36.6 Nhiễu xạ tia X

Vì sao tinh thể có thể nhiễu xạ tia X?

Tia X được phát hiện bởi Wilhelm Röntgen (1845–1923) vào năm 1895. Các phép đo sơ khởi thời kỳ đó cho thấy tia X là sóng điện từ có bước sóng cực ngắn, vào khoảng ${10}^{-10}\text{ m}=0,1\text{ nm}$. Cùng thời điểm đó, các nhà khoa học bắt đầu hình thành giả thuyết rằng trong chất rắn kết tinh, các nguyên tử được sắp xếp theo một trật tự tuần hoàn đều đặn trong không gian ba chiều, với khoảng cách giữa các nguyên tử lân cận cũng vào cỡ ${10}^{-10}\text{ m}$.

Tổng hợp hai ý tưởng trên, Max von Laue (1879–1960) đã đề xuất vào năm 1912 rằng một tinh thể rắn có thể hoạt động như một ba chiều đối với tia X. Khi chùm tia X chiếu qua tinh thể, các nguyên tử đóng vai trò là các tâm tán xạ, hấp thụ năng lượng sóng tới rồi tái phát xạ sóng thứ cấp ra xung quanh. Các sóng tán xạ này sẽ giao thoa với nhau tương tự như sóng phát ra từ các khe của một cách tử.

Hình 36.20: Phần (a): Thí nghiệm nhiễu xạ tia X. (b) Ảnh nhiễu xạ (hay ảnh Laue) được hình thành do sự tán xạ phụ thuộc phương của tia X từ một lát mỏng tinh thể beryl.

Chú thích:

• Một số tia X bị tán xạ khi đi qua tinh thể, tạo thành hình ảnh giao thoa trên phim. (Phần lớn các tia X truyền thẳng qua tinh thể.) (Some x rays are scattered as they pass through the crystal, forming an interference pattern on the film. (Most of the x rays pass straight through the crystal.))
• Bố trí thí nghiệm cơ bản cho nhiễu xạ tia X (Basic setup for x-ray diffraction)
• Ảnh nhiễu xạ Laue thu được khi chiếu chùm tia X qua một lát mỏng tinh thể beryl (Laue diffraction pattern for a thin section of beryl crystal)
• Ống phát tia X (X-ray tube)
• Màn chắn chì (Lead screen)
• Tinh thể mỏng (Thin crystal)
• Đầu dò nhạy với tia X (Detector sensitive to x rays)
• Chùm tia X (X-ray beam)

Các thí nghiệm đầu tiên được tiến hành vào năm 1912 bởi Friedrich, Knipping và von Laue (Hình 36.20a). Chùm tia X hẹp sau khi đi qua màn chắn chì được chiếu xuyên qua một lát mỏng tinh thể beryl và đập vào tấm phim ảnh đặt phía sau. Kết quả thu được trên phim là một hệ các chấm sáng đối xứng rõ nét bao quanh điểm xuyên thẳng trung tâm, được gọi là ảnh nhiễu xạ Laue (Hình 36.20b). Thí nghiệm này là bằng chứng thực nghiệm quyết định xác nhận hai kết luận mang tính nền tảng:

• Tia X thực sự có bản chất sóng.
• Các nguyên tử trong mạng tinh thể được xếp đặt theo một cấu trúc không gian tuần hoàn trật tự (Hình 36.21).

Hình 36.21: Mô hình sắp xếp của các ion chloride màu xanh lục và ion natri màu vàng trong tinh thể NaCl. Khoảng cách giữa các nguyên tử liền kề là 0,282 nm. Các đám mây electron thực tế chồng lấp nhẹ.

Chú thích:

• Các ion clorua (Chloride ions)
• Các ion natri (Sodium ions)

Kể từ thời điểm đó, đã trở thành một công cụ nghiên cứu vô giá trong việc đo lường chính xác bước sóng tia X cũng như giải mã cấu trúc phân tử của chất rắn, chất lỏng và các đại phân tử sinh học phức tạp.

