Vì sao điện năng truyền đi xa thường dùng điện áp cao, còn thiết bị tiêu dùng lại cần điện áp thấp hơn? Trong cuộc tranh luận về phân phối điện ở Hoa Kỳ những năm 1880, Thomas Edison ủng hộ dòng một chiều không đổi. George Westinghouse ủng hộ điện áp và biến thiên hình sin.

Westinghouse chỉ ra rằng có thể tăng hoặc giảm điện áp xoay chiều, trong khi không thể dùng cùng nguyên lý cho điện áp một chiều không đổi. Điện áp thấp hơn phù hợp với thiết bị tiêu dùng. Khi truyền cùng công suất đi xa, điện áp cao cho dòng nhỏ, nhờ đó giảm tổn hao $i^{2}R$ trên dây.

trở thành hình thức cung cấp điện được dùng rộng rãi trong các hệ thống điện gia dụng và công nghiệp. Thiết bị cắm vào ổ điện nhận điện xoay chiều từ lưới, dù mạch bên trong có thể chuyển đổi nó thành dạng điện khác. Mạch điện trong thiết bị truyền thông cũng sử dụng rộng rãi những dòng và điện áp biến thiên.

Trong chương này, ta phân tích , và tụ khi dòng, điện áp biến thiên hình sin. Các nguyên lý của chương Điện cảm tiếp tục được dùng, cùng những khái niệm mới về và pha. Cộng hưởng, đã xuất hiện ở hệ cơ học, giữ vai trò quan trọng trong mạch điện.

Ứng dụng mở đầu: Máy thu radio trong ô tô lựa chọn tín hiệu nhờ đáp ứng cộng hưởng của mạch điện.

Câu hỏi mở đầu

Sóng từ đài phát tạo trong các mạch của máy thu radio. Nếu máy được chỉnh đến đài có tần số 1000 kHz, máy cũng phát hiện tín hiệu từ đài phát ở tần số nào sau đây?

(i) 600 kHz. (ii) 800 kHz. (iii) 1200 kHz. (iv) Tất cả những tần số trên. (v) Không tần số nào trong các tần số trên.

Xem đáp án và giải thích

Chọn (iv). Máy thu cùng lúc nhận các tín hiệu ở nhiều tần số, nhưng mạch được chỉnh để có cộng hưởng tại một tần số. Đáp ứng ở tần số ấy lớn hơn nhiều đáp ứng ở các tần số khác, nên loa chủ yếu phát âm thanh từ đài được chọn. Nếu một đài khác có tần số đủ gần, đôi khi có thể nghe thêm tín hiệu của đài đó.

Khả năng nhận tín hiệu khác tần số không có nghĩa các tín hiệu đều được khuếch đại như nhau. Sự khác nhau giữa tiếp nhận và đáp ứng mạnh là điểm cần dùng khi giải thích việc chỉnh đài.

Mục tiêu học tập

• 31.1: Dùng để biểu diễn đại lượng hình sin.
• 31.2: Dùng điện kháng để mô tả điện áp một phần tử mang .
• 31.3: Phân tích mạch RLC nối tiếp có nguồn suất điện động hình sin.
• 31.4: Xác định công suất truyền vào hoặc ra khỏi mạch xoay chiều.
• 31.5: Phân tích đáp ứng RLC khi thay đổi tần số nguồn.
• 31.6: Giải thích nguyên lý và công dụng của .

Kiến thức cần ôn lại

• và cộng hưởng ở mục 14.2, 14.8, cùng cộng hưởng âm ở mục 16.5.
• Giá trị căn trung bình bình phương ở mục 18.3.
• Diode ở mục 25.3, ở mục 26.3 và ở mục 28.8.
• Máy phát xoay chiều, dòng Fu-cô và ở mục 29.2, 29.6, 29.7.
• , điện áp cuộn, LC và RLC ở mục 30.1, 30.2, 30.5, 30.6.

6 chủ đề · tổng cộng khoảng 18 phút đọc

Pha, đáp ứng và năng lượng của mạch xoay chiều

1. 1Giản đồ pha và giá trị hiệu dụngMột vector quay biểu diễn dòng hình sin và giá trị hiệu dụng ra sao?Khoảng 3 phút
2. 2Điện trở và điện khángVì sao điện trở, cuộn cảm và tụ có quan hệ pha khác nhau?Khoảng 3 phút
3. 3Mạch RLC nối tiếp có nguồnCộng các điện áp lệch pha để tìm trở kháng như thế nào?Khoảng 3 phút
4. 4Công suất và hệ số công suấtĐiện áp và dòng lệch pha làm công suất trung bình thay đổi ra sao?Khoảng 3 phút
5. 5Cộng hưởng trong mạch xoay chiềuTần số nào cho dòng lớn nhất và điện trở làm đổi đỉnh thế nào?Khoảng 3 phút
6. 6Máy biến ápHai cuộn ghép từ đổi điện áp, dòng và điện trở nhìn từ nguồn ra sao?Khoảng 3 phút

Tổng kết chương

Giản đồ pha và giá trị hiệu dụng

Nguồn xoay chiều hình sin tạo suất điện động thay đổi tuần hoàn. quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc bằng tần số góc của đại lượng. Hình chiếu ngang tại từng thời điểm cho giá trị tức thời.

Tổng kết 31.1: Hình chiếu vector pha dòng lên trục ngang xác định dòng tức thời.

Với biên độ dòng $I$ và biên độ điện áp $V$ hình sin:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rav}}& =\frac{2}{\pi }I\approx \mathrm{0,637}I,\\ I_{\mathrm{rms}}& =\frac{I}{\sqrt{2}},\\ V_{\mathrm{rms}}& =\frac{V}{\sqrt{2}}.\end{array}$$

Dòng trung bình trước chỉnh lưu bằng không. Trung bình chỉnh lưu và hiệu dụng là hai đại lượng khác nhau.

Pha điện áp so với dòng

Chọn dòng làm mốc pha:

$$\begin{array}{rl}i& =I\cos \omega t,\\ v& =V\cos (\omega t+\varphi ).\end{array}$$

Tổng kết 31.2: Góc giữa vector điện áp và vector dòng xác định độ lệch pha, còn hình chiếu điện áp theo dòng quyết định công suất trung bình.

Góc dương nghĩa điện áp sớm dòng. Góc âm nghĩa điện áp trễ dòng.

Điện trở và điện kháng

Tổng kết 31.3: Ba mạch một phần tử minh họa điện trở, cuộn cảm và tụ chịu điện áp xoay chiều.

Điện áp cùng pha dòng. Điện áp thuần sớm 90 độ. Điện áp tụ thuần trễ 90 độ.

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR,\\ V_L& =I{X}_L,X_L=\omega L,\\ V_C& =I{X}_C,X_C=\frac{1}{\omega C}.\end{array}$$

Các quan hệ biên độ trên cũng đúng khi đồng loạt đổi sang hiệu dụng. Quan hệ tức thời $v=iR$ chỉ áp dụng trực tiếp cho .

Mạch RLC nối tiếp

Tổng kết 31.4: Tam giác vector điện áp của mạch RLC có cạnh điện trở vuông góc cạnh điện kháng tổng.

Với điện kháng tổng $X=X_L-X_C$:

$$\begin{array}{rl}Z& =\sqrt{R^2+X^2},\\ V& =IZ,\\ \tan \varphi & =\frac{X}{R}.\end{array}$$

Điện áp tức thời nguồn bằng tổng ba điện áp tức thời. Biên độ nguồn là độ lớn tổng , không phải tổng số học ba biên độ.

Công suất

Tổng kết 31.5: Công suất tức thời có thể đổi dấu, nhưng giá trị trung bình phụ thuộc thành phần điện áp cùng pha dòng.

$$\begin{array}{rl}p& =vi,\\ P_{\mathrm{av}}& =\frac{1}{2}VI\cos \varphi \\ & =V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi .\end{array}$$

là $\cos \varphi$. Với RLC nối tiếp, hệ số bằng $R/Z$. tiêu tán công suất trung bình, còn và tụ lý tưởng chỉ tích trữ rồi trả năng lượng.

Cộng hưởng

Tổng kết 31.6: Ba đường cộng hưởng có cùng vị trí đỉnh nhưng khác độ cao và độ rộng vì điện trở khác nhau.

Với nguồn có biên độ cố định, dòng RLC nối tiếp lớn nhất tại

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Ở cộng hưởng, hai điện kháng bằng nhau, $Z=R$ và điện áp nguồn cùng pha dòng. Hai điện áp và tụ bằng nhau về biên độ nhưng ngược pha, nên triệt tiêu trong tổng.

Máy biến áp

Tổng kết 31.7: Hai cuộn dùng chung từ thông trong lõi để đổi điện áp và dòng theo tỉ số số vòng.

Chú thích:

• Sơ cấp (Primary)
• Thứ cấp (Secondary)

Với máy lý tưởng và mô hình tải thuần trở:

$$\begin{array}{rl}\frac{V_2}{V_1}& =\frac{N_2}{N_1},\\ V_1{I}_1& =V_2{I}_2.\end{array}$$

Điện áp và dòng phải cùng là biên độ hoặc cùng là hiệu dụng. Tăng điện áp đi kèm giảm dòng. tải nhìn từ sơ cấp bằng điện trở thứ cấp chia bình phương tỉ số vòng thứ cấp trên sơ cấp.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 31, trang 1018–1047.

Luyện tập có hướng dẫn

Điện trở, cảm kháng và dung kháng

Ôn Ví dụ 31.2 và 31.3 trước khi giải bốn bài sau. Các điện áp trên và tụ cùng một mạch nối tiếp có thể khác cả biên độ lẫn pha.

Bài tập: VP31.3.1

$L=2,50\mathrm{mH}$ thuộc mạch đài dẫn đường vô tuyến hàng không hoạt động ở 108 MHz.

(a) Tìm . (b) Tìm biên độ dòng nếu biên độ điện áp trên cuộn là 4,20 kV.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết điện cảm, tần số và biên độ điện áp. Cần tìm $X_L$ và $I$.

Hướng đi:

• Dùng $X_L=2\pi fL$ vì phần tử đang xét là thuần ở tần số đã biết.
• Dùng $V_L=I{X}_L$ để liên hệ các biên độ. Quan hệ này không đòi hỏi điện áp và dòng cùng pha.

Lời giải:

(a) Đổi $L$ sang henry và $f$ sang hertz:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =2\pi fL\\ & =2\pi (108\times {10}^6)\times (2,50\times {10}^{-3})\mathrm{\Omega }\\ & \approx 1,70\times {10}^6\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(b) Với điện áp biên độ $4200\mathrm{V}$:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_L}{X_L}\\ & \approx 2,48\times {10}^{-3}\mathrm{A}\\ & =2,48\mathrm{mA}.\end{array}$$

Bài tập: VP31.3.2

$R=125\mathrm{\Omega }$ nối tiếp tụ $C=7,00\mu \mathrm{F}$. Dòng trong mạch là

$$\begin{array}{rl}i(t)& =(2,40\mathrm{mA})\cos \theta ,\\ \theta & =(1,75\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s})t.\end{array}$$

Tìm (a) điện áp theo thời gian, (b) , (c) điện áp tụ theo thời gian.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết dòng hình sin chung, và . Cần tìm $v_R$, $X_C$, $v_C$.

Hướng đi:

• Dùng $v_R=iR$ vì thuần có điện áp cùng pha dòng.
• Dùng $X_C=1/(\omega C)$ để tính tỉ số biên độ điện áp và dòng trên tụ.
• Giữ độ trễ $\pi /2$ của điện áp tụ để viết biểu thức tức thời, thay vì chỉ thay biên độ.

Lời giải:

(a) Biên độ điện áp :

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR\\ & =(2,40\times {10}^{-3})(125)\mathrm{V}\\ & =\mathrm{0,300}\mathrm{V}.\end{array}$$

Do đó $v_R=(\mathrm{0,300}\mathrm{V})\cos \theta$.

(b) :

$$X_C=\frac{1}{\omega C}\approx 81,6\mathrm{\Omega }.$$

(c) Biên độ $V_C=I{X}_C\approx \mathrm{0,196}\mathrm{V}$. Điện áp:

$$\begin{array}{rl}{v}_C& =V_C\cos (\theta -\pi /2),\\ V_C& =\mathrm{0,196}\mathrm{V}.\end{array}$$

Trong cả hai biểu thức, $\theta$ có cùng định nghĩa như đề bài.

Bài tập: VP31.3.3

$155\mathrm{\Omega }$ nối tiếp tụ $8,00\mu \mathrm{F}$. Biên độ dòng là $4,00\mathrm{mA}$.

(a) Tìm tần số để bằng . (b) Tại đó, tìm biên độ điện áp trên điện trở và tụ. (c) Khi điện áp điện trở cực đại, điện áp tụ bằng bao nhiêu? Khi điện áp tụ cực đại, điện áp điện trở bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RC có dòng biên độ đã biết và điều kiện $X_C=R$.

Hướng đi:

• Giải $1/(2\pi fC)=R$ vì tần số cần tìm được xác định bởi sự bằng nhau của hai đại lượng đó.
• Dùng $V_R=IR$, $V_C=I{X}_C$ vì dòng nối tiếp chung.
• Dùng độ lệch pha 90 độ để suy điện áp tức thời khi điện áp kia đạt cực đại.

Lời giải:

(a)

$$f=\frac{1}{2\pi RC}\approx 128\mathrm{Hz}.$$

(b) Vì $X_C=R$, hai biên độ bằng nhau:

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR=\mathrm{0,620}\mathrm{V},\\ V_C& =I{X}_C=\mathrm{0,620}\mathrm{V}.\end{array}$$

(c) Chọn $v_R=V_R\cos \omega t$, khi đó $v_C=V_C\sin \omega t$. Khi cosin đạt cực đại dương, sin bằng không. Khi sin đạt cực đại dương, cosin bằng không. Hai điện áp được hỏi đều bằng không.

Bài tập: VP31.3.4

$116\mathrm{\Omega }$ nối tiếp một tụ chưa biết . Tần số góc nguồn là $5,10\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Biên độ điện áp điện trở là 2,45 V. Dòng đạt cực đại dương tại $t=0$.

Tìm (a) biên độ dòng, (b) dòng tại 3,50 ms, (c) điện áp cực đại trên tụ, (d) .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $R$, $\omega$, $V_R$ và pha dòng. Chưa có hoặc điện áp nguồn.

Hướng đi:

• Dùng $I=V_R/R$ vì điện áp xác định biên độ dòng chung.
• Dùng cosin có pha đầu bằng không vì dòng cực đại dương tại gốc thời gian.
• Xét số dữ kiện độc lập trước khi tìm $V_C$ và $C$. Một quan hệ giữa hai ẩn chưa đủ xác định riêng từng ẩn.

Lời giải:

(a)

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{2,45\mathrm{V}}{116\mathrm{\Omega }}\\ & \approx \mathrm{0,021}1\mathrm{A}.\end{array}$$

(b) Tại 3,50 ms, pha là

$$\omega t=17,85\mathrm{rad}.$$

Suy ra

$$i=I\cos (17,85)\approx \mathrm{0,011}4\mathrm{A}.$$

(c), (d) Dữ kiện chưa xác định riêng biên độ điện áp tụ và . Ta chỉ có quan hệ

$$\begin{array}{rl}{V}_C& =\frac{I}{\omega C},\\ C& =\frac{I}{\omega V_C}.\end{array}$$

Mỗi dương phù hợp với một biên độ điện áp tụ khác nhau. Cần thêm một dữ kiện độc lập, chẳng hạn điện áp nguồn hoặc điện áp tụ, để cho hai đáp số số học duy nhất. Không thể suy $V_C=V_R$ chỉ từ việc hai phần tử nối tiếp.

Mạch RLC nối tiếp

Ôn Ví dụ 31.4 và 31.5. Các bài dưới dùng mạch ba phần tử nối tiếp có cùng dòng tại mọi thời điểm.

Hình 31.13: Mạch RLC nối tiếp và cách cộng các vector điện áp để xác định điện áp nguồn.

Chú thích:

• Phần (a): Mạch RLC nối tiếp ((a) L-R-C series circuit)
• Phần (b): Giản đồ pha khi cảm kháng lớn hơn dung kháng ((b) Phasor diagram for the case XL > XC)
• Vector pha nguồn bằng tổng vector các điện áp điện trở, cuộn cảm và tụ (Source voltage phasor is the vector sum of the VR, VL, and VC phasors.)
• Vector điện áp cuộn cảm sớm vector dòng 90 độ (Inductor voltage phasor leads current phasor by 90°.)
• Mọi phần tử có chung vector pha dòng (All circuit elements have the same current phasor.)
• Vector điện áp tụ trễ vector dòng 90 độ, nên luôn ngược chiều vector điện áp cuộn cảm (Capacitor voltage phasor lags current phasor by 90°. It is thus always antiparallel to the VL phasor.)
• Vector điện áp điện trở cùng pha vector dòng (Resistor voltage phasor is in phase with current phasor.)
• Phần (c): Giản đồ pha khi cảm kháng nhỏ hơn dung kháng ((c) Phasor diagram for the case XL < XC)
• Khi cảm kháng nhỏ hơn dung kháng, điện áp nguồn trễ dòng và góc pha nằm giữa 0 và âm 90 độ (If XL < XC, the source voltage phasor lags the current phasor, X < 0, and φ is a negative angle between 0 and −90°.)

Bài tập: VP31.5.1

Mạch RLC nối tiếp có $R=255\mathrm{\Omega }$, $L=45,0\mathrm{mH}$, $C=\mathrm{0,400}\mu \mathrm{F}$ và biên độ nguồn 55,0 V. bằng .

Tìm (a) tần số nguồn, (b) , (c) biên độ dòng, (d) góc pha, (e) điện áp sớm hay trễ dòng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết ba phần tử, biên độ nguồn và $X_L=R$. Tần số chưa biết.

Hướng đi:

• Dùng $\omega L=R$ vì điều kiện xác định tần số.
• Tính ở chính tần số ấy rồi dùng tổng vector điện áp để tìm $Z$.
• Dùng $I=V/Z$ và dấu $X_L-X_C$ để xác định biên độ cùng chiều lệch pha.

Lời giải:

(a)

$$\begin{array}{rl}\omega & =\frac{R}{L}\\ & \approx 5,67\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s},\\ f& =\frac{\omega }{2\pi }\approx 902\mathrm{Hz}.\end{array}$$

(b) Hai điện kháng là $X_L=255\mathrm{\Omega }$ và $X_C\approx 441\mathrm{\Omega }$. Do đó

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}\approx 316\mathrm{\Omega }.$$

(c) $I=V/Z\approx \mathrm{0,174}\mathrm{A}$.

(d)

$$\varphi =\arctan \frac{X_L-X_C}{R}\approx -36,1^{\circ }.$$

(e) Góc âm cho biết điện áp nguồn trễ dòng. lớn hơn , phù hợp kết luận này.

Bài tập: VP31.5.2

Nguồn mạch RLC nối tiếp có biên độ 20,0 V và tần số góc $5,40\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Cho $L=6,50\mathrm{mH}$, $C=\mathrm{0,600}\mu \mathrm{F}$, $Z=474\mathrm{\Omega }$.

Tìm (a) , (b) biên độ dòng, (c) biên độ điện áp điện trở, (d) biên độ điện áp cuộn, (e) biên độ điện áp tụ.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $Z$, $L$, $C$, $\omega$ và $V$. Cần suy $R$ trước khi tính điện áp từng phần tử.

Hướng đi:

• Tính hai điện kháng từ tần số góc vì chứa cả phần lẫn phần phản kháng.
• Giải công thức $Z^2=R^2+(X_L-X_C{)}^2$, chọn không âm.
• Dùng dòng chung để tìm ba biên độ điện áp.

Lời giải:

Hai điện kháng:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L=35,1\mathrm{\Omega },\\ X_C& =\frac{1}{\omega C}\approx 309\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(a)

$$R=\sqrt{Z^2-(X_L-X_C{)}^2}\approx 387\mathrm{\Omega }.$$

(b) $I=V/Z\approx \mathrm{0,042}2\mathrm{A}$.

(c)–(e)

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR\approx 16,3\mathrm{V},\\ V_L& =I{X}_L\approx 1,48\mathrm{V},\\ V_C& =I{X}_C\approx 13,0\mathrm{V}.\end{array}$$

Ba biên độ không cộng số học thành 20,0 V, vì điện áp cuộn và tụ khác pha điện áp .

Bài tập: VP31.5.3

Mạch RLC nối tiếp có $\omega =1,20\times {10}^4\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $C=\mathrm{0,965}\mu \mathrm{F}$ và $R=65,0\mathrm{\Omega }$. Muốn điện áp nguồn sớm dòng 15,0 độ, tìm (a) $X_L-X_C$, (b) điện cảm cần có.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Góc pha nguồn dương 15,0 độ và các đại lượng $R$, $C$, $\omega$ đã biết.

Hướng đi:

• Dùng $\tan \varphi =(X_L-X_C)/R$ vì yêu cầu của bài là độ lệch pha nguồn.
• Tìm $X_C$ rồi cộng điện kháng tổng để suy $X_L$. Cuối cùng dùng $L=X_L/\omega$.

Lời giải:

(a)

$$X_L-X_C=R\tan 15,0^{\circ }\approx 17,4\mathrm{\Omega }.$$

(b) :

$$X_C=\frac{1}{\omega C}\approx 86,4\mathrm{\Omega }.$$

Vì vậy

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =X_C+(X_L-X_C),\\ L& =\frac{X_L}{\omega }\\ & \approx 8,65\mathrm{mH}.\end{array}$$

Bài tập: VP31.5.4

Mạch RLC nối tiếp có biên độ dòng 0,120 A, tần số góc $8,00\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ và dòng cực đại dương tại $t=0$. Cho $R=95,0\mathrm{\Omega }$, $L=6,50\mathrm{mH}$, $C=\mathrm{0,440}\mu \mathrm{F}$.

Với , và tụ, tìm (a) các biên độ điện áp, (b) các điện áp tức thời tại 0,305 ms.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết dòng chung và ba phần tử. Cần phân biệt biên độ với giá trị ở một thời điểm.

Hướng đi:

• Dùng $IR$, $I\omega L$ và $I/(\omega C)$ để tìm ba biên độ.
• Chọn dòng cosin pha đầu không vì dòng cực đại dương tại gốc.
• Giữ dấu âm trước sin của điện áp cuộn và dấu dương trước sin của điện áp tụ.

Lời giải:

(a)

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR=11,4\mathrm{V},\\ V_L& =I\omega L=6,24\mathrm{V},\\ V_C& =\frac{I}{\omega C}\approx 34,1\mathrm{V}.\end{array}$$

(b) Pha tại thời điểm đã cho:

$$\theta =\omega t=2,44\mathrm{rad}.$$

Điện áp tức thời:

$$\begin{array}{rl}{v}_R& =V_R\cos \theta \approx -8,71\mathrm{V},\\ v_L& =-V_L\sin \theta \approx -4,03\mathrm{V},\\ v_C& =V_C\sin \theta \approx 22,0\mathrm{V}.\end{array}$$

Dòng đang có dấu âm tại thời điểm này. Dấu điện áp không thể suy chỉ từ biên độ dương.

Công suất

Ôn Ví dụ 31.6 và 31.7. Công suất được cho trên nhãn tải nhiệt là công suất trung bình, còn điện áp, dòng ở ổ cắm thường được mô tả bằng hiệu dụng.

Bài tập: VP31.7.1

Lò nướng bánh lấy 3,95 A từ ổ điện có điện áp hiệu dụng $1,20\times {10}^2\mathrm{V}$. Tìm (a) công suất trung bình, (b) công suất tức thời lớn nhất, (c) .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tải nhiệt thuần trở có $I_{\mathrm{rms}}=3,95\mathrm{A}$, $V_{\mathrm{rms}}=120\mathrm{V}$.

Hướng đi:

• Dùng tích hai vì điện áp tải thuần trở cùng pha dòng.
• Dùng công suất đỉnh gấp đôi trung bình vì tích hai hình sin cùng pha tỉ lệ cosin bình phương.
• Dùng tỉ số hiệu dụng để tìm .

Lời giải:

(a)

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\\ & =474\mathrm{W}.\end{array}$$

(b) $p_{max}=2P_{\mathrm{av}}=948\mathrm{W}$.

(c)

$$R=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{I_{\mathrm{rms}}}\approx 30,4\mathrm{\Omega }.$$

Bài tập: VP31.7.2

Mạch RLC nối tiếp có biên độ nguồn 35,0 V, $\omega =1,30\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $R=275\mathrm{\Omega }$, $L=82,3\mathrm{mH}$ và $C=1,10\mu \mathrm{F}$.

Tìm (a) hai điện kháng, (b) góc pha, (c) .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết các phần tử và tần số. Góc pha được lấy cho điện áp nguồn so với dòng.

Hướng đi:

• Tính $X_L$, $X_C$ để xác định phần phản kháng tổng.
• Dùng dấu $X_L-X_C$ khi lấy góc arctan, vì cosin riêng không phân biệt góc âm với góc dương.
• Lấy cosin góc pha để tìm .

Lời giải:

(a)

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\approx 107\mathrm{\Omega },\\ X_C& =\frac{1}{\omega C}\approx 699\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(b)

$$\varphi =\arctan \frac{X_L-X_C}{R}\approx -65,1^{\circ }.$$

(c) $\cos \varphi \approx \mathrm{0,421}$. Góc âm nghĩa điện áp nguồn trễ dòng.

Bài tập: VP31.7.3

Với mạch ở VP31.7.2, tìm (a) , (b) biên độ dòng, (c) công suất trung bình truyền cho .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dùng các dữ kiện và hai điện kháng của bài trước. Biên độ nguồn là 35,0 V.

Hướng đi:

• Dùng công thức nối tiếp vì điện áp phần tử khác pha.
• Dùng tỉ số biên độ nguồn và để tìm dòng.
• Dùng $P_R=I^{2}R/2$ vì $I$ là biên độ, không phải hiệu dụng.

Lời giải:

(a)

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}\approx 653\mathrm{\Omega }.$$

(b) $I=V/Z\approx \mathrm{0,053}6\mathrm{A}$.

(c)

$$P_R=\frac{1}{2}{I}^{2}R\approx \mathrm{0,395}\mathrm{W}.$$

Bài tập: VP31.7.4

của mạch RLC nối tiếp là 0,800. Cho $\omega =1,30\times {10}^4\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $L=7,50\mathrm{mH}$, $C=\mathrm{0,440}\mu \mathrm{F}$.

Tìm (a) và , (b) góc pha, (c) .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết dương và các đại lượng xác định hai điện kháng. Dấu góc pha cần được suy từ mạch.

Hướng đi:

• Tính hai điện kháng trước để xác định mạch thiên về cảm hay dung.
• Dùng $\cos \varphi =\mathrm{0,800}$ để tìm độ lớn góc, rồi chọn dấu theo $X_L-X_C$.
• Giải $\tan \varphi =(X_L-X_C)/R$, không thay cosin thành góc dương một cách tự động.

Lời giải:

(a)

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L=97,5\mathrm{\Omega },\\ X_C& =\frac{1}{\omega C}\approx 175\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(b) lớn hơn , nên góc âm:

$$\varphi =-\arccos (\mathrm{0,800})\approx -36,9^{\circ }.$$

(c)

$$R=\frac{X_L-X_C}{\tan \varphi }\approx 103\mathrm{\Omega }.$$

Cả tử và mẫu đều âm, nên nhận được dương. Dùng giá trị chưa làm tròn của hai điện kháng khi thế số.

Bài toán cầu nối: Hai tần số cho cùng biên độ dòng

Bài tập: Mạch xoay chiều ngoài cộng hưởng

Mạch RLC nối tiếp có $L=1,50\mathrm{mH}$, $R=125\mathrm{\Omega }$, $C=25,0\mathrm{nF}$. Nguồn có 35,0 V và thay đổi được tần số.

(a) Tìm các tần số góc làm biên độ dòng bằng một phần ba giá trị lớn nhất có thể có. (b) Tại mỗi tần số ấy, tìm biên độ dòng và biên độ điện áp trên từng phần tử, kể cả nguồn.

Hình 31.13a: Mạch RLC nối tiếp dùng để tìm hai tần số cho cùng biên độ dòng ngoài cộng hưởng.

Chú thích:

• Mạch RLC nối tiếp (L-R-C series circuit)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biên độ nguồn không đổi. Cần tìm hai tần số ở hai phía cộng hưởng cùng cho $I=I_{max}/3$, rồi tìm các biên độ.

Hướng đi:

• Dùng $I_{max}=V/R$ vì dòng lớn nhất ở cộng hưởng với bằng .
• Đặt $Z=3R$ vì cùng biên độ nguồn nhưng dòng giảm ba lần.
• Giải hai phương trình điện kháng tổng bằng hai giá trị đối dấu. Chúng mô tả hai phía cộng hưởng.
• Đổi hiệu dụng nguồn sang biên độ trước khi tính dòng và điện áp biên độ.
• Tính từng điện kháng tại từng nghiệm để tìm các điện áp, rồi đối chiếu tổng vector với điện áp nguồn.

Lời giải:

(a) Điều kiện :

$$Z=3R.$$

$$R^2+(X_L-X_C{)}^2=9R^2.$$

$$X_L-X_C=\pm \sqrt{8}R.$$

Đặt $A=\sqrt{8}R$. Hai phương trình theo tần số là

$$\begin{array}{rl}\omega L-\frac{1}{\omega C}& =\pm A,\\ L{\omega }^2\mp A\omega -\frac{1}{C}& =0.\end{array}$$

Mỗi phương trình có một nghiệm dương. Hai nghiệm cần lấy:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{-}& =\frac{-A+\sqrt{A^2+4L/C}}{2L},\\ {\omega }_{+}& =\frac{A+\sqrt{A^2+4L/C}}{2L}.\end{array}$$

Thế các đại lượng SI:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{-}& \approx 8,35\times {10}^4\mathrm{rad}/\mathrm{s},\\ {\omega }_{+}& \approx 3,19\times {10}^5\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

(b) Biên độ nguồn:

$$V=\sqrt{2}{V}_{\mathrm{rms}}\approx 49,5\mathrm{V}.$$

Ở cả hai tần số, $Z=375\mathrm{\Omega }$ nên

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{3R}\approx \mathrm{0,132}\mathrm{A},\\ V_R& =IR\approx 16,5\mathrm{V}.\end{array}$$

Tại ${\omega }_{-}$:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& \approx 125,3\mathrm{\Omega },\\ X_C& \approx 478,9\mathrm{\Omega },\\ V_L& \approx 16,5\mathrm{V},\\ V_C& \approx 63,2\mathrm{V}.\end{array}$$

Tại ${\omega }_{+}$, hai điện kháng đổi vai:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& \approx 478,9\mathrm{\Omega },\\ X_C& \approx 125,3\mathrm{\Omega },\\ V_L& \approx 63,2\mathrm{V},\\ V_C& \approx 16,5\mathrm{V}.\end{array}$$

Điện áp nguồn có biên độ 49,5 V ở cả hai trường hợp. Một điện áp phản kháng có biên độ lớn hơn nguồn không phải mâu thuẫn. Hai điện áp cuộn và tụ ngược pha, nên phải lấy hiệu của chúng trong tổng vector.

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q31.1

Mạng điện sinh hoạt gia đình ở phần lớn các nước Tây Âu được cung cấp ở mức $240\mathrm{V}$, thay vì mức $120\mathrm{V}$ vốn là tiêu chuẩn phổ biến tại Hoa Kỳ và Canada. Hãy phân tích các ưu điểm và nhược điểm của từng hệ thống điện áp này.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh hai tiêu chuẩn điện áp mạng điện dân dụng $240\mathrm{V}$ và $120\mathrm{V}$ về mặt hiệu quả truyền tải và mức độ an toàn.

Hướng đi:

• Công thức công suất: Dùng $P=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi$ để khảo sát mối liên hệ giữa điện áp và cường độ dòng điện khi công suất truyền tải và không đổi.
• Định luật Joule–Lenz: Dùng $P_{\mathrm{loss}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ để đánh giá sự thay đổi hao phí tỏa nhiệt trên đường dây khi dòng điện giảm.
• Khảo sát an toàn điện: Nhận định về mức độ nguy hiểm đối với cơ thể người ở các cấp điện áp dân dụng.

(a) Đối với hệ thống điện áp $240\mathrm{V}$:

• Ưu điểm: Để cung cấp cùng một công suất điện $P$ với $\cos \varphi$ cho trước, cường độ dòng điện hiệu dụng chạy trong dây dẫn giảm đi một nửa so với hệ thống $120\mathrm{V}$:

$$I_{\mathrm{rms}}=\frac{P}{V_{\mathrm{rms}}\cos \varphi }.$$

Hao phí tỏa nhiệt trên đường dây dẫn có $R$ tỉ lệ với bình phương cường độ dòng điện theo định luật Joule–Lenz:

$$P_{\mathrm{loss}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R.$$

Với cùng công suất $P$, và đường dây $R$ cố định, dòng điện giảm một nửa làm hao phí tỏa nhiệt giảm đi bốn lần ($1/4$). Điều này giúp giảm độ sụt áp trên đường dây và nâng cao hiệu suất truyền tải điện năng.

• Nhược điểm: $240\mathrm{V}$ tạo ra điện trường và nguy cơ dòng điện qua người cao hơn khi xảy ra tiếp xúc điện so với $120\mathrm{V}$. Cần lưu ý rằng cả hai mức điện áp $120\mathrm{V}$ và $240\mathrm{V}$ đều có thể gây điện giật và chấn thương nghiêm trọng.

(b) Đối với hệ thống điện áp $120\mathrm{V}$:

• Ưu điểm: Mức điện áp chạm cực đại thấp hơn so với hệ thống $240\mathrm{V}$, do đó trong cùng điều kiện tiếp xúc, cường độ dòng điện chạy qua cơ thể người sẽ nhỏ hơn. Tuy nhiên cả hai cấp điện áp đều nguy hiểm đến tính mạng.
• Nhược điểm: Để cung cấp cùng một mức công suất tiêu thụ $P$ với cùng , dòng điện hiệu dụng trong đường dây lớn gấp đôi, kéo theo hao phí nhiệt trên cùng đường dây lớn gấp bốn lần.

Bài tập: Q31.2

Dòng điện trong đường dây xoay chiều đổi chiều $120$ lần mỗi giây, và giá trị trung bình theo thời gian của cường độ dòng điện bằng không. Hãy giải thích tại sao năng lượng điện vẫn có thể được truyền tải liên tục trong hệ thống này.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: có giá trị trung bình bằng 0 và đổi chiều liên tục. Cần giải thích cơ chế truyền tải công suất điện từ nguồn đến nơi tiêu thụ.

Hướng đi:

• Công thức công suất tức thời: Dùng $p(t)=v(t)i(t)$ để biểu diễn tốc độ truyền năng lượng tại mỗi thời điểm.
• Công thức công suất trung bình: Dùng $P_{\mathrm{av}}=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi$ để tính năng lượng trung bình truyền tải trong một chu kỳ.
• Mô hình trường điện từ: Dùng vector Poynting để giải thích cơ chế lan truyền năng lượng trong không gian quanh dây dẫn.

Công suất tức thời truyền tải từ nguồn đến tải được tính bằng tích của điện áp tức thời và cường độ dòng điện tức thời:

$$p(t)=v(t)i(t).$$

Giả sử điện áp nguồn biến thiên điều hòa $v(t)=V\cos (\omega t)$ và dòng điện trong mạch là $i(t)=I\cos (\omega t-\varphi )$. Khi truyền tải công suất hữu ích đến tải (với góc lệch pha thỏa mãn $|\varphi |<{90}^{\circ }$), điện áp và dòng điện cùng dấu trong phần lớn thời gian của mỗi chu kỳ. Khi cả điện áp và dòng điện cùng mang giá trị âm, tích số của chúng vẫn mang giá trị dương:

$$p(t)>0.$$

Giá trị công suất trung bình truyền tải trong một chu kỳ được xác định bởi

$$P_{\mathrm{av}}=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi .$$

Đại lượng này phụ thuộc vào tích các và cosin góc lệch pha, hoàn toàn khác không dù giá trị trung bình của riêng cường độ dòng điện bằng không ($\bar{i}=0$).

Về mặt vi mô, năng lượng điện không được truyền đi bằng sự dịch chuyển tịnh tiến một chiều của các electron tự do dọc theo toàn bộ chiều dài đường dây. Thay vào đó, nguồn điện xoay chiều thiết lập một điện từ trường biến thiên lan truyền trong không gian xung quanh dây dẫn với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng. Năng lượng được truyền tải thông qua vector Poynting của trường điện từ. Các electron trong dây dẫn chỉ cần dao động qua lại quanh vị trí cân bằng dưới tác dụng của điện trường để tiếp nhận và chuyển giao năng lượng đó cho tải tiêu thụ.

Bài tập: Q31.3

Trong mạch điện xoay chiều, tại sao công suất tiêu thụ trung bình trên một thuần hoặc một luôn bằng không, trong khi trên thuần thì đại lượng này luôn khác không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giải thích vì sao công suất trung bình trên thuần và bằng không, còn trên thuần thì dương.

Hướng đi:

• Công thức công suất trung bình: Dùng $P_{\mathrm{av}}=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi$ để xác định công suất tiêu thụ của từng phần tử qua .
• Quan hệ pha: Khảo sát góc lệch pha $\varphi$ giữa điện áp và dòng điện trên , và .
• Chu trình năng lượng: Phân tích sự khác biệt giữa quá trình tích trữ, hoàn trả năng lượng từ trường hoặc điện trường và sự tỏa nhiệt Joule không thuận nghịch.

(a) Đối với thuần $R$: Điện áp tức thời và cường độ dòng điện luôn cùng pha với nhau, tương ứng với góc lệch pha $\varphi =0$. Công suất tức thời tại mọi thời điểm là

$$p_R(t)=i^2(t)R\ge 0.$$

Điện năng được biến đổi không thuận nghịch thành nội năng (nhiệt Joule) trong mạng tinh thể của . Do đó, công suất tiêu thụ trung bình trong một chu kỳ luôn mang giá trị dương:

$$P_{\mathrm{av}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R>0.$$

(b) Đối với thuần $L$: Điện áp sớm pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với dòng điện, tức $\varphi =+\pi /2$. bằng

$$\cos \varphi =\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$$

Trong một phần tư chu kỳ khi dòng điện tăng, nguồn điện cung cấp năng lượng để thiết lập từ trường trong ($p>0$). Trong một phần tư chu kỳ tiếp theo khi dòng điện giảm, từ trường suy giảm và cuộn cảm hoàn trả toàn bộ năng lượng đã tích lũy về lại cho nguồn điện ($p<0$). Năng lượng được trao đổi qua lại tuần hoàn mà không bị tiêu tán thành nhiệt.

(c) Đối với thuần dung $C$: Điện áp trễ pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện, tức $\varphi =-\pi /2$. bằng

$$\cos \varphi =\cos (-\frac{\pi }{2})=0.$$

Tương tự , tích lũy năng lượng dưới dạng điện trường giữa hai bản tụ khi điện áp tăng, sau đó phóng điện hoàn trả toàn bộ năng lượng về mạch khi điện áp giảm. Do đó công suất tiêu thụ trung bình trong một chu kỳ hoàn chỉnh của cả cuộn cảm thuần và tụ điện đều bằng không.

Bài tập: Q31.4

Hệ thức giữa dòng điện và điện tích của được thiết lập là $i=dq/dt$. Khi điện tích trên bản bên trái của tụ điện mang dấu dương nhưng đang giảm dần theo thời gian, hệ thức $i=dq/dt$ có còn đúng không, hay phải chuyển thành $i=-dq/dt$? Hệ thức $i=dq/dt$ có còn đúng khi bản bên phải mang điện tích dương và đang tăng hoặc giảm độ lớn không? Giải thích.

Hình 31.9: Mạch tụ điện, đồ thị và quy ước dấu dòng điện, điện tích

Chú thích:

• Phần (a): Mạch nguồn xoay chiều và tụ điện ((a) Circuit with ac source and capacitor)
• Phần (b): Đồ thị dòng và điện áp theo thời gian ((b) Graphs of current and voltage versus time)
• Đường điện áp trễ đường dòng một phần tư chu kỳ, tương ứng góc âm 90 độ (Voltage curve lags current curve by a quarter-cycle (corresponding to φ = −π/2 rad = −90°).)
• Phần (c): Giản đồ pha ((c) Phasor diagram)
• Vector pha dòng (Current phasor)
• Vector pha điện áp (Voltage phasor)
• Góc pha phi (Phase angle φ)
• Vector pha điện áp trễ vector pha dòng 90 độ (Voltage phasor lags current phasor by φ = −π/2 rad = −90°.)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Kiểm tra tính tổng quát và quy ước dấu của hệ thức vi phân $i=dq/dt$ trong mọi giai đoạn nạp và phóng điện của .

Hướng đi:

• Định nghĩa cường độ dòng điện: Dùng $i=dq/dt$ theo quy ước chiều dương đi vào bản cực tích điện $q$.
• Khảo sát dấu : Xét dấu đại số của $dq/dt$ trong các quá trình nạp và phóng điện để biện minh tính đúng đắn của phương trình vi phân.

Trong việc thiết lập phương trình mạch điện, ta chọn $q(t)$ là giá trị đại số của điện tích trên bản cực bên trái của , và chiều dương quy ước của dòng điện $i(t)$ là chiều đi vào bản cực bên trái này.

(a) Khi bản bên trái mang điện tích dương ($q>0$) nhưng độ lớn đang giảm dần theo thời gian: theo thời gian của điện tích mang giá trị âm:

$$\frac{dq}{dt}<0.$$

Theo hệ thức đại số $i=dq/dt$, cường độ dòng điện sẽ nhận giá trị âm ($i<0$). Giá trị âm này thể hiện rằng dòng điện thực tế có chiều ngược với chiều dương quy ước, tức là điện tích dương đang dịch chuyển ra khỏi bản bên trái (chạy theo chiều kim đồng hồ quanh mạch). Do đó, hệ thức $i=dq/dt$ vẫn hoàn toàn đúng về mặt giải tích, ta không được đổi dấu thành $i=-dq/dt$.

