Điện thế

Bật đèn, dùng điện thoại hoặc nướng bánh bằng máy nướng đều cần điện. Các khái niệm công và năng lượng đã giúp giải nhiều bài cơ học. Bây giờ ta kết hợp chúng với điện tích, lực điện và để giải những bài mà việc theo dõi lực và gia tốc từng lúc có thể phức tạp.

Hàn hồ quang tạo vùng kim loại nóng chảy nhờ sự truyền năng lượng điện

Khi hạt mang điện chuyển động trong trường, lực điện có thể sinh công. Công ấy được diễn tả qua . Tương tự trọng trường phụ thuộc vị trí của vật so với Trái Đất, thế năng điện của hệ phụ thuộc vị trí tương đối giữa các điện tích.

Ta sẽ dùng , tức trên một đơn vị điện tích thử, để mô tả tương tác. Hiệu điện thế giữa hai điểm còn được gọi là điện áp trong mạch điện. Những khái niệm này giúp hiểu mạch, chùm electron dùng trong xạ trị, máy gia tốc hạt cao và nhiều thiết bị khác.

Bài tập: Câu hỏi mở đầu

Trong hàn hồ quang, điện tích đi giữa dụng cụ hàn và những mảnh kim loại cần nối, tạo hồ quang có nhiệt độ cao làm kim loại nóng chảy. Vì sao phải giữ dụng cụ gần kim loại? (i) Để lớn nhất, (ii) để hiệu điện thế nhỏ nhất, (iii) để lớn nhất, (iv) để điện trường nhỏ nhất, hay (v) có nhiều hơn một ý đúng?

Sau chương này, bạn cần thực hiện được những việc sau:

Tính của hệ nhiều điện tích mà không đếm hai lần cùng một cặp.
Phân biệt , và lực điện, đồng thời giữ đúng dấu điện tích khi đổi giữa chúng.
Tính do nguồn điểm hoặc phân bố liên tục tạo ra tại một điểm.
Dùng để hình dung sự biến thiên trong không gian.
Suy ra từ sự thay đổi theo tọa độ.

Cần ôn lực thế và ở các mục 7.1–7.4, lực điện và ở 21.1–21.6, cùng ứng dụng Gauss và ở 22.4–22.5.

5 chủ đề · tổng cộng khoảng 15 phút đọc

Thế năng và điện thế

Tính toán và hình học điện thế

Tóm tắt

Thế năng điện

Các phần thế năng tương tác giữa q₀ với những nguồn khác

Lực do một phân bố điện tích đứng yên là lực thế. Công lực điện khi hạt đi từ a đến b bằng độ giảm của hệ. Với hai nguồn điểm, thế năng phụ thuộc tích có dấu của điện tích và khoảng cách giữa chúng:

\begin{aligned} W_{a \to b} & = U_{a} - U_{b}, \\ U & = \frac{k q q_{0}}{r} . \end{aligned}

Trong trường của nhiều nguồn, phần tương tác liên quan q₀ là tổng của từng tương tác. Với ba nguồn:

U = \frac{k q_{0} q_{1}}{r_{1}} + \frac{k q_{0} q_{2}}{r_{2}} + \frac{k q_{0} q_{3}}{r_{3}} .

Với n nguồn, tổng ấy viết là $k q_{0} \sum_{i = 1}^{n} \frac{q_{i}}{r_{i}}$ . Chỉ số i chạy qua từng nguồn, rᵢ đo đến vị trí q₀. Xem Ví dụ 23.1–23.2.

là trên một đơn vị điện tích thử, $V = \frac{U}{q_{0}}$ . Hiệu điện thế Vₐ − Vᵦ bằng công lực điện trên mỗi coulomb khi điện tích thử dương đi từ a đến b, hoặc công lực ngoài trên mỗi coulomb khi đưa điện tích ấy chậm từ b đến a.

Nguồn điểm cho $V = \frac{k q}{r}$ với mốc ở vô hạn. Nhiều nguồn được cộng đại số, còn nguồn liên tục được :

\begin{aligned} V & = k \sum_{i = 1}^{n} \frac{q_{i}}{r_{i}}, \\ V & = k \int \frac{d q}{r}, \\ V_{a} - V_{b} & = \int_{a}^{b} \vec{E} \cdot d \vec{ℓ} . \end{aligned}

trường cho phép suy từ trường đã biết. Trong hệ nguồn kéo dài vô hạn, có thể phải chọn mốc hữu hạn. Xem Ví dụ 23.3–23.12.

Mặt đẳng thế

có cùng V tại mọi điểm. Trường vuông góc mặt ở nơi trường khác không. Mặt và toàn vật liệu dẫn ở cân bằng tĩnh điện là đẳng thế. Hốc kín không chứa điện tích cũng là miền đẳng thế, có trường bằng không và không có điện tích dư trên thành hốc.

Trường từ điện thế

Biết V như hàm vị trí, lấy đạo hàm riêng để tìm các thành phần trường:

\begin{aligned} E_{x} & = - \frac{\partial V}{\partial x}, \\ E_{y} & = - \frac{\partial V}{\partial y}, \\ E_{z} & = - \frac{\partial V}{\partial z}, \\ \vec{E} & = - \nabla V . \end{aligned}

gồm ba đạo hàm riêng theo x,y,z và hướng theo phía V tăng nhanh nhất. Trường hướng ngược lại. Đổi mốc V không đổi các đạo hàm. Xem Ví dụ 23.13–23.14.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 23, trang 747–780.

Luyện tập có hướng dẫn

Biến thể từ Ví dụ 23.1–23.2

Bài tập: VP23.2.1

Electron điện tích −e = $- 1.60 \times 10^{- 19}$ C nghỉ cách tâm hạt nhân chì mang +82e = $1.31 \times 10^{- 17}$ C một khoảng $1.00 \times 10^{- 10}$ m. Coi cả hai là nguồn điểm. (a) Cần công ngoài bao nhiêu để đưa electron chậm đến cách tâm $5.00 \times 10^{- 10}$ m? (b) Thả từ nghỉ ở vị trí đó, electron có động năng bao nhiêu khi đến cách tâm $8.00 \times 10^{- 12}$ m? Coi hạt nhân đứng yên do khối lượng lớn hơn nhiều.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron âm tương tác với nguồn dương cố định, các bán kính r₁,r₂,r₃ đã cho.

Hướng đi:

Dùng có dấu $U (r) = - 82 k e^{2} / r$ .
Công ngoài của quá trình chậm bằng biến thiên U. Sau khi thả, bảo toàn cơ năng cho động năng bằng độ giảm U.

Đặt C = 82ke² > 0. Khi đó:

\begin{aligned} W_{ngoai} & = C (1 / r_{1} - 1 / r_{2}) \\ = 1.51 \times 10^{- 16} J, \\ K_{3} & = C (1 / r_{3} - 1 / r_{2}) \\ = 2.32 \times 10^{- 15} J . \end{aligned}

Công ở (a) dương vì phải đưa electron ra xa lực hút. Ở (b), lực hút làm giảm và động năng tăng.

Bài tập: VP23.2.2

Proton có m = $1.67 \times 10^{- 27}$ kg, +e = $1.60 \times 10^{- 19}$ C được bắn thẳng vào hạt nhân chưa biết điện tích. Coi hai nguồn điểm, hạt nhân đứng yên. Ở rất xa, proton có tốc độ $2.50 \times 10^{6}$ m/s. Nó dừng tức thời cách tâm hạt nhân $5.29 \times 10^{- 13}$ m rồi quay lại. (a) Tìm lúc dừng. (b) Tìm điện tích hạt nhân.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton dừng do lực đẩy ở khoảng cách d, động năng đầu K₀.

Hướng đi:

Mốc ở vô hạn bằng không, nên toàn K₀ biến thành thế năng khi dừng.
Giải U = keQ/d cho điện tích Q. Dấu phải dương để đẩy proton.

\begin{aligned} U_{d} & = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = 5.22 \times 10^{- 15} J, \\ Q & = U_{d} d / (k e) \\ = + 1.92 \times 10^{- 18} C . \end{aligned}

Điện tích gần +12e.

Bài tập: VP23.2.3

Nguồn q₁ = +e cố định ở y = 0, q₂ = −e ở y = a. (a) Tìm công ngoài để đưa q₃ = −e từ vô hạn đến nghỉ ở y = −2a. (b) Tìm tổng của hệ ba nguồn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Các khoảng cách r₁₂ = a, r₁₃ = 2a, r₂₃ = 3a.

Hướng đi:

Công thêm nguồn thứ ba chỉ gồm hai cặp liên quan q₃.
toàn hệ còn có cặp q₁,q₂. Cộng mỗi cặp một lần với dấu đầy đủ.

\begin{aligned} W_{ngoai} & = - \frac{k e^{2}}{2 a} + \frac{k e^{2}}{3 a} \\ = - \frac{k e^{2}}{6 a}, \\ U_{sys} & = - \frac{k e^{2}}{a} + W_{ngoai} \\ = - \frac{7 k e^{2}}{6 a} . \end{aligned}

Công âm cho thấy lực điện sinh công dương khi đưa q₃ vào chậm theo cấu hình này.

Bài tập: VP23.2.4

Nguồn q₁ = +5,00 nC cố định tại gốc. Cần công ngoài $8.10 \times 10^{- 6}$ J để đưa nguồn thứ hai từ vô hạn đến (4,00 cm,0,0). (a) Tìm q₂. (b) Sau khi q₂ ở vị trí ấy, cần thêm công bao nhiêu để đưa q₃ = +2,00 nC từ vô hạn đến (0,3,00 cm,0)?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai khoảng cách từ q₃ đến q₁,q₂ là 0,0300 m và 0,0500 m.

Hướng đi:

Công ngoài dương ở (a) bằng kq₁q₂/r₁₂, cho dấu và độ lớn q₂.
Ở (b), cộng do hai nguồn có sẵn tại điểm mới rồi nhân q₃.

\begin{aligned} q_{2} & = \frac{W (0.0400)}{k q_{1}} \\ = + 7.21 nC, \\ W_{3} & = k q_{3} (\frac{q_{1}}{0.0300} + \frac{q_{2}}{0.0500}) \\ = 5.59 \times 10^{- 6} J . \end{aligned}

Biến thể từ Ví dụ 23.3–23.7

Bài tập: VP23.7.1

Trong vùng có trường đều $\vec{E} = (5.00 \times 10^{2} V / m) \hat{i}$ . tại gốc là V₀. Tìm V₀ − V_P với P tại (a) (5,00 cm,0,0), (b) (3,00 cm,4,00 cm,0), (c) (0,5,00 cm,0), (d) (−5,00 cm,0,0).

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường chỉ theo +x, nên chỉ thay đổi theo x.

Hướng đi:

trường đều cho V₀ − V_P = Ex.
Phần dịch chuyển y,z không góp công vì vuông góc trường.

Kết quả theo thứ tự +25,0 V, +15,0 V, 0, −25,0 V. Dấu âm ở (d) nghĩa là điểm x âm có cao hơn gốc.

Bài tập: VP23.7.2

Hai nguồn +6,0 nC ở (3,0 cm,0,0) và (−3,0 cm,0,0). Với mốc vô hạn, tìm V tại (a) gốc, (b) (0,4,0 cm,0), (c) (8,0 cm,0,0). (d) Trong những điểm này, điểm nào có trường bằng không? Trường bằng không có buộc bằng không không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn cùng dấu bằng nhau, các khoảng cách lần lượt (3,3), (5,5), (5,11) cm.

Hướng đi:

Cộng hai kq/r với dấu dương.
Trường phải cộng vector riêng. Tại gốc, đối xứng cho hai trường ngược nhau.

lần lượt 3,6 kV, 2,2 kV, 1,6 kV. Chỉ tại (a) trường bằng không. Điện thế tại đó vẫn dương, nên hai điều kiện không tương đương.

Bài tập: VP23.7.3

Nguồn +5,90 nC tại (3,00 cm,0,0), nguồn −5,90 nC tại (−3,00 cm,0,0). Với mốc vô hạn, tìm V tại (a) (3,00 cm,8,00 cm,0), (b) (−3,00 cm,8,00 cm,0). (c) Proton m = $1.67 \times 10^{- 27}$ kg, +e = $1.60 \times 10^{- 19}$ C đi từ (b) đến (a), tốc độ ở (b) $3.00 \times 10^{5}$ m/s. Tìm tốc độ ở (a).

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách đến nguồn gần 0,0800 m, nguồn xa 0,100 m. Proton dương đi từ thế thấp lên thế cao.

Hướng đi:

Cộng các thế trái dấu. Hai vị trí đối xứng có ngược dấu.
Bảo toàn cơ năng cho $K_{a} = K_{b} + e (V_{b} - V_{a})$ , nên proton chậm lại.

Vₐ = +133 V, Vᵦ = −133 V. Do đó:

\begin{aligned} v_{a} & = \sqrt{v_{b}^{2} + \frac{2 e (V_{b} - V_{a})}{m_{p}}} \\ = 1.98 \times 10^{5} m / s . \end{aligned}

Động năng cuối vẫn dương nên proton đến được điểm (a).

Bài tập: VP23.7.4

Cầu cách điện đều trong thể tích có điện tích dương Q, bán kính R, trường trong xuyên tâm với $E = k Q r / R^{3}$ . (a) để tìm giữa tâm và mặt. (b) Tâm hay mặt có điện thế cao hơn?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường trong tăng tuyến tính theo r.

Hướng đi:

V_tâm − V_mặt bằng trường từ tâm ra mặt.
Trường hướng ra nên giảm theo chiều ấy.

Δ V = V (0) - V (R) = \int_{0}^{R} \frac{k Q r}{R^{3}} d r = \frac{k Q}{2 R} .

Tâm có cao hơn mặt.

Biến thể từ Ví dụ 23.8–23.12

Bài tập: VP23.12.1

Cầu dẫn bán kính R mang q dương. Tìm công ngoài để đưa điện tích thử nhỏ q₀ dương chậm (a) từ 5R đến 3R, (b) từ 2R đến 7R, (c) từ 4R đến R/2. Giả sử q₀ không làm đổi phân bố q trên cầu.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: ngoài là kq/r, trong cầu là kq/R.

Hướng đi:

Công ngoài chậm bằng q₀(V_cuối − V_đầu).
Ở (c), điểm cuối nằm trong cầu, nên dùng mặt, không dùng kq/(R/2).

\begin{aligned} W_{a} & = \frac{k q q_{0}}{R} (1 / 3 - 1 / 5) \\ = \frac{2 k q q_{0}}{15 R}, \\ W_{b} & = \frac{k q q_{0}}{R} (1 / 7 - 1 / 2) \\ = - \frac{5 k q q_{0}}{14 R}, \\ W_{c} & = \frac{k q q_{0}}{R} (1 - 1 / 4) \\ = \frac{3 k q q_{0}}{4 R} . \end{aligned}

Bài tập: VP23.12.2

Hai bản trái dấu trong Hình 23.18 có V_ab = 24,0 V, bản dưới V = 0, cách nhau d = 4,50 mm. (a) Tìm V cách bản dưới 3,00 mm. (b) Tìm của bụi m = $5.00 \times 10^{- 9}$ kg, q = +2,00 nC ở đó. (c) Thả bụi từ nghỉ, nó đi đến bản nào và có tốc độ bao nhiêu khi chạm?

Hình 23.18: Hai bản song song với bản dưới chọn y = 0

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: tăng tuyến tính từ 0 ở bản dưới đến 24 V ở bản trên.

Hướng đi:

Tỷ số độ cao y/d cho .
Bụi dương chịu lực về thế thấp, đi xuống. Độ giảm qV thành động năng.

(a) V = 24(3,00/4,50) = 16,0 V. (b) U = qV = $3.20 \times 10^{- 8}$ J. (c) Bụi đi đến bản dưới, có $v = \sqrt{2 U / m} = 3.58$ m/s khi chạm trong mô hình chỉ lực điện sinh công.

Bài tập: VP23.12.3

Vòng đều mang +5,00 nC, bán kính 2,50 cm. Hạt q = +3,00 nC, m = $4.00 \times 10^{- 9}$ kg ở trên trục, cách tâm 8,00 cm, đang đi về tâm với 60,0 m/s. Mốc V ở vô hạn. Tìm (a) tại 8,00 cm, (b) tại tâm, (c) động năng và tốc độ tại tâm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt dương tiến vào vòng dương, tăng.

Hướng đi:

Dùng q nhân vòng trên trục.
Bảo toàn cơ năng để kiểm tra hạt còn động năng đủ tới tâm.

\begin{aligned} U (x) & = \frac{k Q q}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}, \\ U (0.0800) & = 1.61 \times 10^{- 6} J, \\ U (0) & = 5.39 \times 10^{- 6} J, \\ K (0) & = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + U (0.0800) - U (0) \\ = 3.42 \times 10^{- 6} J, \\ v (0) & = 41.3 m / s . \end{aligned}

Kết quả động năng dương cho biết hạt vượt được rào đến tâm.

Bài tập: VP23.12.4

Điện tích dương Q đều trên đoạn dài L dọc trục x từ x = L đến 2L. (a) Điện tích của phần dx bằng bao nhiêu? (b) tìm tại gốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ dài Q/L, phần nguồn tại x cách gốc x.

Hướng đi:

Tìm dq từ mật độ dài.
từng phần là kdq/x, cận L đến 2L.

\begin{aligned} d q & = (Q / L) d x, \\ V (0) & = \frac{k Q}{L} \int_{L}^{2 L} \frac{d x}{x} \\ = \frac{k Q}{L} \ln 2. \end{aligned}

Bài tổng hợp: Nguồn điểm và đoạn dây

Bài tập: Bài tổng hợp 23

Điện tích dương Q đều trên thanh mảnh dài 2a, dọc trục x từ −a đến +a. Tìm công ngoài cần để đưa nguồn dương q chậm từ vô hạn đến x = +L, với L > a.

Hình 23.27: Thanh tích điện và nguồn điểm được đưa từ vô hạn đến x = L
Chú thích:
Thanh mang điện tích Q (Rod with charge Q)
Điện tích điểm q được đưa từ vô cực đến (Point charge q brought from infinity)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thanh có mật độ Q/(2a), điểm cuối ở bên phải toàn thanh.

Hướng đi:

Tính V tại L trước rồi nhân q để có phần được thêm.
Phần nguồn dx′ tại x′ có điện tích Qdx′/(2a) và khoảng cách L − x′.
toàn thanh với cận −a đến a, dùng phép đổi biến đơn giản u = L − x′.
Công ngoài chậm bằng biến thiên từ mốc ở vô hạn. Xét giới hạn a tiến về không để so với nguồn điểm.

\begin{aligned} V (L) & = \frac{k Q}{2 a} \int_{- a}^{a} \frac{d x^{'}}{L - x^{'}} \\ = \frac{k Q}{2 a} \ln \frac{L + a}{L - a}, \\ U (L) & = q V (L), \\ W_{ngoai} & = \frac{k Q q}{2 a} \ln \frac{L + a}{L - a} . \end{aligned}

Công dương vì đưa nguồn dương lại gần thanh dương. Khi a nhỏ hơn nhiều L, logarit gần 2a/L, nên W gần kQq/L, đúng khi thanh trở thành nguồn điểm Q. Nếu q âm, V do thanh giữ nguyên, còn U và công ngoài đổi dấu. Đây là sự khác nhau giữa của nguồn và của hệ chứa hạt thử.

