21.3. Định luật Coulomb

Charles Augustin de Coulomb (1736–1806) nghiên cứu chi tiết lực giữa các hạt mang điện vào năm 1784. Ông dùng cân xoắn, tương tự dụng cụ Cavendish dùng 13 năm sau để nghiên cứu tương tác hấp dẫn yếu hơn nhiều. Một quả cầu mang điện làm quả cầu kia lệch đi, cho đến khi lực đàn hồi do sợi xoắn cân bằng lực điện. Độ xoắn giúp đo lực.

Với vật mang điện rất nhỏ so với khoảng cách $r$ giữa chúng, ta dùng mô hình điểm. Coulomb nhận thấy lực tỷ lệ với $1/r^2$: Tăng khoảng cách gấp đôi làm lực còn một phần tư, còn giảm khoảng cách một nửa làm lực tăng gấp bốn.

Để xét sự phụ thuộc vào lượng , ông cho một cầu dẫn nhỏ mang điện chạm một cầu giống hệt đang trung hòa. Đối xứng làm điện tích chia đều, còn bảo toàn điện tích bảo đảm tổng lượng không đổi. Lặp thao tác này cho một nửa, một phần tư và những phần nhỏ hơn của điện tích ban đầu. Lực giữa hai điện tích điểm tỷ lệ với mỗi điện tích, nên tỷ lệ với tích hai điện tích.

Hình 21.10: Cân xoắn và các lực giữa hai điện tích điểm

Chú thích:

• (a) Cân xoắn thuộc loại Coulomb dùng để đo lực điện ((a) A torsion balance of the type used by Coulomb to measure the electric force)
• Sợi dây xoắn (Torsion fiber)
• Các quả cầu ruột bấc mang điện (Charged pith balls)
• Thang đo (Scale)
• (b) Tương tác giữa các điện tích điểm ((b) Interactions between point charges)
• Điện tích cùng dấu đẩy nhau (Charges of the same sign repel)
• Điện tích trái dấu hút nhau (Charges of opposite sign attract)
• Quả cầu âm hút quả cầu dương, quả dương chuyển động đến khi lực đàn hồi của sợi xoắn cân bằng lực hút điện (The negatively charged ball attracts the positively charged one; the positive ball moves until the elastic forces in the torsion fiber balance the electrostatic attraction)

Hình 21.10: (a) Các quả cầu ruột bấc mang điện được giữ bởi sợi xoắn, với thang đo độ lệch. Quả âm hút quả dương cho đến khi lực đàn hồi cân bằng lực điện. (b) cùng dấu đẩy nhau, trái dấu hút nhau. Hai lực luôn cùng độ lớn và ngược chiều, với mỗi lực đặt trên một điện tích khác nhau.

Định luật Coulomb: Độ lớn lực điện giữa hai điểm tỷ lệ thuận với tích độ lớn hai điện tích và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.

$$F=k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}.$$

(21.1)

Ở đây $q_1$, $q_2$ có thể dương hoặc âm, còn $r>0$ là khoảng cách. Dấu giá trị tuyệt đối giữ cho độ lớn lực không âm. Lực hướng dọc đường nối hai : Hướng ra xa điện tích kia nếu cùng dấu và hướng về điện tích kia nếu trái dấu.

Hai lực tuân theo định luật III Newton, kể cả khi độ lớn hai không bằng nhau:

$${\overrightarrow{F}}_{1\to 2}=-{\overrightarrow{F}}_{2\to 1}.$$

Sự phụ thuộc vào nghịch đảo bình phương khoảng cách đã được kiểm tra với độ chính xác rất cao. Hình thức này giống định luật hấp dẫn, nhưng hai tương tác khác nhau. Lực điện phụ thuộc , có thể hút hoặc đẩy. Lực hấp dẫn trong mô hình đang xét phụ thuộc khối lượng và luôn hút vì không có khối lượng âm.

