22.5. Điện tích trên vật dẫn

Trong cân bằng tĩnh điện, ở mọi điểm trong vật liệu dẫn bằng không, và dư của đặc nằm trên bề mặt. Nếu vật dẫn có hốc, phải phân biệt hốc trống với hốc chứa một nguồn điện tích cách điện với vật dẫn.

Hình 22.23: Vật dẫn đặc, vật dẫn có hốc trống và vật dẫn có điện tích trong hốc

Chú thích:

• (a) Vật dẫn đặc mang điện tích qC. ((a) Solid conductor with charge qC)
• (b) Cùng vật dẫn ấy nhưng có một hốc bên trong. ((b) The same conductor with an internal cavity)
• (c) Đặt riêng điện tích q trong hốc. ((c) An isolated charge q placed in the cavity)
• Mặt Gauss A tùy ý. (Arbitrary Gaussian surface A)
• Hốc. (Cavity)
• Điện tích qC nằm hoàn toàn trên bề mặt vật dẫn. Hệ đang ở trạng thái tĩnh điện nên điện trường bên trong vật dẫn bằng không. (The charge qC resides entirely on the surface of the conductor. The situation is electrostatic, so E = 0 within the conductor.)
• Vì điện trường bằng không tại mọi điểm trong vật dẫn, điện trường tại mọi điểm trên mặt Gauss cũng phải bằng không. (Because E = 0 at all points within the conductor, the electric field at all points on the Gaussian surface must be zero.)
• Để điện trường bằng không trên toàn bộ mặt Gauss, thành hốc phải có điện tích tổng bằng −q. (For E to be zero at all points on the Gaussian surface, the surface of the cavity must have a total charge −q.)

Hốc trống và hốc có điện tích

Vẽ A bao quanh hốc nhưng nằm hoàn toàn trong vật liệu dẫn. Trường trên A bằng không, nên tổng được bao bằng không.

Nếu hốc không chứa nguồn, tổng trên thành hốc bằng không. Thực tế, trong trạng thái này không có điện tích dư ở bất kỳ chỗ nào trên thành hốc và trong hốc bằng không. Gauss trực tiếp cho kết luận về điện tích tổng. Chứng minh đầy đủ cho sự không có điện tích ở từng chỗ trên thành hốc sẽ dùng thêm các tính chất điện thế ở chương 23.

Nếu đặt nguồn q trong hốc, cách điện với thành hốc, A bao cả q lẫn thành hốc. Vì tổng phải bằng không:

$$\begin{array}{rl}q+Q_{\mathrm{trong}}& =0,\\ Q_{\mathrm{trong}}& =-q.\end{array}$$

Nếu ban đầu trung hòa, tổng của chính vật dẫn vẫn bằng không. Điện tích −q xuất hiện ở mặt trong buộc điện tích +q xuất hiện ở mặt ngoài. Nó không thể nằm trong khối vật liệu dẫn ở cân bằng.

Tổng quát hơn, nếu ban đầu có $q_C$, sau khi đưa q vào hốc mà không truyền điện tích sang vật dẫn:

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}& =-q,\\ Q_{\mathrm{ngoai}}& =q_C+q.\end{array}$$

Hai mặt cộng lại đúng bằng $q_C$. Các hệ thức cho tổng điện tích mỗi mặt, không nói rằng mật độ phân bố đều trên mặt có hình dạng bất kỳ.

Ứng dụng: Điện tích trong tế bào thần kinh

Trong tế bào thần kinh có ion potassium ${\mathrm{K}}^{+}$ và các phân tử protein âm ${\mathrm{Pr}}^{-}$. Ion potassium có thể đi ra qua màng, trong khi phân tử protein lớn hơn nhiều không đi qua được. Vì thế phần trong tế bào có tổng âm, được cân bằng bởi điện tích dương của chất lỏng bên ngoài.

Chất lỏng bên trong dẫn điện tốt. Trong mô hình tĩnh điện này, dư âm phân bố tại mặt ngoài của khối chất lỏng, tức mặt trong của màng tế bào cách điện. Nguyên tắc đó không đòi hỏi tế bào có hình cầu.

Tế bào thần kinh với điện tích dư ở ranh giới giữa chất lỏng dẫn và màng cách điện

Ví dụ 22.11: Vật dẫn có hốc

có hốc mang tổng +7 nC. Trong hốc có nguồn điểm −5 nC được cách điện với vật dẫn. Tìm điện tích trên mặt trong và mặt ngoài.

Hình 22.24: Mặt Gauss trong vật liệu dẫn bao hốc chứa nguồn âm

Chú thích:

• Điện tích tổng bằng +7 nC. (Net charge = +7 nC)
• Mặt Gauss. (Gaussian surface)
• Điện tích trên thành hốc là +5 nC. (+5 nC on cavity wall)
• Điện tích trên mặt ngoài là +2 nC. (+2 nC on outer surface)

Lời giải: Chi tiết

Trường trên bằng không. nguồn là q = −5 nC, nên điện tích mặt trong phải bằng −q = +5 nC để tổng được bao bằng không. có tổng +7 nC, vì vậy mặt ngoài còn:

$$Q_{\mathrm{ngoai}}=(+7)-(+5)=+2\mathrm{nC}.$$

Không có dư trong khối vật liệu. Điện tích thành hốc có độ lớn bằng và dấu trái với tổng nguồn nằm trong hốc. Các bài biến thể nằm ở phần luyện tập cuối chương.

