43.2 Năng lượng liên kết và cấu trúc hạt nhân

Tổng khối lượng của một hạt nhân liên kết luôn nhỏ hơn tổng khối lượng của các proton và neutron riêng lẻ cấu thành nên hạt nhân đó. Sự hụt khối này phản ánh trực tiếp nguyên lý tương đương khối lượng - của thuyết tương đối: Khi các nucleon kết hợp lại với nhau dưới tác dụng của lực hạt nhân hút, hệ giải phóng năng lượng liên kết, làm giảm tổng năng lượng nghỉ và kéo theo sự suy giảm tương ứng của khối lượng tĩnh.

Khối lượng hụt và năng lượng liên kết

, ký hiệu là $E_B$, là tối thiểu cần cung cấp để tách hoàn toàn một hạt nhân gồm $Z$ proton và $N$ neutron thành các nucleon đứng yên riêng biệt ở khoảng cách vô hạn. Ngược lại, đây cũng chính là năng lượng được giải phóng khi đưa $Z$ proton và $N$ neutron từ xa lại gần để hình thành nên hạt nhân.

Trong thực tế tra cứu vật lý hạt nhân và quang phổ khối lượng, các bảng số liệu thường công bố khối lượng của nguyên tử trung hòa $M(A,Z)$ thay vì khối lượng hạt nhân trần. Khi tính toán liên kết, ta có thể dùng trực tiếp khối lượng của nguyên tử hydro trung hòa $M_H=\mathrm{1,007}825\text{ u}$ thay cho proton tự do $m_p$. Khối lượng của $Z$ electron trong $Z$ nguyên tử hydro sẽ triệt tiêu chính xác với khối lượng của $Z$ electron có mặt trong nguyên tử trung hòa $M(A,Z)$. Năng lượng liên kết của electron nguyên tử ở các nguyên tử nhẹ chỉ cỡ vài eV đến vài chục eV. Trong khi đó, ở các nguyên tử nặng, các electron ở lớp sâu nhất có thể có năng lượng liên kết tới hàng chục keV. Dù vậy, độ chênh lệch năng lượng liên kết electron này là rất nhỏ so với thang năng lượng hạt nhân (cỡ hàng triệu eV, tức MeV), nên có thể bỏ qua trong giới hạn độ chính xác của các phép tính ở thang đo MeV đang xét.

$\mathrm{\Delta }M$ của nguyên tử trung hòa có số khối $A=Z+N$ là hiệu số giữa tổng khối lượng các nucleon tự do $M_{\text{free}}=Z{M}_H+N{m}_n$ và khối lượng nguyên tử trung hòa $M(A,Z)$. Năng lượng liên kết hạt nhân toàn phần theo phương trình (43.10) liên hệ trực tiếp với độ hụt khối này qua hệ thức:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }M& =M_{\text{free}}-M\\ E_B& =(\mathrm{\Delta }M)c^2\end{array}$$

(43.10)

trong đó $M_{\text{free}}=Z{M}_H+N{m}_n$, tương đương với biểu thức khai triển $(Z{M}_H+N{m}_n-M)c^2$.

Trong đó:

• $M_H$: Là khối lượng nguyên tử hydro trung hòa ($\mathrm{1,007}825\text{ u}$).
• $m_n$: Là khối lượng neutron tự do ($\mathrm{1,008}665\text{ u}$).
• $M(A,Z)$: Là khối lượng nguyên tử trung hòa thực nghiệm của đang xét.

Hệ số tương đương khối lượng - quy đổi trực tiếp là $1\text{ u}\cdot c^2=931,5\text{ MeV}$ (hay $1\text{ u}=931,5\text{ MeV}/c^2$).