Ứng dụng sinh học: Lực điện và sự tái hấp thu ion trong mồ hôi

Sự tái hấp thu ion quyết định lượng muối còn lại trong mồ hôi

Một cách khảo sát bệnh xơ nang là đo lượng muối trong mồ hôi. Mồ hôi gồm nước và các ion, trong đó có ${\mathrm{Na}}^{+}$ và ${\mathrm{Cl}}^{-}$ của muối ăn. Khi tế bào biểu mô tiết mồ hôi, một phần ion clo trở vào tế bào qua quá trình tái hấp thu. Lực hút điện kéo ion natri dương đi cùng ion clo âm. Nước không trở lại theo cách đó, nên mồ hôi trên da có lượng muối thấp. Khi tái hấp thu clo bị ngăn ở người mắc xơ nang, mồ hôi có thể có nồng độ natri và clo cao đến bốn lần mức thông thường. Đây là tình huống minh họa vai trò của lực hút giữa trái dấu.

Đơn vị điện tích và các hằng số

Trong điện từ học ta dùng hệ SI, với các đơn vị quen thuộc như volt, ampere, ohm và watt. Đơn vị là coulomb, ký hiệu $\mathrm{C}$. Giá trị hệ số Coulomb dùng ở đây là:

$$\begin{array}{rl}k& =8.987551787\times {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2\\ & \approx 8.988\times {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2.\end{array}$$

Trong hệ định nghĩa trước năm 2018, $k$ được ấn định chính xác thông qua tốc độ ánh sáng $c$, vốn liên hệ với định nghĩa giây và mét. Sự liên hệ giữa $k$ và $c$ sẽ xuất hiện khi nghiên cứu bức xạ điện từ ở chương 32. Với thay đổi định nghĩa SI năm 2018, $k$ không còn là giá trị chính xác theo định nghĩa mà có độ bất định tương đối rất nhỏ, cỡ $2\times {10}^{-10}$ trong bộ số liệu đang sử dụng. Độ bất định này không ảnh hưởng các phép tính nhập môn của chương.

Về nguyên tắc, đo lực giữa hai bằng nhau ở một khoảng cách đã biết có thể giúp xác định điện tích bằng định luật Coulomb. Nhưng để đạt độ chính xác tốt hơn, coulomb được định nghĩa qua điện tích cơ bản $e$, tức độ lớn điện tích proton hoặc electron:

$$e=1.602176634\times {10}^{-19}\mathrm{C}.$$

Giá trị này chính xác theo định nghĩa. Một coulomb tương ứng độ lớn tổng của khoảng $6\times {10}^{18}$ electron. Để so sánh, một khối đồng cạnh $1\mathrm{cm}$ chứa khoảng $2.4\times {10}^{24}$ electron, và khoảng ${10}^{19}$ electron đi qua dây tóc sáng của bóng đèn pin mỗi giây. Định nghĩa coulomb trước đây dựa vào đơn vị dòng điện được thay đổi cùng hệ định nghĩa SI.

Ta thường viết $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$, với ${\epsilon }_0$ gọi là hằng số điện. Cách viết này làm gọn những biểu thức ở các chương sau:

$$\begin{array}{rl}F& =k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}.\\ {\epsilon }_0& \approx 8.854\times {10}^{-12}{\mathrm{C}}^2/(\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2),\\ k& \approx 8.988\times {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2.\end{array}$$

Trong nhiều bài tính, có thể làm tròn hệ số đến $9.0\times {10}^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. cỡ $1\mathrm{C}$ là rất lớn trong tĩnh điện: Hai điện tích như vậy cách $1\mathrm{m}$ tác dụng lực cỡ $9\times {10}^9\mathrm{N}$, tương đương trọng lượng khoảng một triệu tấn. Tổng điện tích electron trong một đồng xu đồng một cent còn lớn hơn, khoảng $1.4\times {10}^5\mathrm{C}$. Vì điện tích dương và âm gần bù nhau, chỉ cần phá sự trung hòa rất ít đã tạo lực đáng kể. Những điện tích dư thường gặp trong bài nằm từ microcoulomb đến nanocoulomb:

$$\begin{array}{rl}1\mu \mathrm{C}& ={10}^{-6}\mathrm{C},\\ 1\mathrm{nC}& ={10}^{-9}\mathrm{C}.\end{array}$$

Ví dụ 21.1: So sánh lực điện và lực hấp dẫn

Một hạt alpha, tức hạt nhân helium, có khối lượng $m=6.64\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$ và $q=+2e=3.2\times {10}^{-19}\mathrm{C}$. So sánh lực đẩy điện và lực hút hấp dẫn giữa hai hạt alpha.