(b) Khi bản cực bên phải mang điện tích dương:

Theo định luật bảo toàn điện tích, điện tích trên bản bên trái lúc này nhận giá trị âm ($q<0$).

• Nếu độ lớn điện tích bản bên phải đang tăng: Độ lớn phần điện tích âm trên bản bên trái tăng lên, đồng nghĩa với giá trị đại số $q(t)$ càng âm hơn, dẫn đến $dq/dt<0$. Khi đó hệ thức cho $i<0$, tương ứng dòng điện thực tế tiếp tục đi ra khỏi bản bên trái để nạp thêm điện tích dương vào bản bên phải.
• Nếu độ lớn điện tích bản bên phải đang giảm: Giá trị đại số $q(t)$ của bản bên trái tăng dần từ giá trị âm trở về không, dẫn đến $dq/dt>0$. Hệ thức tự động cho $i>0$, tương ứng dòng điện thực tế chạy vào bản bên trái để trung hòa điện tích âm.

Hệ thức $i=dq/dt$ là một phương trình vi phân đại số liên tục. Dấu của dòng điện tự động phản ánh đúng chiều dịch chuyển vật lý của điện tích thông qua dấu của $dq/dt$ trong mọi trạng thái của mạch.

Bài tập: Q31.5

Đèn huỳnh quang thường sử dụng một , gọi là chấn lưu (ballast), để giới hạn cường độ dòng điện chạy qua ống đèn. Tại sao việc sử dụng cuộn cảm lại phù hợp hơn so với việc dùng một thuần cho mục đích này?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh hiệu quả năng lượng và chức năng khởi động giữa việc dùng và dùng thuần để làm chấn lưu hạn chế dòng trong đèn huỳnh quang.

Hướng đi:

• Khảo sát và : So sánh cơ chế cản trở dòng điện của thuần $R$ và cảm kháng $X_L=\omega L$.
• Định luật Joule–Lenz: Dùng $P_{\mathrm{loss}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ để đánh giá tổn hao nhiệt vô ích.
• Định luật cảm ứng điện từ Faraday: Dùng ${\mathcal{E}}_L=-Ldi/dt$ để giải thích sự tạo thành xung điện áp cao mồi hồ quang.

(a) Về mặt tiết kiệm năng lượng:

Khi ống đèn huỳnh quang đã mồi sáng, chất khí bên trong bị ion hóa và thể hiện đặc tính vi phân âm, nghĩa là điện áp trên vùng phóng điện giảm khi dòng điện tăng trong miền vận hành này. Nếu không có linh kiện hạn dòng mắc nối tiếp, dòng điện sẽ tăng mất kiểm soát và phá hủy bóng đèn.

• Nếu sử dụng thuần $R$: Điện trở cản trở dòng điện bằng cách tiêu tán năng lượng điện thành nhiệt lượng vô ích theo định luật Joule–Lenz:

$$P_{\mathrm{loss}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R.$$

Nhiệt lượng này làm nóng máng đèn, gây lãng phí một phần lớn điện năng tiêu thụ và làm giảm đáng kể hiệu suất chiếu sáng của bộ đèn.

• Nếu sử dụng $L$: Cuộn cảm cản trở thông qua :

$$X_L=\omega L=2\pi fL.$$

Trong mô hình lý tưởng, điện áp sớm pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện. Vì vậy công suất trung bình cuộn cảm hấp thụ bằng không:

$$P_{\mathrm{av}}=0.$$

lý tưởng hạn dòng mà không tiêu tán năng lượng. Chấn lưu thực tế vẫn có tổn hao trên dây quấn và lõi, nhưng tránh được phần công suất nhiệt mà một hạn dòng tương đương phải tiêu thụ.

(b) Về mặt hỗ trợ đánh lửa khởi động:

Khi bắt đầu bật đèn, rơle mồi (tắc te) đóng rồi ngắt đột ngột dòng điện chạy qua . Tốc độ suy giảm dòng điện $|di/dt|$ rất lớn làm cuộn cảm phát sinh một xung suất điện động tự cảm:

$${\mathcal{E}}_L=-L\frac{di}{dt}.$$

Xung điện áp rất cao này đặt lên hai đầu ống huỳnh quang, kích hoạt ion hóa chất khí và phóng điện hồ quang ban đầu. thuần không thể tạo ra xung điện áp mồi này.

Bài tập: Q31.6

Hệ thức hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu một thuần là $v_{ab}=Ldi/dt$. Bằng , hãy giải thích tại sao điểm $a$ có điện thế cao hơn điểm $b$ khi dòng điện $i$ có chiều đi từ $a$ sang $b$ và đang tăng dần độ lớn. Khi dòng điện có chiều đi từ $a$ sang $b$ nhưng đang giảm dần độ lớn, hệ thức $v_{ab}=Ldi/dt$ có còn đúng không, hay phải đổi thành $v_{ab}=-Ldi/dt$? Khi dòng điện chạy theo chiều ngược lại và đang tăng hoặc giảm độ lớn thì sao?

Hình 31.8: Cuộn cảm với hai đầu a, b và quan hệ pha

Chú thích:

• Phần (a): Mạch nguồn xoay chiều và cuộn cảm ((a) Circuit with ac source and inductor)
• Phần (b): Đồ thị dòng và điện áp theo thời gian ((b) Graphs of current and voltage versus time)
• Đường điện áp sớm đường dòng một phần tư chu kỳ, tương ứng góc 90 độ (Voltage curve leads current curve by a quarter-cycle (corresponding to φ = π/2 rad = 90°).)
• Phần (c): Giản đồ pha ((c) Phasor diagram)
• Vector pha điện áp sớm vector pha dòng 90 độ (Voltage phasor leads current phasor by φ = π/2 rad = 90°.)
• Vector pha điện áp (Voltage phasor)
• Vector pha dòng (Current phasor)
• Góc pha phi (Phase angle φ)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vận dụng và định luật Lenz để giải thích dấu của hiệu điện thế hai đầu thuần $v_{ab}=Ldi/dt$ trong các trường hợp dòng điện tăng, giảm và đổi chiều.

Hướng đi:

• và định luật Lenz: Dùng $\mathcal{E}=-Ldi/dt$ để xác định chiều của suất điện động tự cảm chống lại sự biến thiên dòng điện.
• Định luật Ohm cho đoạn mạch: Thiết lập liên hệ giữa hiệu điện thế ngoài $v_{ab}$ và suất điện động tự cảm để bảo toàn tính nhất quán về dấu.

(a) Khi dòng điện $i$ chạy từ $a$ sang $b$ và đang tăng dần độ lớn ($di/dt>0$):

Từ thông do dòng điện sinh ra trong lòng các vòng dây của đang tăng lên. Theo định luật Lenz, cuộn cảm phát sinh một suất điện động tự cảm có chiều chống lại sự tăng của dòng điện ban đầu, tức là có xu hướng đẩy các hạt tải điện theo chiều từ $b$ về $a$.

Vì thuần có trong bằng không ($r=0$), hiệu điện thế toàn phần giữa hai đầu dây phải cân bằng chính xác với suất điện động tự cảm chống lại này để dòng điện tiếp tục biến thiên:

$$v_a-v_b=v_{ab}=L\frac{di}{dt}.$$

Vì $di/dt>0$, ta có $v_{ab}>0$, nghĩa là điện thế ở điểm $a$ cao hơn điện thế ở điểm $b$ ($v_a>v_b$). Nguồn điện ngoài phải cung cấp một điện thế cao hơn ở cực vào $a$ để thắng được suất điện động tự cảm cản trở.

(b) Khi dòng điện chạy từ $a$ sang $b$ nhưng đang giảm dần độ lớn ($di/dt<0$):

Theo định luật Lenz, suất điện động tự cảm lúc này có xu hướng duy trì dòng điện cũ, tức là hỗ trợ đẩy dòng điện theo chiều từ $a$ sang $b$. Điểm $b$ sẽ đóng vai trò như cực dương của nguồn điện tự cảm, kéo theo điện thế tại $b$ cao hơn điện thế tại $a$ ($v_b>v_a⟹v_{ab}<0$).

Hệ thức $v_{ab}=Ldi/dt$ vẫn hoàn toàn chính xác về mặt đại số, bởi vì khi $di/dt<0$, giá trị của $v_{ab}$ tự động mang dấu âm. Ta không được đổi dấu công thức thành $v_{ab}=-Ldi/dt$.

(c) Khi dòng điện chạy theo chiều ngược lại (từ $b$ sang $a$):

Lúc này giá trị đại số của dòng điện quy ước theo chiều từ $a$ sang $b$ là $i<0$.

• Nếu độ lớn dòng điện đang tăng: Dòng điện càng âm hơn, kéo theo $di/dt<0$, phương trình cho $v_{ab}<0$, tương ứng $v_b>v_a$.
• Nếu độ lớn dòng điện đang giảm: Dòng điện tăng dần từ giá trị âm về không, kéo theo $di/dt>0$, phương trình cho $v_{ab}>0$, tương ứng $v_a>v_b$.

Hệ thức $v_{ab}=Ldi/dt$ là biểu thức đại số nhất quán, tự động cho dấu chính xác của hiệu điện thế trong mọi trường hợp.

Bài tập: Q31.7

của một mạch xoay chiều RLC mắc nối tiếp có thể bằng không được không? Hãy lập luận và biện minh câu trả lời dựa trên các cơ sở vật lý thực tế.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đánh giá tính khả thi về mặt vật lý của điều kiện bằng không ($\cos \varphi =0$) trong mạch RLC nối tiếp.

Hướng đi:

• Công thức : Dùng $\cos \varphi =R/Z$ để xác định điều kiện cần để hệ số công suất triệt tiêu.
• Khảo sát mạch lý tưởng: Xét trường hợp $R=0$ khi mạch lệch khỏi tần số cộng hưởng.
• Khảo sát mạch thực tế: Đánh giá thuần và tổn hao luôn tồn tại ở tần số hữu hạn.

của mạch xoay chiều RLC nối tiếp được xác định bởi:

$$\cos \varphi =\frac{R}{Z},$$

$$Z=\sqrt{R^2+X_{\mathrm{d}}^2},$$

với hiệu điện kháng $X_{\mathrm{d}}=X_L-X_C$.

(a) Trường hợp lý tưởng hóa $R=0$ không cộng hưởng:

Nếu mạch gồm các linh kiện lý tưởng không có thuần ($R=0$) và hoạt động ở tần số lệch khỏi tần số cộng hưởng ($X_L\ne X_C$):

toàn mạch là $Z=|X_L-X_C|>0$. Góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện là $\varphi =+{90}^{\circ }$ (khi $X_L>X_C$) hoặc $\varphi =-{90}^{\circ }$ (khi $X_C>X_L$). Khi đó:

$$\cos \varphi =\frac{R}{Z}=0.$$

Mạch hoàn toàn không tiêu thụ công suất tác dụng trung bình ($P_{\mathrm{av}}=0$).

(b) Trường hợp mạch thực tế:

Trong mô hình mạch có tổn hao, tương đương $R$ là số dương. Tổn hao có thể đến từ dây quấn, lõi từ, điện môi và dây nối.

Vì $R>0$ và $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}>0$ là hữu hạn, luôn nhận giá trị dương:

$$\cos \varphi =\frac{R}{Z}>0.$$

Do đó, ở tần số hữu hạn, mạch có $R>0$ và hữu hạn có dương.

Bài tập: Q31.8

Trong một mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, điện áp tức thời giữa hai đầu có thể vượt quá điện áp tức thời của nguồn tại cùng thời điểm đó hay không? Điều này có thể xảy ra với điện áp tức thời trên không? Trên thuần thì sao? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát xem điện áp tức thời trên $v_C(t)$, trên $v_L(t)$ và trên $v_R(t)$ có thể có độ lớn lớn hơn điện áp tức thời của nguồn $v(t)$ tại cùng một thời điểm hay không.

Hướng đi:

• Định luật Kirchhoff về điện áp: Dùng hệ thức tức thời $v(t)=v_R(t)+v_L(t)+v_C(t)$ tại mỗi thời điểm.
• Quan hệ pha giữa các phần tử: Sử dụng tính chất ngược pha của điện áp tức thời trên và .
• Phản ví dụ số trị: Xét trạng thái cụ thể ngoài cộng hưởng để chứng minh điện áp tức thời trên có thể vượt quá điện áp nguồn.

Theo định luật Kirchhoff, tại mỗi thời điểm tức thời $t$, tổng đại số điện áp trên từng phần tử nối tiếp luôn bằng điện áp tức thời của nguồn:

$$v(t)=v_R(t)+v_L(t)+v_C(t).$$

(a) Đối với và : Điện áp tức thời trên tụ điện hoặc trên cuộn cảm hoàn toàn có thể vượt quá điện áp tức thời của nguồn.

Nguyên nhân là điện áp tức thời trên $v_L(t)$ và điện áp tức thời trên $v_C(t)$ dao động ngược pha nhau ${180}^{\circ }$ ($\pi \mathrm{rad}$). Đặt dòng điện trong mạch là $i(t)=I\cos (\omega t)$, ta có:

$$v_L(t)=-V_L\sin (\omega t),$$

$$v_C(t)=V_C\sin (\omega t).$$

Tổng tức thời của chúng là:

$$v_L(t)+v_C(t)=(V_C-V_L)\sin (\omega t).$$

Tại những thời điểm điện áp nguồn bằng không ($v(t)=0$), nếu dòng điện trong mạch khác không thì các điện áp tức thời $v_L(t)$ và $v_C(t)$ vẫn khác không và có thể có độ lớn rất lớn. Khi đó $|v_L(t)|>|v(t)|=0$ và $|v_C(t)|>|v(t)|=0$. Đặc biệt, chỉ khi mạch ở trạng thái cộng hưởng chính xác ($X_L=X_C$), biên độ điện áp trên và trên mới bằng nhau, $V_L=V_C$. Nếu ở tần số này mà lớn hơn nhiều so với ($X_L=X_C\gg R$), biên độ điện áp $V_L$ và $V_C$ có thể lớn gấp nhiều lần biên độ nguồn $V$.

(b) Đối với thuần:

Về mặt giá trị tức thời: Giá trị tức thời $|v_R(t)|$ hoàn toàn có thể lớn hơn $|v(t)|$.

Xét mạch của Ví dụ 31.4 với $V_R=30\mathrm{V}$, $V_L=60\mathrm{V}$ và $V_C=20\mathrm{V}$. Chọn $i(t)=I\cos (\omega t)$. Tại thời điểm có $\omega t=\mathrm{0,643}5\mathrm{rad}$, điện áp tức thời của nguồn đi qua giá trị $v(t)=0\mathrm{V}$. Tại đúng thời điểm đó, các điện áp tức thời thành phần nhận giá trị, $v_R(t)=24\mathrm{V}$, $v_L(t)=-36\mathrm{V}$ và $v_C(t)=12\mathrm{V}$. Tổng tức thời thỏa mãn định luật Kirchhoff:

$$\begin{array}{rl}{v}_R(t)+v_L(t)+v_C(t)& =24\mathrm{V}-36\mathrm{V}+12\mathrm{V}\\ & =0\mathrm{V}=v(t).\end{array}$$

Tại thời điểm này, $|v_R(t)|=24\mathrm{V}>|v(t)|=0\mathrm{V}$. Như vậy điện áp tức thời trên thuần hoàn toàn có thể lớn hơn điện áp tức thời của nguồn.

Tuy nhiên, nếu xét về mặt biên độ đỉnh theo thời gian, biên độ điện áp trên thuần luôn bị chặn trên bởi biên độ nguồn:

$$V_R=IR=\frac{VR}{Z}\le V.$$

với $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}\ge R$.

Dấu bằng chỉ xảy ra khi mạch xảy ra cộng hưởng chính xác ($X_L=X_C$), khi đó $V_R=V$.

Bài tập: Q31.9

Trong mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, góc lệch pha $\varphi$ và $\cos \varphi$ sẽ bằng bao nhiêu khi thuần nhỏ hơn rất nhiều so với hoặc , và mạch đang hoạt động ở tần số cách xa tần số cộng hưởng? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xác định góc lệch pha $\varphi$ và $\cos \varphi$ khi $R\ll |X_L-X_C|$ trong điều kiện mạch hoạt động xa cộng hưởng.

Hướng đi:

• Công thức góc lệch pha: Dùng $\tan \varphi =(X_L-X_C)/R$ để khảo sát giới hạn của góc lệch pha khi $R\to 0$.
• Công thức : Dùng $\cos \varphi =R/Z$ để đánh giá tỷ lệ công suất tác dụng khi rất nhỏ so với hiệu điện kháng.
• Phân loại chế độ mạch: Phân biệt trường hợp mạch mang tính ($\omega >{\omega }_0$) và ($\omega <{\omega }_0$).

Góc lệch pha giữa điện áp nguồn và dòng điện trong mạch RLC nối tiếp được xác định bởi:

$$\tan \varphi =\frac{X_L-X_C}{R}.$$

tương ứng là:

$$\cos \varphi =\frac{R}{Z},$$

$$Z=\sqrt{R^2+X_{\mathrm{d}}^2},$$

với $X_{\mathrm{d}}=X_L-X_C$.

Vì mạch hoạt động ở tần số cách xa tần số cộng hưởng, hiệu số giữa và $|X_L-X_C|$ có độ lớn đáng kể. Do giả thiết thuần rất nhỏ ($R\ll |X_L-X_C|$), mẫu số trong công thức tính $\tan \varphi$ tiến rất gần về không. Ta xét hai trường hợp cụ thể. (a) Khi tần số nguồn cao hơn tần số cộng hưởng ($\omega >{\omega }_0$):

chiếm ưu thế ($X_L\gg X_C$), do đó $X_L-X_C>0$. Khi $R\to 0$, ta có:

$$\tan \varphi \to +\mathrm{\infty }$$

$$⟹\varphi \approx +{90}^{\circ }=+\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}.$$

Điện áp nguồn sớm pha xấp xỉ ${90}^{\circ }$ so với dòng điện trong mạch. Mạch mang tính vượt trội.

(b) Khi tần số nguồn thấp hơn tần số cộng hưởng ($\omega <{\omega }_0$):

chiếm ưu thế ($X_C\gg X_L$), do đó $X_L-X_C<0$. Khi $R\to 0$, ta có:

$$\tan \varphi \to -\mathrm{\infty }$$

$$⟹\varphi \approx -{90}^{\circ }=-\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}.$$

Điện áp nguồn trễ pha xấp xỉ ${90}^{\circ }$ so với dòng điện trong mạch. Mạch mang tính vượt trội.

Trong cả hai trường hợp trên, đều tiệm cận về không:

$$\cos \varphi \approx \frac{R}{|X_L-X_C|}\approx 0.$$

Mạch hầu như không tiêu thụ công suất tác dụng trung bình từ nguồn điện mà chủ yếu dao động trao đổi công suất phản kháng tích trữ giữa nguồn và các trường năng lượng.

Bài tập: Q31.10

Khi một mạch RLC mắc nối tiếp được cấp điện bởi nguồn xoay chiều có $120\mathrm{V}$, điện áp giới hạn cho phép của vẫn có thể bị vượt quá ngay cả khi tụ điện đó có điện áp danh định định mức lên tới $200\mathrm{V}$ hoặc $400\mathrm{V}$. Bằng cơ chế vật lý nào mà hiện tượng này có thể xảy ra?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giải thích vì sao chịu áp $200\mathrm{V}$ hoặc $400\mathrm{V}$ vẫn có thể bị đánh thủng khi mắc vào nguồn xoay chiều có chỉ $120\mathrm{V}$.

Hướng đi:

• Mối liên hệ giữa biên độ và : Dùng $V=V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}$ để xác định biên độ điện áp đỉnh của nguồn.
• Hiện tượng cộng hưởng nối tiếp: Dùng điều kiện $X_L\approx X_C$ để xác định dòng điện cực đại trong mạch.
• Hệ số phẩm chất của mạch: Dùng $Q=X_C/R=(1/R)\sqrt{L/C}$ để giải thích sự khuếch đại trên .

Hiện tượng này bắt nguồn từ hai yếu tố vật lý kết hợp. (a) Sự chênh lệch giữa và giá trị biên độ đỉnh của nguồn: Điện áp danh định của nguồn điện dân dụng là giá trị hiệu dụng $V_{\mathrm{rms}}=120\mathrm{V}$. Biên độ điện áp đỉnh của nguồn điện biến thiên điều hòa là:

$$\begin{array}{rl}V& =V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}\\ & \approx 120\times \mathrm{1,414}\approx 170\mathrm{V}.\end{array}$$

(b) Hiện tượng khuếch đại điện áp tại vùng tần số cộng hưởng:

Cường độ dòng điện hiệu dụng chạy qua mạch nối tiếp phụ thuộc vào toàn mạch:

$$I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z},$$

$$Z=\sqrt{R^2+X_{\mathrm{d}}^2},$$

với $X_{\mathrm{d}}=\omega L-1/(\omega C)$.

Khi tần số của nguồn xoay chiều tiến đến gần hoặc trùng khớp với tần số góc cộng hưởng riêng của mạch:

$$\omega \approx {\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

và triệt tiêu lẫn nhau ($X_L\approx X_C$), của toàn mạch giảm xuống mức tối thiểu, bằng đúng thuần, $Z\approx R$. Khi đó dòng điện trong mạch đạt giá trị cực đại:

$$I_{\mathrm{rms},\max }=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{R}.$$

đặt lên hai bản bằng:

$$\begin{array}{rl}{V}_{C,\mathrm{rms}}& =I_{\mathrm{rms},\max }{X}_C\\ & =V_{\mathrm{rms}}\frac{X_C}{R}=Q{V}_{\mathrm{rms}}.\end{array}$$

Trong đó đại lượng:

$$Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

được gọi là hệ số phẩm chất của mạch nối tiếp. Nếu mạch có thuần $R$ rất nhỏ so với $X_C$, hệ số phẩm chất $Q$ có thể dễ dàng đạt các giá trị từ $5$ đến $10$ hoặc cao hơn. Khi đó:

• Với $Q=5$, trên tụ là $V_{C,\mathrm{rms}}=5\times 120\mathrm{V}=600\mathrm{V}$, với biên độ đỉnh lên tới $600\sqrt{2}\approx 849\mathrm{V}$.
• Mức điện áp đỉnh này vượt xa giới hạn cách điện danh định $200\mathrm{V}$ hoặc $400\mathrm{V}$ của , phá vỡ lớp điện môi giữa hai bản cực và gây nổ hoặc hỏng tụ điện hoàn toàn.

Bài tập: Q31.11

Một máy sấy tóc thường được mô hình hóa đơn giản như một thuần. Tuy nhiên, vì máy sấy có các cuộn dây trong bộ phận đốt nóng và có cuộn dây bên trong động cơ quay cánh quạt, máy sấy thực tế còn có độ tự cảm đáng kể. Về mặt định tính, việc tính thêm độ tự cảm này vào mô hình sẽ làm tăng hay làm giảm các giá trị của $R$, $I_{\mathrm{rms}}$ và công suất tiêu thụ trung bình $P$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đánh giá ảnh hưởng định tính của độ tự cảm $L$ trong máy sấy tóc lên thuần $R$, cường độ dòng điện hiệu dụng $I_{\mathrm{rms}}$ và công suất trung bình $P$.

Hướng đi:

• Cấu tạo vật liệu của thuần: Dùng công thức điện trở dây dẫn $R=\rho l/S$ để xác định tính bất biến của $R$.
• Công thức : Dùng $Z=\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}$ để đánh giá sự tăng trở kháng khi có thêm .
• Định luật Ohm và công thức công suất: Dùng $I_{\mathrm{rms}}=V_{\mathrm{rms}}/Z$ và $P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ để so sánh dòng điện và công suất tiêu thụ trong mô hình mạch tuyến tính cố định $R,V_{\mathrm{rms}},\omega$.

Mô hình so sánh chuẩn tắc: Giữ cố định thuần $R$, nguồn $V_{\mathrm{rms}}$ và tần số góc $\omega$, khảo sát ảnh hưởng khi tính thêm một độ tự cảm lý tưởng $L$ vào sơ đồ mạch nối tiếp.

(a) Đối với thuần $R$: Điện trở thuần $R$ được quyết định bởi vật liệu, chiều dài và tiết diện của dây đốt nóng và cuộn dây theo công thức $R=\rho l/S$. Giá trị điện trở này không thay đổi khi tính thêm độ tự cảm $L$ vào mô hình. Do đó giá trị $R$ giữ nguyên không đổi.

(b) Đối với cường độ dòng điện hiệu dụng $I_{\mathrm{rms}}$:

Khi tính thêm độ tự cảm $L$, mạch có thêm $X_L=\omega L>0$. toàn phần của máy sấy tăng lên từ $Z=R$ thành:

$$Z=\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}>R.$$

Với $V_{\mathrm{rms}}$ của nguồn không đổi, cường độ dòng điện hiệu dụng chạy qua máy sấy sẽ giảm xuống:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rms}}& =\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z}\\ & =\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}}\\ & <\frac{V_{\mathrm{rms}}}{R}.\end{array}$$

(c) Đối với công suất tiêu thụ trung bình $P$:

Trong mô hình mạch tuyến tính có cố định $R$, công suất tiêu thụ trung bình được xác định bởi:

$$P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R=\frac{V_{\mathrm{rms}}^{2}R}{R^2+(\omega L{)}^2}.$$

Vì mẫu số tăng thêm số hạng $(\omega L{)}^2$ trong khi $R$ và $V_{\mathrm{rms}}$ không đổi, công suất tiêu thụ trung bình $P$ giảm đi so với khi chỉ có thuần ($V_{\mathrm{rms}}^2/R$). Ta cũng thấy điều này từ $P=V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi$: Cả dòng điện $I_{\mathrm{rms}}$ và $\cos \varphi =R/Z$ đều giảm, do đó công suất trung bình $P$ giảm. Lưu ý rằng mô hình so sánh này không đồng nhất cơ năng của động cơ thực tế với nhiệt Joule của dây quấn.

Bài tập: Q31.12

Một bóng đèn sợi đốt và một phẳng có lớp điện môi bằng không khí được mắc nối tiếp với nhau vào một nguồn điện xoay chiều. Điều gì sẽ xảy ra với độ sáng của bóng đèn khi ta chèn một tấm chất điện môi vào giữa hai bản của tụ điện? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đánh giá sự thay đổi độ sáng của bóng đèn mắc nối tiếp với khi chèn tấm điện môi vào giữa hai bản tụ.

Hướng đi:

• Công thức của tụ điện phẳng: Dùng $C=K{C}_0$ để xác định sự tăng điện dung khi chèn điện môi có hằng số $K>1$.
• Công thức : Dùng $X_C=1/(\omega C)$ để suy ra sự giảm dung kháng.
• Công thức và định luật Joule–Lenz: Dùng $Z=\sqrt{R^2+X_C^2}$ và $P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ để đánh giá sự tăng dòng điện và độ sáng bóng đèn.

(a) Biến đổi của và : Điện dung ban đầu của tụ điện phẳng chứa không khí là $C_0$. Khi chèn một tấm chất điện môi có hằng số điện môi $K>1$ vào lấp đầy khoảng không gian giữa hai bản cực, điện dung của tụ điện tăng lên $K$ lần:

$$C=K{C}_0>C_0.$$

của trong mạch xoay chiều tỉ lệ nghịch với điện dung $C$:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{\omega K{C}_0}.$$

Do $C$ tăng lên, $X_C$ của tụ điện sẽ giảm đi.

(b) Biến đổi của dòng điện và độ sáng bóng đèn:

Mô hình hóa bóng đèn sợi đốt bằng thuần $R$. của mạch nối tiếp gồm bóng đèn và là

$$Z=\sqrt{R^2+X_C^2}.$$

Khi $X_C$ giảm, toàn mạch $Z$ giảm theo. Vì của nguồn $V_{\mathrm{rms}}$ được giữ cố định, cường độ dòng điện hiệu dụng chạy qua mạch sẽ tăng lên:

$$I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z}.$$

Độ sáng của bóng đèn sợi đốt phụ thuộc trực tiếp vào công suất tỏa nhiệt trên dây tóc bóng đèn:

$$P_{\mathrm{bulb}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R.$$

Vì cường độ dòng điện hiệu dụng $I_{\mathrm{rms}}$ tăng lên, công suất nhiệt tỏa ra trên bóng đèn tăng, kéo theo nhiệt độ dây tóc tăng và độ sáng của bóng đèn tăng lên rõ rệt (đèn sáng hơn).

Bài tập: Q31.13

Một cuộn dây quấn quanh một ống trụ rỗng và một bóng đèn sợi đốt được mắc nối tiếp vào một nguồn điện xoay chiều. Điều gì sẽ xảy ra với độ sáng của bóng đèn khi ta luồn một thanh sắt vào bên trong lòng ống trụ? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát sự thay đổi độ sáng của bóng đèn mắc nối tiếp với khi luồn thanh sắt vào trong lòng ống dây rỗng.

Hướng đi:

• Tính chất vật liệu sắt từ: Xét sự tăng từ thông liên kết để suy ra độ tự cảm tăng khi luồn thanh sắt trong miền chưa bão hòa.
• Công thức : Dùng $X_L=\omega L$ để xác định sự tăng cảm kháng.
• Công thức và công suất tỏa nhiệt: Dùng $Z=\sqrt{(R+r{)}^2+X_L^2}$ và $P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ để suy ra sự giảm dòng điện và làm tối bóng đèn.

(a) Biến đổi của độ tự cảm và :

Khi ống dây có lõi là không khí, độ tự cảm của cuộn dây là $L_0$. Sắt là vật liệu sắt từ. Trong miền chưa bão hòa, lõi sắt làm tăng từ thông liên kết của cuộn dây.

Khi luồn thanh sắt vào bên trong lòng ống dây, khả năng tập trung và gia tăng từ thông của tăng lên vượt bậc, dẫn đến độ tự cảm của cuộn dây tăng vọt:

$$L>L_0.$$

của cuộn dây tỉ lệ thuận với độ tự cảm $L$:

$$X_L=\omega L=2\pi fL.$$

Do đó, $X_L$ của tăng lên rất lớn.

(b) Ảnh hưởng lên độ sáng bóng đèn:

toàn phần của mạch nối tiếp gồm bóng đèn ( $R$) và cuộn dây (có điện trở thuần nhỏ $r$) là

$$Z=\sqrt{(R+r{)}^2+X_L^2}.$$

Khi $X_L$ tăng mạnh, toàn mạch $Z$ tăng lên tương ứng. Dưới điện áp nguồn không đổi, cường độ dòng điện hiệu dụng chạy qua đèn giảm mạnh:

$$I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z}.$$

Công suất phát sáng của bóng đèn phụ thuộc vào bình phương cường độ dòng điện:

$$P_{\mathrm{bulb}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R.$$

Do dòng điện hiệu dụng giảm mạnh, công suất tỏa nhiệt trên dây tóc bóng đèn giảm đi đáng kể, làm cho bóng đèn tối đi rõ rệt, thậm chí có thể gần như tắt hẳn nếu đủ lớn.

Bài tập: Q31.14

Một mạch điện gồm một bóng đèn, một và một mắc nối tiếp với nhau vào một nguồn điện xoay chiều. Điều gì sẽ xảy ra với độ sáng của bóng đèn khi ta tháo bỏ cuộn cảm ra khỏi mạch? Điều gì sẽ xảy ra khi ta giữ cuộn cảm trong mạch nhưng tháo bỏ tụ điện? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát sự thay đổi độ sáng của bóng đèn trong mạch RLC nối tiếp khi lần lượt tháo bỏ hoặc tháo bỏ (nối tắt hai đầu linh kiện được tháo).

Hướng đi:

• Công thức mạch R-L-C nối tiếp: Dùng $Z_0=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ làm cơ sở so sánh ban đầu.
• khi tháo linh kiện: Thiết lập $Z_1=\sqrt{R^2+X_C^2}$ khi tháo và $Z_2=\sqrt{R^2+X_L^2}$ khi tháo .
• Biện luận điều kiện: So sánh $(X_L-X_C{)}^2$ với $X_C^2$ và $X_L^2$ để kết luận điều kiện làm đèn sáng hơn, tối đi hoặc giữ nguyên độ sáng.

Lưu ý rằng khái niệm "tháo bỏ linh kiện" ở đây được hiểu theo nghĩa kỹ thuật chuẩn mực là loại bỏ linh kiện và nối tắt đoạn mạch đó lại bằng dây dẫn lý tưởng. Nếu ngắt bỏ linh kiện mà để hở mạch, dòng điện trong mạch hở sẽ lập tức bằng không và bóng đèn sẽ tắt hẳn.

ban đầu của mạch nối tiếp là

$$Z_0=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}.$$

Độ sáng của bóng đèn tăng hay giảm phụ thuộc vào việc mới nhỏ hơn hay lớn hơn $Z_0$.

(a) Khi tháo bỏ (mạch chỉ còn bóng đèn nối tiếp với ):

mới của mạch là

$$Z_1=\sqrt{R^2+X_C^2}.$$

Ta so sánh $(X_L-X_C{)}^2$ với $X_C^2$:

$$(X_L-X_C{)}^2-X_C^2=X_L^2-2X_L{X}_C=X_L(X_L-2X_C).$$

• Nếu ban đầu $X_L>2X_C$: Ta có $Z_0>Z_1$. Khi tháo , mạch giảm, dòng điện tăng lên và bóng đèn sẽ sáng hơn.
• Nếu ban đầu $X_L<2X_C$ (bao gồm trường hợp mạch đang ở trạng thái cộng hưởng $X_L=X_C$): Ta có $Z_0<Z_1$. Khi tháo , mạch tăng lên, dòng điện giảm đi và bóng đèn sẽ tối đi.
• Nếu ban đầu $X_L=2X_C$: không đổi ($Z_1=Z_0$), độ sáng của bóng đèn giữ nguyên.

(b) Khi tháo bỏ và giữ (mạch chỉ còn bóng đèn nối tiếp với cuộn cảm):

mới của mạch là

$$Z_2=\sqrt{R^2+X_L^2}.$$

Ta so sánh $(X_L-X_C{)}^2$ với $X_L^2$:

$$(X_L-X_C{)}^2-X_L^2=X_C^2-2X_L{X}_C=X_C(X_C-2X_L).$$

• Nếu ban đầu $X_C>2X_L$: giảm ($Z_2<Z_0$), dòng điện tăng và bóng đèn sáng hơn.
• Nếu ban đầu $X_C<2X_L$ (bao gồm trường hợp cộng hưởng $X_L=X_C$): tăng ($Z_2>Z_0$), dòng điện giảm và bóng đèn tối đi.
• Nếu ban đầu $X_C=2X_L$: không đổi, độ sáng bóng đèn giữ nguyên.

Bài tập: Q31.15

Một mạch điện gồm một bóng đèn, một và một mắc nối tiếp vào một nguồn điện xoay chiều. Liệu có thể tháo bỏ cả tụ điện và cuộn cảm ra khỏi mạch (nối tắt hai đầu của chúng) mà độ sáng của bóng đèn vẫn hoàn toàn không thay đổi hay không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xác định điều kiện để việc loại bỏ cả và không làm thay đổi độ sáng của bóng đèn trong mạch RLC nối tiếp.

Hướng đi:

• Điều kiện bảo toàn độ sáng: Thiết lập phương trình đẳng $Z=Z^{\prime }=R$ với nguồn và đèn cố định.
• Hiện tượng : Giải phương trình $(X_L-X_C{)}^2=0$ để suy ra điều kiện $X_L=X_C$ tại tần số góc ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$. Điều này hoàn toàn có thể xảy ra, với một điều kiện duy nhất là trước khi tháo bỏ, mạch điện xoay chiều ban đầu đang hoạt động ở đúng tần số cộng hưởng.

Chứng minh:

ban đầu của mạch RLC nối tiếp chứa bóng đèn có $R$ là

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}.$$

Khi tháo bỏ cả lẫn và nối kín mạch bằng dây dẫn, tải tiêu thụ chỉ còn lại duy nhất thuần $R$ của bóng đèn. mới của mạch lúc này là

$$Z^{\prime }=R.$$

Độ sáng của bóng đèn phụ thuộc vào công suất tỏa nhiệt $P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R=(V_{\mathrm{rms}}/Z{)}^{2}R$. Do điện áp nguồn và đèn không đổi, để độ sáng bóng đèn không thay đổi thì cường độ dòng điện hiệu dụng phải giữ nguyên, tương đương với điều kiện toàn mạch không đổi:

$$Z=Z^{\prime }$$

$$⟺\sqrt{R^2+X_{\mathrm{d}}^2}=R,$$

với $X_{\mathrm{d}}=X_L-X_C$.

Bình phương hai vế và rút gọn, ta thu được

$$(X_L-X_C{)}^2=0$$

$$⟺X_L=X_C.$$

Điều này đồng nghĩa với việc tần số góc của nguồn điện phải bằng chính xác tần số góc cộng hưởng riêng của hệ:

$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Ở trạng thái cộng hưởng này, điện áp trên và điện áp trên luôn ngược pha nhau ${180}^{\circ }$ và có biên độ bằng nhau tại mọi thời điểm, do đó tác dụng cản trở dòng điện của và đã tự triệt tiêu lẫn nhau hoàn toàn. của mạch ban đầu đã bằng đúng thuần $R$. Vì vậy, việc tháo bỏ đồng thời cả hai linh kiện không làm thay đổi trở kháng của mạch, và độ sáng của bóng đèn được bảo toàn tuyệt đối.

Bài tập: Q31.16

có thể sử dụng được với dòng điện một chiều không đổi (DC) hay không? Hãy giải thích rõ cơ chế vật lý. Điều gì sẽ xảy ra nếu một máy biến áp được thiết kế cho điện áp xoay chiều $120\mathrm{V}$ lại bị đấu nhầm vào đường dây điện một chiều $120\mathrm{V}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giải thích nguyên lý hoạt động của đối với dòng một chiều, và dự đoán hậu quả khi cấp điện áp một chiều $120\mathrm{V}$ vào máy biến áp được thiết kế cho mạng xoay chiều $120\mathrm{V}$.

Hướng đi:

• : Dùng ${\mathcal{E}}_2=-N_2(d{\mathrm{\Phi }}_B/dt)$ để chứng minh từ trường không biến thiên trong chế độ DC không tạo ra suất điện động cảm ứng.
• Khảo sát theo tần số: So sánh trở kháng cuộn sơ cấp $Z_{\mathrm{ac}}\approx \omega L$ với thuần $R_{\mathrm{cu}}$ khi tần số $\omega =0$.
• Định luật Ohm và Joule–Lenz: Dùng $I_{\mathrm{dc}}=V_{\mathrm{dc}}/R_{\mathrm{cu}}$ và $P=I_{\mathrm{dc}}^2{R}_{\mathrm{cu}}$ để dự báo dòng điện quá tải và nguy cơ cháy cuộn dây.

(a) không thể hoạt động với dòng điện một chiều không đổi:

hoạt động dựa trên hiện tượng cảm ứng điện từ giữa hai cuộn dây qua lõi từ khép kín. Theo , suất điện động cảm ứng sinh ra ở cuộn thứ cấp tỉ lệ thuận với tốc độ biến thiên của từ thông trong lõi thép:

$${\mathcal{E}}_2=-N_2\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}.$$

Khi cấp điện bởi dòng điện một chiều không đổi (DC), dòng điện trong cuộn sơ cấp có cường độ ổn định theo thời gian ($d{i}_1/dt=0$). Từ trường do nó sinh ra trong lõi từ là từ trường tĩnh, kéo theo tốc độ biến thiên của từ thông qua cuộn thứ cấp bằng không:

$$\frac{d{\mathrm{\Phi }}_B}{dt}=0⟹{\mathcal{E}}_2=0.$$

Do đó, ở trạng thái dừng không có bất kỳ điện áp hay dòng điện nào được truyền sang mạch thứ cấp. hoàn toàn không thể làm biến đổi điện áp của dòng điện một chiều.

(b) Hậu quả khi đấu $120\mathrm{V}$ xoay chiều vào nguồn $120\mathrm{V}$ một chiều:

• Trong chế độ xoay chiều bình thường: Cuộn sơ cấp có độ tự cảm rất lớn ($L$), tạo ra một rất cao $X_L=\omega L=2\pi fL$. Ngay cả khi mạch thứ cấp để hở, cảm kháng này hạn chế dòng điện chạy trong cuộn sơ cấp ở mức dòng từ hóa rất nhỏ an toàn:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rms}}& \approx \frac{V_{\mathrm{rms}}}{\sqrt{R_{\mathrm{cu}}^2+X_L^2}}\\ & \approx \frac{V_{\mathrm{rms}}}{X_L}.\end{array}$$

• Trong chế độ một chiều: Tần số bằng không ($\omega =0$), do đó triệt tiêu hoàn toàn:

$$X_L=0.$$

Cuộn sơ cấp lúc này chỉ còn lại duy nhất thuần $R_{\mathrm{cu}}$ của dây quấn đồng. Để giảm thiểu hao phí trong vận hành, dây quấn luôn được chế tạo có điện trở thuần rất bé, vì vậy dòng điện một chiều có thể rất lớn.

Cường độ dòng điện một chiều chạy qua cuộn sơ cấp sẽ tăng vọt lên mức cực đại theo định luật Ohm:

$$I_{\mathrm{dc}}=\frac{V_{\mathrm{dc}}}{R_{\mathrm{cu}}}=\frac{120\mathrm{V}}{R_{\mathrm{cu}}}\gg I_{\mathrm{ac}}.$$

Dòng điện khổng lồ này sinh ra công suất tỏa nhiệt Joule cực lớn:

$$P=I_{\mathrm{dc}}^2{R}_{\mathrm{cu}}.$$

Lượng nhiệt phát sinh nhanh chóng đốt cháy lớp men cách điện của dây quấn, gây hiện tượng ngắn mạch, phá hủy hoàn toàn và có nguy cơ cao bốc cháy hoặc làm nhảy aptomat bảo vệ mạng điện.

