m}\\ & =4,62\times {10}^{-5}\mathrm{nm}.\end{array}$$

Sóng AM:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\mathrm{AM}}& =\frac{c}{590\times {10}^3\mathrm{Hz}}\\ & \approx 508\mathrm{m}\\ & =5,08\times {10}^{11}\mathrm{nm}.\end{array}$$

Bài tập 32: 8

Một có $435\mathrm{nm}$ truyền trong chân không theo $-z$. có biên độ $2,70\times {10}^{-3}\mathrm{V}/\mathrm{m}$ và song song trục $x$.

(a) Tìm . (b) Tìm biên độ . (c) Viết phương trình vector của và từ trường.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết , biên độ , phương phân cực và hướng truyền.

Hướng đi:

• Dùng $f=c/\lambda$ và $B_{max}=E_{max}/c$.
• Chọn $kz+\omega t$ vì mặt pha chuyển theo chiều âm của $z$.
• Chọn hướng để tích $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ theo $-z$.

(a), (b):

$$\begin{array}{rl}f& =6,90\times {10}^{14}\mathrm{Hz},\\ B_{max}& =9,00\times {10}^{-12}\mathrm{T}.\end{array}$$

(c) Có thể chọn ban đầu bằng không. Đặt $\theta =kz+\omega t$:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}(z,t)& =\hat{\mathbf{x}}{E}_{max}\cos \theta ,\\ \overrightarrow{B}(z,t)& =-\hat{\mathbf{y}}{B}_{max}\cos \theta .\end{array}$$

Ở đây:

$$\begin{array}{rl}k& =\frac{2\pi }{\lambda }\\ & =1,44\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{m},\\ \omega & =2\pi f\\ & =4,33\times {10}^{15}\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Dấu âm trước vector giữ đúng hướng truyền. Thay chung một ban đầu khác cũng cho nghiệm phù hợp với các dữ kiện.

Bài tập 32: 9

của một có dạng sau, với $\theta =ky-\omega t$:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}(y,t)& =\hat{\mathbf{z}}{E}_{max}\cos \theta ,\\ E_{max}& =3,10\times {10}^5\mathrm{V}/\mathrm{m}.\end{array}$$

$$\omega =12,65\times {10}^{12}\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

(a) Sóng truyền theo hướng nào? (b) bằng bao nhiêu? (c) Viết phương trình vector của .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: dọc $z$ và phụ thuộc $y$. Lấy tốc độ truyền bằng $c$.

Hướng đi:

• Theo dõi mặt không đổi để suy hướng truyền.
• Dùng $\omega =ck$, $\lambda =2\pi /k$.
• Dùng hướng để chọn và giữ hai trường cùng .

(a) $ky-\omega t$ không đổi khi $y$ tăng cùng thời gian, nên sóng truyền theo $+y$.

(b):

$$\begin{array}{rl}k& =\frac{\omega }{c}\\ & =4,22\times {10}^4\mathrm{rad}/\mathrm{m},\\ \lambda & =\frac{2\pi c}{\omega }\\ & =1,49\times {10}^{-4}\mathrm{m}.\end{array}$$

(c) Vì $\hat{\mathbf{z}}\times \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}$, có phương $x$. Đặt $\theta =ky-\omega t$:

$$\begin{array}{rl}{B}_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =1,03\times {10}^{-3}\mathrm{T},\\ \overrightarrow{B}(y,t)& =\hat{\mathbf{x}}{B}_{max}\cos \theta .\end{array}$$

Bài tập 32: 10

của một sóng hình sin thỏa các hệ thức sau, với $\theta =kx+\omega t$:

$$\begin{array}{rl}E(x,t)& =E_{max}\cos \theta ,\\ E_{max}& =375\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ k& =1,99\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{m},\\ \omega & =5,97\times {10}^{15}\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

(a) Tìm tốc độ sóng. (b) Tìm biên độ và . (c) Tìm , bước sóng và chu kỳ. Ánh sáng này có nằm trong vùng nhìn thấy không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai hệ số cho $k$, $\omega$. Hệ số trước cosin cho $E_{max}$.

Hướng đi:

• Dùng $v=\omega /k$ vì vận tốc là tốc độ chuyển của một mặt pha.
• Dùng $B_{max}=E_{max}/v$ cho sóng phẳng trong môi trường đang xét.
• Dùng $f=\omega /(2\pi )$, $\lambda =2\pi /k$ và $T=1/f$.

(a):

$$v=\frac{\omega }{k}=3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Dấu cộng trong biểu thị hướng truyền $-x$, không làm vận tốc có độ lớn âm.

(b):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =375\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{v}\\ & =1,25\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

(c):

$$\begin{array}{rl}f& =9,50\times {10}^{14}\mathrm{Hz},\\ \lambda & =3,16\times {10}^{-7}\mathrm{m}\\ & =316\mathrm{nm},\\ T& =1,05\times {10}^{-15}\mathrm{s}.\end{array}$$

$316\mathrm{nm}$ thuộc tử ngoại, nên không nằm trong vùng nhìn thấy của mắt người.

Bài tập 32: 11

Đài WCCO ở Minneapolis phát ở $830\mathrm{kHz}$. Tại một điểm cách máy phát, biên độ là $4,82\times {10}^{-11}\mathrm{T}$.

Tính (a) , (b) số sóng, (c) tần số góc và (d) biên độ .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết nguồn và biên độ tại điểm nhận. Lấy tốc độ truyền trong không khí xấp xỉ $c$.

Hướng đi:

• Dùng $\lambda =c/f$, $k=2\pi f/c$ và $\omega =2\pi f$ để chuyển giữa các đặc trưng .
• Dùng $E_{max}=c{B}_{max}$ vì hai biên độ thuộc cùng sóng chạy.

$$\begin{array}{rl}\lambda & =361\mathrm{m},\\ k& =1,74\times {10}^{-2}\mathrm{rad}/\mathrm{m},\\ \omega & =5,22\times {10}^6\mathrm{rad}/\mathrm{s},\\ E_{max}& =1,45\times {10}^{-2}\mathrm{V}/\mathrm{m}.\end{array}$$

Khoảng cách đến nguồn làm thay đổi biên độ, nhưng không đổi nguồn của sóng nhận trong mô hình này.

Bài tập 32: 12

Một $65,0\mathrm{Hz}$ truyền trong vật liệu cách điện có tính từ. Tại tần số này, hằng số điện môi là $3,64$ và độ từ thẩm tương đối là $5,18$. Biên độ bằng $7,20\times {10}^{-3}\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

(a) Tìm tốc độ truyền. (b) Tìm . (c) Tìm biên độ .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết ${\epsilon }_r=3,64$, ${\mu }_r=5,18$, $f=65,0\mathrm{Hz}$ và $E_{max}$.

Hướng đi:

• Dùng $v=c/\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}$ trong mô hình vật liệu tuyến tính, đồng nhất, đẳng hướng và tổn hao không đáng kể.
• Dùng $\lambda =v/f$ và $B_{max}=E_{max}/v$, vì vận tốc trong vật liệu thay thế $c$ trong quan hệ hai trường.

(a):

$$\begin{array}{rl}v& =\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}}\\ & =6,91\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

(b):

$$\lambda =\frac{v}{f}=1,06\times {10}^6\mathrm{m}.$$

(c):

$$B_{max}=\frac{E_{max}}{v}=1,04\times {10}^{-10}\mathrm{T}.$$

Dùng $E_{max}/c$ ở (c) sẽ bỏ qua tác dụng của vật liệu.

Bài tập 32: 13

Một $5,70\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$ truyền với tốc độ $2,17\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$ trong một mẫu thủy tinh.

Tìm (a) trong thủy tinh, (b) bước sóng của sóng cùng tần số trong không khí, (c) chiết suất thủy tinh và (d) hằng số điện môi tại tần số này, giả sử độ từ thẩm tương đối bằng một.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết và vận tốc trong thủy tinh. Cần so sánh với truyền trong không khí.

Hướng đi:

• Dùng $\lambda =v/f$ với tốc độ của từng môi trường, vì được giữ bằng nhau.
• Dùng $n=c/v$ và ${\epsilon }_r=n^2$ khi ${\mu }_r=1$.

(a), (b):

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\mathrm{glass}}& =\frac{v}{f}\\ & =3,81\times {10}^{-7}\mathrm{m},\\ {\lambda }_{\mathrm{air}}& =\frac{c}{f}\\ & =5,26\times {10}^{-7}\mathrm{m}.\end{array}$$

(c), (d):

$$\begin{array}{rl}n& =\frac{c}{v}=1,38,\\ {\epsilon }_r& =n^2=1,91.\end{array}$$

Các giá trị chiết suất và hằng số điện môi này gắn với đã cho.

Năng lượng và động lượng của sóng

Bài tập 32: 14

Xét một tình huống nghiên cứu dùng những xung ánh sáng rất ngắn, công suất rất lớn để tác động lên tế bào ung thư. Xung ngắn làm biến đổi cấu trúc bên trong tế bào, trong khi một xung dài có thể làm tế bào vỡ. Mô hình một tế bào bằng đĩa đường kính $5,0\mu \mathrm{m}$. Xung kéo dài $4,0\mathrm{ns}$ và có công suất trung bình $2,0\times {10}^{12}\mathrm{W}$, phân bố đều lên mặt của $100$ tế bào.

(a) Mỗi tế bào nhận bao nhiêu trong xung? (b) Cường độ ánh sáng lên mỗi tế bào bằng bao nhiêu? (c) Tìm các giá trị cực đại của và trong mô hình xung.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: xung được chia đều cho $N=100$ tế bào, mỗi tế bào có diện tích mặt $A=\pi D^2/4$.

Hướng đi:

• Dùng $P\mathrm{\Delta }t$ và chia cho số tế bào, vì đề quy định chia đều.
• Dùng $I=(P/N)/A$ vì công suất trên mỗi tế bào đi qua diện tích mặt của tế bào.
• Dùng quan hệ cường độ với biên độ trường khi coi sóng mang trong xung là hình sin. Giá trị công suất trung bình riêng lẻ không xác định một đỉnh trường tùy ý nếu dạng xung không được mô hình hóa.

(a):

$$U_{\mathrm{cell}}=\frac{P\mathrm{\Delta }t}{N}=80\mathrm{J}.$$

(b):

$$\begin{array}{rl}A& =\pi (2,5\times {10}^{-6}\mathrm{m}{)}^2,\\ I& =\frac{P}{NA}\\ & =1,0\times {10}^{21}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

(c) Với cường độ trung bình trên chu kỳ sóng mang:

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =8,8\times {10}^{11}\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =2,9\times {10}^3\mathrm{T}.\end{array}$$

Các kết quả này thuộc mô hình phân bố đã cho. Mô hình không mô tả đầy đủ hấp thụ, truyền nhiệt và đáp ứng sinh học của tế bào.

Bài tập 32: 15

Một bóng đèn sợi đốt công suất $75\mathrm{W}$ được mô hình hóa bằng mặt cầu đường kính $6,0\mathrm{cm}$. Khoảng $5\mathrm{\%}$ phát ra là ánh sáng nhìn thấy, phần còn lại chủ yếu là hồng ngoại.

(a) Tìm cường độ ánh sáng nhìn thấy tại mặt bóng đèn. (b) Tìm biên độ và của một sóng hình sin có cường độ đó.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất ánh sáng nhìn thấy là $P_{\mathrm{v}}=0,05(75\mathrm{W})$. Bán kính mặt cầu bằng $\mathrm{0,030}\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Chia công suất nhìn thấy cho $4\pi r^2$ vì mô hình phân bố trên mặt cầu.
• Dùng cường độ trung bình sóng hình sin để tìm các biên độ trường.

(a):

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{v}}& =3,75\mathrm{W},\\ I& =\frac{P_{\mathrm{v}}}{4\pi r^2}\\ & =3,3\times {10}^2\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

(b):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =5,0\times {10}^2\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =1,7\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

Biên độ trên là của sóng hình sin tương đương về cường độ, vì ánh sáng bóng đèn thực có nhiều .

Bài tập 32: 16

Một hình sin từ đài radio đi vuông góc qua cửa sổ mở có diện tích $\mathrm{0,500}{\mathrm{m}}^2$. Tại cửa sổ, giá trị hiệu dụng của là $\mathrm{0,040}0\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Sóng mang bao nhiêu qua cửa sổ trong quảng cáo dài $30,0\mathrm{s}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $E_{\mathrm{rms}}$, diện tích vuông góc hướng truyền và thời gian.

Hướng đi:

• Dùng $I={\epsilon }_{0}c{E}_{\mathrm{rms}}^2$ vì dữ kiện là giá trị hiệu dụng, không phải biên độ.
• Dùng $U=IA\mathrm{\Delta }t$ vì cường độ trung bình không đổi trong khoảng xét.

$$\begin{array}{rl}I& ={\epsilon }_{0}c{E}_{\mathrm{rms}}^2,\\ U& =IA\mathrm{\Delta }t\\ & =6,37\times {10}^{-5}\mathrm{J}.\end{array}$$

Không thêm hệ số $1/2$ lần nữa, vì việc dùng hiệu dụng đã chứa phép lấy trung bình bình phương.

Bài tập 32: 17

Một tàu thăm dò cách ngôi sao $2,0\times {10}^{10}\mathrm{m}$ đo được tổng $5,0\times {10}^3\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. Nếu ngôi sao phát đều theo mọi hướng, tổng công suất trung bình của nó bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết cường độ trên mặt cầu có bán kính bằng khoảng cách tàu đến sao.

Hướng đi:

• Dùng $P=4\pi r^{2}I$ vì mọi điểm trên cùng mặt cầu có cùng cường độ trong mô hình nguồn đẳng hướng.

$$P=4\pi r^{2}I=2,5\times {10}^{25}\mathrm{W}.$$

Đây là công suất tổng trên toàn mặt cầu, không phải công suất đi vào một bộ thu có diện tích hữu hạn.