Hình 21.11: Hai hạt alpha với lực điện đẩy và lực hấp dẫn hút

Lời giải

Xác định và thiết lập. Ta cần tỷ số $F_e/F_g$. Hai hạt cách nhau $r$ chịu lực Coulomb và lực hấp dẫn Newton:

$$\begin{array}{rl}{F}_e& =k\frac{q^2}{r^2},\\ F_g& =G\frac{m^2}{r^2}.\end{array}$$

Thực hiện. Cả hai tỷ lệ nghịch $r^2$, nên khoảng cách triệt tiêu trong tỷ số:

$$\begin{array}{rl}\frac{F_e}{F_g}& =\frac{k}{G}\frac{q^2}{m^2}\\ & =\frac{9.0\times {10}^9}{6.67\times {10}^{-11}}\times \frac{(3.2\times {10}^{-19}{)}^2}{(6.64\times {10}^{-27}{)}^2}\\ & \approx 3.1\times {10}^{35}.\end{array}$$

Các đơn vị triệt tiêu vì tử và mẫu đều là lực.

Đánh giá. Lực hấp dẫn giữa các hạt này không đáng kể so với lực điện. Tương tác giữa các hạt nguyên tử và dưới nguyên tử thường có đặc điểm đó. Nhưng trong những vật lớn như cơ thể hoặc hành tinh, dương và âm gần bù nhau, nên lực điện tổng thường nhỏ hơn lực hấp dẫn.

Điều cần giữ là hai sự phụ thuộc của lực điện: Tích độ lớn và nghịch đảo bình phương khoảng cách.

Nguyên lý chồng chất lực

Định luật Coulomb mô tả một cặp điểm. Khi nhiều điện tích cùng tác dụng lên một điện tích đang xét, thực nghiệm cho thấy tổng lực là tổng các lực mà từng nguồn riêng lẻ gây ra. Đó là nguyên lý chồng chất.

Với hai nguồn, ta cộng ${\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$. Với ba nguồn, cộng thêm ${\overrightarrow{F}}_3$. Tổng quát, nếu có $n$ nguồn:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{F}& ={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+\cdots +{\overrightarrow{F}}_n\\ & =\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_i.\end{array}$$

Chỉ số $i$ chạy qua mọi nguồn gây lực lên đang xét, không gồm chính điện tích đó. Phải cộng các thành phần có dấu, không cộng riêng độ lớn các lực.

Định luật Coulomb với hệ số trên áp dụng chặt chẽ cho điểm trong chân không. Nếu có vật chất giữa các nguồn, điện tích hưởng ứng trong vật chất làm thay đổi lực tổng. Trong không khí ở áp suất khí quyển thông thường, độ thay đổi chỉ cỡ một phần 2000 so với chân không, nên thường có thể giữ nguyên biểu thức.

Cách giải bài toán lực Coulomb

Xác định. Nhận diện những hạt mang điện và cần tìm lực tác dụng lên.

Thiết lập. Vẽ vị trí các hạt, ghi của từng hạt. Nếu chúng không cùng nằm trên đường thẳng, chọn hệ trục $xy$. Phân biệt hạt gây lực với hạt chịu lực.

Thực hiện.

