31.2. Điện trở và điện kháng

Với cùng một điện áp xoay chiều, vì sao thay bằng hoặc lại làm đổi cả độ lớn lẫn thời điểm đạt cực đại của dòng? Ta xét riêng từng phần tử khi dòng hình sin đã ổn định. Chọn dòng làm mốc pha:

$$i(t)=I\cos \omega t.$$

Trong các sơ đồ dưới đây, chiều dương của dòng đi ngược chiều kim đồng hồ. Điện áp trên phần tử được lấy bằng điện thế đầu a trừ điện thế đầu b.

Điện trở trong mạch xoay chiều

Với thuần $R$, định luật Ohm áp dụng tại từng thời điểm:

$$\begin{array}{}\text{(31.6)}& \begin{array}{rl}{v}_R& =iR\\ & =IR\cos \omega t.\end{array}\end{array}$$

(31.6)

Biên độ điện áp là

$$V_R=IR.$$

(31.7)

Do đó

$$v_R=V_R\cos \omega t.$$

(31.8)

Điện áp và dòng cùng tỉ lệ với $\cos \omega t$, nên chúng cùng pha. Hai đại lượng đạt cực đại, bằng không và đạt cực tiểu cùng lúc.

Hình 31.7: Điện trở nối với nguồn xoay chiều, đồ thị điện áp và dòng cùng pha, cùng giản đồ pha tương ứng.

Chú thích:

• Phần (a): Mạch nguồn xoay chiều và điện trở ((a) Circuit with ac source and resistor)
• Phần (b): Đồ thị dòng và điện áp theo thời gian ((b) Graphs of current and voltage versus time)
• Quan hệ biên độ giống mạch một chiều (Amplitudes are in the same relationship as for a dc circuit: VR = IR.)
• Dòng cùng pha điện áp: Đỉnh và đáy xuất hiện cùng lúc (Current is in phase with voltage: crests and troughs occur together.)
• Phần (c): Giản đồ pha ((c) Phasor diagram)
• Vector pha dòng (Current phasor)
• Vector pha điện áp (Voltage phasor)
• Hai vector pha cùng pha và quay cùng nhau (Current and voltage phasors are in phase: they rotate together.)
• Điện áp tức thời (Instantaneous voltage)
• Dòng tức thời (Instantaneous current)

Thang đứng của dòng và điện áp trong Hình 31.7b khác nhau. Vì vậy chiều cao hai đường không thể được dùng để so trực tiếp số đo bằng ampe với số đo bằng vôn. Trong , hai vector quay cùng tần số và luôn song song, cùng chiều.

Cuộn cảm trong mạch xoay chiều

Thay bằng thuần có điện cảm $L$ và điện trở bằng không. Dù không có điện trở, dòng biến thiên vẫn gây ra suất điện động tự cảm.

Hình 31.8: Với cuộn cảm thuần, điện áp sớm pha hơn dòng một phần tư chu kỳ, tương ứng góc 90 độ.

Chú thích:

• Phần (a): Mạch nguồn xoay chiều và cuộn cảm ((a) Circuit with ac source and inductor)
• Phần (b): Đồ thị dòng và điện áp theo thời gian ((b) Graphs of current and voltage versus time)
• Đường điện áp sớm đường dòng một phần tư chu kỳ, tương ứng góc 90 độ (Voltage curve leads current curve by a quarter-cycle (corresponding to φ = π/2 rad = 90°).)
• Phần (c): Giản đồ pha ((c) Phasor diagram)
• Vector pha điện áp sớm vector pha dòng 90 độ (Voltage phasor leads current phasor by φ = π/2 rad = 90°.)
• Vector pha điện áp (Voltage phasor)
• Vector pha dòng (Current phasor)
• Góc pha phi (Phase angle φ)

Suất điện động tự cảm theo chiều dương của dòng là

$${\mathcal{E}}_L=-L\frac{di}{dt}.$$

Điện áp đầu a so với đầu b có dấu ngược lại:

$$v_L=+L\frac{di}{dt}.$$

Chẳng hạn, khi dòng dương từ a sang b đang tăng, suất điện động cảm ứng chống lại sự tăng đó. Đầu a phải ở điện thế cao hơn đầu b để duy trì dòng tăng, nên $v_L>0$.

Xác định dấu điện áp cuộn cảm

Điện áp do dấu của $di/dt$ quyết định, không chỉ do dấu của dòng. Dòng dương đang giảm cho $di/dt<0$ và $v_L<0$. Dòng âm đang tăng về độ lớn cũng cho âm. Dòng âm đang giảm về độ lớn cho đạo hàm dương.

Các trường hợp này đều tuân theo cùng một quy ước đầu a, đầu b. Không đổi quy ước điện áp khi dòng đổi chiều.