Bài tập 32: 18

ánh sáng Mặt Trời truyền đến Trái Đất có cường độ khoảng $1,4\mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2$.

(a) Tìm các giá trị cực đại của và cho một sóng hình sin có cường độ này. (b) Với khoảng cách đến Mặt Trời $1,5\times {10}^{11}\mathrm{m}$, tìm tổng công suất bức xạ của Mặt Trời.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết cường độ trung bình $I=1400\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ và khoảng cách $r$.

Hướng đi:

• Dùng biên độ của sóng hình sin tương đương về cường độ.
• Dùng diện tích mặt cầu $4\pi r^2$ để suy công suất nguồn đẳng hướng.

(a):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =1,0\times {10}^3\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =3,4\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

(b):

$$P=4\pi r^{2}I=4,0\times {10}^{26}\mathrm{W}.$$

Độ chính xác của kết quả bị giới hạn bởi các dữ kiện hai chữ số có nghĩa.

Bài tập 32: 19

Một nguồn điểm phát đơn sắc đều theo mọi hướng trong không khí. Đo biên độ ở nhiều khoảng cách, rồi vẽ $E_{max}$ theo $1/r$, thu được các điểm gần một đường thẳng có hệ số góc $75,0\mathrm{N}\mathrm{m}/\mathrm{C}$. Tìm công suất trung bình của nguồn.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hệ số góc $m=75,0\mathrm{N}\mathrm{m}/\mathrm{C}$ cho quan hệ $E_{max}=m/r$.

Hướng đi:

• Dùng $I=P/(4\pi r^2)$ và $I={\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2/2$ để nối công suất với biên độ trường.
• Dùng hệ số góc của đồ thị, vì nó biểu diễn giá trị không đổi của tích $r{E}_{max}$.

$$\begin{array}{rl}\frac{P}{4\pi r^2}& =\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c\frac{m^2}{r^2},\\ P& =2\pi {\epsilon }_{0}c{m}^2\\ & =93,8\mathrm{W}.\end{array}$$

Khoảng cách triệt tiêu, phù hợp với việc công suất của nguồn không phụ thuộc vị trí đo.

Bài tập 32: 20

Một hình sin từ điện thoại có $35,4\mathrm{cm}$ và biên độ $5,40\times {10}^{-2}\mathrm{V}/\mathrm{m}$ tại điểm cách điện thoại $250\mathrm{m}$.

Tính (a) , (b) biên độ và (c) tại điểm đó.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết và biên độ tại vị trí khảo sát. Lấy tốc độ trong không khí xấp xỉ $c$.

Hướng đi:

• Dùng $f=c/\lambda$ để tìm .
• Dùng $B_{max}=E_{max}/c$ và cường độ trung bình của sóng hình sin.
• Không suy công suất tổng từ khoảng cách nếu chưa có giả thiết về tính đẳng hướng của nguồn.

$$\begin{array}{rl}f& =8,47\times {10}^8\mathrm{Hz},\\ B_{max}& =1,80\times {10}^{-10}\mathrm{T},\\ I& =\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2\\ & =3,87\times {10}^{-6}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Bài tập 32: 21

Một nguồn ánh sáng đơn sắc công suất $60,0\mathrm{W}$ phát ánh sáng $700\mathrm{nm}$ đều theo mọi hướng. Tìm $E_{max}$ và $B_{max}$ tại khoảng cách $5,00\mathrm{m}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn đẳng hướng có công suất $P$ và điểm đo cách $r=5,00\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Tính $I=P/(4\pi r^2)$ trước, vì công suất nguồn chưa phải cường độ tại điểm đo.
• Giải hệ thức cường độ của sóng hình sin để tìm hai biên độ trường.

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{P}{4\pi r^2}\\ & =\mathrm{0,191}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ E_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =12,0\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =4,00\times {10}^{-8}\mathrm{T}.\end{array}$$

xác định tần số và màu của sóng, nhưng không cần dùng riêng để tìm biên độ khi đã biết cường độ.

Bài tập 32: 22

Đài truyền hình công cộng KQED ở San Francisco phát tín hiệu vô tuyến hình sin công suất $777\mathrm{kW}$. Giả sử sóng phát đều vào bán cầu phía trên mặt đất. Tại ngôi nhà cách anten $5,00\mathrm{km}$:

(a) Tìm áp suất trung bình lên một mặt phản xạ hoàn toàn, với sóng tới vuông góc. (b) Tìm biên độ và . (c) Tìm mật độ trung bình. (d) Tỉ lệ năng lượng do điện trường và từ trường đóng góp là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất phát được trải trên bán cầu bán kính $r=5000\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng $I=P/(2\pi r^2)$ vì nguồn phát vào bán cầu.
• Dùng $p=2I/c$ vì phản xạ hoàn toàn đảo chiều của sóng.
• Dùng $⟨u⟩=I/c$ và tính bằng nhau của hai đóng góp trong sóng phẳng.

Cường độ tại ngôi nhà:

$$I=\frac{P}{2\pi r^2}=4,95\times {10}^{-3}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.$$

(a):

$$p=\frac{2I}{c}=3,30\times {10}^{-11}\mathrm{Pa}.$$

(b):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =1,93\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =6,44\times {10}^{-9}\mathrm{T}.\end{array}$$

(c):

$$\begin{array}{rl}⟨u⟩& =\frac{I}{c}\\ & =1,65\times {10}^{-11}\mathrm{J}/{\mathrm{m}}^3.\end{array}$$

(d) đóng góp $50\mathrm{\%}$ và đóng góp $50\mathrm{\%}$:

$$\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2=\frac{B^2}{2{\mu }_0}.$$

Hai đóng góp bằng nhau cả tức thời lẫn sau khi lấy trung bình chu kỳ đối với sóng chạy này.

Bài tập 32: 23

Trong mô hình của bài toán, lấy cường độ trung bình ngưỡng tại võng mạc là $1,0\times {10}^2\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$.

(a) Với chùm laser tròn đường kính $1,5\mathrm{mm}$, công suất trung bình lớn nhất theo ngưỡng mô hình này bằng bao nhiêu milliwatt? (b) Tìm biên độ và của chùm ở (a). (c) Chùm truyền bao nhiêu mỗi giây vào diện tích đó? (d) Đổi ngưỡng sang $\mathrm{W}/{\mathrm{cm}}^2$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chùm được coi là có cường độ đều trên tiết diện $A=\pi D^2/4$. Ngưỡng $I_{\ast }=100\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ là dữ kiện của mô hình.

Hướng đi:

• Dùng $P=I_{\ast }A$ vì công suất bằng cường độ nhân diện tích.
• Dùng quan hệ biên độ trường với cường độ sóng hình sin.
• Dùng $1{\mathrm{m}}^2={10}^4{\mathrm{cm}}^2$ khi đổi đơn vị cường độ.

(a):

$$\begin{array}{rl}P& =I_{\ast }\pi (D/2{)}^2\\ & =1,77\times {10}^{-4}\mathrm{W}\\ & \approx 0,18\mathrm{mW}.\end{array}$$

(b):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I_{\ast }}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & \approx 2,7\times {10}^2\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & \approx 9,2\times {10}^{-7}\mathrm{T}.\end{array}$$

(c) trong một giây:

$$U=P(1\mathrm{s})\approx 1,8\times {10}^{-4}\mathrm{J}.$$

(d):

$$I_{\ast }=1,0\times {10}^{-2}\mathrm{W}/{\mathrm{cm}}^2.$$

Một ngưỡng cường độ đơn lẻ không đủ để kết luận một chùm laser thực tế an toàn khi nhìn trực tiếp. Tác dụng lên mắt còn phụ thuộc , thời gian và việc mắt hội tụ chùm sáng. FDA giải thích nguy cơ khi chiếu laser vào mắt.

Bài tập 32: 24

Trong buồng mô phỏng không gian đường kính $25\mathrm{ft}$ ở Phòng thí nghiệm Sức đẩy Phản lực NASA, các đèn hồ quang có thể tạo cường độ $2500\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ trên sàn, mô phỏng ánh sáng gần Sao Kim.

Tìm trung bình bằng pascal và atmosphere trên (a) mặt sàn hấp thụ hoàn toàn, (b) mặt sàn phản xạ hoàn toàn. (c) Tìm mật độ trung bình của ánh sáng. Xét sóng tới vuông góc.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết cường độ $I=2500\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. Cần phân biệt lượng chuyển cho hai loại mặt.

Hướng đi:

• Dùng $p=I/c$ khi hấp thụ và $p=2I/c$ khi phản xạ.
• Dùng $1\mathrm{atm}=101325\mathrm{Pa}$ để đổi đơn vị.
• Dùng $g=I/c^2$ vì mật độ của sóng chạy trong chân không bằng mật độ dòng chia $c^2$.

(a):

$$\begin{array}{rl}{p}_{\mathrm{a}}& =\frac{I}{c}\\ & =8,33\times {10}^{-6}\mathrm{Pa}\\ & =8,22\times {10}^{-11}\mathrm{atm}.\end{array}$$

(b):

$$\begin{array}{rl}{p}_{\mathrm{r}}& =\frac{2I}{c}\\ & =1,67\times {10}^{-5}\mathrm{Pa}\\ & =1,64\times {10}^{-10}\mathrm{atm}.\end{array}$$

(c):

$$\begin{array}{rl}g& =\frac{I}{c^2}\\ & =2,78\times {10}^{-14}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{s}}^{-1}.\end{array}$$

Vector mật độ hướng cùng chiều truyền ánh sáng.

Bài tập 32: 25

Laser heli–neon dùng trong thí nghiệm có thể phát ánh sáng $633\mathrm{nm}$, công suất $\mathrm{0,500}\mathrm{mW}$ trên chùm trụ đường kính $1,00\mathrm{mm}$. Các thông số này có thể thay đổi giữa các laser.

(a) Tìm cường độ của chùm đang xét. (b) Tìm biên độ và . (c) Tìm mật độ trung bình.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất phân bố đều trên tiết diện tròn của chùm.

Hướng đi:

• Dùng $I=P/A$ với $A=\pi D^2/4$ vì chùm có tiết diện đã cho.
• Dùng các hệ thức cường độ, biên độ và mật độ của sóng chạy trong không khí.

(a):

$$I=\frac{P}{\pi (D/2{)}^2}=637\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.$$

(b):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =693\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =2,31\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

(c):

$$\begin{array}{rl}⟨u⟩& =\frac{I}{c}\\ & =2,12\times {10}^{-6}\mathrm{J}/{\mathrm{m}}^3.\end{array}$$

Bài tập 32: 26

Một đĩa phản xạ hoàn toàn có bán kính $8,00\mathrm{mm}$ và khối lượng riêng trung bình $600\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$. Laser có công suất trung bình $P_{\mathrm{av}}$, phân bố đều trên chùm trụ bán kính $2,00\mathrm{mm}$. Chùm chiếu từ dưới lên, vuông góc mặt đĩa, tạo lực bằng trọng lượng đĩa.

(a) Cần công suất $P_{\mathrm{av}}$ bằng bao nhiêu? (b) Cần công suất bao nhiêu nếu bán kính đĩa tăng gấp đôi?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đĩa rộng hơn chùm nên nhận toàn bộ công suất laser. Có khối lượng riêng và bán kính đĩa, nhưng chưa có chiều dày hoặc khối lượng.

Hướng đi:

• Dùng $F=2P_{\mathrm{av}}/c$ vì toàn bộ chùm được phản xạ ngược hướng.
• Đặt lực này bằng $mg$, vì đề yêu cầu cân bằng trọng lượng.
• Giữ chiều dày $h$ làm tham số, vì khối lượng riêng thể tích không xác định khối lượng đĩa khi thiếu $h$.

(a) Gọi $R_d$ là bán kính đĩa. Với đĩa có chiều dày đều:

$$\begin{array}{rl}m& =\rho \pi R_d^{2}h,\\ \frac{2P_{\mathrm{av}}}{c}& =mg,\\ P_{\mathrm{av}}& =\frac{1}{2}\rho \pi R_d^{2}hgc.\end{array}$$

Với $g=9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$:

$$P_{\mathrm{av}}=(1,77\times {10}^8\mathrm{W}/\mathrm{m})h.$$

Không có một công suất số duy nhất khi chưa biết $h$. Chẳng hạn, nếu bổ sung giả thiết $h=1,00\mathrm{mm}$, kết quả sẽ là $1,77\times {10}^5\mathrm{W}$. Đây là kết quả của giả thiết thêm về chiều dày.

(b) Nếu giữ khối lượng riêng, chiều dày và bán kính chùm laser không đổi, tăng bán kính đĩa gấp đôi làm khối lượng tăng bốn lần:

$$P_{\mathrm{av}}^{\prime }=4P_{\mathrm{av}}.$$

Chùm vẫn hoàn toàn nằm trong đĩa, nên lực bức xạ vẫn phụ thuộc toàn công suất chùm, không phụ thuộc toàn diện tích mặt đĩa.

Sóng đứng

Bài tập 32: 27

Vi sóng trong một lò có $12,2\mathrm{cm}$.

(a) Lò phải rộng bao nhiêu để có năm mặt bụng theo chiều rộng? (b) sóng bằng bao nhiêu? (c) Nếu lỗi chế tạo làm lò dài hơn giá trị ở (a) $5,0\mathrm{cm}$, tần số phải bằng bao nhiêu để vẫn có năm mặt bụng theo chiều đó?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai tường dẫn là nút . Năm bụng tương ứng năm nửa trong hốc.

Hướng đi:

• Dùng $L=n\lambda /2$ với $n=5$ vì mỗi khoảng nút liên tiếp có một bụng.
• Dùng $f=c/\lambda$.
• Khi chiều dài đổi nhưng số mode giữ nguyên, dùng $f^{\prime }=nc/(2L^{\prime })$.