Mô hình tán xạ hai chiều và điều kiện Bragg

Để hiểu rõ cơ chế vật lý của hiện tượng , trước hết chúng ta xét mô hình tán xạ hai chiều đơn giản (Hình 36.22). Giả sử một chùm sóng phẳng đơn sắc bước sóng $\lambda$ chiếu tới một mạng các tâm tán xạ hình chữ nhật. Khoảng cách giữa các nguyên tử liền kề trong cùng một hàng ngang là $a$, và khoảng cách giữa các hàng song song liên tiếp là $d$.

Hình 36.22: Mô hình hai chiều của sự tán xạ tia X từ một mạng nguyên tử hình chữ nhật. (a) Các sóng tán xạ từ mạng. (b) Các sóng tán xạ từ các nguyên tử liền kề trong một hàng giao thoa tăng cường khi góc tới bằng góc tán xạ. (c) Các sóng tán xạ từ các hàng liền kề giao thoa tăng cường khi hiệu quang trình 2d sin θ là một số nguyên lần bước sóng.

Chú thích:

• Sự tán xạ sóng từ một mạng hình chữ nhật (Scattering of waves from a rectangular array)
• Sự tán xạ từ các nguyên tử liền kề trong cùng một hàng (Scattering from adjacent atoms in a row)
• Sự tán xạ từ các nguyên tử ở các hàng kế tiếp (Scattering from atoms in adjacent rows)
• Các tâm tán xạ (chẳng hạn các nguyên tử) (Scatterers (e.g., atoms))
• Sóng phẳng tới (Incident plane waves)
• Sự giao thoa từ các nguyên tử liền kề trong cùng một hàng là tăng cường khi các chiều dài quang trình a cos θ_a và a cos θ_r bằng nhau, sao cho góc tới θ_a bằng góc phản xạ (tán xạ) θ_r. (Interference from adjacent atoms in a row is constructive when the path lengths a cos θ_a and a cos θ_r are equal, so that the angle of incidence θ_a equals the angle of reflection (scattering) θ_r.)
• Sự giao thoa từ các nguyên tử ở các hàng lân cận là tăng cường khi hiệu quang trình 2d sin θ là một số nguyên lần bước sóng, như trong Phương trình (36.16). (Interference from atoms in adjacent rows is constructive when the path difference 2d sin θ is an integer number of wavelengths, as in Eq. (36.16).)

Dưới tác dụng của điện trường sóng tới, các đám mây electron của mỗi nguyên tử dao động điều hòa, hoạt động như những anten lưỡng cực điện phát xạ sóng thứ cấp cùng tần số ra mọi hướng.

Mô hình này cũng có thể được hình dung bằng bể sóng nước có một dãy cọc nhỏ đặt theo mạng. Hệ vân là tổng các sóng tán xạ từ mọi tâm. Khác hệ khe được chiếu vuông góc, các tâm tán xạ không nhất thiết phát cùng pha vì khoảng cách từ nguồn tới từng tâm khác nhau. Do đó, phải tính cả đường từ nguồn tới tâm và đường từ tâm tới điểm quan sát.

Trước hết, ta xét sự tán xạ từ các nguyên tử trong cùng một hàng ngang (Hình 36.22b). Gọi ${\theta }_a$ là góc giữa tia tới và hàng nguyên tử, và ${\theta }_r$ là góc giữa tia tán xạ và hàng nguyên tử. Hiệu quang trình giữa hai sóng phát ra từ hai nguyên tử kề nhau có khoảng cách $a$ là:

$$\mathrm{\Delta }{r}_1=a\cos {\theta }_a-a\cos {\theta }_r$$

Để sóng từ mọi nguyên tử trong cùng một hàng luôn tới người quan sát cùng pha tại mọi bậc, hiệu quang trình này phải bằng không đối với trường hợp phản xạ gương:

$$\begin{array}{rl}a\cos {\theta }_a& =a\cos {\theta }_r\\ {\theta }_a& ={\theta }_r=\theta \end{array}$$

Như vậy, góc tới phải bằng góc phản xạ (tán xạ) đối với mặt hàng nguyên tử.