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q23.1

Một sinh viên hỏi: “ luôn tỷ lệ với , vậy cần khái niệm điện thế để làm gì?” Bạn trả lời thế nào?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần phân biệt đại lượng của nguồn với của hệ có điện tích thử.

Hướng đi:

U = q₀V phụ thuộc q₀, còn V do nguồn và mốc quyết định.
Một hàm V dùng được cho nhiều điện tích thử khác nhau.

loại bỏ sự phụ thuộc vào điện tích thử và mô tả công trên mỗi coulomb. Biết V của nguồn, ta tìm U cho bất kỳ q₀ bằng phép nhân. Điện thế còn cho phép suy trường bằng , nên không chỉ là đổi tên .

Bài tập: Q23.2

giữa hai nguồn bằng độ lớn và trái dấu, với mốc vô hạn, bằng không. Có thể đưa điện tích thử từ vô hạn đến trung điểm mà lực điện không sinh công ở bất kỳ phần dịch chuyển nào không? Nếu có, mô tả đường đi. Nếu không, giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trung điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của lưỡng cực.

Hướng đi:

Toàn mặt phẳng trung trực có V = 0 vì hai khoảng cách bằng nhau.
Trường vuông góc mặt ấy, nên mọi dịch chuyển nằm trong mặt có tích vô hướng với lực bằng không.

Có thể đi từ rất xa vào trung điểm theo một đường nằm trên mặt phẳng trung trực. Tại từng phần đường, lực điện vuông góc dịch chuyển và công bằng không. Điều này mạnh hơn việc chỉ biết tổng công từ vô hạn đến trung điểm bằng không theo mọi đường.

Bài tập: Q23.3

Có thể bố trí hai nguồn điểm cách nhau hữu hạn để hệ bằng thế năng khi ở vô hạn không? Vì sao? Nếu có ba nguồn thì sao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mốc U = 0 tại vô hạn, nguồn được xét mang điện tích khác không.

Hướng đi:

Hai nguồn chỉ có một số hạng kq₁q₂/r, không thể tự bù.
Ba nguồn có ba số hạng với dấu khác nhau và có thể triệt tiêu.

Với hai nguồn khác không và r hữu hạn, U khác không. Với ba nguồn, có thể. Đặt +q tại x = 0 và x = 2a, đặt −q/4 tại x = a. tổng là:

U = \frac{k q^{2}}{2 a} - \frac{k q^{2}}{4 a} - \frac{k q^{2}}{4 a} = 0.

Các cặp vẫn có tương tác khác không, nhưng tổng bằng không.

Bài tập: Q23.4

có thể thay đổi giá trị khi đổi mốc bằng không. Vậy volt kế biết phải đọc gì khi nối giữa hai điểm bằng cách nào?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Volt kế đo hiệu hai .

Hướng đi:

Đổi mốc cộng cùng một hằng số C vào V ở mọi điểm.
Hiệu (Vₐ + C) − (Vᵦ + C) vẫn Vₐ − Vᵦ.

Volt kế đo hiệu, không đo tuyệt đối độc lập mốc. Hai số C triệt tiêu nên số đọc không đổi khi thay mốc chung.

Bài tập: Q23.5

Trường bằng không ở mọi điểm dọc một đường từ A đến B. giữa hai điểm bằng bao nhiêu? Điều đó có buộc trường bằng không dọc mọi đường khác nối A,B không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Một đường có E = 0, nhưng chưa biết trường ngoài đường đó.

Hướng đi:

dọc đường ấy bằng không cho V_A = V_B.
Tính độc lập đường đi chỉ giữ tổng bằng không, không buộc từng phần tích phân bằng không.

bằng không. Trường dọc một đường khác có thể khác không và sinh công từng phần có dấu bù nhau. Chẳng hạn hai điểm trong một cùng thế, còn một đường nối đi ra ngoài vùng có trường rồi quay vào vật dẫn vẫn có tổng công bằng không.

Bài tập: Q23.6

Nếu trường bằng không trong toàn một vùng, có buộc bằng không trong vùng không? Nếu không, có thể kết luận gì?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: E = 0 trong một vùng liên thông.

Hướng đi:

giữa mọi cặp điểm trong vùng bằng trường, bằng không.
Giá trị hằng số còn phụ thuộc mốc.

V không buộc bằng không, nhưng là cùng một hằng số trong vùng liên thông. Bên trong cầu dẫn tích điện, V = kq/R là ví dụ với mốc ở vô hạn.

Bài tập: Q23.7

Đường sức chỉ từ cao đến thấp hay từ thấp đến cao? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đường sức có tiếp tuyến cùng chiều trường.

Hướng đi:

Biến thiên theo dịch chuyển dọc trường là $d V = - \vec{E} \cdot d \vec{ℓ}$ .
Đi cùng trường cho tích vô hướng dương và dV âm.

Đường sức hướng từ cao đến thấp. Dấu của điện tích thử không đổi hướng đường sức. Nó chỉ đổi hướng lực hạt thử so với trường.

Bài tập: Q23.8

Chọn V = 0 ở vô hạn. (a) V = 0 tại một điểm có buộc E = 0 không? (b) E = 0 tại một điểm có buộc V = 0 không? Chứng minh bằng ví dụ đơn giản.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai đại lượng cần phản ví dụ theo từng chiều suy luận.

Hướng đi:

Lưỡng cực cho triệt tiêu mà trường không triệt tiêu tại trung điểm.
Hai nguồn dương bằng nhau cho trường triệt tiêu nhưng thế cộng tại trung điểm.

(a) Không. Trung điểm lưỡng cực có V = 0 nhưng trường khác không hướng từ nguồn dương sang âm. (b) Không. Trung điểm hai nguồn +q cách d có E = 0 nhưng V = 4kq/d > 0. Hai phản ví dụ vẫn dùng cùng mốc vô hạn.

Bài tập: Q23.9

Vì sao trường trên một vòng kín như Hình Q23.9 luôn bằng không trong tĩnh điện, bất kể hình dạng vòng và vị trí nguồn so với vòng?

Hình Q23.9: Tích phân điện trường dọc một vòng kín

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đường kín có điểm đầu và cuối trùng nhau.

Hướng đi:

Lực điện tĩnh là lực thế, công chỉ phụ thuộc hai đầu.
đường trường là , không phải điện thông qua mặt Gauss.

\oint \vec{E} \cdot d \vec{ℓ} = V_{dau} - V_{cuoi} = 0.

Việc có nguồn bên trong vòng không làm đường thành Q/ $ε_{0}$ . Gauss liên hệ Q với tích phân mặt kín, là một phép tính khác.

Bài tập: Q23.10

Mỗi pin AA có điện áp 1,5 V. Ghép nối tiếp để cực dương một pin chạm cực âm pin kia, điện áp giữa hai đầu hở bằng bao nhiêu? Nếu hai cực dương chạm nhau thì sao? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai pin giống nhau, cùng điện áp từng pin.

Hướng đi:

Đi dọc mạch, cộng biến thiên với dấu khi qua từng pin.
Ghép cùng chiều cộng hai lần tăng 1,5 V. Ghép ngược chiều, một tăng và một giảm.

Ghép dương–âm cho độ lớn điện áp hai đầu hở 3,0 V. Hai cực dương chạm nhau cho độ lớn điện áp giữa hai cực âm hở bằng không, vì cả hai thấp hơn điểm nối chung cùng 1,5 V. Dấu khi đo phụ thuộc thứ tự nối que.

Bài tập: Q23.11

Cọ giày trên thảm nylon có thể tạo vài nghìn volt giữa cơ thể và sàn. Chạm tay nắm kim loại tạo cú giật nhẹ, trong khi tiếp xúc dây điện có điện áp tương đương có thể gây hậu quả nghiêm trọng. Vì sao khác nhau?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai tình huống có thể cùng điện áp nhưng khác lượng điện tích và nguồn cấp .

Hướng đi:

Điện áp là trên mỗi coulomb, không cho toàn năng lượng hoặc thời gian dòng kéo dài.
Tĩnh điện do cọ xát có lượng điện tích hữu hạn nhỏ và phóng nhanh. Dây điện nối nguồn có thể duy trì dòng và cung cấp liên tục.

Độ nguy hiểm không chỉ phụ thuộc điện áp. Cơ thể nhiễm điện do cọ xát thường chỉ tích một lượng điện tích và nhỏ, nên phóng điện ngắn. Dây điện có nguồn cấp có thể liên tục đưa điện tích qua cơ thể. Vì vậy hai điện áp giống nhau không có nghĩa hai tình huống truyền cùng năng lượng hoặc tạo cùng dòng điện theo thời gian.

Bài tập: Q23.12

Biết tại một điểm có xác định được trường tại điểm đó không? Nếu có thì bằng cách nào, nếu không thì vì sao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chỉ có một giá trị V, không có thông tin lân cận.

Hướng đi:

Trường phụ thuộc đạo hàm không gian của V.
Một giá trị hàm không xác định các đạo hàm tại điểm đó.

Không. Những hàm V có thể cùng giá trị tại một điểm nhưng khác độ dốc theo x,y,z. Muốn tìm trường cần biết sự biến thiên của V quanh điểm hoặc biết thêm nguồn và đối xứng.

Bài tập: Q23.13

Hai khác nhau không cắt nhau vì trường sẽ có hướng mơ hồ tại giao điểm. Tuy nhiên các mặt cắt trong Hình 23.23c có vẻ cắt ở tâm. Vì sao không có mâu thuẫn ở đó?

Hình 23.23: Đường sức đỏ vuông góc các mặt cắt đẳng thế xanh
Chú thích:
(a) Một điện tích điểm dương ((a) A single positive charge)
(b) Một lưỡng cực điện ((b) An electric dipole)
(c) Hai điện tích dương bằng nhau ((c) Two equal positive charges)
Các mặt cắt của những mặt đẳng thế (Cross sections of equipotential surfaces)
Các đường sức điện (Electric field lines)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm giữa hai nguồn dương bằng nhau có E = 0.

Hướng đi:

Hình số 8 là một mức , không phải hai giá trị khác nhau cùng tại một điểm.
Nơi trường bằng không, đường sức không có hướng riêng để gây mâu thuẫn vuông góc.

Các nhánh gặp nhau thuộc cùng mặt của cùng mức V. Tại điểm giữa, trường bằng không nên không có hai hướng trường khác nhau. Điều bị cấm là hai mặt khác giá trị cắt nhau.

Bài tập: Q23.14

Trường đều hướng đông. B ở 2,00 m phía tây A, C ở 2,00 m phía đông A, D ở 2,00 m phía nam A. từng điểm lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng ở A? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: giảm theo chiều đông, không đổi theo dịch chuyển vuông góc.

Hướng đi:

Dùng $Δ V = - \vec{E} \cdot Δ \vec{r}$ cho trường đều.
Xét dấu thành phần dịch chuyển theo hướng trường.

B có thế cao hơn A, C thấp hơn A, D bằng A. Với độ lớn E, các hiệu so với A lần lượt +2,00E, −2,00E và 0 volt khi E đo bằng V/m.

Bài tập: Q23.15

Nếu A cao thế hơn B, ta thường gọi A ở dương và B ở điện thế âm. Điều đó có buộc A tích điện dương hoặc B tích điện âm không? Cho ví dụ rõ ràng.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phân biệt dấu theo mốc với dấu điện tích.

Hướng đi:

tại điểm do mọi nguồn tạo ra và có mốc tùy chọn.
Một điểm không có nguồn riêng vẫn có thể mang khác không.

Không. Trong trường của một nguồn dương, các điểm không chứa điện tích vẫn có V dương nếu mốc ở vô hạn. Chỉ đổi mốc cũng có thể làm V của cùng điểm đổi dấu mà mọi điện tích giữ nguyên. Bản dưới trong Ví dụ 23.9 mang điện âm nhưng được chọn V = 0 là một ví dụ khác.

Bài tập: Q23.16

Nạp cầu dẫn bằng cách đưa từng lượng điện tích dương nhỏ đến cho đến tổng Q. Có đúng rằng công tổng tỷ lệ Q² không? Vì sao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu bán kính R cố định, tăng khi đã có nhiều điện tích hơn.

Hướng đi:

Khi cầu đã mang q, mặt là kq/R.
Công đưa thêm dq chậm từ vô hạn là V(q)dq, nên phải từ 0 đến Q.

W = \int_{0}^{Q} \frac{k q}{R} d q = \frac{k Q^{2}}{2 R} .

Đúng, với cùng R và cùng môi trường trong mô hình. Không được lấy cuối kQ/R nhân toàn Q, vì lúc đầu điện thế còn thấp.

Bài tập: Q23.17

Trong điện tử thường chọn đất bằng không, coi Trái Đất là lớn. Điều này có phù hợp việc Trái Đất có điện tích tổng khác không không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mốc tùy chọn không quyết định điện tích tổng.

Hướng đi:

Cộng một hằng số vào mọi không đổi .
Chọn mặt đất làm mốc khác chọn vô hạn làm mốc.

Phù hợp. Trái Đất có thể mang điện tích tổng khác không nhưng V_đất được định nghĩa bằng không. Với mốc ở vô hạn, mặt đất có thể khác không. Hai cách chỉ khác một hằng số chung.

Bài tập: Q23.18

Cầu dẫn đặt giữa hai bản song song tích điện như Hình 23.2. Trường trong cầu có phụ thuộc vị trí cầu giữa bản không? trong cầu thì sao? Hai câu trả lời có phụ thuộc cầu có điện tích tổng khác không không?

Hình 23.2: Điện tích thử dương đi xuống trong trường đều giữa hai bản
Chú thích:
Điện tích điểm q₀ chuyển động trong điện trường đều (Point charge q0 moving in a uniform electric field)
Công của lực điện không phụ thuộc đường đi từ a đến b (The work done by the electric force is the same for any path from a to b)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu đạt cân bằng tĩnh điện trong trường ngoài.

Hướng đi:

Vật liệu dẫn ở cân bằng luôn có E = 0 sau khi điện tích tái phân bố.
Giá trị hằng trong cầu còn phụ thuộc vị trí trong trường ngoài và điện tích tổng của cầu.

Trường trong vật liệu bằng không ở mọi vị trí, dù cầu trung hòa hay có điện tích dư. trong cầu là hằng theo điểm trong cầu, nhưng hằng số ấy có thể thay đổi khi dời cầu giữa bản hoặc đổi điện tích tổng. “Cùng thế trong một cầu” không có nghĩa “cùng giá trị thế ở mọi vị trí đặt cầu”.

Bài tập: Q23.19

có điện tích tổng Q và hốc trống. có thay đổi theo điểm trong vật liệu không? Trong hốc thì sao? So điện thế hốc với điện thế vật liệu.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: cân bằng, hốc không có nguồn riêng.

Hướng đi:

Trong vật liệu E = 0 cho hằng.
Chứng minh hốc trống ở mục 23.4 cho toàn hốc cùng thế với thành hốc.

không thay đổi trong vật liệu hoặc trong hốc. Cả hai miền có cùng giá trị, bằng điện thế mặt . Giá trị ấy không nhất thiết bằng không, vì còn phụ thuộc Q, hình học, nguồn ngoài và mốc.

Bài tập: Q23.20

Dây điện một chiều điện áp cao rơi lên ô tô, khiến toàn vỏ kim loại ở 10.000 V so với đất. Điều gì xảy ra với người (a) khi ngồi trong xe, (b) khi bước ra? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ dẫn và phần trong được coi ở cùng trong mô hình che chắn tĩnh điện, đất ở thế khác.

Hướng đi:

Lực điện trong mô hình phụ thuộc và trường, không chỉ một giá trị thế lớn.
Nối đồng thời những vùng có thế khác nhau tạo đường cho dòng điện qua cơ thể.

(a) Trong mô hình vỏ kín, người không có lớn giữa các phần cơ thể và được che chắn khỏi trường của vỏ. (b) Nếu cơ thể nối vỏ xe với đất trong lúc ra, hiệu 10.000 V có thể tạo dòng lớn qua cơ thể, gây nguy hiểm nghiêm trọng. Hai tình huống khác nhau ở việc có hay không đường dẫn giữa xe và đất, không phải vì điện thế vỏ đổi khi người đứng lên.

Bài tập: Q23.21

Khi giông đến, thủy thủ đôi khi thấy ánh sáng xanh nhấp nháy ở đầu cột buồm, gọi là lửa St. Elmo. Nguyên nhân là gì? Vì sao ở đầu cột? Vì sao mạnh hơn khi cột ướt? Gợi ý: Nước biển dẫn điện tốt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường khí quyển lớn, đầu cột có bán kính cong nhỏ.

Hướng đi:

Trường tập trung mạnh tại đầu nhọn và có thể ion hóa không khí.
Cột ướt bởi nước biển có đường dẫn điện tốt hơn, giúp điện tích tái phân bố và cấp cho vùng đầu cột.

Đó là phóng điện vầng quang. Không khí bị ion hóa và kích thích tạo ánh sáng. Đầu cột có trường lớn hơn các vùng phẳng, nên dễ đạt ngưỡng hơn. Nước biển trên cột tăng khả năng dẫn điện, làm hiệu ứng rõ hơn trong cấu hình này.

Bài tập: Q23.22

Nguồn điểm dương đặt gần một mặt phẳng dẫn rất lớn. Một giảng viên nói trường của cấu hình giống trường khi bỏ mặt dẫn và đặt nguồn âm bằng độ lớn ở vị trí ảnh gương phía bên kia mặt phẳng. Phát biểu có đúng không? Vì sao? Gợi ý: Xét Hình 23.23b.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần xét miền phía trước mặt dẫn và điều kiện của mặt.

Hướng đi:

Hai nguồn +q và −q ở vị trí ảnh gương tạo mặt phẳng trung trực V = 0.
Trường vuông góc mặt phẳng, phù hợp mặt dẫn đẳng thế. Nguồn ảnh mô tả tác dụng điện tích cảm ứng ở miền chứa nguồn thật.

Phát biểu đúng ở phía chứa nguồn thật với mặt dẫn phẳng được giữ ở mốc phù hợp, chẳng hạn nối đất. Nguồn âm là nguồn ảnh dùng để tính, không phải một nguồn thật ở trong kim loại. Trường trong vật liệu dẫn bằng không, còn cấu hình hai nguồn nếu kéo sang phía sau mặt vẫn có trường khác không. Vì thế không được nói hai trường giống nhau ở mọi điểm của cả không gian. Với điều kiện nguồn ngoài hoặc điện thế mặt khác, cần tính thêm phần tương ứng.