(a), (b):

$$\begin{array}{rl}L& =\frac{5\lambda }{2}=30,5\mathrm{cm},\\ f& =\frac{c}{\lambda }=2,46\times {10}^9\mathrm{Hz}.\end{array}$$

(c) Chiều rộng mới $L^{\prime }=35,5\mathrm{cm}$:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^{\prime }& =\frac{2L^{\prime }}{5}=14,2\mathrm{cm},\\ f^{\prime }& =\frac{5c}{2L^{\prime }}\\ & \approx 2,11\times {10}^9\mathrm{Hz}.\end{array}$$

Hốc dài hơn cần thấp hơn để giữ cùng số bụng.

Bài tập 32: 28

Một trong không khí có $75,0\mathrm{MHz}$.

(a) Khoảng cách giữa hai mặt nút liên tiếp bằng bao nhiêu? (b) Khoảng cách từ một nút điện trường đến nút gần nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết sóng đứng. Cần hai khoảng cách thuộc hai cấu trúc nút khác nhau.

Hướng đi:

• Dùng $\lambda =c/f$.
• Hai nút cùng loại cách nhau $\lambda /2$. Nút và nút gần nhất cách nhau $\lambda /4$, vì nút của trường này là bụng của trường kia.

$$\lambda =\frac{c}{f}=4,00\mathrm{m}.$$

(a):

$$d_{EE}=\frac{\lambda }{2}=2,00\mathrm{m}.$$

(b):

$$d_{EB}=\frac{\lambda }{4}=1,00\mathrm{m}.$$

Bài tập 32: 29

Một hốc chứa không khí có hai tường dẫn điện tốt, song song, cách nhau $L$. Một mode sóng đứng có các mặt nút cách nhau $1,50\mathrm{cm}$. Mode có cao hơn kế tiếp có khoảng cách nút $1,25\mathrm{cm}$. Tìm $L$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai mode liên tiếp có số mode $n$ và $n+1$. Khoảng cách nút tương ứng là $d_n$ và $d_{n+1}$.

Hướng đi:

• Dùng $d_n=L/n$ vì hốc chứa $n$ khoảng giữa hai nút liên tiếp.
• Giữ điều kiện hai mode liên tiếp để giải số nguyên $n$, vì riêng một khoảng nút không đủ xác định chiều dài hốc.

$$\begin{array}{rl}L& =n(1,50\mathrm{cm}),\\ L& =(n+1)(1,25\mathrm{cm}).\end{array}$$

Đồng nhất hai biểu thức:

$$\begin{array}{rl}1,50n& =1,25(n+1),\\ 0,25n& =1,25,\\ n& =5.\end{array}$$

Vì vậy:

$$L=5(1,50\mathrm{cm})=7,50\mathrm{cm}.$$

Mode kế tiếp có $n+1=6$ và khoảng cách nút $7,50/6=1,25\mathrm{cm}$, phù hợp dữ kiện thứ hai.

Bài tập 32.30–32.48

Bài tập 32: 30

Xét hai trường hình sin:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}& =\hat{\mathbf{y}}{E}_{max}\cos \theta ,\\ \overrightarrow{B}& =\hat{\mathbf{z}}{B}_{max}\cos (\theta +\varphi ),\\ \theta & =kx-\omega t.\end{array}$$

Với $-\pi \le \varphi \le \pi$, chứng minh rằng nếu hai trường thỏa các phương trình Maxwell cho sóng phẳng thì $E_{max}=c{B}_{max}$ và $\varphi =0$. Kết quả $\varphi =0$ biểu thị hai trường dao động cùng .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai biên độ dương, khác không. Cần tìm quan hệ biên độ và để hai trường thỏa đồng thời các phương trình trường trong chân không.

Hướng đi:

• Lấy theo $x$ và $t$ rồi dùng , vì quan hệ này phải đúng ở mọi .
• Khai triển $\sin (\theta +\varphi )$ để so sánh riêng hệ số của $\sin \theta$ và $\cos \theta$.
• Dùng định luật Ampère–Maxwell để giữ đúng vận tốc $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$.

Đối với hai thành phần đang xét:

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial E_y}{\partial x}& =-\frac{\partial B_z}{\partial t},\\ \frac{\partial B_z}{\partial x}& =-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial E_y}{\partial t}.\end{array}$$

Phương trình đầu cho:

$$k{E}_{max}\sin \theta =\omega B_{max}\sin (\theta +\varphi ).$$

Khai triển vế phải:

$$k{E}_{max}\sin \theta =\omega B_{max}\sin \theta \cos \varphi +\omega B_{max}\cos \theta \sin \varphi .$$

Vì đẳng thức đúng với mọi $\theta$, ta có:

$$\begin{array}{rl}\sin \varphi & =0,\\ k{E}_{max}& =\omega B_{max}\cos \varphi .\end{array}$$

Trên miền đã cho, $\varphi$ có thể là $0$ hoặc $\pm \pi$ theo phương trình thứ nhất. Tuy nhiên, $k$, $\omega$ và hai biên độ đều dương nên phương trình thứ hai đòi $\cos \varphi >0$. Vì vậy $\varphi =0$.

Phương trình Ampère–Maxwell khi đó cho:

$$k{B}_{max}={\epsilon }_0{\mu }_0\omega E_{max}.$$

Kết hợp hai quan hệ biên độ:

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\omega }{k}\right)}^2& =\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}=c^2,\\ E_{max}& =\frac{\omega }{k}{B}_{max}\\ & =c{B}_{max}.\end{array}$$

Bài tập 32: 31

Các xung laser ngắn, cường độ lớn được dùng để gắn lại những phần võng mạc bị bong. Trong tình huống xét, laser có $810\mathrm{nm}$, công suất $250\mathrm{mW}$ trên vết tròn đường kính $510\mu \mathrm{m}$. Dịch kính trong mắt có chiết suất $1,34$.

(a) Mỗi xung dài $1,50\mathrm{ms}$ truyền bao nhiêu đến võng mạc? (b) Nếu chùm tới vuông góc một mặt trong không khí và bị hấp thụ hoàn toàn, áp suất trung bình bằng bao nhiêu? (c) Tìm và tần số trong dịch kính. (d) Tìm biên độ và của chùm.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết công suất trong xung, thời gian, đường kính vết sáng và chiết suất. Lấy $810\mathrm{nm}$ là trong không khí.

Hướng đi:

• Dùng $U=P\mathrm{\Delta }t$ vì công suất trung bình trong mỗi xung đã biết.
• Dùng $I=P/A$ và $p=I/c$ cho mặt hấp thụ trong không khí.
• Giữ khi ánh sáng đi qua mặt phân cách đứng yên, còn bước sóng giảm $n$ lần.
• Nêu môi trường khi tính biên độ trường, vì trong dịch kính quan hệ $E/B$ là $v=c/n$.

(a):

$$U=P\mathrm{\Delta }t=3,75\times {10}^{-4}\mathrm{J}.$$

(b):

$$\begin{array}{rl}A& =\pi (D/2{)}^2,\\ I& =\frac{P}{A}\\ & =1,22\times {10}^6\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ p& =\frac{I}{c}\\ & =4,08\times {10}^{-3}\mathrm{Pa}.\end{array}$$

(c):

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\mathrm{m}}& =\frac{{\lambda }_0}{n}\\ & =604\mathrm{nm},\\ f_{\mathrm{m}}& =f_0=\frac{c}{{\lambda }_0}\\ & =3,70\times {10}^{14}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

(d) Với chùm trong không khí:

$$\begin{array}{rl}{E}_{max,0}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & =3,04\times {10}^4\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max,0}& =\frac{E_{max,0}}{c}\\ & =1,01\times {10}^{-4}\mathrm{T}.\end{array}$$

Nếu xét chùm bên trong dịch kính, giả sử môi trường không từ tính, tổn hao không đáng kể và cường độ truyền qua giữ bằng $I$, thì:

$$\begin{array}{rl}{E}_{max,\mathrm{m}}& =\frac{E_{max,0}}{\sqrt{n}}\\ & =2,62\times {10}^4\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max,\mathrm{m}}& =\sqrt{n}{B}_{max,0}\\ & =1,17\times {10}^{-4}\mathrm{T}.\end{array}$$

Các biên độ trong môi trường cần giả thiết truyền qua này. Không suy chúng chỉ bằng việc đổi nếu chưa xét sự phản xạ và hấp thụ.

Bài tập 32: 32

(a) Ước lượng thời gian đun một cốc nước $237\mathrm{mL}$ từ nhiệt độ phòng đến ${100}^{\circ }\mathrm{C}$ trong lò vi sóng. (b) Tìm nhiệt lượng cần thiết. (c) Chia nhiệt lượng cho thời gian ở (a) để ước lượng công suất truyền vào nước.

(d) Nếu đến từ một sóng phẳng theo một hướng và nước hấp thụ một nửa năng lượng sóng, cường độ trung bình bằng hai lần công suất ở (c) chia tiết diện cốc theo hướng tới. Dùng mô hình này ước lượng cường độ vi sóng. (e) Ước lượng biên độ .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thể tích nước được cho, còn thời gian đun, nhiệt độ phòng và kích thước cốc cần ước lượng hoặc đo. Mô hình bỏ qua nhiệt dung cốc, thất thoát và bay hơi.

Hướng đi:

• Dùng $Q=m{c}_w\mathrm{\Delta }T$ vì đang tăng nhiệt độ nước trước khi xét chuyển .
• Dùng $P_{\mathrm{water}}=Q/\mathrm{\Delta }t$.
• Dùng $I=2P_{\mathrm{water}}/A$ vì tỉ lệ hấp thụ được giả sử bằng $1/2$.
• Dùng cường độ của sóng hình sin để suy trong mô hình sóng phẳng.

(a) Gọi thời gian là $\mathrm{\Delta }t$. Một trường hợp ước lượng minh họa chọn $\mathrm{\Delta }t=120\mathrm{s}$, nhiệt độ ban đầu ${20}^{\circ }\mathrm{C}$ và tiết diện tròn đường kính $8,0\mathrm{cm}$. Đây là các giả thiết số, không phải số đo của một lò cụ thể.

(b) Lấy khối lượng riêng nước $1,0\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ và nhiệt dung riêng $c_w=4186\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\mathrm{K})$:

$$\begin{array}{rl}m& =\mathrm{0,237}\mathrm{kg},\\ \mathrm{\Delta }T& =80\mathrm{K},\\ Q& =m{c}_w\mathrm{\Delta }T\\ & \approx 7,94\times {10}^4\mathrm{J}.\end{array}$$

(c):

$$P_{\mathrm{water}}=\frac{Q}{\mathrm{\Delta }t}\approx 661\mathrm{W}.$$

(d):

$$\begin{array}{rl}A& =\pi (\mathrm{0,040}\mathrm{m}{)}^2,\\ I& =\frac{2Q}{A\mathrm{\Delta }t}\\ & \approx 2,63\times {10}^5\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

(e):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & \approx 1,41\times {10}^4\mathrm{V}/\mathrm{m}.\end{array}$$

Thay thời gian và tiết diện thực tế vào các biểu thức sẽ cho một ước lượng khác. Trường trong lò có sóng đứng và không đồng đều, nên kết quả sóng phẳng chỉ biểu thị thang độ lớn.

Bài tập 32: 33

Một vệ tinh ở độ cao $575\mathrm{km}$ phát sóng hình sin $92,4\mathrm{MHz}$ đều theo mọi hướng, công suất $25,0\mathrm{kW}$.

(a) Tìm cường độ tại máy thu trên mặt đất ngay dưới vệ tinh. (b) Tìm biên độ và . (c) Máy thu có tấm hấp thụ hoàn toàn kích thước $15,0\mathrm{cm}\times 40,0\mathrm{cm}$, vuông góc hướng truyền. Tìm lực trung bình tác dụng lên tấm. Lực có đủ lớn để tạo tác động cơ học đáng kể không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách đường truyền đến điểm ngay dưới vệ tinh bằng độ cao $r=575\mathrm{km}$. Diện tích tấm nhận là $A=\mathrm{0,060}0{\mathrm{m}}^2$.

Hướng đi:

• Dùng $I=P/(4\pi r^2)$ vì nguồn phát đẳng hướng.
• Dùng quan hệ cường độ và biên độ của sóng hình sin.
• Dùng $F=IA/c$ vì tấm hấp thụ toàn bộ sóng tới theo phương vuông góc.

(a):

$$I=\frac{P}{4\pi r^2}=6,02\times {10}^{-9}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.$$

(b):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =2,13\times {10}^{-3}\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =7,10\times {10}^{-12}\mathrm{T}.\end{array}$$

(c):

$$F=\frac{IA}{c}=1,20\times {10}^{-18}\mathrm{N}.$$

Lực ở thang này không tạo tác động cơ học đáng kể lên một tấm thu thông thường. giúp xác định bước sóng và thiết kế bộ thu, nhưng không cần dùng riêng trong phép tính lực khi đã biết công suất tới.

Bài tập 32: 34

Di chuyển một nam châm tủ lạnh qua lại cũng tạo trường điện từ biến thiên. Giả sử nam châm chuyển động dọc trục $z$, quanh gốc, biên độ $10\mathrm{cm}$ và $2,0\mathrm{Hz}$. Một vòng dây trong mặt phẳng $xy$, tâm tại gốc, có bán kính $2,0\mathrm{cm}$. Khi nam châm gần vòng nhất, trong vòng được coi là đồng đều và bằng $\mathrm{0,010}\mathrm{T}$. Khi nam châm đi xa vòng thêm $10\mathrm{cm}$, trường được coi là không đáng kể.