Một ví dụ điển hình là hạt nhân deuteron ${}_1^2\text{H}$ của hydro nặng (deuterium), gồm một proton và một neutron. Với $M_H=\mathrm{1,007}825\text{ u}$ và $m_n=\mathrm{1,008}665\text{ u}$, tổng khối lượng của các nucleon tự do cấu thành là:

$$M_H+m_n=\mathrm{2,016}490\text{ u}$$

Khối lượng nguyên tử trung hòa đo được của deuterium là $\mathrm{2,014}102\text{ u}$. giữa các nucleon tự do và nguyên tử deuterium là:

$$\mathrm{\Delta }M=\mathrm{0,002}388\text{ u}$$

liên kết tương ứng của hạt nhân deuteron là:

$$E_B=\mathrm{2,224}\text{ MeV}$$

Để tách deuteron thành một proton và một neutron riêng rẽ, ta cần cung cấp một tối thiểu là $\mathrm{2,224}\text{ MeV}$. Để so sánh, năng lượng liên kết ion hóa của electron trong nguyên tử hydro chỉ là $13,6\text{ eV}$. lớn hơn năng lượng liên kết nguyên tử khoảng một trăm nghìn lần (${10}^5$), thể hiện cường độ vượt trội của tương tác hạt nhân so với tương tác tĩnh điện.

Ứng dụng sinh học: Deuteri và độc tính của nước nặng

Hình 43.A2: Độc tính của nước nặng đối với sự phân chia tế bào. Thoi phân bào không thể hình thành khi nước thường bị thay thế bởi nước nặng. Điều này khiến tế bào không thể sinh sản.

Chú thích:

• Thoi phân bào (Spindle)
• Nhiễm sắc thể (Chromosomes)

Một bước quan trọng trong quá trình phân chia tế bào thực vật và động vật là sự hình thành thoi phân bào (spindle), có vai trò phân tách hai bộ nhiễm sắc thể con (chromosomes). Nếu một loài thực vật chỉ được cung cấp nước nặng (trong đó một hoặc cả hai nguyên tử hydro trong phân tử ${\text{H}}_2\text{O}$ bị thay thế bởi nguyên tử deuteri), quá trình phân chia tế bào sẽ ngừng lại và cây ngừng sinh trưởng. Nguyên nhân là do deuteri có khối lượng lớn hơn hydro thông thường. Điều này dẫn đến liên kết $\text{O}-\text{H}$ (hoặc $\text{O}-\text{D}$) trong nước nặng có liên kết hơi khác biệt và nước nặng có các đặc tính dung môi hơi khác so với nước thường. Các phản ứng hóa sinh diễn ra trong quá trình phân bào rất nhạy cảm với các đặc tính dung môi này. Điều này khiến thoi phân bào không thể hình thành và tế bào không thể sinh sản.

Chiến lược giải bài toán 43.1: Các tính chất của hạt nhân

• Nhận diện các khái niệm liên quan: Các tính chất đặc trưng của hạt nhân cần xác định gồm khối lượng, bán kính, liên kết, , năng lượng liên kết trên mỗi nucleon và momen .
• Thiết lập bài toán: Sau khi xác định các biến mục tiêu, tập hợp các hệ thức cần thiết từ mục này và mục 43.1.
• Thực hiện lời giải: Giải tìm các biến mục tiêu. Các phép tính liên kết sử dụng phương trình (43.10) thường đòi hỏi phải trừ hai đại lượng có giá trị gần như bằng nhau. Để đạt độ chính xác cần thiết cho hiệu số, trong quá trình tính toán trung gian cần giữ tới chín chữ số có nghĩa.
• Đánh giá kết quả: Cần ghi nhớ các bậc độ lớn chuẩn làm mốc đối chiếu:
  1. Khối lượng: Proton và neutron có khối lượng lớn hơn electron khoảng 1840 lần.
  2. : Nằm ở bậc ${10}^{-15}\text{ m}$ (femto-met).
  3. Thang tương tác: Thế năng tĩnh điện giữa hai proton trong hạt nhân vào khoảng ${10}^{-13}\text{ J}$ hay $1\text{ MeV}$. Do đó, năng lượng tương tác hạt nhân điển hình ở thang vài $\text{MeV}$ thay vì vài $\text{eV}$ như trong nguyên tử. Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon chiếm khoảng $1\mathrm{\%}$ năng lượng nghỉ của một nucleon (để so sánh, năng lượng ion hóa của nguyên tử hydro chỉ chiếm $\mathrm{0,003}\mathrm{\%}$ năng lượng nghỉ của electron).
  4. Momen : Được xác định bởi hằng số $\hslash$. Do đó, có cùng bậc độ lớn ở cả hạt nhân và nguyên tử.
  5. Momen từ hạt nhân: Nhỏ hơn momen từ của electron trong nguyên tử khoảng 1000 lần, do hạt nhân có khối lượng lớn hơn electron rất nhiều.