Tiếp theo, ta xét sự giao thoa giữa các sóng tán xạ phát ra từ các hàng nguyên tử song song liên tiếp (Hình 36.22c). Hai tia sáng phản xạ từ hai hàng kế tiếp cách nhau khoảng $d$ sẽ có hiệu quang trình là tổng độ dài đoạn đường đi thêm trước và sau khi chạm vào hàng thứ hai:

$$\mathrm{\Delta }{r}_2=d\sin \theta +d\sin \theta =2d\sin \theta$$

Để sóng từ mọi hàng nguyên tử tăng cường lẫn nhau, hiệu quang trình này phải bằng một số nguyên lần bước sóng. Ta thu được (Bragg condition), để vinh danh những người tiên phong trong lĩnh vực nhiễu xạ tia X là Sir William Bragg và con trai Laurence Bragg:

$$2d\sin \theta =m\lambda$$

(36.16)

với $m=1,2,3,\dots$ là bậc phản xạ.

Tại các hướng thỏa mãn Phương trình (36.16), trên màn quan sát sẽ xuất hiện một cực đại giao thoa có cường độ lớn. Vì $\sin \theta \le 1$, điều kiện để tồn tại cực đại bậc $m$ là:

$$\begin{array}{rl}m\lambda & \le 2d\\ \lambda & \le \frac{2d}{m}\end{array}$$

Chẳng hạn, đối với tinh thể muối ăn NaCl, khoảng cách giữa các lớp nguyên tử chỉ là $d=\mathrm{0,282}\text{ nm}$. Để quan sát được cực đại bậc một ($m=1$), bước sóng chiếu vào phải thỏa mãn $\lambda \le 2d=\mathrm{0,564}\text{ nm}$. Với bậc hai ($m=2$) cần $\lambda \le \mathrm{0,282}\text{ nm}$. Với bậc ba ($m=3$) cần $\lambda \le \mathrm{0,188}\text{ nm}$. Các giá trị này đều nằm trọn vẹn trong dải bước sóng của tia X, giải thích lý do vì sao ánh sáng nhìn thấy (bước sóng từ $380\text{ nm}$ đến $750\text{ nm}$) hoàn toàn không thể tạo ra hiện tượng nhiễu xạ trên mạng tinh thể.

Cảnh báo: Góc tán xạ và hiệu quang trình trong điều kiện Bragg

Trong Phương trình (36.16), góc $\theta$ được quy ước đo so với mặt phẳng của tinh thể (mặt phẳng nguyên tử), chứ không phải so với pháp tuyến như trong quang hình học truyền thống hay cách tử khe. Đồng thời, hiệu quang trình trong là $2d\sin \theta$, chứa thừa số 2 do tia sáng phải đi vào và đi ra qua khoảng cách giữa hai lớp mạng, khác với $d\sin \theta$ trong công thức cách tử khe đơn thuần.

Cảnh báo: Bản chất của phản xạ Bragg là sự giao thoa

Mặc dù thuật ngữ chuyên môn thường gọi hiện tượng này là "", bản chất vật lý cốt lõi của nó là sự giao thoa tăng cường của vô số sóng tán xạ kết hợp từ các lớp nguyên tử nằm sâu bên trong lòng tinh thể, hoàn toàn tương tự như hiện tượng giao thoa trên màng mỏng.

Mạng tinh thể ba chiều và các họ mặt mạng

Trong tinh thể thực tế, các nguyên tử phân bố trong không gian ba chiều. Khi đó, ta không chỉ có một mặt phẳng nguyên tử duy nhất mà có rất nhiều họ mặt phẳng song song khác nhau cùng đi qua các nút mạng (Hình 36.23).

Hình 36.23: Một tinh thể lập phương và hai họ mặt mạng tinh thể khác nhau. Ngoài ra còn có ba tập hợp mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương, với khoảng cách a.

Chú thích:

• Khoảng cách giữa các mặt phẳng là d = a / √2. (Spacing of planes is d = a/√2.)
• Khoảng cách giữa các mặt phẳng là d = a / √3. (Spacing of planes is d = a/√3.)

