39.3. Mức năng lượng và mô hình nguyên tử Bohr

Năm 1913, nhà vật lý người Đan Mạch Niels Bohr làm việc cùng Ernest Rutherford tại Đại học Manchester. Ông đề xuất một mô hình nhằm giải thích đồng thời tính bền vững của nguyên tử và các quang , hấp thụ. Đóng góp đột phá của Niels Bohr là sự kết hợp khái niệm với một luận điểm hoàn toàn mới: nội tại của một nguyên tử chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn xác định. Giả thuyết này đánh dấu một bước ngoặt dứt khoát khỏi quan niệm vật lý cổ điển của thế kỷ 19.

Hình 39.15: Niels Bohr (1885–1962) thời trẻ khi ông phát triển mô hình nguyên tử mang tên mình. Sau này ông có nhiều cống hiến nền tảng cho sự phát triển của cơ học lượng tử.

Sự phát xạ và hấp thụ photon của nguyên tử

Lập luận của Bohr bắt đầu từ những quan sát thực nghiệm. Quang của một nguyên tố cho thấy các nguyên tử của nguyên tố đó chỉ phát ra ở những $f$ xác định, tức là có photon $E=hf$ xác định. Trong quá trình phát ra một photon, nội năng của nguyên tử biến thiên đúng bằng năng lượng của photon đó. Do đó, Bohr khẳng định rằng mỗi nguyên tử chỉ có thể tồn tại ở những giá trị nội năng xác định. Mỗi nguyên tử sở hữu một tập hợp các (energy levels) cho phép. Nguyên tử có thể có nội năng bằng bất kỳ mức nào trong số này, nhưng tuyệt đối không thể có mức năng lượng nằm lơ lửng ở giữa hai mức kế tiếp. Mọi nguyên tử cô lập của cùng một nguyên tố đều có chung một hệ thống mức năng lượng, trong khi các nguyên tố khác nhau sẽ có các tập hợp mức năng lượng khác nhau.

Giả sử một nguyên tử được nâng lên, hay nói cách khác là bị kích thích, lên một cao. Trong chất khí nóng, hiện tượng kích thích này diễn ra do các va chạm không đàn hồi giữa các nguyên tử chuyển động nhanh với nhau hoặc va chạm vào thành bình chứa. Trong các ống phóng điện (chẳng hạn như bóng đèn quảng cáo neon), nguyên tử bị kích thích bởi va chạm với dòng electron mang động năng lớn. Khi ở trạng thái kích thích, nguyên tử có thể thực hiện một bước chuyển dời (transition) từ mức năng lượng ban đầu cao hơn xuống một mức năng lượng thấp hơn bằng cách phát ra một có đúng bằng độ chênh lệch năng lượng giữa hai mức:

$$hf=\frac{hc}{\lambda }=E_i-E_f$$

(39.5)

Trong phương trình trên, $E_i$ là ban đầu trước khi chuyển dời, $E_f$ là năng lượng cuối cùng sau khi chuyển dời, $f$ là và $\lambda$ là bước sóng photon phát ra trong chân không.

Hình 39.16: Nguyên tử chuyển từ mức năng lượng ban đầu Ei xuống mức năng lượng thấp hơn Ef bằng cách phát xạ một photon có năng lượng hf = Ei - Ef.

Chú thích:

• Nguyên tử chuyển từ mức ban đầu i xuống mức năng lượng thấp hơn f bằng cách phát xạ một photon có năng lượng bằng Ei - Ef. (An atom drops from an initial level i to a lower-energy final level f by emitting a photon with energy equal to Ei - Ef.)

Xét ví dụ định lượng cụ thể: Một nguyên tử liti ở trạng thái kích thích phát ra ánh sáng màu đỏ có $\lambda =671\text{ nm}=671\times {10}^{-9}\text{ m}$. Với hằng số $h=6,63\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$ và $c=3,00\times {10}^8\text{ m/s}$, tương ứng của này là:

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{hc}{\lambda }\\ & =2,96\times {10}^{-19}\text{ J}\\ & =1,85\text{ eV}\end{array}$$

này được giải phóng trong một quá trình chuyển dời giữa hai của nguyên tử liti có độ chênh lệch đúng bằng $E_i-E_f=1,85\text{ eV}$.