Ví dụ 43.3: Hạt nhân liên kết chặt chẽ nhất

Hãy tìm , liên kết toàn phần và năng lượng liên kết trên mỗi nucleon của ${}_{28}^{62}\text{Ni}$, biết khối lượng nguyên tử trung hòa của này là $\mathrm{61,928}345\text{ u}$.

Nhận diện và thiết lập: $\mathrm{\Delta }M$ là hiệu số giữa khối lượng của các nucleon cấu thành và khối lượng hạt nhân. liên kết $E_B$ là độ hụt khối nhân với hệ số chuyển đổi $1\text{ u}\cdot c^2=931,5\text{ MeV}$, và năng lượng liên kết trên mỗi nucleon là $E_B$ chia cho số khối $A$. Ta áp dụng phương trình (43.10), $\mathrm{\Delta }M=M_{\text{free}}-M$, để xác định cả độ hụt khối lẫn năng lượng liên kết.

Thực hiện: Với $Z=28$, $M_H=\mathrm{1,007}825\text{ u}$, $N=A-Z=62-28=34$, $m_n=\mathrm{1,008}665\text{ u}$, và $M{(}_{28}^{62}\text{Ni})=\mathrm{61,928}345\text{ u}$: Tổng khối lượng các nucleon tự do là:

$$\begin{array}{rl}{M}_{\text{free}}& =28M_H+34m_n\\ & =\mathrm{62,513}710\text{ u}\end{array}$$

thu được theo phương trình (43.10):

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }M& =M_{\text{free}}-M\\ & =\mathrm{0,585}365\text{ u}\end{array}$$

liên kết toàn phần tương ứng là:

$$\begin{array}{rl}{E}_B& =(\mathrm{\Delta }M)c^2\\ & =545,3\text{ MeV}\end{array}$$

liên kết trên mỗi nucleon là $E_B/A=545,3\text{ MeV}/62$:

$$\frac{E_B}{A}\approx \mathrm{8,795}\text{ MeV}$$

tức $\mathrm{8,795}\text{ MeV}$ trên mỗi nucleon. Giá trị này là cao nhất trong tất cả các đã biết.

Đánh giá: Kết quả này đồng nghĩa với việc cần tối thiểu $545,3\text{ MeV}$ để tách hoàn toàn một hạt nhân ${}_{28}^{62}\text{Ni}$ thành 28 proton và 34 neutron riêng biệt. của ${}_{28}^{62}\text{Ni}$ chiếm khoảng $1\mathrm{\%}$ khối lượng nguyên tử (hoặc khối lượng hạt nhân). Do đó, liên kết bằng khoảng $1\mathrm{\%}$ năng lượng nghỉ của hạt nhân, và năng lượng liên kết trên mỗi nucleon bằng khoảng $1\mathrm{\%}$ năng lượng nghỉ của một nucleon. Độ hụt khối này lớn hơn một nửa khối lượng của một nucleon, cho thấy các nucleon liên kết rất chặt chẽ bên trong hạt nhân.

Khái niệm cốt lõi: của một hạt nhân là hiệu số giữa tổng khối lượng của các nucleon cấu thành và khối lượng của chính hạt nhân đó. Ta tính toán đại lượng này bằng khối lượng của nguyên tử hydro thay cho proton, và dùng khối lượng của nguyên tử trung hòa chứa hạt nhân đó thay cho khối lượng hạt nhân trần. Để tìm liên kết, nhân độ hụt khối với $c^2$. Sau đó để tìm năng lượng liên kết trên mỗi nucleon, chia kết quả cho số khối $A$.

Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon và đồ thị thực nghiệm

Để so sánh mức độ liên kết bền vững giữa các hạt nhân có kích thước và số nucleon khác nhau, đại lượng vật lý chuẩn mực được sử dụng là liên kết trung bình trên một nucleon:

$$\frac{E_B}{A}$$

Đại lượng này biểu thị liên kết trung bình tính trên mỗi nucleon khi phân rã hoàn toàn hạt nhân thành các nucleon tự do riêng rẽ, cần phân biệt với năng lượng tách một nucleon cụ thể (separation energy, vốn là hiệu số năng lượng liên kết trước và sau khi tách một nucleon).

