27.7 Lực và mômen lực lên vòng dây mang dòng điện

Trong đều, một vòng dây kín mang chịu tổng lực bằng không. Tuy vậy, các lực trên từng cạnh có thể tạo thành ngẫu lực làm vòng quay. Mômen này giải thích cách cuộn dây quay trong máy đo dòng, cách một vòng dây định hướng như nam châm và cách một từ trường làm sắt chưa nhiễm từ bị hút.

Lực tổng hợp và mômen của một vòng chữ nhật

Vòng dây chữ nhật mang dòng điện trong từ trường đều, các lực trên hai cặp cạnh đối diện triệt tiêu tổng lực nhưng tạo mômen

Chú thích:

• Hai cặp lực tác dụng lên vòng dây triệt tiêu nhau, nên hợp lực tác dụng lên vòng bằng không. (The two pairs of forces acting on the loop cancel, so no net force acts on the loop.)
• Tuy nhiên, lực trên hai cạnh a tạo ra mômen lực trên vòng dây. (However, the forces on the a sides of the loop (F and −F) produce a torque on the loop.)
• φ là góc giữa pháp tuyến của vòng dây và từ trường. (φ is the angle between a vector normal to the loop and the magnetic field.)
• Trục x vuông góc với mặt phẳng vòng dây. (x (direction normal to loop))
• Trục z vuông góc với mặt phẳng vòng dây. (z (direction normal to loop))
• Mômen lực cực đại khi φ = 90°, khi đó B nằm trong mặt phẳng vòng dây. (The torque is maximal when φ = 90° (so B is in the plane of the loop).)
• Mômen lực bằng không khi φ = 0° hoặc 180°. Khi đó B vuông góc với mặt phẳng vòng dây. (The torque is zero when φ = 0° (as shown here) or φ = 180°. In both cases, B is perpendicular to the plane of the loop.)
• Vòng dây cân bằng bền khi φ = 0° và cân bằng không bền khi φ = 180°. (The loop is in stable equilibrium when φ = 0°; it is in unstable equilibrium when φ = 180°.)

Hình 27.31: Vòng dây có cạnh dài $a$ và $b$. Góc $\varphi$ là góc giữa pháp tuyến của mặt vòng và .

Xét vòng dây chữ nhật mang $I$ trong đều $\overrightarrow{B}$. Một cặp cạnh dài $a$ vuông góc với từ trường, nên mỗi cạnh chịu lực có độ lớn $F=IaB$. Hai lực này ngược chiều và đặt trên hai đường tác dụng khác nhau. Cặp cạnh dài $b$ chịu hai lực ngược chiều, cùng nằm trên một đường tác dụng, nên không tạo mômen tổng.

Lực trên mỗi cạnh dài $a$ là:

$$F=IBa.$$

(27.21)

Các cạnh dài $b$ hợp với góc ${90}^{\circ }-\varphi$, nên lực trên mỗi cạnh có độ lớn:

$$F^{\prime }=IbB\sin ({90}^{\circ }-\varphi )=IbB\cos \varphi .$$

Các lực trên từng cặp cạnh triệt tiêu theo . Vì thế tổng lực lên vòng bằng không. Tuy nhiên, hai lực trên cạnh dài $a$ có cánh tay đòn $\frac{b}{2}\sin \varphi$ đối với trục qua tâm, nên mômen tổng có độ lớn:

$$\begin{array}{rl}\tau & =2F(\frac{b}{2}\sin \varphi )\\ & =(IaB)(b\sin \varphi ).\end{array}$$

(27.22)

Ở đây $A=ab$ là diện tích vòng dây. Vì vậy:

$$\tau =IAB\sin \varphi .$$

(27.23)

Mômen lớn nhất khi $\varphi ={90}^{\circ }$, tức nằm trong mặt phẳng vòng. Mômen bằng không khi pháp tuyến song song hoặc ngược song song với từ trường, tại $\varphi =0^{\circ }$ hoặc ${180}^{\circ }$. Vị trí $\varphi =0^{\circ }$ cân bằng bền: Nếu vòng lệch nhẹ, mômen đưa nó trở lại. Vị trí ${180}^{\circ }$ cân bằng không bền: Một lệch nhỏ khiến vòng tiếp tục rời xa vị trí ấy.

Mômen lưỡng cực từ

Tích của với diện tích vòng được gọi là độ lớn :

$$\mu =IA.$$

(27.24)

$\overrightarrow{\mu }$ vuông góc mặt vòng. Chiều của nó được xác định bằng quy tắc bàn tay phải: Khum các ngón theo chiều , ngón cái duỗi ra chỉ chiều $\overrightarrow{\mu }$. Đây cũng là chiều véc-tơ diện tích $\overrightarrow{A}$, nên $\overrightarrow{\mu }=I\overrightarrow{A}$.