Thí nghiệm kiểm tra định luật Gauss

Hình 22.25: Thí nghiệm thùng kim loại của Faraday

Chú thích:

• Sợi treo cách điện. (Insulating thread)
• Quả cầu dẫn đã nhiễm điện. (Charged conducting ball)
• Thùng kim loại. (Metal container)
• Giá đỡ cách điện. (Insulating stand)
• Nắp kim loại. (Metal lid)
• Quả cầu đã nạp điện làm xuất hiện điện tích cảm ứng ở mặt trong và mặt ngoài của thùng. (Charged ball induces charges on the interior and exterior of the container.)
• Khi quả cầu chạm thùng, nó trở thành một phần của mặt trong hốc, và toàn bộ điện tích chuyển ra mặt ngoài của thùng. (Once the ball touches the container, it is part of the interior surface; all the charge moves to the container’s exterior.)

Đặt thùng kim loại chưa mang điện trên giá cách điện. Treo quả cầu dẫn mang điện bằng dây cách điện, hạ cầu vào thùng và đậy nắp. Khi chưa chạm thành, cảm ứng xuất hiện ở mặt trong và mặt ngoài của thùng.

Cho quả cầu chạm thành trong. Bề mặt cầu lúc này trở thành một phần của mặt trong hốc. Cấu hình trở thành hốc không chứa nguồn cách điện với . Nếu Gauss đúng, dư trên mặt trong phải bằng không và cầu mất toàn bộ điện tích dư. Kéo cầu ra, quan sát cho thấy cầu đã hết điện tích.

Michael Faraday thực hiện thí nghiệm này trong thế kỷ XIX bằng thùng đựng nước đá có nắp. Thí nghiệm xác nhận , đồng thời kiểm tra định luật Coulomb tương đương với nó. Đo trực tiếp lực bằng cân xoắn và chia khó xác nhận chính xác số mũ trong quy luật nghịch đảo bình phương. Cách kiểm tra bằng thùng dẫn nhạy hơn nhiều. Những phiên bản hiện đại được mô tả trong hệ dữ kiện của chương giới hạn độ lệch của số mũ 2 xuống không quá ${10}^{-16}$.

Máy phát Van de Graaff

Hình 22.26: Đai cách điện chuyển điện tích đến vỏ dẫn của máy Van de Graaff

Chú thích:

• Động cơ kéo đai. (Motor for belt)
• Bộ phận thu electron. (Electron sink)
• Trụ đỡ cách điện. (Insulating support)
• Đai cách điện. (Insulating belt)

Máy phát Van de Graaff sử dụng cùng nguyên tắc. Một đai cách điện chuyển động liên tục đưa vào phía trong vỏ dẫn. Phần điện tích ấy chuyển ngay ra mặt ngoài, làm điện tích tổng trên vỏ và trường bên ngoài tăng nhanh.

Hình 22.26: Động cơ kéo đai. Bộ phận nhận electron phía dưới rút electron khỏi đai, làm đai dương. Ở phía trên, đai hút electron khỏi vỏ dẫn, để lại vỏ mang điện dương. Trụ đỡ và đai là . Máy được dùng để gia tốc hạt mang điện và trình diễn tĩnh điện.

Che chắn tĩnh điện

Một thiết bị đo nhạy có thể bị nhiễu bởi trường ngoài. Bao thiết bị bằng hộp dẫn hoặc phủ các mặt của phòng bằng vật liệu dẫn, chẳng hạn tấm đồng, làm tự do tái phân bố trên mặt ngoài.

Hình 22.27: Hộp dẫn trong trường đều và người ở trong lồng Faraday

Chú thích:

• Điện trường đẩy electron về phía trái. (Field pushes electrons toward left side.)
• Phía phải còn lại điện tích tổng dương. (Net positive charge remains on right side.)
• Điện trường vuông góc với mặt vật dẫn. (Field perpendicular to conductor surface)

Ở những vùng khác nhau của mặt ngoài xuất hiện dư dương hoặc âm. Trường của các điện tích cảm ứng cộng với trường ngoài để trường trong khoang kín không chứa nguồn bằng không. Phân bố cảm ứng cũng làm đường sức gần hộp đổi hình dạng. Cấu trúc che chắn này gọi là .

Hình 22.27: (a) Trường ngoài đẩy electron sang phía trái hộp, để lại dương phía phải. Trường tổng trong hốc bằng không và trường ngay ngoài mặt dẫn vuông góc mặt. (b) Vỏ dẫn bao quanh người ngăn trường của phóng điện bên ngoài xâm nhập khoang bên trong.