Hình 43.2: Năng lượng liên kết xấp xỉ trên mỗi nucleon theo số khối A (tổng số nucleon) đối với các nuclit bền. Đường cong đạt đỉnh khoảng 8,8 MeV/nucleon tại A = 62 (niken).

Chú thích:

• Đường cong đạt đỉnh khoảng 8,8 MeV/nucleon tại A = 62, tương ứng với nguyên tố niken. (The curve reaches a peak of about 8.8 MeV>nucleon at A = 62, corresponding to the element nickel.)
• Đỉnh nhọn tại A = 4 thể hiện độ bền vững dị thường của cấu trúc 4He. (The spike at A = 4 shows the unusual stability of the structure.)

Đồ thị thực nghiệm của $E_B/A$ theo số khối $A$ thể hiện các đặc điểm cơ bản sau:

1. Đối với các hạt nhân rất nhẹ ($A<20$): Giá trị $E_B/A$ tăng nhanh khi $A$ tăng. Đồ thị xuất hiện các đỉnh nhọn cục bộ tại các hạt nhân có số khối chia hết cho 4 như ${}_2^4\text{He}$ ($7,07\text{ MeV/nucleon}$), ${}_6^{12}\text{C}$ và ${}_8^{16}\text{O}$. Các hạt nhân này có cấu trúc cụm hạt alpha đặc biệt bền vững.
2. Vùng đỉnh cực đại: Đồ thị đạt đỉnh cao nhất ở vùng lân cận $A=62$ với giá trị khoảng $8,8\text{ MeV/nucleon}$, tương ứng với hạt nhân niken ${}_{28}^{62}\text{Ni}$ ($\mathrm{8,795}\text{ MeV/nucleon}$).
3. Vùng cao nguyên rộng ($30\le A\le 200$): liên kết trên mỗi nucleon duy trì gần như không đổi, dao động trong khoảng từ $8,0\text{ MeV}$ đến $8,8\text{ MeV/nucleon}$. Tính chất không đổi này phản ánh hiện tượng bão hòa của lực hạt nhân: Mỗi nucleon trong lòng hạt nhân chỉ tương tác với một số hữu hạn các nucleon láng giềng sát cạnh nó, tương tự như các phân tử trong một giọt chất lỏng.
4. Vùng hạt nhân nặng ($A>200$): Giá trị $E_B/A$ giảm dần đều từ khoảng $8,5\text{ MeV}$ xuống còn $7,6\text{ MeV/nucleon}$ ở ${}_{92}^{238}\text{U}$. Sự suy giảm này là hệ quả tất yếu của lực đẩy tĩnh điện Coulomb giữa các proton: Lực hạt nhân có bán kính tác dụng ngắn nên bị bão hòa. Trong khi đó, lực đẩy Coulomb có bán kính tác dụng dài vô hạn nên mọi cặp proton trong hạt nhân đều đẩy nhau. Khi số lượng proton tăng cao, lực đẩy tích lũy làm suy yếu độ bền liên kết chung.

Hạt nhân có giá trị $E_B/A$ lớn nhất như ${}^{62}\text{Ni}$ là bền vững nhất trước sự phân rã thành các proton và neutron tự do, nhưng cần phân biệt tính chất này với tính bền trước các kênh phân rã hạt nhân khác. Dạng đường cong thực nghiệm này là nền tảng vật lý của hai con đường khai phóng hạt nhân:

• Phản ứng (tổng hợp hạt nhân): Kết hợp hai hạt nhân nhẹ ở sườn dốc bên trái thành một hạt nhân nặng hơn sẽ làm tăng giá trị $E_B/A$. Điều này dẫn đến liên kết tổng cộng tăng lên và giải phóng năng lượng khổng lồ.
• Phản ứng : Bẻ gãy một hạt nhân rất nặng ở sườn dốc bên phải thành hai mảnh hạt nhân trung bình có $A$ nhỏ hơn sẽ đưa các mảnh về vùng có $E_B/A$ cao hơn, giải phóng dưới dạng động năng và bức xạ.