Xét một mạng tinh thể lập phương đơn giản có hằng số mạng là $a$:

• Ba họ mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương có khoảng cách mặt mạng đúng bằng $d=a$.
• Họ mặt phẳng đi qua các đường chéo của các mặt bên (Hình 36.23a) có khoảng cách nhỏ hơn, bằng $d=a/\sqrt{2}$.
• Họ mặt phẳng đi qua các đỉnh chéo của hình lập phương (Hình 36.23b) có khoảng cách là $d=a/\sqrt{3}$.

Ứng với mỗi họ mặt phẳng có khoảng cách $d$ xác định, tinh thể sẽ cho một tập hợp các góc $\theta$ tương ứng thỏa mãn Phương trình (36.16). Hiện tượng này được gọi là sự phản xạ Bragg. Khi chùm tia X chiếu qua tinh thể, hầu hết các hướng đều bị triệt tiêu do giao thoa khử, chỉ tại một số hướng góc xác định thỏa mãn đồng thời điều kiện phản xạ gương và Phương trình (36.16) mới tạo thành các chấm sáng giao thoa sắc nét trên phim (Hình 36.20b).

Hình 36.24: Nhà khoa học người Anh Rosalind Franklin đã chụp bức ảnh nhiễu xạ tia X đột phá này của ADN vào năm 1953. Các dải sẫm màu sắp xếp theo hình chữ X đã cung cấp bằng chứng đầu tiên về cấu trúc xoắn của phân tử ADN.

Với tinh thể có cấu trúc và khoảng nguyên tử đã biết, ta dùng hệ vân để tìm bước sóng tia X. Trong tinh thể đơn giản như natri clorua, khoảng nguyên tử có thể được suy từ khối lượng riêng và hằng số Avogadro. Sau khi biết bước sóng, ta dùng nhiễu xạ để khảo sát tinh thể chưa biết cấu trúc.

là công cụ thực nghiệm quan trọng nhất trong việc nghiên cứu cấu trúc tinh thể của chất rắn. Nhiễu xạ tia X cũng đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu về cấu trúc của chất lỏng và các phân tử hữu cơ. Kỹ thuật này từng là một trong những công cụ thực nghiệm chính trong việc tìm ra cấu trúc chuỗi xoắn kép của ADN (Hình 36.24) và các bước tiến tiếp theo trong di truyền học phân tử.

Ví dụ 36.5: Nhiễu xạ tia X

Chiếu một chùm tia X có bước sóng $\lambda =\mathrm{0,154}\text{ nm}$ vào một họ mặt phẳng của tinh thể silic. Khi tăng dần góc tới của chùm tia so với các mặt phẳng từ giá trị 0, cực đại giao thoa mạnh đầu tiên xuất hiện khi chùm tia tạo một góc $34,5^{\circ }$ với các mặt phẳng nguyên tử.

a) Khoảng cách giữa các mặt phẳng nguyên tử kề nhau này là bao nhiêu?

b) Có thể quan sát thấy cực đại giao thoa nào khác từ họ mặt phẳng này ở các góc tới lớn hơn không?

Nhận dạng bài toán: Bài toán khảo sát hiện tượng của tia X trên các mặt phẳng tinh thể, áp dụng điều kiện Bragg ở bậc một ($m=1$) để tìm khoảng cách $d$ và kiểm tra sự tồn tại của các bậc cao hơn ($m\ge 2$).

Chuẩn bị: Theo trong Phương trình (36.16), ta có hệ thức:

$$2d\sin \theta =m\lambda$$

Ở câu a, với cực đại đầu tiên ứng với $m=1$, ta rút ra biểu thức tính khoảng cách $d$:

$$d=\frac{\lambda }{2\sin \theta }$$

Ở câu b, ta tính giá trị $\sin \theta$ ứng với các bậc $m\ge 2$ để kiểm tra tính khả dĩ hình học.