(a) Ước lượng tốc độ biến thiên từ thông trung bình trong mỗi nửa chu kỳ. (b) Dùng Faraday ước lượng độ lớn cảm ứng trung bình trên vòng. (c) Dùng ước lượng cường độ trường truyền theo phương xuyên tâm tại bán kính $2,0\mathrm{cm}$. (d) Giả sử cường độ đó đồng đều trên mặt trụ kéo dài $5,0\mathrm{cm}$ mỗi phía của mặt $xy$ và không đáng kể ngoài dải này, ước lượng công suất theo mô hình.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai mức từ thông và thời gian nửa chu kỳ cho một ước lượng biến thiên. Mô hình dải trụ và cường độ đồng đều là gần đúng được đặt ra để ước lượng.

Hướng đi:

• Dùng $\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Phi }}_B=B_0\pi a^2$ và $\mathrm{\Delta }t=T/2$ cho hai mức trường được chỉ định.
• Dùng Faraday trên đường tròn, vì đối xứng cho cảm ứng theo tiếp tuyến.
• Dùng $|\overrightarrow{S}|=EB/{\mu }_0$ với các ước lượng của trường. Không dùng $E=cB$, vì trường gần một nam châm dao động chậm không phải một sóng phẳng chạy.
• Nhân cường độ ước lượng với diện tích mặt bên trụ $2\pi aH$.

(a) Với $f=2,0\mathrm{Hz}$, nửa chu kỳ bằng $0,25\mathrm{s}$:

$$|\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Phi }}_B|=B_0\pi a^2,$$

$$\frac{|\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Phi }}_B|}{\mathrm{\Delta }t}=5,03\times {10}^{-5}\mathrm{Wb}/\mathrm{s}.$$

Tốc độ có dấu đảo giữa hai giai đoạn tăng và giảm từ thông.

(b) cho:

$$\begin{array}{rl}2\pi a⟨|E_{\theta }|⟩& \approx \frac{|\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Phi }}_B|}{\mathrm{\Delta }t},\\ ⟨|E_{\theta }|⟩& \approx 4,0\times {10}^{-4}\mathrm{V}/\mathrm{m}.\end{array}$$

(c) Muốn xác định chính xác $⟨EB⟩$ cần thêm dạng biến thiên theo thời gian. Trong ước lượng thô, chọn trường trung bình về độ lớn $B_0/2$ và dùng tích hai giá trị đại diện:

$$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{est}}& \approx \frac{⟨|E|⟩(B_0/2)}{{\mu }_0}\\ & \approx 1,6\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

(d) Với chiều cao dải $H=0,10\mathrm{m}$:

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{est}}& =S_{\mathrm{est}}(2\pi aH)\\ & \approx 2,0\times {10}^{-2}\mathrm{W}.\end{array}$$

Kết quả cuối là ước lượng của mô hình dải trụ và tích độ lớn đã chọn. Nó không xác định công suất bức xạ thực đi ra xa. Trong trường gần, hướng dòng có thể đảo theo chu kỳ và năng lượng có thể trả về nguồn. Cần biết các trường theo thời gian và phần trường bức xạ để tính dòng năng lượng trung bình có dấu.

Bài tập 32: 35

Mặt Trời phát điện từ với công suất $3,9\times {10}^{26}\mathrm{W}$, do các phản ứng hạt nhân bên trong.

(a) Tìm cường độ và lên vật hấp thụ tại bán kính bề mặt $R=6,96\times {10}^5\mathrm{km}$ và tại $r=R/2$ trong lòng Mặt Trời. Bỏ qua tán xạ và coi truyền xuyên tâm. So sánh với ánh sáng ngay trước khi tới khí quyển Trái Đất.

(b) Áp suất khí ở bề mặt khoảng $1,0\times {10}^4\mathrm{Pa}$, còn tại $R/2$ khoảng $4,7\times {10}^{13}\mathrm{Pa}$. So sánh với (a) và đánh giá vai trò trong mô hình.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất $P$ được coi đi xuyên qua mọi mặt cầu đang xét theo phương xuyên tâm, không tán xạ.

Hướng đi:

• Dùng $I=P/(4\pi r^2)$ cho dòng xuyên tâm.
• Dùng $p_{\mathrm{rad}}=I/c$ cho mặt hấp thụ.
• So sánh tỉ số áp suất, đồng thời giữ giới hạn của giả thiết không tán xạ.

(a) Tại bề mặt:

$$\begin{array}{rl}I(R)& =6,4\times {10}^7\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ p_{\mathrm{rad}}(R)& =0,21\mathrm{Pa}.\end{array}$$

Tại nửa bán kính, diện tích mặt cầu giảm bốn lần:

$$\begin{array}{rl}I(R/2)& =4I(R)\\ & =2,6\times {10}^8\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ & p_{\mathrm{rad}}(R/2)\\ & =4p_{\mathrm{rad}}(R)\\ & =0,85\mathrm{Pa}.\end{array}$$

Ở Trái Đất, cường độ khoảng $1400\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ và áp suất hấp thụ khoảng $4,7\times {10}^{-6}\mathrm{Pa}$. Cả hai đại lượng tại bề mặt Mặt Trời lớn hơn khoảng $4,6\times {10}^4$ lần.

(b) Các tỉ số theo mô hình:

$$\begin{array}{rl}\frac{p_{\mathrm{rad}}(R)}{p_{\mathrm{air}}(R)}& \approx 2,1\times {10}^{-5},\\ \frac{p_{\mathrm{rad}}(R/2)}{p_{\mathrm{air}}(R/2)}& \approx 1,8\times {10}^{-14}.\end{array}$$

Trong mô hình bức xạ chạy xuyên tâm không tán xạ này, áp suất tính được nhỏ hơn nhiều áp suất khí. Không dùng phép tính đó để loại trừ vai trò trong một mô hình sao đầy đủ. Bức xạ bên trong sao có hấp thụ, tái phát xạ và nhiều hướng, nên áp suất trường không được suy chỉ từ dòng xuyên tâm $I/c$.

Bài tập 32: 36

Một laser heli–neon nhỏ phát ánh sáng đỏ công suất $5,80\mathrm{mW}$ trên chùm đường kính $2,50\mathrm{mm}$.

(a) Tìm biên độ và . (b) Tìm mật độ trung bình của từng trường. (c) Tìm tổng năng lượng trong đoạn chùm dài $1,00\mathrm{m}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất phân bố đều trên tiết diện chùm $A=\pi D^2/4$.

Hướng đi:

• Tính $I=P/A$ rồi dùng công thức cường độ sóng hình sin.
• Hai đóng góp trung bình bằng nhau đối với sóng chạy trong chân không.
• Dùng $U=⟨u⟩A\ell =P\ell /c$ vì đoạn chùm dài $\ell$ chứa lượng được nguồn phát trong thời gian $\ell /c$.

(a):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2P}{{\epsilon }_{0}cA}}\\ & =944\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & =3,15\times {10}^{-6}\mathrm{T}.\end{array}$$

(b):

$$\begin{array}{rl}⟨u_E⟩& =⟨u_B⟩\\ & =\frac{I}{2c}\\ & =1,97\times {10}^{-6}\mathrm{J}/{\mathrm{m}}^3.\end{array}$$

(c):

$$U=\frac{P\ell }{c}=1,93\times {10}^{-11}\mathrm{J}.$$

Bài tập 32: 37

Hai tấm vuông cạnh $1,50\mathrm{cm}$, mỗi tấm có khối lượng $4,00\mathrm{g}$, nằm ở hai đầu thanh rất nhẹ dài $1,00\mathrm{m}$. Thanh quay không ma sát trong chân không quanh trục vuông góc qua tâm, như Hình P32.37. Có thể coi các tấm là khối lượng điểm khi tính mômen quán tính.

Hai tấm cùng nhận sóng hình sin có biên độ $1,25\mathrm{N}/\mathrm{C}$, tới đều và vuông góc. Một tấm hấp thụ hoàn toàn, tấm kia phản xạ hoàn toàn. Tìm gia tốc góc của hệ.

Hình P32.37: Hai tấm nhận ánh sáng ở hai đầu thanh quay quanh trục tại tâm

Chú thích:

• Hình (Figure)
• Trục quay (Axis of rotation)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai lực bức xạ cùng hướng nhưng đặt ở hai phía của trục. Tấm phản xạ chịu lực gấp đôi tấm hấp thụ.

Hướng đi:

• Dùng $I={\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2/2$ để tính cường độ.
• Tính hiệu mômen hai lực, vì hai cánh tay đòn nằm đối diện.
• Dùng mômen quán tính $\mathcal{J}=2m(\ell /2{)}^2$ vì khối lượng thanh bỏ qua và các tấm là khối lượng điểm.

Với diện tích mỗi tấm $A$:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{a}}& =\frac{IA}{c},\\ F_{\mathrm{r}}& =\frac{2IA}{c},\\ \tau & =(F_{\mathrm{r}}-F_{\mathrm{a}})\frac{\ell }{2}\\ & =\frac{IA\ell }{2c}.\end{array}$$

Mômen quán tính:

$$\mathcal{J}=\frac{m{\ell }^2}{2}.$$

Gia tốc góc:

$$\begin{array}{rl}\alpha & =\frac{\tau }{\mathcal{J}}\\ & =\frac{IA}{cm\ell }\\ & =3,89\times {10}^{-13}\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Chiều quay là chiều mômen của tấm phản xạ, vì lực của tấm này lớn hơn. Điều kiện chân không loại bỏ tác dụng lực khí do hấp thụ và nung nóng bề mặt khỏi mô hình.

Bài tập 32: 38

Một nguồn hình sin phát đều theo mọi hướng. Tại khoảng cách $10,0\mathrm{m}$, biên độ là $3,50\mathrm{N}/\mathrm{C}$. Biên độ tại khoảng cách $20,0\mathrm{cm}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh hai vị trí trong mô hình nguồn điểm phát đều, không có hấp thụ.

Hướng đi:

• Dùng $I\propto 1/r^2$ và $I\propto E_{max}^2$, nên $E_{max}\propto 1/r$.

$$\begin{array}{rl}{E}_{max,2}& =E_{max,1}\frac{r_1}{r_2}\\ & =3,50\frac{10,0}{\mathrm{0,200}}\mathrm{N}/\mathrm{C}\\ & =175\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Không dùng quy luật $1/r^2$ trực tiếp cho biên độ. Ngoài mô hình nguồn điểm, quy luật trường bức xạ cũng cần điểm đo nằm trong miền mà gần đúng sóng chạy từ nguồn còn phù hợp.

Bài tập 32: 39

Một dây dẫn trụ bán kính $a$, điện trở suất $\rho$, mang dòng không đổi $I$.

(a) Tìm độ lớn và hướng ngay bên trong mặt dây, cách trục $a$. (b) Tìm tại đó. (c) Tìm và hướng đi vào hay ra khỏi dây.

(d) dòng qua mặt của đoạn dây dài $\ell$ rồi so sánh với tốc độ sinh nhiệt. Giải thích vì sao có thể coi năng lượng tiêu tán trong dây đi vào qua mặt trụ bên.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây đồng nhất, dòng phân bố đều trên tiết diện. Chọn chiều dòng là $+z$ và dùng tọa độ trụ.

Hướng đi:

• Dùng dạng vi phân của Ohm $\overrightarrow{E}=\rho \overrightarrow{J}$, vì mật độ dòng đều bằng $I/(\pi a^2)$.
• Dùng định luật Ampère để tìm trường tiếp tuyến tròn tại mặt dây.
• Dùng $\overrightarrow{S}=(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B})/{\mu }_0$ và , vì đây là dòng trường ngay cả khi các trường không đổi theo thời gian.

(a):

$$\overrightarrow{E}=\hat{\mathbf{z}}\frac{\rho I}{\pi a^2}.$$

cùng chiều dòng điện.

(b):

$$\overrightarrow{B}=\hat{\mathit{\varphi }}\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}.$$

tiếp tuyến với các vòng tròn quanh trục, chiều theo quy tắc bàn tay phải.

(c) Vì $\hat{\mathbf{z}}\times \hat{\mathit{\varphi }}=-\hat{\mathbf{r}}$:

$$\overrightarrow{S}=-\hat{\mathbf{r}}\frac{\rho I^2}{2{\pi }^2{a}^3}.$$

đi xuyên tâm vào trong dây.

(d) Diện tích mặt bên đoạn dây là $2\pi a\ell$. Công suất đi vào:

$$P_{\mathrm{in}}=S(2\pi a\ell )=\frac{\rho I^2\ell }{\pi a^2}.$$

Điện trở đoạn dây:

$$R_{\mathrm{wire}}=\frac{\rho \ell }{\pi a^2}.$$

Do đó:

$$P_{\mathrm{in}}=I^2{R}_{\mathrm{wire}}.$$

Dòng trường qua mặt bên bằng tốc độ tạo nội năng Joule trong đoạn dây. Với các trường lý tưởng hóa đang xét, không có thành phần qua hai mặt đầu, vì nó hướng xuyên tâm.

Bài tập 32: 40

Vòng dây tròn bán kính $7,50\mathrm{cm}$ nhận một hình sin trong không khí. của sóng vuông góc mặt vòng. Cường độ tại vòng là $\mathrm{0,027}5\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$, $6,90\mathrm{m}$. Tìm biên độ suất điện động cảm ứng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt vòng nhận từ thông của trường sóng. Kích thước vòng nhỏ so với .

Hướng đi:

• Tìm $B_{max}$ từ $I=c{B}_{max}^2/(2{\mu }_0)$.
• Dùng ${\mathrm{\Phi }}_B\approx \pi a^{2}B(t)$ trong gần đúng trường đồng đều trên vòng.
• Lấy theo Faraday để có ${\mathcal{E}}_{max}=\omega \pi a^2{B}_{max}$.

$$\begin{array}{rl}{B}_{max}& =\sqrt{\frac{2{\mu }_{0}I}{c}}\\ & =1,52\times {10}^{-8}\mathrm{T},\\ \omega & =\frac{2\pi c}{\lambda },\\ {\mathcal{E}}_{max}& =\omega \pi a^2{B}_{max}\\ & =7,33\times {10}^{-2}\mathrm{V}.\end{array}$$

Đây là biên độ, không phải giá trị hiệu dụng của suất điện động.