Đặc trưng của lực hạt nhân

Lực liên kết các nucleon trong hạt nhân là tương tác hạt nhân mạnh, có ba đặc trưng cơ bản:

1. Độc lập với điện tích và có bán kính tác dụng ngắn: Cường độ liên kết hạt nhân là như nhau đối với cả proton và neutron (tương tác hút giữa $p-p$, $n-n$ và $p-n$ hoàn toàn tương đương khi ở cùng trạng thái không gian và spin). Lực này có bán kính tác dụng rất ngắn, ở thang kích thước hạt nhân khoảng ${10}^{-15}\text{ m}$. Trong phạm vi tác dụng này, lực hút hạt nhân mạnh hơn rất nhiều so với lực đẩy tĩnh điện giữa các proton. Bên ngoài khoảng cách đó, lực giảm cực nhanh về 0. Không có phương trình đơn giản nào dạng định luật Coulomb cho sự phụ thuộc khoảng cách của lực hạt nhân.
2. Tính bão hòa: Việc mọi hạt nhân đều có mật độ xấp xỉ như nhau và liên kết trên mỗi nucleon $E_B/A$ gần như bằng nhau chứng tỏ một nucleon không thể tương tác đồng thời với toàn bộ các nucleon khác trong hạt nhân. Thay vào đó, mỗi nucleon chỉ tương tác với một số ít các nucleon láng giềng nằm ngay sát cạnh nó. Giới hạn về số lượng tương tác qua lực hạt nhân này được gọi là tính bão hòa.
3. Ưu tiên ghép đôi các nucleon có spin đối song song và các cặp của cặp: Lực hạt nhân ưu tiên liên kết các cặp proton hoặc neutron có spin ngược chiều nhau, cũng như các 'cặp của cặp' (tức một cặp proton và một cặp neutron, mỗi cặp đều có spin đối song song). Đặc tính này giải thích trực tiếp đỉnh nhọn liên kết dị thường của hạt nhân ${}_2^4\text{He}$ trên đồ thị thực nghiệm (hình 43.2). Trong khi đó, ở hệ hai nucleon đơn lẻ như hạt nhân deuteron ${}_1^2\text{H}$, trạng thái liên kết bền đòi hỏi spin toàn phần lượng tử của proton và neutron phải ở trạng thái triplet ($S=1$).

Mô hình giọt chất lỏng và công thức khối lượng bán thực nghiệm

Xuất phát từ tính bão hòa và mật độ hạt nhân không đổi, George Gamow và sau đó là Niels Bohr cùng Carl Friedrich von Weizsäcker đã phát triển . Mô hình này xem hạt nhân tương đương với một giọt chất lỏng cầu tích điện không chịu nén. Điều này dẫn đến công thức bán thực nghiệm tính liên kết toàn phần gồm năm số hạng đóng góp:

• Số hạng thể tích: $E_1=C_{1}A$
• Số hạng diện tích mặt ngoài: $E_2=-C_2{A}^{2/3}$
• Số hạng đẩy Coulomb: $E_3=-C_3\frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$
• Số hạng bất đối xứng: $E_4=-C_4\frac{(A-2Z{)}^2}{A}$
• Số hạng ghép đôi nucleon: $E_5=\pm C_5{A}^{-4/3}$

liên kết toàn phần ước tính $E_B$ là tổng của cả năm số hạng đóng góp từ $E_1$ đến $E_5$. Miền chỉ số chạy từ 1 đến 5. Ký hiệu tổng biểu diễn phép cộng tường minh sau:

$$E_1+E_2+E_3+E_4+E_5.$$

Đặt $G_1=E_1+E_2$ (tổng số hạng thể tích và diện tích mặt ngoài) và $G_2=E_3+E_4+E_5$ (tổng số hạng đẩy Coulomb, bất đối xứng và ghép đôi), ta có công thức:

$$\begin{array}{rl}{E}_B& =\sum _{i=1}^5{E}_i\\ & =G_1+G_2\end{array}$$

(43.11)

Ý nghĩa vật lý của năm số hạng đóng góp:

1. Số hạng thể tích ($+C_{1}A$): Xuất phát từ tương tác hút của các nucleon trong lòng hạt nhân. Do tính bão hòa, mỗi nucleon đóng góp một lượng liên kết như nhau, tỷ lệ thuận với số khối $A$.
2. Số hạng diện tích mặt ngoài ($-C_2{A}^{2/3}$): Các nucleon ở bề mặt hạt nhân có ít nucleon láng giềng hơn so với các hạt ở sâu bên trong. Do đó, lực hút tổng cộng bị suy giảm. Diện tích bề mặt hình cầu tỷ lệ thuận với $R^2\propto A^{2/3}$, làm giảm liên kết.
3. Số hạng đẩy Coulomb ($-C_{3}Z(Z-1)A^{-1/3}$): thế tĩnh điện giữa $Z$ proton trong hình cầu bán kính $R\propto A^{1/3}$. Số cặp tương tác đẩy là $Z(Z-1)/2$, làm giảm độ bền liên kết của hạt nhân.
4. Số hạng bất đối xứng ($-C_4(A-2Z{)}^2{A}^{-1}$): Hệ quả trực tiếp của . Khi các mức lượng tử được lấp đầy, trạng thái có số proton bằng số neutron ($N=Z$ hay $A-2Z=0$) có tổng năng lượng thấp nhất. Sự chênh lệch giữa $N$ và $Z$ buộc các nucleon dư thừa phải chiếm các mức năng lượng cao hơn, làm giảm năng lượng liên kết.
5. Số hạng ghép đôi ($E_5=\pm C_5{A}^{-4/3}$): Lực hạt nhân có xu hướng tạo thành các cặp nucleon có spin triệt tiêu lẫn nhau ($p-p$ và $n-n$). Giá trị của số hạng này được xác định theo tính chẵn lẻ của $Z$ và $N$:
   • Hạt nhân chẵn - chẵn ($Z$ chẵn, $N$ chẵn): Đóng góp dấu dương $+C_5{A}^{-4/3}$, làm tăng liên kết và tăng độ bền.
   • Hạt nhân chẵn - lẻ hoặc lẻ - chẵn ($A$ lẻ): Bằng $0$.
   • Hạt nhân lẻ - lẻ ($Z$ lẻ, $N$ lẻ): Đóng góp dấu âm $-C_5{A}^{-4/3}$, làm giảm liên kết.

Các hằng số thực nghiệm được lựa chọn để công thức khớp tối ưu với liên kết quan sát được của các :

$$\begin{array}{rl}{C}_1& =15,75\text{ MeV}\\ C_2& =17,80\text{ MeV}\\ C_3& =\mathrm{0,710}0\text{ MeV}\\ C_4& =23,69\text{ MeV}\\ C_5& =39\text{ MeV}\end{array}$$

Khối lượng nguyên tử trung hòa ước tính thông qua liên kết mô hình là:

$$M_{\text{est}}=M_{\text{free}}-\frac{E_B}{c^2}$$

(43.12)

Ví dụ 43.4: Dự đoán năng lượng liên kết và khối lượng

Đối với ${}_{28}^{62}\text{Ni}$ trong Ví dụ 43.3: (a) Hãy tính năm số hạng trong liên kết và tổng năng lượng liên kết ước tính. (b) Tìm khối lượng nguyên tử trung hòa bằng công thức khối lượng bán thực nghiệm.

Nhận diện và thiết lập: Ta sử dụng của hạt nhân và năm đóng góp vào liên kết theo phương trình (43.11) để tính tổng năng lượng liên kết $E_B$. Sau đó, ta sử dụng phương trình (43.12) để xác định khối lượng nguyên tử trung hòa $M{(}_{28}^{62}\text{Ni})$.

Thực hiện: (a) Với $Z=28$, $A=62$, và $N=34$, năm số hạng trong phương trình (43.11) lần lượt là:

1. Số hạng thể tích: Với $C_1=15,75\text{ MeV}$, ta có $E_1\approx 976,5\text{ MeV}$.
2. Số hạng diện tích mặt ngoài: Với $C_2=17,80\text{ MeV}$, ta có $E_2\approx -278,8\text{ MeV}$.
3. Số hạng đẩy Coulomb: Với $C_3=\mathrm{0,710}0\text{ MeV}$, ta có $E_3\approx -135,6\text{ MeV}$.
4. Số hạng bất đối xứng: Với $C_4=23,69\text{ MeV}$, ta có $E_4\approx -13,8\text{ MeV}$.
5. Số hạng ghép đôi: Vì cả $Z$ và $N$ đều là số chẵn, số hiệu chỉnh ghép đôi mang dấu dương với $C_5=39\text{ MeV}$, cho $E_5\approx +0,2\text{ MeV}$.