Thực hiện:

a) Thay các số liệu $\lambda =\mathrm{0,154}\text{ nm}$ và $\theta =34,5^{\circ }$ vào công thức với $m=1$:

$$\begin{array}{rl}d& =\frac{1\times \mathrm{0,154}\text{ nm}}{2\sin 34,5^{\circ }}\\ & =\frac{\mathrm{0,154}\text{ nm}}{2\times \mathrm{0,566}4}\\ & \approx \mathrm{0,136}\text{ nm}\end{array}$$

Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng nguyên tử kế tiếp nhau trong họ mặt phẳng này là $\mathrm{0,136}\text{ nm}$.

b) Để kiểm tra các cực đại ở bậc cao hơn, ta giải Phương trình (36.16) theo hàm $\sin \theta$:

$$\begin{array}{rl}\sin \theta & =\frac{m\lambda }{2d}\\ & =\frac{m(\mathrm{0,154}\text{ nm})}{2(\mathrm{0,136}\text{ nm})}\\ & =m\times \mathrm{0,566}\end{array}$$

Với bậc hai ($m=2$), ta nhận được:

$$\sin \theta =2\times \mathrm{0,566}=\mathrm{1,132}>1$$

Vì hàm số sin không thể vượt quá 1 đối với góc thực, phương trình hoàn toàn vô nghiệm với mọi $m\ge 2$. Do đó, đối với họ mặt phẳng tinh thể này, không tồn tại bất kỳ góc tới nào khác cho cực đại giao thoa.

Đánh giá: Kết quả ở phần b chỉ ra rằng cực đại bậc hai sẽ chỉ xuất hiện nếu đại lượng $2\lambda /(2d)=\lambda /d<1$, tức là bước sóng của tia X phải nhỏ hơn khoảng cách mặt mạng $d=\mathrm{0,136}\text{ nm}$. Để có thể quan sát được ba cực đại giao thoa ($m=1,2,3$), bước sóng tia X cần phải đủ ngắn để thỏa mãn:

$$\begin{array}{rl}\lambda & \le \frac{2d}{3}\\ & =\frac{2(\mathrm{0,136}\text{ nm})}{3}\\ & \approx \mathrm{0,090}7\text{ nm}\end{array}$$

Khái niệm cốt lõi: Trong , các sóng tán xạ kết hợp từ các lớp nguyên tử lân cận sẽ giao thoa tăng cường tại các góc thỏa mãn điều kiện Bragg $2d\sin \theta =m\lambda$. Số lượng cực đại quan sát được bị giới hạn chặt chẽ bởi tỷ số giữa bước sóng $\lambda$ và khoảng cách mặt mạng $d$.

Câu hỏi tự kiểm tra 36.6

Tiến hành một thí nghiệm với một tinh thể có khoảng cách giữa các mặt phẳng nguyên tử là $d=\mathrm{0,200}\text{ nm}$. Chùm tia X sử dụng có bước sóng $\lambda =\mathrm{0,090}0\text{ nm}$. Bậc cực đại cao nhất có thể xuất hiện trong hình ảnh nhiễu xạ là bậc mấy?

• (i) Bậc ba
• (ii) Bậc bốn
• (iii) Bậc năm
• (iv) Bậc sáu
• (v) Bậc bảy

Trả lời

Đáp án đúng là (ii): Bậc bốn.

Vị trí góc của cực đại giao thoa bậc $m$ được xác định bởi trong Phương trình (36.16):

$$\begin{array}{rl}2d\sin \theta & =m\lambda \\ m& =\frac{2d\sin \theta }{\lambda }\end{array}$$

Vì giá trị lớn nhất của hàm sin là $\sin \theta \le 1$, bậc cực đại $m$ bị chặn trên bởi:

$$\begin{array}{rl}m& \le \frac{2d}{\lambda }\\ & =\frac{2(\mathrm{0,200}\text{ nm})}{\mathrm{0,090}0\text{ nm}}\\ & \approx 4,44\end{array}$$

Do bậc phản xạ $m$ bắt buộc phải là một số nguyên dương, giá trị nguyên lớn nhất có thể đạt được là $m=4$. Do đó, cực đại có bậc cao nhất quan sát được là cực đại bậc bốn. Các bậc $m=5,6,7,\dots$ không thể xuất hiện trong hình ảnh nhiễu xạ.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 36.6, trang 1200–1203.