Bài tập 32: 41

Một máy phát tạo sóng hình sin $110,0\mathrm{MHz}$ theo hai hướng ngược nhau trong hốc hẹp có mặt phản xạ ở hai đầu, tạo sóng đứng.

(a) Các mặt nút liên tiếp cách nhau bao nhiêu? (b) Nếu mẫu sóng là họa âm thứ tám, chiều dài hốc bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết và số mode $n=8$. Các mặt nút cùng loại cách nhau $\lambda /2$.

Hướng đi:

• Dùng $\lambda =c/f$.
• Dùng $L=n\lambda /2$ vì họa âm thứ tám có tám nửa giữa hai tường.

(a):

$$d_{BB}=\frac{c}{2f}=\mathrm{1,364}\mathrm{m}.$$

(b):

$$L=\frac{8c}{2f}=10,91\mathrm{m}.$$

Bài tập 32: 42

Một anten được tạo bằng cách quấn dây $N$ vòng quanh khung vuông cạnh $a$, rồi nối với điện trở $R$ và tụ $C$, như Hình P32.42. Cuộn dây có độ tự cảm $L$. Sóng phẳng truyền theo $+z$, dọc $y$:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}(z,t)& =\hat{\mathbf{y}}{E}_{max}\cos \theta ,\\ \theta & =kz-\omega t.\end{array}$$

Gốc tọa độ ở tâm khung.

(a) Tìm từ thông móc vòng theo chiều dương trục $x$. Có thể dùng công thức tổng hai sin. (b) Tìm suất điện động sinh ra trong cuộn.

(c) Sóng có $4,00\mathrm{MHz}$ và cường độ $100\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. Có $N=50$, $a=10,0\mathrm{cm}$ và $L=78,0\mu \mathrm{H}$. Với $R=100\mathrm{\Omega }$, chọn điện dung nào để mạch cộng hưởng ở tần số sóng? (d) Dòng hiệu dụng khi đó bằng bao nhiêu?

Hình P32.42: Anten khung vuông nhiều vòng nối với điện trở, tụ và ampe kế

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt khung nằm trong mặt phẳng $yz$, có pháp tuyến chọn theo $+x$. Sóng biến thiên theo $z$ nên không được coi đồng đều trên toàn khung khi chính xác.

Hướng đi:

• Dùng $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ để chọn $\overrightarrow{B}$ theo $-x$ khi theo $+y$ và sóng theo $+z$.
• trên khung, vì thay đổi theo tọa độ $z$.
• Lấy từ thông móc vòng để tìm suất điện động.
• Dùng cộng hưởng RLC và đổi biên độ suất điện động sang hiệu dụng trước khi tính dòng.

(a) :

$$\overrightarrow{B}=-\hat{\mathbf{x}}{B}_{max}\cos (kz-\omega t).$$

Với $B_{max}=E_{max}/c$, từ thông móc vòng là:

$$\begin{array}{rl}J(t)& ={\int }_{-a/2}^{a/2}\cos (kz-\omega t)dz,\\ {\mathrm{\Phi }}_N& =-Na{B}_{max}J(t).\end{array}$$

Đặt $\alpha =ka/2$. Khi lấy nguyên hàm rồi thay hai cận, ta được:

$$\begin{array}{rl}F(t)& =\sin (\alpha -\omega t)+\sin (\alpha +\omega t),\\ {\mathrm{\Phi }}_N& =-\frac{Na{B}_{max}}{k}F(t).\end{array}$$

Dùng công thức tổng hai sin:

$$\sin (A+B)+\sin (A-B)=2\sin A\cos B.$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}F(t)& =2\sin \alpha \cos (\omega t),\\ {\mathrm{\Phi }}_N& =-\frac{2Na{B}_{max}}{k}\sin \alpha \times \cos (\omega t).\end{array}$$

(b) Gọi:

$${\mathrm{\Phi }}_0=\frac{2Na{B}_{max}}{k}\sin \frac{ka}{2}.$$

Khi chọn chiều dương của đường vòng theo pháp tuyến $+x$:

$$\begin{array}{rl}\mathcal{E}(t)& =-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_N}{dt}\\ & =-\omega {\mathrm{\Phi }}_0\sin (\omega t),\\ {\mathcal{E}}_{max}& =\omega |{\mathrm{\Phi }}_0|.\end{array}$$

Dấu của $\mathcal{E}(t)$ đổi nếu đổi chiều dương đường vòng, còn biên độ không đổi.

(c) Điều kiện cộng hưởng:

$$\begin{array}{rl}\omega & =2\pi f,\\ C& =\frac{1}{{\omega }^{2}L}\\ & =2,03\times {10}^{-11}\mathrm{F}\\ & =20,3\mathrm{pF}.\end{array}$$

(d) Tìm biên độ từ cường độ sóng:

$$B_{max}=\sqrt{\frac{2{\mu }_{0}I}{c}}.$$

Thay vào biểu thức từ thông chính xác:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_0& =4,58\times {10}^{-7}\mathrm{Wb},\\ {\mathcal{E}}_{max}& =11,5\mathrm{V},\\ I_{\mathrm{rms}}& =\frac{{\mathcal{E}}_{max}}{\sqrt{2}R}\\ & =8,13\times {10}^{-2}\mathrm{A}.\end{array}$$

Ở dữ kiện này, $ka/2$ nhỏ nên $\sin (ka/2)/(ka/2)$ gần một. Gần đúng khung nhỏ cho ${\mathrm{\Phi }}_0\approx N{a}^2{B}_{max}$, nhưng kết quả trên đã giữ sự biến thiên trên toàn khung.

Bài tập 32: 43

Xét mô hình mạng GPS gồm $24$ vệ tinh, mỗi vệ tinh hoàn thành hai vòng quanh Trái Đất mỗi ngày. Một vệ tinh phát tín hiệu hình sin công suất tổng $50,0\mathrm{W}$ hoặc nhỏ hơn ở hai . Một tần số bằng $1575,42\mathrm{MHz}$. Giả sử mỗi tần số nhận một nửa công suất và sóng phát đều trong bán cầu hướng xuống.

(a) Tìm cường độ trung bình tại máy thu trên đất ngay dưới vệ tinh. Trước hết dùng cơ học Newton để tìm độ cao quỹ đạo. (b) Tìm biên độ , và thời gian tín hiệu đến máy thu. (c) Máy thu là tấm vuông cạnh $1,50\mathrm{cm}$ hấp thụ hoàn toàn, vuông góc sóng tới. Tìm áp suất trung bình. (d) Máy thu phải chỉnh theo nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Quỹ đạo tròn có chu kỳ $T=12$ giờ. Công suất của kênh đang xét là $P_f=25,0\mathrm{W}$. Khoảng cách đến điểm ngay dưới vệ tinh bằng độ cao $h$, không phải bán kính quỹ đạo.

Hướng đi:

• Cân bằng lực hấp dẫn và lực hướng tâm để tìm bán kính quỹ đạo.
• Trừ bán kính Trái Đất để có đường truyền đến máy thu.
• Dùng diện tích bán cầu $2\pi h^2$, công suất của một và các hệ thức trường.
• Dùng $p=I/c$ vì tấm hấp thụ toàn bộ bức xạ tới vuông góc.

(a) Gọi $r_o$ là bán kính quỹ đạo:

$$\begin{array}{rl}\frac{G{M}_{\mathrm{E}}}{r_o^2}& =\frac{4{\pi }^2{r}_o}{T^2},\\ r_o& ={\left(\frac{G{M}_{\mathrm{E}}{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}.\end{array}$$

Lấy $M_{\mathrm{E}}=5,97\times {10}^{24}\mathrm{kg}$ và $R_{\mathrm{E}}=6,37\times {10}^6\mathrm{m}$:

$$\begin{array}{rl}{r}_o& \approx 2,66\times {10}^7\mathrm{m},\\ h& =r_o-R_{\mathrm{E}}\\ & \approx 2,02\times {10}^7\mathrm{m},\\ I& =\frac{P_f}{2\pi h^2}\\ & \approx 9,71\times {10}^{-15}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

(b):

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\sqrt{\frac{2I}{{\epsilon }_{0}c}}\\ & \approx 2,71\times {10}^{-6}\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B_{max}& =\frac{E_{max}}{c}\\ & \approx 9,02\times {10}^{-15}\mathrm{T},\\ \mathrm{\Delta }t& =\frac{h}{c}\\ & \approx 6,75\times {10}^{-2}\mathrm{s}.\end{array}$$

(c):

$$p=\frac{I}{c}\approx 3,24\times {10}^{-23}\mathrm{Pa}.$$

Diện tích tấm xác định lực tổng, không thay đổi áp suất trong mô hình cường độ đều. Với $A=(\mathrm{0,015}0\mathrm{m}{)}^2$, lực khoảng $7,29\times {10}^{-27}\mathrm{N}$.

(d):

$$\lambda =\frac{c}{f}\approx \mathrm{0,190}4\mathrm{m}.$$

Phép tính dùng công suất $50,0\mathrm{W}$ của tình huống đã cho. Vệ tinh có công suất nhỏ hơn sẽ tạo cường độ và áp suất nhỏ hơn, còn biên độ trường giảm theo căn bậc hai công suất.

Bài tập 32: 44

Một tàu buồm Mặt Trời dùng cánh buồm lớn, nhẹ để nhận và ánh sáng cho lực đẩy.

(a) Nên chọn buồm hấp thụ hay phản xạ? Vì sao? (b) Mặt Trời phát tổng công suất $3,9\times {10}^{26}\mathrm{W}$. Cần buồm diện tích bao nhiêu kilômét vuông để lực bức xạ cân bằng lực hấp dẫn Mặt Trời lên tàu khối lượng $10000\mathrm{kg}$? (c) Vì sao kết quả không phụ thuộc khoảng cách đến Mặt Trời?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xét buồm đặt vuông góc ánh sáng, phản xạ lý tưởng và khối lượng tàu tổng cộng $m$ không đổi.

Hướng đi:

• Dùng áp suất phản xạ gấp đôi áp suất hấp thụ, vì sóng phản xạ đổi chiều .
• Đặt $2IA/c=G{M}_{\mathrm{S}}m/r^2$, vì cần lực hướng ra cân bằng lực hấp dẫn hướng vào.
• Dùng $I=P_{\mathrm{S}}/(4\pi r^2)$ để xét sự phụ thuộc khoảng cách.

(a) Buồm phản xạ tạo lực lớn hơn với cùng diện tích và cường độ tới. Phản xạ lý tưởng cũng không hấp thụ vào buồm.

(b):

$$\begin{array}{rl}\frac{2}{c}\frac{P_{\mathrm{S}}}{4\pi r^2}A& =\frac{G{M}_{\mathrm{S}}m}{r^2},\\ A& =\frac{2\pi cG{M}_{\mathrm{S}}m}{P_{\mathrm{S}}}\\ & \approx 6,4\times {10}^6{\mathrm{m}}^2\\ & \approx 6,4{\mathrm{km}}^2.\end{array}$$

(c) Cả lực bức xạ và lực hấp dẫn trong mô hình đều giảm theo $1/r^2$, nên thừa số khoảng cách triệt tiêu khi cân bằng lực.

Diện tích này là kết quả lý tưởng hóa. Nó chưa tính thêm khối lượng buồm thay đổi theo diện tích, phản xạ không hoàn toàn hoặc góc đặt khác vuông góc.

Bài tập 32: 45

Không gian liên hành tinh có những hạt bụi nhỏ. Mặt Trời đặt giới hạn dưới cho kích thước các hạt trong mô hình sau. Một hạt cầu bán kính $R$, khối lượng riêng $\rho$, cách Mặt Trời khối lượng $M$ một khoảng $r$.

(a) Viết lực hấp dẫn lên hạt. (b) Với công suất bức xạ Mặt Trời $L$, tìm lực bức xạ lên hạt hấp thụ hoàn toàn. Giải thích vì sao diện tích nhận là tiết diện hạt, không phải toàn diện tích mặt cầu.

(c) Với $\rho =3000\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$ và $L=3,9\times {10}^{26}\mathrm{W}$, tìm $R$ để hai lực bằng nhau. Kết quả có phụ thuộc $r$ không? (d) Vì sao các hạt nhỏ hơn bán kính này khó duy trì trong mô hình hệ Mặt Trời đang xét?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt cầu hấp thụ toàn bộ sóng tới. So sánh lực hút theo khối lượng hạt với lực bức xạ theo tiết diện.

Hướng đi:

• Dùng khối lượng $m=4\pi \rho R^3/3$ trong lực hấp dẫn.
• Dùng diện tích hình chiếu $\pi R^2$, vì công suất chùm tới hạt bằng cường độ nhân hình bóng của hạt.
• Lập tỉ số hai lực để thấy phụ thuộc bán kính và sự triệt tiêu khoảng cách.

(a) Độ lớn lực hấp dẫn:

$$F_g=\frac{GM}{r^2}\frac{4\pi \rho R^3}{3}.$$

(b) Cường độ tại hạt:

$$I=\frac{L}{4\pi r^2}.$$

Lực bức xạ hấp thụ:

$$F_{\mathrm{rad}}=\frac{I}{c}(\pi R^2)=\frac{L{R}^2}{4c{r}^2}.$$

Chùm sáng bị hạt chặn trên tiết diện $\pi R^2$. Các phần khác của mặt cầu không cùng nhận cường độ tới vuông góc, nên dùng $4\pi R^2$ sẽ đếm thừa công suất.

(c) Đặt hai lực bằng nhau:

$$\begin{array}{rl}{R}_{\ast }& =\frac{3L}{16\pi cGM\rho }\\ & \approx 1,95\times {10}^{-7}\mathrm{m}\\ & \approx \mathrm{0,195}\mu \mathrm{m}.\end{array}$$

Khoảng cách $r$ đã triệt tiêu.

