21.7. Lưỡng cực điện

Một gồm hai điểm bằng nhau về độ lớn, trái dấu, $+q$ và $-q$, cách nhau d. Nhiều hệ từ phân tử đến anten có thể mô tả bằng mô hình lưỡng cực. Khái niệm này cũng là nền cho điện môi ở chương 24.

Phân tử nước và khả năng hòa tan

Phân tử nước ${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$ trung hòa về tổng nhưng liên kết bên trong làm điện tích phân bố không đều. Phía oxygen có điện tích dư âm, còn phía hydrogen có điện tích dư dương. Tác dụng tương đương việc dịch một electron khoảng $4\times {10}^{-11}\mathrm{m}$, cỡ bán kính nguyên tử hydrogen.

Hình 21.30: Phân tử nước có hai phía điện tích và các chất hòa tan trong nước

Chú thích:

• (a) Phân tử nước, điện tích dương biểu diễn bằng màu đỏ và điện tích âm bằng màu xanh ((a) A water molecule, showing positive charge as red and negative charge as blue)
• Mômen lưỡng cực điện p hướng từ đầu âm đến đầu dương của phân tử (The electric dipole moment p is directed from the negative end to the positive end of the molecule)

Hình 21.30: (a) Màu đỏ biểu diễn vùng dương, màu xanh biểu diễn vùng âm. Mũi tên đi từ phía âm đến phía dương. (b) Các ống nghiệm chứa dung dịch những chất khác nhau trong nước, minh họa khả năng hòa tan của nước.

Sự lệch rất nhỏ của có hệ quả lớn. Muối ăn hòa tan thành ion natri dương và ion clo âm. Các ion ấy bị hút đến những phía trái dấu của phân tử nước, giúp giữ chúng trong dung dịch. Nếu phân tử nước không có lưỡng cực, nước sẽ là dung môi kém đối với chất ion và phần lớn hóa học trong dung dịch nước không thể diễn ra như hiện nay. Các phản ứng sinh hóa của sự sống cũng thuộc những quá trình ấy.

Lời giải: Trở lại bài toán mở đầu

Chọn (ii). Phân tử nước có tổng bằng không, nhưng điện tích dương và âm có tâm phân bố không trùng nhau. Chính đặc điểm lưỡng cực giúp tương tác với các ion trong dung dịch.

Ta xét hai câu hỏi: Trường ngoài gây lực và mômen lực nào lên lưỡng cực, và bản thân lưỡng cực tạo trường gì?

Lực và mômen lực trong điện trường đều

Đặt lưỡng cực vào trường ngoài đều $\overrightarrow{E}$. Hai lực ${\overrightarrow{F}}_{+}=q\overrightarrow{E}$ và ${\overrightarrow{F}}_{-}=-q\overrightarrow{E}$ bằng nhau về độ lớn, ngược chiều, nên hợp lực bằng không.

Nhưng hai lực không cùng đường tác dụng. Gọi $\phi$ là góc giữa trục lưỡng cực và trường. So với tâm, cánh tay đòn của mỗi lực là $(d/2)\sin \phi$. Mỗi mômen có độ lớn $(qE)(d/2)\sin \phi$, cùng làm lưỡng cực quay theo một chiều. Tổng độ lớn là:

$$\tau =(qE)d\sin \phi .$$

(21.13)

Khoảng cách vuông góc giữa hai đường tác dụng là $d\sin \phi$.

Hình 21.31: Hai lực ngược chiều tạo mômen quay lưỡng cực

Hình 21.31: Hợp lực bằng không nhưng mômen hướng vào mặt hình, làm lưỡng cực quay theo chiều kim đồng hồ. hướng từ $-q$ đến $+q$.

Định nghĩa độ lớn :

$$p=qd.$$

(21.14)

Đơn vị là $\mathrm{C}\mathrm{m}$. Chẳng hạn, phân tử nước có độ lớn mômen $6.13\times {10}^{-30}\mathrm{C}\mathrm{m}$. $\overrightarrow{p}$ có độ lớn p và hướng dọc trục từ âm đến dương.

Ký hiệu p còn được dùng cho động lượng hoặc áp suất ở ngữ cảnh khác. Cần đọc đúng nghĩa theo đại lượng đang xét, không đồng nhất những đại lượng có cùng chữ ký hiệu.