Bài tập: Q31.17

Một lý tưởng có $N_1$ vòng dây ở cuộn sơ cấp và $N_2$ vòng dây ở cuộn thứ cấp. Nếu ta chỉ tăng gấp đôi số vòng dây của cuộn thứ cấp, hãy xác định. (a) Biên độ điện áp ở cuộn thứ cấp thay đổi theo thừa số nào?

(b) tương đương của mạch thứ cấp quy đổi về phía sơ cấp thay đổi theo thừa số nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xác định sự thay đổi của biên độ điện áp thứ cấp và phản xạ về sơ cấp khi số vòng dây thứ cấp tăng gấp đôi ($N_2^{\prime }=2N_2$).

Hướng đi:

• Hệ thức lý tưởng: Dùng $V_2/V_1=N_2/N_1$ để xác định tỉ số biến đổi điện áp theo số vòng dây.
• Công thức phản xạ : Dùng $R_{\mathrm{eff}}=(N_1/N_2{)}^{2}R$ để xác định tải quy đổi về phía cuộn sơ cấp.

(a) Biến đổi của biên độ điện áp ở cuộn thứ cấp: Đối với lý tưởng, tỉ số giữa biên độ điện áp hai cuộn dây bằng tỉ số số vòng dây tương ứng:

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{N_2}{N_1}$$

$$⟹V_2=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)V_1.$$

Khi giữ nguyên số vòng dây sơ cấp $N_1$ và biên độ điện áp sơ cấp $V_1$, việc tăng gấp đôi số vòng dây thứ cấp ($N_2^{\prime }=2N_2$) sẽ làm biên độ điện áp ở cuộn thứ cấp thay đổi theo:

$$V_2^{\prime }=\left(\frac{2N_2}{N_1}\right)V_1=2V_2.$$

Biên độ điện áp ở cuộn thứ cấp tăng gấp đôi, tức là thay đổi theo thừa số $2$.

(b) Biến đổi của tương đương quy đổi về phía sơ cấp:

Xét tải thuần trở $R$ mắc cố định vào mạch thứ cấp. Theo định luật bảo toàn công suất cho lý tưởng ($V_1{I}_1=V_2{I}_2$), bản thân tải $R$ ở thứ cấp không đổi, nhưng điện trở tương đương $R_{\mathrm{eff}}$ mà nguồn điện ở phía cuộn sơ cấp nhìn thấy được xác định bởi:

$$\begin{array}{rl}{R}_{\mathrm{eff}}& =\frac{V_1}{I_1}\\ & =\frac{V_2/(N_2/N_1)}{I_2(N_2/N_1)}\\ & ={\left(\frac{N_1}{N_2}\right)}^2\frac{V_2}{I_2}\\ & ={\left(\frac{N_1}{N_2}\right)}^{2}R.\end{array}$$

Khi số vòng dây thứ cấp tăng gấp đôi thành $N_2^{\prime }=2N_2$, tương đương quy đổi về phía sơ cấp mới là:

$$\begin{array}{rl}{R}_{\mathrm{eff}}^{\prime }& ={\left(\frac{N_1}{2N_2}\right)}^{2}R\\ & =\frac{1}{4}{\left(\frac{N_1}{N_2}\right)}^{2}R\\ & =\frac{1}{4}{R}_{\mathrm{eff}}.\end{array}$$

tương đương của mạch thứ cấp quy đổi về phía cuộn sơ cấp giảm đi bốn lần, tức là thay đổi theo thừa số $1/4$.

Bài tập: Q31.18

Một , một và một thuần được mắc nối tiếp với nhau vào một nguồn điện xoay chiều. Nếu điện trở thuần, độ tự cảm và điện dung đều được tăng gấp đôi, hãy xác định các đại lượng sau thay đổi theo thừa số nào (và tăng hay giảm). (a) Tần số góc cộng hưởng.

(b) ở một tần số nguồn cho trước.

(c) ở một tần số nguồn cho trước.

(d) toàn mạch có tăng gấp đôi hay không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đánh giá sự thay đổi của ${\omega }_0$, $X_L$, $X_C$ và $Z$ khi đồng thời tăng gấp đôi $R$, $L$ và $C$ ($R^{\prime }=2R,L^{\prime }=2L,C^{\prime }=2C$).

Hướng đi:

• Công thức tần số góc cộng hưởng: Dùng ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ để xác định sự thay đổi của tần số cộng hưởng riêng.
• Công thức và : Dùng $X_L=\omega L$ và $X_C=1/(\omega C)$ ở tần số $\omega$ cho trước.
• Công thức toàn phần: Dùng $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ để kiểm tra điều kiện đẳng thức $Z^{\prime }=2Z$.

Theo giả thiết, các thông số mới của linh kiện là $R^{\prime }=2R$, $L^{\prime }=2L$ và $C^{\prime }=2C$.

(a) Tần số góc cộng hưởng:

Tần số góc cộng hưởng ban đầu là:

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Khi thay các thông số mới vào:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0^{\prime }& =\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{(2L)(2C)}}=\frac{{\omega }_0}{2}.\end{array}$$

Tần số góc cộng hưởng thay đổi theo thừa số $1/2$, tức là giảm đi một nửa.

(b) ở tần số góc $\omega$ cho trước của nguồn:

$$X_L^{\prime }=\omega L^{\prime }=2\omega L=2X_L.$$

thay đổi theo thừa số $2$, tức là tăng gấp đôi.

(c) ở tần số góc $\omega$ cho trước của nguồn:

$$\begin{array}{rl}{X}_C^{\prime }& =\frac{1}{\omega (2C)}\\ & =\frac{1}{2\omega C}=\frac{1}{2}{X}_C.\end{array}$$

thay đổi theo thừa số $1/2$, tức là giảm đi một nửa.

(d) Khảo sát toàn mạch $Z$:

toàn phần của mạch ban đầu là:

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}.$$

mới của mạch là:

$$\begin{array}{rl}{Z}^{\prime }& =\sqrt{(R^{\prime }{)}^2+X_{\mathrm{new}}^2}\\ & =\sqrt{4R^2+X_{\mathrm{new}}^2},\end{array}$$

với $X_{\mathrm{new}}=2X_L-X_C/2$. Để tăng gấp đôi, ta cần $Z^{\prime }=2Z$, tương đương với:

$$\begin{array}{rl}4R^2+& {(2X_L-\frac{X_C}{2})}^2\\ & =4[R^2+(X_L-X_C{)}^2].\end{array}$$

Triệt tiêu $4R^2$ ở cả hai vế:

$$\text{le ft(2 X\_L - frac{X\_C}{2}right)^2 = 4(X\_L - X\_C)^2.}$$

Khai triển hai vế:

$$4X_L^2-2X_L{X}_C+\frac{1}{4}{X}_C^2=4X_L^2-8X_L{X}_C+4X_C^2.$$

Rút gọn các số hạng $4X_L^2$:

$$6X_L{X}_C=\frac{15}{4}{X}_C^2$$

$$⟺\frac{X_L}{X_C}=\frac{5}{8}.$$

Do đó đẳng thức $Z^{\prime }=2Z$ chỉ xảy ra tại tần số thỏa mãn tỉ số và $X_L/X_C=5/8$. Đối với một tần số bất kỳ nói chung, toàn mạch không tăng gấp đôi ($Z^{\prime }\ne 2Z$). Đặc biệt, nếu mạch ban đầu ở trạng thái cộng hưởng tại tần số nguồn cố định ($X_L=X_C\ne 0$), thì các giá trị cảm kháng và dung kháng ban đầu đều khác không. Khi tăng gấp đôi các thông số ở cùng tần số nguồn đó, mạch mới có $X_L^{\prime }=2X_L$ và $X_C^{\prime }=X_C/2=X_L/2$, dẫn đến hiệu điện kháng mới là $X_L^{\prime }-X_C^{\prime }=\frac{3}{2}{X}_L\ne 0$. Mạch mới không còn ở trạng thái cộng hưởng và $Z^{\prime }=\sqrt{4R^2+\frac{9}{4}{X}_L^2}>2R=2Z$.

Bài tập: Q31.19

Ta muốn làm tăng gấp đôi tần số góc cộng hưởng của một mạch xoay chiều RLC mắc nối tiếp bằng cách chỉ thay đổi các phần tử thích hợp trong mạch theo cùng một tỉ lệ như nhau. (a) Ta cần phải thay đổi các phần tử mạch nào? (b) Cần thay đổi chúng theo tỉ lệ (thừa số) bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xác định các phần tử cần thay đổi và tỉ lệ thay đổi đồng nhất để tăng gấp đôi tần số góc cộng hưởng ${\omega }_0$ của mạch RLC nối tiếp.

Hướng đi:

• Công thức tần số góc cộng hưởng: Dùng ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ để nhận diện các phần tử ảnh hưởng đến tần số cộng hưởng.
• Tính chất độc lập với : Xác định $R$ không ảnh hưởng đến ${\omega }_0$.
• Thiết lập phương trình tỉ lệ: Đặt $L^{\prime }=kL$ và $C^{\prime }=kC$ rồi giải phương trình ${\omega }_0^{\prime }=2{\omega }_0$ để tìm hệ số tỉ lệ $k$.

(a) Các phần tử mạch cần thay đổi:

Tần số góc cộng hưởng của mạch RLC nối tiếp được xác định bởi biểu thức

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Đại lượng này chỉ phụ thuộc vào độ tự cảm $L$ của và $C$ của tụ điện, hoàn toàn không phụ thuộc vào thuần $R$ của mạch. Do đó, để thay đổi tần số góc cộng hưởng, các phần tử thích hợp cần thay đổi là cuộn cảm (độ tự cảm $L$) và tụ điện (điện dung $C$), trong khi điện trở thuần $R$ được giữ nguyên.

(b) Tỉ lệ thay đổi cần thiết:

Giả sử ta thay đổi cả độ tự cảm và theo cùng một thừa số tỉ lệ dương $k$, nghĩa là

$$L^{\prime }=kL\text{and}{C}^{\prime }=kC.$$

Tần số góc cộng hưởng mới của mạch sẽ là

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0^{\prime }& =\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{(kL)(kC)}}=\frac{{\omega }_0}{k}.\end{array}$$

Theo yêu cầu đề bài, tần số góc cộng hưởng mới phải tăng gấp đôi so với giá trị ban đầu, tức là

$${\omega }_0^{\prime }=2{\omega }_0$$

$$⟺\frac{{\omega }_0}{k}=2{\omega }_0.$$

Suy ra giá trị của thừa số tỉ lệ là

$$k=\frac{1}{2}=0,5.$$

Vậy ta cần giảm cả độ tự cảm $L$ và $C$ đi một nửa, tức là nhân giá trị của cả hai phần tử này với thừa số $1/2$ (hoặc $0,5$).

Bài tập 31.1–31.36

Vector quay và dòng điện xoay chiều

Bài tập 31: 1

Một bóng đèn đặc biệt có dây tóc rất mảnh và dễ đứt. Sợi dây tóc sẽ bị đứt nếu cường độ dòng điện chạy qua nó vượt quá $1,50\mathrm{A}$, dù chỉ trong một khoảnh khắc tức thời. Hãy tìm cường độ dòng điện hiệu dụng lớn nhất có thể cho chạy qua bóng đèn này mà không làm đứt dây tóc.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho dòng điện tức thời cực đại cho phép $I_{max}=1,50\mathrm{A}$. Cần tìm cường độ dòng điện hiệu dụng lớn nhất $I_{\mathrm{rms}}$.

Hướng đi:

• Vì dây tóc bị giới hạn bởi dòng tức thời, phải giới hạn biên độ $I$ trước khi đổi sang $I_{\mathrm{rms}}=I/\sqrt{2}$.

• Dùng định nghĩa cho dòng điện hình sin, $I_{\mathrm{rms}}=I_{max}/\sqrt{2}$.

hình sin biến thiên điều hòa theo thời gian với biên độ đỉnh bằng $I_{max}$. Để dòng điện không bao giờ vượt quá ngưỡng $1,50\mathrm{A}$, biên độ dòng điện cực đại không được vượt quá giá trị này:

$$I=1,50\mathrm{A}.$$

Cường độ dòng điện hiệu dụng lớn nhất tương ứng là

$$I_{\mathrm{rms}}=\frac{I}{\sqrt{2}}=1,06\mathrm{A}.$$

Bài tập 31: 2

Điện áp giữa hai cực của một nguồn điện xoay chiều biến thiên theo thời gian theo phương trình $v(t)=V\cos (\omega t)$ với biên độ điện áp là $V=45,0\mathrm{V}$. Hãy xác định. (a) Hiệu điện thế hiệu dụng $V_{\mathrm{rms}}$ giữa hai cực của nguồn điện.

(b) Hiệu điện thế trung bình $V_{\mathrm{av}}$ giữa hai cực của nguồn điện trong một chu kỳ hoàn chỉnh.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết biên độ điện áp $V=45,0\mathrm{V}$. Tìm $V_{\mathrm{rms}}$ và điện áp trung bình $V_{\mathrm{av}}$.

Hướng đi:

• Vì điện áp hình sin đổi dấu đối xứng trong một chu kỳ, trung bình đại số bằng không, còn được tính từ trung bình bình phương.

• Dùng hệ thức liên hệ giữa và biên độ, $V_{\mathrm{rms}}=V/\sqrt{2}$.

• Dùng tính chất đối xứng của hàm cosin trong một chu kỳ để xác định giá trị trung bình theo thời gian.

(a) Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai cực của nguồn điện bằng

$$V_{\mathrm{rms}}=\frac{V}{\sqrt{2}}=31,8\mathrm{V}.$$

(b) Hiệu điện thế trung bình theo thời gian trong một chu kỳ hoàn chỉnh:

$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{av}}& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}V\cos (\omega t)dt\\ & =0\mathrm{V}.\end{array}$$

Hàm cosin dao động đối xứng qua trục hoành, nửa chu kỳ mang giá trị dương và nửa chu kỳ mang giá trị âm với độ lớn như nhau, do đó giá trị trung bình đại số luôn bằng không.

Điện trở và cảm kháng, dung kháng

Bài tập 31: 3

Một thuần có độ tự cảm $L=9,50\mathrm{mH}$ được mắc vào hai đầu một nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $45,0\mathrm{V}$.

(a) Góc lệch pha $\varphi$ của điện áp nguồn so với dòng điện bằng bao nhiêu? Điện áp nguồn sớm pha hay trễ pha hơn dòng điện?

(b) Tần số của nguồn điện phải bằng bao nhiêu để biên độ dòng điện trong mạch đạt $3,90\mathrm{A}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $L=9,50\times {10}^{-3}\mathrm{H}$, $V=45,0\mathrm{V}$. Cần tìm góc pha $\varphi$ và tần số $f$ để biên độ dòng điện đạt $I=3,90\mathrm{A}$.

Hướng đi:

• Vì mạch chỉ có lý tưởng, dùng $V=I{X}_L$ với $X_L=2\pi fL$ và điện áp sớm dòng một phần tư chu kỳ.

• Dùng quan hệ pha trên thuần: Điện áp sớm pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện.

• Dùng hệ thức biên độ $V=I{X}_L$ và công thức $X_L=2\pi fL$ để tính tần số $f$.

(a) Đối với thuần, điện áp luôn sớm pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với cường độ dòng điện. Do đó:

$$\varphi =+90,0^{\circ }=+\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}.$$

Điện áp nguồn sớm pha hơn dòng điện một góc $90,0^{\circ }$.

(b) của để có biên độ dòng điện $I=3,90\mathrm{A}$ là

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\frac{V}{I}\\ & =\frac{45,0\mathrm{V}}{3,90\mathrm{A}}\\ & =11,54\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Mặt khác, liên hệ với tần số qua hệ thức $X_L=2\pi fL$. Suy ra tần số cần tìm là

$$f=\frac{X_L}{2\pi L}=193\mathrm{Hz}.$$

Bài tập 31: 4

Một được mắc vào hai đầu nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $60,0\mathrm{V}$ và tần số $80,0\mathrm{Hz}$.

(a) Góc lệch pha $\varphi$ của điện áp nguồn so với dòng điện bằng bao nhiêu? Điện áp nguồn sớm pha hay trễ pha hơn dòng điện?

(b) $C$ của tụ điện bằng bao nhiêu nếu biên độ dòng điện chạy trong mạch là $5,30\mathrm{A}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $V=60,0\mathrm{V}$, $f=80,0\mathrm{Hz}$, $I=5,30\mathrm{A}$. Tìm góc lệch pha $\varphi$ và $C$.

Hướng đi:

• Vì mạch chỉ có lý tưởng, dùng $V=I{X}_C$ với $X_C=1/(2\pi fC)$ và điện áp trễ dòng một phần tư chu kỳ.

• Dùng tính chất pha của : Điện áp trễ pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện.

• Dùng định luật Ohm cho $V=I{X}_C$ và công thức $X_C=1/(2\pi fC)$.

(a) Đối với thuần dung, điện áp trễ pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với cường độ dòng điện. Do đó:

$$\varphi =-90,0^{\circ }=-\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}.$$

Điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện một góc $90,0^{\circ }$.

(b) của là

$$\begin{array}{rl}{X}_C& =\frac{V}{I}\\ & =\frac{60,0\mathrm{V}}{5,30\mathrm{A}}\\ & =11,32\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

của tụ điện bằng

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{1}{2\pi f{X}_C}\\ & =1,76\times {10}^{-4}\mathrm{F}\\ & =176\mu \mathrm{F}.\end{array}$$

Bài tập 31: 5

(a) của một $3,00\mathrm{H}$ ở tần số $80,0\mathrm{Hz}$ bằng bao nhiêu?

(b) Độ tự cảm của một có $120\mathrm{\Omega }$ ở tần số $80,0\mathrm{Hz}$ bằng bao nhiêu?

(c) của một $4,00\mu \mathrm{F}$ ở tần số $80,0\mathrm{Hz}$ bằng bao nhiêu?

(d) của một tụ điện có $120\mathrm{\Omega }$ ở tần số $80,0\mathrm{Hz}$ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát của và ở tần số $f=80,0\mathrm{Hz}$.

Hướng đi:

• Vì tăng theo tần số còn giảm theo tần số, dùng riêng $X_L=2\pi fL$ và $X_C=1/(2\pi fC)$ cho từng phần tử.

• Dùng công thức $X_L=2\pi fL$.

• Dùng công thức $X_C=1/(2\pi fC)$.

(a) của $L=3,00\mathrm{H}$ là

$$X_L=2\pi fL=1510\mathrm{\Omega }=1,51\mathrm{k}\mathrm{\Omega }.$$

(b) Độ tự cảm để có $X_L=120\mathrm{\Omega }$ bằng

$$L=\frac{X_L}{2\pi f}=\mathrm{0,239}\mathrm{H}.$$

(c) của $C=4,00\times {10}^{-6}\mathrm{F}$ là

$$X_C=\frac{1}{2\pi fC}=497\mathrm{\Omega }.$$

(d) của tụ điện để có $X_C=120\mathrm{\Omega }$ bằng

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{1}{2\pi f{X}_C}\\ & =1,66\times {10}^{-5}\mathrm{F}\\ & =16,6\mu \mathrm{F}.\end{array}$$

Bài tập 31: 6

Một có điện dung $C$ và một có độ tự cảm $L$ được cho hoạt động ở cùng một tần số góc $\omega$.

(a) Ở tần số góc nào thì của bằng của ?

(b) Nếu $L=5,00\mathrm{mH}$ và $C=3,50\mu \mathrm{F}$, hãy tìm giá trị bằng số của tần số góc ở câu (a) và giá trị của mỗi phần tử khi đó.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tìm điều kiện tần số góc $\omega$ để $X_L=X_C$, tính giá trị cụ thể khi $L=5,00\mathrm{mH}$ và $C=3,50\mu \mathrm{F}$.

Hướng đi:

• Vì yêu cầu hai điện kháng bằng nhau, giải $\omega L=1/(\omega C)$ trên miền $\omega >0$.

• Cho $X_L=X_C⟺\omega L=1/(\omega C)$ và giải tìm $\omega$.

• Thay số để tính tần số góc và $X=\omega L$.

(a) bằng khi và chỉ khi

$$X_L=X_C$$

$$\omega L=\frac{1}{\omega C}$$

$${\omega }^2=\frac{1}{LC}$$

$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

(b) Thay các giá trị $L=5,00\times {10}^{-3}\mathrm{H}$ và $C=3,50\times {10}^{-6}\mathrm{F}$:

$$\begin{array}{rl}\omega & =\frac{1}{\sqrt{LC}}\\ & =7559\mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ & =7,56\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

của mỗi phần tử tại tần số góc này là

$$X=\omega L=37,8\mathrm{\Omega }.$$

Bài tập 31: 7

(a) Hãy tính của một $\mathrm{0,450}\mathrm{H}$ ở hai tần số $60,0\mathrm{Hz}$ và $600\mathrm{Hz}$.

(b) Hãy tính của một $2,50\mu \mathrm{F}$ ở hai tần số trên.

(c) Ở tần số nào thì của $\mathrm{0,450}\mathrm{H}$ bằng đúng của $2,50\mu \mathrm{F}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $L=\mathrm{0,450}\mathrm{H}$ và $C=2,50\times {10}^{-6}\mathrm{F}$. Tính $X_L$ và $X_C$ ở $60,0\mathrm{Hz}$ và $600\mathrm{Hz}$, sau đó tìm tần số để hai bằng nhau.

Hướng đi:

• Vì hai phần tử hoạt động ở cùng tần số, có thể so sánh trực tiếp $X_L$ và $X_C$ rồi tìm điều kiện chúng bằng nhau.

• Áp dụng trực tiếp $X_L=2\pi fL$ và $X_C=1/(2\pi fC)$.

• Tìm tần số cộng hưởng $f=1/(2\pi \sqrt{LC})$.

(a) của :

• Ở tần số $f=60,0\mathrm{Hz}$:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =2\pi (60,0\mathrm{Hz})(\mathrm{0,450}\mathrm{H})\\ & =170\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

• Ở tần số $f=600\mathrm{Hz}$:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =2\pi (600\mathrm{Hz})(\mathrm{0,450}\mathrm{H})\\ & =1700\mathrm{\Omega }\\ & =1,70\mathrm{k}\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(b) của :

• Ở tần số $f=60,0\mathrm{Hz}$:

$$\begin{array}{rl}{X}_C& =\frac{1}{2\pi fC}\\ & =1060\mathrm{\Omega }\\ & =1,06\mathrm{k}\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

• Ở tần số $f=600\mathrm{Hz}$:

$$X_C=\frac{1}{2\pi fC}=106\mathrm{\Omega }.$$

(c) Tần số để bằng là

$$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=150\mathrm{Hz}.$$

Bài tập 31: 8

Một trong mạch máy thu vô tuyến có độ tự cảm $L=\mathrm{0,450}\mathrm{mH}$. Người ta muốn biên độ dòng điện chạy qua cuộn cảm bằng $1,80\mathrm{mA}$ khi đặt vào hai đầu cuộn cảm một điện áp hình sin có biên độ $12,0\mathrm{V}$. Hỏi tần số của nguồn điện phải bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $L=\mathrm{0,450}\times {10}^{-3}\mathrm{H}$, biên độ dòng điện $I=1,80\times {10}^{-3}\mathrm{A}$ và biên độ điện áp $V=12,0\mathrm{V}$. Cần tìm tần số $f$.

Hướng đi:

• Vì điện áp đặt trực tiếp trên , dùng $V=I\omega L$ để suy ra tần số cần thiết.

• Dùng định luật Ohm cho thuần, $X_L=V/I$.

• Dùng công thức định nghĩa , $f=X_L/(2\pi L)$.

cần thiết của là

$$X_L=\frac{V}{I}=6667\mathrm{\Omega }.$$

Tần số của điện áp đặt vào là

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{X_L}{2\pi L}\\ & =2,36\times {10}^6\mathrm{Hz}\\ & =2,36\mathrm{MHz}.\end{array}$$

Bài tập 31: 9

Một có độ tự cảm $L=\mathrm{0,180}\mathrm{H}$ được mắc nối tiếp với một thuần $R=90,0\mathrm{\Omega }$ và một nguồn điện xoay chiều. Điện áp tức thời giữa hai đầu cuộn cảm biến thiên theo thời gian theo phương trình

$$v_L(t)=-(12,0\mathrm{V})\sin (\omega t).$$

(a) Hãy thiết lập biểu thức điện áp tức thời $v_R(t)$ giữa hai đầu .

(b) Tính giá trị của $v_R$ tại thời điểm $t=2,00\mathrm{ms}$. Ở đây $\omega =480\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch gồm $L=\mathrm{0,180}\mathrm{H}$ nối tiếp $R=90,0\mathrm{\Omega }$. Cho $v_L(t)=-(12,0\mathrm{V})\sin (\omega t)$. Tìm biểu thức $v_R(t)$ và tính giá trị tại $t=2,00\mathrm{ms}$.

Hướng đi:

• Vì các phần tử nối tiếp có cùng dòng điện, suy dòng từ $v_L=Ldi/dt$ rồi dùng $v_R=Ri$ để giữ đúng pha và gốc thời gian.

• Tính $X_L=\omega L$ và tìm biên độ dòng điện $I=V_L/X_L$.

• Dùng quan hệ pha: Điện áp trên sớm pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện, trong khi điện áp trên cùng pha với dòng điện.

• Thay thời điểm $t=2,00\times {10}^{-3}\mathrm{s}$ vào hàm cosin để tính điện áp tức thời.

(a) của là

$$X_L=\omega L=86,4\mathrm{\Omega }.$$

Biên độ điện áp trên là $V_L=12,0\mathrm{V}$. Biên độ dòng điện chạy trong mạch bằng

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_L}{X_L}\\ & =\frac{12,0\mathrm{V}}{86,4\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,138}9\mathrm{A}.\end{array}$$

Biên độ điện áp giữa hai đầu là

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR\\ & =(\mathrm{0,138}9\mathrm{A})(90,0\mathrm{\Omega })\\ & =12,5\mathrm{V}.\end{array}$$

Về mặt pha, biến đổi phương trình điện áp về dạng chuẩn cosin:

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =-V_L\sin (\omega t)\\ & =V_L\cos (\omega t+\frac{\pi }{2}).\end{array}$$

Vì điện áp trên sớm pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với dòng điện, dòng điện trong mạch có dạng $i(t)=I\cos (\omega t)$. Điện áp trên thuần luôn cùng pha với dòng điện, do đó:

$$v_R(t)=(12,5\mathrm{V})\cos (\omega t).$$

(b) Tại thời điểm $t=2,00\mathrm{ms}=2,00\times {10}^{-3}\mathrm{s}$:

Góc pha bằng

$$\begin{array}{rl}\omega t& =480(2,00\times {10}^{-3})\mathrm{rad}\\ & =\mathrm{0,960}\mathrm{rad}.\end{array}$$

Giá trị điện áp tức thời trên là

$$v_R=V_R\cos (\omega t)=7,17\mathrm{V}.$$

Bài tập 31: 10

Một thuần $R=250\mathrm{\Omega }$ được mắc nối tiếp với một có điện dung $C=4,80\mu \mathrm{F}$ và một nguồn điện xoay chiều. Điện áp tức thời giữa hai bản tụ điện biến thiên theo phương trình

$$v_C(t)=(7,60\mathrm{V})\sin (\omega t).$$

(a) Hãy xác định của .

(b) Hãy thiết lập biểu thức điện áp tức thời $v_R(t)$ giữa hai đầu . Ở đây $\omega =120\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch $R-C$ nối tiếp với $R=250\mathrm{\Omega }$, $C=4,80\mu \mathrm{F}$, $v_C(t)=(7,60\mathrm{V})\sin (\omega t)$. Tìm $X_C$ và biểu thức $v_R(t)$.

Hướng đi:

• Vì dòng qua tụ thỏa $i=Cd{v}_C/dt$, lấy điện áp tụ để xác định pha của dòng và của điện áp .

• Dùng công thức $X_C=1/(\omega C)$.

• Tính biên độ dòng điện $I=V_C/X_C$ và biên độ điện áp trên $V_R=IR$.

• Dùng quan hệ pha: Điện áp trên trễ pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện và điện áp trên .

(a) của bằng

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=1740\mathrm{\Omega }.$$

(b) Biên độ dòng điện chạy qua mạch là

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_C}{X_C}\\ & =\frac{7,60\mathrm{V}}{1736\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{4,378}\times {10}^{-3}\mathrm{A}.\end{array}$$

Biên độ điện áp giữa hai đầu bằng

$$V_R=IR=1,09\mathrm{V}.$$

Biến đổi phương trình điện áp của về hàm cosin chuẩn:

$$\begin{array}{rl}{v}_C(t)& =V_C\sin (\omega t)\\ & =V_C\cos (\omega t-\frac{\pi }{2}).\end{array}$$

Vì điện áp trên trễ pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với cường độ dòng điện, dòng điện trong mạch sớm pha hơn tụ điện ${90}^{\circ }$, tức là có dạng $i(t)=I\cos (\omega t)$. Điện áp trên cùng pha với dòng điện, suy ra:

$$v_R(t)=(1,09\mathrm{V})\cos (\omega t).$$

Bài tập 31: 11

Một thuần $R=150\mathrm{\Omega }$ được mắc nối tiếp với một có độ tự cảm $L=\mathrm{0,250}\mathrm{H}$ và một nguồn điện xoay chiều. Điện áp tức thời giữa hai đầu điện trở có biểu thức

$$v_R(t)=(3,80\mathrm{V})\cos (\omega t).$$

(a) Hãy thiết lập biểu thức cường độ dòng điện $i(t)$ chạy trong mạch.

(b) Xác định của .

(c) Hãy thiết lập biểu thức điện áp tức thời $v_L(t)$ giữa hai đầu . Ở đây $\omega =720\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch $R-L$ nối tiếp với $R=150\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,250}\mathrm{H}$, $v_R(t)=(3,80\mathrm{V})\cos (\omega t)$. Tìm $i(t)$, $X_L$ và $v_L(t)$.

Hướng đi:

• Vì $v_R=Ri$, điện áp cho trực tiếp dòng tức thời. Sau đó dùng $v_L=Ldi/dt$ để xác định điện áp .

• Cường độ dòng điện cùng pha với $v_R(t)$, có biên độ $I=V_R/R$.

• Tính $X_L=\omega L$.

• Biên độ $V_L=I{X}_L$, điện áp sớm pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện.

(a) Cường độ dòng điện trong mạch cùng pha với điện áp trên thuần. Biên độ dòng điện là

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_R}{R}\\ & =\frac{3,80\mathrm{V}}{150\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,025}3\mathrm{A}\\ & =25,3\mathrm{mA}.\end{array}$$

Biểu thức cường độ dòng điện tức thời là

$$i(t)=(\mathrm{0,025}3\mathrm{A})\cos (\omega t).$$

(b) của bằng

$$X_L=\omega L=180\mathrm{\Omega }.$$

(c) Biên độ điện áp giữa hai đầu là

$$V_L=I{X}_L=4,56\mathrm{V}.$$

Điện áp trên thuần sớm pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với cường độ dòng điện:

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =V_L\cos (\omega t+\frac{\pi }{2})\\ & =-(4,56\mathrm{V})\sin (\omega t).\end{array}$$

Mạch R-L-C nối tiếp

Bài tập 31: 12

Người ta có một $R=200\mathrm{\Omega }$, một $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$ và một $C=6,00\mu \mathrm{F}$. Giả sử mắc nối tiếp điện trở và cuộn cảm (chưa dùng tụ điện) vào một nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $30,0\mathrm{V}$ và tần số góc $250\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

(a) của mạch bằng bao nhiêu?

(b) Biên độ của dòng điện chạy trong mạch bằng bao nhiêu?

(c) Biên độ điện áp giữa hai đầu và giữa hai đầu bằng bao nhiêu?

(d) Góc lệch pha $\varphi$ của điện áp nguồn so với dòng điện bằng bao nhiêu? Điện áp nguồn sớm pha hay trễ pha hơn dòng điện?

(e) Hãy dựng giản đồ vector quay cho mạch điện này.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch gồm $R=200\mathrm{\Omega }$ và $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$ mắc nối tiếp với nguồn có $V=30,0\mathrm{V}$, $\omega =250\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Tìm $Z$, $I$, $V_R$, $V_L$, $\varphi$ và mô tả giản đồ vector quay.

Hướng đi:

• Vì điện áp R và L vuông pha, dùng tam giác vector để tính $Z$, biên độ nguồn và góc pha.

• Tính $X_L=\omega L$, sau đó tính mạch $R-L$ qua công thức $Z=\sqrt{R^2+X_L^2}$.

• Dùng định luật Ohm $I=V/Z$ để tìm biên độ dòng điện.

• Tính các biên độ thành phần $V_R=IR$ và $V_L=I{X}_L$.

• Dùng công thức góc pha $\tan \varphi =X_L/R$.

(a) của là

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =(250\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,400}\mathrm{H})\\ & =100\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

toàn mạch bằng

$$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=224\mathrm{\Omega }.$$

(b) Biên độ dòng điện chạy trong mạch là

$$I=\frac{V}{Z}=\mathrm{0,134}\mathrm{A}.$$

(c) Biên độ điện áp giữa hai đầu từng phần tử:

• Trên :

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR\\ & =(\mathrm{0,134}2\mathrm{A})(200\mathrm{\Omega })\\ & =26,8\mathrm{V}.\end{array}$$

• Trên :

$$\begin{array}{rl}{V}_L& =I{X}_L\\ & =(\mathrm{0,134}2\mathrm{A})(100\mathrm{\Omega })\\ & =13,4\mathrm{V}.\end{array}$$

(d) Góc lệch pha của điện áp nguồn so với cường độ dòng điện là

$$\begin{array}{rl}\tan \varphi & =\frac{X_L}{R}\\ & =\frac{100\mathrm{\Omega }}{200\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,500}\\ & ⟹\varphi \\ & =+26,6^{\circ }.\end{array}$$

Điện áp nguồn sớm pha hơn dòng điện một góc $26,6^{\circ }$.

(e) Mô tả giản đồ vector quay: Trục chuẩn nằm ngang là hướng của vector biên độ dòng điện $\overrightarrow{I}$. Vector điện áp trên ${\overrightarrow{V}}_R$ có độ dài $26,8\mathrm{V}$ nằm dọc theo trục ngang cùng hướng với $\overrightarrow{I}$. Vector điện áp trên ${\overrightarrow{V}}_L$ có độ dài $13,4\mathrm{V}$ vuông góc với $\overrightarrow{I}$ và hướng thẳng đứng lên trên. Vector điện áp nguồn $\overrightarrow{V}$ là đường chéo hình chữ nhật tạo bởi ${\overrightarrow{V}}_R$ và ${\overrightarrow{V}}_L$, có độ dài $30,0\mathrm{V}$ và hợp với trục ngang một góc $26,6^{\circ }$ hướng lên trên.

Giản đồ pha lời giải 31.12: Điện áp nguồn là tổng vector của điện áp R và L

Bài tập 31: 13

Mắc nối tiếp cả ba linh kiện gồm , và đã mô tả ở Bài tập 31.12 ($R=200\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$, $C=6,00\mu \mathrm{F}$) vào cùng nguồn điện xoay chiều có $V=30,0\mathrm{V}$ và $\omega =250\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

(a) của mạch lúc này bằng bao nhiêu?

(b) Biên độ của dòng điện chạy trong mạch bằng bao nhiêu?

(c) Góc lệch pha $\varphi$ của điện áp nguồn so với dòng điện bằng bao nhiêu? Điện áp nguồn sớm pha hay trễ pha hơn dòng điện?

(d) Biên độ điện áp giữa hai đầu , và bằng bao nhiêu?

(e) Hãy giải thích tại sao biên độ điện áp giữa hai bản lại có thể lớn hơn cả biên độ điện áp của nguồn điện.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp với $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$, $C=6,00\times {10}^{-6}\mathrm{F}$, nguồn $V=30,0\mathrm{V}$, $\omega =250\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Tìm $Z$, $I$, $\varphi$, các điện áp thành phần và giải thích hiện tượng $V_C>V$.

Hướng đi:

• Vì điện áp L và C ngược pha còn điện áp R vuông pha với chúng, phải tổng hợp bằng hiệu $X_L-X_C$, không cộng các điện kháng như .

• Tính $X_C=1/(\omega C)$ và toàn mạch $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$.

• Dùng $I=V/Z$ để tìm biên độ dòng điện.

• Dùng công thức góc pha $\tan \varphi =(X_L-X_C)/R$.

• Tính $V_R$, $V_L$, $V_C$ và giải thích bản chất tổng vector quay.

(a) Ta đã có $X_L=100\mathrm{\Omega }$. của là

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=667\mathrm{\Omega }.$$

Hiệu số phản kháng là

$$X_L-X_C=100\mathrm{\Omega }-666,7\mathrm{\Omega }=-566,7\mathrm{\Omega }.$$

toàn phần của mạch RLC nối tiếp bằng

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}=601\mathrm{\Omega }.$$

(b) Biên độ dòng điện chạy qua mạch là

$$I=\frac{V}{Z}=\mathrm{0,049}9\mathrm{A}=49,9\mathrm{mA}.$$

(c) Góc lệch pha giữa điện áp nguồn và dòng điện:

$$\begin{array}{rl}\tan \varphi & =\frac{X_L-X_C}{R}\\ & =\frac{-566,7\mathrm{\Omega }}{200\mathrm{\Omega }}\\ & =-\mathrm{2,833}\\ & ⟹\varphi \\ & =-70,6^{\circ }.\end{array}$$

Điện áp nguồn trễ pha hơn cường độ dòng điện một góc $70,6^{\circ }$.

(d) Biên độ điện áp giữa hai đầu từng phần tử:

• Trên :

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR\\ & =(\mathrm{0,049}92\mathrm{A})(200\mathrm{\Omega })\\ & =9,98\mathrm{V}.\end{array}$$

• Trên :

$$\begin{array}{rl}{V}_L& =I{X}_L\\ & =(\mathrm{0,049}92\mathrm{A})(100\mathrm{\Omega })\\ & =4,99\mathrm{V}.\end{array}$$

• Trên :

$$\begin{array}{rl}{V}_C& =I{X}_C\\ & =(\mathrm{0,049}92\mathrm{A})(666,7\mathrm{\Omega })\\ & =33,3\mathrm{V}.\end{array}$$

(e) Biên độ điện áp trên ($V_C=33,3\mathrm{V}$) hoàn toàn có thể lớn hơn biên độ của nguồn ($V=30,0\mathrm{V}$) vì điện áp trên và trên tụ điện ngược pha nhau ${180}^{\circ }$. Chúng có xu hướng triệt tiêu lẫn nhau tại mọi thời điểm, nên điện áp toàn phần của nguồn bằng tổng vector:

$$\begin{array}{rl}V& =\sqrt{V_R^2+(V_L-V_C{)}^2}\\ & =\sqrt{9,{98}^2+(-28,29{)}^2}\mathrm{V}\\ & =30,0\mathrm{V}.\end{array}$$

Phần điện áp phản kháng bù trừ làm giảm điện áp tổng hợp cần cấp từ nguồn, cho phép điện áp riêng phần trên vượt qua điện áp của nguồn.

Bài tập 31: 14

Một $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,900}\mathrm{H}$ và $C=6,00\mu \mathrm{F}$ được mắc nối tiếp vào một nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $V=30,0\mathrm{V}$ và tần số góc $\omega =250\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

(a) Hãy xác định các điện áp tức thời $v$, $v_R$, $v_L$ và $v_C$ tại thời điểm $t=20,0\mathrm{ms}$. So sánh tổng $v_R+v_L+v_C$ với $v$ tại thời điểm này.

(b) Hãy xác định các biên độ điện áp $V_R$, $V_L$ và $V_C$. So sánh $V$ với tổng $V_R+V_L+V_C$ và giải thích sự khác biệt.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp với $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,900}\mathrm{H}$, $C=6,00\mu \mathrm{F}$, $V=30,0\mathrm{V}$, $\omega =250\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Tính các điện áp tức thời tại $t=20,0\mathrm{ms}$ và so sánh các biên độ điện áp.

Hướng đi:

• Vì định luật Kirchhoff áp dụng cho giá trị tức thời, cần giữ cùng gốc pha cho mọi điện áp rồi so sánh tổng tại đúng thời điểm đã cho.

• Tính $X_L=\omega L$, $X_C=1/(\omega C)$, $Z$ và biên độ dòng điện $I$.

• Xác định góc lệch pha $\varphi$ và biểu thức tức thời $i(t)$, $v(t)$, $v_R(t)$, $v_L(t)$, $v_C(t)$.

• Thay số tại $t=20,0\times {10}^{-3}\mathrm{s}$ và kiểm chứng định luật Kirchhoff.