Với góc $\varphi$ giữa $\overrightarrow{\mu }$ và $\overrightarrow{B}$, độ lớn là:

$$\tau =\mu B\sin \varphi .$$

(27.25)

Chiều mômen được cho bởi :

$$\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{\mu }\times \overrightarrow{B}.$$

(27.26)

Mômen luôn làm $\overrightarrow{\mu }$ quay về cùng hướng với $\overrightarrow{B}$. Ở trạng thái cân bằng bền, hai song song. Khi ngược song song, vòng ở cân bằng không bền. Công thức này tương tự $\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{E}$ lên lưỡng cực điện.

Quy tắc bàn tay phải xác định mômen lưỡng cực từ của vòng dây từ chiều dòng điện

Hình 27.32: Chiều $\overrightarrow{\mu }$ trùng với chiều diện tích của vòng dây.

Năng lượng thế của lưỡng cực từ

Khi đổi hướng trong , từ trường sinh công. thế nhỏ nhất khi $\overrightarrow{\mu }$ song song với $\overrightarrow{B}$, lớn nhất khi hai ngược chiều. Chọn mốc năng lượng bằng không khi hai véc-tơ vuông góc, ta có:

$$\begin{array}{rl}U& =-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}\\ & =-\mu B\cos \varphi .\end{array}$$

(27.27)

Theo chiều tăng của $\varphi$, thành phần là ${\tau }_{\varphi }=-\mu B\sin \varphi$. Trong một dịch chuyển góc vi phân, công của là $dW={\tau }_{\varphi }d\varphi$, còn biến thiên thế là $dU=-dW$. Do đó $dU=\mu B\sin \varphi d\varphi$, suy ra biểu thức trên khi chọn $U=0$ tại $\varphi ={90}^{\circ }$.

Khi $\varphi ={90}^{\circ }$, bằng không theo mốc đã chọn. Khi $\varphi =0^{\circ }$, năng lượng là $-\mu B$ và đạt giá trị nhỏ nhất. Khi $\varphi ={180}^{\circ }$, năng lượng là $+\mu B$ và đạt giá trị lớn nhất.

Cuộn nhiều vòng và máy đo dòng điện

Các kết quả trên đúng cho mọi vòng dây phẳng, không chỉ vòng chữ nhật. Có thể hình dung một đường biên bất kỳ được ghép từ nhiều hình chữ nhật nhỏ. Các cạnh nằm bên trong triệt tiêu lực và mômen từng đôi, chỉ còn tác dụng trên đường biên ngoài.

Một vòng dây phẳng hình dạng bất kỳ được xấp xỉ bằng nhiều vòng chữ nhật nhỏ

Chú thích:

• Có thể xấp xỉ một vòng dây mang dòng điện phẳng bất kỳ bằng một tập hợp các vòng chữ nhật. (A planar current loop of any shape can be approximated by a set of rectangular loops.)

Hình 27.33: Các cạnh ở bên trong triệt tiêu từng đôi, chỉ còn lực và mômen trên đường biên ngoài.

Với cuộn gồm $N$ vòng sát nhau, mỗi vòng đóng góp cùng chiều. Mômen lưỡng cực và tăng $N$ lần:

$$\begin{array}{rl}\mu & =NIA,\\ \tau & =NIAB\sin \varphi .\end{array}$$

(27.28)

và thế của cuộn nhiều vòng cũng bằng $N$ lần giá trị trên mỗi vòng.

Một ống dây chặt có thể xem như nhiều vòng dây đặt dọc trục. của nó nằm dọc trục và có xu hướng làm trục song song với .

Ống dây mang dòng chịu mômen làm trục quay để mômen từ song song với từ trường

Chú thích:

• Mômen lực làm ống dây quay theo chiều kim đồng hồ trong mặt phẳng giấy, đưa mômen từ μ thẳng hàng với từ trường B. (The torque tends to make the solenoid rotate clockwise in the plane of the page, aligning magnetic moment μ with field B.)

Hình 27.34: $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{\mu }\times \overrightarrow{B}$ vuông góc mặt giấy làm trục ống dây quay để $\overrightarrow{\mu }$ hướng theo $\overrightarrow{B}$.