Lấy dòng hình sin:

$$\begin{array}{}\text{(31.9)}& \begin{array}{rl}{v}_L& =L\frac{d}{dt}(I\cos \omega t)\\ & =-I\omega L\sin \omega t.\end{array}\end{array}$$

(31.9)

Điện áp lớn nhất về độ lớn khi đồ thị dòng dốc nhất. Điện áp bằng không khi dòng ở cực đại hoặc cực tiểu. Các đỉnh điện áp xuất hiện trước các đỉnh dòng một phần tư chu kỳ.

Vì $\cos (\theta +\pi /2)=-\sin \theta$, ta viết

$$v_L=I\omega L\cos (\omega t+\frac{\pi }{2}).$$

(31.10)

Điện áp sớm pha hơn dòng 90 độ. điện áp nằm trước vector pha dòng 90 độ theo chiều quay ngược kim đồng hồ.

Ta luôn mô tả . Khi $i=I\cos \omega t$ và $v=V\cos (\omega t+\varphi )$, $\varphi$ là góc pha của điện áp so với dòng. thuần có $\varphi =0$, còn thuần có $\varphi =\pi /2$.

Biên độ điện áp là

$$V_L=I\omega L.$$

(31.11)

Định nghĩa

$$X_L=\omega L.$$

(31.12)

Khi đó

$$V_L=I{X}_L.$$

(31.13)

có đơn vị ôm, vì nó là tỉ số giữa biên độ điện áp và biên độ dòng.

Quan hệ biên độ khác quan hệ tức thời

Công thức $V_L=I{X}_L$ liên hệ hai biên độ. Không được thay bằng $v_L=i{X}_L$, vì điện áp và dòng lệch pha 90 độ. Quan hệ tức thời đúng là $v_L=Ldi/dt$.

Ý nghĩa của cảm kháng

mô tả tác dụng của suất điện động tự cảm chống lại sự biến thiên dòng. Với cùng biên độ dòng, tăng tần số hoặc tăng điện cảm làm tăng tốc độ biến thiên từ thông và tăng biên độ điện áp cuộn.

Ngược lại, nếu giữ biên độ điện áp trên cuộn không đổi:

$$I=\frac{V_L}{\omega L}.$$

Tần số càng cao thì biên độ dòng càng nhỏ. có thể được dùng trong nguồn điện và mạch chống nhiễu để hạn chế tín hiệu tần số cao, đồng thời cho tần số thấp hoặc dòng một chiều đi qua. Đây là một nguyên lý của bộ lọc thông thấp, sẽ được phân tích ở Bài 31.48.

Ví dụ: Ví dụ 31.2: Cuộn cảm trong máy thu radio

Một thuần trong máy thu cần biên độ dòng $250\mu \mathrm{A}$ khi điện áp trên cuộn có biên độ 3,60 V và tần số 1,60 MHz. (a) Cần và điện cảm bao nhiêu? (b) Giữ biên độ điện áp không đổi, tìm biên độ dòng ở 16,0 MHz và 160 kHz.

Nhận dạng và chuẩn bị: Các phần tử khác chỉ cung cấp điện áp hình sin cho cuộn đang xét. Dùng tỉ số biên độ để tìm $X_L$, rồi dùng $X_L=2\pi fL$ để tìm $L$.

Lời giải:

(a) tại 1,60 MHz:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\frac{V_L}{I}\\ & =\frac{3,60\mathrm{V}}{250\times {10}^{-6}\mathrm{A}}\\ & =1,44\times {10}^4\mathrm{\Omega }\\ & =14,4\mathrm{k}\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Điện cảm:

$$\begin{array}{rl}L& =\frac{X_L}{2\pi f}\\ & \approx 1,43\times {10}^{-3}\mathrm{H}\\ & =1,43\mathrm{mH}.\end{array}$$

(b) Với $V_L$ và $L$ không đổi, $I$ tỉ lệ nghịch với $f$. Ở 16,0 MHz, tần số tăng 10 lần nên dòng giảm 10 lần, còn $25,0\mu \mathrm{A}$. Ở 160 kHz, tần số giảm 10 lần nên dòng tăng 10 lần, thành $2,50\mathrm{mA}$.

Đánh giá: đáp ứng bằng dòng lớn hơn khi điện áp cùng biên độ biến thiên chậm hơn. Điện kháng là tỉ số biên độ điện áp và dòng, còn bằng tích điện cảm với tần số góc.

Tụ điện trong mạch xoay chiều

Nối tụ có $C$ với nguồn. Gọi $q$ là điện tích bản trái, còn bản phải mang điện tích $-q$. Dòng dương làm điện tích bản trái tăng:

$$\begin{array}{rl}i& =\frac{dq}{dt},\\ i& =I\cos \omega t.\end{array}$$

Hình 31.9: Tụ nối với nguồn xoay chiều, đồ thị điện áp và dòng cùng giản đồ pha cho thấy điện áp trễ dòng một phần tư chu kỳ.

