28.6 Định luật Ampere

tính trường bằng cách cộng đóng góp của từng phần tử . Với phân bố dòng có đối xứng cao, ta có thể tìm trường nhanh hơn bằng cách thành phần tiếp tuyến của $\overrightarrow{B}$ trên một đường kín. liên hệ tích phân ấy với dòng điện xuyên qua mặt được đường kín bao quanh.

cho xét thông lượng qua một mặt kín để liên hệ điện trường với bên trong. Thông lượng từ qua mọi mặt kín lại luôn bằng không, nên định luật Gauss cho không cho ta cách tính trực tiếp trường do một cụ thể. dùng một đại lượng khác: đường của thành phần trường song song với đường đi.

Tích phân đường kín quanh dây thẳng dài

Với dây dẫn thẳng rất dài mang dòng $I$, đường sức từ là các đường tròn đồng tâm quanh dây. Ở khoảng cách $r$, độ lớn trường là $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$. Chọn đường là đường tròn bán kính $r$ có tâm trên dây.

Ba đường tích phân cho thấy dấu tích phân Ampere phụ thuộc chiều đi và dòng điện được bao

Chú thích:

• (a) Đường tích phân là đường tròn tâm tại dây dẫn; tích phân đi quanh đường tròn theo chiều ngược kim đồng hồ. ((a) Integration path is a circle centered on the conductor; integration goes around the circle counterclockwise.)
• Kết quả: Tích phân vòng bằng μ₀I. (Result: ∮B·dl = μ₀I.)
• (b) Đường tích phân giống trường hợp (a), nhưng đi quanh đường tròn theo chiều kim đồng hồ. ((b) Same integration path as in (a), but integration goes around the circle clockwise.)
• Kết quả: Tích phân vòng bằng −μ₀I. (Result: ∮B·dl = −μ₀I.)
• (c) Đường tích phân không bao quanh dây dẫn. ((c) An integration path that does not enclose the conductor.)
• Kết quả: Tích phân vòng bằng không. (Result: ∮B·dl = 0.)

Hình 28.16: Đường kín bao dây cho $+{\mu }_{0}I$ hoặc $-{\mu }_{0}I$ tùy chiều đi. Đường không bao dây cho tích phân bằng không.

Trên đường tròn đồng tâm, $\overrightarrow{B}$ tiếp tuyến với đường đi và có độ lớn không đổi. Nếu đi theo chiều cùng hướng trường, là:

$$\begin{array}{rl}\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}& =\oint Bdl\\ & =B(2\pi r)\\ & =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}(2\pi r)\\ & ={\mu }_{0}I.\end{array}$$

Giá trị không phụ thuộc bán kính đường tròn. Nếu đi theo chiều ngược trường, tích vô hướng đổi dấu và bằng $-{\mu }_{0}I$.

Để xác định dấu , khum các ngón tay phải theo chiều . Ngón cái chỉ chiều dòng điện dương xuyên qua mặt do đường kín bao. Với đường đi ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn vào mặt giấy, dòng hướng ra khỏi mặt giấy là dương. Dòng đi vào mặt giấy là âm.

Nếu đường kín không bao dây, vẫn có thể bằng không dù $\overrightarrow{B}$ khác không trên nhiều đoạn. Trong hình (c), các cung tròn đóng góp trái dấu. Hai đoạn thẳng nối cung vuông góc với trường nên đóng góp bằng không. Tích phân tổng triệt tiêu.

Gọi bán kính hai cung là $r_1$ và $r_2$. Trên cung thứ nhất, đóng góp là $B_1(2\pi r_1)={\mu }_{0}I$. Trên cung đi ngược chiều trường, đóng góp là $-B_2(2\pi r_2)=-{\mu }_{0}I$. Vì hai đoạn thẳng vuông góc với trường, tổng bằng:

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_{0}I-{\mu }_{0}I=0.$$

Vì sao dạng tổng quát không phụ thuộc hình dạng đường đi

Đường kín bất kỳ cho thấy góc quét tổng phụ thuộc đường có bao dây hay không

Hình 28.17: Thành phần tiếp tuyến của trường được viết qua độ biến thiên góc nhìn từ dây đến phần tử đường đi.

