27.3. Đường sức từ và từ thông

Làm thế nào mô tả một có hướng và độ lớn thay đổi từ điểm này sang điểm khác? Ta dùng , tương tự cách dùng đường sức điện. Tại mỗi điểm, tiếp tuyến của đường sức có hướng của từ trường $\overrightarrow{B}$.

Hình 27.11: Đường sức từ của một nam châm vĩnh cửu

Chú thích:

• Tại mỗi điểm, đường sức tiếp tuyến với vectơ từ trường. (At each point, the field line is tangent to the magnetic-field vector B.)
• Đường sức càng dày thì từ trường tại điểm đó càng mạnh. (The more densely the field lines are packed, the stronger the field is at that point.)
• Tại mỗi điểm, đường sức chỉ cùng chiều mà kim la bàn sẽ chỉ… (At each point, the field lines point in the same direction a compass would ...)
• Vì vậy, đường sức từ đi ra từ cực Bắc và đi vào cực Nam. (... therefore, magnetic field lines point away from N poles and toward S poles.)

Các đường đi qua cả bên ngoài lẫn bên trong nam châm. Kim la bàn định hướng theo tiếp tuyến của đường sức tại vị trí đặt kim.

Ta chỉ vẽ một số đường đại diện. Nếu vẽ tất cả, chúng sẽ phủ kín không gian. Trong cùng một cách biểu diễn, nơi các đường kề nhau dày hơn có mạnh hơn. Nơi chúng thưa hơn có từ trường yếu hơn. Các đường sức không cắt nhau vì hướng của $\overrightarrow{B}$ tại một điểm được xác định duy nhất.

Đường sức từ không chỉ hướng lực từ lên điện tích

lên hạt chuyển động vuông góc với . Hướng lực còn phụ thuộc vận tốc và dấu . Vì vậy, chỉ nhìn đường sức chưa đủ để xác định lực lên một hạt bất kỳ. Kim la bàn cho biết hướng từ trường, không phải hướng lực tịnh tiến lên hạt mang điện.

Hình 27.12: Phân biệt hướng từ trường và hướng lực từ

Chú thích:

• Sai. (WRONG)
• Đúng. (RIGHT!)
• Đường sức từ không phải là “đường lực”. Lực lên hạt mang điện không nằm dọc theo đường sức từ. (Magnetic field lines are not “lines of force.” The force on a charged particle is not along the direction of a field line.)
• Chiều lực từ phụ thuộc vào vận tốc, theo định luật lực từ. (The direction of the magnetic force depends on the velocity v, as expressed by the magnetic force law F = qv × B.)

Lực được xác định bởi $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Nó không nằm dọc đường sức đi qua vị trí hạt.

Nhận biết từ trường qua bản đồ đường sức

Hình 27.13: Từ trường của nam châm chữ C, dây thẳng, vòng dây và ống dây mang dòng

Chú thích:

• Giữa hai cực từ phẳng, song song, từ trường gần như đều. (Between flat, parallel magnetic poles, the magnetic field is nearly uniform.)
• Để biểu diễn từ trường đi ra hoặc đi vào mặt phẳng giấy, lần lượt dùng dấu chấm và dấu chéo. (To represent a field coming out of or going into the plane of the paper, we use dots and crosses, respectively.)
• Từ trường hướng ra khỏi mặt phẳng. (B directed out of plane)
• Từ trường hướng vào mặt phẳng. (B directed into plane)
• Hình nhìn phối cảnh. (Perspective view)
• Dây nằm trong mặt phẳng giấy. (Wire in plane of paper)
• Hãy chú ý rằng từ trường của vòng dây, đặc biệt là của cuộn dây, giống từ trường của nam châm thanh. (Notice that the field of the loop and, especially, that of the coil look like the field of a bar magnet (see Fig. 27.11).)

Trong khe giữa hai mặt cực phẳng, song song, các đường gần thẳng, song song và cách đều. Điều này biểu thị gần đều trong miền ấy, tức độ lớn và hướng gần như không đổi. Từ trường của vòng dây và đặc biệt của ống dây có hình dạng giống từ trường của một nam châm thẳng.