Chú thích:

• Phần (a): Mạch nguồn xoay chiều và tụ điện ((a) Circuit with ac source and capacitor)
• Phần (b): Đồ thị dòng và điện áp theo thời gian ((b) Graphs of current and voltage versus time)
• Đường điện áp trễ đường dòng một phần tư chu kỳ, tương ứng góc âm 90 độ (Voltage curve lags current curve by a quarter-cycle (corresponding to φ = −π/2 rad = −90°).)
• Phần (c): Giản đồ pha ((c) Phasor diagram)
• Vector pha dòng (Current phasor)
• Vector pha điện áp (Voltage phasor)
• Góc pha phi (Phase angle φ)
• Vector pha điện áp trễ vector pha dòng 90 độ (Voltage phasor lags current phasor by φ = −π/2 rad = −90°.)

Dòng qua tụ có nghĩa gì?

Điện tích không dẫn xuyên qua khe cách điện giữa hai bản. Khi tụ nạp và phóng, dòng đi vào một bản và dòng đi ra bản kia có cùng độ lớn. Giữa hai bản có tương ứng.

Cách nói “ qua tụ” mô tả sự liên tục này, không có nghĩa electron đi xuyên qua điện môi.

dòng cho điện tích. Với trạng thái xoay chiều đang xét, không có thành phần điện tích không đổi:

$$q=\frac{I}{\omega }\sin \omega t.$$

(31.14)

Hằng số bằng không là điều kiện của mô hình này. Nếu tụ có điện tích một chiều ban đầu chưa được loại bỏ, phải xét thêm thành phần đó thay vì bỏ hằng số tùy ý.

Vì $q=C{v}_C$:

$$v_C=\frac{I}{\omega C}\sin \omega t.$$

(31.15)

Điện áp tụ tỉ lệ với điện tích, còn dòng tỉ lệ với tốc độ biến thiên điện áp:

$$i=C\frac{d{v}_C}{dt}.$$

Do đó dòng lớn nhất về độ lớn khi đường điện áp dốc nhất, và dòng bằng không khi điện áp đạt cực trị. Đỉnh điện áp đến sau đỉnh dòng một phần tư chu kỳ.

Từ $\cos (\theta -\pi /2)=\sin \theta$:

$$v_C=\frac{I}{\omega C}\cos (\omega t-\frac{\pi }{2}).$$

(31.16)

Điện áp trễ pha hơn dòng 90 độ, tức $\varphi =-\pi /2$. điện áp nằm sau vector pha dòng một phần tư vòng quay.

Biên độ điện áp là

$$V_C=\frac{I}{\omega C}.$$

(31.17)

Định nghĩa

$$X_C=\frac{1}{\omega C}.$$

(31.18)

Khi đó

$$V_C=I{X}_C.$$

(31.19)

Đơn vị cũng là ôm.

Điện áp và dòng trên tụ lệch pha

Quan hệ $V_C=I{X}_C$ chỉ liên hệ biên độ. Điện áp tức thời không bằng dòng tức thời nhân . Muốn xét tức thời, dùng $q=C{v}_C$ và $i=dq/dt$.

Ý nghĩa của dung kháng

giảm khi hoặc tần số tăng. Vì vậy tụ hạn chế dòng tần số thấp và chặn dòng một chiều ở trạng thái ổn định, nhưng cho dòng tần số cao đi qua dễ hơn. Đây là nguyên lý của bộ lọc thông cao ở Bài 31.47.

Ví dụ: Ví dụ 31.3: Điện trở và tụ nối tiếp

$R=200\mathrm{\Omega }$ nối tiếp tụ $C=5,0\mu \mathrm{F}$. Điện áp trên điện trở là

$$\begin{array}{rl}{v}_R& =(1,20\mathrm{V})\cos \theta ,\\ \theta & =(2500\mathrm{rad}/\mathrm{s})t.\end{array}$$

Tìm (a) biểu thức dòng trong mạch, (b) , (c) biểu thức điện áp trên tụ.

Hình 31.10: Mạch điện trở và tụ nối tiếp với điện áp điện trở đã biết, dùng để xác định dòng và điện áp tụ.

Nhận dạng và chuẩn bị: Hai phần tử nối tiếp có cùng dòng tại mỗi thời điểm. cho phép tìm dòng bằng định luật Ohm. Sau đó dùng và độ trễ pha của tụ.