Theo định nghĩa đó:

$$\tau =pE\sin \phi .$$

(21.15)

Vì $\phi$ là góc giữa $\overrightarrow{p}$ và $\overrightarrow{E}$, biểu thức là :

$$\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{E}.$$

(21.16)

Quy tắc bàn tay phải cho hướng vào hình ở Hình 21.31. Mômen lớn nhất khi hai vuông góc, bằng không khi song song hoặc ngược chiều. Mômen có xu hướng quay $\overrightarrow{p}$ về cùng chiều $\overrightarrow{E}$. Vị trí $\phi =0$ là , còn $\phi =\pi$ là cân bằng không bền. Mômen này cũng giải thích vì sao hạt cỏ bị quay để nằm theo trường.

Thế năng của lưỡng cực

Khi lưỡng cực đổi hướng, mômen của trường thực hiện công và làm thế năng thay đổi. Công trên góc quay nhỏ là $dW=\tau d\phi$. Vì mômen làm góc $\phi$ giảm, thành phần mômen theo chiều tăng góc là $-pE\sin \phi$:

$$dW=-pE\sin \phi d\phi .$$

Công khi quay từ ${\phi }_1$ đến ${\phi }_2$:

$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_{{\phi }_1}^{{\phi }_2}(-pE\sin \phi )d\phi \\ & =pE\cos {\phi }_2-pE\cos {\phi }_1.\end{array}$$

Với $W=U_1-U_2$, chọn mốc thế năng bằng không khi hai vuông góc:

$$U=-pE\cos \phi .$$

(21.17)

Đó là âm của :

$$U=-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{E}.$$

(21.18)

Thế năng nhỏ nhất là $-pE$ khi cùng chiều, lớn nhất là $+pE$ khi ngược chiều và bằng không khi vuông góc. Có thể chọn một mốc khác, nhưng mốc này cho biểu thức gọn. Hạt cỏ định hướng theo trường cũng có thể được hiểu là đi đến cấu hình thế năng nhỏ nhất.

Kết luận hợp lực bằng không dựa vào trường đều. Trong trường không đều, trường ở hai đầu có thể khác nhau, khiến hai lực không bù hết. Vì thế vật có tổng bằng không nhưng có vẫn chịu hợp lực trong trường không đều. tạo lưỡng cực là cơ chế hút vật trung hòa đã xét ở mục 21.2.

Ví dụ 21.13: Lực, mômen lực và thế năng

Lưỡng cực ở Hình 21.32 nằm trong đều có độ lớn $5.0\times {10}^5\mathrm{N}/\mathrm{C}$, song song mặt hình. Hai là $\pm 1.6\times {10}^{-19}\mathrm{C}$, cách $0.125\mathrm{nm}$. Tìm (a) hợp lực, (b) độ lớn và hướng $\overrightarrow{p}$, (c) độ lớn và hướng mômen lực, (d) thế năng ở vị trí đã vẽ.

Hình 21.32: Lưỡng cực tạo góc 145 độ với điện trường

Hình 21.32: $\overrightarrow{p}$ nằm theo chiều từ âm đến dương, tạo góc ${145}^{\circ }$ theo chiều kim đồng hồ tính từ $\overrightarrow{E}$. Mômen lực hướng ra khỏi mặt hình.

Lời giải

Xác định và thiết lập. Dùng lực trên hai và (21.14), (21.16), (21.18). Khoảng cách là $0.125\times {10}^{-9}\mathrm{m}$.

Thực hiện (a). Vì trường đều, hai lực bằng nhau và đối nhau nên hợp lực bằng không.

(b)

$$\begin{array}{rl}p& =(1.6)(0.125){10}^{-28}\mathrm{C}\mathrm{m}\\ & =2.0\times {10}^{-29}\mathrm{C}\mathrm{m}.\end{array}$$

Hướng $\overrightarrow{p}$ là từ âm đến dương, như hình.

(c)

$$\begin{array}{rl}\tau & =pE\sin {145}^{\circ }\\ & =(2.0\times {10}^{-29})(5.0\times {10}^5)\times \sin {145}^{\circ }\mathrm{N}\mathrm{m}\\ & =5.7\times {10}^{-24}\mathrm{N}\mathrm{m}.\end{array}$$

Quy tắc bàn tay phải cho hướng ra khỏi mặt hình, tương ứng quay ngược chiều kim đồng hồ để $\overrightarrow{p}$ tiến đến cùng chiều trường.

(d)

$$\begin{array}{rl}U& =-pE\cos {145}^{\circ }\\ & =-(2.0\times {10}^{-29})(5.0\times {10}^5)\times \cos {145}^{\circ }\mathrm{J}\\ & =8.2\times {10}^{-24}\mathrm{J}.\end{array}$$

Đánh giá. , khoảng cách, mômen và năng lượng đều nhỏ nhưng phù hợp thang phân tử. Lưỡng cực trong trường có xu hướng định hướng mômen cùng chiều trường. Ví dụ có bài biến thể ở phần cuối chương.