(a) Các thông số của mạch là

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =(250\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,900}\mathrm{H})\\ & =225\mathrm{\Omega },\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{X}_C& =\frac{1}{\omega C}\\ & =\frac{1}{250(6,00\times {10}^{-6})}\mathrm{\Omega }\\ & =667\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

$$X_L-X_C=225\mathrm{\Omega }-666,7\mathrm{\Omega }=-441,7\mathrm{\Omega }.$$

toàn phần của mạch bằng

$$Z=\sqrt{{200}^2+(-441,7{)}^2}\mathrm{\Omega }=485\mathrm{\Omega }.$$

Biên độ dòng điện chạy trong mạch là

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{Z}\\ & =\frac{30,0\mathrm{V}}{484,8\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,061}88\mathrm{A}.\end{array}$$

Góc lệch pha của điện áp nguồn so với dòng điện:

$$\begin{array}{rl}\tan \varphi & =\frac{-441,7\mathrm{\Omega }}{200\mathrm{\Omega }}\\ & =-\mathrm{2,208}\\ & ⟹\varphi \\ & =-65,{64}^{\circ }\\ & =-\mathrm{1,145}6\mathrm{rad}.\end{array}$$

Chọn gốc thời gian sao cho dòng điện có pha ban đầu bằng không, $i(t)=I\cos (\omega t)$. Khi đó:

$$v_R(t)=(IR)\cos (\omega t)=(12,38\mathrm{V})\cos (\omega t)$$

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =-(I{X}_L)\sin (\omega t)\\ & =-(13,92\mathrm{V})\sin (\omega t)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{v}_C(t)& =(I{X}_C)\sin (\omega t)\\ & =(41,25\mathrm{V})\sin (\omega t)\end{array}$$

$$v(t)=V\cos (\omega t+\varphi )=V\cos (\omega t+\varphi ).$$

Tại $t=20,0\mathrm{ms}=\mathrm{0,020}0\mathrm{s}$, góc pha là $\omega t=(250)(\mathrm{0,020}0)=5,00\mathrm{rad}$:

$$\begin{array}{rl}\cos (5,00\mathrm{rad})& =\mathrm{0,283}7,\\ & \sin (5,00\mathrm{rad})\\ & =-\mathrm{0,958}9.\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos (5,00-\mathrm{1,145}6)& =\cos (\mathrm{3,854}4\mathrm{rad})\\ & =-\mathrm{0,756}5.\end{array}$$

Tính các điện áp tức thời:

$$v=(30,0\mathrm{V})(-\mathrm{0,756}5)=-22,70\mathrm{V}.$$

$$v_R=(12,38\mathrm{V})(\mathrm{0,283}7)=3,51\mathrm{V}.$$

$$v_L=-(13,92\mathrm{V})(-\mathrm{0,958}9)=+13,35\mathrm{V}.$$

$$v_C=(41,25\mathrm{V})(-\mathrm{0,958}9)=-39,56\mathrm{V}.$$

Cộng các giá trị tức thời:

$$\begin{array}{rl}{v}_R+v_L+v_C& =(3,51+13,35-39,56)\mathrm{V}\\ & =-22,70\mathrm{V}\\ & =v.\end{array}$$

Tổng điện áp tức thời trên các phần tử luôn bằng chính xác điện áp tức thời của nguồn, thỏa mãn tuyệt đối định luật Kirchhoff tại mọi khoảnh khắc.

(b) Các biên độ điện áp là

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =12,4\mathrm{V},\\ & V_L\\ & =13,9\mathrm{V},\\ & V_C\\ & =41,2\mathrm{V}.\end{array}$$

Tổng đại số các biên độ bằng

$$V_R+V_L+V_C=67,5\mathrm{V}.$$

Tổng này lớn hơn rất nhiều so với biên độ của nguồn ($V=30,0\mathrm{V}$). Nguyên nhân là do các điện áp này lệch pha nhau và đạt giá trị cực đại ở các thời điểm hoàn toàn khác nhau. Ta không được cộng trực tiếp các biên độ đại số mà phải tổng hợp theo quy tắc hình học vector quay.

Bài tập 31: 15

Trong một mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, đo được giữa hai đầu thuần là $30,0\mathrm{V}$, giữa hai bản là $90,0\mathrm{V}$ và giữa hai đầu thuần là $50,0\mathrm{V}$. Hãy xác định điện áp hiệu dụng của nguồn điện xoay chiều cấp cho mạch.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $V_{R,\mathrm{rms}}=30,0\mathrm{V}$, $V_{L,\mathrm{rms}}=50,0\mathrm{V}$, $V_{C,\mathrm{rms}}=90,0\mathrm{V}$. Cần tìm của nguồn $V_{\mathrm{rms}}$.

Hướng đi:

• Vì cùng một hệ số $1/\sqrt{2}$ đổi mọi biên độ hình sin sang , tam giác điện áp vẫn áp dụng trực tiếp cho các số đo hiệu dụng.

• Dùng hệ thức tổng hợp vector cho các trong mạch RLC nối tiếp, $V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{a^2+(b-c{)}^2}$, với $a$, $b$, $c$ là điện áp hiệu dụng trên R, L, C. Đặt $a=30,0\mathrm{V}$, $b=50,0\mathrm{V}$ và $c=90,0\mathrm{V}$. Điện áp hiệu dụng của nguồn điện bằng

$$V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{a^2+(b-c{)}^2}=50,0\mathrm{V}.$$

Bài tập 31: 16

Một mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có các biên độ điện áp trên từng phần tử lần lượt là $V_L=180\mathrm{V}$, $V_C=120\mathrm{V}$ và $V_R=160\mathrm{V}$. Tại một thời điểm $t$, điện áp tức thời giữa hai đầu bằng $80,0\mathrm{V}$. Tại đúng thời điểm đó, điện áp tức thời giữa hai bản và giữa hai đầu bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $V_L=180\mathrm{V}$, $V_C=120\mathrm{V}$, $V_R=160\mathrm{V}$. Khi $v_L=80,0\mathrm{V}$, tìm $v_C$ và $v_R$.

Hướng đi:

• Vì điện áp L và C ngược pha, biết $v_L$ xác định được $v_C$. Điện áp R vuông pha nên dữ kiện chỉ xác định độ lớn và phải giữ cả hai dấu.

• Dùng tính chất ngược pha của và , $v_C/V_C=-v_L/V_L$.

• Dùng tính chất vuông pha giữa và , $(v_R/V_R{)}^2+(v_L/V_L{)}^2=1$.

(a) Điện áp trên luôn ngược pha ${180}^{\circ }$ so với điện áp trên thuần:

$$\frac{v_C}{V_C}=-\frac{v_L}{V_L}.$$

Suy ra điện áp tức thời trên tại thời điểm đó là

$$\text{v\_C = - le ft(frac{V\_C}{V\_L}right) v\_L = -53{,}3,mathrm V.}$$

(b) Điện áp trên thuần dao động vuông pha (${90}^{\circ }$) so với điện áp trên :

$${\left(\frac{v_R}{V_R}\right)}^2+{\left(\frac{v_L}{V_L}\right)}^2=1.$$

Suy ra độ lớn của điện áp tức thời trên bằng

$$\begin{array}{rl}|v_R|& =V_R\sqrt{1-{\left(\frac{v_L}{V_L}\right)}^2}\\ & =143\mathrm{V}.\end{array}$$

Do tính chất tuần hoàn, $v_R$ có thể nhận giá trị $+143\mathrm{V}$ hoặc $-143\mathrm{V}$ tùy thuộc vào chiều biến thiên của dòng điện tại thời điểm đang xét.

Bài tập 31: 17

Một mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp có biên độ điện áp của nguồn là $V=240\mathrm{V}$, biên độ điện áp trên là $V_L=310\mathrm{V}$ và trên là $V_C=180\mathrm{V}$. Hãy xác định góc lệch pha $\varphi$ giữa điện áp nguồn và dòng điện trong mạch.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $V=240\mathrm{V}$, $V_L=310\mathrm{V}$, $V_C=180\mathrm{V}$. Tìm góc lệch pha $\varphi$.

Hướng đi:

• Vì nguồn là tổng vector của $V_R$ và $V_L-V_C$, dùng định lý Pythagoras để tìm $V_R$ rồi xác định góc pha.

• Tìm biên độ điện áp trên từ hệ thức tam giác vuông $V^2=V_R^2+(V_L-V_C{)}^2$.

• Dùng công thức $\tan \varphi =(V_L-V_C)/V_R$ để xác định góc lệch pha.

Hiệu số biên độ điện áp phản kháng là

$$V_L-V_C=310\mathrm{V}-180\mathrm{V}=130\mathrm{V}.$$

Biên độ điện áp giữa hai đầu thuần bằng

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =\sqrt{V^2-(V_L-V_C{)}^2}\\ & =\sqrt{40700}\mathrm{V}\\ & =202\mathrm{V}.\end{array}$$

Góc lệch pha giữa điện áp nguồn và dòng điện được xác định bởi

$$\begin{array}{rl}\tan \varphi & =\frac{V_L-V_C}{V_R}\\ & =\frac{130\mathrm{V}}{201,7\mathrm{V}}\\ & =\mathrm{0,644}4.\end{array}$$

Suy ra:

$$\varphi =+32,8^{\circ }=+\mathrm{0,572}\mathrm{rad}.$$

Điện áp nguồn sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc $32,8^{\circ }$.

Công suất trong mạch điện xoay chiều

Bài tập 31: 18

Một thuần $R=300\mathrm{\Omega }$ và một thuần được mắc nối tiếp vào một nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $500\mathrm{V}$. Tốc độ tiêu tán điện năng thành nhiệt trên điện trở là $286\mathrm{W}$. Hãy xác định. (a) $Z$ của mạch điện.

(b) Biên độ điện áp $V_L$ giữa hai đầu .

(c) của mạch.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $R=300\mathrm{\Omega }$, $V=500\mathrm{V}$, $P_{\mathrm{av}}=286\mathrm{W}$. Mạch gồm $R$ và $L$ nối tiếp. Tìm $Z$, $V_L$ và $\cos \varphi$.

Hướng đi:

• Vì lý tưởng không tiêu tán công suất trung bình, công suất đã cho xác định dòng qua bằng $P=I^{2}R/2$.

• Từ công suất tiêu tán $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R$, tính biên độ dòng điện $I$.

• Tính $Z=V/I$.

• Tính $X_L=\sqrt{Z^2-R^2}$ và $V_L=I{X}_L$ (hoặc dùng $V_L=\sqrt{V^2-V_R^2}$).

• Tính $\cos \varphi =R/Z$.

(a) Công suất tiêu tán nhiệt trung bình trên liên hệ với biên độ dòng điện qua hệ thức:

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =\frac{1}{2}{I}^{2}R\\ & ⟹I\\ & =\sqrt{\frac{2P_{\mathrm{av}}}{R}}.\end{array}$$

Thay số:

$$\begin{array}{rl}I& =\sqrt{\frac{2(286\mathrm{W})}{300\mathrm{\Omega }}}\\ & =\mathrm{1,381}\mathrm{A}.\end{array}$$

toàn phần của mạch bằng

$$Z=\frac{V}{I}=362\mathrm{\Omega }.$$

(b) Biên độ điện áp giữa hai đầu là

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =IR\\ & =(\mathrm{1,381}\mathrm{A})(300\mathrm{\Omega })\\ & =414,2\mathrm{V}.\end{array}$$

Biên độ điện áp giữa hai đầu bằng

$$V_L=\sqrt{V^2-V_R^2}=280\mathrm{V}.$$

(c) của mạch là

$$\begin{array}{rl}\cos \varphi & =\frac{R}{Z}\\ & =\frac{300\mathrm{\Omega }}{362,1\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,828.}\end{array}$$

Bài tập 31: 19

Công suất tiêu thụ trung bình của một đầu đĩa CD hoạt động ở $120\mathrm{V}$ là $20,0\mathrm{W}$. Coi đầu đĩa CD này tương đương với một thuần, hãy tìm. (a) Công suất tức thời cực đại cung cấp cho đầu đĩa.

(b) Cường độ dòng điện hiệu dụng $I_{\mathrm{rms}}$.

(c) tương đương của đầu đĩa này.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tải thuần trở có $V_{\mathrm{rms}}=120\mathrm{V}$, $P_{\mathrm{av}}=20,0\mathrm{W}$. Tìm $p_{max}$, $I_{\mathrm{rms}}$ và $R$.

Hướng đi:

• Vì tải được coi là thuần trở, điện áp cùng pha với dòng. Công suất tức thời cực đại bằng hai lần công suất trung bình của sóng hình sin.

• Dùng công thức công suất tức thời trên thuần, $p(t)=2P_{\mathrm{av}}{\cos }^2(\omega t)$ để suy ra $p_{max}=2P_{\mathrm{av}}$.

• Dùng công thức $I_{\mathrm{rms}}=P_{\mathrm{av}}/V_{\mathrm{rms}}$.

• Dùng công thức $R=V_{\mathrm{rms}}^2/P_{\mathrm{av}}$.

(a) Đối với tải thuần trở, điện áp và dòng điện cùng pha. Công suất tức thời biến thiên theo hàm:

$$\begin{array}{rl}p(t)& =v(t)i(t)\\ & =2V_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}{\cos }^2(\omega t)\\ & =2P_{\mathrm{av}}{\cos }^2(\omega t).\end{array}$$

Giá trị cực đại của ${\cos }^2(\omega t)$ bằng 1, do đó công suất tức thời cực đại bằng

$$\begin{array}{rl}{p}_{max}& =2P_{\mathrm{av}}\\ & =2(20,0\mathrm{W})\\ & =40,0\mathrm{W}.\end{array}$$

(b) Cường độ dòng điện hiệu dụng chạy qua thiết bị là

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rms}}& =\frac{P_{\mathrm{av}}}{V_{\mathrm{rms}}}\\ & =\mathrm{0,167}\mathrm{A}.\end{array}$$

(c) tương đương của đầu đĩa bằng

$$R=\frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{P_{\mathrm{av}}}=720\mathrm{\Omega }.$$

Bài tập 31: 20

Trong một mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, các phần tử có thông số sau, $L=20,0\mathrm{mH}$, $C=140\mathrm{nF}$ và $R=350\mathrm{\Omega }$. Nguồn điện phát ra $120\mathrm{V}$ ở tần số $1,25\mathrm{kHz}$. Hãy xác định. (a) Công suất trung bình do nguồn điện cung cấp cho mạch.

(b) Công suất trung bình tiêu tán trên thuần.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $L=20,0\times {10}^{-3}\mathrm{H}$, $C=140\times {10}^{-9}\mathrm{F}$, $R=350\mathrm{\Omega }$, $V_{\mathrm{rms}}=120\mathrm{V}$, $f=1,25\times {10}^3\mathrm{Hz}$. Tìm công suất nguồn cấp và công suất tiêu tán trên $R$.

Hướng đi:

• Vì L và C lý tưởng không tiêu tán năng lượng sau một chu kỳ, công suất trung bình nguồn cấp bằng công suất Joule $I_{\mathrm{rms}}^{2}R$.

• Tính tần số góc $\omega =2\pi f$, $X_L=\omega L$, $X_C=1/(\omega C)$ và $Z$.

• Tính dòng điện hiệu dụng $I_{\mathrm{rms}}=V_{\mathrm{rms}}/Z$.

• Tính công suất trung bình $P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ và so sánh.

(a) Tần số góc của nguồn điện là

$$\omega =2\pi f=2\pi (1250\mathrm{Hz})=7854\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

và của mạch:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =(7854\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,020}0\mathrm{H})\\ & =157,1\mathrm{\Omega },\end{array}$$

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=909,5\mathrm{\Omega }.$$

$$X_L-X_C=157,1\mathrm{\Omega }-909,5\mathrm{\Omega }=-752,4\mathrm{\Omega }.$$

toàn phần của mạch bằng

$$Z=\sqrt{{350}^2+(-752,4{)}^2}\mathrm{\Omega }=830\mathrm{\Omega }.$$

Cường độ dòng điện hiệu dụng chạy qua mạch là

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rms}}& =\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z}\\ & =\frac{120\mathrm{V}}{829,8\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,144}6\mathrm{A}.\end{array}$$

Công suất trung bình do nguồn điện cung cấp bằng

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =I_{\mathrm{rms}}^{2}R\\ & =(\mathrm{0,144}6\mathrm{A}{)}^2(350\mathrm{\Omega })\\ & =7,32\mathrm{W}.\end{array}$$

(b) Trong mạch RLC nối tiếp lý tưởng, chỉ có thuần tiêu tán năng lượng điện thành nhiệt, còn và không tiêu thụ công suất tác dụng trung bình. Do đó công suất tiêu tán trên điện trở thuần bằng đúng công suất do nguồn cung cấp:

$$P_R=7,32\mathrm{W}.$$

Bài tập 31: 21

(a) Dựa vào giản đồ vector quay của mạch RLC nối tiếp, hãy chứng minh hệ thức $V\cos \varphi =IR$. Từ đó chứng minh công suất trung bình do nguồn cung cấp là $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$, và giải thích tại sao công suất trung bình tiêu thụ trên thuần và luôn bằng không.

(b) Trong một mạch điện RLC nối tiếp, biên độ điện áp nguồn là $120\mathrm{V}$, điện áp nguồn sớm pha hơn dòng điện một góc $53,1^{\circ }$ và công suất trung bình nguồn cung cấp là $80,0\mathrm{W}$. Hãy tìm thuần $R$ của mạch.

Hình 31.13: Hai giản đồ pha để chiếu điện áp nguồn lên phương dòng điện

Chú thích:

• Phần (a): Mạch RLC nối tiếp ((a) L-R-C series circuit)
• Phần (b): Giản đồ pha khi cảm kháng lớn hơn dung kháng ((b) Phasor diagram for the case XL > XC)
• Vector pha nguồn bằng tổng vector các điện áp điện trở, cuộn cảm và tụ (Source voltage phasor is the vector sum of the VR, VL, and VC phasors.)
• Vector điện áp cuộn cảm sớm vector dòng 90 độ (Inductor voltage phasor leads current phasor by 90°.)
• Mọi phần tử có chung vector pha dòng (All circuit elements have the same current phasor.)
• Vector điện áp tụ trễ vector dòng 90 độ, nên luôn ngược chiều vector điện áp cuộn cảm (Capacitor voltage phasor lags current phasor by 90°. It is thus always antiparallel to the VL phasor.)
• Vector điện áp điện trở cùng pha vector dòng (Resistor voltage phasor is in phase with current phasor.)
• Phần (c): Giản đồ pha khi cảm kháng nhỏ hơn dung kháng ((c) Phasor diagram for the case XL < XC)
• Khi cảm kháng nhỏ hơn dung kháng, điện áp nguồn trễ dòng và góc pha nằm giữa 0 và âm 90 độ (If XL < XC, the source voltage phasor lags the current phasor, X < 0, and φ is a negative angle between 0 and −90°.)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: (a) Chứng minh $V\cos \varphi =IR$ và $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R$. (b) Cho $V=120\mathrm{V}$, $\varphi =53,1^{\circ }$, $P_{\mathrm{av}}=80,0\mathrm{W}$, tìm $R$.

Hướng đi:

• Vì điện áp cùng hướng vector dòng điện, hình chiếu $V\cos \varphi$ bằng $IR$. Hệ thức này nối công suất nguồn với công suất Joule.

• (a) Dùng hình chiếu của vector điện áp nguồn $\overrightarrow{V}$ lên trục vector dòng điện $\overrightarrow{I}$ để rút ra $V\cos \varphi =V_R=IR$. Thay vào công thức công suất $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}VI\cos \varphi$.

• (b) Rút $R$ từ công thức $P_{\mathrm{av}}=(V\cos \varphi {)}^2/(2R)$.

(a) Trên giản đồ vector quay, vector điện áp nguồn $\overrightarrow{V}$ là tổng hợp của vector điện áp trên ${\overrightarrow{V}}_R$ và vector điện áp phản kháng ${\overrightarrow{V}}_L+{\overrightarrow{V}}_C$. Góc giữa $\overrightarrow{V}$ và vector dòng điện $\overrightarrow{I}$ là góc lệch pha $\varphi$.

Chiếu tam giác vector lên phương của trục dòng điện $\overrightarrow{I}$:

$$V\cos \varphi =V_R=IR.$$

Công suất trung bình do nguồn cung cấp được xác định bởi

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =\frac{1}{2}VI\cos \varphi \\ & =\frac{1}{2}I(V\cos \varphi )\\ & =\frac{1}{2}I(IR)\\ & =\frac{1}{2}{I}^{2}R\\ & =I_{\mathrm{rms}}^{2}R.\end{array}$$

Vì công suất do nguồn cung cấp bằng đúng tốc độ tỏa nhiệt trên thuần, công suất tiêu thụ trung bình trên thuần và bắt buộc phải bằng không. Các linh kiện phản kháng này nhận năng lượng điện từ nguồn để tích trữ vào điện trường hoặc từ trường trong một phần của chu kỳ dao động, rồi hoàn trả toàn bộ năng lượng đó về mạch trong phần chu kỳ còn lại mà không gây mất mát năng lượng không thuận nghịch.

(b) Từ hệ thức $I=(V\cos \varphi )/R$, thay vào biểu thức công suất:

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =\frac{1}{2}{\left(\frac{V\cos \varphi }{R}\right)}^{2}R\\ & =\frac{(V\cos \varphi {)}^2}{2R}.\end{array}$$

Suy ra thuần của mạch là

$$R=\frac{(V\cos \varphi {)}^2}{2P_{\mathrm{av}}}=32,4\mathrm{\Omega }.$$

Bài tập 31: 22

Một mạch điện gồm nguồn xoay chiều, một thuần và một mắc nối tiếp (không có ). Nguồn điện có biên độ điện áp $900\mathrm{V}$ và tần số góc $\omega =20,0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Biên độ điện áp giữa hai bản tụ điện là $500\mathrm{V}$. Điện trở có giá trị $R=300\mathrm{\Omega }$.

(a) Biên độ điện áp giữa hai đầu bằng bao nhiêu?

(b) $C$ của tụ điện bằng bao nhiêu?

(c) Điện áp nguồn sớm pha hay trễ pha hơn dòng điện?

(d) Công suất trung bình mà nguồn điện cung cấp cho mạch bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch $R-C$ nối tiếp với $V=900\mathrm{V}$, $\omega =20,0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $V_C=500\mathrm{V}$, $R=300\mathrm{\Omega }$. Tìm $V_R$, $C$, chiều lệch pha và $P_{\mathrm{av}}$.

Hướng đi:

• Vì mạch RC có hai điện áp vuông pha, dùng tam giác điện áp để tìm dòng rồi suy từ $X_C=1/(\omega C)$.

• Dùng định lý Pythagore cho mạch $R-C$ để tìm $V_R$ từ hệ thức $V^2=V_R^2+V_C^2$.

• Tính biên độ dòng điện $I=V_R/R$, sau đó tính $X_C=V_C/I$ và $C=1/(\omega X_C)$.

• Xác định dấu của góc pha $\varphi =-\arctan (X_C/R)<0$.

• Tính công suất $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R$.

(a) Trong mạch $R-C$ nối tiếp, điện áp trên và trên vuông pha nhau:

$$\begin{array}{rl}{V}^2& =V_R^2+V_C^2\\ & ⟹V_R\\ & =\sqrt{V^2-V_C^2}.\end{array}$$

Thay số:

$$\begin{array}{rl}{V}_R& =\sqrt{{900}^2-{500}^2}\mathrm{V}\\ & =\sqrt{560000}\mathrm{V}\\ & =748\mathrm{V}.\end{array}$$

(b) Biên độ dòng điện chạy qua mạch bằng

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_R}{R}\\ & =\frac{748,33\mathrm{V}}{300\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{2,494}\mathrm{A}.\end{array}$$

của là

$$\begin{array}{rl}{X}_C& =\frac{V_C}{I}\\ & =\frac{500\mathrm{V}}{\mathrm{2,494}\mathrm{A}}\\ & =200,45\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

của tụ điện bằng

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{1}{\omega X_C}\\ & =2,49\times {10}^{-4}\mathrm{F}\\ & =249\mu \mathrm{F}.\end{array}$$

(c) Mạch chỉ chứa và , do đó $\tan \varphi =-X_C/R<0$, kéo theo $\varphi <0$. Điện áp nguồn trễ pha hơn cường độ dòng điện.

(d) Công suất trung bình nguồn cung cấp cho mạch bằng

$$P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R=933\mathrm{W}.$$

Bài tập 31: 23

Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có $L=\mathrm{0,120}\mathrm{H}$, $R=240\mathrm{\Omega }$ và $C=7,30\mu \mathrm{F}$ mang dòng điện hiệu dụng $\mathrm{0,450}\mathrm{A}$ ở tần số $400\mathrm{Hz}$.

(a) Góc lệch pha $\varphi$ và của mạch bằng bao nhiêu?

(b) của mạch bằng bao nhiêu?

(c) của nguồn điện bằng bao nhiêu?

(d) Công suất trung bình do nguồn điện cung cấp bằng bao nhiêu?

(e) Tốc độ chuyển hóa năng lượng điện thành nhiệt ở bằng bao nhiêu?

(f) Tốc độ tiêu tán điện năng thành các dạng năng lượng khác trong bằng bao nhiêu?

(g) Trong thì đại lượng này bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $L=\mathrm{0,120}\mathrm{H}$, $R=240\mathrm{\Omega }$, $C=7,30\times {10}^{-6}\mathrm{F}$, $I_{\mathrm{rms}}=\mathrm{0,450}\mathrm{A}$, $f=400\mathrm{Hz}$. Tính $\varphi$, $\cos \varphi$, $Z$, $V_{\mathrm{rms}}$, $P_{\mathrm{av}}$ và sự phân bố công suất tiêu tán.

Hướng đi:

• Vì dữ kiện cho , dùng trực tiếp $V_{\mathrm{rms}}=I_{\mathrm{rms}}Z$ và $P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$.

• Tính $\omega =2\pi f$, $X_L=\omega L$, $X_C=1/(\omega C)$.

• Tính $\tan \varphi =(X_L-X_C)/R$, $\cos \varphi$ và $Z$.

• Dùng $V_{\mathrm{rms}}=I_{\mathrm{rms}}Z$ và $P_{\mathrm{av}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$.

(a) Tần số góc của dòng điện là

$$\omega =2\pi f=2\pi (400\mathrm{Hz})=2513\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

và :

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =(2513,3\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,120}\mathrm{H})\\ & =301,6\mathrm{\Omega },\end{array}$$

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=54,5\mathrm{\Omega }.$$

$$X_L-X_C=301,6\mathrm{\Omega }-54,5\mathrm{\Omega }=247,1\mathrm{\Omega }.$$

Góc lệch pha giữa điện áp nguồn và dòng điện:

$$\begin{array}{rl}\tan \varphi & =\frac{X_L-X_C}{R}\\ & =\frac{247,1\mathrm{\Omega }}{240\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{1,030}\\ & ⟹\varphi \\ & =+45,8^{\circ }.\end{array}$$

của mạch là

$$\cos \varphi =\cos (45,{84}^{\circ })=\mathrm{0,697.}$$

(b) toàn mạch bằng

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}=344\mathrm{\Omega }.$$

(c) của nguồn điện là

$$V_{\mathrm{rms}}=I_{\mathrm{rms}}Z=155\mathrm{V}.$$

(d) Công suất trung bình do nguồn cung cấp bằng

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =I_{\mathrm{rms}}^{2}R\\ & =(\mathrm{0,450}\mathrm{A}{)}^2(240\mathrm{\Omega })\\ & =48,6\mathrm{W}.\end{array}$$

(e) Tốc độ chuyển hóa điện năng thành nhiệt trên thuần:

$$P_R=48,6\mathrm{W}.$$

(f) thuần dung không tiêu tán năng lượng, $P_C=0\mathrm{W}$.

(g) thuần không tiêu tán năng lượng, $P_L=0\mathrm{W}$.

Bài tập 31: 24

Một mạch điện RLC mắc nối tiếp được cấp điện bởi nguồn xoay chiều có tần số $120\mathrm{Hz}$ và $V_{\mathrm{rms}}=80,0\mathrm{V}$. Mạch có thuần $R=75,0\mathrm{\Omega }$ và ở tần số này là $Z=105\mathrm{\Omega }$. Hỏi công suất trung bình do nguồn điện cung cấp cho mạch bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $V_{\mathrm{rms}}=80,0\mathrm{V}$, $R=75,0\mathrm{\Omega }$, $Z=105\mathrm{\Omega }$. Cần tìm $P_{\mathrm{av}}$.

Hướng đi:

• Vì đã biết và , tìm dòng hiệu dụng trước rồi tính công suất trên , là phần tử tiêu tán của mạch.

• Dùng định luật Ohm $I_{\mathrm{rms}}=V_{\mathrm{rms}}/Z$ để tìm dòng điện hiệu dụng.

• Dùng công thức công suất $P_{\mathrm{av}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$.

Cường độ dòng điện hiệu dụng chạy qua mạch là

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rms}}& =\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z}\\ & =\frac{80,0\mathrm{V}}{105\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,761}9\mathrm{A}.\end{array}$$

Công suất trung bình do nguồn cung cấp cho toàn mạch bằng

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =I_{\mathrm{rms}}^{2}R\\ & =(\mathrm{0,761}9\mathrm{A}{)}^2(75,0\mathrm{\Omega })\\ & =43,5\mathrm{W}.\end{array}$$

Bài tập 31: 25

Một mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm một thuần $R=250\mathrm{\Omega }$, một $L=15\mathrm{mH}$, một $C=3,5\mu \mathrm{F}$ và một nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $45\mathrm{V}$ hoạt động ở tần số góc $\omega =360\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

(a) của mạch điện này bằng bao nhiêu?

(b) Tìm công suất trung bình do nguồn cung cấp cho toàn bộ mạch.

(c) Tìm công suất trung bình cung cấp cho từng phần tử gồm , và .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $R=250\mathrm{\Omega }$, $L=15\times {10}^{-3}\mathrm{H}$, $C=3,5\times {10}^{-6}\mathrm{F}$, $V=45\mathrm{V}$, $\omega =360\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Tìm $\cos \varphi$, $P_{\mathrm{av}}$ và công suất trên từng linh kiện.

Hướng đi:

• Vì điện áp đã cho là biên độ, hệ số $1/2$ phải có trong công suất $P=I^{2}R/2$.

• Tính $X_L=\omega L$, $X_C=1/(\omega C)$ và $Z$.

• Tính $\cos \varphi =R/Z$.

• Tính công suất toàn mạch $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R$.

(a) và của mạch:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =(360\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,015}\mathrm{H})\\ & =5,40\mathrm{\Omega },\end{array}$$

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=794\mathrm{\Omega }.$$

$$X_L-X_C=5,40\mathrm{\Omega }-793,65\mathrm{\Omega }=-788,3\mathrm{\Omega }.$$

toàn phần của mạch bằng

$$Z=\sqrt{{250}^2+(-788,3{)}^2}\mathrm{\Omega }=827\mathrm{\Omega }.$$

của mạch là

$$\begin{array}{rl}\cos \varphi & =\frac{R}{Z}\\ & =\frac{250\mathrm{\Omega }}{826,9\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,302.}\end{array}$$

(b) Biên độ dòng điện chạy qua mạch là

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{Z}\\ & =\frac{45\mathrm{V}}{826,9\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,054}42\mathrm{A}.\end{array}$$

Công suất trung bình do nguồn cung cấp cho toàn mạch bằng

$$P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R=\mathrm{0,370}\mathrm{W}.$$

(c) Phân bổ công suất trung bình:

• thuần tiêu thụ, $P_R=\mathrm{0,370}\mathrm{W}$.
• tiêu thụ, $P_C=0\mathrm{W}$.
• tiêu thụ, $P_L=0\mathrm{W}$.

Hiện tượng cộng hưởng trong mạch điện xoay chiều

Bài tập 31: 26

Trong một mạch điện RLC mắc nối tiếp, nguồn điện được cho hoạt động ở đúng tần số góc cộng hưởng của mạch. Tại tần số này, của là $X_C=200\mathrm{\Omega }$ và biên độ điện áp giữa hai bản tụ điện bằng $600\mathrm{V}$. Biết mạch có thuần $R=300\mathrm{\Omega }$, hãy xác định biên độ điện áp của nguồn điện.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch ở trạng thái cộng hưởng, $X_C=200\mathrm{\Omega }$, $V_C=600\mathrm{V}$, $R=300\mathrm{\Omega }$. Cần tìm biên độ điện áp nguồn $V$.

Hướng đi:

• Vì mạch cộng hưởng nối tiếp có $X_L=X_C$, tổng điện áp phản kháng triệt tiêu và $V=IR$.

• Tìm biên độ dòng điện qua , $I=V_C/X_C$.

• Ở trạng thái cộng hưởng, mạch đạt giá trị nhỏ nhất, $Z=R$.

• Tính biên độ điện áp nguồn $V=IR$.

Biên độ dòng điện chạy qua và cũng là dòng điện toàn mạch bằng

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_C}{X_C}\\ & =\frac{600\mathrm{V}}{200\mathrm{\Omega }}\\ & =3,00\mathrm{A}.\end{array}$$

Khi mạch hoạt động ở đúng tần số cộng hưởng, và triệt tiêu hoàn toàn tác dụng cản trở dòng điện của nhau ($X_L=X_C$), do đó toàn mạch bằng đúng thuần:

$$Z=R=300\mathrm{\Omega }.$$

Biên độ điện áp của nguồn điện bằng

$$V=IR=900\mathrm{V}.$$

Bài tập 31: 27

Khảo sát một mạch RLC: Người ta có một $R=200\mathrm{\Omega }$, một $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$, một $C=5,00\mu \mathrm{F}$ và một nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $3,00\mathrm{V}$ với tần số có thể điều chỉnh được. Nối cả bốn phần tử thành một mạch nối tiếp khép kín.

(a) Ở tần số nào thì dòng điện trong mạch đạt giá trị lớn nhất? Biên độ dòng điện tại tần số đó bằng bao nhiêu?

(b) Biên độ dòng điện sẽ bằng bao nhiêu ở tần số góc $400\mathrm{rad}/\mathrm{s}$? Tại tần số này, điện áp nguồn sớm pha hay trễ pha hơn dòng điện?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$, $C=5,00\times {10}^{-6}\mathrm{F}$, $V=3,00\mathrm{V}$. Tìm tần số và biên độ dòng điện khi cộng hưởng, sau đó xét tại $\omega =400\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Vì dòng đạt cực đại khi nhỏ nhất, trước hết xét cộng hưởng. Ở tần số khác, xét dấu $X_L-X_C$ để quyết định sớm hay trễ pha.

• (a) Dòng điện lớn nhất tại tần số cộng hưởng $f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})$, khi đó $I_{max}=V/R$.

• (b) Tại $\omega =400\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, tính $X_L$, $X_C$, $Z$ và $I=V/Z$, xét dấu của $X_L-X_C$.

(a) Cường độ dòng điện trong mạch đạt giá trị lớn nhất khi xảy ra hiện tượng , tương ứng với tần số góc:

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=707\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Tần số cộng hưởng tương ứng là

$$f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi }=113\mathrm{Hz}.$$

Biên độ dòng điện tại trạng thái cộng hưởng bằng

$$\begin{array}{rl}{I}_{max}& =\frac{V}{R}\\ & =\mathrm{0,015}0\mathrm{A}\\ & =15,0\mathrm{mA}.\end{array}$$

(b) Tại tần số góc $\omega =400\mathrm{rad}/\mathrm{s}$:

và của mạch:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =(400\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,400}\mathrm{H})\\ & =160\mathrm{\Omega },\end{array}$$

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=500\mathrm{\Omega }.$$

$$X_L-X_C=160\mathrm{\Omega }-500\mathrm{\Omega }=-340\mathrm{\Omega }.$$

toàn phần của mạch bằng

$$Z=\sqrt{(200\mathrm{\Omega }{)}^2+(-340\mathrm{\Omega }{)}^2}=394,5\mathrm{\Omega }.$$

Biên độ dòng điện tại tần số này là

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{Z}\\ & =7,61\times {10}^{-3}\mathrm{A}\\ & =7,61\mathrm{mA}.\end{array}$$

Vì $X_C>X_L$ ($X_L-X_C<0$), góc pha $\varphi <0$. Do đó điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện.

Bài tập 31: 28

Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp được tạo bởi thuần $R=175\mathrm{\Omega }$, $C=12,5\mu \mathrm{F}$ và $L=8,00\mathrm{mH}$ mắc vào một nguồn xoay chiều có biên độ điện áp $25,0\mathrm{V}$ với tần số có thể thay đổi.

(a) Ở tần số góc nào thì của mạch đạt giá trị nhỏ nhất, và trở kháng nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

(b) Tại tần số góc ở câu (a), biên độ dòng điện cực đại chạy qua bằng bao nhiêu?

(c) Tại tần số góc ở câu (a), hãy tìm hiệu điện thế tức thời giữa hai cực của nguồn điện, giữa hai đầu , giữa hai bản và giữa hai đầu tại thời điểm dòng điện bằng một nửa giá trị dương cực đại của nó.

(d) Ở câu (c), các hiệu điện thế tức thời trên , và liên hệ như thế nào với hiệu điện thế tức thời của nguồn điện?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $R=175\mathrm{\Omega }$, $C=12,5\times {10}^{-6}\mathrm{F}$, $L=8,00\times {10}^{-3}\mathrm{H}$, $V=25,0\mathrm{V}$. Tìm ${\omega }_0$, $Z_{min}$, $I$, các điện áp tức thời khi $i=I/2$ và quan hệ giữa chúng.

Hướng đi:

• Vì dòng bằng nửa cực đại tại hai thời điểm trong một chu kỳ, phải giữ cả hai dấu của điện áp vuông pha trên L và C.

• (a) nhỏ nhất $Z_{min}=R$ xảy ra ở tần số góc cộng hưởng ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$.

• (b) Tính $I=V/R$.

• (c) Tại cộng hưởng, dòng và áp cùng pha. Khi $i=I/2⟹\cos ({\omega }_{0}t)=1/2$. Tính $v_R$, $v_L$, $v_C$ và $v$.

(a) của mạch nối tiếp đạt giá trị nhỏ nhất khi xảy ra hiện tượng cộng hưởng:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =\frac{1}{\sqrt{LC}}\\ & =3162\mathrm{rad}/\mathrm{s}\\ & =3,16\times {10}^3\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Tại tần số này, triệt tiêu hoàn toàn , do đó nhỏ nhất của mạch bằng

$$Z_{min}=R=175\mathrm{\Omega }.$$

(b) Biên độ dòng điện lớn nhất chạy qua (và toàn mạch) là

$$I=\frac{V}{R}=\mathrm{0,143}\mathrm{A}.$$

(c) Ở trạng thái cộng hưởng, dòng điện và điện áp nguồn hoàn toàn cùng pha với nhau:

$$\begin{array}{rl}i(t)& =I\cos ({\omega }_{0}t),\\ & v(t)\\ & =V\cos ({\omega }_{0}t).\end{array}$$

Khi dòng điện bằng một nửa giá trị dương lớn nhất:

$$i=\frac{I}{2}⟹\cos ({\omega }_{0}t)=\frac{1}{2}.$$

Suy ra góc pha tức thời là ${\omega }_{0}t=\pi /3={60}^{\circ }$ (hoặc $-{60}^{\circ }$):

• Hiệu điện thế tức thời của nguồn điện:

$$\begin{array}{rl}v& =V\cos ({60}^{\circ })\\ & =(25,0\mathrm{V})(\mathrm{0,500})\\ & =12,5\mathrm{V}.\end{array}$$

• Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu thuần:

$$\begin{array}{rl}{v}_R& =iR\\ & =\left(\frac{I}{2}\right)R\\ & =\frac{V}{2}\\ & =12,5\mathrm{V}.\end{array}$$

• Hiệu điện thế tức thời giữa hai đầu : tại cộng hưởng là

$$X_L={\omega }_{0}L=(3162)(8,00\times {10}^{-3})=25,30\mathrm{\Omega }$$

Biên độ điện áp trên là

$$\begin{array}{rl}{V}_L& =I{X}_L\\ & =(\mathrm{0,142}9\mathrm{A})(25,30\mathrm{\Omega })\\ & =\mathrm{3,614}\mathrm{V}\end{array}$$

Vì điện áp sớm pha ${90}^{\circ }$ so với dòng điện, $v_L(t)=-V_L\sin ({\omega }_{0}t)$. Với $\sin (\pm {60}^{\circ })=\pm \sqrt{3}/2\approx \pm \mathrm{0,866}0$:

$$v_L=\mp (\mathrm{3,614}\mathrm{V})(\mathrm{0,866}0)=\mp 3,13\mathrm{V}.$$

• Hiệu điện thế tức thời giữa hai bản : Vì điện áp trên tụ điện luôn ngược pha ${180}^{\circ }$ so với điện áp :

$$v_C=-v_L=\pm 3,13\mathrm{V}.$$

(d) Mối liên hệ giữa các hiệu điện thế tức thời:

$$\begin{array}{rl}{v}_R+v_L+v_C& =(12,5\mp 3,13\pm 3,13)\mathrm{V}\\ & =12,5\mathrm{V}\\ & =v.\end{array}$$

Điện áp tức thời trên và triệt tiêu lẫn nhau tại mọi thời điểm, do đó điện áp tức thời trên thuần bằng chính xác điện áp tức thời của nguồn điện.

Bài tập 31: 29

Trong một mạch điện RLC mắc nối tiếp, các phần tử có giá trị $R=300\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$ và $C=6,00\times {10}^{-8}\mathrm{F}$. Khi nguồn điện xoay chiều hoạt động ở đúng tần số cộng hưởng của mạch, biên độ dòng điện đo được bằng $\mathrm{0,500}\mathrm{A}$.

(a) Biên độ điện áp của nguồn điện bằng bao nhiêu?

(b) Biên độ điện áp giữa hai đầu , và bằng bao nhiêu?

(c) Công suất trung bình do nguồn điện cung cấp bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch cộng hưởng có $R=300\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$, $C=6,00\times {10}^{-8}\mathrm{F}$, $I=\mathrm{0,500}\mathrm{A}$. Tìm $V$, các biên độ thành phần $V_R$, $V_L$, $V_C$ và $P_{\mathrm{av}}$.

Hướng đi:

• Vì mạch ở cộng hưởng, $Z=R$, nhưng điện áp từng phần tử phản kháng vẫn bằng dòng nhân với điện kháng của phần tử đó.

• Tại cộng hưởng, $Z=R$, tính $V=IR$.

• Tính tần số cộng hưởng ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$, $X_L={\omega }_{0}L$ và tính $V_L=I{X}_L$.

• Tính công suất trung bình $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R$.

(a) Tại tần số cộng hưởng, của mạch bằng đúng thuần ($Z=R$). Biên độ điện áp của nguồn điện là

$$V=IR=150\mathrm{V}.$$

(b) Biên độ điện áp giữa hai đầu từng phần tử:

• Trên thuần:

$$V_R=IR=150\mathrm{V}.$$

• Tần số góc cộng hưởng của mạch bằng

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=6455\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

tại tần số cộng hưởng là

$$\begin{array}{rl}{X}_L& ={\omega }_{0}L\\ & =(6455\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,400}\mathrm{H})\\ & =2582\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Biên độ điện áp giữa hai đầu là

$$V_L=I{X}_L=1290\mathrm{V}.$$

• Trên : Do $X_C=X_L$ tại cộng hưởng:

$$V_C=V_L=1290\mathrm{V}.$$

(c) Công suất trung bình do nguồn điện cung cấp bằng

$$P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R=37,5\mathrm{W}.$$

Bài tập 31: 30

Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp gồm một nguồn điện có biên độ điện áp $120\mathrm{V}$ và tần số góc $50,0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, một thuần $R=400\mathrm{\Omega }$, một thuần $L=3,00\mathrm{H}$ và một có điện dung $C$.