Lưu ý: Sự tạo thành quang phổ vạch

Các vạch trong một quang không phải do một nguyên tử đơn lẻ tạo nên đồng thời. Một khối khí chứa một số lượng khổng lồ các nguyên tử. Dưới tác dụng phóng điện hoặc nhiệt độ, các nguyên tử khác nhau trong mẫu khí được kích thích lên nhiều khác nhau. Quang phổ quan sát được là kết quả tổng hợp của ánh sáng phát ra từ vô số các bước chuyển dời khác nhau diễn ra đồng thời giữa các nguyên tử trong toàn bộ mẫu khí.

Vì quang phổ phát xạ thể hiện rất nhiều khác nhau, mỗi loại nguyên tử phải có nhiều với các khoảng cách khác nhau. Tính bền vững của nguyên tử đòi hỏi mỗi nguyên tử phải có một mức năng lượng thấp nhất, được gọi là mức cơ bản (ground level). Các mức có năng lượng cao hơn mức cơ bản được gọi là các mức kích thích (excited levels). Một nguyên tử ở mức kích thích có thể nhảy về mức cơ bản bằng cách phát ra một . Ngược lại, vì không tồn tại bất kỳ mức nào thấp hơn mức cơ bản, nguyên tử khi đã ở mức cơ bản không thể mất thêm năng lượng, do đó không thể tự phát ra photon.

Va chạm cơ học không phải là cách duy nhất để kích thích nguyên tử. Nếu một nguyên tử ban đầu ở thấp bị va chạm bởi một có vừa vặn đúng bằng độ chênh lệch, photon đó có thể bị hấp thụ hoàn toàn và nguyên tử nhảy lên mức năng lượng cao hơn. Chẳng hạn, với hai mức của nguyên tử liti chênh lệch $1,85\text{ eV}$, nguyên tử ở mức thấp chỉ có thể hấp thụ photon có năng lượng đúng bằng $1,85\text{ eV}$ (ứng với $671\text{ nm}$).

Hình 39.17: Nguyên tử ở mức thấp Ei hấp thụ một photon có năng lượng đúng bằng Ef - Ei để nhảy lên mức năng lượng cao hơn Ef.

Chú thích:

• Nguyên tử được nâng từ mức ban đầu i lên mức năng lượng cao hơn f bằng cách hấp thụ một photon có năng lượng bằng Ef - Ei. (An atom is raised from an initial level i to a higher-energy final level f by absorbing a photon with energy equal to Ef - Ei.)

Nguyên tử liti không thể hấp thụ một có hơi dài hơn một chút (ví dụ $672\text{ nm}$) hoặc hơi ngắn hơn một chút (ví dụ $670\text{ nm}$). Lý do là của những photon này hơi thiếu hoặc hơi thừa so với hiệu năng lượng giữa hai mức, trong khi nguyên tử không thể nhận trung gian. Đây là lý do quang xuất hiện các vạch tối sắc nét: Nguyên tử chỉ hấp thụ chọn lọc những photon có bước sóng tương ứng với các khoảng cách giữa các mức năng lượng của nó.

Một nguyên tử khi được kích thích lên mức cao (bằng hấp thụ hoặc va chạm) không thể lưu lại đó mãi mãi. Sau một khoảng thời gian ngắn, được gọi là thời gian sống (lifetime) của mức (thường vào khoảng ${10}^{-8}\text{ s}$), nguyên tử kích thích sẽ phát xạ một photon và chuyển dời về mức kích thích thấp hơn hoặc về thẳng mức cơ bản. Khi một chùm ánh sáng trắng truyền qua một khối khí nguội để tạo thành quang phổ hấp thụ, các nguyên tử sau khi hấp thụ photon sẽ giải phóng bằng cách phát xạ photon theo mọi phương ngẫu nhiên trong không gian. Do đó, nếu quan sát khối khí từ phương vuông góc với chùm sáng tới, ta sẽ quan sát thấy quang .

Hình 39.18: Khi chùm ánh sáng trắng có quang phổ liên tục đi qua khối khí nguội, ánh sáng truyền qua xuất hiện quang phổ vạch hấp thụ. Năng lượng photon bị hấp thụ kích thích các nguyên tử khí, khiến khối khí tự phát xạ ánh sáng theo mọi hướng và tạo thành quang phổ vạch phát xạ khi quan sát từ bên cạnh.