Vì có cấu trúc ba chiều, hình vẽ cần biểu diễn cả hướng vào và ra khỏi mặt giấy. Dấu chấm biểu thị hướng ra phía người nhìn. Dấu chéo biểu thị vector hướng vào trong. Có thể hình dung chấm là đầu mũi tên đang bay tới, còn chéo là đuôi mũi tên đang bay đi.

Hình 27.14: Mạt sắt định hướng theo đường sức và bản vẽ đường sức tương ứng

Mạt sắt nhỏ có xu hướng xếp theo hướng của , giống những kim la bàn nhỏ. Nhờ đó, mạt sắt giúp quan sát dạng đường sức.

Từ thông qua một mặt

Để đo mức xuyên qua của đối với một mặt, chia mặt ấy thành những phần tử diện tích nhỏ $dA$. Mỗi phần tử có diện tích $d\overrightarrow{A}$ vuông góc với mặt tại vị trí đó. Gọi $\varphi$ là góc giữa $\overrightarrow{B}$ và pháp tuyến đã chọn, còn $B_{\perp }=B\cos \varphi$ là thành phần có dấu theo pháp tuyến.

Hình 27.15: Từ trường và vector diện tích tại một phần tử mặt

Góc dùng trong công thức là góc với pháp tuyến, không phải góc với mặt. Thành phần song song với mặt không đóng góp .

vi phân qua phần tử là:

$$\begin{array}{rl}d{\mathrm{\Phi }}_B& =B_{\perp }dA\\ & =B\cos \varphi dA\\ & =\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}.\end{array}$$

(27.5)

Khi thành phần vuông góc biến thiên trên mặt, cộng đóng góp của tất cả phần tử bằng mặt:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_B& =\int B_{\perp }dA\\ & =\int B\cos \varphi dA\\ & =\int \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}.\end{array}$$

(27.6)

là đại lượng vô hướng. Với mặt phẳng diện tích $A$ trong đều, $B_{\perp }$ và $\varphi$ không đổi trên mặt, nên:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_B& =B_{\perp }A\\ & =BA\cos \varphi .\end{array}$$

(27.7)

Nếu vuông góc mặt và cùng chiều diện tích, $\varphi =0$ và ${\mathrm{\Phi }}_B=BA$. Khái niệm này sẽ được dùng khi xét cảm ứng điện từ ở Chương 29.

Đơn vị SI của là weber, ký hiệu Wb, đặt theo tên nhà vật lý Wilhelm Weber (1804–1891). Từ đơn vị của và diện tích:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{Wb}& =1\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2,\\ 1\mathrm{T}& =1\mathrm{N}/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{m}),\\ 1\mathrm{Wb}& =1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{A}.\end{array}$$

Định luật Gauss đối với từ trường

Đối với điện trường, thông lượng qua mặt kín tỉ lệ với tổng bên trong. Chẳng hạn, một mặt kín bao cả lưỡng cực điện có điện thông tổng bằng không vì điện tích tổng bằng không. Nếu tồn tại một đơn cực từ, ta có thể hình dung một quan hệ tương tự với tổng từ tích.

Trong mô tả từ học đang xét, không có đơn cực từ đóng vai trò nguồn hay điểm tận cùng của đường sức. Định luật Gauss đối với phát biểu rằng tổng qua mọi mặt kín bằng không:

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}=0.$$

(27.8)

Ở đây $d\overrightarrow{A}$ luôn hướng ra ngoài mặt kín. Mỗi phần đường sức đi vào một mặt kín cũng phải đi ra. Các đóng góp vào và ra có dấu trái nhau, nên tổng triệt tiêu. Có thể kiểm tra điều này bằng cách vẽ một mặt kín bất kỳ trên các bản đồ ở Hình 27.11 và 27.13.