Vỏ kim loại của ô tô cũng minh họa cơ chế này. Trong mô hình , ở ngoài phân bố trên vỏ kim loại, còn khoang bên trong được che chắn. Kết luận cần phân biệt trường trong vật liệu dẫn với trường trong hốc. Khi hốc chứa nguồn điện tích riêng, trường trong hốc có thể khác không dù vật liệu dẫn vẫn có trường bằng không.

Điện trường ngay ngoài mặt vật dẫn

Mật độ mặt σ có thể thay đổi theo vị trí. Tại cân bằng, trường ngay ngoài mặt dẫn vuông góc mặt, vì thành phần tiếp tuyến khác không sẽ làm điện tích tự do chuyển động. Lập luận bằng điện thế cho tính chất này sẽ được trình bày thêm ở chương 23.

Hình 22.28: Hình trụ Gauss nhỏ có một đáy trong vật dẫn và một đáy ngay ngoài

Chú thích:

• Mặt ngoài của vật dẫn đã nhiễm điện. (Outer surface of charged conductor)
• Mặt Gauss. (Gaussian surface)

Chọn hình trụ Gauss rất nhỏ, hai đáy diện tích A. Một đáy trong vật liệu dẫn nên bằng không. Thành trụ song song trường nên không có điện thông. Đáy ngoài có thành phần trường theo pháp tuyến ra ngoài là $E_{\perp }$ và bao σA:

$$\begin{array}{rl}{E}_{\perp }A& =\frac{\sigma A}{{\epsilon }_0},\\ E_{\perp }& =\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}.\end{array}$$

(22.10)

Nếu σ dương, trường hướng ra khỏi . Nếu σ âm, trường hướng vào. Đây là quan hệ tại ngay ngoài mặt, không phải công thức trường ở mọi khoảng cách cho vật dẫn có hình dạng bất kỳ.

Với cầu dẫn bán kính R mang q đều trên mặt, $\sigma =\frac{q}{4\pi R^2}$ và $E(R^{+})=\frac{kq}{R^2}$, nên cũng có $E_{\perp }=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$. Hai bản dẫn vô hạn trái dấu của Ví dụ 22.8 có độ lớn trường giữa bản bằng $\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ ở mọi khoảng cách trong vùng giữa, nhờ đối xứng phẳng.

Ứng dụng: Phương của tia sét

Bề mặt Trái Đất là tốt, với tổng âm trong mô hình đang xét. khí quyển gần mặt đất thường hướng xuống, vuông góc bề mặt. Điện tích dương trong khí quyển cân bằng phần điện tích âm này. Trong giông, trường có thể đủ mạnh gây chuyển động điện tích, kích thích và ion hóa không khí, tạo vệt sáng của tia sét. Mô hình giải thích xu hướng theo phương thẳng đứng của phóng điện gần mặt đất.

Tia sét trong khí quyển gần bề mặt Trái Đất

Ví dụ 22.12: Điện trường của Trái Đất

trung bình gần bề mặt Trái Đất khoảng 150 N/C, hướng về tâm. (a) Tìm mật độ mặt tương ứng. (b) Tìm điện tích tổng trên mặt, dùng bán kính $R_E=6.38\times {10}^6$ m.

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Trường hướng vào nên thành phần pháp tuyến ra ngoài âm. Dùng (22.10) tìm mật độ rồi nhân diện tích mặt cầu.

Thực hiện.

$$\begin{array}{rl}{E}_{\perp }& =-150\mathrm{N}/\mathrm{C},\\ \sigma & ={\epsilon }_0{E}_{\perp }\\ & \approx -1.33\times {10}^{-9}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^2,\\ Q& =4\pi R_E^2\sigma \\ & \approx -6.8\times {10}^5\mathrm{C}\\ & =-680\mathrm{kC}.\end{array}$$

Đánh giá. Công thức trường ngoài cầu cũng cho $Q=4\pi {\epsilon }_0{R}_E^2{E}_{\perp }$, cùng kết quả. Số electron dư tương ứng là $|Q|/e\approx 4.2\times {10}^{24}$, tức khoảng 7 mol electron. Khí quyển trên cao thiếu một lượng electron tương ứng, nên toàn hệ Trái Đất và khí quyển trung hòa. Các bài biến thể nằm trong phần luyện tập cuối chương.

Bài tập: Câu hỏi ôn lại mục 22.5

Vỏ cầu dẫn ban đầu trung hòa, trong hốc cầu đồng tâm có nguồn điểm dương q. Nối mặt ngoài vỏ với đất bằng dây dẫn. Sau khi đạt cân bằng, có đo được trường bên ngoài vỏ hay không?

Lời giải: Giải thích

Không. Ban đầu mặt trong có −q và mặt ngoài có +q, nên có trường ngoài. Khi nối đất, electron từ đất đi vào trung hòa +q ở mặt ngoài. Mặt trong vẫn có −q để trường trong vật liệu dẫn bằng không, còn mặt ngoài hết và trường ngoài bằng không trong cấu hình cầu này.

Trở lại câu hỏi mở đầu, chọn (iii). Khi đứng trong hốc kín không có nguồn riêng, đứa trẻ không nhận dư từ mặt trong và tóc không bị đẩy dựng lên như khi chạm mặt ngoài đã nhiễm điện.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 22.5, trang 734–737.