Bài tập theo mục

Thế năng điện

Bài tập 23: 1 ••

Nguồn q₁ = +2,40 µC được giữ ở gốc. Nguồn q₂ = −4,30 µC đi từ (0,150 m,0) đến (0,250 m,0,250 m). Lực điện sinh công bao nhiêu lên q₂?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Một nguồn cố định, khoảng cách đầu rₐ = 0,150 m và khoảng cách cuối $r_{b} = \sqrt{{0.250}^{2} + {0.250}^{2}}$ m.

Hướng đi:

Lực điện là lực thế, nên chỉ cần hai khoảng cách, không cần đường đi.
Công lực điện bằng Uₐ − Uᵦ. Giữ dấu âm của q₂ trong kq₁q₂/r.

W = k q_{1} q_{2} (1 / r_{a} - 1 / r_{b}) = - 0.356 J .

Nguồn âm đi ra xa nguồn dương, ngược lực hút, nên công âm và tăng.

Bài tập 23: 2 •

Nguồn q₁ cố định ở gốc. Khi q₂ ở a, hệ là $+ 5.4 \times 10^{- 8}$ J. Dời q₂ đến b, lực điện sinh công $- 1.9 \times 10^{- 8}$ J. Thế năng khi ở b bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Uₐ và công lực điện W đã biết.

Hướng đi:

Dùng W = Uₐ − Uᵦ.
Công âm làm cuối lớn hơn thế năng đầu.

U_{b} = U_{a} - W = 7.3 \times 10^{- 8} J .

Bài tập 23: 3 ••: Năng lượng hạt nhân

Cần công ngoài bao nhiêu để lắp ráp hạt nhân gồm ba proton, như liti trong mô hình này, tại ba đỉnh tam giác đều cạnh $2.00 \times 10^{- 15}$ m? Ban đầu các proton ở rất xa nhau.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ba proton tạo ba cặp khác nhau, mỗi cặp cùng khoảng cách a.

Hướng đi:

Công lắp ráp chậm từ vô hạn bằng cuối.
Cộng ba cặp một lần, không cộng sáu lực hoặc đếm cặp hai lần.

\begin{aligned} W & = k e^{2} / a + k e^{2} / a + k e^{2} / a \\ = 3.46 \times 10^{- 13} J \\ = 2.16 MeV . \end{aligned}

Đây là phần điện của mô hình. Nó chưa bao gồm tương tác mạnh giữ hạt nhân.

Bài tập 23: 4 ••

(a) Cần công bao nhiêu để đưa hai proton thật chậm từ khoảng cách $2.00 \times 10^{- 10}$ m, cỡ nguyên tử, đến $3.00 \times 10^{- 15}$ m, cỡ hạt nhân? (b) Thả cả hai từ nghỉ ở khoảng cách gần, khi chúng trở lại khoảng cách đầu thì mỗi proton có tốc độ bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai proton cùng khối lượng, điện tích, được thả đối xứng.

Hướng đi:

Công ngoài chậm là độ tăng ke²/r.
Khi thả, giảm thành động năng của cả hai proton. Động lượng tổng không ban đầu cho hai tốc độ bằng nhau và ngược chiều.

Đặt r₁ là khoảng cách đầu xa và r₂ là khoảng cách gần.

\begin{aligned} W & = k e^{2} (1 / r_{2} - 1 / r_{1}) \\ = 7.69 \times 10^{- 14} J, \\ 2 & (\frac{1}{2} m_{p} v^{2}) = W, \\ v & = \sqrt{W / m_{p}} \\ = 6.78 \times 10^{6} m / s . \end{aligned}

Không dùng W bằng động năng của riêng một proton, vì cả hai đều chuyển động.

Bài tập 23: 5 ••

Cầu kim loại nhỏ q₁ = −2,80 µC được giữ bằng giá cách điện. Cầu thứ hai q₂ = −7,80 µC, m = 1,50 g được phóng về q₁. Khi cách nhau 0,800 m, q₂ có tốc độ 22,0 m/s. Coi nguồn điểm, bỏ trọng lực. (a) Tìm tốc độ tại khoảng cách 0,400 m. (b) Khoảng cách gần nhất là bao nhiêu?

Hình E23.5: Nguồn âm chuyển động đến gần nguồn âm cố định

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn cùng dấu nên đẩy nhau, chỉ q₂ chuyển động.

Hướng đi:

Bảo toàn cơ năng với dương C/r, C = kq₁q₂.
Tại điểm gần nhất, động năng bằng không và bằng toàn cơ năng.

\begin{aligned} E & = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + C / 0.800, \\ v (0.400) & = \sqrt{2 (E - C / 0.400) / m} \\ = 12.5 m / s, \\ r_{min} & = C / E \\ = 0.323 m . \end{aligned}

Cầu chậm dần rồi quay lại, phù hợp lực đẩy.

Bài tập 23: 6 •• BIO: Năng lượng liên kết cặp base DNA

Xem Bài 21.18. (a) Tính của liên kết adenine–thymine, dùng hai nhóm O–H–N và N–H–N như bài đó. (b) So với của cặp proton–electron trong nguyên tử hydrogen.

Các khoảng cách và dấu điện tích của cặp adenine–thymine
Chú thích:
Bazơ thymine (Thymine)
Bazơ adenine (Adenine)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai cặp hút cách 0,170 nm và 0,190 nm, hai cặp đẩy cách 0,280 nm và 0,300 nm. Mỗi độ lớn điện tích bằng e trong mô hình.

Hướng đi:

Dùng từng cặp ±ke²/r, không dùng lực ±ke²/r².
Cộng đúng các tương tác giữa hai nhóm đã chọn. Cặp hydrogen có hai điện tích trái dấu cách 0,0529 nm.

\begin{aligned} U_{DNA} & = k e^{2} (- 1 / r_{1} + 1 / r_{2}) + k e^{2} (- 1 / r_{3} + 1 / r_{4}) \\ = - 9.78 \times 10^{- 19} J, \\ U_{H} & = - k e^{2} / (0.0529 nm) \\ = - 4.36 \times 10^{- 18} J . \end{aligned}

Cả hai âm, biểu diễn liên kết hấp dẫn trong mô hình. Độ lớn cặp hydrogen khoảng 4,46 lần phần điện năng liên kết DNA vừa tính.

Bài tập 23: 7 ••

Hai proton ban đầu cách nhau vài mét, được phóng thẳng vào nhau, mỗi proton có tốc độ $2.00 \times 10^{5}$ m/s so với Trái Đất. Tìm lực điện cực đại chúng tác dụng lên nhau.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai proton có tốc độ bằng nhau, ngược chiều. đầu ở khoảng cách vài mét được bỏ so với năng lượng lúc gần.

Hướng đi:

Động năng tổng đầu bằng mₚv₀², không phải một nửa giá trị ấy.
Điểm gần nhất có hai proton dừng trong hệ tâm khối, nên ke²/r_min bằng động năng tổng đầu.
Lực lớn nhất ở khoảng cách nhỏ nhất.

\begin{aligned} r_{min} & = k e^{2} / (m_{p} v_{0}^{2}) \\ = 3.45 \times 10^{- 12} m, \\ F_{max} & = k e^{2} / r_{min}^{2} \\ = 1.94 \times 10^{- 5} N . \end{aligned}

Bài tập 23: 8 ••

Ba nguồn điểm bằng nhau +1,20 µC nằm ở ba đỉnh tam giác đều cạnh 0,400 m. Tìm hệ, chọn bằng không khi các nguồn ở vô hạn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ba cặp nguồn cùng dấu và cùng khoảng cách a.

Hướng đi:

là tổng ba tương tác, không phải năng lượng trên mỗi nguồn rồi cộng đôi.
Từng cặp cho kq²/a dương.

U = \frac{3 k q^{2}}{a} = 0,097 1 J .

Bài tập 23: 9 ••

Hai proton được thả từ nghỉ khi cách 0,750 nm. (a) Tốc độ cực đại mỗi proton đạt là bao nhiêu và khi nào? (b) Gia tốc cực đại mỗi proton đạt là bao nhiêu và khi nào?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai proton đẩy nhau đối xứng, tổng động năng ban đầu bằng không.

Hướng đi:

Ở rất xa, gần không và chia đều cho động năng hai hạt.
Gia tốc tỷ lệ lực 1/r², lớn nhất ở khoảng cách nhỏ nhất, tức lúc mới thả.

\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{k e^{2} / (m_{p} r_{0})} \\ = 1.36 \times 10^{4} m / s, \\ a_{max} & = k e^{2} / (m_{p} r_{0}^{2}) \\ = 2.45 \times 10^{17} m / s^{2} . \end{aligned}

Tốc độ cực đại là giới hạn khi thời gian rất lớn và hai hạt xa nhau. Gia tốc cực đại xảy ra ngay khi bắt đầu thả.

Bài tập 23: 10 ••

Bốn electron ở bốn đỉnh hình vuông cạnh 10,0 nm, hạt α ở tâm. Cần công ngoài bao nhiêu để đưa α chậm đến trung điểm một cạnh?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron cố định, hạt α mang +2e. Chỉ các tương tác liên quan α thay đổi.

Hướng đi:

Tìm do bốn electron ở tâm và ở trung điểm cạnh.
Công ngoài bằng 2e nhân cuối trừ đầu. Tương tác giữa các electron giữ nguyên nên triệt tiêu trong biến thiên.

Ở tâm, mỗi khoảng cách bằng a/√2. Ở trung điểm cạnh, hai electron cách a/2 và hai electron cách a√5/2:

\begin{aligned} V_{center} & = - 4 \sqrt{2} k e / a, \\ V_{edge} & = - \frac{4 k e}{a} (1 + 1 / \sqrt{5}), \\ W_{ngoai} & = 2 e (V_{edge} - V_{center}) \\ = - 6.09 \times 10^{- 21} J . \end{aligned}

Công âm vì cuối thấp hơn, làm của hạt dương giảm.

Điện thế và công

Bài tập 23: 11 •• CALC

Trong một vùng, $E_{y} = α + β / y^{2}$ , với α = 600 N/C, β = 5,00 N m²/C. Điểm a,b trên trục +y tại 2,00 cm và 3,00 cm. Tìm Vₐ − Vᵦ và xác định điểm cao thế hơn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đường từ a đến b dọc +y, trường biến thiên theo y.

Hướng đi:

Hiệu Vₐ − Vᵦ bằng Eᵧdy từ yₐ đến yᵦ.
Tách thành phần hằng và thành phần 1/y², đổi cm sang m.

V_{a} - V_{b} = α (y_{b} - y_{a}) + β (1 / y_{a} - 1 / y_{b}) = 89.3 V .

a cao thế hơn b. Trường dương và đi theo +y làm V giảm, phù hợp dấu tìm được.

Bài tập 23: 12 •

Vật q = $- 6.00 \times 10^{- 9}$ C được thả từ nghỉ ở A trong trường đều. Sau khi đến B cách 0,500 m về phải, vật có động năng $3.00 \times 10^{- 7}$ J. (a) Nếu V_A = +30,0 V, tìm V_B. (b) Tìm độ lớn và hướng trường.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công lực điện bằng động năng tăng. Điện tích âm đi sang phải.

Hướng đi:

Dùng ΔK = q(V_A − V_B), giữ dấu âm của q.
Trường đều dọc đường cho V_A − V_B = EₓΔx.

\begin{aligned} V_{A} - V_{B} & = - 50.0 V, \\ V_{B} & = + 80.0 V, \\ E_{x} & = - 50.0 / 0.500 \\ = - 100 N / C . \end{aligned}

Trường hướng trái, lực lên vật âm hướng phải, phù hợp chuyển động từ nghỉ.

Bài tập 23: 13 •

Hạt q = −5,00 µC, m = $2.00 \times 10^{- 4}$ kg đi từ A có V_A = +200 V đến B có V_B = +800 V. Chỉ lực điện tác dụng. Tốc độ đầu ở A là 5,00 m/s. Tìm tốc độ ở B và xác định nhanh hơn hay chậm hơn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt âm đi đến vùng cao hơn.

Hướng đi:

qV giảm khi q âm và V tăng.
Bảo toàn cơ năng cho $v_{B}^{2} = v_{A}^{2} + 2 q (V_{A} - V_{B}) / m$ .

Thay số cho v_B = 7,42 m/s. Hạt nhanh hơn vì công lực điện dương, dù tăng. Điện thế và không thay đổi cùng chiều với điện tích âm.

Bài tập 23: 14 •

Hạt +4,20 nC được thả trong trường đều hướng trái. Sau khi đi trái 6,00 cm, hạt có động năng $2.20 \times 10^{- 6}$ J. Tìm (a) công lực điện, (b) điểm đầu so với điểm cuối, (c) độ lớn trường.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt bắt đầu nghỉ, chuyển động cùng lực và cùng trường.

Hướng đi:

Công bằng động năng tăng.
Chia công cho q để có , rồi chia hiệu cho khoảng cách để có E.

\begin{aligned} W & = 2.20 \times 10^{- 6} J, \\ V_{dau} - V_{cuoi} & = W / q = 524 V, \\ E & = \frac{W}{q (0.0600)} \\ = 8.73 \times 10^{3} N / C . \end{aligned}

Bài tập 23: 15 •

Điện tích +28,0 nC trong trường đều $4.00 \times 10^{4}$ V/m hướng lên. Tìm công lực điện khi nguồn đi (a) sang phải 0,450 m, (b) lên 0,670 m, (c) đi 2,60 m theo hướng chếch xuống 45,0° so với ngang.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chỉ thành phần dịch chuyển đứng góp công vì trường thẳng đứng.

Hướng đi:

Dùng W = qEΔy trong trường đều.
Trường hợp (c) có Δy = −2,60 sin45°, không phải toàn độ dài đường đi.

(a) W = 0. (b) W = +0,750 mJ. (c) W = −2,06 mJ. Dấu âm ở (c) vì dịch chuyển có thành phần ngược lực lên nguồn dương.

Bài tập 23: 16 •

Hai nguồn cố định +3,00 nC và +2,00 nC cách nhau 50,0 cm. Electron thả từ nghỉ tại trung điểm, đi trên đường nối hai nguồn. Tìm tốc độ khi cách nguồn +3,00 nC một khoảng 10,0 cm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron ban đầu cách mỗi nguồn 0,250 m, cuối cách lần lượt 0,100 m và 0,400 m.

Hướng đi:

Cộng của hai nguồn tại hai vị trí.
Electron có q = −e, nên động năng tăng bằng e(V_cuối − V_đầu).

Đặt ΔV là cuối trừ đầu, có giá trị 135 V. Do đó:

v = \sqrt{2 e Δ V / m_{e}} = 6.89 \times 10^{6} m / s .

Nguồn +3 nC hút mạnh hơn ở trung điểm, nên electron bắt đầu đi về phía nguồn ấy, đúng điểm cuối được xét.

Bài tập 23: 17 ••

Nguồn q₁ = +2,00 µC và q₂ = −2,00 µC ở hai đỉnh kề nhau của hình vuông cạnh 3,00 cm. a là tâm, b là đỉnh trống gần q₂ nhất. Mốc V ở vô hạn. (a) Tìm V_a. (b) Tìm V_b. (c) Nguồn q₃ = −5,00 µC đi từ a đến b, tìm công lực điện và dấu công.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tâm cách hai nguồn như nhau. b cách nguồn âm a và nguồn dương a√2, với a ở đây là độ dài cạnh.

Hướng đi:

Cộng các thế có dấu tại từng điểm.
Công lực điện lên q₃ là q₃(V_a − V_b), không phải biến thiên q₃(V_b − V_a).

(a) V_a = 0. (b)

\begin{aligned} V_{b} & = k q (\frac{1}{\sqrt{2} a} - \frac{1}{a}) \\ = - 175 kV, \\ W & = q_{3} (0 - V_{b}) \\ = - 0.877 J . \end{aligned}

Công âm. Điện tích âm đi về vùng thế thấp hơn làm qV tăng.

Bài tập 23: 18 •

Hai nguồn điểm có độ lớn bằng Q, cách d. Chỉ xét các điểm trên đường nối nguồn và chọn V = 0 ở vô hạn. (a) Nếu cùng dấu, tìm mọi điểm hữu hạn có V = 0 và E = 0, đồng thời kiểm tra đại lượng kia tại mỗi điểm. (b) Làm lại với hai nguồn trái dấu.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần cộng đại số và cộng vector trường riêng.

Hướng đi:

Hai nguồn cùng dấu tạo cùng dấu ở mọi điểm hữu hạn không trùng nguồn, nên không bù về không.
Hai nguồn trái dấu có bù khi hai khoảng cách bằng nhau. Trường ở giữa hai nguồn trái dấu lại cùng chiều.

(a) Không có điểm hữu hạn V = 0. E = 0 tại trung điểm, nơi V = ±4kQ/d tùy dấu chung. (b) V = 0 tại trung điểm, nơi E có độ lớn 8kQ/d² và hướng từ dương đến âm. Không có điểm hữu hạn E = 0 trên đường nối hai nguồn bằng độ lớn trái dấu. Ở ngoài hai nguồn, hai trường đối nhau nhưng nguồn gần luôn cho độ lớn lớn hơn. Các giới hạn ở vô hạn không phải điểm hữu hạn trong danh sách này.

Bài tập 23: 19 •

Hai nguồn +2,40 nC và −6,50 nC cách 0,100 m. A là trung điểm. B cách nguồn dương 0,080 m và nguồn âm 0,060 m. Mốc V ở vô hạn. Tìm (a) V_A, (b) V_B, (c) công lực điện lên điện tích +2,50 nC đi từ B đến A.

Hình E23.19: Trung điểm A và điểm B có hai khoảng cách khác nhau tới nguồn

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: A cách mỗi nguồn 0,0500 m. B có hai khoảng cách đã cho.

Hướng đi:

Cộng kq/r với dấu của từng nguồn tại từng điểm.
Công từ B đến A dùng thế đầu trừ thế cuối, tức q(V_B − V_A).

V_A = −737 V, V_B = −704 V. Do đó W = $8.24 \times 10^{- 8}$ J, dương vì hạt dương đi đến điểm có thấp hơn.

Bài tập 23: 20 ••

(a) Electron tăng tốc từ $3.00 \times 10^{6}$ lên $8.00 \times 10^{6}$ m/s phải đi qua như thế nào? (b) Để chậm từ $8.00 \times 10^{6}$ m/s về nghỉ thì sao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điện tích electron −e, chỉ lực điện đổi động năng.

Hướng đi:

$Δ K = - q Δ V = e Δ V$ với q = −e.
Giữ ΔV = V_cuối − V_đầu để dấu cho biết chiều thay đổi .