(a) $C$ phải nhận giá trị bằng bao nhiêu để biên độ dòng điện trong mạch đạt cực đại?

(b) Khi $C$ nhận giá trị tính ở câu (a), biên độ điện áp giữa hai đầu bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $V=120\mathrm{V}$, $\omega =50,0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $R=400\mathrm{\Omega }$, $L=3,00\mathrm{H}$. Tìm $C$ để dòng điện cực đại và tính $V_L$ khi đó.

Hướng đi:

• Vì tần số nguồn cố định, thay đổi $C$ để đạt $X_C=X_L$ sẽ làm $Z$ nhỏ nhất và biên độ dòng lớn nhất.

• Biên độ dòng điện đạt cực đại khi xảy ra cộng hưởng, $\omega =1/\sqrt{LC}⟹C=1/({\omega }^{2}L)$.

• Tính $X_L=\omega L$, biên độ dòng điện $I=V/R$ và $V_L=I{X}_L$.

(a) Biên độ dòng điện đạt giá trị cực đại khi mạch xảy ra hiện tượng cộng hưởng, tức là khi bằng đúng :

$$X_C=X_L⟺\frac{1}{\omega C}=\omega L.$$

Suy ra cần tìm là

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{1}{{\omega }^{2}L}\\ & =1,33\times {10}^{-4}\mathrm{F}\\ & =133\mu \mathrm{F}.\end{array}$$

(b) Tại trạng thái cộng hưởng, của mạch bằng đúng thuần ($Z=R$). Biên độ dòng điện trong mạch là

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{R}\\ & =\frac{120\mathrm{V}}{400\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,300}\mathrm{A}.\end{array}$$

của bằng

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =(50,0\mathrm{rad}/\mathrm{s})(3,00\mathrm{H})\\ & =150\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Biên độ điện áp giữa hai đầu là

$$V_L=I{X}_L=45,0\mathrm{V}.$$

Bài tập 31: 31

Trong một mạch điện RLC mắc nối tiếp, các thông số gồm $R=150\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,750}\mathrm{H}$ và $C=\mathrm{0,018}0\mu \mathrm{F}$. Nguồn điện có biên độ điện áp $V=150\mathrm{V}$ và tần số bằng đúng tần số cộng hưởng của mạch.

(a) của mạch bằng bao nhiêu?

(b) Công suất trung bình do nguồn cung cấp bằng bao nhiêu?

(c) Người ta thay ban đầu bằng một tụ điện mới có điện dung $C^{\prime }=\mathrm{0,036}0\mu \mathrm{F}$ và điều chỉnh tần số của nguồn điện về đúng giá trị tần số cộng hưởng mới. Khi đó công suất trung bình do nguồn cung cấp bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC tại cộng hưởng có $R=150\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,750}\mathrm{H}$, $C=\mathrm{0,018}0\times {10}^{-6}\mathrm{F}$, $V=150\mathrm{V}$. Tìm $\cos \varphi$, $P_{\mathrm{av}}$, và tính lại $P_{\mathrm{av}}^{\prime }$ khi thay $C^{\prime }=\mathrm{0,036}0\times {10}^{-6}\mathrm{F}$ và cộng hưởng.

Hướng đi:

• Vì nguồn được chỉnh về cộng hưởng sau mỗi lần đổi tụ, vẫn bằng $R$. Công suất khi đó chỉ phụ thuộc biên độ nguồn và .

• Tại cộng hưởng, góc lệch pha $\varphi =0⟹\cos \varphi =1,00$.

• Dùng công thức công suất tại cộng hưởng, $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{V}^2/R$.

• Nhận xét sự phụ thuộc của công suất cộng hưởng vào $R$ và $V$.

(a) Khi nguồn điện hoạt động ở đúng tần số cộng hưởng của mạch, góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện bằng không ($\varphi =0$). của mạch bằng

$$\cos \varphi =1,00.$$

(b) Tại trạng thái cộng hưởng, mạch đạt giá trị cực tiểu $Z=R$. Công suất trung bình do nguồn cung cấp bằng

$$P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}\frac{V^2}{R}=75,0\mathrm{W}.$$

(c) Khi thay bằng tụ điện mới có $C^{\prime }=\mathrm{0,036}0\mu \mathrm{F}$ và chỉnh tần số nguồn về tần số cộng hưởng mới, mạch vẫn ở trạng thái cộng hưởng ($Z^{\prime }=R$).

Vì thuần $R=150\mathrm{\Omega }$ và biên độ điện áp nguồn $V=150\mathrm{V}$ không đổi, công suất trung bình cung cấp cho mạch ở tần số cộng hưởng mới vẫn bằng

$$P_{\mathrm{av}}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{V^2}{R}=75,0\mathrm{W}.$$

Bài tập 31: 32

Một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp có các thông số $R=400\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,600}\mathrm{H}$ và $C=5,00\times {10}^{-8}\mathrm{F}$. Biên độ điện áp của nguồn điện bằng $80,0\mathrm{V}$. Khi nguồn điện hoạt động ở đúng tần số cộng hưởng của mạch, công suất trung bình do nguồn cung cấp bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $R=400\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,600}\mathrm{H}$, $C=5,00\times {10}^{-8}\mathrm{F}$, $V=80,0\mathrm{V}$. Mạch hoạt động tại tần số cộng hưởng. Tính $P_{\mathrm{av}}$.

Hướng đi:

• Vì mạch ở cộng hưởng, bằng một và $P=V^2/(2R)$ với $V$ là biên độ.

• Tại cộng hưởng, $Z=R$.

• Tính công suất trung bình $P_{\mathrm{av}}=\frac{1}{2}{V}^2/R$.

Khi mạch hoạt động ở đúng tần số cộng hưởng, và bù trừ triệt để lẫn nhau ($X_L=X_C$), toàn mạch bằng đúng thuần ($Z=R$).

Công suất trung bình do nguồn điện cung cấp bằng

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =\frac{1}{2}\frac{V^2}{R}\\ & =\frac{6400}{800}\mathrm{W}\\ & =8,00\mathrm{W}.\end{array}$$

Bài tập 31: 33

Trong một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp, các phần tử có $L=\mathrm{0,280}\mathrm{H}$ và $C=4,00\mu \mathrm{F}$. Biên độ điện áp của nguồn điện là $120\mathrm{V}$.

(a) Tần số góc cộng hưởng của mạch điện này bằng bao nhiêu?

(b) Khi nguồn điện hoạt động ở tần số góc cộng hưởng, biên độ dòng điện trong mạch đo được là $1,70\mathrm{A}$. Hãy xác định thuần $R$ của mạch.

(c) Tại tần số góc cộng hưởng, biên độ điện áp đỉnh giữa hai đầu , giữa hai bản và giữa hai đầu bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cho $L=\mathrm{0,280}\mathrm{H}$, $C=4,00\times {10}^{-6}\mathrm{F}$, $V=120\mathrm{V}$. Tại cộng hưởng, $I=1,70\mathrm{A}$. Tìm ${\omega }_0$, $R$ và các điện áp biên độ $V_L$, $V_C$, $V_R$.

Hướng đi:

• Vì dòng tại cộng hưởng thỏa $I=V/R$, dữ kiện dòng xác định . Sau đó điện kháng cho điện áp riêng trên L và C.

• (a) Dùng công thức tần số góc cộng hưởng ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$.

• (b) Tại cộng hưởng $Z=R⟹R=V/I$.

• (c) Tính $V_R=V$, $X_L={\omega }_{0}L$ và $V_L=V_C=I{X}_L$.

(a) Tần số góc cộng hưởng của mạch điện là

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=945\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

(b) Tại trạng thái cộng hưởng, của mạch bằng đúng thuần ($Z=R$). Điện trở thuần $R$ của mạch bằng

$$R=\frac{V}{I}=70,6\mathrm{\Omega }.$$

(c) Biên độ điện áp đỉnh giữa hai đầu từng phần tử tại tần số cộng hưởng:

• Giữa hai đầu thuần:

$$V_R=V=120\mathrm{V}.$$

• của :

$$\begin{array}{rl}{X}_L& ={\omega }_{0}L\\ & =(944,9\mathrm{rad}/\mathrm{s})(\mathrm{0,280}\mathrm{H})\\ & =264,6\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

• Giữa hai đầu :

$$V_L=I{X}_L=450\mathrm{V}.$$

• Giữa hai bản : Do mạch đang cộng hưởng ($X_C=X_L$):

$$V_C=V_L=450\mathrm{V}.$$

Máy biến áp

Bài tập 31: 34

Một người dự định mang máy sấy tóc của mình đi du lịch châu Âu, nơi các ổ cắm điện cung cấp $240\mathrm{V}$ thay vì mức tiêu chuẩn $120\mathrm{V}$ ở Hoa Kỳ. Máy sấy này tiêu thụ công suất định mức $1600\mathrm{W}$ ở điện áp $120\mathrm{V}$.

(a) Người đó cần phải làm gì để vận hành máy sấy an toàn qua đường dây điện $240\mathrm{V}$ ở châu Âu?

(b) Khi cắm qua giải pháp đó, máy sấy sẽ lấy dòng điện hiệu dụng bằng bao nhiêu từ ổ cắm điện châu Âu?

(c) Ổ cắm điện châu Âu sẽ "nhìn thấy" máy sấy có tương đương bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Máy sấy $1600\mathrm{W}$ ở $120\mathrm{V}$ được cấp điện từ mạng $240\mathrm{V}$. Tìm phương án vận hành, dòng điện từ ổ cắm và tương đương nhìn từ nguồn.

Hướng đi:

• Vì phải giữ điện áp máy sấy ở mức định mức, dùng biến áp hạ áp. Bảo toàn công suất lý tưởng xác định dòng lấy từ mạng và quy đổi.

• (a) Cần dùng hạ áp có tỉ số biến áp $N_1/N_2=240/120=2$.

• (b) Dùng bảo toàn công suất của lý tưởng, $I_1=P/V_1$.

• (c) Dùng công thức phản xạ để tính $R_{\mathrm{app}}=V_1^2/P$ hoặc $R_{\mathrm{app}}=(N_1/N_2{)}^2{R}_{\mathrm{dryer}}$.

(a) Để máy sấy tóc hoạt động đúng điện áp định mức $120\mathrm{V}$ từ nguồn điện $240\mathrm{V}$, người đó cần sử dụng một hạ áp (step-down transformer) có tỉ số vòng dây giữa cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp bằng

$$\frac{N_1}{N_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{240\mathrm{V}}{120\mathrm{V}}=2.$$

(b) Giả sử lý tưởng bảo toàn công suất ($P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{out}}=1600\mathrm{W}$). Cường độ dòng điện hiệu dụng mà máy biến áp lấy từ ổ cắm điện châu Âu (dòng sơ cấp) là

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =\frac{P}{V_1}\\ & =\frac{1600\mathrm{W}}{240\mathrm{V}}\\ & =6,67\mathrm{A}.\end{array}$$

(c) tương đương mà ổ cắm điện châu Âu "nhìn thấy" bằng

$$R_{\mathrm{app}}=\frac{V_1^2}{P}=36,0\mathrm{\Omega }.$$

Ta cũng có thể kiểm chứng qua công thức phản xạ của : thực tế của máy sấy tóc là $R=V_2^2/P=(120{)}^2/1600=9,00\mathrm{\Omega }$. Điện trở tương đương quy đổi về phía sơ cấp bằng

$$\begin{array}{rl}{R}_{\mathrm{app}}& ={\left(\frac{N_1}{N_2}\right)}^{2}R\\ & =(2{)}^2(9,00\mathrm{\Omega })\\ & =36,0\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Bài tập 31: 35

Một hạ áp được nối vào đường dây điện xoay chiều có $120\mathrm{V}$ để cung cấp điện áp hiệu dụng $12,0\mathrm{V}$ cho một thiết bị điện tử cầm tay. tải ở mạch thứ cấp là $5,00\mathrm{\Omega }$.

(a) Tỉ số giữa số vòng dây cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp của phải bằng bao nhiêu?

(b) Cuộn thứ cấp phải cung cấp cường độ dòng điện hiệu dụng bằng bao nhiêu?

(c) Công suất trung bình cung cấp cho tải bằng bao nhiêu?

(d) Nếu mắc trực tiếp một vào đường dây $120\mathrm{V}$ thì điện trở đó phải bằng bao nhiêu để tiêu thụ cùng công suất như trên? Hãy chứng minh rằng giá trị này bằng đúng $5,00\mathrm{\Omega }$ nhân với bình phương tỉ số vòng dây sơ cấp trên thứ cấp.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: có $V_1=120\mathrm{V}$, $V_2=12,0\mathrm{V}$, tải $R_2=5,00\mathrm{\Omega }$. Tìm $N_1/N_2$, $I_2$, $P_{\mathrm{av}}$, và tương đương quy đổi về sơ cấp.

Hướng đi:

• Vì tải thứ cấp là , dùng định luật Ohm và bảo toàn công suất lý tưởng để suy điện trở nhìn từ sơ cấp.

• (a) Dùng tỉ số điện áp, $N_1/N_2=V_1/V_2$.

• (b) Dùng định luật Ohm cho mạch thứ cấp, $I_2=V_2/R_2$.

• (c) Dùng công thức công suất tiêu thụ, $P_{\mathrm{av}}=I_2^2{R}_2$.

• (d) Tính tương đương $R_{\mathrm{eff}}=V_1^2/P_{\mathrm{av}}$ và so sánh với $(N_1/N_2{)}^2{R}_2$.

(a) Tỉ số giữa số vòng dây cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp bằng

$$\begin{array}{rl}\frac{N_1}{N_2}& =\frac{V_1}{V_2}\\ & =\frac{120\mathrm{V}}{12,0\mathrm{V}}\\ & =10,0.\end{array}$$

(b) Cường độ dòng điện hiệu dụng mà cuộn thứ cấp cung cấp cho tải là

$$I_2=\frac{V_2}{R_2}=2,40\mathrm{A}.$$

(c) Công suất trung bình cung cấp cho tải tiêu thụ bằng

$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{av}}& =I_2^2{R}_2\\ & =(2,40\mathrm{A}{)}^2(5,00\mathrm{\Omega })\\ & =28,8\mathrm{W}.\end{array}$$

(d) Một $R_{\mathrm{eff}}$ mắc trực tiếp vào đường dây $120\mathrm{V}$ để tiêu thụ cùng mức công suất $28,8\mathrm{W}$ phải có giá trị là

$$R_{\mathrm{eff}}=\frac{V_1^2}{P_{\mathrm{av}}}=500\mathrm{\Omega }.$$

Chứng minh: Áp dụng công thức phản xạ của :

$$\begin{array}{rl}{R}_{\mathrm{eff}}& ={\left(\frac{N_1}{N_2}\right)}^2{R}_2\\ & =(10,0{)}^2(5,00\mathrm{\Omega })\\ & =100\times 5,00\mathrm{\Omega }\\ & =500\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Hai kết quả hoàn toàn trùng khớp, chứng minh rằng tải ở cuộn thứ cấp tương đương với một bằng $R_2(N_1/N_2{)}^2$ nhìn từ phía sơ cấp.

Bài tập 31: 36

Một tăng áp được nối vào đường dây điện xoay chiều có $120\mathrm{V}$ để cung cấp điện áp hiệu dụng $13000\mathrm{V}$ cho một biển quảng cáo đèn neon. Để giảm thiểu nguy cơ tai nạn điện giật, người ta lắp một cầu chì vào mạch sơ cấp, trong đó cầu chì này sẽ bị đứt khi dòng điện hiệu dụng ở mạch thứ cấp vượt quá $8,50\mathrm{mA}$.

(a) Tỉ số giữa số vòng dây cuộn thứ cấp và cuộn sơ cấp của bằng bao nhiêu?

(b) Công suất cung cấp cho bằng bao nhiêu khi dòng điện hiệu dụng ở thứ cấp đạt mức $8,50\mathrm{mA}$?

(c) Cầu chì ở mạch sơ cấp phải có định mức cường độ dòng điện bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: có $V_1=120\mathrm{V}$, $V_2=13000\mathrm{V}$. Cầu chì sơ cấp ngắt khi $I_2>8,50\times {10}^{-3}\mathrm{A}$. Tìm $N_2/N_1$, $P$ và định mức dòng điện của cầu chì sơ cấp $I_1$.

Hướng đi:

• Vì công suất lý tưởng được bảo toàn giữa hai cuộn, ngưỡng dòng thứ cấp có thể quy đổi thành ngưỡng dòng sơ cấp bằng tỉ số vòng dây.

• (a) Dùng tỉ số điện áp $N_2/N_1=V_2/V_1$.

• (b) Tính công suất tải $P=V_2{I}_2$.

• (c) Dùng hệ thức dòng điện lý tưởng, $I_1=(N_2/N_1)I_2$.

(a) Tỉ số giữa số vòng dây cuộn thứ cấp và cuộn sơ cấp là

$$\frac{N_2}{N_1}=\frac{V_2}{V_1}=108,3.$$

(b) Khi dòng điện hiệu dụng ở mạch thứ cấp đạt giá trị $I_2=8,50\mathrm{mA}=8,50\times {10}^{-3}\mathrm{A}$, công suất cung cấp cho tải neon (và cũng là công suất đưa vào lý tưởng) bằng

$$P=V_2{I}_2=111\mathrm{W}.$$

(c) Định mức dòng điện hiệu dụng của cầu chì ở mạch sơ cấp tương ứng với ngưỡng đứt bằng

$$\text{I\_1 = le ft(frac{N\_2}{N\_1}right) I\_2 = 0{,}921,mathrm A.}$$

Ta cũng có thể kiểm chứng qua công suất:

$$\begin{array}{rl}{I}_1& =P/V_1\\ & =(110,5\mathrm{W})/(120\mathrm{V})\\ & =\mathrm{0,921}\mathrm{A}\end{array}$$

Vậy cầu chì ở mạch sơ cấp phải có định mức dòng điện là $\mathrm{0,921}\mathrm{A}$.

Bài tập 31.37–31.65

Mạch R-L-C nối tiếp, công suất và cộng hưởng

Bài tập 31: 37

Một cuộn dây có thuần $48,0\mathrm{\Omega }$. Ở tần số $80,0\mathrm{Hz}$, điện áp hai đầu cuộn dây sớm pha hơn dòng điện chạy qua nó một góc $52,3^{\circ }$. Hãy xác định độ tự cảm của cuộn dây.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cuộn dây thực tế có trong $R=48,0\mathrm{\Omega }$. Tần số nguồn $f=80,0\mathrm{Hz}$, góc lệch pha giữa điện áp hai đầu cuộn dây và dòng điện là $\varphi =52,3^{\circ }$. Cần tìm độ tự cảm $L$.

Hướng đi:

• Vì cuộn dây có và độ tự cảm, dùng mô hình RL nối tiếp và $\tan \varphi =\omega L/R$.

• Coi cuộn dây thực tế tương đương với một thuần $R$ mắc nối tiếp với một thuần $L$.

• Dùng công thức độ lệch pha của đoạn mạch $R\text{-}L$, $\tan \varphi =\frac{\omega L}{R}$ vì điện áp sớm pha hơn dòng điện.

• Tính tần số góc từ $\omega =2\pi f$, từ đó suy ra $L$.

Tần số góc của :

$$\begin{array}{rl}\omega & =2\pi f\\ & =2\pi (80,0\mathrm{Hz})\\ & \approx 502,7\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Vì điện áp hai đầu cuộn dây sớm pha hơn dòng điện qua nó một góc $\varphi =52,3^{\circ }$, ta có:

$$\tan \varphi =\frac{X_L}{R}=\frac{\omega L}{R}.$$

Suy ra độ tự cảm của cuộn dây:

$$L=\frac{R\tan \varphi }{\omega }\approx \mathrm{0,124}\mathrm{H}.$$

Độ tự cảm của cuộn dây là $\mathrm{0,124}\mathrm{H}$.

Bài tập 31: 38

Trong một mạch điện RLC mắc nối tiếp, độ lệch pha có độ lớn $53,0^{\circ }$ và điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện. thuần của mạch là $300\mathrm{\Omega }$, của là $500\mathrm{\Omega }$. Công suất trung bình do nguồn cung cấp cho mạch là $80,0\mathrm{W}$. (a) của bằng bao nhiêu? (b) Biên độ dòng điện trong mạch là bao nhiêu? (c) Biên độ điện áp của nguồn là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp có $R=300\mathrm{\Omega }$, $X_C=500\mathrm{\Omega }$. Điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện, suy ra $\varphi =-53,0^{\circ }$. Công suất tiêu thụ trung bình $P_{\mathrm{tb}}=80,0\mathrm{W}$.

Hướng đi:

• Vì điện áp trễ dòng, góc pha mang dấu âm. Công suất trên xác định biên độ dòng bằng $P=I^{2}R/2$.

• Dùng hệ thức $\tan \varphi =\frac{X_L-X_C}{R}$ để tìm $X_L$.

• Dùng công thức công suất trung bình $P_{\mathrm{tb}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R$ để tìm biên độ dòng điện $I$.

• Tính toàn phần $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ và biên độ điện áp nguồn $V=IZ$.

(a) Vì điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện, góc pha của mạch mang giá trị âm, $\varphi =-53,0^{\circ }$. Ta có:

$$\tan \varphi =\frac{X_L-X_C}{R},$$

$$X_L-X_C=R\tan \varphi \approx -398,1\mathrm{\Omega },$$

$$X_L=X_C-398,1\mathrm{\Omega }=500-398,1\approx 102\mathrm{\Omega }.$$

(b) Toàn bộ công suất tiêu thụ trung bình của mạch tỏa ra trên $R$:

$$P_{\mathrm{tb}}=\frac{1}{2}{I}^{2}R.$$

Suy ra biên độ dòng điện:

$$\begin{array}{rl}I& =\sqrt{\frac{2P_{\mathrm{tb}}}{R}}\\ & =\sqrt{\mathrm{0,533}3{\mathrm{A}}^2}\\ & \approx \mathrm{0,730}\mathrm{A}.\end{array}$$

(c) toàn phần của mạch: Đặt biến hiệu kháng $X=X_L-X_C\approx -398,11\mathrm{\Omega }$:

$$Z=\sqrt{R^2+X^2}\approx 498,5\mathrm{\Omega }.$$

Biên độ điện áp nguồn cấp:

$$\begin{array}{rl}V& =IZ\\ & =\mathrm{0,730}3\mathrm{A}\times 498,49\mathrm{\Omega }\\ & \approx 364\mathrm{V}.\end{array}$$

Bài tập 31: 39

Một mạch RLC nối tiếp có $C=4,80\mu \mathrm{F}$, $L=\mathrm{0,520}\mathrm{H}$, biên độ điện áp nguồn $V=56,0\mathrm{V}$. Nguồn hoạt động ở tần số cộng hưởng của mạch. Biết biên độ điện áp trên hai bản bằng $80,0\mathrm{V}$, hãy tìm giá trị $R$ của mạch.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp hoạt động ở tần số cộng hưởng, với $C=4,80\mu \mathrm{F}$, $L=\mathrm{0,520}\mathrm{H}$, $V=56,0\mathrm{V}$. Biên độ điện áp trên tụ là $V_C=80,0\mathrm{V}$. Cần tìm $R$.

Hướng đi:

• Vì mạch cộng hưởng có $I=V/R$ và $X_C=\sqrt{L/C}$, điện áp tụ cho trực tiếp phương trình tìm $R$.

• Tại trạng thái cộng hưởng, tần số góc là ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$, triệt tiêu nên của mạch đạt cực tiểu, $Z=R$.

• Biên độ dòng điện khi cộng hưởng là $I=\frac{V}{R}$.

• Biểu diễn biên độ điện áp trên tụ qua dòng điện và , $V_C=I{X}_C=\frac{V}{R}\frac{1}{{\omega }_{0}C}=\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$, từ đó giải ra $R$.

Tần số góc cộng hưởng của mạch:

Tích số $LC$:

$$\begin{array}{rl}LC& =\mathrm{0,520}\times 4,80\times {10}^{-6}\\ & \approx \mathrm{2,496}\times {10}^{-6}{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\approx 633\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

của tại tần số này:

$$\begin{array}{rl}{X}_C& =\frac{1}{{\omega }_{0}C}\\ & =\sqrt{\frac{L}{C}}\\ & \approx 329,14\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Ở chế độ cộng hưởng, biên độ dòng điện trong mạch đạt giá trị lớn nhất:

$$I=\frac{V}{R}.$$

Biên độ điện áp trên hai đầu :

$$V_C=I{X}_C=\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.$$

Suy ra $R$:

$$\begin{array}{rl}R& =\frac{V}{V_C}\sqrt{\frac{L}{C}}\\ & =\mathrm{0,700}\times 329,14\mathrm{\Omega }\\ & \approx 230\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

của mạch là $230\mathrm{\Omega }$.

Bài tập 31: 40

Năm vôn kế lý tưởng có vô cùng lớn, được hiệu chuẩn để đo , được mắc vào mạch như Hình P31.40. Cho $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$, $C=6,00\mu \mathrm{F}$, và điện áp nguồn $V=30,0\mathrm{V}$. Hãy tìm số chỉ của từng vôn kế khi (a) $\omega =200\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, (b) $\omega =1000\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Hình P31.40: Sơ đồ mạch điện gồm điện trở, cuộn cảm và tụ điện nối tiếp với năm vôn kế xoay chiều

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Có $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,400}\mathrm{H}$, $C=6,00\mu \mathrm{F}$ và điện áp nguồn $V=30,0\mathrm{V}$. Năm vôn kế đo trên , , , đoạn LC và toàn mạch.

Hướng đi:

• Dùng $X_L=\omega L$ và $X_C=1/(\omega C)$ vì hai điện kháng phụ thuộc tần số nguồn.
• Dùng tổng hợp điện áp theo pha để tính . Điện áp trên L và C ngược pha nên số chỉ trên đoạn LC phụ thuộc hiệu hai điện kháng.
• Quy đổi biên độ sang trước khi tính số chỉ, vì các vôn kế đã được hiệu chuẩn theo giá trị hiệu dụng.

Trong ký hiệu của mạch xoay chiều đang dùng, $V$ là biên độ điện áp nguồn. Vì vậy:

$$V_{\mathrm{rms}}=\frac{V}{\sqrt{2}}=21,21\mathrm{V}.$$

Đặt $X=X_L-X_C$. Tại mỗi tần số:

$$\begin{array}{rl}Z& =\sqrt{R^2+X^2},\\ I_{\mathrm{rms}}& =\frac{V_{\mathrm{rms}}}{Z}.\end{array}$$

Các số chỉ là:

$$\begin{array}{rl}{V}_1& =I_{\mathrm{rms}}R,\\ V_2& =I_{\mathrm{rms}}{X}_L,\\ V_3& =I_{\mathrm{rms}}{X}_C,\\ V_4& =I_{\mathrm{rms}}|X|,\\ V_5& =V_{\mathrm{rms}}.\end{array}$$

(a) Với $\omega =200\mathrm{rad}/\mathrm{s}$:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =80,0\mathrm{\Omega },\\ X_C& =833,33\mathrm{\Omega },\\ X& =-753,33\mathrm{\Omega },\\ Z& =779,43\mathrm{\Omega },\\ I_{\mathrm{rms}}& =27,22\mathrm{mA}.\end{array}$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}{V}_1& =5,44\mathrm{V},\\ V_2& =2,18\mathrm{V},\\ V_3& =22,68\mathrm{V},\\ V_4& =20,50\mathrm{V},\\ V_5& =21,21\mathrm{V}.\end{array}$$

(b) Với $\omega =1000\mathrm{rad}/\mathrm{s}$:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =400\mathrm{\Omega },\\ X_C& =166,67\mathrm{\Omega },\\ X& =233,33\mathrm{\Omega },\\ Z& =307,32\mathrm{\Omega },\\ I_{\mathrm{rms}}& =69,03\mathrm{mA}.\end{array}$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}{V}_1& =13,81\mathrm{V},\\ V_2& =27,61\mathrm{V},\\ V_3& =11,50\mathrm{V},\\ V_4& =16,11\mathrm{V},\\ V_5& =21,21\mathrm{V}.\end{array}$$

Ở cả hai tần số, tổng hợp theo pha cho $V_1^2+V_4^2=V_5^2$. Nếu một nguồn khác được quy định có điện áp hiệu dụng $30,0\mathrm{V}$, toàn bộ số chỉ trên sẽ lớn hơn $\sqrt{2}$ lần.

Bài tập 31: 41

Một phẳng có các bản hình vuông cạnh $4,50\mathrm{cm}$, đặt cách nhau $8,00\mathrm{mm}$. Tụ được mắc nối tiếp với $75,0\mathrm{\Omega }$, một ống dây lý tưởng và nguồn xoay chiều có tần số góc $650\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, biên độ $22,5\mathrm{V}$. Ống dây dài $9,00\mathrm{cm}$, có tiết diện tròn đường kính $\mathrm{0,500}\mathrm{cm}$ và mật độ quấn $125$ vòng trên mỗi centimét. Tần số góc cộng hưởng của mạch điện này bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bản tụ vuông cạnh $a=4,50\mathrm{cm}$, khoảng cách $d=8,00\mathrm{mm}$. Ống dây dài $l=9,00\mathrm{cm}$, đường kính $D=\mathrm{0,500}\mathrm{cm}$, mật độ quấn $n=125\mathrm{turns}/\mathrm{cm}=12500\mathrm{turns}/\mathrm{m}$. Cần tìm tần số góc cộng hưởng ${\omega }_0$.

Hướng đi:

• Vì cần tần số cộng hưởng riêng, tính $L$ và $C$ từ hình học rồi dùng ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$.

• Tính của tụ điện phẳng, $C=\frac{{\epsilon }_0{A}_C}{d}$ với $A_C=a^2$.

• Tính độ tự cảm của ống dây dài lý tưởng, $L={\mu }_0{n}^2{A}_{L}l$ với $A_L=\frac{\pi D^2}{4}$.

• Tính tần số góc cộng hưởng, ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Diện tích bản tụ:

$$\begin{array}{rl}{A}_C& =(\mathrm{0,045}0\mathrm{m}{)}^2\\ & =\mathrm{2,025}\times {10}^{-3}{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

của tụ điện:

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{{\epsilon }_0{A}_C}{d}\\ & \approx \mathrm{2,241}\times {10}^{-12}\mathrm{F}\\ & =\mathrm{2,241}\mathrm{pF}.\end{array}$$

Diện tích tiết diện của ống dây:

$$\begin{array}{rl}{A}_L& =\frac{\pi D^2}{4}\\ & \approx \mathrm{1,963}5\times {10}^{-5}{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Độ tự cảm của ống dây:

Với ${\mu }_0{n}^2\approx 196,35\mathrm{H}/{\mathrm{m}}^3$:

$$\begin{array}{rl}L& ={\mu }_0{n}^2{A}_{L}l\\ & =\mathrm{3,855}\times {10}^{-6}\times \mathrm{0,090}0\\ & \approx \mathrm{3,470}\times {10}^{-4}\mathrm{H}.\end{array}$$

Tần số góc cộng hưởng của mạch:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =\frac{1}{\sqrt{LC}}\\ & \approx 3,59\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Tần số góc cộng hưởng của mạch là $3,59\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Bài tập 31: 42

Một ống dây hình xuyến có $2900$ vòng dây quấn sát nhau, diện tích tiết diện $\mathrm{0,450}{\mathrm{cm}}^2$, bán kính trung bình $9,00\mathrm{cm}$ và thuần $R=2,80\mathrm{\Omega }$. Bỏ qua sự biến thiên của từ trường trên tiết diện ngang của ống dây. Hãy tìm biên độ dòng điện trong ống dây nếu nó được nối vào một nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $24,0\mathrm{V}$ và tần số $495\mathrm{Hz}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ống dây hình xuyến có $N=2900$ vòng, $A=\mathrm{0,450}{\mathrm{cm}}^2$, bán kính trung bình $r=9,00\mathrm{cm}$, $R=2,80\mathrm{\Omega }$. Nguồn xoay chiều có $V=24,0\mathrm{V}$, $f=495\mathrm{Hz}$. Cần tìm biên độ dòng điện $I$.

Hướng đi:

• Vì cuộn xuyến có cả và độ tự cảm, phải tính $Z=\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}$ trước khi dùng $I=V/Z$.

• Tính độ tự cảm của ống dây xuyến, $L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{2\pi r}$.

• Tính tần số góc $\omega =2\pi f$, $X_L=\omega L$, $Z=\sqrt{R^2+X_L^2}$.

• Tính biên độ dòng điện, $I=\frac{V}{Z}$. Độ tự cảm của ống dây hình xuyến:

Với $\frac{{\mu }_0}{2\pi r}=\frac{2\times {10}^{-7}}{\mathrm{0,090}0}\approx \mathrm{2,222}\times {10}^{-6}$:

$$\begin{array}{rl}L& =\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{2\pi r}\\ & =\mathrm{2,222}\times {10}^{-6}\times {2900}^2\times \mathrm{0,450}\times {10}^{-4}\\ & =\mathrm{8,410}\times {10}^{-4}\mathrm{H}.\end{array}$$

Tần số góc của nguồn:

$$\begin{array}{rl}\omega & =2\pi (495\mathrm{Hz})\\ & \approx 3110,2\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

của ống dây:

$$\begin{array}{rl}{X}_L& =\omega L\\ & =3110\times 8,41\times {10}^{-4}\\ & \approx \mathrm{2,616}\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

toàn phần của ống dây:

$$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}\approx \mathrm{3,832}\mathrm{\Omega }.$$

Biên độ dòng điện chạy qua ống dây:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{Z}=\frac{24,0\mathrm{V}}{\mathrm{3,832}\mathrm{\Omega }}\\ & \approx 6,26\mathrm{A}.\end{array}$$

Bài tập 31: 43

Một đoạn mạch nối tiếp có $60,0\mathrm{\Omega }$ và $\mathrm{0,720}$ ở tần số $50,0\mathrm{Hz}$. Điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện. (a) Cần mắc nối tiếp vào mạch một phần tử nào, hay , để làm tăng hệ số công suất của mạch? (b) Độ lớn của phần tử đó phải bằng bao nhiêu để nâng hệ số công suất lên bằng $1$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch có $Z=60,0\mathrm{\Omega }$, $\cos \varphi =\mathrm{0,720}$ ở $f=50,0\mathrm{Hz}$. Điện áp trễ pha hơn dòng điện, suy ra mạch có tính ($\varphi <0$).

Hướng đi:

• Vì điện áp trễ dòng, phần điện kháng tổng là âm. Mắc thêm để bù đúng phần điện kháng này và đưa góc pha về không.

• Xác định tính chất của mạch: Vì $u$ trễ pha hơn $i$, lớn hơn . Để tăng (đưa $|\varphi |$ về gần $0$), cần mắc nối tiếp một để bù trừ dung kháng thừa.

• Tính $R=Z\cos |\varphi |$ và độ chênh lệch kháng $|X_L-X_C|=Z\sin |\varphi |$.

• Để bằng $1$ (cộng hưởng), phụ thêm phải đúng bằng độ chênh lệch kháng, $X_{L,\mathrm{add}}=\omega L_{\mathrm{add}}$, từ đó tính $L_{\mathrm{add}}$.

(a) Vì điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện, dòng điện sớm pha hơn điện áp nên mạch có tính ($X_C>X_L$). Để nâng cao , ta cần đưa hiệu kháng $X_L-X_C$ về gần $0$, nghĩa là cần tăng tổng cộng. Do đó, cần mắc nối tiếp thêm một .

(b) thuần của mạch:

$$R=Z\cos \varphi =60,0\times \mathrm{0,720}=43,2\mathrm{\Omega }.$$

Hiệu kháng $X=X_L-X_C$ ban đầu có độ lớn:

$$|X|=\sqrt{Z^2-R^2}\approx 41,64\mathrm{\Omega }.$$

Để đạt cực đại bằng $1$ (mạch cộng hưởng), mắc thêm phải có bù trừ hoàn toàn hiệu kháng trên:

$$X_{L,\mathrm{add}}=2\pi f{L}_{\mathrm{add}}=41,64\mathrm{\Omega }.$$

Suy ra độ tự cảm của cuộn dây cần mắc thêm:

$$\begin{array}{rl}{L}_{\mathrm{add}}& =\frac{41,64\mathrm{\Omega }}{2\pi \times 50,0\mathrm{Hz}}\\ & \approx \mathrm{0,133}\mathrm{H}.\end{array}$$

Máy biến áp

Bài tập 31: 44

Xét bộ sạc (adapter) xoay chiều cắm trên dây nguồn máy tính xách tay hoặc điện thoại di động của bạn. (a) Điện áp một chiều $V$ và dòng điện một chiều $I$ danh định ghi trên thiết bị của bạn là bao nhiêu? (b) Công suất $P$ danh định ghi trên thiết bị là bao nhiêu? Liệu có thỏa mãn $P=IV$? (c) Bộ sạc thực tế thường có cấu tạo phức tạp hơn một đơn giản. Hãy phân tích mô hình lý tưởng gồm máy biến áp có sơ cấp $120\mathrm{V}$, một mạch chỉnh lưu toàn phần sau thứ cấp và một mạch lọc RC. Mạch lọc có hằng số thời gian đủ lớn để giữ điện áp ra một chiều bằng biên độ điện áp thứ cấp. Nếu cuộn sơ cấp có $200$ vòng, cần bao nhiêu vòng dây ở cuộn thứ cấp để tạo ra điện áp một chiều danh định nói trên? (Lấy số nguyên gần nhất). (d) Hãy ước lượng biên độ dòng điện ở cuộn sơ cấp. (e) Dựa vào kích thước thực tế của bộ sạc và giả thiết dạng hình học như Hình P31.44, hãy ước tính chiều dài $l$ của cuộn sơ cấp. (f) Dùng định luật Ampère để ước lượng độ lớn từ trường trung bình bên trong lõi sắt từ, giả sử độ từ thẩm tương đối của lõi là $5000$.

Hình P31.44: Mô hình máy biến áp với lõi sắt từ hình chữ nhật, cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đọc các thông số điện áp, dòng điện và công suất trên bộ sạc thực tế. Trong mô hình lý tưởng, cuộn sơ cấp có $200$ vòng và $120\mathrm{V}$. Chỉnh lưu toàn phần và lọc làm điện áp ra một chiều xấp xỉ biên độ điện áp thứ cấp. Độ từ thẩm tương đối được giả sử bằng $5000$.

Hướng đi:

• Dùng thông số trên nhãn thiết bị để trả lời (a), (b). Các đại lượng này là dữ kiện cần đo hoặc đọc, không có một đáp số số học chung.
• Dùng tỉ số vòng dây và đổi sang biên độ, vì tụ lọc nạp gần đến đỉnh điện áp thứ cấp.
• Dùng bảo toàn công suất để ước lượng dòng sơ cấp, đồng thời nêu giả thiết về dạng sóng và .
• Dùng định luật Ampère để liên hệ từ trường với sức từ động tổng của hai cuộn dây. Phân biệt chiều dài cuộn sơ cấp với chiều dài đường từ trong lõi.

(a) Ghi lại điện áp ra $V_{\mathrm{dc}}$ và dòng ra $I_{\mathrm{dc}}$ ở mục thông số đầu ra trên nhãn. Với bộ sạc có nhiều chế độ điện áp, chọn đúng cặp điện áp và dòng điện của một chế độ.

(b) Đọc công suất đầu ra $P_{\mathrm{dc}}$ của chế độ đó và so sánh với:

$$P_{\mathrm{dc}}=V_{\mathrm{dc}}{I}_{\mathrm{dc}}.$$

Sai khác nhỏ có thể do cách làm tròn các thông số. Không ghép điện áp của một chế độ với dòng điện của chế độ khác.

(c) Biên độ điện áp sơ cấp là:

$$V_1=\sqrt{2}{V}_{1,\mathrm{rms}}=169,71\mathrm{V}.$$

Bỏ qua sụt áp chỉnh lưu, mô hình cho $V_2=V_{\mathrm{dc}}$. Tỉ số vòng dây dẫn đến:

$$\begin{array}{rl}\frac{N_2}{200}& =\frac{V_{\mathrm{dc}}}{169,71\mathrm{V}},\\ N_2& \approx 200\frac{V_{\mathrm{dc}}}{169,71\mathrm{V}}.\end{array}$$

Thay điện áp đã đọc ở (a), rồi làm tròn $N_2$ đến số nguyên gần nhất.

(d) Gọi $\eta$ là hiệu suất và $\lambda$ là tổng của dòng sơ cấp. Bảo toàn công suất cho:

$$I_{1,\mathrm{rms}}=\frac{P_{\mathrm{dc}}}{\eta \lambda V_{1,\mathrm{rms}}}.$$

Nếu dùng ước lượng đơn giản $\eta \approx 1$, $\lambda \approx 1$ và dòng sơ cấp hình sin, biên độ dòng sơ cấp là:

$$I_1\approx \frac{\sqrt{2}{P}_{\mathrm{dc}}}{120\mathrm{V}}.$$

kèm chỉnh lưu và tụ lọc có thể hút dòng thành những xung ngắn. Khi đó công suất trung bình không đủ để xác định duy nhất biên độ dòng điện. Muốn biết đỉnh dòng phải có thêm dạng sóng hoặc số đo dòng.

(e) Đo hoặc ước lượng chiều dài $l$ của phần cuộn sơ cấp được chỉ trên Hình P31.44. Ghi rõ kích thước chọn và đổi sang mét. Không dùng chiều dài vỏ bộ sạc như một số đo trực tiếp của cuộn dây bên trong.

