38.4. Lưỡng tính sóng–hạt, xác suất và bất định

Giao thoa và nhiễu xạ thể hiện tính sóng của ánh sáng. Các quá trình phát, hấp thụ và tán xạ lại cho thấy và được trao đổi thành từng lượng tử. Hai mặt ấy dường như mâu thuẫn nếu ta buộc ánh sáng phải giống hoàn toàn một sóng cổ điển hoặc một viên bi.

Nguyên lý bổ sung, do Niels Bohr phát biểu năm 1928, yêu cầu dùng cả mô tả sóng lẫn mô tả hạt để có mô hình đầy đủ. Với từng khía cạnh cụ thể của một quá trình, ta chọn mô tả thích hợp. Chẳng hạn, sóng giải thích hình dạng vân, còn giải thích từng lượng mà đầu dò ghi nhận.

Giao thoa và nhiễu xạ trong mô hình photon

Xét lại . Thay vì ghi toàn bộ ảnh lên phim hoặc cảm biến, ta đặt một ống nhân quang điện có thể phát hiện từng ở các vị trí khác nhau. Tại mỗi vị trí, đếm photon trong cùng một khoảng thời gian.

Hình 38.15: Nhiễu xạ một khe được khảo sát bằng ống nhân quang điện dịch chuyển được. Số đếm ở các vị trí tái tạo phân bố cường độ của mô hình sóng.

Chú thích:

• Màn quan sát (Screen)
• Ánh sáng đơn sắc (Monochromatic light)
• Đầu dò nhân quang điện chuyển động được (Movable photomultiplier detector)
• Khe (Slit)
• Cường độ (Intensity)
• Bộ đếm (Counter)

Ở vùng cực đại, đầu dò đếm nhiều . Tại vùng cực tiểu, số đếm gần bằng không. Đồ thị số đếm trung bình theo vị trí cho cùng dạng vân với dự đoán nhiễu xạ.

Giảm cường độ đến mức chỉ vài mỗi giây qua khe, ta ghi nhận những sự kiện tách rời. Không thể dự đoán chắc vị trí photon tiếp theo. Nhưng sau nhiều lần phát hiện, các điểm tích lũy thành phân bố nhiễu xạ quen thuộc.

Do đó, hình vân là một phân bố xác suất. Nó cho biết số trung bình tới từng vùng, hoặc xác suất để một photon riêng lẻ được phát hiện tại vùng ấy. Thí nghiệm hai khe với chùm sáng rất yếu cho kết quả tương tự.

Hình 38.16: Các vị trí phát hiện trong thí nghiệm hai khe sau 21, 1000 và 10.000 photon. Khi số sự kiện tăng, phân bố giao thoa dần hiện rõ.

Chú thích:

• Sau khi 21 photon chạm tới màn (After 21 photons reach the screen)
• Sau khi 1000 photon chạm tới màn (After 1000 photons reach the screen)
• Sau khi 10.000 photon chạm tới màn (After 10,000 photons reach the screen)

Đây là cách áp dụng nguyên lý bổ sung. Mô tả sóng giải thích phân bố giao thoa và nhiễu xạ, nhưng không giải thích được việc đầu dò nhận từng gói . Mô tả hạt giải thích các gói ấy, nhưng một mô hình viên bi cổ điển không tạo ra hình vân.

Câu hỏi “một biết phải đi về phía nào khi qua khe?” gán cho photon một cách vận động cổ điển chưa phù hợp. Ta dùng sóng để tính phân bố xác suất và dùng tính lượng tử để mô tả từng sự kiện phát hiện.

Xác suất, vị trí và động lượng

Trong cơ học Newton, ta có thể coi một vật là chất điểm. Ba tọa độ và ba thành phần xác định trạng thái chuyển động tại một thời điểm, từ đó suy ra chuyển động tiếp theo nếu biết lực.

Mô hình ấy không mô tả đầy đủ . Có những giới hạn cơ bản đối với việc xác định đồng thời vị trí và . Nhiều dự đoán chỉ có thể phát biểu bằng xác suất. Các giới hạn này cũng áp dụng cho electron và những hạt vật chất khác.

Để thấy mối liên hệ, xét đơn sắc qua khe rộng $a$, với $\lambda \ll a$. Phần lớn photon tập trung vào cực đại trung tâm. Một ước lượng thô lấy cỡ $85\mathrm{\%}$. Tính tích phân phân bố Fraunhofer lý tưởng cho khoảng $90\mathrm{\%}$. Các con số này chỉ mô tả mức tập trung, không tham gia vào các biến đổi tiếp theo.