(a) ΔV = +156 V. Electron phải đến điểm cao thế hơn. (b) ΔV = −182 V, tức đi đến vùng thấp thế hơn. Độ lớn cho hai quá trình là 156 V và 182 V.

Bài tập 23: 21 ••

Trường đều chỉ có thành phần y. A ở y = 8,00 cm, B ở y = 15,0 cm, với V_B − V_A = +12,0 V. (a) E_y có dấu gì? (b) Độ lớn bằng bao nhiêu? (c) C ở (5,00 cm,5,00 cm). Tìm B so với C.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: tăng theo y, nên trường hướng y âm.

Hướng đi:

Dùng V_B − V_A = −E_y(y_B − y_A).
Trường không có thành phần x, nên tọa độ x của C không ảnh hưởng .

Đặt $Δ y_{B C} = y_{B} - y_{C} = 0.100$ m.

\begin{aligned} E_{y} & = - 12.0 / 0.0700 \\ = - 171 N / C, \\ V_{B} - V_{C} & = - E_{y} Δ y_{B C} \\ = + 17.1 V . \end{aligned}

(a) Âm. (b) 171 N/C. (c) B cao thế hơn C 17,1 V. Nếu dùng hiệu theo thứ tự C so với B, kết quả đổi thành −17,1 V.

Bài tập 23: 22 •

Tại một khoảng cách đến nguồn điểm, là +4,98 V và độ lớn trường 16,2 V/m, mốc V ở vô hạn. (a) Tìm khoảng cách. (b) Tìm độ lớn điện tích. (c) Trường hướng vào hay ra nguồn?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: V dương cho nguồn dương, E là độ lớn.

Hướng đi:

Chia V = kq/r cho E = kq/r² để khử q.
Sau khi có r, dùng V để tìm q.

\begin{aligned} r & = V / E = 0.307 m, \\ q & = V r / k = + 1.70 \times 10^{- 10} C . \end{aligned}

Trường hướng ra khỏi nguồn.

Bài tập 23: 23 •

Trường đều có độ lớn E hướng −x. có độ lớn 240 V giữa a tại x = 0,60 m và b tại x = 0,90 m. (a) Điểm nào cao thế hơn? (b) Tìm E. (c) Nguồn q = −0,200 µC đi từ b đến a, tìm công lực điện.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: tăng theo +x vì trường hướng −x.

Hướng đi:

b nằm ở x lớn hơn nên V_b − V_a = +240 V.
Chia cho 0,300 m để tìm trường, rồi dùng q(V_b − V_a) cho công.

(a) b cao thế hơn. (b) E = 800 V/m. (c) W = −48,0 µJ. Hạt âm đi sang trái ngược lực điện hướng phải, nên công âm.

Bài tập 23: 24 ••

Cầu q = −5,00 µC chuyển động trong trường đều chỉ có thành phần x. Chỉ lực điện tác dụng. A tại x = −0,400 m có K_A = $8.00 \times 10^{- 4}$ J, B ở gốc có K_B = $3.00 \times 10^{- 4}$ J. (a) Tìm V_A − V_B và điểm cao thế hơn. (b) Tìm độ lớn và hướng trường.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Động năng giảm $5.00 \times 10^{- 4}$ J khi hạt đi sang +x.

Hướng đi:

Dùng K_B − K_A = q(V_A − V_B).
Trường đều cho V_A − V_B = E_x(x_B − x_A).

\begin{aligned} V_{A} - V_{B} & = + 100 V, \\ E_{x} & = 100 / 0.400 \\ = + 250 N / C . \end{aligned}

A cao thế hơn B. Trường hướng phải, lực lên cầu âm hướng trái và làm nó chậm lại.

Bài tập 23: 25 ••

Hai nguồn +6,00 µC cố định trên x tại ±0,400 m. Cầu nhỏ Q = −0,200 µC, m = 12,0 g ở rất xa gốc, được thả nghỉ và đi dọc y về gốc. (a) Tìm công tổng lực hai nguồn khi cầu đến y = 0. (b) Nếu chỉ hai lực này tác dụng, tìm tốc độ ở gốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: ở gốc do hai nguồn cùng dấu cộng lại, mốc ở vô hạn.

Hướng đi:

ở gốc là 2kq/a, phần cầu nhỏ là QV âm.
Công lực điện từ vô hạn bằng −U_cuối và chuyển hoàn toàn thành động năng.

\begin{aligned} W & = - Q \frac{2 k q}{0.400} \\ = 0.0539 J, \\ v & = \sqrt{2 W / m} = 3.00 m / s . \end{aligned}

Hợp lực ngang triệt tiêu trên trục y, còn lực theo y hút cầu về gốc, phù hợp đường chuyển động trong đề.

Tính điện thế

Bài tập 23: 26 •• DATA

Cầu dẫn bán kính 5,00 cm có điện tích chưa biết. Đo V_AB = V_A − V_B với A cách tâm 8,00 cm, B cách tâm r > 8,00 cm. Đồ thị V_AB theo 1/r gần đường thẳng có hệ số góc −18,0 V m. Tìm điện tích cầu và dấu.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cả hai điểm ngoài cầu, nên kQ/r.

Hướng đi:

Viết V_AB theo biến của đồ thị u = 1/r.
Hệ số của u chính là hệ số góc, không phải V tại một điểm riêng.

V_{A B} = \frac{k Q}{0.0800} - k Q u .

Hệ số góc −kQ = −18,0 V m, nên Q = +2,00 nC. Dấu âm của hệ số góc ứng với điện tích dương trong cách chọn V_A − V_B này.

Bài tập 23: 27 ••

Hai vỏ cầu cách điện mỏng đồng tâm, R₁ = 3,00 cm, R₂ = 5,00 cm, mang q₁ = +6,00 nC và q₂ = −9,00 nC đều trên mặt. Mốc V ở vô hạn. (a) Tìm V tại r bằng 0, 4,00 cm và 6,00 cm. (b) Tìm độ lớn giữa hai mặt và xác định mặt cao thế hơn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trong mỗi vỏ cầu đều, do vỏ ấy bằng giá trị ở mặt. Ngoài vỏ, thế bằng kq/r.

Hướng đi:

Cộng hai với dấu, nhưng chọn đúng công thức trong hoặc ngoài riêng cho từng vỏ.
r = 0 nằm trong cả hai. r = 4 cm nằm ngoài vỏ nhỏ, trong vỏ lớn. r = 6 cm nằm ngoài cả hai.

(a) Các lần lượt +180 V, −270 V, −449 V. Ở mặt nhỏ V(R₁) = +180 V, mặt lớn V(R₂) = −539 V. Vì vậy (b) độ lớn hiệu bằng 719 V, mặt nhỏ cao thế hơn.

Không thay cả hai khoảng cách bằng r tại điểm trong một vỏ, vì thế do vỏ trong vùng ấy là hằng số.

Bài tập 23: 28 •

Điện tích 3,50 nC đều trên mặt cầu kim loại R = 24,0 cm. Mốc ở vô hạn. Tìm V cách tâm (a) 48,0 cm, (b) 24,0 cm, (c) 12,0 cm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm (a) ngoài, (b) trên mặt và (c) trong vật liệu dẫn.

Hướng đi:

Ngoài cầu dùng kQ/r.
Trong cầu dẫn, V hằng bằng kQ/R, dù trường bằng không.

Kết quả 65,5 V, 131 V và 131 V. Không dùng kQ/r cho điểm (c), vì điều đó sẽ dự đoán sai thế tăng vào trong cầu.

Bài tập 23: 29 ••

Vòng mảnh tích điện đều R = 15,0 cm, Q = +24,0 nC. Electron trên trục cách tâm 30,0 cm, bị ràng buộc chỉ đi dọc trục, được thả từ nghỉ. (a) Mô tả chuyển động. (b) Tìm tốc độ ở tâm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron âm bị vòng dương hút về tâm, không có lực cản trong mô hình.

Hướng đi:

electron là $U = - e k Q / \sqrt{x^{2} + R^{2}}$ , thấp nhất ở tâm.
Bảo toàn cơ năng cho động năng tại tâm bằng độ giảm từ x₀.

(a) Electron tăng tốc về tâm, vượt tâm, chậm dần rồi dừng ở x = −30,0 cm. Sau đó quay lại và dao động qua lại. Trên toàn biên độ này lực không tuyến tính theo x, nên không phải dao động điều hòa.

(b)

\begin{aligned} K (0) & = \frac{e k Q}{R} - \frac{e k Q}{\sqrt{x_{0}^{2} + R^{2}}}, \\ v (0) & = \sqrt{2 K (0) / m_{e}} \\ = 1.67 \times 10^{7} m / s . \end{aligned}

Bài tập 23: 30 •

Cầu dẫn đặc tích điện dương có R = 0,400 m. ở cách tâm 1,20 m bằng 24,0 V, với mốc vô hạn. Điện thế ở tâm bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm đo ở ngoài cầu, tâm ở trong vật liệu dẫn.

Hướng đi:

Điểm ngoài có V = kQ/r, giúp tìm tích kQ.
trong cầu bằng kQ/R.

V (0) = \frac{(24, 0) (1, 20)}{0,400} = 72, 0 V .

Bài tập 23: 31 •

Cầu cách điện cố định R = 12,0 cm có Q = +5,00 µC đều trong thể tích. Cầu nhỏ q = +3,00 µC, m = $6.00 \times 10^{- 5}$ kg được bắn về tâm từ rất xa. Tốc độ đầu tối thiểu để đến cách mặt cầu lớn 8,00 cm ở phía ngoài bằng bao nhiêu? Coi cầu nhỏ là nguồn điểm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm gần cần đạt cách tâm r = 0,120 + 0,0800 = 0,200 m, vẫn ngoài cầu.

Hướng đi:

Trường ngoài và ngoài của cầu đối xứng giống nguồn điểm Q.
Tốc độ tối thiểu tương ứng hạt dừng tức thời ở điểm gần yêu cầu.

\begin{aligned} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} & = k Q q / r, \\ v_{0} & = \sqrt{2 k Q q / (m r)} \\ = 150 m / s . \end{aligned}

Bài tập 23: 32 ••

Dây dài vô hạn có λ = $5.00 \times 10^{- 12}$ C/m. Proton m = $1.67 \times 10^{- 27}$ kg, +e = $1.60 \times 10^{- 19}$ C cách dây 18,0 cm, đang đi thẳng về dây với $3.50 \times 10^{3}$ m/s. (a) Tìm động năng đầu. (b) Khoảng cách gần nhất đến dây bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton bị dây dương đẩy, r₀ = 0,180 m.

Hướng đi:

Tại điểm quay đầu, toàn động năng đầu thành độ tăng .
Dây vô hạn dùng hiệu logarit với hai bán kính hữu hạn, không chọn mốc vô hạn.

\begin{aligned} K_{0} & = \frac{1}{2} m_{p} v_{0}^{2} \\ = 1.02 \times 10^{- 20} J, \\ K_{0} & = 2 k e λ \ln (r_{0} / r_{min}), \\ r_{min} & = r_{0} e^{- K_{0} / (2 k e λ)} \\ = 8.84 cm . \end{aligned}

Bài tập 23: 33 ••

Vỏ trụ cách điện rất dài R = 6,00 cm mang điện tích đều trên mặt ngoài, mật độ dài 8,50 µC/m. Volt kế nối giữa mặt trụ và (a) điểm cách mặt 4,00 cm ra ngoài, (b) điểm cách trục 1,00 cm, sẽ đọc độ lớn bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm ngoài ở r = 0,100 m, điểm trong nằm trong hốc của vỏ trụ đều.

Hướng đi:

Ngoài vỏ, trường 2kλ/r cho hiệu logarit.
Trong hốc không bao điện tích và có đối xứng trụ, trường bằng không, nên thế bằng thế mặt.

(a)

Δ V = V (R) - V (0.100) = 2 k λ \ln (0.100 / 0.0600) .

Độ lớn xấp xỉ 78 kV. (b) Volt kế đọc 0. Dấu hiển thị thực tế phụ thuộc thứ tự nối hai que đo.

Bài tập 23: 34 ••

Trụ cách điện tích điện rất dài R = 2,50 cm có mật độ dài đều 15,0 nC/m. Một que volt kế ở mặt. Điểm đặt que còn lại phía ngoài cách mặt bao xa để độ lớn số đọc 175 V?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường ngoài trụ chỉ phụ thuộc tổng mật độ dài λ.

Hướng đi:

Dùng |ΔV| = 2kλ ln(r/R) cho r > R.
Giải r từ hàm mũ rồi trừ R, vì đề hỏi khoảng cách đến mặt, không phải đến trục.

\begin{aligned} r & = R \exp [175 / (2 k λ)], \\ r - R & = 2.28 cm . \end{aligned}

Bài tập 23: 35 ••

Cầu rất nhỏ q = +8,00 µC thả từ nghỉ cách dây dài vô hạn λ = +3,00 µC/m một khoảng 1,50 cm. Chỉ lực dây tác dụng. Tìm động năng khi cầu cách dây 4,50 cm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu dương đi ra xa dây dương, giảm.

Hướng đi:

giữa hai bán kính hữu hạn là 2kλ ln(r₂/r₁).
Công lực điện bằng q nhân hiệu thế đầu trừ cuối, chuyển thành động năng.

K = 2 k q λ \ln 3 \approx 0.474 J .

Tỷ số hai khoảng cách không thứ nguyên nên có thể dùng cùng đơn vị cm trong logarit.

Bài tập 23: 36 • CP

Hai bản dẫn phẳng lớn trái dấu, điện tích bằng độ lớn, cách 2,20 cm. (a) Nếu mỗi mặt có |σ| = 47,0 nC/m², tìm E giữa bản. (b) Tìm . (c) Nếu khoảng cách gấp đôi mà σ giữ nguyên, E và hiệu điện thế thay đổi thế nào?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai bản lớn cho trường gần đều, xét xa mép.

Hướng đi:

Trường giữa hai bản là |σ|/ $ε_{0}$ , phụ thuộc mật độ điện tích, không phụ thuộc d.
giữa bản bằng Ed.

(a) E = $5.31 \times 10^{3}$ V/m. (b) |ΔV| = 117 V. (c) E giữ nguyên, |ΔV| gấp đôi thành khoảng 234 V. Điều kiện “σ giữ nguyên” là thiết yếu, khác với trường hợp giữ điện áp không đổi.

Bài tập 23: 37 •

Hai bản kim loại lớn trái dấu bằng độ lớn cách 45,0 mm, điện áp 360 V. (a) Tìm trường đều giữa bản. (b) Tìm lực lên +2,40 nC. (c) Từ lực, tính công khi hạt đi từ bản cao thế đến bản thấp. (d) So với biến thiên tính từ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: E = ΔV/d, hạt dương đi cùng trường.

Hướng đi:

Dùng F = qE rồi W = Fd vì trường đều.
So với ΔU = q(V_cuối − V_đầu) để kiểm tra quan hệ dấu vật lý.

(a) E = $8.00 \times 10^{3}$ V/m. (b) F = 19,2 µN. (c) W = +0,864 µJ. (d) ΔU = −0,864 µJ, bằng âm công lực điện. Hai cách diễn tả cùng lượng truyền.

Bài tập 23: 38 • BIO: Độ nhạy điện của cá mập

Một số cá mập phát hiện được trường yếu tới 1,0 µV/m. Để tạo trường ấy giữa hai bản song song nối pin AA 1,5 V, cần khoảng cách giữa bản bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mô hình trường giữa hai bản là đều, E rất nhỏ.

Hướng đi:

Dùng E = |ΔV|/d.
Đổi microvolt/m sang volt/m trước khi chia.

\begin{aligned} d & = \frac{1, 5}{1, 0 \times 10^{- 6}} \\ = 1, 5 \times 10^{6} m . \end{aligned}

Khoảng cách tương đương 1500 km. Đây là phép so sánh độ mạnh trường bằng mô hình hai bản lý tưởng, không phải cấu hình thiết bị thực có thể xây dựng với hai bản nhỏ.

Bài tập 23: 39 •

Cầu đồng đặc R = 0,200 m có trường ngay ngoài mặt 3800 N/C hướng về tâm. Với mốc ở vô hạn, tìm tại tâm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường vào tâm cho điện tích âm, thế trong cầu bằng thế mặt.

Hướng đi:

Dùng thành phần xuyên tâm có dấu Eᵣ = kQ/R².
mặt kQ/R = EᵣR, rồi dùng tính đẳng thế của .

V (0) = V (R) = (- 3800) (0.200) = - 760 V .

Bài tập 23: 40 ••

(a) Cần điện tích dư bao nhiêu trên cầu đồng đường kính 25,0 cm để tại tâm là +3,75 kV, mốc vô hạn? (b) Điện thế tại mặt bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bán kính R = 0,125 m, không phải 0,250 m.

Hướng đi:

Cầu dẫn cùng thế trong và trên mặt, V = kQ/R.
Giải Q từ V rồi giữ tính đẳng thế cho phần (b).

(a) Q = +52,2 nC. (b) V_mặt = +3,75 kV.

Mặt đẳng thế và gradient

Bài tập 23: 41 •• CALC

Cầu kim loại bán kính rₐ ở tâm vỏ cầu kim loại mỏng bán kính rᵦ. Cầu trong mang +q, vỏ ngoài −q. Mốc V ở vô hạn. (a) Tính V(r) trong r < rₐ, giữa hai mặt và ngoài vỏ. (b) Chứng tỏ cầu trong so với ngoài là kq(1/rₐ − 1/rᵦ). (c) Dùng đạo hàm V để tìm E giữa mặt theo V_ab. (d) Tìm E ngoài vỏ. (e) Nếu vỏ mang −Q khác độ lớn q, giải thích vì sao (b),(c) giữ nguyên nhưng (d) thay đổi.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: là tổng thế của hai phân bố cầu. Ngoài vỏ, tổng điện tích ban đầu bằng không.

Hướng đi:

Trong mỗi mặt cầu mang điện đều, phần do mặt ấy hằng bằng giá trị mặt.
Cộng riêng từng nguồn ở mỗi vùng. Sau đó lấy −dV/dr để có trường.

(a) Trong cầu nhỏ:

V = k q (1 / r_{a} - 1 / r_{b}) .

Giữa hai mặt:

V (r) = k q (1 / r - 1 / r_{b}) .

Ngoài vỏ, V = 0. (b) V(rᵦ) = 0, nên hiệu cần tìm đúng bằng biểu thức trong cầu nhỏ. (c)

E (r) = k q / r^{2} = \frac{V_{a b}}{1 / r_{a} - 1 / r_{b}} \frac{1}{r^{2}} .