Đường sức từ không có điểm đầu hoặc điểm cuối

Không được kết thúc đường sức ở mặt cực nam châm. Bên ngoài nam châm, đường sức đi từ cực bắc đến cực nam, nhưng nó còn tiếp tục trong nam châm. Các đường trong những bản đồ nam châm và vòng dây trên tạo thành vòng kín. Định luật Gauss loại trừ nguồn hay điểm hút đường sức, không đòi hỏi một đường kéo dài đến vô cực phải khép lại trong miền hữu hạn đang vẽ.

Một mặt hở có hai cách chọn pháp tuyến. Ta phải chọn một phía là phía dương và dùng nhất quán trong toàn bộ phép tính. Đổi phía dương sẽ đổi dấu , dù vật lý không đổi.

Nếu phần tử diện tích $d{A}_{\perp }$ vuông góc đường sức, thành phần vuông góc có độ lớn bằng $B$, nên:

$$B=\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{d{A}_{\perp }}.$$

(27.9)

Vì vậy, độ lớn có thể được hiểu là trên một đơn vị diện tích vuông góc với trường. Trong cách diễn đạt này, $\overrightarrow{B}$ còn được gọi là mật độ từ thông.

Ví dụ 27.2: Xác định từ trường từ từ thông

Một mặt phẳng có diện tích $3,0{\mathrm{cm}}^2$ nằm trong đều. qua mặt là $+0,90\mathrm{mWb}$. Trong Hình 27.16a, từ trường tạo góc ${30}^{\circ }$ với mặt. Hãy tìm độ lớn từ trường và hướng diện tích.

Hình 27.16: Mặt phẳng đặt nghiêng trong từ trường đều và hai cách chọn pháp tuyến

diện tích vuông góc mặt. Hướng được chọn ở hình (b) tạo góc ${60}^{\circ }$ với . Hướng ngược lại tạo góc ${120}^{\circ }$.

Nhận diện và bố trí

Vì đều và mặt phẳng, dùng ${\mathrm{\Phi }}_B=BA\cos \varphi$. đã được cho có dấu dương, còn $B$ và $A$ là độ lớn dương. Do đó $\cos \varphi$ phải dương.

Thực hiện

Hai pháp tuyến có thể cho $\varphi ={60}^{\circ }$ hoặc ${120}^{\circ }$. Trường hợp thứ hai có cosine âm, nên không phù hợp dấu đã cho. Ta chọn pháp tuyến tạo góc ${60}^{\circ }$ rồi tính:

$$\begin{array}{rl}A& =3,0\times {10}^{-4}{\mathrm{m}}^2,\\ B& =\frac{{\mathrm{\Phi }}_B}{A\cos \varphi }\\ & =\frac{0,90\times {10}^{-3}}{(3,0\times {10}^{-4})\cos {60}^{\circ }}\\ & =6,0\mathrm{T}.\end{array}$$

Đánh giá và ý chính

Đây là phép suy từ về độ lớn trường và hướng pháp tuyến. Nếu chọn pháp tuyến ngược lại, cùng mặt và cùng trường sẽ cho từ thông âm. Với trường đều, từ thông bằng diện tích nhân thành phần trường vuông góc có dấu. Qua mặt kín, từ thông tổng luôn bằng không.

Bài tập: Kiểm tra hiểu biết 27.3

Hãy tưởng tượng chuyển động dọc trục của vòng dây mang dòng ở Hình 27.13c, từ một điểm xa bên trái đến một điểm xa bên phải. (a) Độ lớn biến thiên thế nào? (i) Không đổi trên toàn đường đi. (ii) Tăng rồi giảm. (iii) Giảm rồi tăng. (b) Hướng từ trường có thay đổi trên đường đi ấy không?

Lời giải

(a) Chọn (ii). Các đường sức dày dần khi tiến đến mặt phẳng vòng dây, rồi thưa dần khi đi ra xa về bên phải. Vì vậy, độ lớn trường tăng đến cực đại ở mặt phẳng vòng dây rồi giảm.

(b) Hướng không đổi. Với chiều dòng trong hình, dọc trục hướng sang phải ở mọi vị trí trên đường đi. trường luôn tiếp tuyến với đường sức tại điểm đang xét.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 27.3, trang 884–888.