Hình 38.17: Chùm photon tới theo trục x đi qua khe rộng a theo phương y. Photon tới rìa cực đại trung tâm có thêm thành phần động lượng ngang pᵧ.

Chú thích:

• Các thành phần px và py là các thành phần động lượng của photon đập vào mép ngoài của cực đại trung tâm, tại góc θ1. (px and py are the momentum components for a photon striking the outer edge of the central maximum, at angle θ1.)
• Các photon của ánh sáng đơn sắc (Photons of monochromatic light)
• Khe (Slit)
• Màn quan sát (Screen)
• Hình ảnh nhiễu xạ (Diffraction pattern)

Góc giữa tâm vân và cực tiểu thứ nhất thỏa $\sin {\theta }_1=\lambda /a$. Ở góc nhỏ, tính bằng radian,

$${\theta }_1\approx \frac{\lambda }{a}.$$

(38.12)

Dù các có cùng trạng thái chuyển động ban đầu, chúng không tạo cùng một kết quả phát hiện. Ta chỉ dự đoán xác suất đến từng điểm. Tính bất định cơ bản này không có trong mô hình chất điểm Newton.

Một đến rìa cực đại trung tâm có hai thành phần liên hệ qua $p_y/p_x=\tan {\theta }_1$. Vì góc nhỏ,

$$p_y\approx p_x{\theta }_1.$$

(38.13)

Thay góc cực tiểu đầu,

$$p_y\approx p_x\frac{\lambda }{a}.$$

(38.14)

Trong dải trung tâm, $p_y$ phân bố từ khoảng $-p_x\lambda /a$ đến $+p_x\lambda /a$. Khi xét toàn bộ , đối xứng cho giá trị trung bình của $p_y$ bằng không. Độ phân tán vẫn khác không. Với quy ước độ rộng ước lượng này,

$$\mathrm{\Delta }{p}_y\gtrsim p_x\frac{\lambda }{a}.$$

(38.15)

Khe càng hẹp, vân càng rộng và độ bất định theo phương $y$ càng lớn. Vì $\lambda =h/p_x$,

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{p}_y& \gtrsim p_x\frac{h}{p_{x}a}\\ & =\frac{h}{a}.\end{array}$$

Suy ra

$$\mathrm{\Delta }{p}_{y}a\gtrsim h.$$

(38.16)

Bề rộng khe biểu thị mức chưa biết vị trí theo phương $y$ khi qua khe. Muốn giảm độ phân tán bằng cách thu hẹp vân, ta phải mở rộng khe, làm vị trí kém xác định hơn. Thu hẹp khe để biết vị trí rõ hơn lại làm động lượng ngang phân tán rộng hơn.

Trực giác từ đời sống không đủ để loại bỏ kết luận này. Kinh nghiệm thông thường của chúng ta chủ yếu liên quan vật vĩ mô, ít tiếp xúc trực tiếp với hành vi vi mô của từng .

Phát biểu theo độ lệch chuẩn

Một mô tả chính xác hơn dùng độ lệch chuẩn, đại lượng đo mức phân tán quanh giá trị trung bình. Các độ rộng $\mathrm{\Delta }{p}_y$ và $a$ trong ước lượng qua khe ở trên chưa phải hai độ lệch chuẩn.

Khi $\mathrm{\Delta }x$ và $\mathrm{\Delta }{p}_x$ là độ lệch chuẩn của vị trí và thành phần liên hợp trong cùng trạng thái,

$$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }{p}_x\ge \frac{\hslash }{2}.$$

(38.17)

Đây là dạng vị trí– của . Đại lượng $\hslash$, đọc là “h ngang”, là rút gọn:

$$\begin{array}{rl}\hslash & =\frac{h}{2\pi }\\ & \approx \mathrm{1,055}\times {10}^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}\\ & \approx \mathrm{6,582}\times {10}^{-16}\mathrm{eV}\mathrm{s}.\end{array}$$

Không thể làm cả hai độ bất định nhỏ tùy ý. Lập luận từ khe cho thấy giới hạn này liên quan tới tính sóng. Nó không chỉ dành cho mà còn áp dụng cho các hạt vật chất.

Phân biệt h và h ngang

$h$ và $\hslash$ khác nhau một thừa số $2\pi$. Trước khi thay số, cần đọc đúng ký hiệu xuất hiện trong công thức. Giới hạn ở phương trình (38.17) bằng $\hslash /2=h/(4\pi )$.

Hình 38.18: Đường biên của tích độ bất định vị trí–động lượng bằng ℏ/2. Vị trí xác định hơn đi cùng giới hạn dưới lớn hơn cho độ bất định động lượng.