(d) Tỉ số lực:

$$\frac{F_{\mathrm{rad}}}{F_g}=\frac{R_{\ast }}{R}.$$

Với $R<R_{\ast }$, lực hướng ra lớn hơn lực hút trong mô hình, nên hạt có xu hướng bị đẩy ra thay vì bị giữ bởi riêng hấp dẫn Mặt Trời. Kết luận sử dụng giả thiết hấp thụ hoàn toàn và bỏ qua các lực khác. Với hạt rất nhỏ, khả năng hấp thụ phụ thuộc kích thước và phổ, nên mô hình cần được mở rộng để mô tả hạt thực.

Bài tập 32: 46

Một công ty lưu năm laser với các thông số khác nhau:

• Laser A: Công suất $2,6\mathrm{W}$, đường kính chùm trụ $2,6\mathrm{mm}$.
• Laser B: Biên độ $480\mathrm{V}/\mathrm{m}$.
• Laser C: Biên độ $8,7\times {10}^{-6}\mathrm{T}$.
• Laser D: Đường kính chùm trụ $1,8\mathrm{mm}$, lực lên mặt phản xạ hoàn toàn $6,0\times {10}^{-8}\mathrm{N}$.
• Laser E: Mật độ trung bình $3,0\times {10}^{-7}\mathrm{J}/{\mathrm{m}}^3$.

Tìm cường độ của từng laser và xếp theo thứ tự tăng dần. Giả sử cường độ đều trên tiết diện chùm và mặt nhận ở D vuông góc chùm.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Năm bộ dữ kiện mô tả cùng đại lượng cường độ qua công suất, biên độ trường, lực hoặc mật độ .

Hướng đi:

• Chọn công thức theo dữ kiện: $I=P/A$, $I={\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2/2$, $I=c{B}_{max}^2/(2{\mu }_0)$.
• Với D, dùng $F=2IA/c$ vì mặt phản xạ hoàn toàn.
• Với E, dùng $I=c⟨u⟩$ vì dữ kiện là mật độ trung bình.

Các phép tính:

$$\begin{array}{rl}{I}_A& =\frac{P_A}{\pi (D_A/2{)}^2}\\ & =4,9\times {10}^5\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ I_B& =\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_{max,B}^2\\ & =3,1\times {10}^2\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ I_C& =\frac{c{B}_{max,C}^2}{2{\mu }_0}\\ & =9,0\times {10}^3\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ I_D& =\frac{F_{D}c}{2\pi (D_D/2{)}^2}\\ & =3,5\times {10}^6\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2,\\ I_E& =c{\overline{u}}^{(E)}\\ & =90\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Trong dòng cuối, E là tên laser và ${\overline{u}}^{(E)}$ là mật độ tổng trung bình của laser đó, không phải riêng năng lượng .

Thứ tự tăng:

$$I_E<I_B<I_C<I_A<I_D.$$

Bài tập 32: 47

Để đo tốc độ ánh sáng trong không khí, một thí nghiệm thay đổi cường độ chùm laser và đo biên độ . Hình P32.47 biểu diễn cường độ $I$ theo bình phương biên độ $E_{max}^2$. Đường khớp tốt nhất có hệ số góc $1,33\times {10}^{-3}\mathrm{J}/({\mathrm{V}}^2\mathrm{s})$.

(a) Vì sao các điểm ở cách biểu diễn này nằm gần đường thẳng? (b) Dùng hệ số góc tìm tốc độ ánh sáng.

Hình P32.47: Cường độ laser tăng tuyến tính theo bình phương biên độ điện trường

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết hệ số góc $m$ của đồ thị $I$ theo $E_{max}^2$. Không cần biết riêng từng công suất laser.

Hướng đi:

• Dùng $I={\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2/2$ vì chùm được mô hình hóa bằng sóng hình sin trong không khí.
• Nhận diện hệ số góc $m={\epsilon }_{0}c/2$, vì tung độ tỉ lệ với hoành độ đã chọn.

(a) Biểu thức tuyến tính:

$$I=\left(\frac{{\epsilon }_{0}c}{2}\right)E_{max}^2.$$

Mô hình lý tưởng đi qua gốc. Sai số thực nghiệm làm các điểm phân tán quanh đường.

(b):

$$\begin{array}{rl}c& =\frac{2m}{{\epsilon }_0}\\ & \approx 3,0\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Hằng số điện ${\epsilon }_0$ phải được biết độc lập từ phép đo điện học. Việc tìm $c$ ở đây dựa vào hệ số góc của dữ liệu, không dùng khoảng cách và đồng hồ trực tiếp.

Bài tập 32: 48

Trong thí nghiệm sóng đứng vi ba, máy phát phát $f$, sóng phản xạ trên mặt kim loại phẳng và máy thu đo biên độ theo vị trí như Hình P32.48. Đo khoảng cách $d$ giữa hai bụng điện trường liên tiếp theo tần số, thu được:

$f$ (GHz)	$d$ (cm)
1,0	15,2
1,5	9,7
2,0	7,7
2,5	5,8
3,0	5,2
3,5	4,1
4,0	3,8
5,0	3,1
6,0	2,3
8,0	1,7

Mỗi phép đo có sai số. Hãy biểu diễn dữ liệu để các điểm gần một đường thẳng và dùng hệ số góc tìm tốc độ trong không khí.

Hình P32.48: Máy phát, máy thu di chuyển và mặt phản xạ trong thí nghiệm sóng đứng

Chú thích:

• Hình (Figure)
• Máy phát (Transmitter)
• Máy thu (Receiver)
• Mặt phản xạ (Reflector)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Có 10 cặp và khoảng cách bụng. Cần dùng toàn bộ dữ liệu để giảm tác dụng sai số của một phép đo riêng.

Hướng đi:

• Dùng $d=\lambda /2=c/(2f)$ vì hai bụng cùng loại liên tiếp cách nhau nửa .
• Chọn hoành độ $x=1/f$ để đưa mô hình về đường thẳng $d=(c/2)x$.
• Khớp đường bằng toàn bộ 10 điểm, vì đề yêu cầu suy tốc độ từ hệ số góc.

Đặt $x_i=1/f_i$ với $i=1,2,\dots ,10$. Mô hình:

$$d_i=\frac{c}{2}{x}_i.$$

Đường khớp có tung độ gốc tự do được viết $d=mx+b$. Phép khớp chọn $m$, $b$ để tổng bình phương sai lệch của 10 điểm nhỏ nhất. Khi dùng $d$ bằng mét và $x$ bằng giây, kết quả là:

$$\begin{array}{rl}m& =\mathrm{1,520}43\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s},\\ b& =-\mathrm{1,113}06\times {10}^{-3}\mathrm{m},\\ c_{\mathrm{fit}}& =2m\\ & =3,04\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Nếu áp đặt tung độ gốc bằng không theo mô hình lý tưởng, hệ số góc là:

$$\begin{array}{rl}A& =x_1{d}_1+x_2{d}_2+\cdots +x_{10}{d}_{10},\\ B& =x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{10}^2,\\ m_0& =\frac{A}{B}.\end{array}$$

Từ đủ 10 điểm:

$$c_0=2m_0=3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Hai cách khớp đều cho tốc độ gần $3\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Đường có tung độ gốc tự do không bắt buộc sai lệch trung bình bằng không tại $1/f=0$, còn đường qua gốc dùng thêm ràng buộc của mô hình. Không loại bỏ các điểm đo chỉ để làm kết quả khớp một giá trị mong muốn.

Đồ thị lời giải 32.48: Đủ 10 điểm đo khoảng cách bụng theo nghịch đảo tần số và hai đường khớp

Bài tập 32.49 và các bài nâng cao

Bài tập 32: 49

Một tới vuông góc với mặt phẳng có cường độ $I_0$. Mặt hấp thụ hoàn toàn chịu áp suất $I_0/c$, còn mặt phản xạ hoàn toàn chịu áp suất gấp đôi. Tổng quát hơn, mặt hấp thụ tỉ phần $ϵ$ và phản xạ tỉ phần $1-ϵ$, với $0\le ϵ\le 1$. Trong mô hình này, $ϵ$ là hệ số phát xạ và cũng là tỉ phần hấp thụ.

(a) Tìm theo $I_0$ và $ϵ$.

(b) Xét bụi vũ trụ cách Mặt Trời $1,5\times {10}^{11}\mathrm{m}$, tại đó là $1,4\mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2$. Mô hình mỗi hạt là một đĩa nhỏ có $ϵ=0,61$, đường kính $8,0\mu \mathrm{m}$ và khối lượng $1,0\times {10}^{-10}\mathrm{g}$. Các đĩa đều vuông góc với tia tới. Tìm lực bức xạ lên một hạt.

(c) Tìm tỉ số lực này với lực hấp dẫn của Mặt Trời lên hạt.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt đục hấp thụ một phần và phản xạ phần còn lại, không truyền qua. Diện tích nhận là diện tích đĩa, còn khối lượng phải đổi từ gam sang kilôgam.

Hướng đi:

• Cộng các dòng do hấp thụ và phản xạ, vì hai phần công suất cùng tác dụng lên một mặt.
• Dùng $F=p_{\mathrm{rad}}A$ với $A=\pi (D/2{)}^2$, vì tia tới vuông góc.
• Dùng lực hấp dẫn $F_g=G{M}_{\odot }m/r^2$ để so sánh hai tác dụng lên cùng hạt.

(a) Phần hấp thụ nhận toàn bộ tới. Phần phản xạ đảo chiều động lượng, nên nhận gấp đôi:

$$\begin{array}{rl}{p}_{\mathrm{rad}}& =ϵ\frac{I_0}{c}+(1-ϵ)\frac{2I_0}{c}\\ & =\frac{I_0}{c}(2-ϵ).\end{array}$$

Khi $ϵ=1$, kết quả là áp suất hấp thụ. Khi $ϵ=0$, kết quả là áp suất phản xạ.

(b) Đổi đơn vị:

$$\begin{array}{rl}D& =8,0\times {10}^{-6}\mathrm{m},\\ m& =1,0\times {10}^{-13}\mathrm{kg},\\ A& =\pi (4,0\times {10}^{-6}\mathrm{m}{)}^2.\end{array}$$

Áp suất và lực:

$$\begin{array}{rl}{p}_{\mathrm{rad}}& =\frac{1400}{3,00\times {10}^8}(1,39)\\ & =6,49\times {10}^{-6}\mathrm{Pa},\\ F_{\mathrm{rad}}& =p_{\mathrm{rad}}A\\ & =3,26\times {10}^{-16}\mathrm{N}.\end{array}$$

(c) Với $M_{\odot }=1,99\times {10}^{30}\mathrm{kg}$:

$$\begin{array}{rl}{F}_g& =\frac{G{M}_{\odot }m}{r^2}\\ & \approx 5,90\times {10}^{-16}\mathrm{N},\\ \frac{F_{\mathrm{rad}}}{F_g}& \approx 0,55.\end{array}$$

Lực bức xạ bằng khoảng 55% lực hấp dẫn. Hai lực ngược chiều trong mô hình tia Mặt Trời truyền xuyên tâm, nên hấp dẫn vẫn lớn hơn đối với hạt này.

Bài tập 32: 50

Một có các trường:

$$\begin{array}{rl}\theta & =kz-\omega t,\\ \overrightarrow{E}& =E(\hat{\mathbf{x}}\cos \theta +\hat{\mathbf{y}}\sin \theta ),\\ \overrightarrow{B}& =B(-\hat{\mathbf{x}}\sin \theta +\hat{\mathbf{y}}\cos \theta ),\end{array}$$

trong đó $E$ và $B$ là các hằng số dương.

(a) Tìm đường của quanh khung chữ nhật $P$ ở Hình P32.50. Khung nằm trong mặt phẳng $xz$, có cạnh dài $h$ theo $x$, cạnh dài $\lambda /2$ theo $z$ và một đỉnh tại gốc.

(b) Tìm từ thông qua khung $P$. (c) Dùng Faraday và $\omega /k=c$ để tìm $B$ theo $E$ và $c$.

(d) Sóng trên được gọi là phân cực tròn phải. Đổi dấu hai số hạng chứa sin để được sóng phân cực tròn trái. Cộng hai sóng và viết các trường tổng. Chỉ ra rằng kết quả là một sóng .

(e) Xét ánh sáng xanh lục phân cực tròn phải có $500\mathrm{nm}$ và cường độ $100\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. Tìm $E$ và $B$. Gợi ý: của sóng này không đổi, nên độ lớn của nó chính là cường độ.

Hình P32.50: Sóng phân cực tròn truyền dọc trục z và khung chữ nhật P dài h theo x, rộng nửa bước sóng theo z.

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai thành phần ngang của mỗi trường lệch một phần tư chu kỳ. Độ lớn của từng vector trường không đổi, mặc dù hướng của vector quay.

Hướng đi:

• Chọn pháp tuyến và chiều đi quanh khung nhất quán, vì dấu của cả lưu thông và từ thông phụ thuộc định hướng.
• Trên các cạnh theo $z$, không có thành phần tiếp tuyến. Chỉ hai cạnh theo $x$ góp vào đường.
• thành phần $B_y$ trên khung, vì pháp tuyến của khung theo $y$.
• Dùng Faraday để liên hệ hai biên độ. Khi cộng hai phân cực ngược, các thành phần chứa sin triệt tiêu.
• Tính trực tiếp $\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ để tránh dùng hệ số trung bình $1/2$ của sóng cho một sóng phân cực tròn.

(a) Chọn pháp tuyến $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{y}}$. Đi từ gốc theo $+x$, tiếp theo theo $+z$, rồi theo $-x$ và cuối cùng trở về gốc theo $-z$. Chiều này tuân quy tắc bàn tay phải với pháp tuyến đã chọn.