Lời giải:

(a) Biên độ dòng:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_R}{R}\\ & =\frac{1,20\mathrm{V}}{200\mathrm{\Omega }}\\ & =6,0\times {10}^{-3}\mathrm{A}.\end{array}$$

Vì dòng cùng pha điện áp :

$$i=(6,0\mathrm{mA})\cos \theta .$$

(b) :

$$\begin{array}{rl}{X}_C& =\frac{1}{\omega C}\\ & =\frac{1}{2500(5,0\times {10}^{-6})}\mathrm{\Omega }\\ & =80\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(c) Biên độ điện áp tụ:

$$\begin{array}{rl}{V}_C& =I{X}_C\\ & =(6,0\times {10}^{-3})(80)\mathrm{V}\\ & =0,48\mathrm{V}.\end{array}$$

Điện áp tụ trễ dòng $\pi /2$ rad:

$$\begin{array}{rl}{v}_C& =(0,48\mathrm{V})\cos \theta ,\\ \theta & =(2500\mathrm{rad}/\mathrm{s})t-\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

Đánh giá: bằng 40% nên biên độ điện áp tụ bằng 40% biên độ điện áp điện trở. Cùng dòng không có nghĩa cùng điện áp. Hai điện áp khác cả biên độ lẫn pha.

Khi viết đối số của hàm lượng giác, cần dùng thống nhất đơn vị góc. Góc pha 90 độ đã được đổi thành $\pi /2$ rad để ghép với $\omega t$.

So sánh ba phần tử

Bảng 31.1 dưới đây dùng biên độ và mô tả .

Phần tử	Biên độ điện áp	Đại lượng mạch	Pha điện áp
	$V_R=IR$	$R$	Cùng pha
	$V_L=I{X}_L$	$X_L=\omega L$	Sớm 90 độ
	$V_C=I{X}_C$	$X_C=1/(\omega C)$	Trễ 90 độ

Chỉ thuần có điện áp tức thời tỉ lệ với dòng tức thời. Với và tụ, độ lệch pha phải được giữ khi phân tích mạch.

Hình 31.11: Điện trở không đổi theo tần số trong mô hình lý tưởng, cảm kháng tăng còn dung kháng giảm khi tần số góc tăng.

Trong giới hạn một chiều $\omega \to 0$, tiến tới vô hạn nên tụ không có dòng ở trạng thái ổn định. tiến tới không, nhưng kết luận này không loại bỏ suất điện động tự cảm trong giai đoạn quá độ khi vừa đóng mạch.

Khi $\omega \to \mathrm{\infty }$, tăng không giới hạn và dòng giảm về không nếu giữ biên độ điện áp. giảm về không. Với biên độ dòng cố định, điện áp tụ giảm vì dòng đổi chiều quá nhanh để tích lũy nhiều điện tích trên bản.

Ứng dụng: Phân chia tín hiệu trong loa

Hình 31.12: Mạng phân tần đưa tín hiệu thấp chủ yếu đến loa trầm và tín hiệu cao chủ yếu đến loa cao, cùng đồ thị dòng hiệu dụng theo tần số.

Chú thích:

• Phần (a): Mạng phân tần trong hệ thống loa ((a) A crossover network in a loudspeaker system)
• Từ bộ khuếch đại (From amplifier)
• Loa cao (Tweeter)
• Loa trầm (Woofer)
• Phần (b): Đồ thị dòng hiệu dụng theo tần số với điện áp bộ khuếch đại cho trước ((b) Graphs of rms current as functions of frequency for a given amplifier voltage)
• Cuộn cảm và tụ đưa tần số thấp chủ yếu đến loa trầm, tần số cao chủ yếu đến loa cao (The inductor and capacitor feed low frequencies mainly to the woofer and high frequencies mainly to the tweeter.)
• Điểm giao của hai đáp ứng (Crossover point)

Loa trầm có đường kính lớn, phụ trách âm thấp. Loa cao có đường kính nhỏ, phụ trách âm cao. Hai nhánh loa được nối song song vào ngõ ra bộ khuếch đại.

Tụ ở nhánh loa cao hạn chế thành phần tần số thấp. ở nhánh loa trầm hạn chế thành phần tần số cao. Vì vậy cùng một tín hiệu âm nhạc được phân chia cho hai loa theo khả năng đáp ứng của chúng.

Câu hỏi tự kiểm 31.2

Một điện áp hình sin có biên độ cố định được đặt lên một phần tử. Khi tăng tần số, biên độ dòng (i) tăng, (ii) giảm hay (iii) không đổi nếu phần tử là (a) , (b) , (c) ?

Xem đáp án và giải thích

(a) Chọn (iii), vì $I=V_R/R$ không phụ thuộc tần số trong mô hình lý tưởng.

(b) Chọn (ii), vì

$$I=\frac{V_L}{\omega L}.$$

(c) Chọn (i), vì

$$I=V_C\omega C.$$

Trong cả ba trường hợp, giữ cố định biên độ điện áp trên chính phần tử đang xét. Nếu thay đổi cả cấu trúc mạch, không thể dùng kết luận này mà bỏ qua điện áp thực tế trên từng phần tử.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 31.2, trang 1022–1026.