(f) Đặt ${\ell }_{\mathrm{c}}$ là chiều dài đường từ trung bình trong lõi. Trong mô hình lõi kín có tiết diện và độ từ thẩm gần như đồng đều:

$$\begin{array}{rl}\oint \overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{l}& =F,\\ F& =N_1{i}_1-N_2{i}_2,\\ B(t)& \approx \frac{{\mu }_0{\mu }_{r}F}{{\ell }_{\mathrm{c}}}.\end{array}$$

Dấu trừ biểu thị tác dụng khử từ của dòng thứ cấp theo định luật Lenz. Định luật Ampère liên hệ từ trường với sức từ động tổng, vì vậy không được dùng toàn bộ dòng tải sơ cấp như dòng từ hóa. Đặt dòng từ hóa tương đương:

$$i_{\mathrm{m}}(t)=i_1(t)-\frac{N_2}{N_1}{i}_2(t).$$

Biên độ từ trường ước lượng là:

$$B_{max}\approx \frac{{\mu }_0(5000)(200)I_{\mathrm{m}}}{{\ell }_{\mathrm{c}}}.$$

Nếu chỉ dùng mô hình ống dây dài để ước lượng thô, bỏ qua sức từ động của thứ cấp và chọn chiều dài đường từ xấp xỉ $l$, ta thu được:

$$B_{max}\approx \frac{{\mu }_0(5000)(200)I_1}{l}.$$

Đây là ước lượng của mô hình ống dây, không phải giá trị từ trường xác định của một đang mang tải. Với lõi kín, cần ước lượng ${\ell }_{\mathrm{c}}$ từ hình học lõi và biết dòng từ hóa. Giá trị $5000$ cũng chỉ áp dụng trong miền mà giả thiết độ từ thẩm không đổi còn phù hợp.

Bài tập 31: 45

Trong một mạch RLC nối tiếp, $R=300\mathrm{\Omega }$, $X_C=300\mathrm{\Omega }$, và $X_L=500\mathrm{\Omega }$. Công suất điện trung bình tiêu thụ trên là $60,0\mathrm{W}$. (a) của mạch là bao nhiêu? (b) của nguồn là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp có $R=300\mathrm{\Omega }$, $X_C=300\mathrm{\Omega }$, $X_L=500\mathrm{\Omega }$. Công suất tỏa nhiệt trung bình trên là $P_{\mathrm{tb}}=60,0\mathrm{W}$.

Hướng đi:

• Vì công suất đã cho tiêu tán trên , dùng $P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$, rồi dùng và để tìm điện áp nguồn.

• Tính $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$.

• Tính , $\cos \varphi =\frac{R}{Z}$.

• Dùng công thức $P_{\mathrm{tb}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ để tính $I_{\mathrm{rms}}$, sau đó tính $V_{\mathrm{rms}}=I_{\mathrm{rms}}Z$.

(a) toàn phần của mạch:

$$\begin{array}{rl}Z& =\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}\\ & =\sqrt{130000}\\ & \approx 360,56\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

của mạch:

$$\begin{array}{rl}\cos \varphi & =\frac{R}{Z}\\ & =\frac{300\mathrm{\Omega }}{360,56\mathrm{\Omega }}\approx \mathrm{0,832.}\end{array}$$

(b) Dòng điện hiệu dụng chạy qua mạch:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rms}}& =\sqrt{\frac{P_{\mathrm{tb}}}{R}}\\ & =\sqrt{\mathrm{0,200}}\approx \mathrm{0,447}2\mathrm{A}.\end{array}$$

của nguồn xoay chiều:

$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{rms}}& =I_{\mathrm{rms}}Z\\ & =\mathrm{0,447}2\mathrm{A}\times 360,56\mathrm{\Omega }\\ & \approx 161\mathrm{V}.\end{array}$$

Bài tập tổng hợp

Bài tập 31: 46

Tại một tần số góc ${\omega }_1$, của một bằng của một . (a) Nếu tần số góc tăng lên thành ${\omega }_2=2{\omega }_1$, tỉ số giữa cảm kháng của cuộn cảm và dung kháng của tụ điện bằng bao nhiêu? Kháng nào lớn hơn? (b) Nếu tần số góc giảm còn ${\omega }_3={\omega }_1/3$, tỉ số giữa cảm kháng và dung kháng bằng bao nhiêu? Kháng nào lớn hơn? (c) Nếu mắc tụ điện và cuộn cảm nói trên nối tiếp với một thuần $R$ để tạo thành mạch RLC nối tiếp, tần số góc cộng hưởng của mạch bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ở tần số góc ${\omega }_1$, ta có $X_L({\omega }_1)=X_C({\omega }_1)$, tức ${\omega }_{1}L=\frac{1}{{\omega }_{1}C}$.

Hướng đi:

• Vì $X_L$ tỉ lệ với $\omega$ còn $X_C$ tỉ lệ nghịch với $\omega$, tỉ số $X_L/X_C$ tỉ lệ với ${\omega }^2$.

• Dùng các biểu thức phụ thuộc tần số góc, $X_L(\omega )=\omega L$ và $X_C(\omega )=\frac{1}{\omega C}$.

• Lập tỉ số $\frac{X_L(\omega )}{X_C(\omega )}={\omega }^{2}LC={\left(\frac{\omega }{{\omega }_1}\right)}^2$ vì ${\omega }_1^{2}LC=1$.

• Nhận xét tần số góc cộng hưởng từ điều kiện $X_L=X_C$.

(a) Khi tần số góc tăng lên ${\omega }_2=2{\omega }_1$:

$$\begin{array}{rl}\frac{X_L({\omega }_2)}{X_C({\omega }_2)}& ={\omega }_2^{2}LC\\ & =(2{\omega }_1{)}^{2}LC\\ & =4{\omega }_1^{2}LC=4.\end{array}$$

của gấp $4$ lần của , do đó cảm kháng lớn hơn.

(b) Khi tần số góc giảm còn ${\omega }_3={\omega }_1/3$:

$$\begin{array}{rl}\frac{X_L({\omega }_3)}{X_C({\omega }_3)}& ={\omega }_3^{2}LC\\ & ={\left(\frac{{\omega }_1}{3}\right)}^{2}LC\\ & =\frac{1}{9}{\omega }_1^{2}LC=\frac{1}{9}.\end{array}$$

gấp $9$ lần , do đó dung kháng lớn hơn.

(c) Mạch RLC nối tiếp xảy ra hiện tượng cộng hưởng khi $X_L=X_C$, tức là ${\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}$. Theo giả thiết, điều này xảy ra chính xác tại tần số góc ${\omega }_1$. Vì vậy, tần số góc cộng hưởng của mạch là ${\omega }_0={\omega }_1$.

Bài tập 31: 47

Mạch lọc thông cao. Một ứng dụng của mạch RLC nối tiếp là chế tạo mạch lọc thông cao hoặc thông thấp, dùng để lọc bỏ thành phần tần số thấp hoặc tần số cao của tín hiệu điện. Một mạch lọc thông cao được mô tả trên Hình P31.47, trong đó điện áp đầu ra được lấy trên hai đầu của cụm cuộn dây $R\text{-}L$. (Cụm $R\text{-}L$ đại diện cho một thực tế có thuần do chiều dài lớn của dây quấn). Hãy thiết lập biểu thức tỉ số biên độ điện áp đầu ra và đầu vào $V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{s}}$ theo tần số góc $\omega$ của nguồn. Hãy chứng minh rằng khi $\omega$ nhỏ, tỉ số này tỉ lệ thuận với $\omega$ nên rất bé, và chứng minh rằng tỉ số này tiến tới $1$ ở giới hạn tần số góc rất lớn.

Hình P31.47: Sơ đồ mạch lọc thông cao với điện áp ra đo trên hai đầu cuộn cảm thực tế

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp nhận điện áp vào $V_{\mathrm{s}}$, điện áp lấy ra $V_{\mathrm{out}}$ trên đoạn mạch chứa $R$ và $L$. Cần lập tỉ số $V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{s}}$ và khảo sát các giới hạn.

Hướng đi:

• Vì điện áp ra lấy trên đoạn RL, tỉ số biên độ là tỉ số đoạn RL với trở kháng toàn mạch.

• Dòng điện trong mạch có biên độ $I=\frac{V_{\mathrm{s}}}{Z_{\mathrm{tot}}}$.

• Đoạn mạch ra gồm $R$ và $L$ nối tiếp, có $Z_{\mathrm{out}}=\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}$.

• Biên độ điện áp ra là $V_{\mathrm{out}}=I{Z}_{\mathrm{out}}$, suy ra tỉ số $\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}=\frac{Z_{\mathrm{out}}}{Z_{\mathrm{tot}}}$.

• Khảo sát giới hạn khi $\omega \to 0$ và $\omega \to \mathrm{\infty }$.

Với $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$, của toàn mạch:

$$Z_{\mathrm{tot}}=\sqrt{R^2+X^2}.$$

của đoạn mạch đầu ra (gồm $R$ và $L$):

$$Z_{\mathrm{out}}=\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}.$$

Vì các phần tử mắc nối tiếp nên cùng chung biên độ dòng điện $I$, ta có:

$$\begin{array}{rl}\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}& =\frac{I{Z}_{\mathrm{out}}}{I{Z}_{\mathrm{tot}}}\\ & =\frac{\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}}{\sqrt{R^2+X^2}}.\end{array}$$

Khảo sát giới hạn:

Khi $\omega \to 0$ (tần số thấp):

Tử số tiến tới $\sqrt{R^2+0}=R$.

Mẫu số bị chi phối bởi số hạng :

$$\begin{array}{rl}& {(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2\approx \frac{1}{{\omega }^2{C}^2}\\ & \gg R^2.\end{array}$$

Do đó, mẫu số xấp xỉ $\frac{1}{\omega C}$. Khi đó tỉ số điện áp trở thành:

$$\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}\approx \frac{R}{1/(\omega C)}=RC\omega .$$

Biểu thức này tỉ lệ thuận bậc nhất với $\omega$, do đó khi tần số góc rất nhỏ, điện áp đầu ra bị suy giảm mạnh về không.

Khi $\omega \to \mathrm{\infty }$ (tần số cao):

Cả ở tử số và mẫu số, số hạng ${\omega }^2{L}^2$ hoàn toàn áp đảo các số hạng còn lại:

$$\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}\approx \omega L:$$

và

$$\sqrt{R^2+X^2}\approx \omega L.$$

Suy ra:

$$\underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}=\frac{\omega L}{\omega L}=1.$$

Tín hiệu tần số cao đi qua mạch mà hầu như không bị suy giảm biên độ. Mạch hoạt động đúng chức năng của một bộ lọc thông cao.

Bài tập 31: 48

Mạch lọc thông thấp. Hình P31.48 mô tả một mạch lọc thông thấp. Trong đó điện áp đầu ra được lấy trên hai đầu trong mạch RLC nối tiếp. Hãy thiết lập biểu thức tỉ số biên độ điện áp đầu ra và đầu vào $V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{s}}$ theo tần số góc $\omega$ của nguồn. Hãy chứng minh rằng khi $\omega$ lớn, tỉ số này tỉ lệ với ${\omega }^{-2}$ nên rất nhỏ, và chứng minh rằng tỉ số này tiến tới $1$ ở giới hạn tần số góc rất bé.

Hình P31.48: Sơ đồ mạch lọc thông thấp với điện áp ra đo trên hai bản tụ điện

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp có điện áp ra $V_{\mathrm{out}}$ đo trên $C$. Cần lập biểu thức $\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}$ và khảo sát các giới hạn tần số.

Hướng đi:

• Vì điện áp ra lấy trên tụ, dùng $V_{\mathrm{out}}=I{X}_C$ và khảo sát giới hạn của $X_C/Z$.

• Biên độ điện áp ra trên , $V_{\mathrm{out}}=I{X}_C=\frac{I}{\omega C}$.

• Dùng $I=\frac{V_{\mathrm{s}}}{Z_{\mathrm{tot}}}$ để thiết lập tỉ số.

• Biến đổi đại số đưa $\omega$ vào trong căn dưới mẫu số và xét giới hạn $\omega \to 0$ và $\omega \to \mathrm{\infty }$.

Với $Z=\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C){)}^2}$, biên độ điện áp đầu ra trên :

$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{out}}& =I{X}_C\\ & =\frac{V_{\mathrm{s}}}{Z}\frac{1}{\omega C}.\end{array}$$

Tỉ số biên độ điện áp: Đặt mẫu số $D=\sqrt{(\omega CR{)}^2+({\omega }^{2}LC-1{)}^2}$:

$$\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{D}.$$

Khảo sát giới hạn:

Khi $\omega \to 0$ (tần số thấp):

Ta có $(\omega CR{)}^2\to 0$ và $({\omega }^{2}LC-1{)}^2\to (-1{)}^2=1$. Do đó:

$$\underset{\omega \to 0}{lim}\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{\sqrt{0+1}}=1.$$

Tín hiệu tần số thấp đi qua mà không bị suy giảm.

Khi $\omega \to \mathrm{\infty }$ (tần số cao):

Số hạng ${\omega }^{2}LC$ áp đảo số $1$ và số hạng bậc một $\omega CR$:

$$\begin{array}{rl}({\omega }^{2}LC-1{)}^2& \approx {\omega }^4{L}^2{C}^2\\ & \gg (\omega CR{)}^2.\end{array}$$

Khi đó mẫu số xấp xỉ $\sqrt{{\omega }^4{L}^2{C}^2}={\omega }^{2}LC$. Suy ra:

$$\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}\approx \frac{1}{{\omega }^{2}LC}\propto {\omega }^{-2}.$$

Biên độ điện áp giảm tỉ lệ nghịch với bình phương tần số góc, làm suy giảm các thành phần tần số cao. Mạch hoạt động đúng chức năng của bộ lọc thông thấp.

Bài tập 31: 49

Một mạch RLC nối tiếp được nối vào nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp không đổi $V$ và tần số góc $\omega$ biến thiên. (a) Chứng minh rằng biên độ dòng điện theo $\omega$ có dạng:

$$I=\frac{V}{\sqrt{R^2+{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2}}.$$

(b) Chứng minh rằng công suất tiêu thụ trung bình trên là:

$$P=\frac{V^{2}R}{2[R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C}{)}^2]}.$$

(c) Chứng minh rằng $I$ và $P$ đều đạt cực đại khi $\omega =1/\sqrt{LC}$, tức tần số góc cộng hưởng của mạch. (d) Vẽ đồ thị $P$ theo $\omega$ với $V=100\mathrm{V}$, $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=2,0\mathrm{H}$, và $C=0,50\mu \mathrm{F}$. So sánh dạng đồ thị với đường cong màu tím nhạt trên Hình 31.19. Thảo luận về đặc tính của $I$ và $P$ ở hai giới hạn $\omega \to 0$ và $\omega \to \mathrm{\infty }$.

Hình 31.19: Các đường cong cộng hưởng để đối chiếu đồ thị công suất

Chú thích:

• Điện trở càng nhỏ thì đỉnh cộng hưởng dòng càng cao và nhọn (The lower a circuit’s resistance, the higher and sharper is the resonance peak in the current near the resonance angular frequency ω0.)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát sự phụ thuộc vào tần số góc của dòng điện và công suất trong mạch RLC nối tiếp. Dữ liệu số, $V=100\mathrm{V}$, $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=2,0\mathrm{H}$, $C=0,50\mu \mathrm{F}$.

Hướng đi:

• Vì chỉ tiêu tán công suất trung bình, dùng $P=I^{2}R/2$. Cả dòng và công suất lớn nhất khi $X_L-X_C=0$.

• Áp dụng định luật Ohm cho mạch xoay chiều, $I=\frac{V}{Z}$.

• Dùng công thức công suất trung bình, $P=\frac{1}{2}{I}^{2}R$.

• Khảo sát cực trị qua mẫu số $Z$: Mẫu số nhỏ nhất khi thành phần phản kháng triệt tiêu.

• Thay số tính giá trị đỉnh và các điểm mốc để mô tả đồ thị.

(a) Với hiệu kháng $X=X_L-X_C=\omega L-\frac{1}{\omega C}$, của mạch:

$$Z=\sqrt{R^2+X^2}.$$

Biên độ dòng điện bằng biên độ điện áp chia cho :

$$I=\frac{V}{Z}=\frac{V}{\sqrt{R^2+X^2}}.$$

(b) Công suất tiêu thụ tức thời của mạch là $p(t)=i(t)v(t)$. Năng lượng trung bình chỉ tiêu hao trên thuần, do năng lượng trên và chỉ dao động thuận nghịch mà không tiêu tán năng lượng trung bình:

$$P=I_{\mathrm{rms}}^{2}R=\frac{1}{2}{I}^{2}R.$$

Thay biểu thức biên độ dòng điện $I$ từ câu (a):

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{1}{2}{I}^{2}R\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{V^2}{R^2+X^2}\right)R\\ & =\frac{V^{2}R}{2(R^2+X^2)}.\end{array}$$

(c) Trong cả hai biểu thức của $I$ và $P$, tử số là hằng số không phụ thuộc $\omega$. Mẫu số chứa đại lượng:

$$g(\omega )={(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2\ge 0.$$

Vì bình phương luôn không âm, mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $R$ (đối với $Z$) và $R^2$ (đối với mẫu của $P$) khi và chỉ khi:

$$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$$

$$⟹{\omega }^2=\frac{1}{LC}$$

$$⟹\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$

Khi đó $I$ và $P$ đồng thời đạt giá trị cực đại:

$$I_{\max }=\frac{V}{R},P_{\max }=\frac{V^2}{2R}.$$

(d) Với dữ kiện số:

Tần số góc cộng hưởng:

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=1000\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Giá trị công suất cực đại tại đỉnh cộng hưởng:

$$\begin{array}{rl}{P}_{\max }& =\frac{V^2}{2R}\\ & =\frac{10000}{400}=25,0\mathrm{W}.\end{array}$$

Biên độ dòng điện cực đại:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\max }& =\frac{V}{R}\\ & =\frac{100\mathrm{V}}{200\mathrm{\Omega }}=\mathrm{0,500}\mathrm{A}.\end{array}$$

Đồ thị $P(\omega )$ có đỉnh nhọn đối xứng quanh ${\omega }_0=1000\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ khi vẽ theo thang logarit, đạt cực đại $25,0\mathrm{W}$ và giảm nhanh về hai phía:

• Khi $\omega \to 0$: $X_C=\frac{1}{\omega C}\to \mathrm{\infty }$, đóng vai trò như mạch hở ngăn dòng điện một chiều, kéo theo $Z\to \mathrm{\infty }$, dẫn đến $I\to 0$ và $P\to 0$.
• Khi $\omega \to \mathrm{\infty }$: $X_L=\omega L\to \mathrm{\infty }$, suất điện động tự cảm của cuộn dây hoàn toàn ngăn chặn sự biến thiên nhanh của dòng điện, khiến $Z\to \mathrm{\infty }$, kéo theo $I\to 0$ và $P\to 0$.

Đồ thị lời giải 31.49: Biên độ dòng điện và công suất trung bình theo tần số góc

Bài tập 31: 50

Một mạch RLC nối tiếp được nối vào nguồn xoay chiều có biên độ điện áp không đổi $V$ và tần số góc $\omega$ biến thiên. Sử dụng kết quả bài 31.49, hãy tìm biểu thức cho (a) biên độ $V_L$ của điện áp trên hai đầu theo $\omega$, (b) biên độ $V_C$ của điện áp trên hai đầu theo $\omega$. (c) Hãy phác thảo đồ thị $V_L$ và $V_C$ theo $\omega$ với $V=100\mathrm{V}$, $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=2,0\mathrm{H}$, và $C=0,50\mu \mathrm{F}$. (d) Thảo luận đặc tính của $V_L$ và $V_C$ khi $\omega \to 0$ và $\omega \to \mathrm{\infty }$. Ở giá trị nào của $\omega$ thì $V_L=V_C$, và ý nghĩa vật lý của giá trị tần số góc này là gì?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tìm các biểu thức biên độ điện áp $V_L(\omega )$ và $V_C(\omega )$. Khảo sát giao điểm $V_L=V_C$ và các giới hạn với cùng thông số mạch ở bài 31.49.

Hướng đi:

• Vì điện áp từng phần tử bằng biên độ dòng nhân điện kháng, dùng $V_L=I\omega L$ và $V_C=I/(\omega C)$ với cùng hàm $I(\omega )$.

• Biên độ điện áp trên là $V_L=I{X}_L=\omega LI$.

• Biên độ điện áp trên là $V_C=I{X}_C=\frac{I}{\omega C}$.

• Giải phương trình $V_L=V_C$ để tìm tần số góc giao nhau.

• Xét các giới hạn khi tần số tiến về không và vô cực.

(a) Với $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$ và $Z=\sqrt{R^2+X^2}$, biên độ điện áp trên :

$$V_L(\omega )=I{X}_L=\frac{\omega LV}{Z}.$$

(b) Tương tự cho :

$$V_C(\omega )=I{X}_C=\frac{V}{\omega CZ}.$$

(c) Dựa vào các thông số $V=100\mathrm{V}$, $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=2,0\mathrm{H}$, $C=0,50\mu \mathrm{F}$, ta có ${\omega }_0=1000\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Tại tần số góc cộng hưởng ${\omega }_0$:

$$\begin{array}{rl}{V}_L({\omega }_0)& =V_C({\omega }_0)\\ & =\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\\ & =1000\mathrm{V}.\end{array}$$

Điện áp trên mỗi phần tử phản kháng tại tần số cộng hưởng lớn gấp $10$ lần điện áp nguồn, do hệ số phẩm chất của mạch là:

$$Q=\frac{{\omega }_{0}L}{R}=\frac{1000\times 2,0}{200}=10.$$

(d) Khảo sát các giới hạn:

• Khi $\omega \to 0$: Dòng điện tiến về $0$ tuyến tính với $\omega$, nên $V_L\to 0$. Mặt khác, toàn bộ điện áp nguồn rơi trên hở mạch:

Với mẫu số tiến về $\sqrt{0+(-1{)}^2}=1$:

$$\underset{\omega \to 0}{lim}{V}_C=\frac{V}{1}=100\mathrm{V}.$$

• Khi $\omega \to \mathrm{\infty }$: triệt tiêu nên $V_C\to 0$. Toàn bộ điện áp nguồn rơi trên :

Với mẫu số tiến về $\sqrt{0+L^2}=L$:

$$\underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{lim}{V}_L=\frac{VL}{L}=100\mathrm{V}.$$

Phương trình $V_L=V_C$ tương đương với:

$$I\omega L=\frac{I}{\omega C}$$

$$⟹{\omega }^2=\frac{1}{LC}$$

$$⟹\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}={\omega }_0.$$

Giá trị này chính là tần số góc cộng hưởng tự nhiên của mạch, nơi hai điện áp phản kháng có biên độ bằng nhau và ngược pha ${180}^{\circ }$, triệt tiêu hoàn toàn tác dụng cản trở lẫn nhau trên toàn mạch.

Đồ thị lời giải 31.50: Điện áp trên L và C có cực đại ở hai tần số khác nhau

Bài tập 31: 51

Trong một mạch RLC nối tiếp, độ lớn của góc lệch pha là $54,0^{\circ }$, với điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện. của là $350\mathrm{\Omega }$, thuần là $180\mathrm{\Omega }$. Công suất trung bình do nguồn cung cấp là $140\mathrm{W}$. Hãy tìm (a) của , (b) dòng điện hiệu dụng trong mạch, (c) của nguồn.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp có $R=180\mathrm{\Omega }$, $X_C=350\mathrm{\Omega }$. Điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện, suy ra $\varphi =-54,0^{\circ }$. Công suất trung bình $P_{\mathrm{tb}}=140\mathrm{W}$.

Hướng đi:

• Vì điện áp trễ dòng, chọn $\varphi <0$ khi tìm . Công suất và xác định trực tiếp .

• Dùng công thức $\tan \varphi =\frac{X_L-X_C}{R}$ để giải ra $X_L$.

• Dùng công thức $P_{\mathrm{tb}}=I_{\mathrm{rms}}^{2}R$ để tính dòng điện hiệu dụng $I_{\mathrm{rms}}$.

• Tính $Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$ rồi suy ra nguồn $V_{\mathrm{rms}}=I_{\mathrm{rms}}Z$.

(a) Vì điện áp nguồn trễ pha hơn dòng điện nên $\varphi =-54,0^{\circ }$:

$$\begin{array}{rl}{X}_L-X_C& =R\tan (-54,0^{\circ })\\ & \approx 180(-\mathrm{1,376}4)\\ & \approx -247,75\mathrm{\Omega },\end{array}$$

$$X_L=350-247,75\approx 102\mathrm{\Omega }.$$

(b) Dòng điện hiệu dụng trong mạch:

$$\begin{array}{rl}{I}_{\mathrm{rms}}& =\sqrt{\frac{P_{\mathrm{tb}}}{R}}\\ & =\sqrt{\frac{140\mathrm{W}}{180\mathrm{\Omega }}}\\ & =\sqrt{\mathrm{0,777}8}\\ & \approx \mathrm{0,882}\mathrm{A}.\end{array}$$

(c) toàn phần của mạch:

Với $X=X_L-X_C\approx -247,75\mathrm{\Omega }$:

$$Z=\sqrt{R^2+X^2}\approx 306,23\mathrm{\Omega }.$$

của nguồn:

$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{rms}}& =I_{\mathrm{rms}}Z\\ & =\mathrm{0,881}9\mathrm{A}\times 306,23\mathrm{\Omega }\\ & \approx 270\mathrm{V}.\end{array}$$

Bài tập 31: 52

Điện thoại di động dùng công nghệ 4G nhận tín hiệu phát sóng trong dải tần từ $2\mathrm{GHz}$ đến $8\mathrm{GHz}$. (a) Nếu bạn muốn chế tạo một mạch cộng hưởng RLC nối tiếp đơn giản để thu tín hiệu điện thoại tần số $4,0\mathrm{GHz}$, tích số $LC$ cần có giá trị bằng bao nhiêu? (b) Nếu chọn có điện dung $C=1,0\times {10}^{-15}\mathrm{F}$, độ tự cảm $L$ cần dùng là bao nhiêu? (c) Giả sử bạn tự quấn một hình xuyến để đặt vừa bên trong vỏ điện thoại mỏng. Dựa vào độ dày điện thoại, hãy ước tính diện tích tiết diện lớn nhất có thể của cuộn xuyến này. (d) Giả sử bán kính lớn nhất cho phép của cuộn xuyến là $1,0\mathrm{cm}$, hãy ước tính số vòng dây nhỏ nhất cần quấn, giả định lõi cuộn dây là vật liệu phi từ tính có độ từ thẩm tương đối bằng $1$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tín hiệu có tần số $f=4,0\mathrm{GHz}=4,0\times {10}^9\mathrm{Hz}$. Tần số góc tương ứng ${\omega }_0=2\pi f$. Tìm tích số $LC$, tính $L$ khi $C=1,0\times {10}^{-15}\mathrm{F}$, và ước lượng các thông số hình học của hình xuyến đặt trong điện thoại.

Hướng đi:

• Vì cần cộng hưởng ở tần số đã chọn, tích $LC$ phải bằng $1/(2\pi f{)}^2$. Diện tích có thể bố trí quyết định số vòng của cuộn xuyến.

• Dùng điều kiện cộng hưởng, ${\omega }_0^2=\frac{1}{LC}⟹LC=\frac{1}{(2\pi f{)}^2}$.

• Tính độ tự cảm $L=\frac{LC}{C}$.

• Đo khoảng trống bố trí cuộn dây để ước lượng diện tích $A$. Dùng tiết diện đường kính $5\mathrm{mm}$ làm một trường hợp số cụ thể.

• Dùng công thức tự cảm ống xuyến $L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{2\pi r}$ để giải ra số vòng dây $N$.

(a) Tần số góc của sóng mang:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =2\pi f\\ & =2\pi \times (4,0\times {10}^9\mathrm{Hz})\\ & \approx \mathrm{2,513}\times {10}^{10}\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Tích số $LC$ cần thiết để cộng hưởng:

$$\begin{array}{rl}LC& =\frac{1}{{\omega }_0^2}\\ & \approx 1,58\times {10}^{-21}{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

(b) Với $C=1,0\times {10}^{-15}\mathrm{F}$ ($1,0\mathrm{fF}$):

$$\begin{array}{rl}L& =\frac{LC}{C}\\ & =\frac{\mathrm{1,583}\times {10}^{-21}{\mathrm{s}}^2}{1,0\times {10}^{-15}\mathrm{F}}\\ & \approx 1,58\times {10}^{-6}\mathrm{H}\\ & =1,58\mu \mathrm{H}.\end{array}$$

(c) Gọi $d$ là kích thước tiết diện tròn lớn nhất có thể bố trí trong hộp mỏng đã chọn. Diện tích tương ứng là $A=\pi d^2/4$. Chẳng hạn, với giả thiết khoảng trống cho phép $d=5,0\mathrm{mm}$, tiết diện ngang tròn tối đa của cuộn dây có bán kính $r_{\mathrm{wire}}\approx 2,5\mathrm{mm}=2,5\times {10}^{-3}\mathrm{m}$:

$$\begin{array}{rl}A& \approx \pi r_{\mathrm{wire}}^2\\ & =\pi (2,5\times {10}^{-3}{)}^2\\ & \approx 1,96\times {10}^{-5}{\mathrm{m}}^2\\ & \approx 0,20{\mathrm{cm}}^2.\end{array}$$

(d) Bán kính trung bình lớn nhất cho phép của vòng xuyến là $r=1,0\mathrm{cm}=\mathrm{0,010}\mathrm{m}$. Độ tự cảm của cuộn dây hình xuyến lõi không khí (${\mu }_r=1$):

$$L=\frac{{\mu }_0{N}^{2}A}{2\pi r}.$$

Suy ra số vòng dây cần quấn:

$$\begin{array}{rl}N& =\sqrt{\frac{2\pi rL}{{\mu }_{0}A}}\\ & =\sqrt{4032}\\ & \approx 64\mathrm{turns}.\end{array}$$

Bài tập 31: 53

Năm bản dẫn hình bán nguyệt bán kính $a$ được gắn trên một trục dẫn chung, song song và cách nhau $g$. Một bộ năm bản tương tự gắn trên trục thứ hai, đan xen ngược chiều với bộ thứ nhất. Các bản khác bộ cách nhau $g/2$, hai bộ cách điện và có thể quay tương đối. tỉ lệ với góc phần diện tích chồng lên nhau $\theta$. (a) Tìm $C$ theo $a$, $g$, $\theta$, với góc tính bằng radian.

Cho $a=6,00\mathrm{cm}$, $g=2,00\mathrm{mm}$. Tụ nối tiếp $100\mu \mathrm{H}$ và $10,0\mathrm{\Omega }$. Tín hiệu khuếch đại từ ăng-ten cấp cho mạch, điện áp ra được lấy trên tụ.

(b) Chọn góc bao nhiêu độ để thu tín hiệu cộng hưởng 1180 kHz? (c) Nếu tín hiệu vào có biên độ 100,0 mV và tần số ấy, tìm biên độ ra. (d) Khi góc bằng 120 độ, mạch thu tần số nào? (e) Tín hiệu vào cộng hưởng với thiết lập mới và có biên độ 100 mV cho điện áp ra biên độ bao nhiêu?

Hình P31.53: Hai bộ năm bản dẫn hình bán nguyệt đan xen để thay đổi diện tích chồng lên nhau.

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai bộ dẫn gồm tổng cộng mười bản. Mỗi khe giữa các bản khác bộ có độ rộng $g/2$. Các điện áp ra được lấy trên tụ trong mạch RLC nối tiếp.

Hướng đi:

• Đếm các khe giữa bản kề nhau, vì phát sinh ở các vùng có hai mặt dẫn đối diện và khác điện thế.
• Dùng diện tích hình quạt và mô hình tụ phẳng, bỏ qua điện trường mép. Góc trong diện tích phải dùng radian.
• Cộng các song song, vì tất cả khe cùng nối giữa hai trục dẫn.
• Dùng cộng hưởng ${\omega }^{2}LC=1$ để chọn góc, rồi tính điện áp tụ bằng biên độ dòng nhân .

Lời giải:

(a) Mười bản xen kẽ có chín khe. Các bản của cùng một bộ chung điện thế, nên chín khe đều chịu cùng hiệu điện thế.

Hình giải 31.53: Lát cắt của mười bản xen kẽ cho chín khe giữa các điện thế khác nhau.

Diện tích chồng lên nhau ở mỗi khe:

$$A=\frac{1}{2}{a}^2\theta .$$

một khe:

$$\begin{array}{rl}{C}_1& =\frac{{\epsilon }_{0}A}{g/2}\\ & =\frac{{\epsilon }_0{a}^2\theta }{g}.\end{array}$$

Chín bằng nhau và nối song song:

$$C=C_1+C_2+\cdots +C_9=9C_1=\frac{9{\epsilon }_0{a}^2\theta }{g}.$$

(b) Tần số 1180 kHz đòi hỏi

$$\begin{array}{rl}{C}_{\mathrm{res}}& =\frac{1}{(2\pi f{)}^{2}L}\\ & \approx 181,9\mathrm{pF}.\end{array}$$

Suy ra góc:

$$\begin{array}{rl}\theta & =\frac{C_{\mathrm{res}}g}{9{\epsilon }_0{a}^2}\\ & \approx \mathrm{1,268}\mathrm{rad}\\ & \approx 72,7^{\circ }.\end{array}$$

(c) Ở cộng hưởng, $Z=R$ nên

$$I=\frac{V_{\mathrm{in}}}{R}=\mathrm{0,010}0\mathrm{A}.$$

Vì $X_C=X_L=\omega L$:

$$V_{\mathrm{out}}=I\omega L\approx 7,41\mathrm{V}.$$

Điện áp tụ lớn hơn điện áp vào là kết quả năng lượng được tích trữ và trao đổi tuần hoàn giữa hai phần tử phản kháng. Điện áp cuộn có biên độ bằng điện áp tụ và ngược pha, nên chúng triệt tiêu trong tổng điện áp nguồn.

(d) Đổi 120 độ sang $2\pi /3$ rad. mới:

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{9{\epsilon }_0{a}^2}{g}\frac{2\pi }{3}\\ & \approx 300,4\mathrm{pF}.\end{array}$$

Tần số cộng hưởng:

$$f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\approx 918\mathrm{kHz}.$$

(e) Với biên độ vào giữ 100 mV và nguồn ở cộng hưởng mới:

$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{out}}& =\frac{V_{\mathrm{in}}}{R}2\pi fL\\ & \approx 5,77\mathrm{V}.\end{array}$$

Bài tập 31: 54

Mạch RLC song song. Một thuần, một và một được mắc song song với nhau vào nguồn xoay chiều có biên độ điện áp $V$ và tần số góc $\omega$. Cho điện áp nguồn là $v(t)=V\cos (\omega t)$. (a) Chứng minh rằng điện áp tức thời trên mỗi nhánh $v_R$, $v_L$, $v_C$ tại mọi thời điểm đều bằng $v(t)$, và dòng điện qua nguồn là $i=i_R+i_L+i_C$, trong đó $i_R$, $i_L$, $i_C$ lần lượt là dòng điện tức thời qua điện trở, cuộn cảm và tụ điện. (b) Tìm pha của $i_R$, $i_L$, $i_C$ so với $v(t)$ và biểu diễn các dòng điện này trên giản đồ vectơ Fresnel. (c) Dùng giản đồ vectơ để chứng minh rằng biên độ dòng điện $I$ qua nguồn thỏa mãn $I=\sqrt{I_R^2+(I_C-I_L{)}^2}$. (d) Chứng minh rằng kết quả trên có thể viết lại dưới dạng $I=V/Z$, với đại lượng nghịch đảo :

$$\frac{1}{Z}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{(\omega C-\frac{1}{\omega L})}^2}.$$

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát mạch ba phần tử $R,L,C$ mắc song song vào nguồn $v(t)=V\cos (\omega t)$.

Hướng đi:

• Vì các nhánh song song có chung điện áp nhưng khác pha dòng, dùng định luật nút và tổng hợp vector dòng để tìm biên độ nguồn.

• Áp dụng các định luật Kirchhoff cho đoạn mạch song song: Các nhánh chung hai điểm nút nên có cùng điện áp tức thời. Dòng điện tổng bằng tổng các dòng điện nhánh.

• Dùng quan hệ pha chuẩn: Dòng điện qua cùng pha với điện áp. Dòng qua tụ sớm pha ${90}^{\circ }$ so với điện áp. Dòng qua trễ pha ${90}^{\circ }$ so với điện áp.

• Tổng hợp vectơ biên độ dòng điện trên mặt phẳng phức hoặc giản đồ Fresnel để suy ra biên độ dòng điện tổng và dẫn nạp toàn phần $1/Z$.

(a) Vì ba phần tử $R,L,C$ được mắc song song vào hai đầu nguồn điện, theo định luật Kirchhoff về điện áp cho các vòng mạch kín song song, hiệu điện thế tức thời giữa hai điểm đầu cuối của mỗi nhánh luôn bằng hiệu điện thế tức thời của nguồn:

$$\begin{array}{rl}{v}_R(t)& =v_L(t)\\ & =v_C(t)\\ & =v(t)\\ & =V\cos (\omega t).\end{array}$$

Theo định luật Kirchhoff về dòng điện tại nút mạch phân nhánh, dòng điện tổng tức thời cấp từ nguồn bằng tổng các dòng điện tức thời rẽ vào từng nhánh:

$$i(t)=i_R(t)+i_L(t)+i_C(t).$$

(b) Pha của các dòng điện thành phần đối với điện áp $v(t)$:

• Dòng điện qua cùng pha với điện áp, $i_R(t)=I_R\cos (\omega t)$ với biên độ $I_R=\frac{V}{R}$.
• Dòng điện qua trễ pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với điện áp, $i_L(t)=I_L\cos (\omega t-\pi /2)$, hay $i_L(t)=I_L\sin (\omega t)$ với biên độ $I_L=\frac{V}{X_L}=\frac{V}{\omega L}$.
• Dòng điện qua sớm pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với điện áp:

$$i_C(t)=I_C\cos (\omega t+\pi /2)=-I_C\sin (\omega t)$$

với biên độ $I_C=\frac{V}{X_C}=\omega CV$.

Trên giản đồ vectơ Fresnel:

• Trục gốc chọn theo vectơ điện áp $\overrightarrow{V}$ nằm ngang theo phương dương trục hoành.
• Vectơ dòng điện ${\overrightarrow{I}}_R$ nằm dọc theo trục hoành, cùng chiều với $\overrightarrow{V}$.
• Vectơ dòng điện ${\overrightarrow{I}}_C$ hướng thẳng đứng lên trên theo chiều dương trục tung (sớm pha $\pi /2$).
• Vectơ dòng điện ${\overrightarrow{I}}_L$ hướng thẳng đứng xuống dưới theo chiều âm trục tung (trễ pha $\pi /2$).

(c) Hai vectơ ${\overrightarrow{I}}_C$ và ${\overrightarrow{I}}_L$ cùng nằm trên trục tung nhưng ngược chiều nhau. Vectơ tổng hợp của hai dòng phản kháng có độ dài đại số là $I_C-I_L$ hướng theo trục tung.

Vì trục tung vuông góc với trục hoành chứa ${\overrightarrow{I}}_R$, vectơ dòng điện tổng qua nguồn $\overrightarrow{I}={\overrightarrow{I}}_R+({\overrightarrow{I}}_C+{\overrightarrow{I}}_L)$ tạo thành cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $I_R$ và $|I_C-I_L|$.

Theo định lý Pythagoras:

$$I=\sqrt{I_R^2+(I_C-I_L{)}^2}.$$

(d) Thay các biểu thức biên độ dòng điện theo biên độ điện áp $V$:

$$\begin{array}{rl}{I}_R& =\frac{V}{R},\\ & I_C\\ & =\omega CV,\\ & I_L\\ & =\frac{V}{\omega L}.\end{array}$$

Đặt $V$ ra ngoài căn thức: Đặt $B=\omega C-1/(\omega L)$, có đơn vị siemens.

$$I=\sqrt{I_R^2+(I_C-I_L{)}^2}=V\sqrt{\frac{1}{R^2}+B^2}.$$

Định nghĩa tương đương $Z$ của mạch song song thông qua hệ thức định luật Ohm $I=\frac{V}{Z}$, ta suy ra đại lượng nghịch đảo trở kháng (dẫn nạp toàn phần $Y=1/Z$):

$$\frac{1}{Z}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{(\omega C-\frac{1}{\omega L})}^2}.$$

Giản đồ pha lời giải 31.54: Tổng dòng trong hai trường hợp mạch song song

Bài tập 31: 55

của mạch RLC song song đã được thiết lập ở bài 31.54. (a) Chứng minh rằng tại tần số góc cộng hưởng ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$, trở kháng $Z$ đạt giá trị cực đại và do đó dòng điện cấp từ nguồn xoay chiều đạt giá trị cực tiểu. (b) Một $100\mathrm{\Omega }$, một $\mathrm{0,100}\mu \mathrm{F}$, và một $\mathrm{0,300}\mathrm{H}$ được mắc song song với nhau vào nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $240\mathrm{V}$. Tần số góc cộng hưởng của mạch là bao nhiêu? Đối với mạch này, hãy tìm. (c) biên độ dòng điện cực đại qua nguồn ở tần số cộng hưởng, (d) biên độ dòng điện qua điện trở khi cộng hưởng, (e) biên độ dòng điện qua cuộn cảm khi cộng hưởng, (f) biên độ dòng điện qua nhánh chứa tụ điện khi cộng hưởng.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát cộng hưởng mạch song song (). Dữ liệu số, $R=100\mathrm{\Omega }$, $C=\mathrm{0,100}\mu \mathrm{F}$, $L=\mathrm{0,300}\mathrm{H}$, $V=240\mathrm{V}$.

Hướng đi:

• Vì biên độ nguồn cố định, dòng nguồn nhỏ nhất khi hai dòng phản kháng triệt tiêu. Dòng riêng từng nhánh vẫn có thể khác không.

• Xét cực trị của hàm dẫn nạp $\frac{1}{Z}$: Dẫn nạp nhỏ nhất khi phần phản kháng triệt tiêu, suy ra $Z$ cực đại và dòng điện qua nguồn cực tiểu.