Với ống dây, góc $\varphi$ là góc giữa trục dây và . Mômen cực đại khi trục vuông góc với từ trường, bằng không khi trục song song với từ trường. Ống dây cũng có thể dùng để tạo từ trường.

Máy đo kiểu d’Arsonval dùng lên cuộn dây. trong khe máy hướng xuyên tâm, nên luôn vuông góc với pháp tuyến của cuộn dây và $\sin \varphi =1$. Mômen từ vì thế tỉ lệ với dòng điện. Hai lò xo tạo mômen hồi phục tỉ lệ với độ lệch góc, đồng thời dẫn điện vào cuộn dây. Kim dừng ở vị trí mà mômen hồi phục cân bằng mômen từ, nên độ lệch của kim tỉ lệ với dòng điện.

Ứng dụng sinh học: Chụp cộng hưởng từ

Ảnh cộng hưởng từ cho thấy mô mềm quanh khớp gối

Ảnh cộng hưởng từ cung cấp thông tin về mô giàu hiđrô.

Trong chụp cộng hưởng từ, bệnh nhân được đặt trong mạnh. Hạt nhân hiđrô có , có xu hướng định hướng theo trường ngoài. Sóng vô tuyến có tần số thích hợp làm các mômen đổi hướng. Mức hấp thụ sóng phụ thuộc vào lượng hiđrô, nhờ đó máy dựng được ảnh mô mềm giàu hiđrô. Tia X thường thích hợp hơn khi cần ghi hình xương, vốn nghèo hiđrô.

Từ trường không đều tạo lực tổng hợp lên lưỡng cực

Trong đều, các lực trên vòng triệt tiêu nên tổng lực bằng không. Nếu từ trường không đều, lực trên các phần khác nhau của vòng không còn cân bằng. Khi ngược chiều với từ trường gần nam châm, vòng bị đẩy về vùng từ trường yếu hơn. Khi mômen từ cùng chiều với từ trường, vòng bị kéo về vùng từ trường mạnh hơn.

Vòng dây trong từ trường không đều chịu lực đẩy ra xa cực bắc hoặc lực hút về cực nam tùy chiều mômen

Chú thích:

• (a) Hợp lực lên cuộn dây hướng ra xa cực Bắc của nam châm. ((a) Net force on this coil is away from north pole of magnet.)
• (b) Hợp lực lên cùng cuộn dây hướng về cực Nam. ((b) Net force on same coil is toward south pole.)

Hình 27.36: lên một vòng dây trong không đều phụ thuộc vào chiều .

Ví dụ 27.9: Mômen lực lên cuộn dây tròn

Cuộn dây tròn nhìn từ trên xuống, mômen từ hướng lên và từ trường hướng sang phải

Hình 27.35: Hình học của cuộn dây trong ví dụ.

Một cuộn tròn bán kính $\mathrm{0,050}0\mathrm{m}$ có $30$ vòng và mang dòng $5,00\mathrm{A}$. Mặt cuộn nằm ngang, dòng nhìn từ trên chạy ngược chiều kim đồng hồ, còn đều $1,20\mathrm{T}$ hướng sang phải. Tìm và .

Diện tích một vòng là $A=\pi r^2$. của cả cuộn là:

$$\begin{array}{rl}\mu & =NIA\\ & =30(5,00)\pi (\mathrm{0,050}0{)}^2\\ & =1,18\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Theo quy tắc bàn tay phải, $\overrightarrow{\mu }$ hướng lên, vuông góc với $\overrightarrow{B}$, nên $\varphi ={90}^{\circ }$. Do đó:

$$\begin{array}{rl}\tau & =\mu B\sin {90}^{\circ }\\ & =(1,18)(1,20)\\ & =1,41\mathrm{N}\mathrm{m}.\end{array}$$

Mômen có chiều $\overrightarrow{\mu }\times \overrightarrow{B}$ và làm cuộn quay để pháp tuyến của nó song song với .

Ví dụ 27.10: Năng lượng thế khi cuộn quay

Nếu cuộn ở trên quay đến vị trí $\overrightarrow{\mu }$ song song $\overrightarrow{B}$, góc đổi từ ${90}^{\circ }$ thành $0^{\circ }$. Độ biến thiên là:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }U& =U_f-U_i\\ & =-\mu B(\cos 0^{\circ }-\cos {90}^{\circ })\\ & =-1,41\mathrm{J}.\end{array}$$

giảm vì cuộn quay theo chiều của từ. Thế năng phụ thuộc độ lớn và hướng của cả lẫn . Nó nhỏ nhất khi hai cùng chiều.