1. Với từng nguồn, dùng (21.2) để tìm độ lớn lực lên hạt cần xét.
2. Vẽ sơ đồ lực trên hạt đó. Trái dấu cho lực hướng về nguồn, còn cùng dấu cho lực hướng ra xa nguồn.
3. Cộng lực theo , thường thuận tiện nhất là cộng thành phần.
4. Dùng đơn vị nhất quán: Khoảng cách bằng mét, bằng coulomb, lực bằng newton khi dùng hệ số SI.
5. Với nguồn phân bố trên đường, mặt hoặc thể tích, chia thành những phần rất nhỏ, tìm lực của từng phần rồi . Có những trường hợp đối xứng cho phép tìm tổng mà không cần thực hiện tích phân.
6. Tận dụng đối xứng. Chẳng hạn, hai giống nhau tạo lực tổng bằng không lên điện tích đúng giữa chúng vì hai lực bằng nhau và ngược chiều.

Đánh giá. Kiểm tra độ lớn có hợp lý và hướng có phù hợp quy tắc cùng dấu đẩy, trái dấu hút.

Ví dụ 21.2: Lực giữa hai điện tích điểm

Hai $q_1=+25\mathrm{nC}$, $q_2=-75\mathrm{nC}$ cách nhau $r=3.0\mathrm{cm}$. Tìm độ lớn và hướng của (a) lực $q_1$ tác dụng lên $q_2$ và (b) lực $q_2$ tác dụng lên $q_1$.

Hình 21.12: Hai điện tích và các sơ đồ lực riêng trên mỗi điện tích

Chú thích:

• (a) Hai điện tích ((a) The two charges)
• (b) Sơ đồ lực tác dụng lên q₂ ((b) Free-body diagram for charge q2)
• (c) Sơ đồ lực tác dụng lên q₁ ((c) Free-body diagram for charge q1)

Hình 21.12: $q_1$ ở bên trái $q_2$. Sơ đồ (b) biểu diễn lực trên $q_2$, còn (c) biểu diễn lực trên $q_1$. Lực hấp dẫn có thể bỏ qua.

Lời giải

Xác định và thiết lập. Dùng Coulomb cho độ lớn và dấu cho hướng. Đổi khoảng cách thành $0.030\mathrm{m}$.

Thực hiện (a).

$$\begin{array}{rl}{F}_{1\to 2}& =k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2}\\ & =9.0\times {10}^9\times \frac{|(25)(-75){10}^{-18}|}{(0.030{)}^2}\mathrm{N}\\ & \approx 0.019\mathrm{N}.\end{array}$$

Hai trái dấu nên $q_2$ bị hút về $q_1$, tức sang trái.

(b) Đổi thứ tự hai không làm đổi tích độ lớn:

$$F_{2\to 1}=F_{1\to 2}=0.019\mathrm{N}.$$

Lực lên $q_1$ hướng sang phải, về $q_2$.

Đánh giá. Hai có độ lớn khác nhau nhưng hai lực vẫn bằng nhau về độ lớn. Mỗi lực đặt trên một hạt khác, nên không triệt tiêu trong sơ đồ lực của một hạt riêng.

Ví dụ 21.3: Cộng lực trên một đường thẳng

Trên trục $x$, $q_1=1.0\mathrm{nC}$ ở $x=+2.0\mathrm{cm}$ và $q_2=-3.0\mathrm{nC}$ ở $x=+4.0\mathrm{cm}$. Tìm tổng lực của chúng lên $q_3=5.0\mathrm{nC}$ tại $x=0$.

Hình 21.13: Vị trí ba điện tích và hai lực lên điện tích tại gốc

Chú thích:

• (a) Sơ đồ cấu hình ((a) Our diagram of the situation)
• (b) Sơ đồ lực tác dụng lên q₃ ((b) Free-body diagram for q3)

Lời giải

Xác định và thiết lập. Cộng hai lực lên $q_3$. $q_1$ cùng dấu đẩy $q_3$ sang $-x$, còn $q_2$ trái dấu hút $q_3$ sang $+x$.