• Tính ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

• Tại ${\omega }_0$, $I_{\mathrm{source}}=\frac{V}{R}$, $I_R=\frac{V}{R}$, $I_L=\frac{V}{{\omega }_{0}L}$, $I_C=V{\omega }_{0}C$.

(a) Biểu thức dẫn nạp của mạch song song:

$$\frac{1}{Z}=\sqrt{\frac{1}{R^2}+{(\omega C-\frac{1}{\omega L})}^2}.$$

Số hạng ${(\omega C-\frac{1}{\omega L})}^2\ge 0$ luôn không âm. Đại lượng $\frac{1}{Z}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

$$\begin{array}{rl}\omega C-\frac{1}{\omega L}& =0\\ & ⟹\omega \\ & =\frac{1}{\sqrt{LC}}\\ & ={\omega }_0.\end{array}$$

Khi dẫn nạp $\frac{1}{Z}$ đạt giá trị cực tiểu $\frac{1}{Z_{\min }}=\frac{1}{R}$, của mạch $Z$ đạt giá trị cực đại $Z_{\max }=R$. Do đó, biên độ dòng điện cấp từ nguồn vào mạch $I=\frac{V}{Z}$ đạt giá trị cực tiểu $I_{\min }=\frac{V}{R}$.

(b) Tần số góc cộng hưởng của mạch:

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\approx 5774\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

(c) Biên độ dòng điện qua nguồn ở tần số cộng hưởng:

$$I=\frac{V}{R}=\frac{240\mathrm{V}}{100\mathrm{\Omega }}=2,40\mathrm{A}.$$

(d) Biên độ dòng điện qua :

$$\begin{array}{rl}{I}_R& =\frac{V}{R}\\ & =\frac{240\mathrm{V}}{100\mathrm{\Omega }}\\ & =2,40\mathrm{A}.\end{array}$$

(e) Biên độ dòng điện qua :

$$I_L=\frac{V}{{\omega }_{0}L}\approx \mathrm{0,139}\mathrm{A}.$$

(f) Biên độ dòng điện qua :

$$I_C=V{\omega }_{0}C\approx \mathrm{0,139}\mathrm{A}.$$

Hai dòng điện phản kháng $i_L$ và $i_C$ có cùng biên độ $\mathrm{0,139}\mathrm{A}$ nhưng ngược pha nhau hoàn toàn, chúng triệt tiêu nhau tại nút mạch và tự dao động tuần hoàn qua lại giữa và .

Bài tập 31: 56

Một $400\mathrm{\Omega }$ và một $6,00\mu \mathrm{F}$ được mắc song song với nhau vào máy phát điện xoay chiều cung cấp $180\mathrm{V}$ ở tần số góc $360\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Dùng kết quả bài 31.54, lưu ý do không có nên thành phần $1/(\omega L)$ bằng không. Hãy tìm (a) biên độ dòng điện qua điện trở, (b) biên độ dòng điện qua tụ điện, (c) góc lệch pha của dòng điện qua nguồn đối với điện áp nguồn, (d) biên độ dòng điện qua máy phát điện, (e) Dòng điện qua nguồn sớm pha hay trễ pha hơn điện áp nguồn?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch $R\text{-}C$ song song có $R=400\mathrm{\Omega }$, $C=6,00\mu \mathrm{F}$, $V_{\mathrm{rms}}=180\mathrm{V}$, $\omega =360\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Vì mạch RC song song có điện áp chung, dòng R cùng pha còn dòng C sớm pha một góc vuông. Dòng nguồn là tổng vector hai dòng.

• Tính biên độ điện áp nguồn, $V=V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}$.

• Dùng $I_R=\frac{V}{R}$ và $I_C=\omega CV$.

• Tổng hợp dòng điện bằng giản đồ vectơ Fresnel, $I=\sqrt{I_R^2+I_C^2}$, góc pha $\tan \varphi =\frac{I_C}{I_R}$.

Biên độ điện áp xoay chiều của nguồn:

$$\begin{array}{rl}V& =V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}\\ & =180\times \sqrt{2}\\ & \approx 254,56\mathrm{V}.\end{array}$$

(a) Biên độ dòng điện qua :

$$\begin{array}{rl}{I}_R& =\frac{V}{R}\\ & =\frac{254,56\mathrm{V}}{400\mathrm{\Omega }}\\ & \approx \mathrm{0,636}\mathrm{A}.\end{array}$$

(b) Biên độ dòng điện qua :

$$I_C=\omega CV\approx \mathrm{0,550}\mathrm{A}.$$

(c) Góc lệch pha giữa dòng điện qua nguồn và điện áp:

$$\begin{array}{rl}\tan \varphi & =\frac{I_C}{I_R}\\ & =\frac{\mathrm{0,549}8\mathrm{A}}{\mathrm{0,636}4\mathrm{A}}\\ & \approx \mathrm{0,863}9.\end{array}$$

Suy ra:

$$\varphi =\arctan (\mathrm{0,863}9)\approx 40,8^{\circ }.$$

(d) Biên độ dòng điện tổng cộng chạy qua máy phát điện:

$$I=\sqrt{I_R^2+I_C^2}\approx \mathrm{0,841}\mathrm{A}.$$

(e) Vì $\varphi >0$ (dòng điện qua nhánh hướng lên trên trục tung của giản đồ Fresnel), dòng điện tổng qua nguồn sớm pha hơn điện áp nguồn một góc $40,8^{\circ }$.

Bài tập 31: 57

Một mạch RLC nối tiếp gồm một $2,50\mu \mathrm{F}$, một $5,00\mathrm{mH}$, và một $75,0\mathrm{\Omega }$ được nối vào nguồn xoay chiều có biên độ điện áp $15,0\mathrm{V}$ với tần số biến thiên. (a) Trong điều kiện nào thì công suất trung bình cung cấp cho mạch bằng $\frac{1}{2}{V}_{\mathrm{rms}}{I}_{\mathrm{rms}}$? (b) Dưới điều kiện của câu (a), công suất trung bình cung cấp cho từng phần tử của mạch là bao nhiêu và dòng điện cực đại qua tụ điện bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Có $L=5,00\mathrm{mH}$, $C=2,50\mu \mathrm{F}$, $R=75,0\mathrm{\Omega }$ và biên độ nguồn $V=15,0\mathrm{V}$. Tìm tần số góc để bằng $1/2$, rồi tính công suất trung bình từng phần tử và biên độ dòng qua tụ.

Hướng đi:

• Dùng $\cos \varphi =R/Z=1/2$ để tìm và độ lớn hiệu điện kháng.
• Giữ cả hai dấu của $\varphi$, vì cosin không phân biệt mạch có tính cảm với mạch có tính dung.
• Dùng công suất Joule cho . và tụ lý tưởng chỉ tích trữ rồi hoàn trả năng lượng, nên công suất trung bình của chúng bằng không.

(a) Với $R>0$, góc pha nằm trong khoảng $-\pi /2<\varphi <\pi /2$. Điều kiện đã cho tương đương:

$$\begin{array}{rl}\varphi & =\pm {60}^{\circ },\\ X_L-X_C& =\pm R\sqrt{3}.\end{array}$$

Đặt $A=R\sqrt{3}$ và $D=\sqrt{A^2+4L/C}$. Nhân phương trình điện kháng với $\omega >0$:

$$L{\omega }^2\mp A\omega -\frac{1}{C}=0.$$

Mỗi dấu có một nghiệm dương:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{-}& =\frac{D-A}{2L}\\ & =2781,43\mathrm{rad}/\mathrm{s},\\ {\omega }_{+}& =\frac{D+A}{2L}\\ & =28762,19\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Nghiệm thấp có $\varphi =-{60}^{\circ }$ và mạch mang tính dung. Nghiệm cao có $\varphi =+{60}^{\circ }$ và mạch mang tính cảm.

(b) Ở cả hai nghiệm:

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{R}{\cos \varphi }=150\mathrm{\Omega },\\ I& =\frac{V}{Z}=\mathrm{0,100}\mathrm{A},\\ P_R& =\frac{1}{2}{I}^{2}R=\mathrm{0,375}\mathrm{W}.\end{array}$$

Các phần tử mắc nối tiếp nên biên độ dòng qua tụ cũng bằng $\mathrm{0,100}\mathrm{A}$. Đối với và lý tưởng:

$$P_L=P_C=0.$$

Bài tập 31: 58

Một mạch RLC nối tiếp có $R=60,0\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,800}\mathrm{H}$, và $C=3,00\times {10}^{-4}\mathrm{F}$. Nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $90,0\mathrm{V}$ và tần số góc $120\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) Năng lượng cực đại tích trữ trong là bao nhiêu? (b) Khi năng lượng tích trữ trong cuộn cảm đạt cực đại, năng lượng tích trữ trong là bao nhiêu? (c) Năng lượng cực đại tích trữ trong tụ điện là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp có $R=60,0\mathrm{\Omega }$, $L=\mathrm{0,800}\mathrm{H}$, $C=3,00\times {10}^{-4}\mathrm{F}$, $V=90,0\mathrm{V}$, $\omega =120\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Vì năng lượng từ trường tỉ lệ $i^2$ còn năng lượng điện trường tỉ lệ $q^2$, dùng $q$ và $i$ vuông pha để xét thời điểm cực đại.

• Tính các $X_L=\omega L$, $X_C=\frac{1}{\omega C}$, trở kháng toàn mạch $Z$ và biên độ dòng điện $I$.

• Năng lượng cực đại trên , $U_{L,\max }=\frac{1}{2}L{I}^2$.

• Dùng độ lệch pha giữa dòng điện và điện tích: Dòng điện là của điện tích, khi dòng điện cực đại thì điện tích trên tụ bằng không.

• Năng lượng cực đại trên , $U_{C,\max }=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}\frac{(I/\omega {)}^2}{C}$.

và :

$$X_L=\omega L=96,0\mathrm{\Omega },$$

$$X_C=\frac{1}{\omega C}\approx 27,78\mathrm{\Omega }.$$

toàn phần của mạch:

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}\approx 90,85\mathrm{\Omega }.$$

Biên độ dòng điện trong mạch:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V}{Z}\\ & =\frac{90,0\mathrm{V}}{90,85\mathrm{\Omega }}\\ & \approx \mathrm{0,990}6\mathrm{A}.\end{array}$$

(a) Năng lượng cực đại tích trữ trong từ trường :

$$\begin{array}{rl}{U}_{L,\max }& =\frac{1}{2}L{I}^2\\ & \approx \mathrm{0,393}\mathrm{J}.\end{array}$$

(b) Điện tích tức thời $q(t)$ và dòng điện tức thời $i(t)$ trong mạch dao động lệch pha nhau một góc ${90}^{\circ }$:

$$i(t)=\frac{dq(t)}{dt}.$$

Do đó, tại thời điểm dòng điện đạt giá trị cực đại ($i=\pm I$), tốc độ biến thiên điện tích cực đại ứng với lúc điện tích trên bản bằng không ($q=0$).

Vì $q=0$, năng lượng điện trường tức thời tích trữ trong bằng không:

$$U_C=0\mathrm{J}.$$

(c) Biên độ điện tích trên các bản :

$$\begin{array}{rl}Q& =\frac{I}{\omega }\\ & =\frac{\mathrm{0,990}6\mathrm{A}}{120\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\\ & \approx \mathrm{8,255}\times {10}^{-3}\mathrm{C}.\end{array}$$

Năng lượng cực đại tích trữ trong :

$$\begin{array}{rl}{U}_{C,\max }& =\frac{Q^2}{2C}\\ & =\frac{(\mathrm{8,255}\times {10}^{-3}{)}^2}{2\times 3,00\times {10}^{-4}}\\ & \approx \mathrm{0,114}\mathrm{J}.\end{array}$$

Bài tập 31: 59

Trong một mạch RLC nối tiếp, nguồn điện xoay chiều có biên độ điện áp $120\mathrm{V}$, thuần $R=80,0\mathrm{\Omega }$, và của là $480\mathrm{\Omega }$. Biên độ điện áp trên hai bản tụ điện là $360\mathrm{V}$. (a) Biên độ dòng điện trong mạch là bao nhiêu? (b) của mạch bằng bao nhiêu? (c) của có thể nhận hai giá trị nào? (d) Với giá trị nào trong hai giá trị tìm được ở câu (c) thì tần số góc của nguồn nhỏ hơn tần số góc cộng hưởng? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp có $V=120\mathrm{V}$, $R=80,0\mathrm{\Omega }$, $X_C=480\mathrm{\Omega }$, $V_C=360\mathrm{V}$.

Hướng đi:

• Vì điện áp tụ và đã biết, tìm dòng trước. Phương trình $Z^2=R^2+(X_L-X_C{)}^2$ giữ cả hai dấu của hiệu điện kháng.

• Tính biên độ dòng điện từ $I=\frac{V_C}{X_C}$.

• Tính toàn phần từ $Z=\frac{V}{I}$.

• Giải phương trình $Z^2=R^2+(X_L-X_C{)}^2$ để tìm hai nghiệm của $X_L$.

• So sánh $X_L$ với giá trị tại cộng hưởng để kết luận về tần số góc.

(a) Biên độ dòng điện trong mạch:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_C}{X_C}\\ & =\frac{360\mathrm{V}}{480\mathrm{\Omega }}\\ & =\mathrm{0,750}\mathrm{A}.\end{array}$$

(b) toàn phần của mạch:

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{V}{I}\\ & =\frac{120\mathrm{V}}{\mathrm{0,750}\mathrm{A}}\\ & =160\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(c) Hệ thức liên hệ giữa , và các kháng:

$$Z^2=R^2+(X_L-X_C{)}^2.$$

Thay số:

$$(X_L-480{)}^2={160}^2-80,0^2=25600-6400=19200.$$

Khai căn hai vế:

$$X_L-480=\pm \sqrt{19200}\approx \pm 138,56\mathrm{\Omega }.$$

Hai giá trị có thể có của :

$$X_{L,1}=(480-138,56)\mathrm{\Omega }\approx 341\mathrm{\Omega },$$

$$X_{L,2}=(480+138,56)\mathrm{\Omega }\approx 619\mathrm{\Omega }.$$

(d) Với các thông số $L$, $C$ cố định:

$$\frac{X_L}{X_C}={\omega }^{2}LC.$$

Do đó $\omega <{\omega }_0$ khi và chỉ khi $X_L<X_C$. Nghiệm $X_L=341\mathrm{\Omega }$ nhỏ hơn $X_C=480\mathrm{\Omega }$, nên ứng với tần số dưới cộng hưởng. Nghiệm $X_L=619\mathrm{\Omega }$ ứng với tần số trên cộng hưởng.

Bài tập 31: 60

Trong một mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp, nguồn điện có biên độ điện áp $240\mathrm{V}$, thuần $R=90,0\mathrm{\Omega }$, và của là $320\mathrm{\Omega }$. Biên độ điện áp trên điện trở thuần là $135\mathrm{V}$. (a) Biên độ dòng điện trong mạch là bao nhiêu? (b) Biên độ điện áp trên cuộn cảm bằng bao nhiêu? (c) của có thể nhận hai giá trị nào? (d) Với giá trị nào trong hai giá trị tìm được ở câu (c) thì tần số góc nhỏ hơn tần số góc cộng hưởng? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp có $V=240\mathrm{V}$, $R=90,0\mathrm{\Omega }$, $X_L=320\mathrm{\Omega }$, $V_R=135\mathrm{V}$.

Hướng đi:

• Vì điện áp xác định dòng, suy nguồn rồi giải phương trình bình phương để giữ cả hai nghiệm .

• Tính biên độ dòng điện từ định luật Ohm trên thuần, $I=\frac{V_R}{R}$.

• Tính biên độ điện áp , $V_L=I{X}_L$.

• Tính toàn mạch $Z=\frac{V}{I}$ rồi giải phương trình tìm hai nghiệm của $X_C$.

• Phân tích điều kiện tần số góc nhỏ hơn tần số cộng hưởng đối với $X_C\propto 1/\omega$.

(a) Biên độ dòng điện trong mạch:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_R}{R}\\ & =\frac{135\mathrm{V}}{90,0\mathrm{\Omega }}\\ & =1,50\mathrm{A}.\end{array}$$

(b) Biên độ điện áp trên :

$$\begin{array}{rl}{V}_L& =I{X}_L\\ & =1,50\mathrm{A}\times 320\mathrm{\Omega }\\ & =480\mathrm{V}.\end{array}$$

(c) toàn phần của mạch:

$$Z=\frac{V}{I}=\frac{240\mathrm{V}}{1,50\mathrm{A}}=160\mathrm{\Omega }.$$

Ta có hệ thức:

$$\begin{array}{rl}(X_L-X_C{)}^2& =Z^2-R^2\\ & ={160}^2-90,0^2\\ & =25600-8100\\ & =17500.\end{array}$$

Khai căn:

$$|320-X_C|=\sqrt{17500}\approx 132,29\mathrm{\Omega }.$$

Hai giá trị có thể có của :

$$X_{C,1}=(320-132,29)\mathrm{\Omega }\approx 188\mathrm{\Omega },$$

$$X_{C,2}=(320+132,29)\mathrm{\Omega }\approx 452\mathrm{\Omega }.$$

(d) Với các thông số $L$, $C$ cố định:

$$\frac{X_L}{X_C}={\omega }^{2}LC.$$

Do đó $\omega <{\omega }_0$ khi và chỉ khi $X_L<X_C$. Nghiệm $X_C=452\mathrm{\Omega }$ lớn hơn $X_L=320\mathrm{\Omega }$, nên ứng với tần số dưới cộng hưởng. Nghiệm $X_C=188\mathrm{\Omega }$ ứng với tần số trên cộng hưởng.

Bài tập 31: 61

Một thuần $R$, một $C$, và một $L$ được mắc nối tiếp vào một nguồn xoay chiều có biên độ điện áp $V$ và tần số góc $\omega$ biến thiên. Khi $\omega ={\omega }_0$, tần số góc cộng hưởng của mạch, hãy biểu diễn theo $R$, $C$, $L$ và $V$ các đại lượng sau. (a) dòng điện cực đại qua điện trở, (b) điện áp cực đại trên tụ điện, (c) điện áp cực đại trên cuộn cảm, (d) năng lượng cực đại tích trữ trong tụ điện, (e) năng lượng cực đại tích trữ trong cuộn cảm.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp hoạt động tại tần số cộng hưởng ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$. Biểu diễn các giá trị cực đại theo $R,C,L,V$.

Hướng đi:

• Vì tần số đã cố định ở cộng hưởng, tìm các giá trị cực đại theo thời gian từ biên độ dòng và điện áp tại tần số đó.

• Tại cộng hưởng, triệt tiêu , $X_L=X_C={\omega }_{0}L=\frac{1}{{\omega }_{0}C}=\sqrt{\frac{L}{C}}$.

• đạt cực tiểu $Z=R$.

• Tính biên độ dòng điện và biên độ điện áp trên từng phần tử.

• Dùng công thức năng lượng điện trường $U_{C,\max }=\frac{1}{2}C{V}_C^2$ và năng lượng từ trường $U_{L,\max }=\frac{1}{2}L{I}^2$.

(a) Tại tần số cộng hưởng $\omega ={\omega }_0$, toàn phần của mạch đạt cực tiểu $Z=R$. Do đó biên độ dòng điện cực đại qua thuần là:

$$I=\frac{V}{R}.$$

(b) Kháng của tại tần số cộng hưởng:

$$\begin{array}{rl}{X}_C& =\frac{1}{{\omega }_{0}C}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{LC}}C}\\ & =\sqrt{\frac{L}{C}}.\end{array}$$

Điện áp cực đại trên hai bản :

$$V_C=I{X}_C=\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.$$

(c) Tương tự, của tại tần số cộng hưởng:

$$X_L={\omega }_{0}L=\frac{1}{\sqrt{LC}}L=\sqrt{\frac{L}{C}}.$$

Điện áp cực đại trên :

$$V_L=I{X}_L=\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.$$

(d) Năng lượng cực đại tích trữ trong điện trường :

$$\begin{array}{rl}{U}_{C,\max }& =\frac{1}{2}C{V}_C^2\\ & =\frac{1}{2}C{\left(\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\right)}^2\\ & =\frac{1}{2}C\frac{V^2}{R^2}\frac{L}{C}\\ & =\frac{1}{2}\frac{L{V}^2}{R^2}.\end{array}$$

(e) Năng lượng cực đại tích trữ trong từ trường :

$$\begin{array}{rl}{U}_{L,\max }& =\frac{1}{2}L{I}^2\\ & =\frac{1}{2}L{\left(\frac{V}{R}\right)}^2\\ & =\frac{1}{2}\frac{L{V}^2}{R^2}.\end{array}$$

Hai năng lượng cực đại này hoàn toàn bằng nhau, phản ánh sự trao đổi năng lượng tuần hoàn hoàn hảo giữa điện trường và từ trường trong trạng thái cộng hưởng.

Bài tập 31: 62

Một đồng nghiệp của bạn đang đo đạc trên một cuộn dây lớn nối với nguồn điện xoay chiều. Đồng nghiệp phải đi nghỉ phép trước khi hoàn thành việc xử lý số liệu, và bạn được giao nhiệm vụ phân tích nốt kết quả. Bạn nhận được đồ thị biểu diễn $1/I^2$ theo ${\omega }^2$ (Hình P31.62), trong đó $I$ là biên độ dòng điện trong mạch và $\omega$ là tần số góc của nguồn. Một mẩu giấy ghi chú kèm theo cho biết biên độ điện áp nguồn luôn được giữ không đổi ở mức $12,0\mathrm{V}$. Hãy tính thuần và độ tự cảm của cuộn dây.

Hình P31.62: Đồ thị nghịch đảo bình phương biên độ dòng điện theo bình phương tần số góc

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cuộn dây thực tế gồm $R$ và $L$ nối tiếp vào nguồn $V=12,0\mathrm{V}$. Đồ thị thực nghiệm giữa $1/I^2$ và ${\omega }^2$ có dạng đường thẳng tuyến tính. Cần xác định $R$ và $L$.

Hướng đi:

• Vì mô hình RL cho $1/I^2$ tuyến tính theo ${\omega }^2$, hệ số góc xác định $L^2/V^2$ và tung độ gốc xác định $R^2/V^2$.

• Thiết lập phương trình lý thuyết, $I=V/\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}$, rồi bình phương và lấy nghịch đảo để được $1/I^2=R^2/V^2+(L^2/V^2){\omega }^2$.

• Nhận dạng hàm số bậc nhất $y=ax+b$ với $y=1/I^2$ và $x={\omega }^2$: Hệ số tự do $b=R^2/V^2$, độ dốc $a=L^2/V^2$.

• Đọc các điểm mốc trên đồ thị Hình P31.62 để tính $b$ và $a$, từ đó giải ra $R$ và $L$.

Biên độ dòng điện qua cuộn dây:

$$I=\frac{V}{Z}=\frac{V}{\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}}.$$

Nghịch đảo bình phương hai vế:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{I^2}& =\frac{R^2+{\omega }^2{L}^2}{V^2}\\ & =\frac{R^2}{V^2}+\left(\frac{L^2}{V^2}\right){\omega }^2.\end{array}$$

Đây là phương trình tuyến tính dạng $y=b+ax$, trong đó:

• $y=1/I^2$ (đơn vị ${\mathrm{A}}^{-2}$),
• $x={\omega }^2$ (đơn vị ${\mathrm{rad}}^2/{\mathrm{s}}^2$),
• Điểm cắt trục tung, $b=\frac{R^2}{V^2}$,
• Độ dốc đường thẳng, $a=\frac{L^2}{V^2}$.

Quan sát đồ thị Hình P31.62:

• Tại ${\omega }^2=0$, đường thẳng cắt trục tung tại giá trị:

$$b=\frac{R^2}{V^2}=7,0{\mathrm{A}}^{-2}.$$

• Đường thẳng đi qua các điểm nguyên $(2000{\mathrm{rad}}^2/{\mathrm{s}}^2;15,0{\mathrm{A}}^{-2})$ và $(3000{\mathrm{rad}}^2/{\mathrm{s}}^2;19,0{\mathrm{A}}^{-2})$. Độ dốc của đường thẳng:

$$\begin{array}{rl}a& =\frac{\mathrm{\Delta }(1/I^2)}{\mathrm{\Delta }({\omega }^2)}\\ & =\frac{19,0-15,0}{3000-2000}\\ & =\frac{4,0}{1000}\\ & =4,00\times {10}^{-3}{\mathrm{H}}^2/{\mathrm{V}}^2.\end{array}$$

Từ điểm cắt trục tung, ta tìm thuần $R$:

$$\begin{array}{rl}{R}^2& =b{V}^2\\ & =7,0{\mathrm{A}}^{-2}\times (12,0\mathrm{V}{)}^2\\ & =7,0\times 144\\ & =1008{\mathrm{\Omega }}^2.\end{array}$$

Suy ra:

$$R=\sqrt{1008}\approx 31,7\mathrm{\Omega }.$$

Từ độ dốc, ta tìm độ tự cảm $L$:

$$\begin{array}{rl}{L}^2& =a{V}^2\\ & =4,00\times {10}^{-3}\times (12,0{)}^2\\ & =4,00\times {10}^{-3}\times 144\\ & =\mathrm{0,576}{\mathrm{H}}^2.\end{array}$$

Suy ra:

$$L=\sqrt{\mathrm{0,576}}\approx \mathrm{0,759}\mathrm{H}.$$

Bài tập 31: 63

Bạn đang phân tích một mạch xoay chiều gồm một cuộn dây và một mắc nối tiếp với nguồn xoay chiều có biên độ điện áp $90,0\mathrm{V}$ và tần số góc $\omega$. Với các tụ điện khác nhau có điện dung đã biết, bạn đo tần số góc ${\omega }_{\mathrm{res}}$ tại đó dòng điện trong mạch đạt cực đại. Bạn vẽ các giá trị đo được lên đồ thị ${\omega }_{\mathrm{res}}^2$ theo $1/C$ (Hình P31.63). Bạn nhận thấy dòng điện cực đại ứng với mọi giá trị của $C$ đều bằng nhau và bằng $4,50\mathrm{A}$. Hãy tính thuần và độ tự cảm của cuộn dây.

Hình P31.63: Đồ thị bình phương tần số góc cộng hưởng theo nghịch đảo điện dung của tụ

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch gồm cuộn dây ($R,L$) và tụ $C$ nối tiếp. Tại cộng hưởng, dòng điện cực đại luôn bằng $I_{\max }=4,50\mathrm{A}$ khi $V=90,0\mathrm{V}$. Đồ thị thực nghiệm giữa ${\omega }_{\mathrm{res}}^2$ và $1/C$ được cho trên Hình P31.63.

Hướng đi:

• Vì cộng hưởng cho ${\omega }_{\mathrm{res}}^2=(1/L)(1/C)$, độ dốc đồ thị xác định $1/L$. Dòng cực đại xác định $R$ qua $I_{max}=V/R$.

• Tại trạng thái cộng hưởng, triệt tiêu nên của mạch chỉ bằng thuần, $Z=R$. Do đó $R=\frac{V}{I_{\max }}$.

• Điều kiện cộng hưởng là ${\omega }_{\mathrm{res}}^2=\frac{1}{LC}=\left(\frac{1}{L}\right)\left(\frac{1}{C}\right)$. Độ dốc của đồ thị ${\omega }_{\mathrm{res}}^2$ theo $1/C$ chính là đại lượng $\frac{1}{L}$.

• Đọc hai điểm mốc trên đồ thị để tính độ dốc, từ đó suy ra $L$.

Tại tần số cộng hưởng, và triệt tiêu nhau hoàn toàn, do đó của mạch đạt cực tiểu và đúng bằng thuần $R$:

$$Z=R.$$

Dòng điện cực đại tại cộng hưởng:

$$I_{\max }=\frac{V}{R}.$$

Suy ra thuần của cuộn dây:

$$\begin{array}{rl}R& =\frac{V}{I_{\max }}\\ & =\frac{90,0\mathrm{V}}{4,50\mathrm{A}}\\ & =20,0\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Tần số góc cộng hưởng liên hệ với qua hệ thức:

$${\omega }_{\mathrm{res}}^2=\frac{1}{L}\left(\frac{1}{C}\right).$$

Đồ thị ${\omega }_{\mathrm{res}}^2$ theo $1/C$ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ có độ dốc bằng $1/L$.

Quan sát Hình P31.63:

• Điểm mốc thứ nhất: Khi $1/C=2,00\times {10}^3{\mathrm{F}}^{-1}$, ${\omega }_{\mathrm{res}}^2\approx 1,11\times {10}^4{\mathrm{rad}}^2/{\mathrm{s}}^2$.
• Điểm mốc thứ hai: Khi $1/C=5,00\times {10}^3{\mathrm{F}}^{-1}$, ${\omega }_{\mathrm{res}}^2\approx 2,78\times {10}^4{\mathrm{rad}}^2/{\mathrm{s}}^2$. Độ dốc của đường thẳng:

$$\begin{array}{rl}\text{Slope}& =\frac{\mathrm{\Delta }({\omega }_{\mathrm{res}}^2)}{\mathrm{\Delta }(1/C)}\\ & =\frac{(2,78-1,11)\times {10}^4}{(5,00-2,00)\times {10}^3}\\ & =\frac{1,67\times {10}^4}{3,00\times {10}^3}\\ & \approx \mathrm{5,556}{\mathrm{H}}^{-1}.\end{array}$$

Độ tự cảm của cuộn dây:

$$\begin{array}{rl}L& =\frac{1}{\text{Slope}}\\ & =\frac{1}{\mathrm{5,556}}\\ & \approx \mathrm{0,180}\mathrm{H}.\end{array}$$

Cuộn dây có $20,0\mathrm{\Omega }$ và độ tự cảm $\mathrm{0,180}\mathrm{H}$.

Bài tập 31: 64

Cho bảng số liệu đo đạc của một mạch điện gồm một thuần, một có điện trở không đáng kể, và một mắc nối tiếp với nguồn xoay chiều:

$f(\mathrm{Hz})$	$Z(\mathrm{\Omega })$	$\varphi {(}^{\circ })$
$80$	$15$	$-71$
$160$	$13$	$+67$

Trong đó $f$ là tần số nguồn, $Z$ là toàn mạch, và $\varphi$ là góc lệch pha. (a) Dùng số liệu ở cả hai tần số để tính thuần $R$. Lấy giá trị trung bình của hai kết quả này làm giá trị $R$ cho các phần tiếp theo. (b) Dùng số liệu ở $80\mathrm{Hz}$ và $160\mathrm{Hz}$ để tính độ tự cảm $L$ và $C$ của mạch. (c) Tần số cộng hưởng của mạch bằng bao nhiêu, và trở kháng cùng góc lệch pha tại tần số cộng hưởng có giá trị là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bảng số liệu mạch RLC nối tiếp tại hai tần số, $f_1=80\mathrm{Hz}$ có $Z_1=15\mathrm{\Omega }$, ${\varphi }_1=-{71}^{\circ }$. $f_2=160\mathrm{Hz}$ có $Z_2=13\mathrm{\Omega }$, ${\varphi }_2=+{67}^{\circ }$.

Hướng đi:

• Vì hai tần số cho hai phương trình điện kháng độc lập, có thể tìm đồng thời $L$ và $C$. Dữ kiện pha và cũng cho hai ước lượng của $R$.

• Tính ở từng tần số, $R_1=Z_1\cos {\varphi }_1$, $R_2=Z_2\cos {\varphi }_2$, rồi lấy trung bình cộng.

• Tính hiệu kháng tại mỗi tần số, $X_1=Z_1\sin {\varphi }_1={\omega }_{1}L-\frac{1}{{\omega }_{1}C}$ và $X_2=Z_2\sin {\varphi }_2={\omega }_{2}L-\frac{1}{{\omega }_{2}C}$.

• Chú ý ${\omega }_2=2{\omega }_1$. Lập hệ phương trình hai ẩn $L$ và $C$ để giải nghiệm.

• Tính tần số cộng hưởng $f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$.

(a) thuần tính từ số liệu ở từng tần số:

$$R_1=Z_1\cos {\varphi }_1\approx 4,88\mathrm{\Omega },$$

$$R_2=Z_2\cos {\varphi }_2\approx 5,08\mathrm{\Omega }.$$

Giá trị trung bình của :

$$\begin{array}{rl}R& =\frac{R_1+R_2}{2}\\ & =\frac{\mathrm{4,884}+\mathrm{5,080}}{2}\\ & \approx 4,98\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

(b) Hiệu kháng của mạch tại mỗi tần số:

Tần số góc tại $f_1=80\mathrm{Hz}$:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_1& =2\pi (80\mathrm{Hz})\\ & \approx 502,65\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Tần số góc tại $f_2=160\mathrm{Hz}$:

$${\omega }_2=2{\omega }_1\approx 1005,31\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Hiệu kháng tại hai tần số:

$$X_1=Z_1\sin {\varphi }_1\approx -\mathrm{14,183}\mathrm{\Omega },$$

$$X_2=Z_2\sin {\varphi }_2\approx \mathrm{11,967}\mathrm{\Omega }.$$

Ta có hệ phương trình:

$${\omega }_{1}L-\frac{1}{{\omega }_{1}C}=-\mathrm{14,183},$$

$$2{\omega }_{1}L-\frac{1}{2{\omega }_{1}C}=\mathrm{11,967.}$$

Nhân phương trình thứ nhất với $2$:

$$2{\omega }_{1}L-\frac{2}{{\omega }_{1}C}=-\mathrm{28,366.}$$

Lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình vừa nhân:

$$\begin{array}{rl}& (-\frac{1}{2{\omega }_{1}C})-(-\frac{2}{{\omega }_{1}C})\\ & =\frac{3}{2{\omega }_{1}C}\\ & =\mathrm{11,967}-(-\mathrm{28,366})\\ & =\mathrm{40,333}\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{{\omega }_{1}C}& =\frac{\mathrm{40,333}}{1,5}\\ & \approx \mathrm{26,889}\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

của tụ điện:

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{1}{{\omega }_1\times \mathrm{26,889}}\\ & =\frac{1}{\mathrm{502,655}\times \mathrm{26,889}}\\ & \approx 7,40\times {10}^{-5}\mathrm{F}\\ & =74,0\mu \mathrm{F}.\end{array}$$

Độ tự cảm của cuộn dây:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_{1}L& =-\mathrm{14,183}+\frac{1}{{\omega }_{1}C}\\ & =-\mathrm{14,183}+\mathrm{26,889}\\ & =\mathrm{12,706}\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}L& =\frac{\mathrm{12,706}\mathrm{\Omega }}{\mathrm{502,655}\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\\ & \approx \mathrm{0,025}3\mathrm{H}\\ & =25,3\mathrm{mH}.\end{array}$$

(c) Tần số cộng hưởng của mạch:

$$f_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\approx 116\mathrm{Hz}.$$

Tại tần số cộng hưởng, triệt tiêu hoàn toàn . toàn phần của mạch bằng thuần:

$$Z=R\approx 4,98\mathrm{\Omega }.$$

Góc lệch pha tại cộng hưởng bằng không:

$$\varphi =0^{\circ }.$$

Bài tập 31: 65

Đáp ứng tần số của một mạch lọc thường được định lượng bằng độ suy giảm tính theo đơn vị decibel:

$$G=(20\mathrm{dB}){\log }_{10}\left(\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\right):$$

trong đó $V_{\mathrm{in}}$ là biên độ điện áp vào và $V_{\mathrm{out}}$ là biên độ điện áp ra. Đối với mạch lọc $R\text{-}L$ trên Hình P31.65, tín hiệu vào là $v_{\mathrm{in}}(t)=V_{\mathrm{in}}\cos (\omega t)$. (a) Dòng điện trong mạch là $i(t)=I\cos (\omega t-\varphi )$. Hãy tìm biên độ dòng điện $I$. (b) Góc lệch pha $\varphi$ bằng bao nhiêu? (c) Tỉ số $V_{\mathrm{out}}/V_{\mathrm{in}}$ bằng bao nhiêu? (d) Ở tần số nào ($f=f_{3\mathrm{dB}}$) thì độ suy giảm của mạch bằng $-3,0\mathrm{dB}$? (Tần số $f_{3\mathrm{dB}}$ thường được coi là ranh giới danh định của dải thông). (e) Nếu $R=100\mathrm{\Omega }$, độ tự cảm $L$ bằng bao nhiêu để mạch cho các tần số lớn hơn $10,0\mathrm{kHz}$ đi qua và chặn các tần số nhỏ hơn $10,0\mathrm{kHz}$?

Hình P31.65: Mạch lọc RL với điện áp ra lấy trên hai đầu cuộn cảm

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RL nối tiếp có nguồn $v_{\mathrm{in}}(t)=V_{\mathrm{in}}\cos (\omega t)$, điện áp ra lấy trên . Tìm biên độ dòng, góc pha, tỉ số điện áp, tần số suy giảm $3,0\mathrm{dB}$ và độ tự cảm khi $R=100\mathrm{\Omega }$, tần số này bằng $10,0\mathrm{kHz}$.

Hướng đi:

• Tổng hợp theo pha điện áp trên R và L để tính . Điện áp cùng pha với dòng, còn điện áp sớm pha $\pi /2$.
• Dùng $V_{\mathrm{out}}=I\omega L$ vì điện áp ra lấy trên .
• Đổi mức suy giảm decibel thành tỉ số biên độ. Phân biệt giá trị chính xác $-3,0\mathrm{dB}$ với quy ước nửa công suất.

(a) và biên độ dòng là:

$$\begin{array}{rl}Z& =\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2},\\ I& =\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z}.\end{array}$$

(b) Điện áp nguồn sớm pha hơn dòng điện một góc:

$$\varphi =\arctan \left(\frac{\omega L}{R}\right).$$

Vì vậy $i(t)=I\cos (\omega t-\varphi )$.

(c) Điện áp ra có biên độ:

$$V_{\mathrm{out}}=I\omega L.$$

Đặt $x=\omega L/R$ và gọi tỉ số biên độ là $h$:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{in}}}\\ & =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.\end{array}$$

Khi $\omega \to 0$, $h\to 0$. Khi $\omega \to \mathrm{\infty }$, $h\to 1$, nên đây là mạch lọc thông cao.

(d) Mức suy giảm $3,0\mathrm{dB}$ cho:

$$\begin{array}{rl}20{\log }_{10}h& =-3,0,\\ h& ={10}^{-3/20}\\ & =\mathrm{0,707}9458.\end{array}$$

Từ $h^2=x^2/(1+x^2)$:

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{h}{\sqrt{1-h^2}}\\ & =\mathrm{1,002}3773,\\ {\omega }_{3\mathrm{dB}}& =\mathrm{1,002}3773\frac{R}{L},\\ f_{3\mathrm{dB}}& =\frac{\mathrm{1,002}3773R}{2\pi L}.\end{array}$$

Trong quy ước nửa công suất, $h=1/\sqrt{2}$ và mức suy giảm là khoảng $\mathrm{3,010}3\mathrm{dB}$. Quy ước này cho gần đúng:

$${\omega }_{\mathrm{c}}\approx \frac{R}{L}.$$

(e) Với giá trị chính xác $-3,0\mathrm{dB}$:

$$\begin{array}{rl}L& =\mathrm{1,002}3773\frac{R}{2\pi f_{3\mathrm{dB}}}\\ & =\mathrm{1,595}33\mathrm{mH}\\ & \approx 1,6\mathrm{mH}.\end{array}$$

Theo gần đúng nửa công suất, $L=\mathrm{1,591}55\mathrm{mH}$, cũng làm tròn thành $1,6\mathrm{mH}$ ở hai chữ số có nghĩa.

Bài nâng cao và Đọc hiểu MCAT

Bài tập nâng cao

Bài tập 31: 66

Mạch điện RLC nối tiếp trên Hình P31.66 có nguồn điện xoay chiều $v_{\mathrm{in}}(t)=V_{\mathrm{in}}\cos (\omega t)$, trong đó $V_{\mathrm{in}}$ là biên độ điện áp vào và $\omega$ là tần số góc. thuần, độ tự cảm và của các phần tử lần lượt là $R$, $L$ và $C$. Điện dung của tụ điện có thể biến thiên. Điện áp đầu ra lấy trên hai bản tụ điện có dạng $v_{\mathrm{out}}(t)=V_{\mathrm{out}}\cos (\omega t+\theta )$. (a) Biên độ điện áp đầu ra $V_{\mathrm{out}}$ bằng bao nhiêu? (b) Góc pha $\theta$ của điện áp đầu ra bằng bao nhiêu? (c) Giá trị của $\theta$ tại trạng thái cộng hưởng bằng bao nhiêu? (d) Nếu $R=100\mathrm{\Omega }$, $L=1,00\mu \mathrm{H}$, và $V_{\mathrm{in}}=10,0\mathrm{V}$, giá trị nào của điện dung $C$ sẽ tạo ra tần số cộng hưởng là $100\mathrm{kHz}$? (e) Trong trường hợp đó, biên độ điện áp đầu ra tại cộng hưởng là bao nhiêu?

Hình P31.66: Mạch R-L-C nối tiếp với tụ điện biến dung và điện áp ngõ ra lấy trên hai bản tụ

Chú thích:

• Hình (Figure)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mạch RLC nối tiếp với nguồn xoay chiều $v_{\mathrm{in}}(t)=V_{\mathrm{in}}\cos (\omega t)$. Điện áp đầu ra lấy trên hai bản $C$, $v_{\mathrm{out}}(t)=V_{\mathrm{out}}\cos (\omega t+\theta )$. có $L=1,00\mu \mathrm{H}$, $R=100\mathrm{\Omega }$, $V_{\mathrm{in}}=10,0\mathrm{V}$.

Hướng đi:

• Viết phương trình dòng điện trong mạch, $i(t)=I\cos (\omega t-\varphi )$ với $\tan \varphi =\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}$.
• Điện áp tức thời trên trễ pha ${90}^{\circ }$ ($\pi /2\mathrm{rad}$) so với dòng điện, $v_{\mathrm{out}}(t)=I{X}_C\cos (\omega t-\varphi -\pi /2)$.
• Từ đó xác định biên độ $V_{\mathrm{out}}=I{X}_C$ và góc pha $\theta =-\varphi -\frac{\pi }{2}$.
• Khi cộng hưởng, $\varphi =0⟹\theta =-\frac{\pi }{2}$.
• Với $f_0=100\mathrm{kHz}$, tính ${\omega }_0=2\pi f_0$ rồi suy ra $C=\frac{1}{{\omega }_0^{2}L}$ và $V_{\mathrm{out}}=\frac{V_{\mathrm{in}}}{R}{\omega }_{0}L$.