Chú thích:

• Độ bất định vị trí nhỏ và độ bất định động lượng lớn (Small position uncertainty; large momentum uncertainty)
• Được phép: ΔxΔpx ≥ ħ/2 (Allowed: ΔxΔpx ≥ ħ/2)
• Không thể xảy ra: ΔxΔpx < ħ/2 (Impossible: ΔxΔpx < ħ/2)
• Độ bất định vị trí lớn và độ bất định động lượng nhỏ (Large position uncertainty; small momentum uncertainty)

Thay dụng cụ tinh vi hơn không loại bỏ được giới hạn cơ bản. Đầu dò phải tương tác với để phát hiện nó, và tương tác có thể làm thay đổi .

Chẳng hạn, đặt một electron tại giữa khe. Nếu va chạm electron, sự giật lùi cho biết photon đi qua gần vị trí đã chọn. Tuy nhiên, va chạm cũng làm thay đổi photon. Phân tích đầy đủ cho thấy không thể dùng cách ấy để vượt giới hạn.

Sự nhiễu do đo là một cách minh họa, không phải toàn bộ nội dung nguyên lý. Quan hệ (38.17) đã ràng buộc độ phân tán của các đại lượng trong trạng thái đang xét.

Không có gì đặc biệt ở trục $x$. Hai trục còn lại thỏa

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }{p}_y& \ge \hslash /2,\\ \mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}_z& \ge \hslash /2.\end{array}$$

Phải ghép đúng các thành phần liên hợp. Độ bất định $x$ không trực tiếp ràng buộc độ bất định $p_y$ bởi quan hệ này.

Sóng và bất định

Xét truyền theo $+x$, với điện trường phân cực theo $y$, biên độ $A$, $\lambda$ và tần số $f$. Hàm biểu diễn điện trường là

$$E_y(x,t)=A\sin (kx-\omega t).$$

(38.18)

Ở đây $k=2\pi /\lambda$ là số sóng và $\omega =2\pi f$ là góc. Dùng các định nghĩa ấy,

$$\begin{array}{rl}{p}_x& =h/\lambda \\ & =\frac{h}{2\pi }\frac{2\pi }{\lambda }\\ & =\hslash k,\end{array}$$

(38.19a)

và

$$\begin{array}{rl}E& =hf\\ & =\frac{h}{2\pi }(2\pi f)\\ & =\hslash \omega .\end{array}$$

(38.19b)

Để viết gọn, đặt $\alpha =(p_{x}x-Et)/\hslash$. Phương trình sóng trở thành

$$E_y(x,t)=A\sin \alpha .$$

(38.20)

Như vậy, vẫn chứa đầy đủ $p_x$ và $E$. Sóng sin này có động lượng xác định, nên $\mathrm{\Delta }{p}_x=0$. Nó trải khắp trục $x$ với cùng biên độ ở mọi nơi. Không thể dùng nó để xác định ở một miền hữu hạn.

Phát biểu $\mathrm{\Delta }x$ vô hạn ở đây mô tả giới hạn sóng phẳng lý tưởng. Sóng trải vô hạn không phải một phân bố xác suất đã chuẩn hóa trên toàn trục.

Trong thực tế, ta cần mô tả tập trung hơn trong không gian. Có thể chồng hai hoặc nhiều sóng sin có và tần số khác nhau một chút. Xét hai sóng cùng truyền theo $+x$, với $p_{1x},p_{2x}$ và $E_1,E_2$.

Định nghĩa rõ hai thành phần:

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_1& =(p_{1x}x-E_{1}t)/\hslash ,\\ {\alpha }_2& =(p_{2x}x-E_{2}t)/\hslash .\end{array}$$

Tổng hai sóng là

$$E_y=A_1\sin {\alpha }_1+A_2\sin {\alpha }_2.$$

(38.21)

Tại $t=0$, đặt ${\beta }_1=p_{1x}x/\hslash$ và ${\beta }_2=p_{2x}x/\hslash$. Gọi hai giá trị điện trường thành phần là $u_1=A_1\sin {\beta }_1$ và $u_2=A_2\sin {\beta }_2$. Khi ấy,

$$E_y(x,0)=u_1+u_2.$$

(38.22)

Hình 38.19: (a) Hai sóng sin có số sóng và động lượng hơi khác nhau tại một thời điểm. (b) Sóng tổng hợp có biên độ biến thiên theo vị trí, minh họa sự đánh đổi giữa định xứ và độ phân tán động lượng.