Điện trường do lưỡng cực tạo ra

Trường lưỡng cực là tổng trường hai , như ở Ví dụ 21.8. Các biểu thức tại điểm bất kỳ thường phức tạp hơn hình vẽ đường sức. Ngay cả với chỉ hai nguồn, có thể cần gần đúng để nhận ra dạng trường ở xa. Với phân bố nguồn tùy ý, việc phân tích bằng máy tính thường được dùng.

Ứng dụng sinh học: Cá tạo trường để tìm mồi

Khác cá mập cảm nhận trường của con mồi, cá dao châu Phi Gymnarchus niloticus hoạt động ban đêm và nhìn kém có thể tạo trường của chính nó. Đuôi âm so với đầu tạo trường gần dạng lưỡng cực. Cơ thể cá nhỏ đi vào vùng trường làm mẫu trường thay đổi, giúp cá phát hiện con mồi.

Cá Gymnarchus niloticus sử dụng trường điện do cơ thể tạo ra

Ví dụ 21.14: Trường lưỡng cực ở xa trên trục

Lưỡng cực có tâm tại gốc, $\overrightarrow{p}$ hướng $+y$. Tìm biểu thức gần đúng của trường tại P trên trục y với $y\gg d$. Dùng khai triển nhị thức khi đối số nhỏ.

Hình 21.33: Hai điện tích lưỡng cực và điểm P trên trục y

Hình 21.33: $+q$ ở $y=d/2$, $-q$ ở $y=-d/2$. Khoảng cách đến P lần lượt là $y-d/2$ và $y+d/2$. Trường nguồn dương hướng lên, trường nguồn âm hướng xuống.

Lời giải

Xác định và thiết lập. Cộng hai thành phần có dấu rồi dùng $d/(2y)\ll 1$.

$$\begin{array}{rl}{E}_y& =\frac{kq}{(y-d/2{)}^2}-\frac{kq}{(y+d/2{)}^2}\\ & =\frac{kq}{y^2}{(1-\frac{d}{2y})}^{-2}\\ -\frac{kq}{y^2}& {(1+\frac{d}{2y})}^{-2}.\end{array}$$

Thực hiện gần đúng. Với $|u|<1$, khai triển bắt đầu bằng:

$$(1+u{)}^n=1+nu+\frac{n(n-1)}{2}{u}^2+\cdots .$$

Đặt $n=-2$ và giữ hai số hạng đầu vì $d/(2y)$ rất nhỏ:

$$\begin{array}{rl}& {(1-\frac{d}{2y})}^{-2}\approx 1+\frac{d}{y},\\ & {(1+\frac{d}{2y})}^{-2}\approx 1-\frac{d}{y}.\end{array}$$

Do đó:

$$\begin{array}{rl}{E}_y& \approx \frac{kq}{y^2}[1+\frac{d}{y}-(1-\frac{d}{y})]\\ & =\frac{2kqd}{y^3}\\ & =\frac{p}{2\pi {\epsilon }_0{y}^3}.\end{array}$$

Đánh giá. Có thể quy đồng hai phân số ngay từ đầu, sau đó gần đúng mẫu $(y-d/2{)}^2(y+d/2{)}^2$ bằng $y^4$, để thu cùng kết quả. Ngoài các trục tọa độ, biểu thức cụ thể phức tạp hơn nhưng ở mọi hướng đủ xa, độ lớn trường lưỡng cực giảm như $1/r^3$.

So sánh các dạng nguồn: điểm cho $1/r^2$, dây rất dài cho $1/r$, mặt rất lớn cho trường gần không phụ thuộc r. Hai lưỡng cực bằng nhau, ngược hướng và cách nhau một khoảng nhỏ tạo tứ cực điện, với trường xa giảm như $1/r^4$. Ví dụ có bài biến thể ở phần cuối chương.

Bài tập: Câu hỏi ôn lại mục 21.7

Lưỡng cực đặt trong trường đều với $\overrightarrow{p}$ ngược chiều $\overrightarrow{E}$ đang ở (i) , (ii) cân bằng không bền, hay (iii) không thuộc hai trường hợp ấy?

Lời giải: Giải thích

Chọn (ii). Khi $\phi ={180}^{\circ }$, $\cos \phi =-1$ nên $U=+pE$, giá trị lớn nhất của thế năng. Đây là : Một lệch nhỏ khỏi vị trí đó tạo xu hướng quay đi xa hơn.

Tài liệu tham khảo

Hugh D. Young và Roger A. Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 21, mục 21.7, trang 701–705.