Số hạng ghép đôi có giá trị nhỏ nhất trong năm số hạng. Tổng của năm số hạng cho giá trị liên kết ước tính toàn phần:

$$\begin{array}{rl}{E}_B& =\sum _{i=1}^5{E}_i\\ & =548,5\text{ MeV}\end{array}$$

(b) Áp dụng giá trị $E_B=548,5\text{ MeV}$ vào phương trình (43.12) với $M_{\text{free}}=\mathrm{62,513}710\text{ u}$:

$$\begin{array}{rl}{M}_{\text{est}}& =M_{\text{free}}-\frac{E_B}{c^2}\\ & =\mathrm{61,925}\text{ u}\end{array}$$

Đánh giá: liên kết của ${}_{28}^{62}\text{Ni}$ tính được ở câu (a) chỉ lớn hơn khoảng $0,6\mathrm{\%}$ so với giá trị thực nghiệm $545,3\text{ MeV}$ tìm được trong Ví dụ 43.3, và khối lượng tính được ở câu (b) chỉ nhỏ hơn khoảng $\mathrm{0,005}\mathrm{\%}$ so với giá trị đo đạc thực tế $\mathrm{61,928}345\text{ u}$. Công thức khối lượng bán thực nghiệm đạt độ chính xác rất cao!

Khái niệm cốt lõi: và công thức khối lượng bán thực nghiệm liên quan cho phép tính toán liên kết và khối lượng nguyên tử của một .

Mô hình lớp hạt nhân và các số ma thuật

Dù giải thích thành công xu hướng biến thiên tổng quát của $E_B/A$, mô hình này không thể giải thích được các biến thiên có tính chu kỳ và những đột biến về độ bền tại các cấu hình nucleon xác định. (nuclear shell model) được xây dựng dựa trên sự tương đồng sâu sắc với phép gần đúng trường xuyên tâm trong vật lý nguyên tử. Trong mô hình này, mỗi nucleon được xem như chuyển động độc lập trong một trung bình hiệu dụng tạo bởi toàn bộ các nucleon còn lại.

Hàm do lực hạt nhân $U_{\text{nuc}}$ là hoàn toàn như nhau đối với cả proton và neutron:

• Đối với neutron (hình 43.3a): hạt nhân $U_{\text{nuc}}$ có dạng một giếng thế vuông đối xứng cầu với các góc bo tròn (thế Woods - Saxon), phản ánh thực tế rằng hạt nhân không có bề mặt biên sắc nhọn tại bán kính $R$. Bên ngoài bờ giếng thế ($r>R$), thế năng hạt nhân triệt tiêu về 0. Đối với neutron không mang điện, $U_{\text{nuc}}$ chính là thế năng toàn phần.
• Đối với proton (hình 43.3b): Do mang điện tích dương, proton chịu thêm đẩy tĩnh điện $U_{\text{el}}$ từ $Z-1$ proton còn lại, vốn được xem gần đúng như một khối cầu tích điện đều bán kính $R$ với tổng điện tích $(Z-1)e$. Thế năng toàn phần của proton là tổng của thế năng hạt nhân và thế năng tĩnh điện: $U_{\text{tot}}=U_{\text{nuc}}+U_{\text{el}}$. Bên trong giếng ($r<R$), lực hút hạt nhân chiếm ưu thế áp đảo. Bên ngoài giếng ($r>R$), thế năng giảm dần tỷ lệ nghịch với khoảng cách $1/r$, tạo thành Coulomb giam giữ proton.

Hình 43.3: Đường cong thế năng xấp xỉ cho một nucleon trong hạt nhân bán kính R. (a) Thế năng Unuc đối với proton và neutron. (b) Đối với proton, thế năng toàn phần là tổng thế năng hạt nhân và tĩnh điện.

Chú thích:

• (a) Thế năng Unuc do lực hạt nhân là như nhau đối với proton và neutron. Đối với neutron, đây chính là thế năng toàn phần. ((a) The potential energy Unuc due to the nuclear force is the same for protons and neutrons. For neutrons, it is the total potential energy.)
• (b) Đối với proton, thế năng toàn phần Utot là tổng thế năng hạt nhân (Unuc) và thế năng điện (Uel). ((b) For protons, the total potential energy Utot is the sum of the nuclear (Unuc) and electric (Uel) potential energies.)