Hình xét $A_2=-A_1$. Giống hiện tượng phách khi cộng hai gần nhau, phép cộng tạo các vùng biên độ lớn xen vùng biên độ nhỏ. có khả năng được phát hiện lớn hơn ở vùng biên độ lớn.

không còn một giá trị duy nhất vì hai sóng thành phần có động lượng khác nhau. Hai sóng sin vô hạn tạo một bao tuần hoàn, chưa phải một xung đơn độc đã chuẩn hóa. Chúng vẫn cho thấy cách thay đổi nội dung phổ làm xuất hiện sự tập trung tương đối theo vị trí.

Bắt bướm cùng Heisenberg

Giá trị rất nhỏ của $\hslash$ khiến bất định lượng tử khó nhận ra với vật vĩ mô. Hãy tưởng tượng tăng $\hslash$ lên ${10}^{34}$ lần, thành $1,05\mathrm{J}\mathrm{s}$.

Dùng một vợt đường kính $0,25\mathrm{m}$ giữ con bướm, ta lấy độ bất định vị trí cỡ $\mathrm{\Delta }x=0,25\mathrm{m}$. Độ bất định tối thiểu là

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{p}_x& =\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }x}\\ & =2,1\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Với khối lượng bướm cỡ $3\times {10}^{-4}\mathrm{kg}$, thang tốc độ tương ứng là khoảng $7000\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cỡ hai mươi lần tốc độ âm thanh trong không khí. Thang động năng tương ứng cỡ $7000\mathrm{J}$, gần động năng của một quả bóng chày bay khoảng $300\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Trong thế giới giả định ấy, việc giam con bướm trong vùng nhỏ có thể đi kèm đủ lớn để phá lưới. Đây là ước lượng một thang độ phân tán, không khẳng định mọi lần bắt bướm đều truyền đúng cùng động lượng hoặc cùng động năng.

Ứng dụng: Vợt bắt bướm minh họa giới hạn định xứ nếu hằng số Planck lớn hơn rất nhiều so với giá trị thực.

Bất định năng lượng–thời gian

Cũng có thể khảo sát hai sóng ở một vị trí cố định, chẳng hạn $x=0$. Đặt ${\chi }_1=E_{1}t/\hslash$ và ${\chi }_2=E_{2}t/\hslash$. Gọi $w_1=A_1\sin {\chi }_1$ và $w_2=A_2\sin {\chi }_2$. Tính lẻ của sin cho $A_1\sin (-{\chi }_1)=-w_1$ và $A_2\sin (-{\chi }_2)=-w_2$. Vì vậy,

$$E_y(0,t)=-w_1-w_2.$$

(38.23)

Hai góc là ${\omega }_1=E_1/\hslash$ và ${\omega }_2=E_2/\hslash$. Biên độ tổng tăng giảm theo thời gian, giống hiện tượng phách. có khả năng được phát hiện lớn hơn trong những khoảng biên độ lớn.

Sự tập trung theo thời gian đi cùng độ phân tán . Trái lại, sóng sin có năng lượng hoàn toàn xác định tồn tại với cùng biên độ ở mọi thời điểm, nên không cho biết một thời điểm xuất hiện riêng.

So sánh phương trình theo thời gian với phương trình theo vị trí cho phép thay bằng và vị trí bằng thời gian trong lập luận độ rộng. Quan hệ tương ứng là

$$\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }E\ge \frac{\hslash }{2}.$$

(38.24)

Ở đây $\mathrm{\Delta }t$ là khoảng tồn tại hoặc thang thời gian đặc trưng của hiện tượng, còn $\mathrm{\Delta }E$ là độ rộng phù hợp. Cần xác định cách đo các độ rộng trước khi áp dụng. Hệ thức này không phát biểu rằng thời gian luôn là một toán tử vị trí khác, hoặc rằng $\mathrm{\Delta }t$ luôn là sai số đồng hồ.

thực có độ dài không gian hữu hạn và đi qua một điểm trong khoảng thời gian hữu hạn. Ví dụ tiếp theo xét hệ quả của tính chất ấy.

Ví dụ 38.7: Xung laser siêu ngắn và bất định

Laser phát ánh sáng trung tâm $800\mathrm{nm}$ thành các xung dài $4,00\mathrm{fs}$. Mỗi xung mang $2,00\mu \mathrm{J}$ và truyền theo chiều $+x$.

(a) Tìm ánh sáng. (b) Tìm và độ bất định năng lượng tối thiểu của một . (c) Tìm độ bất định tần số tối thiểu. (d) Tìm chiều dài xung theo mét và theo số bước sóng. (e) Tìm cùng độ bất định tối thiểu của một photon. (f) Ước lượng số photon mỗi xung.