(a) toàn phần của mạch RLC nối tiếp: Đặt biến phản kháng thuần $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$, trở kháng toàn phần của mạch RLC nối tiếp:

$$Z=\sqrt{R^2+X^2}.$$

Biên độ dòng điện chạy trong mạch:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_{\mathrm{in}}}{Z}\\ & =\frac{V_{\mathrm{in}}}{\sqrt{R^2+X^2}}.\end{array}$$

Điện áp đầu ra lấy trên hai đầu có biên độ:

$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{out}}& =I{X}_C\\ & =\frac{I}{\omega C}\\ & =\frac{V_{\mathrm{in}}}{\omega CZ}.\end{array}$$

Đặt $D=\omega CZ$. Khi đưa $\omega C$ vào trong căn thức:

$$D^2=(\omega CR{)}^2+({\omega }^{2}LC-1{)}^2.$$

Biên độ điện áp đầu ra trên hai bản là $V_{\mathrm{out}}=V_{\mathrm{in}}/D$:

$$V_{\mathrm{out}}=\frac{V_{\mathrm{in}}}{D}.$$

(b) Dòng điện trong mạch có dạng $i(t)=I\cos (\omega t-\varphi )$, trong đó góc lệch pha của dòng điện so với điện áp nguồn thỏa mãn:

$$\tan \varphi =\frac{X}{R},$$

$$\varphi =\arctan \left(\frac{X}{R}\right).$$

Điện áp tức thời trên hai bản trễ pha $\pi /2\mathrm{rad}$ (${90}^{\circ }$) so với dòng điện chạy qua nó:

$$v_{\mathrm{out}}(t)=V_{\mathrm{out}}\cos (\omega t+\theta ),$$

$$\theta =-\varphi -\frac{\pi }{2}.$$

Đồng nhất pha dao động:

$$\begin{array}{rl}\theta & =-\varphi -\frac{\pi }{2}\\ & =-\arctan \left(\frac{X}{R}\right)-\frac{\pi }{2}.\end{array}$$

(c) Tại trạng thái cộng hưởng, cân bằng hoàn toàn với , $\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$, kéo theo $\varphi =0$.

Góc pha của điện áp đầu ra khi đó là:

$$\begin{array}{rl}\theta & =-0-\frac{\pi }{2}\\ & =-\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=-{90}^{\circ }.\end{array}$$

Điện áp đầu ra trên trễ pha chính xác một góc vuông ${90}^{\circ }$ so với điện áp nguồn đầu vào.

(d) Với $R=100\mathrm{\Omega }$, $L=1,00\mu \mathrm{H}=1,00\times {10}^{-6}\mathrm{H}$, $V_{\mathrm{in}}=10,0\mathrm{V}$, tần số cộng hưởng $f=100\mathrm{kHz}=1,00\times {10}^5\mathrm{Hz}$.

Tần số góc cộng hưởng:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_0& =2\pi f\\ & =2\pi \times (1,00\times {10}^5\mathrm{Hz})\\ & \approx \mathrm{6,283}2\times {10}^5\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Giá trị cần chọn:

Với ${\omega }_0^2\approx \mathrm{3,947}8\times {10}^{11}{\mathrm{rad}}^2/{\mathrm{s}}^2$:

$$\begin{array}{rl}C& =\frac{1}{{\omega }_0^{2}L}\\ & \approx \mathrm{2,533}\times {10}^{-6}\mathrm{F}\\ & =\mathrm{2,533}\mu \mathrm{F}.\end{array}$$

(e) Tại trạng thái cộng hưởng, biên độ dòng điện đạt giá trị cực đại:

$$I=\frac{V_{\mathrm{in}}}{R}=\mathrm{0,100}\mathrm{A}.$$

Biên độ điện áp đầu ra trên :

Với $X_C={\omega }_{0}L\approx \mathrm{0,628}32\mathrm{\Omega }$:

$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathrm{out}}& =I{X}_C=I({\omega }_{0}L)\\ & =\mathrm{0,100}\times \mathrm{0,628}32\\ & \approx \mathrm{0,062}83\mathrm{V}\\ & =62,83\mathrm{mV}.\end{array}$$

Bài tập 31: 67

Trong một mạch điện RLC nối tiếp, dòng điện tức thời được cho bởi $i(t)=I\cos (\omega t)$. Biên độ điện áp trên , và lần lượt là $V_R$, $V_L$ và $V_C$. (a) Chứng minh rằng công suất tức thời cung cấp cho điện trở là:

$$\begin{array}{rl}{p}_R(t)& =V_{R}I{\cos }^2(\omega t)\\ & =\frac{1}{2}{V}_{R}I\times [1+\cos (2\omega t)].\end{array}$$

Biểu thức này cho giá trị công suất trung bình bằng bao nhiêu?

(b) Chứng minh rằng công suất tức thời cung cấp cho là:

$$\begin{array}{rl}{p}_L(t)& =-V_{L}I\sin (\omega t)\times \cos (\omega t)\\ & =-\frac{1}{2}{V}_{L}I\sin (2\omega t).\end{array}$$

Biểu thức này cho giá trị công suất trung bình bằng bao nhiêu?

(c) Chứng minh rằng công suất tức thời cung cấp cho là:

$$\begin{array}{rl}{p}_C(t)& =V_{C}I\sin (\omega t)\cos (\omega t)\\ & =\frac{1}{2}{V}_{C}I\sin (2\omega t).\end{array}$$

Biểu thức này cho giá trị công suất trung bình bằng bao nhiêu?

(d) Công suất tức thời do nguồn cung cấp cho mạch có dạng:

$$\begin{array}{rl}p(t)& =VI\cos (\omega t)\times [\cos \varphi \cos (\omega t)\\ & -\sin \varphi \sin (\omega t)].\end{array}$$

Hãy chứng minh rằng $p_R(t)+p_L(t)+p_C(t)=p(t)$ tại mọi thời điểm.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dòng điện chọn làm gốc pha, $i(t)=I\cos (\omega t)$. Khảo sát công suất tức thời và công suất trung bình trên từng phần tử, sau đó chứng minh định luật bảo toàn công suất tức thời cho toàn mạch.

Hướng đi:

• Viết biểu thức điện áp tức thời trên từng phần tử dựa vào độ lệch pha chuẩn, $v_R$ cùng pha với $i$, $v_L$ sớm pha $\pi /2$, $v_C$ trễ pha $\pi /2$.
• Nhân điện áp tức thời với dòng điện tức thời để tìm công suất tức thời $p(t)=v(t)i(t)$.
• Lấy trung bình theo thời gian: Số hạng không đổi cho giá trị trung bình. Các số hạng điều hòa tần số góc $2\omega$ có giá trị trung bình bằng không trên một chu kỳ.
• Dùng hệ thức phân tích vectơ điện áp nguồn, $V\cos \varphi =V_R$ và $V\sin \varphi =V_L-V_C$ để chứng minh tổng công suất tức thời bằng công suất nguồn cấp.

(a) Điện áp tức thời trên hai đầu thuần cùng pha với dòng điện:

$$v_R(t)=V_R\cos (\omega t).$$

Công suất tức thời cung cấp cho :

$$\begin{array}{rl}{p}_R(t)& =v_R(t)i(t)\\ & =V_R\cos (\omega t)\times I\cos (\omega t)\\ & =V_{R}I{\cos }^2(\omega t)\\ & =\frac{1}{2}{V}_{R}I\times [1+\cos (2\omega t)].\end{array}$$

Giá trị trung bình của hàm cosin biến thiên theo thời gian trên một chu kỳ bằng không, $⟨\cos (2\omega t)⟩=0$. Do đó công suất tiêu thụ trung bình trên là:

$$P_{R,\mathrm{tb}}=\frac{1}{2}{V}_{R}I.$$

(b) Điện áp tức thời trên sớm pha $\pi /2$ so với dòng điện:

$$\begin{array}{rl}{v}_L(t)& =V_L\cos (\omega t+\frac{\pi }{2})\\ & =-V_L\sin (\omega t).\end{array}$$

Công suất tức thời cung cấp cho :

$$\begin{array}{rl}{p}_L(t)& =v_L(t)i(t)\\ & =-V_L\sin (\omega t)\times I\cos (\omega t)\\ & =-\frac{1}{2}{V}_{L}I\sin (2\omega t).\end{array}$$

Vì $⟨\sin (2\omega t)⟩=0$, công suất trung bình hấp thụ qua một chu kỳ bằng không:

$$P_{L,\mathrm{tb}}=0.$$

(c) Điện áp tức thời trên trễ pha $\pi /2$ so với dòng điện:

$$\begin{array}{rl}{v}_C(t)& =V_C\cos (\omega t-\frac{\pi }{2})\\ & =V_C\sin (\omega t).\end{array}$$

Công suất tức thời cung cấp cho :

$$\begin{array}{rl}{p}_C(t)& =v_C(t)i(t)\\ & =V_C\sin (\omega t)\times I\cos (\omega t)\\ & =\frac{1}{2}{V}_{C}I\sin (2\omega t).\end{array}$$

Vì $⟨\sin (2\omega t)⟩=0$, công suất trung bình hấp thụ qua một chu kỳ bằng không:

$$P_{C,\mathrm{tb}}=0.$$

(d) Cộng các công suất tức thời của ba phần tử tại cùng một thời điểm:

$$\begin{array}{rl}{p}_R(t)+p_L(t)+p_C(t)& =V_{R}I{\cos }^2(\omega t)-(V_L-V_C)I\\ \times \sin (\omega t)\cos (\omega t)& =I\cos (\omega t)\times [V_R\cos (\omega t)\\ & -(V_L-V_C)\sin (\omega t)].\end{array}$$

Mặt khác, theo giản đồ vectơ Fresnel của mạch nối tiếp, các hình chiếu của vectơ điện áp nguồn $\overrightarrow{V}$ lên phương cùng pha và vuông pha với dòng điện lần lượt là:

$$V\cos \varphi =V_R,$$

$$V\sin \varphi =V_L-V_C.$$

Thay các hệ thức này vào biểu thức trên:

$$\begin{array}{rl}{p}_R(t)+p_L(t)+p_C(t)& =I\cos (\omega t)\times [V\cos \varphi \cos (\omega t)\\ -V\sin \varphi \sin (\omega t)]& =VI\cos (\omega t)\times [\cos \varphi \cos (\omega t)\\ -\sin \varphi \sin (\omega t)]& =p(t).\end{array}$$

Hệ thức được chứng minh hoàn toàn, khẳng định định luật bảo toàn năng lượng tức thời nghiệm đúng tại mọi thời điểm trong mạch xoay chiều.

Bài tập 31: 68

(a) Ở tần số góc nào thì biên độ điện áp trên thuần trong mạch RLC nối tiếp đạt giá trị lớn nhất? (b) Ở tần số góc nào thì biên độ điện áp trên đạt giá trị lớn nhất? (c) Ở tần số góc nào thì biên độ điện áp trên đạt giá trị lớn nhất? Hãy khảo sát đầy đủ điều kiện tồn tại cực đại hữu hạn $0<R^{2}C/L<2$ và phân tích các trường hợp giới hạn.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tìm tần số góc $\omega$ để biên độ điện áp trên từng phần tử $V_R$, $V_L$, $V_C$ đạt cực đại trong mạch RLC nối tiếp được cấp bởi nguồn có biên độ điện áp $V$ không đổi.

Xét $R>0$, $L>0$, $C>0$ và $\omega >0$. Với $R=0$, trạng thái cưỡng bức đúng cộng hưởng không có biên độ ổn định hữu hạn trong mô hình không tổn hao.

Hướng đi:

• Biểu diễn $V_R(\omega )=I(\omega )R$, $V_L(\omega )=\omega LI(\omega )$, $V_C(\omega )=\frac{I(\omega )}{\omega C}$.
• Dùng phép đổi biến phụ đối với mẫu số của hàm bình phương biên độ điện áp: Đặt $u=1/{\omega }^2$ cho $V_L$, và $w={\omega }^2$ cho $V_C$.
• Khảo sát tam thức bậc hai ở mẫu số để tìm tọa độ đỉnh cực tiểu và điều kiện để đỉnh nằm trong miền xác định dương ($u>0$ và $w>0$).
• Phân tích trường hợp giới hạn khi $R^{2}C/L\ge 2$.

(a) Biên độ điện áp trên hai đầu thuần:

Với $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$:

$$V_R(\omega )=I(\omega )R=\frac{VR}{\sqrt{R^2+X^2}}.$$

Vì tử số là hằng số, $V_R(\omega )$ đạt cực đại khi và chỉ khi mẫu số đạt cực tiểu. Điều này xảy ra khi thành phần phản kháng triệt tiêu:

$$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0,$$

$${\omega }_R=\frac{1}{\sqrt{LC}}={\omega }_0.$$

Biên độ điện áp trên đạt cực đại đúng tại tần số góc cộng hưởng tự nhiên ${\omega }_0$. Khi đó $V_{R,\max }=V$.

(b) Biên độ điện áp trên hai đầu :

Với $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$:

$$\begin{array}{rl}{V}_L(\omega )& =\omega LI(\omega )\\ & =\frac{V\omega L}{\sqrt{R^2+X^2}}.\end{array}$$

Chia cả tử và mẫu cho $\omega$ và đặt biến phụ $u=\frac{1}{{\omega }^2}>0$:

$$V_L(\omega )=\frac{VL}{\sqrt{f(u)}}$$

với hàm số bậc hai dưới căn thức:

$$\begin{array}{rl}f(u)& =R^{2}u+{(L-\frac{u}{C})}^2\\ & =\frac{1}{C^2}{u}^2+(R^2-\frac{2L}{C})u+L^2.\end{array}$$

Đây là tam thức bậc hai theo $u$ với hệ số của $u^2$ bằng $1/C^2>0$. Đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên. Đỉnh cực tiểu của tam thức nằm tại:

$$\begin{array}{rl}{u}^{\ast }& =-\frac{b}{2a}\\ & =\frac{\frac{2L}{C}-R^2}{\frac{2}{C^2}}\\ & =LC-\frac{R^2{C}^2}{2}\\ & =LC(1-\frac{R^{2}C}{2L}).\end{array}$$

Để tồn tại một tần số góc hữu hạn ${\omega }_L>0$ làm mẫu số đạt cực tiểu, vị trí đỉnh $u^{\ast }$ bắt buộc phải mang giá trị dương:

$$\begin{array}{rl}{u}^{\ast }>0& ⟺1-\frac{R^{2}C}{2L}>0\\ & ⟺\frac{R^{2}C}{L}<2.\end{array}$$

Khi thỏa mãn điều kiện $0<\frac{R^{2}C}{L}<2$, tần số góc để biên độ điện áp đạt giá trị lớn nhất là:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_L& =\frac{1}{\sqrt{u^{\ast }}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{LC(1-\frac{R^{2}C}{2L})}}\\ & =\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{2L}}}.\end{array}$$

Nhận xét: Trong miền này, mẫu số $\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{2L}}<1$, do đó ${\omega }_L>{\omega }_0$. Cực đại của điện áp luôn nằm ở phía tần số cao hơn tần số cộng hưởng.

Nếu $\frac{R^{2}C}{L}\ge 2$, đỉnh của parabol nằm ở $u^{\ast }\le 0$. Khi đó trên miền $u>0$, hàm $f(u)$ là hàm đồng biến đơn điệu, giá trị nhỏ nhất đạt được ở giới hạn biên $u\to 0$ ($\omega \to \mathrm{\infty }$). Trong trường hợp này, điện áp trên không có cực đại địa phương hữu hạn mà tăng đơn điệu tiệm cận tới giá trị điện áp nguồn $V$ khi $\omega \to \mathrm{\infty }$.

(c) Biên độ điện áp trên hai bản :

Với $X=\omega L-\frac{1}{\omega C}$:

$$\begin{array}{rl}{V}_C(\omega )& =\frac{I(\omega )}{\omega C}\\ & =\frac{V}{\omega C\sqrt{R^2+X^2}}.\end{array}$$

Đưa $\omega$ vào căn thức và đặt biến phụ $w={\omega }^2>0$:

$$V_C(\omega )=\frac{V/C}{\sqrt{g(w)}}$$

với tam thức bậc hai dưới căn thức:

$$\begin{array}{rl}g(w)& =R^{2}w+{(wL-\frac{1}{C})}^2\\ & =L^2{w}^2+(R^2-\frac{2L}{C})w+\frac{1}{C^2}.\end{array}$$

Hệ số của $w^2$ là $L^2>0$, parabol quay bề lõm lên trên và đạt cực tiểu tại đỉnh:

$$\begin{array}{rl}{w}^{\ast }& =-\frac{b}{2a}\\ & =\frac{\frac{2L}{C}-R^2}{2L^2}\\ & =\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{2L^2}\\ & =\frac{1}{LC}(1-\frac{R^{2}C}{2L}).\end{array}$$

Để tồn tại tần số góc hữu hạn ${\omega }_C>0$, ta cũng cần điều kiện $w^{\ast }>0$, tức là:

$$1-\frac{R^{2}C}{2L}>0$$

$$⟺\frac{R^{2}C}{L}<2.$$

Khi điều kiện $0<\frac{R^{2}C}{L}<2$ được thỏa mãn, tần số góc để biên độ điện áp đạt cực đại là:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_C& =\sqrt{w^{\ast }}\\ & =\sqrt{\frac{1}{LC}(1-\frac{R^{2}C}{2L})}\\ & ={\omega }_0\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{2L}}.\end{array}$$

Nhận xét: Vì $\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{2L}}<1$, ta luôn có ${\omega }_C<{\omega }_0$. Cực đại của điện áp luôn nằm ở phía tần số thấp hơn tần số cộng hưởng. Đặc biệt, tích của hai tần số góc cực đại thỏa mãn hệ thức đối xứng:

$$\begin{array}{rl}{\omega }_C{\omega }_L& =\left({\omega }_0\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{2L}}\right)\left(\frac{{\omega }_0}{\sqrt{1-\frac{R^{2}C}{2L}}}\right)\\ & ={\omega }_0^2.\end{array}$$

Nếu $\frac{R^{2}C}{L}\ge 2$, đỉnh $w^{\ast }\le 0$, hàm $g(w)$ đồng biến đơn điệu trên toàn miền $w>0$. Khi đó không tồn tại cực đại địa phương, và $V_C(\omega )$ giảm đơn điệu từ giới hạn $V$ khi $\omega \to 0^{+}$ về $0$ khi $\omega \to \mathrm{\infty }$.

Bài đọc hiểu ứng dụng sinh học (Đo điện thế ngoại bào)

CHUYỂN ĐỔI TÍN HIỆU TỪ MỘT CHIỀU SANG XOAY CHIỀU TRONG ĐO ĐẠC SINH HỌC

Một tế bào đơn lẻ, chẳng hạn như tế bào trứng (noãn bào), thường có tổ chức không gian định hướng rõ rệt, được thể hiện một phần qua tính bất đối xứng trên màng tế bào. Tính bất đối xứng này bao gồm sự phân bố không đồng đều của các cơ chế vận chuyển ion, dẫn đến sự xuất hiện của một dòng điện tổng đi vào một vùng màng và đi ra ở một vùng khác. Những dòng điện tế bào ổn định này có thể điều hòa tính phân cực của tế bào, dẫn tới sự định hình phân cực phôi. Do đó các nhà khoa học rất quan tâm đến việc đo đạc chúng.

Những dòng điện tế bào này chuyển động theo các vòng khép kín qua dịch ngoại bào. Định luật Ohm đòi hỏi phải tồn tại hiệu điện thế giữa hai điểm bất kỳ trong khối chất lỏng dẫn điện bao quanh tế bào. Mặc dù cường độ dòng điện có thể đáng kể, độ chênh lệch điện thế ngoại bào lại rất nhỏ, chỉ vào cỡ vài nanovolt ($\mathrm{nV}$). Nếu có thể lập bản đồ phân bố điện thế trong dịch bên ngoài tế bào, ta có thể tính được mật độ dòng điện bằng dạng vi phân của định luật Ohm khi biết suất của dịch. Với hai điện cực tĩnh cách nhau $10$ hay $20\mu \mathrm{m}$, phép đo chênh lệch điện thế này gặp trở ngại. một chiều của các điện cực rất cao, còn nhiễu nhiệt ở điện cực lấn át tín hiệu điện thế tế bào.

Một phương pháp đo đạc hiệu quả sử dụng một điện cực có đầu hình cầu bằng bạch kim (platinum), được kích thích qua lại giữa hai điểm trong dịch ngoại bào. Điện thế mà điện cực đo được so với một điện cực so sánh ở xa cũng sẽ biến thiên hình sin theo thời gian. Khi đó, hiệu điện thế một chiều giữa hai vị trí biên (hai điểm trong dịch) được chuyển đổi thành một hiệu điện thế xoay chiều dạng sóng sin. Điện cực bạch kim hoạt động tương đương với một mắc nối tiếp với của dịch ngoại bào. Điện trở này, gọi là điện trở tiếp cận ($R_A$), có giá trị khoảng $\rho /(10a)$, trong đó $\rho$ là điện trở suất của dịch (thường tính bằng $\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{cm}$) và $a$ là bán kính của đầu cầu điện cực. Trong mô hình đang xét, quả cầu bạch kim có đường kính $20\mu \mathrm{m}$ và điện dung $10\mathrm{nF}$. Điện trở suất của nhiều loại dịch sinh học điển hình là $100\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{cm}$.

Bài tập 31: 69

một chiều của điện cực bằng bao nhiêu, giả sử rằng điện cực hoạt động như một lý tưởng?

(a) $0$.

(b) Vô cùng lớn.

(c) $\sqrt{2}\times {10}^4\mathrm{\Omega }$.

(d) $\sqrt{2}\times {10}^6\mathrm{\Omega }$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát của điện cực khi dùng dòng điện một chiều ($\omega =0$).

Hướng đi:

• Điện cực được mô hình hóa gồm tiếp cận $R_A$ mắc nối tiếp với $C$, $Z=\sqrt{R_A^2+X_C^2}$.
• Với dòng một chiều, tần số góc bằng không, $\omega =0$. của $X_C=\frac{1}{\omega C}\to \mathrm{\infty }$.

của được xác định bởi:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}.$$

Đối với dòng điện một chiều ở trạng thái ổn định ($\omega =0$), của lý tưởng tiến tới vô cùng lớn:

$$\underset{\omega \to 0}{lim}{X}_C=\mathrm{\infty }.$$

toàn phần của điện cực:

$$Z=\sqrt{R_A^2+X_C^2}\to \mathrm{\infty }.$$

đóng vai trò như một mạch hở hoàn toàn đối với dòng điện một chiều, do đó một chiều của điện cực là vô cùng lớn.

Chọn phương án (b).

Bài tập 31: 70

Nếu điện cực dao động qua lại giữa hai điểm cách nhau $20\mu \mathrm{m}$ với tần số bằng $(5000/\pi )\mathrm{Hz}$, của điện cực bằng bao nhiêu?

(a) $0$.

(b) Vô cùng lớn.

(c) $\sqrt{2}\times {10}^4\mathrm{\Omega }$.

(d) $\sqrt{2}\times {10}^6\mathrm{\Omega }$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tần số dao động $f=\frac{5000}{\pi }\mathrm{Hz}$. Đầu cầu có đường kính $D=20\mu \mathrm{m}$, $C=10\mathrm{nF}$. suất của dịch sinh học $\rho =100\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{cm}$. Tìm $Z$.

Hướng đi:

• Tính bán kính đầu cầu, $a=D/2=10\mu \mathrm{m}=1,0\times {10}^{-3}\mathrm{cm}$.
• Tính tiếp cận, $R_A\approx \frac{\rho }{10a}$.
• Tính tần số góc, $\omega =2\pi f$ và $X_C=\frac{1}{\omega C}$.
• Tính toàn phần, $Z=\sqrt{R_A^2+X_C^2}$.

Bán kính của quả cầu bạch kim:

$$\begin{array}{rl}a& =\frac{D}{2}=\frac{20\mu \mathrm{m}}{2}\\ & =10\mu \mathrm{m}\\ & =1,0\times {10}^{-3}\mathrm{cm}.\end{array}$$

tiếp cận của dịch ngoại bào quanh điện cực:

$$\begin{array}{rl}{R}_A& \approx \frac{\rho }{10a}\\ & ={10}^4\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Tần số góc dao động của điện cực:

$$\begin{array}{rl}\omega & =2\pi f\\ & =2\pi \times \left(\frac{5000}{\pi }\mathrm{Hz}\right)\\ & ={10}^4\mathrm{rad}/\mathrm{s}.\end{array}$$

của điện cực ở tần số này:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}={10}^4\mathrm{\Omega }.$$

toàn phần của điện cực:

$$\begin{array}{rl}Z& =\sqrt{R_A^2+X_C^2}\\ & ={10}^4\sqrt{2}\mathrm{\Omega }\\ & =\sqrt{2}\times {10}^4\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Chọn phương án (c).

Bài tập 31: 71

Tín hiệu từ điện cực dao động được đưa vào một bộ khuếch đại, hiển thị điện áp đo được dưới dạng là $1,5\mathrm{nV}$. Hiệu điện thế giữa hai vị trí biên bằng bao nhiêu?

(a) $1,5\mathrm{nV}$.

(b) $3,0\mathrm{nV}$.

(c) $2,1\mathrm{nV}$.

(d) $4,2\mathrm{nV}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điện áp xoay chiều đo được có $V_{\mathrm{rms}}=1,5\mathrm{nV}$. Cần tìm hiệu điện thế giữa hai vị trí biên (độ chênh lệch điện thế đỉnh-đáy).

Hướng đi:

• Tín hiệu biến thiên điều hòa theo tọa độ dao động của điện cực, $v(t)=V_0\cos (\omega t)$.
• Biên độ điện áp liên hệ với qua $V_0=V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}$.
• Khi điện cực đi từ vị trí biên này sang vị trí biên đối diện, điện thế biến thiên từ $-V_0$ đến $+V_0$. Độ chênh lệch điện thế giữa hai vị trí biên cực đại chính là hiệu điện thế đỉnh-đáy, $\mathrm{\Delta }V=2V_0$.

Biên độ của điện áp xoay chiều hình sin:

$$\begin{array}{rl}{V}_0& =V_{\mathrm{rms}}\sqrt{2}\\ & =1,5\mathrm{nV}\times \sqrt{2}\\ & \approx 2,12\mathrm{nV}.\end{array}$$

Khi đầu điện cực qua lại giữa hai vị trí biên trong dịch ngoại bào, thành phần điện thế xoay chiều, sau khi trừ giá trị trung bình, dao động từ $-V_0$ đến $+V_0$.

Hiệu điện thế giữa hai điểm cực biên tương ứng với độ chênh lệch đỉnh-đáy (peak-to-peak):

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }V& =V_0-(-V_0)=2V_0\\ & =2\times 2,12\mathrm{nV}\\ & \approx 4,2\mathrm{nV}.\end{array}$$

Chọn phương án (d).

Bài tập 31: 72

Nếu tần số dao động của điện cực được tăng lên đến một giá trị rất lớn, của điện cực sẽ. (a) Tiến tới vô cùng lớn.

(b) Tiến tới không.

(c) Tiến tới một giá trị không đổi khác không.

(d) Không thay đổi.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khảo sát giới hạn của điện cực $Z(\omega )$ khi tần số dao động $\omega \to \mathrm{\infty }$.

Hướng đi:

• Biểu thức của điện cực, $Z=\sqrt{R_A^2+X_C^2}=\sqrt{R_A^2+{\left(\frac{1}{\omega C}\right)}^2}$.
• Khảo sát giới hạn khi $\omega \to \mathrm{\infty }$.

của điện cực phụ thuộc vào tần số góc:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}.$$

Khi tần số dao động của điện cực tăng lên rất cao ($\omega \to \mathrm{\infty }$), của giảm dần về không:

$$\underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{lim}{X}_C=\underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\omega C}=0.$$

Khi đó, toàn phần của điện cực tiến tới:

$$\begin{array}{rl}\underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{lim}Z& =\sqrt{R_A^2+0}\\ & =R_A={10}^4\mathrm{\Omega }>0.\end{array}$$

không bị triệt tiêu về không mà tiến tới thuần của dịch ngoại bào quanh điện cực ($R_A$), là một hằng số xác định khác không.

Chọn phương án (c).

Đáp số tra cứu

Các đáp số dưới đây dùng để tra cứu sau khi hoàn thành bài. Những bài có nhiều nghiệm giữ đầy đủ các trường hợp thỏa mãn giả thiết.

Mạch xoay chiều cơ bản và công suất

• 31.1. Dòng điện hiệu dụng lớn nhất, $I_{\mathrm{rms}}=1,06\mathrm{A}$.

• 31.3. Đoạn mạch thuần cảm. (a) Độ lệch pha giữa điện áp và dòng điện là ${90}^{\circ }$ (điện áp sớm pha hơn dòng điện). (b) Tần số của nguồn để đạt biên độ dòng điện đã cho là $193\mathrm{Hz}$.

• 31.5. Kháng của các phần tử. (a) ở tần số thứ nhất là $1510\mathrm{\Omega }$. (b) Độ tự cảm của cuộn dây là $\mathrm{0,239}\mathrm{H}$. (c) ở tần số thứ hai là $497\mathrm{\Omega }$. (d) của tụ điện là $16,6\mu \mathrm{F}$.

• 31.7. (a) ở $60\mathrm{Hz}$ và $600\mathrm{Hz}$ lần lượt là $170\mathrm{\Omega }$ và $1700\mathrm{\Omega }$. (b) ở hai tần số đó lần lượt là $1060\mathrm{\Omega }$ và $106\mathrm{\Omega }$. (c) Tần số để hai điện kháng bằng nhau là $150\mathrm{Hz}$.

• 31.9. Mạch và . (a) Biểu thức điện áp tức thời là $v(t)=(12,5\mathrm{V})\cos [(480\mathrm{rad}/\mathrm{s})t]$. (b) Điện áp tức thời tại thời điểm khảo sát là $7,17\mathrm{V}$.

• 31.11. Mạch RL. (a) Dòng điện tức thời có dạng $i(t)=(\mathrm{0,025}3\mathrm{A})\cos [(720\mathrm{rad}/\mathrm{s})t]$. (b) của cuộn dây là $180\mathrm{\Omega }$. (c) Biểu thức điện áp tự cảm tức thời là $v_L(t)=-(4,56\mathrm{V})\sin [(720\mathrm{rad}/\mathrm{s})t]$.

• 31.13. Mạch RLC nối tiếp. (a) toàn mạch là $601\mathrm{\Omega }$. (b) Biên độ dòng điện là $49,9\mathrm{mA}$. (c) Góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện là $-70,6^{\circ }$ (điện áp trễ pha hơn dòng điện). (d) Biên độ điện áp trên các phần tử lần lượt là $V_R=9,98\mathrm{V}$, $V_L=4,99\mathrm{V}$, và $V_C=33,3\mathrm{V}$.

• 31.15. nguồn cần cấp, $V_{\mathrm{rms}}=50,0\mathrm{V}$.

• 31.17. Góc lệch pha giữa điện áp và dòng điện, $\varphi =32,8^{\circ }$.

• 31.19. Công suất tiêu thụ trong mạch. (a) Công suất tức thời cực đại là $40,0\mathrm{W}$. (b) Dòng điện hiệu dụng qua mạch là $\mathrm{0,167}\mathrm{A}$. (c) của mạch là $720\mathrm{\Omega }$.

• 31.21. Mạch nung nhiệt điện xoay chiều. (b) danh định của phần tử nung là $32,4\mathrm{\Omega }$.

• 31.23. Cân bằng năng lượng và công suất. (a) Góc lệch pha là $45,8^{\circ }$, của mạch là $\mathrm{0,697}$. (b) toàn mạch là $344\mathrm{\Omega }$. (c) nguồn là $155\mathrm{V}$. (d) Công suất trung bình cung cấp bởi nguồn là $48,6\mathrm{W}$. (e) Công suất tỏa nhiệt trung bình trên là $48,6\mathrm{W}$. (f) Công suất trung bình hấp thụ bằng $0$. (g) Công suất trung bình hấp thụ bằng $0$.

• 31.25. và tiêu tán nhiệt. (a) Hệ số công suất là $\mathrm{0,302}$. (b) Công suất trung bình nguồn cung cấp là $\mathrm{0,370}\mathrm{W}$. (c) Công suất tiêu thụ trên là $\mathrm{0,370}\mathrm{W}$, công suất trên và đều bằng $0$.

• 31.27. Đoạn mạch nối tiếp. (a) Tần số nguồn là $113\mathrm{Hz}$, biên độ dòng điện bằng $15,0\mathrm{mA}$. (b) Tại tần số góc 400 rad/s, biên độ dòng điện là $7,61\mathrm{mA}$ và điện áp trễ pha hơn dòng điện.

• 31.29. Trạng thái cộng hưởng. (a) Biên độ điện áp nguồn là $150\mathrm{V}$. (b) Biên độ điện áp trên các phần tử là $V_R=150\mathrm{V}$, $V_L=V_C=1290\mathrm{V}$. (c) Công suất trung bình là $37,5\mathrm{W}$.

• 31.31. Mạch cộng hưởng. (a) cực đại bằng $1,00$. (b) Công suất do nguồn cấp là $75,0\mathrm{W}$. (c) Khi tăng gấp đôi và nguồn được chỉnh về cộng hưởng mới, công suất do nguồn cấp vẫn là $75,0\mathrm{W}$.

• 31.33. Mạch RLC nối tiếp. (a) Tần số góc cộng hưởng là $945\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (b) tại cộng hưởng là $70,6\mathrm{\Omega }$. (c) Biên độ điện áp trên các phần tử tại cộng hưởng là $V_L=V_C=450\mathrm{V}$, $V_R=120\mathrm{V}$.

• 31.35. . (a) Tỉ số số vòng dây là $10$. (b) Dòng điện hiệu dụng cuộn thứ cấp là $2,40\mathrm{A}$. (c) Công suất tải là $28,8\mathrm{W}$. (d) tương đương phản xạ về sơ cấp là $500\mathrm{\Omega }$.

Bài tập 31.37–31.65

• 31.37. Độ tự cảm của cuộn dây, $L\approx \mathrm{0,124}\mathrm{H}$ (giá trị chưa làm tròn $\mathrm{0,123}6\mathrm{H}$).
• 31.39. của mạch RLC nối tiếp tại cộng hưởng, $R=230\mathrm{\Omega }$ (giá trị chưa làm tròn $230,4\mathrm{\Omega }$).
• 31.41. Tần số góc cộng hưởng của mạch gồm phẳng và ống dây điện từ, ${\omega }_0\approx 3,59\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (giá trị chưa làm tròn $\mathrm{3,586}\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{s}$).
• 31.43. Điều chỉnh . (a) Mắc nối tiếp thêm một thuần. (b) Độ tự cảm cần mắc thêm là $L\approx \mathrm{0,133}\mathrm{H}$ (giá trị chưa làm tròn $\mathrm{0,132}5\mathrm{H}$).
• 31.45. Mạch RLC nối tiếp. (a) là $\cos \varphi \approx \mathrm{0,832}$ (giá trị chưa làm tròn $\mathrm{0,832}1$). (b) của nguồn là $V_{\mathrm{rms}}\approx 161\mathrm{V}$ (giá trị chưa làm tròn $161,25\mathrm{V}$).
• 31.47. Mạch lọc thông cao: Tỉ số biên độ điện áp ra và vào là $\frac{V_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{s}}}=\frac{\sqrt{R^2+{\omega }^2{L}^2}}{\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C){)}^2}}$. Khi $\omega \to 0$, tỉ số xấp xỉ $RC\omega \propto \omega$. Khi $\omega \to \mathrm{\infty }$, tỉ số tiến tới $1$.
• 31.49. Khảo sát dòng điện và công suất theo tần số. (a) Dòng điện cực đại $I(\omega )=\frac{V}{\sqrt{R^2+(\omega L-1/(\omega C){)}^2}}$. (b) Công suất tiêu thụ trung bình $P(\omega )=\frac{V^{2}R}{2[R^2+(\omega L-1/(\omega C){)}^2]}$. (c) Cực đại xảy ra tại ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$. (d) Với $V=100\mathrm{V}$, $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=2,0\mathrm{H}$, $C=0,50\mu \mathrm{F}$, tần số góc cộng hưởng là ${\omega }_0=1000\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, công suất cực đại $P_{\max }=25,0\mathrm{W}$. Ở hai giới hạn $\omega \to 0$ và $\omega \to \mathrm{\infty }$, cả dòng điện và công suất đều tiến về $0$.
• 31.51. Đoán nhận thông số mạch. (a) của là $X_L\approx 102\mathrm{\Omega }$ (giá trị chưa làm tròn $102,25\mathrm{\Omega }$). (b) Dòng điện hiệu dụng là $I_{\mathrm{rms}}\approx \mathrm{0,882}\mathrm{A}$ (giá trị chưa làm tròn $\mathrm{0,881}9\mathrm{A}$). (c) nguồn là $V_{\mathrm{rms}}\approx 270\mathrm{V}$ (giá trị chưa làm tròn $270,07\mathrm{V}$).
• 31.53. (a) Hai bộ bản xen kẽ tạo chín khe, nên:

$$C=\frac{9{\epsilon }_0{a}^2\theta }{g}.$$

Góc $\theta$ được đo bằng radian. (b) Để thu sóng $1180\mathrm{kHz}$, góc xoay là $72,7^{\circ }$. (c) Biên độ điện áp ra là $7,41\mathrm{V}$. (d) Với $\theta ={120}^{\circ }$, tần số cộng hưởng là $918\mathrm{kHz}$. (e) Biên độ điện áp ra khi đó là $5,77\mathrm{V}$.

• 31.55. Mạch RLC song song. (b) Tần số góc cộng hưởng là ${\omega }_0\approx 5770\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (giá trị chưa làm tròn $5773,5\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). (c) Biên độ dòng nguồn tại cộng hưởng là $I=2,40\mathrm{A}$. (d) Dòng điện qua là $I_R=2,40\mathrm{A}$. (e) Dòng điện qua là $I_L\approx \mathrm{0,139}\mathrm{A}$. (f) Dòng điện qua là $I_C\approx \mathrm{0,139}\mathrm{A}$.
• 31.57. Điều kiện bằng một nửa. (a) Tần số góc của nguồn thỏa mãn $\omega \approx 28800\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (giá trị chưa làm tròn $28762\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) ứng với $\varphi =+{60}^{\circ }$ (hoặc $\omega \approx 2781\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ứng với $\varphi =-{60}^{\circ }$). (b) Công suất trung bình trên là $P_R=\mathrm{0,375}\mathrm{W}$, công suất trên và bằng $0$, biên độ dòng điện qua tụ là $I=\mathrm{0,100}\mathrm{A}$.
• 31.59. Xác định từ biên độ điện áp tụ. (a) Biên độ dòng điện là $I=\mathrm{0,750}\mathrm{A}$. (b) toàn mạch là $Z=160\mathrm{\Omega }$. (c) Hai giá trị có thể của cảm kháng là $X_L=341\mathrm{\Omega }$ và $X_L=619\mathrm{\Omega }$. (d) Giá trị ứng với tần số góc nhỏ hơn tần số cộng hưởng là $X_L=341\mathrm{\Omega }$.
• 31.61. Các giá trị cực đại tại cộng hưởng. (a) Biên độ dòng điện qua $I=\frac{V}{R}$. (b) Biên độ điện áp trên $V_C=\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$. (c) Biên độ điện áp trên $V_L=\frac{V}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$. (d) Năng lượng cực đại trong tụ điện $U_C=\frac{1}{2}\frac{L{V}^2}{R^2}$. (e) Năng lượng cực đại trong cuộn cảm $U_L=\frac{1}{2}\frac{L{V}^2}{R^2}$.
• 31.63. Xác định thông số cuộn dây từ đồ thị cộng hưởng: thuần $R=20,0\mathrm{\Omega }$, độ tự cảm $L=\mathrm{0,180}\mathrm{H}$.
• 31.65. Đặt $x=\omega L/R$. (a), (b) Biên độ dòng và góc pha là:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{V_{\mathrm{in}}}{\sqrt{R^2+(\omega L{)}^2}},\\ \varphi & =\arctan x.\end{array}$$

(c) Tỉ số điện áp ra và vào:

$$G=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

(d) Mức suy giảm chính xác $3,0\mathrm{dB}$ cho $\omega =\mathrm{1,002}3773R/L$. Quy ước nửa công suất cho gần đúng $\omega \approx R/L$. (e) Độ tự cảm tương ứng là $\mathrm{1,595}33\mathrm{mH}$, hoặc $\mathrm{1,591}55\mathrm{mH}$ theo gần đúng nửa công suất. Cả hai đều làm tròn thành $1,6\mathrm{mH}$.

Bài nâng cao và Đọc hiểu MCAT

• 31.67. Công suất tức thời trong mạch xoay chiều. (a) Công suất trung bình trên là $\frac{1}{2}{V}_{R}I$. (b) Công suất trung bình trên bằng $0$. (c) Công suất trung bình trên bằng $0$. (d) Tổng công suất tức thời $p_R(t)+p_L(t)+p_C(t)$ bằng đúng công suất tức thời $p(t)$ của nguồn cung cấp tại mọi thời điểm.
• 31.69. một chiều của điện cực màng sinh học: Chọn phương án (b) (Trở kháng tiến tới vô cùng lớn do ngăn hoàn toàn dòng điện một chiều).
• 31.71. Tín hiệu điện thế tế bào: Chọn phương án (d) (Hiệu điện thế đỉnh-đáy giữa hai vị trí biên là $\mathrm{\Delta }V=2\sqrt{2}{V}_{\mathrm{rms}}\approx 4,2\mathrm{nV}$).

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 31, trang 1041–1047.