Vì sao nam châm hút sắt chưa nhiễm từ?

của nam châm thanh hướng từ cực nam đến cực bắc. Ở vật sắt chưa nhiễm từ, các mômen từ vi mô không có hướng ưu tiên nên tổng mômen bằng không. Khi đặt gần nam châm, làm chúng có xu hướng định hướng theo trường và vật sắt có mômen tổng song song với từ trường tại chỗ. Vì từ trường của nam châm không đều, lưỡng cực cảm ứng bị hút về vùng trường mạnh hơn. Cơ chế này khiến vật sắt có thể bị hút về cả cực bắc lẫn cực nam.

Trong nam châm sắt, nhiều vi mô đã định hướng gần cùng chiều nên tổng mômen khác không. Mômen tổng khiến nam châm có hai cực và chịu mômen quay khi đặt trong . Hình dung electron như một quả cầu tích điện đang quay chỉ là phép tương tự. Electron không phải quả cầu đang quay theo nghĩa cổ điển. Giải thích đầy đủ mômen từ của electron cần đến cơ học lượng tử.

Ở phần lớn nguyên tố khác, các nguyên tử có mômen tổng rất nhỏ hoặc bằng không. Khi vật sắt được lấy ra khỏi , một phần mômen vi mô vẫn giữ được hướng nên vật có thể còn nhiễm từ. Làm rơi hoặc nung nóng vật có thể khiến các mômen trở nên hỗn loạn trở lại.

Mô hình lưỡng cực cũng giải thích tương tác giữa hai nam châm thanh. Hai cực cùng tên đẩy nhau, còn hai cực khác tên hút nhau. Nghiên cứu đầy đủ tính chất từ của vật liệu được tiếp tục ở mục 28.8.

Mômen từ trong sắt chưa nhiễm từ phân tán ngẫu nhiên, trong nam châm thì định hướng gần cùng chiều

Chú thích:

• (a) Sắt chưa nhiễm từ có các mômen từ định hướng ngẫu nhiên. (Unmagnetized iron: magnetic moments are oriented randomly.)
• (b) Trong nam châm thanh, các mômen từ đã thẳng hàng. (In a bar magnet, the magnetic moments are aligned.)
• (c) Từ trường tạo mômen lực làm nam châm thanh xoay để mômen lưỡng cực thẳng hàng với B. (A magnetic field creates a torque on the bar magnet that tends to align its dipole moment with the B field.)

Hình 27.37: Sự định hướng của vi mô tạo nên mômen tổng của nam châm.

Từ trường của mỗi cực nam châm làm đinh sắt cảm ứng mômen từ rồi hút đinh về phía nam châm

Hình 27.38: Vật sắt chưa nhiễm từ bị hút vì vừa cảm ứng vừa không đều trong không gian.

Tự kiểm tra

Trong Hình 27.13c, đường sức của vòng dây có cho biết dọc trục hướng sang phải. Xác định chiều của vòng và cho biết phía nào tương đương cực bắc.

Đường sức từ của vòng dây có dòng điện hướng dọc trục sang phải

Chú thích:

• Giữa hai cực từ phẳng, song song, từ trường gần như đều. (Between flat, parallel magnetic poles, the magnetic field is nearly uniform.)
• Để biểu diễn từ trường đi ra hoặc đi vào mặt phẳng giấy, lần lượt dùng dấu chấm và dấu chéo. (To represent a field coming out of or going into the plane of the paper, we use dots and crosses, respectively.)
• Từ trường hướng ra khỏi mặt phẳng. (B directed out of plane)
• Từ trường hướng vào mặt phẳng. (B directed into plane)
• Hình nhìn phối cảnh. (Perspective view)
• Dây nằm trong mặt phẳng giấy. (Wire in plane of paper)
• Hãy chú ý rằng từ trường của vòng dây, đặc biệt là của cuộn dây, giống từ trường của nam châm thanh. (Notice that the field of the loop and, especially, that of the coil look like the field of a bar magnet (see Fig. 27.11).)

Lời giải

hướng sang phải. Quy tắc bàn tay phải xác nhận chiều này khi khum ngón theo chiều . Mômen từ của nam châm hướng từ cực nam đến cực bắc, nên phía phải của vòng tương đương cực bắc, còn phía trái tương đương cực nam.

Ý chính

Vòng dây mang dòng trong đều có tổng lực bằng không nhưng nói chung chịu mômen $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{\mu }\times \overrightarrow{B}$. có độ lớn $NIA$, còn thế là $-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}$. Từ trường không đều có thể tạo lên vòng dây.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 27.7, trang 897–902.