(d) E ngoài bằng không. (e) Khi điện tích ngoài −Q, phần thế của nó trong vỏ là −kQ/rᵦ, một hằng số theo r. Phần hằng không góp trường giữa hai mặt và cũng triệt tiêu khi lấy hai mặt. Ngoài vỏ, thành phần xuyên tâm có dấu là:

E_{r} = \frac{k (q - Q)}{r^{2}} .

Trường hướng ra nếu q > Q, hướng vào nếu q < Q và bằng không nếu q = Q. Độ lớn là k|q − Q|/r². Không kết luận trường ngoài khác không trước khi xét tổng điện tích.

Bài tập 23: 42 •

Mặt nhựa phẳng rất lớn mang mật độ −6,00 nC/m² trên một mặt. (a) Đi ra xa mặt theo pháp tuyến, V tăng hay giảm? Giải thích không tính số, và xét sự phụ thuộc mốc. (b) Tìm khoảng cách giữa hai chênh 1,00 V, mô tả hình dạng mặt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường mặt âm hướng về mặt, độ lớn không đổi ở mỗi phía.

Hướng đi:

Đi ra xa là ngược trường nên V tăng, không phụ thuộc hằng số mốc.
Trường đều cho |ΔV| = Ed, với E = |σ|/(2 $ε_{0}$ ).

(a) V tăng ở cả hai phía khi đi xa mặt. (b) Khoảng cách d = 2,95 mm. Các là những mặt phẳng song song mặt tích điện, cách đều khi các bước bằng nhau.

Bài tập 23: 43 • CALC

Trong vùng có $V (x, y, z) = A x y - B x^{2} + C y$ , với A,B,C dương. (a) Tìm ba thành phần trường. (b) Tìm tất cả các điểm trường bằng không.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: V không phụ thuộc z.

Hướng đi:

Lấy âm đạo hàm riêng theo từng tọa độ.
Muốn vector trường bằng không, mọi thành phần phải bằng không đồng thời.

\begin{aligned} E_{x} & = 2 B x - A y, \\ E_{y} & = - A x - C, \\ E_{z} & = 0. \end{aligned}

Eᵧ = 0 cho x = −C/A. Thay vào Eₓ = 0 cho y = −2BC/A². Tọa độ z tùy ý, nên tập điểm là đường thẳng song song z qua tọa độ x,y này.

Bài tập 23: 44 • CALC

$V = A x^{2} y - B x y^{2}$ , với A = 5,00 V/m³, B = 8,00 V/m³. Tìm độ lớn và hướng trường tại x = 2,00 m, y = 0,400 m, z = 0.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hàm có hai số hạng phụ thuộc x,y, không phụ thuộc z.

Hướng đi:

Lấy đạo hàm trước, thay tọa độ sau để giữ đúng quy tắc hàm hợp và dấu.
Độ lớn từ hai thành phần vuông góc. Hướng phải dùng cả dấu hai thành phần.

\begin{aligned} E_{x} & = - 2 A x y + B y^{2} \\ = - 6.72 V / m, \\ E_{y} & = - A x^{2} + 2 B x y \\ = - 7.20 V / m, \\ E_{z} & = 0, \\ E & = \sqrt{E_{x}^{2} + E_{y}^{2}} = 9.85 V / m . \end{aligned}

Trường hướng xuống và trái trong mặt xy, góc khoảng 227° tính ngược chiều kim đồng hồ từ +x.

Bài tập 23: 45 •

Cầu kim loại rₐ = 1,20 cm đặt đồng tâm trong vỏ kim loại rᵦ = 9,60 cm. Đặt +q vào cầu trong, −q vào vỏ. là 500 V, cầu trong cao thế hơn. (a) Tìm q bằng kết quả 23.41. (b) Vẽ các 500,400,300,200,100,0 V. (c) Vẽ đường sức, xét tính vuông góc và khoảng cách giữa mặt đẳng thế ở vùng trường mạnh.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trong khe, V(r) = kq(1/r − 1/rᵦ), mặt ngoài chọn 0 V.

Hướng đi:

Giải hai mặt để tìm q.
Mỗi mức V trong khe cho một bán kính từ biểu thức V(r).
Đường sức xuyên tâm và cầu đồng tâm, nên vuông góc.

\begin{aligned} q & = \frac{500}{k (1 / r_{a} - 1 / r_{b})} \\ = + 0.763 nC, \\ r (V) & = \frac{1}{1 / r_{b} + V / (k q)} . \end{aligned}

Các bán kính theo mức 500,400,300,200,100,0 V là 1,20, 1,45, 1,85, 2,53, 4,00 và 9,60 cm. Trong cầu dẫn nhỏ, toàn thể tích có V = 500 V. Ngoài vỏ, toàn vùng có V = 0. Những mặt cầu tại hai biên là đại diện cho các mức hằng này.

Mặt đẳng thế cầu đồng tâm và đường sức xuyên tâm giữa hai mặt dẫn

Ở gần cầu nhỏ, trường mạnh hơn và các mặt chênh cùng sát nhau hơn.

Bài tập tổng hợp

Bài tập 23: 46 • CP

Nguồn cố định q₁ = +5,00 µC. Cầu m = $4.00 \times 10^{- 3}$ kg, q₂ = +2,00 µC cách nguồn 6,00 cm được bắn về nguồn với 40,0 m/s. Bỏ trọng lực. Tìm gia tốc ở lúc tốc độ còn 25,0 m/s.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn đẩy nhau, cầu mất động năng khi đến gần.

Hướng đi:

Bảo toàn cơ năng trước để suy khoảng cách ở tốc độ đã cho.
Sau đó dùng Coulomb và F = ma để tìm gia tốc. Không coi gia tốc không đổi.

Đặt C = kq₁q₂, cơ năng $E = m v_{0}^{2} / 2 + C / r_{0}$ . Khi tốc độ v = 25,0 m/s:

\begin{aligned} r & = \frac{C}{E - m v^{2} / 2} \\ = 2.61 cm, \\ a & = C / (m r^{2}) \\ = 3.31 \times 10^{4} m / s^{2} . \end{aligned}

Gia tốc hướng ra xa nguồn cố định, ngược chiều chuyển động vào lúc đang đến gần.

Bài tập 23: 47 •••

Nguồn q₁ = +4,00 nC ở gốc, q₂ = −3,00 nC ở x = +20,0 cm. Đặt q₃ = +2,00 nC trên x giữa hai nguồn. Mốc U bằng không khi mọi nguồn ở vô hạn. (a) Tìm hệ khi q₃ ở x = +10,0 cm. (b) Đặt q₃ ở đâu để thế năng toàn hệ bằng không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phải tính cả cặp q₁,q₂ đã có sẵn, không chỉ hai cặp liên quan q₃.

Hướng đi:

Viết tổng ba cặp với khoảng cách d, x và d − x.
Giải U = 0 rồi loại nghiệm ngoài miền 0 < x < d.

U (x) = k q_{1} q_{2} / d + k q_{1} q_{3} / x + k q_{2} q_{3} / (d - x) .

(a) U(0,100 m) = $- 3.60 \times 10^{- 7}$ J. (b) Với x đo bằng m, bỏ thừa số dương k· $10^{- 18}$ , phương trình là:

\begin{aligned} - 60 + \frac{8}{x} - \frac{6}{0.200 - x} & = 0, \\ 60 x^{2} - 26 x + 1.60 & = 0. \end{aligned}

Hai nghiệm x ≈ 0,0743 m và 0,359 m. Chỉ nghiệm x = +7,43 cm nằm giữa hai nguồn theo yêu cầu.

Bài tập 23: 48 ••

Nguồn +8,00 nC ở x = −0,200 m và −4,00 nC ở x = +0,200 m. (a) Ngoài các giới hạn ở vô hạn, tìm điểm trên x có trường tổng bằng không. (b) Với mốc V ở vô hạn, tìm hai điểm hữu hạn V = 0. (c) Trường có bằng không ở hai điểm ấy không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn trái dấu khác độ lớn.

Hướng đi:

Trường giữa hai nguồn cùng chiều, nên điểm E = 0 phải nằm ngoài, ở phía nguồn có độ lớn nhỏ hơn.
là tổng đại số, giải bằng khoảng cách tuyệt đối và tách miền.

(a) Ở x > 0,200 m, hai trường đối nhau. Cân bằng độ lớn cho:

\frac{8}{(x + 0.200)^{2}} = \frac{4}{(x - 0.200)^{2}} .

Nghiệm thỏa miền là x = +1,17 m. (b) không khi $8 / | x + 0.200 | = 4 / | x - 0.200 |$ . Hai nghiệm là x = +0,0667 m và +0,600 m. (c) Không nghiệm nào trùng điểm trường bằng không. Ở điểm giữa nguồn, trường còn cùng chiều. Ở điểm 0,600 m, hai độ lớn trường không bù nhau dù hai thế bù nhau.

Bài tập 23: 49 ••

Dây đều rất dài λ = +5,00 µC/m dọc trục x. Mặt phẳng rất lớn song song xy tại z = +0,600 m có σ = +8,00 µC/m². A trên z tại +0,300 m, B tại −0,200 m. Tìm V_AB = V_A − V_B và điểm cao thế hơn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách A,B đến dây là 0,300 m và 0,200 m. Cả hai ở phía dưới mặt phẳng dương.

Hướng đi:

Cộng do dây và do mặt vì điện thế tuân theo chồng chất.
Dây dùng logarit khoảng cách dương đến trục. Mặt ở phía đang xét có trường −z, nên V tăng theo z.
Không chọn đường đi xuyên qua dây tại z = 0, nơi mô hình dây mảnh có trường kỳ dị.

\begin{aligned} V_{A} - V_{B} & = 2 k λ \ln (0.200 / 0.300) + \frac{σ}{2 ε_{0}} (0.300 + 0.200) \\ = 1.89 \times 10^{5} V . \end{aligned}

A cao thế hơn B. Phần do dây âm trong hiệu này, còn phần do mặt dương và lớn hơn về độ lớn.

Bài tập 23: 50 ••• CP

Cầu nhỏ m = $5.00 \times 10^{- 7}$ kg, q = +7,00 µC thả nghỉ ở 0,400 m phía trên mặt cách điện ngang rất lớn, σ = +8,00 pC/m². Dùng phương pháp tìm tốc độ khi cầu ở 0,100 m phía trên mặt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trọng lực xuống, lực điện đẩy lên, quãng đi xuống h = 0,300 m.

Hướng đi:

Công trọng lực là mgh, công lực điện là −qEh vì điện tích dương đi ngược trường.
Tổng công đổi động năng. Cần xét m g > qE để cầu thực sự rơi từ nghỉ.

\begin{aligned} \frac{1}{2} m v^{2} & = m g h - \frac{q σ h}{2 ε_{0}}, \\ v & = \sqrt{2 h (g - \frac{q σ}{2 m ε_{0}})} \\ = 1.44 m / s . \end{aligned}

Trong dữ kiện này, phần gia tốc điện hướng lên nhỏ hơn g, nên biểu thức dưới căn dương và chuyển động đi xuống phù hợp giả thiết.

Năng lượng, lực và các phân bố nguồn

Bài tập 23: 51 ••

Hạt nhân vàng bán kính $7.3 \times 10^{- 15}$ m, điện tích +79e. Hạt α mang +2e phải được gia tốc qua điện áp bao nhiêu để vừa đủ đến cách mặt hạt nhân $2.0 \times 10^{- 14}$ m? Coi hạt nhân đứng yên và là nguồn điểm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách gần nhất đến tâm là tổng bán kính hạt nhân và khoảng cách đến mặt.

Hướng đi:

Động năng thu được từ điện áp có độ lớn 2e|ΔV|.
Ở điểm quay đầu, động năng bằng không và toàn thành thế năng Coulomb.

\begin{aligned} r_{min} & = 2.73 \times 10^{- 14} m, \\ 2 e | Δ V | & = \frac{k (79 e) (2 e)}{r_{min}}, \\ | Δ V | & = 4.2 \times 10^{6} V . \end{aligned}

Đó là độ lớn điện áp gia tốc. Hạt dương phải đi về thế thấp để nhận động năng.

Bài tập 23: 52 •• CP

Proton và hạt α thả từ nghỉ khi cách 0,225 nm. Hạt α có khối lượng gần 4 lần và điện tích 2 lần proton. Tìm tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của mỗi hạt, cùng thời điểm xảy ra những cực đại ấy.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hệ hai hạt không chịu ngoại lực đáng kể, động lượng đầu bằng không.

Hướng đi:

Động lượng bảo toàn cho v_p = 4v_α về độ lớn.
Ở rất xa, đầu chuyển thành tổng động năng của hai hạt.
Gia tốc lớn nhất ngay lúc thả vì lực 1/r² giảm khi khoảng cách tăng.

Đặt U₀ = 2ke²/r₀. Khi hai hạt xa nhau:

\begin{aligned} U_{0} & = \frac{1}{2} m_{p} v_{p}^{2} + \frac{1}{2} (4 m_{p}) (v_{p} / 4)^{2}, \\ v_{p} & = \sqrt{8 U_{0} / (5 m_{p})} \\ = 4.43 \times 10^{4} m / s, \\ v_{α} & = 1.11 \times 10^{4} m / s . \end{aligned}

Gia tốc đầu cực đại là $a_{p} = 5.45 \times 10^{18}$ m/s² và $a_{α} = a_{p} / 4 = 1.36 \times 10^{18}$ m/s². Tốc độ cực đại là giới hạn sau thời gian rất lớn, còn gia tốc cực đại xảy ra ngay lúc thả. Hai lực bằng độ lớn nhưng hai gia tốc khác nhau vì khối lượng khác nhau.

Bài tập 23: 53 •

Hạt +7,60 nC trong trường đều hướng trái còn chịu một lực khác. Thả từ nghỉ, hạt đi phải 8,00 cm, lực khác sinh công $6.50 \times 10^{- 5}$ J, hạt có động năng $4.35 \times 10^{- 5}$ J. Tìm (a) công lực điện, (b) điểm đầu so với cuối, (c) độ lớn trường.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tổng công bằng động năng tăng, nhưng lực điện không phải lực duy nhất sinh công.

Hướng đi:

Trừ công lực khác khỏi ΔK để tìm công lực điện.
Chia công lực điện cho q, rồi chia theo độ dài 0,0800 m.

\begin{aligned} W_{e} & = Δ K - W_{other} \\ = - 2.15 \times 10^{- 5} J, \\ V_{dau} - V_{cuoi} & = W_{e} / q \\ = - 2.83 kV, \\ E & = 35.4 kV / m . \end{aligned}

Hạt đi ngược lực điện nên công lực điện âm. Lực khác bù phần công âm ấy và còn làm động năng tăng.

Bài tập 23: 54 ••

Hai nguồn bằng nhau q = +5,00 µC ở hai đỉnh đối diện hình vuông cạnh 8,00 cm. A là đỉnh trống, B là tâm. Nguồn q₀ = −3,00 µC đi dọc đường chéo từ A đến B. (a) Tìm độ lớn hợp lực điện tại A và vẽ vị trí, hướng lực. (b) Tìm lực tại B. (c) Tìm công lực điện từ A đến B, xác định dấu công và hạt đi về thế cao hay thấp.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai lực tại A là hai lực hút vuông góc, cùng độ lớn. Tại tâm chúng đối nhau.

Hướng đi:

Cộng vector lực cho phần (a),(b), không dùng để suy lực từ một giá trị đơn lẻ.
Công từ A đến B chỉ cần hai . B gần cả hai nguồn hơn nên có thế cao hơn A.

\begin{aligned} F_{A} & = \sqrt{2} \frac{k q | q_{0} |}{a^{2}} = 29.8 N, \\ F_{B} & = 0, \\ V_{A} & = 2 k q / a, \\ V_{B} & = 2 \sqrt{2} k q / a, \\ W_{e} & = q_{0} (V_{A} - V_{B}) = + 1.40 J . \end{aligned}

Hợp lực ở A hướng theo đường chéo từ A đến B. Hạt âm đi về cao hơn, trong khi q₀V giảm và công lực điện dương.

Sơ đồ hai lực hút lên điện tích âm ở đỉnh trống của hình vuông

Bài tập 23: 55 •• CALC

Diode chân không có catôt âm và anôt dương là những điện cực trụ đồng tâm. Do điện tích tích lũy gần catôt, giữa chúng được mô tả bởi V(x) = Cx^(4/3), với x là khoảng cách từ catôt và C hằng theo điều kiện hoạt động. Khoảng cách hai điện cực 13,0 mm, điện áp 240 V. (a) Tìm C. (b) Tìm trường theo x. (c) Tìm lực lên electron ở giữa khoảng điện cực.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hàm đã cho chọn V(0) = 0 và V(d) = 240 V, d = 0,0130 m.

Hướng đi:

Dùng điều kiện tại anôt để tìm C với đúng đơn vị lũy thừa.
Lấy E_x = −dV/dx. Electron âm có lực ngược chiều trường.

\begin{aligned} C & = 240 / d^{4 / 3} \\ = 7.85 \times 10^{4} V / m^{4 / 3}, \\ E_{x} (x) & = - \frac{4}{3} C x^{1 / 3}, \\ | F (d / 2) | & = e \frac{4}{3} C (d / 2)^{1 / 3} \\ = 3.13 \times 10^{- 15} N . \end{aligned}

Lực electron hướng theo +x, về anôt dương. Hệ số 4C/3 xấp xỉ $1.05 \times 10^{5}$ V/m^(4/3).

Bài tập 23: 56 ••: Phóng điện tĩnh điện ở ngón tay

Cọ chân trên thảm làm cơ thể nhận electron và tích điện âm. Đưa ngón tay gần tay nắm kim loại tạo trường tăng khi khoảng cách giảm. Khi trường vượt cỡ 3 MV/m, không khí đánh thủng và có phóng điện nhỏ. (a) Ước lượng khoảng cách lúc phóng điện. (b) Dùng ngưỡng trường và khoảng cách ấy để tìm độ lớn điện áp. (c) Coi đầu ngón tay và tay nắm là hai mặt dẫn phẳng trái dấu ở khoảng cách nhỏ, ước lượng mật độ mặt. (d) Ước lượng diện tích hữu hiệu đầu ngón tay. (e) Tính độ lớn điện tích. (f) Ước lượng số electron trao đổi khi cọ chân, đồng thời xác định nhận thêm hay mất bớt trong cấu hình âm đã mô tả.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đây là bài ước lượng, khoảng cách và diện tích không được cho bằng một giá trị đo.

Hướng đi:

Nêu rõ các kích thước được chọn để kết quả có thể diễn giải.
Trường giữa hai mặt dẫn trái dấu cho |σ| = $ε_{0}$ E, điện áp xấp xỉ Ed.
Điện tích hữu hiệu bằng σA và số electron bằng |Q|/e.

(a) Chọn d ≈ 1 mm. (b) |ΔV| ≈ 3000 V. (c) |σ| ≈ $2.7 \times 10^{- 5}$ C/m². (d) Chọn A ≈ 1 cm², tức $10^{- 4}$ m². (e) |Q| ≈ 2,7 nC. (f) Số electron cỡ $1.7 \times 10^{10}$ .