Ở cạnh $z=0$, thành phần $E_x=E\cos \omega t$. Ở cạnh $z=\lambda /2$, tăng thêm $\pi$, nên $E_x=-E\cos \omega t$. Cạnh sau lại được đi theo $-x$, vì vậy hai đóng góp cộng nhau:

$$\begin{array}{rl}{\oint }_P\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}& =hE\cos \omega t-hE\cos (\pi -\omega t)\\ & =2hE\cos \omega t.\end{array}$$

(b) Vì pháp tuyến theo $-y$, đặt $J(t)$ là theo tọa độ $z$:

$$\begin{array}{rl}J(t)& ={\int }_0^{\lambda /2}\cos \theta dz,\\ J(t)& =\frac{1}{k}\sin (\pi -\omega t)+\frac{1}{k}\sin \omega t\\ & =\frac{2}{k}\sin \omega t,\\ {\mathrm{\Phi }}_B& =-hBJ(t)\\ & =-\frac{2hB}{k}\sin \omega t.\end{array}$$

(c) Faraday cho:

$$\begin{array}{rl}2hE\cos \omega t& =-\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}\\ & =\frac{2hB\omega }{k}\cos \omega t.\end{array}$$

Đẳng thức phải đúng tại mọi thời điểm. Do đó:

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{\omega }{k}B=cB,\\ B& =\frac{E}{c}.\end{array}$$

Đổi pháp tuyến và chiều đi quanh khung làm cả hai vế Faraday đổi dấu, không làm đổi quan hệ biên độ.

(d) Hai trường của sóng phân cực ngược là:

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{E}}^{\prime }& =E(\hat{\mathbf{x}}\cos \theta -\hat{\mathbf{y}}\sin \theta ),\\ {\overrightarrow{B}}^{\prime }& =B(\hat{\mathbf{x}}\sin \theta +\hat{\mathbf{y}}\cos \theta ).\end{array}$$

Cộng riêng từng thành phần:

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{tot}}& =\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{E}}^{\prime }\\ & =2E\hat{\mathbf{x}}\cos \theta ,\\ {\overrightarrow{B}}_{\mathrm{tot}}& =\overrightarrow{B}+{\overrightarrow{B}}^{\prime }\\ & =2B\hat{\mathbf{y}}\cos \theta .\end{array}$$

tổng luôn dọc trục $x$, nên sóng tổng theo phương này. của hai trường hướng theo $+z$ khi khác không.

(e) Với một sóng phân cực tròn:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}& =\hat{\mathbf{z}}EB({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )\\ & =\hat{\mathbf{z}}EB,\\ I& =\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{E^2}{{\mu }_{0}c}.\end{array}$$

Bởi vậy:

$$\begin{array}{rl}E& =\sqrt{{\mu }_{0}cI}\\ & \approx 194\mathrm{V}/\mathrm{m},\\ B& =\frac{E}{c}\\ & \approx 6,47\times {10}^{-7}\mathrm{T}.\end{array}$$

xác định $f=c/\lambda =6,00\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$. Nó không xuất hiện riêng trong phép đổi cường độ sang hai biên độ của sóng trong chân không.

Bài tập 32: 51

Điện tích có gia tốc phát bức xạ. Trong mô hình cổ điển phi tương đối tính, công suất phát của điện tích $q$ có độ lớn gia tốc $a$ là:

$$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}.$$

(a) Kiểm tra thứ nguyên của biểu thức.

(b) Một proton có động năng $6,0\mathrm{MeV}$ chuyển động tròn trong máy gia tốc, bán kính $\mathrm{0,750}\mathrm{m}$. Nó phát đi tỉ phần bao nhiêu động năng trong mỗi giây?

(c) Xét electron chuyển động với cùng tốc độ và cùng bán kính. Tỉ phần phát đi trong mỗi giây là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất được tính bằng công thức Larmor. Proton và electron có cùng độ lớn điện tích, tốc độ và bán kính, nhưng khối lượng và động năng khác nhau.

Hướng đi:

• Dùng thứ nguyên của ${\epsilon }_0$ để đổi $q^2/{\epsilon }_0$ thành đơn vị lực nhân bình phương độ dài.
• Từ $K=m{v}^2/2$, suy tốc độ và gia tốc hướng tâm $a=v^2/r$.
• Tính $P/K$, vì đây là tốc độ mất chia năng lượng ban đầu. Đại lượng này có đơn vị ${\mathrm{s}}^{-1}$.
• Với cùng tốc độ và bán kính, hai hạt có cùng gia tốc và cùng công suất Larmor. Động năng của electron nhỏ hơn theo tỉ số khối lượng.

(a) Các đơn vị:

$$\begin{array}{rl}& =\frac{{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2},\\ \left[\frac{q^2}{{\epsilon }_0}\right]& =\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2=\mathrm{J}\mathrm{m},\\ \left[\frac{a^2}{c^3}\right]& =\frac{{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-4}}{{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-3}}\\ & ={\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1},\\ [P]& =\mathrm{J}/\mathrm{s}=\mathrm{W}.\end{array}$$

(b) Với $e=\mathrm{1,602}\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ và $m_p=\mathrm{1,673}\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$:

$$\begin{array}{rl}{K}_p& =6,0\times {10}^6\mathrm{eV}\\ & =9,61\times {10}^{-13}\mathrm{J},\\ v& =\sqrt{\frac{2K_p}{m_p}}\\ & =3,39\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s},\\ a& =\frac{v^2}{r}\\ & =1,53\times {10}^{15}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Áp dụng công thức công suất:

$$\begin{array}{rl}{P}_p& =\frac{e^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\\ & \approx 1,34\times {10}^{-23}\mathrm{W},\\ \frac{P_p}{K_p}& \approx 1,39\times {10}^{-11}{\mathrm{s}}^{-1}.\end{array}$$

Trong một giây, phát đi bằng khoảng $1,4\times {10}^{-11}$ lần động năng đang xét. Giá trị $v\approx \mathrm{0,113}c$ cho biết đây là phép tính cổ điển gần đúng, không phải công thức bức xạ tương đối tính chính xác.

(c) Với $m_e=\mathrm{9,109}\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$:

$$\begin{array}{rl}{K}_e& =\frac{1}{2}{m}_e{v}^2\\ & \approx 5,24\times {10}^{-16}\mathrm{J},\\ P_e& =P_p,\\ \frac{P_e}{K_e}& =\frac{m_p}{m_e}\frac{P_p}{K_p}\\ & \approx 2,56\times {10}^{-8}{\mathrm{s}}^{-1}.\end{array}$$

Electron mất tỉ phần động năng lớn hơn khoảng 1836 lần. Cần giữ rõ điều kiện cùng tốc độ, vì cùng động năng sẽ dẫn đến một phép so sánh gia tốc khác.

Bài tập 32: 52

Xét mô hình cổ điển của nguyên tử hydrogen. Electron chuyển động tròn với bán kính $\mathrm{0,052}9\mathrm{nm}$ và động năng $13,6\mathrm{eV}$.

Nếu electron tuân hoàn toàn cơ học và điện từ học cổ điển, nó phát bao nhiêu mỗi giây? Dùng công thức của bài 32.51. Kết quả cho biết điều gì về việc dùng vật lý cổ điển để mô tả nguyên tử?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron trên quỹ đạo tròn có gia tốc hướng tâm, nên mô hình điện từ học cổ điển dự đoán nó phát bức xạ và mất .

Hướng đi:

• Đổi nanomet sang mét và electronvolt sang joule để dùng công thức SI.
• Dùng $a=2K/(m_{e}r)$ rồi thay vào công thức Larmor.
• So sánh công suất với đặc trưng bằng thời gian $K/P$, vì một quỹ đạo bền không thể liên tục mất năng lượng mà vẫn giữ nguyên bán kính.

Đổi đơn vị:

$$\begin{array}{rl}r& =5,29\times {10}^{-11}\mathrm{m},\\ K& =2,18\times {10}^{-18}\mathrm{J}.\end{array}$$

Tốc độ và gia tốc:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{\frac{2K}{m_e}}\\ & \approx 2,19\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s},\\ a& =\frac{2K}{m_{e}r}\\ & \approx 9,04\times {10}^{22}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Công suất bức xạ ban đầu:

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{e^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\\ & \approx 4,67\times {10}^{-8}\mathrm{W}.\end{array}$$

Tức là tốc độ phát lúc đầu khoảng $4,67\times {10}^{-8}\mathrm{J}/\mathrm{s}$. Thời gian đặc trưng:

$$\tau =\frac{K}{P}\approx 4,67\times {10}^{-11}\mathrm{s}.$$

Đây không phải thời gian sụp quỹ đạo chính xác, vì tốc độ và công suất thay đổi khi quỹ đạo co lại. Tuy nhiên, thang thời gian rất ngắn cho thấy mô hình này không thể giải thích nguyên tử bền. Mô tả nguyên tử cần cơ học lượng tử, trong đó trạng thái dừng không được xem là một electron cổ điển chạy trên quỹ đạo và liên tục phát bức xạ.

Bài tập 32: 53

truyền trong vật dẫn khác với trong điện môi hoặc chân không. Nếu vật dẫn đủ tốt, dòng dẫn do dao động gây ra lớn hơn nhiều . Khi bỏ qua dòng điện dịch, điện trường $\overrightarrow{E}(x,t)=E_y(x,t)\hat{\mathbf{y}}$ thỏa:

$$\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}=\frac{\mu }{\rho }\frac{\partial E_y}{\partial t},$$

trong đó $\mu$ là độ từ thẩm và $\rho$ là điện trở suất.

(a) Kiểm tra nghiệm:

$$\begin{array}{rl}\theta & =k_{C}x-\omega t,\\ E_y& =E_{max}{e}^{-k_{C}x}\cos \theta ,\\ k_C& =\sqrt{\frac{\omega \mu }{2\rho }}.\end{array}$$

(b) Giải thích vì sao biên độ giảm theo chiều truyền. Gợi ý: làm công dịch chuyển điện tích. Dòng điện gây nhiệt Joule. làm nóng vật dẫn đến từ đâu?

(c) Chứng minh biên độ giảm $e$ lần sau khoảng:

$$\delta =\frac{1}{k_C}=\sqrt{\frac{2\rho }{\omega \mu }}.$$

Tính khoảng này cho sóng radio $1,0\mathrm{MHz}$ trong đồng, với $\rho =1,72\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\mathrm{m}$ và $\mu ={\mu }_0$. Giải thích vì sao sóng này khó xuyên qua đồng và việc thu radio trong một kết cấu kim loại có thể kém.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phương trình đang xét là gần đúng cho vật dẫn tốt. Nghiệm có cả dao động và bao biên giảm theo hàm mũ.

Hướng đi:

• Lấy tường minh, vì phải tính cả đạo hàm bao biên và đạo hàm .
• Dùng quan hệ $2k_C^2=\omega \mu /\rho$ để so hai vế.
• Dùng công của lên dòng dẫn và nhiệt Joule để giải thích sự mất của sóng.
• Giải $e^{-k_C\delta }=e^{-1}$ để tìm độ sâu suy giảm biên độ.

(a) Đặt $A(x)=E_{max}{e}^{-k_{C}x}$ và $\theta =k_{C}x-\omega t$. Khi đó:

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial E_y}{\partial t}& =\omega A\sin \theta ,\\ \frac{\partial E_y}{\partial x}& =-k_{C}A(\cos \theta +\sin \theta ).\end{array}$$

Lấy theo $x$ lần nữa:

$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}& =k_C^{2}A(\cos \theta +\sin \theta )-k_C^{2}A(\cos \theta -\sin \theta )\\ & =2k_C^{2}A\sin \theta .\end{array}$$

Vế phải của phương trình:

$$\frac{\mu }{\rho }\frac{\partial E_y}{\partial t}=\frac{\mu \omega }{\rho }A\sin \theta .$$

Hai vế bằng nhau vì $2k_C^2=\mu \omega /\rho$. Do đó nghiệm đã cho thỏa phương trình.

(b) tác dụng lực lên các điện tích tự do và truyền cho dòng dẫn. Năng lượng này trở thành nội năng của vật dẫn qua nhiệt Joule. Năng lượng còn lại trong sóng giảm, nên biên độ giảm theo chiều đi sâu vào kim loại.

(c) Điều kiện giảm biên độ $e$ lần:

$$\begin{array}{rl}{e}^{-k_C\delta }& =e^{-1},\\ k_C\delta & =1,\\ \delta & =\frac{1}{k_C}\\ & =\sqrt{\frac{2\rho }{2\pi f\mu }}.\end{array}$$

Với đồng ở $1,0\mathrm{MHz}$:

$$\begin{array}{rl}\delta & \approx 6,60\times {10}^{-5}\mathrm{m}\\ & =66,0\mu \mathrm{m}.\end{array}$$

Sau vài độ sâu $\delta$, biên độ bên trong đã giảm mạnh. Biên độ giảm $e$ lần tương ứng với đại lượng tỉ lệ bình phương biên độ giảm $e^2$ lần. Sóng tới một tấm đồng vừa có thể bị phản xạ ở mặt vừa bị hấp thụ trong lớp mỏng gần mặt. Vì vậy tín hiệu radio ở này khó xuyên qua một kết cấu kim loại liên tục, dù khe hở và hình học thực tế còn ảnh hưởng đến khả năng thu.

Câu hỏi MCAT: So sánh các giới hạn trường

Các nghiên cứu về tác dụng của trường điện từ lên con người là cơ sở để xây dựng hướng dẫn bảo vệ trước những tác dụng bất lợi đã được xác lập. ICNIRP là Ủy ban Quốc tế về Bảo vệ trước Bức xạ Không ion hóa. Hướng dẫn cho công chúng và hướng dẫn đối với người có phơi nhiễm nghề nghiệp được phân biệt.