Nhận dạng: Cần phân biệt toàn bộ xung, chứa nhiều , với một photon trong xung.

Chuẩn bị: Trong mô hình ước lượng, thời lượng xung cho mức chưa biết thời điểm một ra khỏi laser. Chiều dài $c\mathrm{\Delta }t$ cho mức chưa biết vị trí dọc xung. Ta dùng các hệ thức photon và hai quan hệ bất định.

Thực hiện:

(a) Với $c=3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$,

$$f=\frac{c}{\lambda }=3,75\times {10}^{14}\mathrm{Hz}.$$

(b) trung bình và độ rộng năng lượng tối thiểu là

$$\begin{array}{rl}E& =hf\\ & \approx 2,48\times {10}^{-19}\mathrm{J},\\ \mathrm{\Delta }E& =\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }t}\\ & \approx 1,32\times {10}^{-20}\mathrm{J}.\end{array}$$

Độ bất định tối thiểu cỡ $5,3\mathrm{\%}$ trung bình. Xung thực có thể có độ rộng lớn hơn, tùy hình dạng.

(c) Vì $\mathrm{\Delta }E=h\mathrm{\Delta }f$,

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }f& =\mathrm{\Delta }E/h\\ & \approx 1,99\times {10}^{13}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

Giá trị này cũng cỡ $5,3\mathrm{\%}$ trung tâm. Xung ngắn không có một tần số duy nhất. Phổ của nó trải quanh tần số trung tâm, chứ mọi không bắt buộc nằm trong một khoảng cắt sắc ở đúng hai đầu $\pm 5,3\mathrm{\%}$.

(d) Chiều dài xung là

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }x& =c\mathrm{\Delta }t\\ & =1,20\times {10}^{-6}\mathrm{m}.\end{array}$$

Tỷ số $\mathrm{\Delta }x/\lambda =1,50$. Xung chỉ dài một lần rưỡi , ngắn hơn hai bước sóng.

(e) trung bình và giới hạn độ rộng tương ứng là

$$\begin{array}{rl}{p}_x& =E/c\\ & \approx 8,28\times {10}^{-28}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s},\\ \mathrm{\Delta }{p}_x& =\frac{\hslash }{2\mathrm{\Delta }x}\\ & \approx 4,40\times {10}^{-29}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Độ rộng tối thiểu cũng cỡ $5,3\mathrm{\%}$ trung bình.

(f) Gọi cả xung là $U=2,00\times {10}^{-6}\mathrm{J}$. Số trung bình xấp xỉ

$$\overline{N}=\frac{U}{E}\approx 8,06\times {10}^{12}.$$

Đánh giá: Xung càng dài thì thời gian và chiều dài đặc trưng càng lớn, cho phép các giới hạn dưới của độ rộng và nhỏ hơn.

Phép chia xung cho năng lượng trung bình là một ước lượng số đếm, không bảo đảm mọi xung lặp lại chứa đúng cùng số photon. Khác với việc đếm những hạt vật chất bảo toàn trong một vật cô lập, photon có thể được phát và hấp thụ trong các lần chuẩn bị xung khác nhau.

Khái niệm cần nhớ: Định xứ tốt hơn theo vị trí đi cùng giới hạn lớn hơn cho độ phân tán . Tập trung hơn theo thời gian đi cùng giới hạn lớn hơn cho độ rộng .

Câu hỏi tự kiểm tra 38.4

có $\lambda$ đi qua khe rộng $a$, với $\lambda \ll a$. Trong các góc sau, góc nào có khả năng xảy ra lớn nhất?

• (i) $\theta =\lambda /a$.
• (ii) $\theta =3\lambda /(2a)$.
• (iii) $\theta =2\lambda /a$.
• (iv) $\theta =3\lambda /a$.
• (v) Không đủ thông tin để quyết định.

Xem đáp án và giải thích

Chọn (ii). Các cực tiểu thỏa $a\sin \theta =m\lambda$, với $m=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$. Ở góc nhỏ, chúng gần $\lambda /a$, $2\lambda /a$ và $3\lambda /a$, nên ba phương án (i), (iii), (iv) tương ứng các vân tối.

Góc $3\lambda /(2a)$ nằm giữa hai cực tiểu và có cường độ khác không. Vì vậy, nó có xác suất khác không, lớn hơn ba lựa chọn vân tối trong xấp xỉ đang xét. Không cần khẳng định góc này đúng bằng vị trí cực đại phụ.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 38.4, trang 1266–1272.