Vì cơ thể được mô tả tích điện âm, đó là số electron nhận thêm, không phải mất bớt. Nếu chọn các kích thước ước lượng khác, phải tính lại với chúng. Các giá trị này nhằm diễn tả mô hình và điện tích, không phải phép đo riêng của một người.

Bài tập 23: 57 ••: Tinh thể ion

Tám điện tích ±q nằm tại các đỉnh lập phương cạnh d như Hình P23.57. Đây là mô hình một ô mạng tinh thể ion, chẳng hạn Na⁺ và Cl⁻ của natri chloride. (a) Tính với mốc các ion ở vô hạn. (b) Kết quả U < 0 liên hệ thế nào với việc các tinh thể ion tồn tại trong tự nhiên?

Hình P23.57: Tám điện tích dấu luân phiên ở các đỉnh lập phương

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tám nguồn tạo 28 cặp khác nhau, phân thành ba nhóm khoảng cách.

Hướng đi:

Đếm các cặp theo cạnh, đường chéo mặt và đường chéo khối để tránh bỏ hoặc đếm hai lần.
Các nguồn ở hai đầu cạnh trái dấu, chéo mặt cùng dấu, chéo khối trái dấu.

Có 12 cặp cạnh cách d, 12 cặp chéo mặt cách √2d và 4 cặp chéo khối cách √3d:

\begin{aligned} U & = \frac{k q^{2}}{d} (- 12 + \frac{12}{\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{3}}) \\ \approx - 5.82 \frac{k q^{2}}{d} . \end{aligned}

âm nghĩa là cấu hình có năng lượng thấp hơn khi các ion tách rời vô hạn, nên liên kết điện thuận lợi về năng lượng. Điều ấy phù hợp sự tồn tại của tinh thể, nhưng U âm đơn độc không chứng minh mọi dạng ổn định hoặc nhiệt độ tồn tại của một vật liệu thật.

Bài tập 23: 58 ••

Dây tải điện dân dụng trên cột có cực đại cỡ 22 kV so với đất. Coi điện thế này hằng trong mô hình nguồn tích điện trên dây. (a) Ước lượng độ cao dây. (b) Coi dây là trụ dẫn dài R = 2 cm, điện thế mặt so với điểm đất ngay dưới dây bằng 22 kV, tìm λ. (c) Ước lượng trường ở điểm dưới dây bằng λ vừa tìm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn ước lượng h = 8 m cho độ cao. Mô hình đề bài sử dụng trường của dây dài.

Hướng đi:

Điểm đất dưới dây cách trục h, mặt dây cách trục R.
giữa hai bán kính là 2kλ ln(h/R).
Sau khi tìm λ, dùng E(h) = 2k|λ|/h.

\begin{aligned} λ & = \frac{22000}{2 k \ln (8 / 0.02)} \\ \approx 2.0 \times 10^{- 7} C / m, \\ E (h) & \approx 4.6 \times 10^{2} V / m . \end{aligned}

Giá trị phụ thuộc độ cao ước lượng và mô hình nguồn dây. Đây không phải số đo của một đường dây cụ thể.

Bài tập 23: 59 •• CP

Cầu nhỏ m = 1,50 g, q = $8.90 \times 10^{- 6}$ C treo giữa hai bản cách điện thẳng đứng rất lớn cách 5,00 cm. Mật độ hai mặt là +σ và −σ. Điện áp giữa bản bao nhiêu để dây treo hợp 30,0° với phương đứng?

Hình P23.59: Cầu tích điện treo lệch trong trường ngang giữa hai bản

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu cân bằng dưới trọng lực đứng, lực điện ngang và lực căng.

Hướng đi:

Hai phương cân bằng cho Tcosθ = mg và Tsinθ = qE.
Chia để khử T, rồi dùng |ΔV| = Ed vì trường giữa hai mặt phẳng là đều.

\begin{aligned} E & = m g \tan θ / q, \\ | Δ V | & = m g d \tan θ / q \\ \approx 47.7 V . \end{aligned}

Cầu dương bị kéo về bản âm.

Bài tập 23: 60 ••

Hai vỏ cầu đồng tâm R₁ = 5,00 cm, q₁ = +3,00 µC và R₂ = 15,0 cm, q₂ = −5,00 µC, điện tích đều trên từng mặt. Mốc V ở xa. Tìm V tại (a) 2,50 cm, (b) 10,0 cm, (c) 20,0 cm từ tâm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ba điểm nằm trong cả hai vỏ, giữa hai vỏ, và ngoài cả hai.

Hướng đi:

Trong vỏ, thế do vỏ ấy hằng kq/R. Ngoài vỏ, dùng kq/r.
Cộng có dấu riêng từng phần.

theo (a),(b),(c) lần lượt +240 kV, −30,0 kV và −89,9 kV. Độ lớn điện tích ngoài không giống trong nên điện thế ngoài không bằng không.

Trụ đồng trục và ứng dụng

Bài tập 23: 61 • CALC

Trụ kim loại dài bán kính a nằm đồng trục trong ống kim loại dài bán kính b. Trụ trong mang mật độ dài +λ, ống ngoài −λ. Chọn V = 0 tại b. (a) Tính V trong r < a, a < r < b và r > b. (b) Chứng tỏ V_ab = λ ln(b/a)/(2π $ε_{0}$ ). (c) Từ đạo hàm tìm E giữa trụ theo V_ab. (d) giữa hai trụ thế nào nếu ống ngoài trung hòa?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường trong khe là 2kλ/r, trong vật liệu dẫn bằng không, ngoài hệ ban đầu bằng không.

Hướng đi:

trường từ r đến mốc b cho trong khe.
Miền có trường bằng không là miền hằng, nối liên tục với giá trị mặt.
Điện tích mặt ngoài của ống không đổi trường trong khe khi giữ điện tích trụ trong.

(a) Với r < a, V = 2kλ ln(b/a). Trong khe, V(r) = 2kλ ln(b/r). Ngoài b, V = 0. (b) V_ab = 2kλ ln(b/a). (c)

E_{r} = - d V / d r = 2 k λ / r = \frac{V_{a b}}{\ln (b / a)} \frac{1}{r} .

(d) V_ab giữ nguyên. Mặt trong ống vẫn cần −λ để trường trong vật liệu bằng không, còn mặt ngoài có +λ khi ống trung hòa. Trường ngoài thay đổi nhưng hiệu giữa hai trụ không đổi.

Bài tập 23: 62 ••: Bộ đếm Geiger

Bức xạ ion hóa không khí dọc đường đi. Trong bộ đếm Geiger, dây mảnh cách điện với ống kim loại dài nằm trên trục ống. Dây ở thế cao hơn ống, tạo trường xuyên tâm ra. Bức xạ tạo một số , chúng bị hút về dây và ion hóa thêm không khí, tạo xung dòng có thể phát thành tiếng “click”. Dây có bán kính 145 µm, ống có bán kính 1,80 cm. Cần điện áp bao nhiêu để trường ở cách trục 1,20 cm có độ lớn $2.00 \times 10^{4}$ V/m? Coi hai điện cực dài so với bán kính.

Hình P23.62: Dây cao thế trong ống của bộ đếm Geiger
Chú thích:
Bộ đếm (Counter)
Electron tự do (Free electron)
Bức xạ (Radiation)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt trụ đồng trục, a = 145 µm, b = 0,0180 m, điểm đo r = 0,0120 m.

Hướng đi:

Dùng E(r) = V_ab/[r ln(b/a)] đã tìm ở Bài 23.61.
Chuyển bán kính dây micro sang mét, không nhầm thành millimét.

V_{a b} = E (r) r \ln (b / a) = 1.16 \times 10^{3} V .

Dây phải cao thế hơn ống để electron chuyển động về dây, ngược chiều trường.

Bài tập 23: 63 • CP: Lệch chùm electron trong CRT

Trong Hình P23.63, electron có tốc độ đầu $6.50 \times 10^{6}$ m/s đi giữa hai bản lệch hướng. Bản dài 6,0 cm, cách nhau 2,0 cm, màn cách mép ra 12,0 cm. Điện áp 22,0 V, bản dưới cao thế hơn. Tìm (a) lực, (b) gia tốc, (c) độ lệch khi ra bản, (d) góc vận tốc lúc ra, (e) độ lệch khi đến màn.

Hình P23.63: Electron qua bản dài 6,0 cm rồi bay thêm 12,0 cm đến màn

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn +y lên. Trường giữa bản hướng lên, lực electron xuống. Vận tốc x không đổi.

Hướng đi:

E = |ΔV|/d cho lực và gia tốc trong bản.
Thời gian trong bản là L/v₀. Độ lệch lúc ra có gia tốc, còn đoạn đến màn chỉ có vận tốc đứng đã tích lũy.
Cộng cả hai phần độ lệch, dùng D = 12,0 cm đo từ mép ra, như kích thước trong hình.

\begin{aligned} | F | & = e (22.0 / 0.0200) \\ = 1.76 \times 10^{- 16} N, \\ | a_{y} | & = | F | / m_{e} \\ = 1.93 \times 10^{14} m / s^{2}, \\ t_{1} & = L / v_{0}, \\ | y_{1} | & = \frac{1}{2} | a_{y} | t_{1}^{2} \\ = 0.824 cm, \\ | v_{y 1} | & = | a_{y} | t_{1}, \\ θ & = \arctan (| v_{y 1} | / v_{0}) \\ = {15.4}^{\circ}, \\ | y_{S} | & = | y_{1} | + | v_{y 1} | D / v_{0} \\ = 4.12 cm . \end{aligned}

Lực, gia tốc và độ lệch đều xuống. Độ lệch lúc ra nhỏ hơn nửa khoảng cách bản 1,0 cm, nên electron chưa chạm bản dưới. Sau khi ra, quỹ đạo trong mô hình trở thành đường thẳng nghiêng.

Bài tập 23: 64 •• CP

Hai bản lệch hướng của máy hiện sóng là bản kim loại vuông cạnh cỡ 3,0 cm, cách cỡ 5,0 mm, điện áp 25,0 V. Bỏ trường loe ở mép. (a) Tìm điện tích mỗi bản. (b) Tìm trường giữa bản. (c) Electron thả nghỉ từ bản âm có tốc độ bao nhiêu khi đến bản dương?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Diện tích A ≈ 0,030² m², khoảng cách d ≈ 0,0050 m.

Hướng đi:

E = |ΔV|/d, còn mật độ trên mỗi mặt đối diện là ± $ε_{0}$ E.
Điện tích mặt bằng σA. Electron nhận động năng e|ΔV|.

(a) Hai bản mang điện tích khoảng ±40 pC. (b) E ≈ $5.0 \times 10^{3}$ V/m. (c)

v = \sqrt{2 e | Δ V | / m_{e}} \approx 3.0 \times 10^{6} m / s .

Số chữ số được giới hạn bởi kích thước ước lượng của bản.

Bài tập 23: 65 ••: Thiết bị lọc bụi tĩnh điện

Một dạng bộ lọc bụi dùng ống kim loại đứng rỗng và dây mảnh cách điện với ống trên trục. Dây ở thế thấp hơn ống, tạo trường hướng vào. Khói đi từ dưới lên, tro bụi nhận electron trong vùng khí ion hóa gần dây rồi bị lực điện đẩy ra thành ống. Bán kính dây 90,0 µm, ống 14,0 cm, điện áp 50,0 kV. Coi điện cực dài so với bán kính. (a) Tìm trường ở giữa dây và thành. (b) Hạt tro 30,0 µg phải mang độ lớn điện tích bao nhiêu để lực điện ở đó bằng 10 lần trọng lượng?

Hình P23.65: Dây thấp thế và thành ống thu bụi mang điện âm
Chú thích:
Luồng khí (Airflow)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm giữa có r = (a + b)/2. Trường có độ lớn |ΔV|/[r ln(b/a)].

Hướng đi:

Dùng trường của điện cực đồng trục, không chia điện áp cho toàn khoảng cách như trường đều.
Giải |q|E = 10mg. Hạt bụi âm chịu lực ra, ngược trường vào.

(a) E = 97,1 kV/m. (b) Đổi m = 30,0 µg = $3.00 \times 10^{- 8}$ kg, được |q| = 30,3 pC. Điện tích thực của hạt thu electron là âm.

Điện thế của các nguồn liên tục

Bài tập 23: 66 •• CALC

Đĩa bán kính R có mật độ mặt đều σ. (a) Chia thành vòng đồng tâm để tính V tại điểm trên trục cách tâm x ≥ 0, chọn mốc vô hạn. (b) Lấy −dV/dx và chứng tỏ trùng trường đĩa ở Ví dụ 21.11.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vòng mỏng bán kính r mang dq = 2πσr dr, cách điểm trường $\sqrt{x^{2} + r^{2}}$ .

Hướng đi:

Mỗi vòng sử dụng trục vòng ở Ví dụ 23.11.
bán kính r từ 0 đến R, rồi lấy đạo hàm theo x của điểm khảo sát.

\begin{aligned} V (x) & = 2 π k σ \int_{0}^{R} \frac{r d r}{\sqrt{x^{2} + r^{2}}} \\ = \frac{σ}{2 ε_{0}} (\sqrt{x^{2} + R^{2}} - x), \\ E_{x} & = - d V / d x \\ = \frac{σ}{2 ε_{0}} (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}) . \end{aligned}

Biểu thức trường dùng ở phía x > 0 và đúng với Ví dụ 21.11. giảm về không ở rất xa, phù hợp mốc hữu hạn của đĩa hữu hạn.

Bài tập 23: 67 ••• CALC: Năng lượng lắp ráp cầu tích điện

Cầu đặc R có tổng Q đều trong thể tích. Tìm để lắp ráp bằng cách đưa các điện tích nhỏ từ rất xa. Gợi ý: Sau khi đã có q trong cầu bán kính r, xét công thêm một lớp cầu mỏng dr mang dq, rồi toàn cầu.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ ρ = 3Q/(4πR³) giữ đều trong quá trình dựng cầu bằng các lớp.

Hướng đi:

Lớp thêm vào ở ngoài phần đã dựng, nên do phần trong tại lớp là kq(r)/r.
Công thêm dq là V dq. Đây là cách đếm từng tương tác đúng một lần.

\begin{aligned} q (r) & = \frac{4 π ρ r^{3}}{3}, \\ d q & = 4 π ρ r^{2} d r, \\ d U & = \frac{k q (r)}{r} d q \\ = \frac{16 π^{2} k ρ^{2}}{3} r^{4} d r, \\ U & = \frac{16 π^{2} k ρ^{2} R^{5}}{15} \\ = \frac{3 k Q^{2}}{5 R} . \end{aligned}

dương, vì phải chống lực đẩy để lắp một phân bố cùng dấu từ vô hạn.

Bài tập 23: 68 • CALC

Thanh cách điện mảnh uốn thành nửa vòng bán kính a, điện tích tổng Q đều trên thanh. Tìm V ở tâm cong, với mốc ở vô hạn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mọi phần dq cách tâm cùng a.

Hướng đi:

là tổng vô hướng kdq/a.
Vì khoảng cách không đổi, đưa 1/a ra ngoài .

V = \frac{k}{a} \int d q = \frac{k Q}{a} .

Không cần chiếu theo góc như khi tìm vector trường của nửa vòng.

Bài tập 23: 69 ••

Cầu cách điện R = 5,00 cm có Q = +4,00 µC đều trong thể tích. Tìm tâm so với mặt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường trong cầu là kQr/R³, không bằng không như cầu dẫn.

Hướng đi:

trường từ tâm ra mặt để có V_tâm − V_mặt.
Trường ra nên tâm cao thế hơn.

V (0) - V (R) = \frac{k Q}{2 R} = + 360 kV .

Bài tập 23: 70 •

(a) Giọt mưa cầu R = 0,650 mm mang q = −3,60 pC đều trong thể tích. Tìm thế mặt, mốc vô hạn. (b) Hai giọt giống nhau nhập thành một giọt cầu lớn. Tìm bán kính và thế mặt của giọt mới, điện tích vẫn đều theo thể tích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thể tích và tổng điện tích được cộng khi hai giọt nhập.

Hướng đi:

Thế ngoài phân bố cầu đối xứng ở mặt là kq/R.
Thể tích gấp đôi cho bán kính tăng theo căn bậc ba, không tăng gấp đôi.

(a) V = −49,8 V. (b)

\begin{aligned} R^{'} & = 2^{1 / 3} R = 0.819 mm, \\ q^{'} & = 2 q, \\ V^{'} & = k q^{'} / R^{'} = 2^{2 / 3} V \\ = - 79.0 V . \end{aligned}

Giọt mới có thế âm hơn vì điện tích tăng nhanh hơn bán kính.

Thanh tích điện và hệ nhiều nguồn

Bài tập 23: 71 • CALC

Thanh mảnh dài a có tổng Q đều theo chiều dài, mốc ở vô hạn. Tìm V tại (a) P cách đầu phải thanh một khoảng x về phải, (b) R cách đầu phải thanh một khoảng y phía trên. (c) Xét gần đúng khi x hoặc y lớn hơn nhiều a.

Hình P23.71: Đoạn tích điện, điểm P bên phải và R phía trên đầu phải

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn ξ đo từ đầu phải về trái, 0 ≤ ξ ≤ a. Phần điện tích dq = (Q/a)dξ.

Hướng đi:

từng phần là kdq/r.
P có khoảng cách x + ξ, còn R có khoảng cách $\sqrt{y^{2} + ξ^{2}}$ .
Khi khảo sát xa, kiểm tra dạng của nguồn điểm tổng Q.

\begin{aligned} V_{P} & = \frac{k Q}{a} \int_{0}^{a} \frac{d ξ}{x + ξ} \\ = \frac{k Q}{a} \ln \frac{x + a}{x}, \\ V_{R} & = \frac{k Q}{a} \int_{0}^{a} \frac{d ξ}{\sqrt{y^{2} + ξ^{2}}} \\ = \frac{k Q}{a} \ln \frac{a + \sqrt{a^{2} + y^{2}}}{y} . \end{aligned}

Với x ≫ a, V_P ≈ kQ/x. Với y ≫ a, V_R ≈ kQ/y. Thanh nhìn từ xa tương đương một nguồn điểm về phần chính.

Bài tập 23: 72 ••• CP CALC

Thanh cứng khối lượng M, dài L, mang điện tích dương đều Q, quay tự do quanh gốc trong trường đều $\vec{E} = E \hat{j}$ . θ là góc thanh với +y như Hình P23.72. Bỏ trọng lực vì lực điện lớn hơn nhiều. (a) Viết V(y), với V(0) = V₀. (b) Tìm theo θ,V₀ bằng V dq. (c) Chọn V₀ thế nào để U = 0 khi θ = 0? (d) Thả nghỉ từ θ = 90°, tìm tốc độ góc khi qua θ = 0. (e) Với góc ban đầu nhỏ, tìm tần số dao động quanh θ = 0.