Để làm các câu 32.54–32.56, xét dữ kiện giới hạn biên độ :

• Trong miền $1\mathrm{Hz}$ đến $25\mathrm{Hz}$, lấy $E_{max}=14\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.
• Trong miền $25\mathrm{Hz}$ đến $3\mathrm{kHz}$, lấy:

$$E_{max}=\frac{350}{f_k}\mathrm{V}/\mathrm{m},$$

trong đó $f_k$ là trị số tính bằng kilohertz. Chẳng hạn, $60\mathrm{Hz}$ tương ứng với $f_k=\mathrm{0,060}$.

Các dữ kiện này được dùng như một mô hình bài tập về sóng phẳng chạy. Đánh giá phơi nhiễm thực tế ở thấp cần xét và riêng, vì trường gần nguồn không nhất thiết có $E=cB$. Các quy chuẩn và giá trị hiệu dụng cần được tra cứu trong hướng dẫn ICNIRP về trường tần số thấp.

Bài tập 32: 54

Điện lưới tại Hoa Kỳ dùng $60\mathrm{Hz}$. Theo giới hạn của mô hình trên, cường độ lớn nhất của một hình sin tại tần số này là bao nhiêu?

• (a) $7,7\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$.
• (b) $160\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$.
• (c) $45\mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2$.
• (d) $260\mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: phải đổi sang kilohertz trước khi dùng công thức giới hạn. Giới hạn đã cho là biên độ , không phải điện trường hiệu dụng.

Hướng đi:

• Dùng $f_k=\mathrm{0,060}$ để tìm $E_{max}$.
• Dùng $I={\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2/2$, vì đang xét sóng phẳng hình sin trong chân không theo mô hình bài tập.

Biên độ giới hạn:

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}& =\frac{350}{\mathrm{0,060}}\mathrm{V}/\mathrm{m}\\ & =5,83\times {10}^3\mathrm{V}/\mathrm{m}.\end{array}$$

Cường độ tương ứng:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{E}_{max}^2\\ & \approx 4,51\times {10}^4\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2\\ & \approx 45\mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Chọn (c). Đáp án lớn hơn nếu bỏ nhầm hệ số $1/2$, vì khi đó đã dùng biên độ như giá trị hiệu dụng.

Bài tập 32: 55

Nếu tăng gấp đôi trong miền $25\mathrm{Hz}$ đến $3\mathrm{kHz}$, cường độ lớn nhất theo mô hình giới hạn thay đổi theo hệ số nào?

• (a) $2$.
• (b) $1/\sqrt{2}$.
• (c) $1/2$.
• (d) $1/4$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cả ban đầu lẫn tần số sau khi tăng phải nằm trong miền công thức $350/f_k$ áp dụng.

Hướng đi:

• Giới hạn tỉ lệ nghịch với .
• Cường độ sóng hình sin tỉ lệ với bình phương biên độ , nên cần bình phương hệ số thay đổi.

Khi $f_k^{\prime }=2f_k$:

$$\begin{array}{rl}{E}_{max}^{\prime }& =\frac{350}{2f_k}=\frac{E_{max}}{2},\\ \frac{I^{\prime }}{I}& ={\left(\frac{E_{max}^{\prime }}{E_{max}}\right)}^2\\ & =\frac{1}{4}.\end{array}$$

Chọn (d). Nếu mới vượt khỏi miền đã cho, không được kéo dài quy luật này mà chưa có công thức của miền tiếp theo.

Bài tập 32: 56

Trong miền $25\mathrm{Hz}$ đến $3\mathrm{kHz}$, bổ sung vào mô hình một giới hạn :

$$B_{max}=\frac{5}{f_k}\mathrm{T}.$$

Đây là dữ kiện giả định để so sánh cường độ tương đương, không phải một giá trị hướng dẫn phơi nhiễm thực tế. Giới hạn $350/f_k\mathrm{V}/\mathrm{m}$ hay giới hạn trên ràng buộc cường độ của sóng phẳng chặt hơn?

• (a) Giới hạn , vì tại một thì từ trường cho phép nhỏ hơn cho phép.
• (b) Giới hạn , vì cường độ cho phép tính từ giới hạn điện trường nhỏ hơn.
• (c) Tùy được chọn, vì cả hai giới hạn đều phụ thuộc tần số.
• (d) Không giới hạn nào chặt hơn, vì tại mỗi chúng cho cùng cường độ.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần so sánh cùng một đại lượng là cường độ tương đương. Không so trực tiếp trị số đo bằng tesla với trị số đo bằng vôn trên mét.

Hướng đi:

• Quy mỗi giới hạn về cường độ sóng hình sin trong chân không.
• Lấy tỉ số hai cường độ. Cả hai cùng tỉ lệ $1/f_k^2$, nên triệt tiêu.

Đặt $I_E$ và $I_B$ là cường độ suy từ hai giới hạn:

$$\begin{array}{rl}{I}_E& =\frac{1}{2}{\epsilon }_{0}c{\left(\frac{350}{f_k}\right)}^2,\\ I_B& =\frac{c}{2{\mu }_0}{\left(\frac{5}{f_k}\right)}^2.\end{array}$$

Vì $1/({\epsilon }_0{\mu }_0)=c^2$:

$$\begin{array}{rl}\frac{I_B}{I_E}& =c^2{\left(\frac{5}{350}\right)}^2\\ & \approx 1,84\times {10}^{13}>1.\end{array}$$

Giới hạn cho cường độ tương đương nhỏ hơn, nên chọn (b). Lý do ở (a) không đúng về đơn vị. Hai giới hạn phụ thuộc theo cùng một quy luật nên đáp án không đổi trong miền đã cho.

Kết quả chỉ trả lời phép so sánh toán học với các dữ kiện của bài. Với trường thấp gần dây điện hoặc thiết bị, cần đánh giá các thành phần trường theo quy chuẩn thích hợp.

Đáp số tra cứu

Các đáp số dưới đây dùng để tra cứu sau khi hoàn thành bài. Những bài ước lượng giữ rõ các giả thiết cần bổ sung.

• 32.1. (a) $1,28\mathrm{s}$. (b) $8,15\times {10}^{13}\mathrm{km}$ với quy ước một năm bằng 365,25 ngày.
• 32.3. $B=1,33\times {10}^{-8}\mathrm{T}$, hướng $+y$.
• 32.5. $f=3,0\times {10}^{18}\mathrm{Hz}$, $T=3,3\times {10}^{-19}\mathrm{s}$, $k=6,3\times {10}^{10}\mathrm{rad}/\mathrm{m}$.
• 32.7. (a) $6,0\times {10}^4\mathrm{Hz}$, $6,0\times {10}^{13}\mathrm{Hz}$, $6,0\times {10}^{16}\mathrm{Hz}$. (b) Tia gamma có $4,62\times {10}^{-14}\mathrm{m}$ và $4,62\times {10}^{-5}\mathrm{nm}$. Sóng AM có bước sóng $508\mathrm{m}$ và $5,08\times {10}^{11}\mathrm{nm}$.
• 32.9. (a) Hướng $+y$. (b) $\lambda =1,49\times {10}^{-4}\mathrm{m}$. (c) Đặt $\theta =ky-\omega t$, là:

$$\overrightarrow{B}=\hat{\mathbf{x}}(1,03\times {10}^{-3}\mathrm{T})\cos \theta .$$

• 32.11. $\lambda =361\mathrm{m}$, $k=1,74\times {10}^{-2}\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega =5,22\times {10}^6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $E_{max}=1,45\times {10}^{-2}\mathrm{V}/\mathrm{m}$.
• 32.13. (a) $3,81\times {10}^{-7}\mathrm{m}$. (b) $5,26\times {10}^{-7}\mathrm{m}$. (c) $n=1,38$. (d) ${\epsilon }_r=1,91$.
• 32.15. (a) $3,3\times {10}^2\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. (b) $E_{max}=5,0\times {10}^2\mathrm{V}/\mathrm{m}$ và $B_{max}=1,7\times {10}^{-6}\mathrm{T}$.
• 32.17. $P=2,5\times {10}^{25}\mathrm{W}$.
• 32.19. $P=93,8\mathrm{W}$.
• 32.21. $E_{max}=12,0\mathrm{V}/\mathrm{m}$ và $B_{max}=4,00\times {10}^{-8}\mathrm{T}$.
• 32.23. Theo ngưỡng mô hình đã cho, (a) $0,18\mathrm{mW}$. (b) $E_{max}=2,7\times {10}^2\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_{max}=9,2\times {10}^{-7}\mathrm{T}$. (c) trong một giây là $1,8\times {10}^{-4}\mathrm{J}$. (d) Ngưỡng $1,0\times {10}^{-2}\mathrm{W}/{\mathrm{cm}}^2$.
• 32.25. (a) $I=637\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. (b) $E_{max}=693\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_{max}=2,31\times {10}^{-6}\mathrm{T}$. (c) $⟨u⟩=2,12\times {10}^{-6}\mathrm{J}/{\mathrm{m}}^3$.
• 32.27. (a) $L=30,5\mathrm{cm}$. (b) $f=2,46\times {10}^9\mathrm{Hz}$. (c) $f^{\prime }=2,11\times {10}^9\mathrm{Hz}$.
• 32.29. $L=7,50\mathrm{cm}$, hai mode là 5 và 6.
• 32.31. (a) $3,75\times {10}^{-4}\mathrm{J}$. (b) $4,08\times {10}^{-3}\mathrm{Pa}$. (c) Trong dịch kính, $\lambda =604\mathrm{nm}$ và $f=3,70\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$. (d) Trong không khí, $E_{max}=3,04\times {10}^4\mathrm{V}/\mathrm{m}$ và $B_{max}=1,01\times {10}^{-4}\mathrm{T}$. Với cường độ truyền qua giữ nguyên trong dịch kính không từ tính, các biên độ lần lượt là $2,62\times {10}^4\mathrm{V}/\mathrm{m}$ và $1,17\times {10}^{-4}\mathrm{T}$.
• 32.33. (a) $6,02\times {10}^{-9}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$. (b) $E_{max}=2,13\times {10}^{-3}\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_{max}=7,10\times {10}^{-12}\mathrm{T}$. (c) $F=1,20\times {10}^{-18}\mathrm{N}$.
• 32.35. Theo mô hình truyền xuyên tâm không tán xạ, tại bề mặt có $I=6,4\times {10}^7\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ và $p=0,21\mathrm{Pa}$. Tại $R/2$, hai giá trị là $2,6\times {10}^8\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$ và $0,85\mathrm{Pa}$. Cả hai áp suất đều nhỏ hơn áp suất khí đã cho. Mô hình này chưa mô tả áp suất của trường bức xạ nhiều hướng bên trong sao.
• 32.37. $\alpha =3,89\times {10}^{-13}\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$, chiều mômen của tấm phản xạ.
• 32.39. Với dòng theo $+z$:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}& =\hat{\mathbf{z}}\frac{\rho I}{\pi a^2},\\ \overrightarrow{B}& =\hat{\mathit{\varphi }}\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a},\\ \overrightarrow{S}& =-\hat{\mathbf{r}}\frac{\rho I^2}{2{\pi }^2{a}^3},\\ P_{\mathrm{in}}& =\frac{\rho I^2\ell }{\pi a^2}\\ & =I^2{R}_{\mathrm{wire}}.\end{array}$$

• 32.41. (a) Khoảng cách nút $\mathrm{1,364}\mathrm{m}$. (b) Chiều dài hốc $10,91\mathrm{m}$.
• 32.43. $I\approx 9,71\times {10}^{-15}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2$, $E_{max}\approx 2,71\times {10}^{-6}\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_{max}\approx 9,02\times {10}^{-15}\mathrm{T}$, thời gian truyền $\mathrm{0,067}5\mathrm{s}$, áp suất $3,24\times {10}^{-23}\mathrm{Pa}$ và $\mathrm{0,190}4\mathrm{m}$.
• 32.45. Hạt hấp thụ hoàn toàn có:

$$\begin{array}{rl}{F}_g& =\frac{GM}{r^2}\frac{4\pi \rho R^3}{3},\\ F_{\mathrm{rad}}& =\frac{L{R}^2}{4c{r}^2},\\ R_{\ast }& =\frac{3L}{16\pi cGM\rho }\\ & \approx \mathrm{0,195}\mu \mathrm{m}.\end{array}$$

Tỉ số lực bức xạ trên lực hấp dẫn là $R_{\ast }/R$, không phụ thuộc khoảng cách $r$ trong mô hình.

• 32.47. $c=2m/{\epsilon }_0\approx 3,0\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$ với $m$ là hệ số góc của đồ thị $I$ theo $E_{max}^2$.

• 32.49. (a) $p_{\mathrm{rad}}=(2-ϵ)I_0/c$. (b) $F_{\mathrm{rad}}\approx 3,26\times {10}^{-16}\mathrm{N}$. (c) $F_{\mathrm{rad}}/F_g\approx 0,55$.

• 32.51. Theo mô hình phi tương đối tính, tỉ phần phát đi mỗi giây là khoảng $1,39\times {10}^{-11}$ đối với proton và $2,56\times {10}^{-8}$ đối với electron có cùng tốc độ và bán kính.

• 32.53. Độ sâu suy giảm biên độ trong đồng ở $1,0\mathrm{MHz}$ là $\delta \approx 66,0\mu \mathrm{m}$.

• 32.55. Chọn (d), cường độ giảm còn $1/4$ khi cả hai thuộc miền công thức đã cho.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 32, trang 1070–1076.

• ICNIRP, Statement on the Guidelines for Limiting Exposure to Time-Varying Electric, Magnetic, and Electromagnetic Fields, Health Physics 97(3), 257–258 (2009).
• ICNIRP, Guidelines for Limiting Exposure to Time-Varying Electric and Magnetic Fields (1 Hz to 100 kHz), Health Physics 99(6), 818–836 (2010).