Tương tự như electron trong nguyên tử, cả proton và neutron đều là các hạt fermion mang spin $1/2$ tuân theo : Không thể có nhiều hơn một proton (hoặc nhiều hơn một neutron) cùng chiếm giữ một trạng thái lượng tử trong hạt nhân. Sự lấp đầy các vỏ hạt nhân dẫn đến những giá trị số proton hoặc số neutron tương ứng với các cấu hình đặc biệt bền vững và có liên kết cao vượt trội, được gọi là các số ma thuật (magic numbers):

$$2,8,20,28,50,82,126$$

Tập hợp các số ma thuật này khác với dãy số nguyên tử khí hiếm của electron ($2,10,18,36,54,86$) vì hàm hạt nhân có dạng khác biệt và tương tác spin - quỹ đạo trong hạt nhân mạnh hơn rất nhiều so với nguyên tử. Đồng thời, mang dấu ngược lại: Trạng thái có spin song song với momen quỹ đạo ($j=l+1/2$) bị kéo xuống mức năng lượng thấp hơn đáng kể so với trạng thái phản song song ($j=l-1/2$). Sự tách mức mạnh này tạo ra các khoảng trống năng lượng lớn sau các cấu hình $28,50,82$ và $126$.

Các có số proton $Z$ là số ma thuật thường có số lượng bền cao hơn mức trung bình (nuclit có $Z=126$ chưa từng được quan sát trong tự nhiên). Khi một hạt nhân có đồng thời cả $Z$ và $N$ đều là số ma thuật, nó được gọi là hạt nhân ma thuật kép (doubly magic nuclides), bao gồm năm hạt nhân bền vững điển hình: Hạt nhân ${}_2^4\text{He}$, ${}_8^{16}\text{O}$, ${}_{20}^{40}\text{Ca}$, ${}_{20}^{48}\text{Ca}$ và ${}_{82}^{208}\text{Pb}$. Tất cả các hạt nhân ma thuật kép này đều sở hữu liên kết trên mỗi nucleon cao vượt trội so với các hạt nhân lân cận, và đều có toàn phần bằng không ($J=0$). Các số ma thuật phản ánh cấu hình vỏ hoặc phân lớp hạt nhân đã được lấp đầy hoàn chỉnh, với một bước nhảy năng lượng tương đối lớn để chuyển lên mức kích thích tiếp theo.

Kiểm tra độ hiểu 43.2

Hãy sắp xếp các hạt nhân sau đây theo thứ tự giảm dần của liên kết trung bình trên một nucleon ($E_B/A$): (i) ${}^4\text{He}$; (ii) ${}^{52}\text{Cr}$; (iii) ${}^{152}\text{Sm}$; (iv) ${}^{200}\text{Hg}$; (v) ${}^{252}\text{Cf}$.

::: Details Giải thích Thứ tự giảm dần chính xác là: (ii) > (iii) > (iv) > (v) > (i).

Cụ thể:

1. Hạt nhân ${}_{24}^{52}\text{Cr}$ ($A=52$) nằm rất gần đỉnh của đường cong $E_B/A$, có giá trị khoảng $8,78\text{ MeV/nucleon}$.
2. Hạt nhân ${}_{62}^{152}\text{Sm}$ ($A=152$) nằm trong vùng cao nguyên rộng, có giá trị khoảng $8,25\text{ MeV/nucleon}$.
3. Hạt nhân ${}_{80}^{200}\text{Hg}$ ($A=200$) nằm ở phần dốc xuống của vùng hạt nhân nặng, có giá trị khoảng $7,90\text{ MeV/nucleon}$.
4. Hạt nhân ${}_{98}^{252}\text{Cf}$ ($A=252$) là hạt nhân rất nặng, chịu lực đẩy Coulomb lớn giữa 98 proton, có giá trị khoảng $7,45\text{ MeV/nucleon}$.
5. Hạt nhân ${}_2^4\text{He}$ ($A=4$) dù là hạt nhân rất bền trong nhóm hạt nhân nhẹ với đỉnh nhọn cục bộ, nhưng giá trị $E_B/A$ của nó là $7,07\text{ MeV/nucleon}$, vẫn nhỏ hơn so với các hạt nhân trung bình và nặng kể trên. :::

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 43.2, trang 1447–1452.