Hình P23.72: Thanh tích điện quay quanh gốc, góc θ đo với hướng trường +y
Chú thích:
Thanh có khối lượng M (Bar of mass M)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phần thanh cách trục s có y = s cosθ và dq = (Q/L)ds. Mômen quán tính thanh quanh đầu là ML²/3.

Hướng đi:

Trường đều +y cho V(y) giảm tuyến tính theo y.
của từng phần dq, không coi toàn Q nằm ở đầu thanh.
Bảo toàn quay cho tốc độ góc. Đạo hàm thế năng cho mômen phục hồi để xét dao động nhỏ.

(a) V(y) = V₀ − Ey. (b)

\begin{aligned} U (θ) & = \frac{Q}{L} \int_{0}^{L} (V_{0} - E s \cos θ) d s \\ = Q V_{0} - \frac{Q E L}{2} \cos θ . \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{1}{2} I ω^{2} & = Q E L / 2, \\ ω & = \sqrt{3 Q E / (M L)} . \end{aligned}

(e) Mômen lực là $τ = - Q E L \sin θ / 2$ . Với |θ| nhỏ, sinθ ≈ θ, nên mômen phục hồi tuyến tính. Từ Iθ̈ = τ:

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{3 Q E}{2 M L}} .

Tần số này chỉ áp dụng dao động góc nhỏ.

Bài tập 23: 73 ••• CP: Mô hình lực mạnh bằng lò xo

Hạt α có hai proton và hai neutron, đường kính cỡ 1 fm. Hai proton +e đẩy nhau, còn neutron không mang điện. Tương tác mạnh phải giữ hạt nhân khỏi tách ra. Trong mô hình thô, thay tương tác hút bằng lò xo Hooke giữa hai proton, bỏ neutron, chiều dài cân bằng riêng của lò xo bằng không. (a) Viết U theo khoảng cách d. (b) Tối thiểu hóa để tìm d₀. (c) Nếu d₀ = 1,00 fm, tìm độ cứng. (d) Tìm lưu trong hệ theo eV. (e) Với khối lượng proton $1.67 \times 10^{- 27}$ kg, nếu lò xo đứt, hạt α tan rã và hai proton bay ngược chiều, tìm tốc độ cuối.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Gọi κ là độ cứng lò xo để phân biệt với hằng số Coulomb k. Khoảng cách d₀ là cân bằng của cả lực hút và lực đẩy.

Hướng đi:

gồm phần đàn hồi κd²/2 và phần đẩy điện ke²/d.
Cân bằng là U′ = 0. Xét U″ để biết cực tiểu.
Khi tính tốc độ, hai proton cùng khối lượng chia động năng đều, không dồn toàn vào một hạt.

\begin{aligned} U (d) & = \frac{1}{2} κ d^{2} + k e^{2} / d, \\ U^{'} (d) & = κ d - k e^{2} / d^{2}, \\ d_{0} & = (k e^{2} / κ)^{1 / 3}, \\ U^{″} (d_{0}) & = 3 κ > 0. \end{aligned}

Với d₀ = 1 fm, κ ≈ $2.31 \times 10^{17}$ N/m. Ở cân bằng, κd₀² = ke²/d₀, nên:

U (d_{0}) = \frac{3 k e^{2}}{2 d_{0}} = 2.16 MeV .

Nếu toàn lưu trong hệ chuyển thành động năng hai proton, $m_{p} v^{2} = U (d_{0})$ cho v = $1.44 \times 10^{7}$ m/s mỗi proton. Đây là điều kiện năng lượng cần nêu cho mô hình tan rã này. Nếu chỉ bỏ lực lò xo và phần năng lượng đàn hồi bị mang ra ngoài khi đứt, chỉ còn năng lượng điện ke²/d₀ truyền thành động năng, cho tốc độ khoảng $1.17 \times 10^{7}$ m/s. Không thể chọn giữa hai cách phân bố năng lượng chỉ từ việc nói lực lò xo biến mất.

Bài tập 23: 74 •

Cầu kim loại R₁ mang Q₁, mốc V ở vô hạn. (a) Tìm trường và thế tại mặt. Sau đó nối bằng dây dẫn dài, mảnh với cầu R₂ ở cách vài mét, ban đầu trung hòa. Khi đạt cân bằng, bỏ lượng điện tích nhỏ trên dây. Tìm (b) điện tích mỗi cầu, (c) thế mỗi cầu, (d) trường tại từng mặt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai cầu xa nhau so với bán kính, bỏ tương tác gần và điện tích dây trong mô hình.

Hướng đi:

Trước nối, dùng kết quả cầu dẫn đơn.
Sau nối, toàn hệ dẫn đẳng thế, đồng thời tổng điện tích hai cầu bằng Q₁.
Trường tại mặt bằng thế chung chia bán kính riêng của cầu.

(a) $E_{r 1} = k Q_{1} / R_{1}^{2}$ , V₁ = kQ₁/R₁. (b), (c)

\begin{aligned} Q_{1}^{'} + Q_{2}^{'} & = Q_{1}, \\ Q_{1}^{'} / R_{1} & = Q_{2}^{'} / R_{2}, \\ Q_{1}^{'} & = \frac{Q_{1} R_{1}}{R_{1} + R_{2}}, \\ Q_{2}^{'} & = \frac{Q_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}, \\ V_{1} & = V_{2} = \frac{k Q_{1}}{R_{1} + R_{2}} . \end{aligned}

(d) Các thành phần xuyên tâm có dấu là Eᵣ₁ = V/R₁, Eᵣ₂ = V/R₂. Với Q₁ dương, trường ra và mạnh hơn tại cầu nhỏ hơn. Với Q₁ âm, trường vào, độ lớn vẫn tỷ lệ nghịch bán kính.

Bài tập 23: 75 •

Hạt α ở rất xa có động năng 9,50 MeV, đi thẳng vào hạt nhân chì đứng yên, số hiệu nguyên tử 82. Tìm khoảng cách gần nhất. Coi hạt nhân cố định và là nguồn điểm, hạt α là hạt nhân heli số hiệu nguyên tử 2.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai điện tích +2e và +82e đẩy nhau, chạm ngưỡng quay đầu theo đường xuyên tâm.

Hướng đi:

Ở rất xa, bằng không. Tại khoảng cách gần nhất, động năng của hạt α bằng không trong va chạm thẳng tâm.
Đổi MeV sang joule để dùng Coulomb trong SI.

\begin{aligned} K_{0} & = 9.50 \times 10^{6} e, \\ r_{min} & = \frac{k (2 e) (82 e)}{K_{0}} \\ = 2.49 \times 10^{- 14} m . \end{aligned}

Bài tập gradient và dữ liệu

Bài tập 23: 76 • CALC

Trong vùng có $V (x, y, z) = A (x^{2} - 3 y^{2} + z^{2})$ . (a) Suy ra trường. (b) Khi điện tích thử 1,50 µC đi từ (0,0,0,250 m) đến gốc, công đo được $6.00 \times 10^{- 5}$ J. Tìm A. (c) Tìm trường ở điểm đầu. (d) Chứng tỏ các trong mặt phẳng song song xz là những đường tròn khi mức thế tương ứng tồn tại. (e) Tìm bán kính đường V = 1280 V ở y = 2,00 m.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: tại gốc bằng không, còn tại điểm đầu là A(0,250)².

Hướng đi:

Lấy âm đạo hàm riêng cho trường.
Công q(V_đầu − V_cuối) cho A.
Giữ y hằng rồi viết phương trình mức V theo x,z để nhận đường tròn và điều kiện tồn tại.

(a) Eₓ = −2Ax, Eᵧ = +6Ay, E_z = −2Az. (b) A = 640 V/m². (c) Trường là −320 V/m theo z, hai thành phần kia bằng không.

(d) Trên mặt y = y₀:

x^{2} + z^{2} = V / A + 3 y_{0}^{2} .

Vế phải dương cho đường tròn, bằng không cho một điểm, âm thì không có đường mức. (e) Bán kính √14 m ≈ 3,74 m.

Bài tập 23: 77 •• DATA

Trong vùng cách gốc không quá 2,00 m, có dạng $V = A x^{l} + B y^{m} + C z^{n} + D$ . Các hằng số có đơn vị để x,y,z tính bằng m và V bằng volt. Dữ liệu đo như sau. (a) Tìm A,B,C,D,l,m,n. (b) Tìm V và độ lớn trường tại gốc, (0,50 m,0,50 m,0,50 m), (1,00 m,1,00 m,1,00 m).

Điểm (m)	V (V)	Eₓ (V/m)	Eᵧ (V/m)	E_z (V/m)
(0,0,0)	10,0	0	0	0
(1,00,0,0)	4,0	12,0	0	0
(0,1,00,0)	6,0	0	12,0	0
(0,0,1,00)	8,0	0	0	12,0

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dữ liệu trên từng trục tách riêng số hạng theo tọa độ đó.

Hướng đi:

Giá trị ở gốc cho D.
từ gốc đến tọa độ 1 m cho hệ số A,B,C.
Thành phần trường ở cùng điểm cho tích hệ số với số mũ, nên suy số mũ từ E = −∂V.

Ở gốc D = 10 V. Trên x = 1 m, A = −6,0 V/m² và −Al = 12,0 cho l = 2. Tương tự B = −4,0 V/m³, m = 3, C = −2,0 V/m⁶, n = 6. Hàm thu được là:

V = 10 - 6 x^{2} - 4 y^{3} - 2 z^{6} .

Tọa độ trong biểu thức này đo bằng m. Các thành phần trường là 12x, 12y², 12z⁵ theo V/m. Kết quả phần (b):

Điểm	V	Độ lớn E
Gốc	10,0 V	0
(0,50;0,50;0,50) m	7,97 V	6,72 V/m
(1,00;1,00;1,00) m	−2,00 V	20,8 V/m

Những điểm yêu cầu đều nằm trong phạm vi bán kính 2,00 m đã cho.

Bài tập 23: 78 ••• DATA

Cầu nhỏ cố định mang Q chưa biết. Bắn hạt m = $4.00 \times 10^{- 4}$ kg, q = $5.00 \times 10^{- 8}$ C từ xa thẳng vào tâm cầu. Khối lượng cầu lớn hơn nhiều, coi đứng yên. Mọi khoảng cách đo lớn hơn nhiều bán kính hai vật, nên coi nguồn điểm. Đồ thị v² theo 1/x được khớp bởi:

v^{2} = 400 m^{2} / s^{2} - \frac{15.75 m^{3} / s^{2}}{x} .

(a) Giải thích vì sao đồ thị thẳng. (b) Tìm tốc độ đầu ở rất xa. (c) Tìm Q. (d) Tìm khoảng cách gần nhất, vẫn giả sử lớn hơn nhiều bán kính vật.

Hình P23.78: Đồ thị bình phương tốc độ theo nghịch đảo khoảng cách

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trục ngang là 1/x, hệ số chặn 400, hệ số góc −15,75 trong SI.

Hướng đi:

Bảo toàn cơ năng cho v² = v₀² − 2kQq/(mx), tuyến tính theo 1/x.
Hệ số chặn cho v₀, hệ số góc cho Q. Điểm quay đầu có v² = 0.

(a) Quan hệ thẳng xuất phát từ nguồn điểm tỷ lệ 1/x. (b) v₀ = 20,0 m/s. (c) Q = +7,01 µC. Dấu dương phù hợp hạt dương chậm lại do lực đẩy. (d) $x_{min} = 15.75 / 400 = 0.0394$ m, tức 3,94 cm.

Bài tập 23: 79 ••• DATA: Thí nghiệm giọt dầu Millikan

Robert Millikan đo điện tích electron trong các thí nghiệm 1909–1913. Những giọt dầu rất nhỏ, cỡ $10^{- 4}$ mm, được phun giữa hai bản nằm ngang cách d, có điện áp V_AB tạo trường xuống. Giọt có thể nhận điện tích âm do ma sát hoặc ion hóa bởi tia X, phóng xạ, rồi được quan sát bằng kính hiển vi.

(a) Bỏ lực đẩy nổi không khí, chứng tỏ giọt bán kính r đứng yên khi độ lớn điện tích là $| q | = 4 π ρ r^{3} g d / (3 V_{A B})$ , với ρ là mật độ dầu. (b) Không đo r trực tiếp. Khi tắt trường, giọt rơi với tốc độ giới hạn v_t, lực cản Stokes 6πηrv cân bằng trọng lượng. Chứng tỏ công thức điện tích theo v_t bên dưới. (c) Tính điện tích bốn giọt trong bảng, với d = 1,00 mm, ρ = 824 kg/m³, η = $1.81 \times 10^{- 5}$ N s/m², g = 9,80 m/s². (d) Giả sử điện tích giọt −ne. Giọt 2 có độ lớn nhỏ nhất trong 300 giọt đo, coi nó dư đúng một electron. Suy n cho những giọt khác. (e) Tính e từ từng giọt rồi lấy trung bình.

| q | = \frac{18 π d}{V_{A B}} \sqrt{\frac{η^{3} v_{t}^{3}}{2 ρ g}} .

Giọt	V_AB (V)	v_t ( $10^{- 5}$ m/s)
1	9,16	2,54
2	4,57	0,767
3	12,32	4,39
4	6,28	1,52

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giọt âm chịu lực điện lên, trọng lực xuống. Mật độ ρ và độ nhớt η đã biết, bỏ lực nổi như giả thiết.

Hướng đi:

Cân bằng tĩnh điện cho |q|V_AB/d = mg.
Khi tắt trường, tốc độ giới hạn cho 6πηrv_t = mg để suy r.
Ghép hai phép đo loại r, sau đó dùng giả thiết lượng tử hóa để suy số nguyên n.

(a) Khối lượng $m = 4 π ρ r^{3} / 3$ cho công thức đã nêu. (b)

\begin{aligned} 6 π η r v_{t} & = \frac{4 π ρ r^{3} g}{3}, \\ r^{2} & = \frac{9 η v_{t}}{2 ρ g}, \\ | q | & = \frac{4 π ρ g d}{3 V_{A B}} {(\frac{9 η v_{t}}{2 ρ g})}^{3 / 2} \\ = \frac{18 π d}{V_{A B}} \sqrt{\frac{η^{3} v_{t}^{3}}{2 ρ g}} . \end{aligned}

(c)–(e) Các điện tích thực âm. Từ tỷ số độ lớn so với giọt 2, các số electron là 3,1,5,2:

Giọt	q ( $10^{- 19}$ C)	n	e suy ra ( $10^{- 19}$ C)
1	−4,79	3	1,60
2	−1,59	1	1,59
3	−8,09	5	1,62
4	−3,23	2	1,62

Giá trị trung bình e ≈ $1.61 \times 10^{- 19}$ C. Các tỷ số không nguyên hoàn toàn vì dữ liệu có sai số đo và làm tròn. Việc lấy giọt nhỏ nhất bằng một electron là giả thiết được cho trong câu hỏi, không phải kết luận từ riêng bốn hàng dữ liệu.

Bài tập nâng cao

Bài tập 23: 80 ••• CALC

Vành khăn trong mặt xy, tâm tại gốc, bán kính trong a, ngoài b, mật độ mặt σ. (a) Tìm V ở mọi điểm trục z, mốc vô hạn. (b) Lấy đạo hàm tìm trường. (c) Cho a tiến về 0 và b ra vô hạn, chứng tỏ trường trở thành trường mặt phẳng vô hạn. (d) Với a = 5,00 cm, b = 10,0 cm, tổng điện tích +1,00 µC, tìm V ở gốc. (e) Hạt m = 1,00 g, q = +1,00 µC ở gốc được đẩy lệch rất nhẹ, đi dọc z. Tìm tốc độ cuối ở xa. Khối lượng vành lớn hơn nhiều khối lượng hạt.

Hình P23.80: Vành khăn tích điện trong xy và trục đối xứng z

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vành được chia thành vòng bán kính r từ a đến b, dq = 2πσr dr.

Hướng đi:

từng vòng, rồi lấy âm đạo hàm theo z.
Giới hạn mặt vô hạn áp dụng cho trường. Mốc thế ở vô hạn không còn hữu hạn khi nguồn kéo dài vô hạn.
Hạt dương ở tâm vành dương là cân bằng không bền theo z. Độ giảm qV chuyển thành động năng khi lệch khỏi tâm.

(a)

\begin{aligned} V (z) & = 2 π k σ \int_{a}^{b} \frac{r d r}{\sqrt{z^{2} + r^{2}}} \\ = \frac{σ \sqrt{z^{2} + b^{2}}}{2 ε_{0}} - \frac{σ \sqrt{z^{2} + a^{2}}}{2 ε_{0}} . \end{aligned}

(b) Trường chỉ có thành phần z:

E_{z} = \frac{σ z}{2 ε_{0} \sqrt{z^{2} + a^{2}}} - \frac{σ z}{2 ε_{0} \sqrt{z^{2} + b^{2}}} .

(c) Khi a → 0,b → ∞, z khác không, thành phần trở thành σ/(2 $ε_{0}$ ) ở z > 0 và −σ/(2 $ε_{0}$ ) ở z < 0. (d) Dùng σ = Q/[π(b² − a²)]:

V (0) = \frac{2 k Q}{a + b} = 1.20 \times 10^{5} V .

(e) Ở xa V → 0, nên $m v_{\infty}^{2} / 2 = q V (0)$ cho v∞ = 15,5 m/s. Nếu không có lệch dù nhỏ và hạt ở chính xác z = 0 với v = 0, nó vẫn ở cân bằng. “Đẩy lệch rất nhẹ” chọn nhánh rời điểm cân bằng không bền.

Bài tập 23: 81 ••• BIO

Tế bào tim được mô hình hóa thành vỏ trụ dài 100 µm, đường kính ngoài 20,0 µm, màng dày 1,00 µm. Ion kali chuyển qua màng, để điện tích dương mặt ngoài và âm mặt trong. Khi nghỉ, thế bên trong thấp hơn ngoài 90,0 mV. (a) Nếu tổng điện tích tế bào bằng không, tìm độ lớn điện tích mỗi mặt. Bỏ hiệu ứng đầu trụ. (b) Tìm trường ngay trong màng sát mặt trong. (c) Khi khử cực, ion natri đi qua kênh làm thế trong cao hơn ngoài 20,0 mV. Coi điện tích chuyển từ mặt ngoài sang trong, tìm lượng điện tích chuyển. (d) Nếu do Na⁺ thực hiện, tìm số ion.

Hình P23.81: Hai mặt tích điện trái dấu của màng tế bào hình trụ
Chú thích:
Đường kính ngoài của ống trụ (Cylinder outer diameter)
Bề dày thành tế bào (Cell wall thickness)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bán kính a = 9,00 µm, b = 10,0 µm, chiều dài ℓ = 100 µm. Điện tích hai mặt bằng độ lớn, trái dấu.