Với dây thẳng dài, ở mỗi điểm cách dây một khoảng $r$, trường có độ lớn $B={\mu }_{0}I/(2\pi r)$. Gọi $\varphi$ là góc giữa $d\overrightarrow{l}$ và $\overrightarrow{B}$. vi phân là:

$$\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}=Bdl\cos \varphi .$$

Từ hình học, $dl\cos \varphi =rd\theta$, với $d\theta$ là góc có đỉnh trên dây mà phần tử $d\overrightarrow{l}$ chắn ra. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}& =\oint \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}(rd\theta )\\ & =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\oint d\theta .\end{array}$$

Nếu đường kín bao dây một lần, tia nối dây với điểm đang chạy quanh đường quét tổng góc $2\pi$. Nếu đường kín không bao dây, tổng độ biến thiên góc bằng không nên bằng không. Khi đường bao dây, dấu của $I$ theo quy tắc bàn tay phải. Vì vậy:

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_{0}I.$$

(28.19)

Điều quan trọng không phải đường đi tròn hay méo. Điều quyết định là đại số được đường kín bao quanh.

Phát biểu tổng quát của định luật Ampere

Quy tắc bàn tay phải và dòng điện đại số được một đường kín bao quanh

Chú thích:

• Hình phối cảnh. (Perspective view)
• Đường kín tùy ý bao quanh các dây dẫn. (Arbitrary closed curve around conductors)
• Hình nhìn từ trên. (Top view)
• Mặt phẳng chứa đường kín. (Plane of curve)
• Khum các ngón tay phải quanh đường tích phân; ngón cái chỉ chiều dòng điện dương. (Curl the fingers of your right hand around the integration path: Your thumb points in the direction of positive current.)
• Định luật Ampere: Tích phân vòng của từ trường quanh một đường kín bằng μ₀ nhân với tổng dòng điện được bao bởi đường đó. (Ampere’s law: If we calculate the line integral of the magnetic field around a closed curve, the result equals μ₀ times the total enclosed current.)

Hình 28.18: Chiều khum ngón tay theo đường xác định chiều dương qua mặt.

Nếu đường kín bao nhiều dây, tổng trên đường đi là tổng vectơ trường của từng dây. Do tính tuyến tính của , tích phân tổng bằng tổng các tích phân riêng. Mỗi dây được bao góp với dấu theo quy tắc bàn tay phải. Dây không bị bao vẫn có thể tạo trường tại mọi điểm trên đường, nhưng đóng góp của nó vào tích phân quanh đường kín bằng không.

Gọi $I_{\mathrm{encl}}$ là tổng đại số các xuyên qua một mặt bất kỳ được giới hạn bởi đường . viết:

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{encl}}.$$

(28.20)

Định luật đúng cho các đường kín và dây dẫn có hình dạng bất kỳ trong điều kiện từ tĩnh. Trong phạm vi này, phải không đổi theo thời gian và không có biến thiên theo thời gian. Khi điện trường biến thiên, phương trình cần thêm số hạng dòng điện dịch, nội dung được xét ở phần tiếp theo của điện từ học.

Dòng điện trái dấu bằng nhau xuyên qua mặt khiến tích phân quanh đường bao bằng không

Hình 28.19: Hai bằng nhau, ngược chiều làm $I_{\mathrm{encl}}=0$. bằng không nhưng dọc đường không nhất thiết bằng không.

Không đồng nhất tích phân Ampere với công cơ học

Trong tĩnh điện, đường kín của bằng không, liên hệ với tính bảo toàn của lực điện tĩnh. Tích phân $\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}$ có ý nghĩa khác. Nó đếm đại số xuyên qua mặt được đường kín bao, chứ không đo công của .

chuyển động là $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. Lực này phụ thuộc vận tốc và luôn vuông góc với vận tốc, nên không thể xem là lực thế chỉ phụ thuộc vị trí. Vì vậy không thể suy ra tính bảo toàn của lực từ từ giá trị của Ampere.

Tự kiểm tra 28.6

Một đường sức từ đỏ đi xuyên qua tâm của một nam châm vĩnh cửu. Nam châm không nối với nguồn suất điện động. Hãy xác định chiều của tổng hợp bị đường sức ấy bao.

Lập luận: Đi dọc đường sức theo chiều ngược kim đồng hồ. Tại mọi điểm, $\overrightarrow{B}$ và $d\overrightarrow{l}$ cùng chiều nên $\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}>0$. quanh đường dương, do đó $I_{\mathrm{encl}}>0$. Theo quy tắc bàn tay phải, tổng hợp hướng ra khỏi mặt giấy. Vì ngoài nam châm không có dòng điện, các dòng vi mô tương ứng nằm bên trong vật liệu nam châm.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 28.6, trang 930–933.