Thực hiện. Với khoảng cách $0.020\mathrm{m}$ và $0.040\mathrm{m}$:

$$\begin{array}{rl}{F}_{1\to 3}& =\frac{(9.0)(1.0)(5.0)}{{0.020}^2}{10}^{-9}\mathrm{N}\\ & \approx 112\mu \mathrm{N},\\ F_{2\to 3}& =\frac{(9.0)(3.0)(5.0)}{{0.040}^2}{10}^{-9}\mathrm{N}\\ & \approx 84\mu \mathrm{N}.\end{array}$$

Lấy $\hat{\mathbf{i}}$ theo chiều $+x$:

$$\begin{array}{rl}{\overrightarrow{F}}_3& =(-112\mu \mathrm{N})\hat{\mathbf{i}}+(84\mu \mathrm{N})\hat{\mathbf{i}}\\ & =(-28\mu \mathrm{N})\hat{\mathbf{i}}.\end{array}$$

Đánh giá. thứ hai có độ lớn gấp ba nhưng cách xa gấp đôi, nên lực của nó bằng $3/2^2=0.75$ lần lực thứ nhất. Tỷ số $84/112=0.75$ phù hợp. Lực thứ nhất mạnh hơn nên tổng lực hướng $-x$.

Ví dụ này có các bài biến thể ở phần luyện tập cuối chương.

Ví dụ 21.4: Cộng lực trong mặt phẳng

Hai dương bằng nhau $q_1=q_2=2.0\mu \mathrm{C}$ ở $(0,0.30\mathrm{m})$ và $(0,-0.30\mathrm{m})$. Tìm độ lớn và hướng tổng lực lên $Q=4.0\mu \mathrm{C}$ tại $(0.40\mathrm{m},0)$.

Hình 21.14: Hai điện tích đối xứng qua trục x gây lực lên Q

Lời giải

Xác định và thiết lập. Tính từng lực rồi cộng thành phần. Khoảng cách từ mỗi nguồn đến $Q$ là $0.50\mathrm{m}$. Hai lực đẩy có thành phần ngang cùng chiều, còn thành phần đứng ngược chiều.

Thực hiện.

$$\begin{array}{rl}{F}_{1\to Q}& =F_{2\to Q}\\ & =9.0\times {10}^9\times \frac{(4.0)(2.0){10}^{-12}}{(0.50{)}^2}\mathrm{N}\\ & \approx 0.29\mathrm{N}.\end{array}$$

Góc $\alpha$ của mỗi lực với trục ngang thỏa $\cos \alpha =0.40/0.50$. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}{F}_{1x}& =F_{2x}\\ & =(0.29\mathrm{N})\frac{0.40}{0.50}\\ & \approx 0.23\mathrm{N},\\ F_y& =0,\\ F_x& =0.23\mathrm{N}+0.23\mathrm{N}\\ & =0.46\mathrm{N}.\end{array}$$

Tổng lực có độ lớn $0.46\mathrm{N}$, hướng $+x$.

Đánh giá. Tổng lực không hướng trực tiếp ra xa riêng $q_1$ hay riêng $q_2$ mà hướng ra xa cả hệ đối xứng. Nếu hai không bằng nhau hoặc cách bố trí mất đối xứng, thành phần đứng không còn tự triệt tiêu.

Ví dụ này có các bài biến thể ở phần luyện tập cuối chương.

Bài tập: Câu hỏi ôn lại mục 21.3

Nếu đổi $q_2$ trong Ví dụ 21.4 thành $-2.0\mu \mathrm{C}$, tổng lực lên $Q$ sẽ hướng (i) $+x$, (ii) $-x$, (iii) $+y$, (iv) $-y$, (v) bằng không, hay (vi) không thuộc các trường hợp trên?

Lời giải: Giải thích

Chọn (iv). Lực do $q_1$ không đổi. Lực do $q_2$ có cùng độ lớn nhưng đảo chiều, hướng từ $Q$ xuống trái về $q_2$. Hai thành phần ngang triệt tiêu, còn hai thành phần đứng âm cộng lại, nên lực tổng hướng $-y$.

Tài liệu tham khảo

Hugh D. Young và Roger A. Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 21, mục 21.3, trang 685–690.