Hướng đi:

Màng dùng mô hình điện cực trụ đồng trục, |ΔV| = |λ| ln(b/a)/(2π $ε_{0}$ ).
Điện tích tổng một mặt bằng λℓ. Trường sát mặt trong có r = a, vẫn ở phần màng, không ở chất lỏng bên trong.
Chuyển thế trong từ −90 mV lên +20 mV cần thay đổi 110 mV, không chỉ 20 mV.

Đặt hệ số $C_{cylinder} = 2 π ε_{0} ℓ / \ln (b / a)$ :

\begin{aligned} | Q_{rest} | & = C_{cylinder} (0.0900) \\ = 4.75 \times 10^{- 15} C, \\ E (a^{+}) & = \frac{0.0900}{a \ln (b / a)} \\ = 94.9 kV / m, \\ Δ Q & = C_{cylinder} (0.110) \\ = 5.81 \times 10^{- 15} C, \\ N_{{Na}^{+}} & = Δ Q / e \\ \approx 3.63 \times 10^{4} . \end{aligned}

Trường nghỉ hướng từ mặt ngoài dương về mặt trong âm. Điện tích dương chuyển vào làm đảo dấu như mô tả.

Bài tập 23: 82 ••• CALC

Ống cách điện rỗng, thành mỏng R, dài L, có tổng Q đều trên mặt bên. (a) Tìm V ở mọi điểm trục ống, gốc tại tâm ống, mốc vô hạn. (b) Chứng tỏ khi L nhỏ hơn nhiều R, kết quả trở thành thế trục vòng bán kính R. (c) Từ V tìm trường ở mọi điểm trục.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn z dọc trục, phần vòng tại ζ mang dq = (Q/L)dζ, với −L/2 ≤ ζ ≤ L/2.

Hướng đi:

Mỗi vòng có thế trục k dq chia khoảng cách $\sqrt{R^{2} + (z - ζ)^{2}}$ .
theo ζ. Đổi biến u = z − ζ cho nguyên hàm logarit.
Đối xứng cho trường trên trục chỉ theo z, nên đạo hàm V đủ tìm thành phần ấy.

Đặt h = L/2 và $r_{\pm} = \sqrt{R^{2} + (z \pm h)^{2}}$ . Khi đó:

\begin{aligned} V (z) & = \frac{k Q}{L} \int_{- h}^{h} \frac{d ζ}{\sqrt{R^{2} + (z - ζ)^{2}}} \\ = \frac{k Q}{L} \ln \frac{z + h + r_{+}}{z - h + r_{-}}, \\ E_{z} & = \frac{k Q}{L} (\frac{1}{r_{-}} - \frac{1}{r_{+}}) . \end{aligned}

Các biểu thức dưới logarit dương vì R > 0. (b) Khi L ≪ R, mọi vòng nằm gần tâm theo chiều trục và có độ dài L nhân gần một giá trị không đổi, nên $V \approx k Q / \sqrt{R^{2} + z^{2}}$ . Đây là thế trục vòng. Trường ở tâm ống bằng không vì r₊ = r₋.

Bài tập 23: 83 ••• CP

Va chạm hạt nhân thường lệch tâm hơn thẳng tâm. Hạt α ở Bài 23.75 có động lượng đầu p₀, mômen động lượng đối với hạt nhân chì đứng yên L = p₀b. Tìm khoảng cách gần nhất với b = $1.00 \times 10^{- 12}$ m, rồi b = $1.00 \times 10^{- 13}$ m và $1.00 \times 10^{- 14}$ m.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: K₀ = 9,50 MeV, tương tác đẩy Coulomb. Có mômen động lượng khác không nên ở điểm gần nhất hạt vẫn có vận tốc tiếp tuyến.

Hướng đi:

Tại r_min, thành phần vận tốc xuyên tâm bằng không, còn thành phần tiếp tuyến được xác định bởi L = mrv_t.
Bảo toàn gồm cả động năng tiếp tuyến, không đặt toàn tốc độ bằng không như va chạm thẳng tâm.
Dùng p₀² = 2mK₀ để thay L bằng b và giải phương trình bậc hai theo r.

Đặt A = k(2e)(82e), $r_{0} = A / K_{0}$ , chính là khoảng cách thẳng tâm ở Bài 23.75:

\begin{aligned} K_{0} & = A / r + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}}, \\ r^{2} - r_{0} r - b^{2} & = 0, \\ r_{min} & = \frac{r_{0} + \sqrt{r_{0}^{2} + 4 b^{2}}}{2} . \end{aligned}

Với r₀ = $2.49 \times 10^{- 14}$ m, các khoảng cách gần nhất theo thứ tự là $1.01 \times 10^{- 12}$ m, $1.13 \times 10^{- 13}$ m và $2.84 \times 10^{- 14}$ m. Nghiệm âm không phải khoảng cách. Khi b → 0, kết quả trở về r₀, đúng va chạm thẳng tâm.

Bài đọc và câu hỏi kiểu MCAT

Phân tích vật liệu bằng ion

Phổ tán xạ ngược Rutherford, viết tắt RBS, khảo sát cấu trúc và thành phần vật liệu bằng chùm ion cao, thường là heli. Chùm được bắn vào mẫu. Phân bố góc và năng lượng của các ion bị tán xạ bởi nguyên tử mẫu cung cấp thông tin về thành phần mẫu.

Một máy gia tốc tĩnh điện tandem có thể tạo chùm này. Ion heli âm He⁻ bắt đầu ở 0, được hút đến vùng giữa có điện thế dương cao. Trường trong ống gia tốc được coi không đổi. Ở giữa, các electron bị tách khỏi ion, làm nó thành He²⁺. Ion dương sau đó bị vùng giữa đẩy đến đầu kia có điện thế 0, tiếp tục nhận động năng. Các câu sau dùng mô hình ấy, coi động năng đầu và phần thay đổi do quá trình tách electron nhỏ so với động năng gia tốc.

Bài tập 23: 84

Muốn ion heli sau máy có động năng 3,0 MeV, vùng giữa phải bằng bao nhiêu? (a) −3,0 MV, (b) +3,0 MV, (c) +1,5 MV, hay (d) +1,0 MV?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ion đầu mang −e, sau vùng giữa mang +2e, hai đầu máy ở V = 0.

Hướng đi:

Chặng đầu ion âm đến +V nhận động năng eV.
Chặng sau ion +2e đi từ +V về 0 nhận thêm 2eV.
Cộng hai chặng, không chỉ tính chặng sau.

K = 3eV. Để K = 3,0 MeV, cần V = +1,0 MV. Chọn (d).

Bài tập 23: 85

Ion He²⁺ đến gần cỡ 10 fm từ tâm hạt nhân mẫu có thể gây phản ứng hạt nhân thay vì chỉ tán xạ. Ion có K = 3,0 MeV đi thẳng vào hạt nhân được coi cố định. Điện tích hạt nhân nhỏ nhất để ion không đến gần hơn 10 fm là (a) 2e, (b) 11e, (c) 20e, hay (d) 22e?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt α mang +2e, hạt nhân mang +Ze với Z nguyên.

Hướng đi:

Điểm quay đầu cần Coulomb ít nhất bằng động năng tại r = 10 fm.
Tìm ngưỡng Z rồi lấy số nguyên nhỏ nhất không thấp hơn ngưỡng.

\begin{aligned} \frac{2 k Z e^{2}}{r} & \geq K, \\ Z & \geq \frac{K r}{2 k e^{2}} \\ \approx 10.4 . \end{aligned}

Z nhỏ nhất là 11, nên chọn (b). Làm tròn ngưỡng xuống 10 sẽ không thỏa điều kiện ngăn đến gần hơn.

Bài tập 23: 86

Máy tandem điển hình có giữa cực đại 6,0 MV. Khoảng cách từ một đầu ống đến vùng giữa là 12 m. Độ lớn trường trung bình là (a) 41.000 V/m, (b) 250.000 V/m, (c) 500.000 V/m, hay (d) 6.000.000 V/m?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Một nửa ống có chênh thế 6,0 MV trên chiều dài 12 m.

Hướng đi:

Trường trung bình dọc đường lấy độ lớn chênh thế chia chiều dài.
Không dùng toàn chiều dài hai nửa máy cho chênh thế một nửa.

\begin{aligned} E_{tb} & = \frac{6.0 \times 10^{6} V}{12 m} \\ = 5.0 \times 10^{5} V / m . \end{aligned}

Chọn (c).

Đáp số tra cứu

Lời giải: Đáp số luyện tập có hướng dẫn

Bài	Kết quả
VP23.2.1	Công ngoài $1.51 \times 10^{- 16}$ J. Động năng $2.32 \times 10^{- 15}$ J
VP23.2.2	$5.22 \times 10^{- 15}$ J, điện tích $+ 1.92 \times 10^{- 18}$ C, gần +12e
VP23.2.3	Công thêm nguồn −ke²/(6a). toàn hệ −7ke²/(6a)
VP23.2.4	q₂ = +7,21 nC, công thêm q₃ bằng $5.59 \times 10^{- 6}$ J
VP23.7.1	+25,0 V, +15,0 V, 0, −25,0 V
VP23.7.2	3,6 kV, 2,2 kV, 1,6 kV. Chỉ gốc có E = 0
VP23.7.3	+133 V, −133 V, tốc độ cuối $1.98 \times 10^{5}$ m/s
VP23.7.4	V_tâm − V_mặt = kQ/(2R), tâm cao thế hơn
VP23.12.1	Công lần lượt 2kqq₀/(15R), −5kqq₀/(14R), 3kqq₀/(4R)
VP23.12.2	16,0 V, $3.20 \times 10^{- 8}$ J, chạm bản dưới với 3,58 m/s
VP23.12.3	$1.61 \times 10^{- 6}$ J và $5.39 \times 10^{- 6}$ J. Tại tâm, động năng $3.42 \times 10^{- 6}$ J, tốc độ 41,3 m/s
VP23.12.4	dq = (Q/L)dx, V(0) = (kQ/L)ln2

Câu hỏi mở đầu chọn (iii). Khi điện áp giữa dụng cụ và kim loại được giữ cố định, khoảng cách nhỏ làm lớn, đủ để ion hóa khí và tạo hồ quang.

Với bài tổng hợp, công ngoài đưa nguồn q chậm từ vô hạn đến x = L > a là:

W_{ngoai} = \frac{k Q q}{2 a} \ln \frac{L + a}{L - a} .

Lời giải: Đáp số bài lẻ

Bài	Kết quả ngắn
23.1	Công lực điện −0,356 J
23.3	Công lắp ráp $3.46 \times 10^{- 13}$ J, tức 2,16 MeV
23.5	12,5 m/s tại 0,400 m. Khoảng cách gần nhất 0,323 m
23.7	Độ lớn lực tại điểm dừng $1.94 \times 10^{- 5}$ N
23.9	Tốc độ cực đại 13,6 km/s ở giới hạn rất xa. Gia tốc cực đại $2.45 \times 10^{17}$ m/s² ngay khi thả
23.11	V_a − V_b = +89,3 V, a cao thế hơn
23.13	7,42 m/s, tăng tốc
23.15	0, +0,750 mJ, −2,06 mJ
23.17	V_a = 0, V_b = −175 kV. Công lực điện −0,877 J
23.19	−737 V, −704 V, công B → A bằng $8.24 \times 10^{- 8}$ J
23.21	E_y âm, độ lớn 171 V/m. V_B − V_C = +17,1 V, V_C − V_B = −17,1 V
23.23	b cao thế hơn, trường 800 V/m, công −48,0 µJ
23.25	Công +0,0539 J, tốc độ 3,00 m/s
23.27	+180 V, −270 V, −449 V. Chênh thế hai mặt 719 V, mặt trong cao thế hơn
23.29	Dao động qua lại trên trục. Tốc độ ở tâm $1.67 \times 10^{7}$ m/s
23.31	Tốc độ đầu tối thiểu 150 m/s
23.33	Khoảng 78 kV giữa mặt và điểm ngoài. trong hốc bằng không
23.35	Công ngoài 0,474 J
23.37	8,00 kV/m, lực 19,2 µN, công lực điện +0,864 µJ, công ngoài chậm −0,864 µJ
23.39	V_b − V_a = −760 V
23.41	Cầu trong và vỏ ngoài dẫn có hằng trong vật liệu. Công thức ba vùng ghi bên dưới. Nối đất cho thế ngoài bằng không
23.43	Eₓ = 2Bx − Ay, Eᵧ = −Ax − C, E_z = 0. Trường không tại x = −C/A, y = −2BC/A², z tùy ý
23.45	q = +0,763 nC. Các bán kính mức 500–0 V lần lượt 1,20, 1,45, 1,85, 2,53, 4,00, 9,60 cm
23.47	ở trung điểm $- 3.60 \times 10^{- 7}$ J. Thế năng không khi x = +7,43 cm trong miền giữa hai nguồn
23.49	V_A − V_B = $+ 1.89 \times 10^{5}$ V, A cao thế hơn
23.51	khoảng $4.2 \times 10^{6}$ V
23.53	Công lực điện −21,5 µJ. Chênh thế −2,83 kV. Trường 35,4 kV/m
23.55	C = $7.85 \times 10^{4}$ V/m^(4/3). Trường hướng về catôt, lực lên electron hướng về anôt. Độ lớn lực tại giữa khe $3.13 \times 10^{- 15}$ N
23.57	khối lập phương bằng hệ số −5,824 nhân kq²/d
23.59	Chênh thế có độ lớn 47,7 V
23.61	Thế hằng trong lõi và ngoài vỏ. Ba vùng ghi bên dưới
23.63	Lực $1.76 \times 10^{- 16}$ N và gia tốc $1.93 \times 10^{14}$ m/s² hướng xuống. Lệch khi ra bản 0,824 cm, góc 15,4°, lệch trên màn 4,12 cm khi màn cách đầu ra 12,0 cm
23.65	97,1 kV/m. Điện tích bụi âm, độ lớn 30,3 pC
23.67	cầu đều 3kQ²/(5R)
23.69	tâm so với mặt xấp xỉ +360 kV
23.71	Hai biểu thức logarit ghi bên dưới. Ở xa, V_P ≈ kQ/x và V_R ≈ kQ/y
23.73	Độ cứng $2.31 \times 10^{17}$ N/m, 2,16 MeV. Tốc độ $1.44 \times 10^{7}$ m/s nếu toàn năng lượng lưu chuyển thành động năng hai proton
23.75	Khoảng cách gần nhất $2.49 \times 10^{- 14}$ m
23.77	A = −6,0 V/m², B = −4,0 V/m³, C = −2,0 V/m⁶, D = 10 V. Các số mũ 2,3,6. tại ba điểm 10,0 V, 7,97 V, −2,00 V. Trường 0, 6,72 V/m, 20,8 V/m
23.79	Bốn điện tích −4,79, −1,59, −8,09, −3,23 theo $10^{- 19}$ C. Số electron dư 3,1,5,2. Giá trị e trung bình $1.61 \times 10^{- 19}$ C
23.81	$4.75 \times 10^{- 15}$ C mỗi mặt, trường 94,9 kV/m, lượng chuyển $5.81 \times 10^{- 15}$ C, khoảng 36.300 ion Na⁺
23.83	Khoảng cách gần nhất $1.01 \times 10^{- 12}$ m, $1.13 \times 10^{- 13}$ m, $2.84 \times 10^{- 14}$ m
23.85	Chọn (b), điện tích hạt nhân +11e

Với Bài 23.41, chọn vỏ ngoài V = 0. Ba vùng là:

\begin{aligned} V (r) & = k q (1 / r_{a} - 1 / r_{b}), \\ r & \leq r_{a}, \\ V (r) & = k q (1 / r - 1 / r_{b}), \\ r_{a} & \leq r \leq r_{b}, \\ V (r) & = 0, r \geq r_{b} . \end{aligned}

Với Bài 23.61, chọn vỏ ngoài có bằng không. Trong lõi trụ, khi $r \leq a$ :

V (r) = 2 k λ \ln (b / a) .

Trong thành vỏ, khi $a \leq r \leq b$ :

V (r) = 2 k λ \ln (b / r) .

Ngoài vỏ, khi $r \geq b$ :

V (r) = 0.

Với Bài 23.71:

\begin{aligned} V_{P} & = \frac{k Q}{a} \ln \frac{x + a}{x}, \\ V_{R} & = \frac{k Q}{a} \ln \frac{a + \sqrt{a^{2} + y^{2}}}{y} . \end{aligned}

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, ấn bản 15, chương 23, trang 771–780 và phụ lục đáp số A-15–A-16.

Thế năng và điện thế

Tính toán và hình học điện thế

Tóm tắt ​

Thế năng điện ​

Điện thế ​

Mặt đẳng thế ​

Trường từ điện thế ​

Tài liệu tham khảo ​

Luyện tập có hướng dẫn ​

Biến thể từ Ví dụ 23.1–23.2 ​

Biến thể từ Ví dụ 23.3–23.7 ​

Biến thể từ Ví dụ 23.8–23.12 ​

Bài tổng hợp: Nguồn điểm và đoạn dây ​

Câu hỏi thảo luận ​

Bài tập theo mục ​

Thế năng điện ​

Điện thế và công ​

Tính điện thế ​

Mặt đẳng thế và gradient ​

Bài tập tổng hợp ​

Năng lượng, lực và các phân bố nguồn ​

Trụ đồng trục và ứng dụng ​

Điện thế của các nguồn liên tục ​

Thanh tích điện và hệ nhiều nguồn ​

Bài tập gradient và dữ liệu ​

Bài tập nâng cao ​

Bài đọc và câu hỏi kiểu MCAT ​

Phân tích vật liệu bằng ion ​

Đáp số tra cứu ​

Tài liệu tham khảo ​

Tóm tắt

Thế năng điện

Điện thế

Mặt đẳng thế

Trường từ điện thế

Tài liệu tham khảo

Luyện tập có hướng dẫn

Biến thể từ Ví dụ 23.1–23.2

Biến thể từ Ví dụ 23.3–23.7

Biến thể từ Ví dụ 23.8–23.12

Bài tổng hợp: Nguồn điểm và đoạn dây

Câu hỏi thảo luận

Bài tập theo mục

Thế năng điện

Điện thế và công

Tính điện thế

Mặt đẳng thế và gradient

Bài tập tổng hợp

Năng lượng, lực và các phân bố nguồn

Trụ đồng trục và ứng dụng

Điện thế của các nguồn liên tục

Thanh tích điện và hệ nhiều nguồn

Bài tập gradient và dữ liệu

Bài tập nâng cao

Bài đọc và câu hỏi kiểu MCAT

Phân tích vật liệu bằng ion

Đáp số tra cứu

Tài liệu tham khảo