Chú thích:

• Nguồn ánh sáng trắng (Source of white light)
• Gương đổi hướng ánh sáng (Mirrors redirect light)
• Ánh sáng trắng (White light)
• Chân không (Vacuum)
• Bình chứa khí nguội (Container of cool gas)
• Ánh sáng do chất khí phát ra (Light emitted by gas)
• Ánh sáng truyền qua (Transmitted light)
• Cách tử nhiễu xạ (Diffraction grating)
• Cách tử nhiễu xạ cho ánh sáng do chất khí phát ra (Diffraction grating for light emitted by gas)
• Quang phổ liên tục (Continuous spectrum)
• Quang phổ hấp thụ (Absorption spectrum)
• Quang phổ phát xạ (Emission spectrum)
• Cường độ (Intensity)
• Bước sóng (Wavelength)

Từ quang phổ phát xạ thu được trong thực nghiệm, các nhà vật lý có thể phân tích ngược lại để xác định cấu trúc toàn bộ các của một nguyên tử. Ví dụ đối với nguyên tử natri, các chuyển dời từ hai mức kích thích thấp nhất sát nhau về mức cơ bản phát ra hai vạch vàng cam đặc trưng có $589,0\text{ nm}$ và $589,6\text{ nm}$ (thường thấy trong đèn chiếu sáng đường phố bằng hơi natri hoặc thử nghiệm ngọn lửa của hợp chất natri).

Hình 39.19: Cấu trúc mức năng lượng của natri và phép thử ngọn lửa. (a) Giản đồ các mức năng lượng của nguyên tử natri so với mức cơ bản, các con số trên đường nối là bước sóng phát xạ hoặc hấp thụ. (b) Khi đưa hợp chất natri vào ngọn lửa, các nguyên tử natri bị kích thích phát ra bức xạ vàng cam đặc trưng.

Chú thích:

• (a) Năng lượng (eV) ((a) Energy (eV))
• Các mức kích thích (Excited levels)
• Mức cơ bản (Ground level)
• Các mức kích thích thấp nhất (Lowest excited levels)
• Những bước sóng này tạo cho natri kích thích màu vàng cam. (These wavelengths give excited sodium a yellow-orange color.)

Ví dụ 39.5: Quang phổ phát xạ và hấp thụ

Một nguyên tử giả định có các tại $0,00\text{ eV}$ (mức cơ bản), $1,00\text{ eV}$ và $3,00\text{ eV}$.

(a) Hãy xác định các và bước sóng của các vạch quang phổ mà nguyên tử này có thể phát ra khi bị kích thích.

(b) Những nào nguyên tử này có thể hấp thụ nếu ban đầu nó đang ở mức cơ bản?

Hình 39.20: Các mức năng lượng và quang phổ vạch của nguyên tử giả định. (a) Sơ đồ các mức năng lượng minh họa các chuyển dời phát xạ từ mức kích thích và hấp thụ từ mức cơ bản. (b) Quang phổ vạch phát xạ tương ứng.

Chú thích:

• Mức cơ bản (Ground level)
• Các chuyển dời phát xạ (Emission transitions)
• Các chuyển dời hấp thụ (Absorption transitions)

Nhận dạng và Chuẩn bị:

• Nhận dạng: Bài toán yêu cầu tính và tần số của phát ra và hấp thụ giữa các rời rạc của nguyên tử. được bảo toàn trong mỗi quá trình phát xạ và hấp thụ photon.
• Chuẩn bị: Trong mỗi bước chuyển dời, bằng độ chênh lệch năng lượng giữa hai mức liên quan: $E=hf=hc/\lambda =|E_i-E_f|$. Sử dụng hằng số Planck dưới đơn vị : $h=\mathrm{4,136}\times {10}^{-15}\text{ eV}\cdot \text{s}$, tốc độ ánh sáng $c=3,00\times {10}^8\text{ m/s}$.

Thực hiện:

(a) Khi bị kích thích lên mức cao nhất ($3,00\text{ eV}$), nguyên tử có thể rơi về các mức thấp hơn theo ba chuyển dời phát xạ khả dĩ:

• Chuyển dời từ $3,00\text{ eV}$ về $1,00\text{ eV}$ phát có $E=2,00\text{ eV}$.
• Chuyển dời từ $1,00\text{ eV}$ về $0,00\text{ eV}$ phát có $E=1,00\text{ eV}$.
• Chuyển dời trực tiếp từ $3,00\text{ eV}$ về $0,00\text{ eV}$ phát có $E=3,00\text{ eV}$.

Đối với $1,00\text{ eV}$, tương ứng là:

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{E}{h}\\ & =2,42\times {10}^{14}\text{ Hz}\end{array}$$

này trong chân không là:

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{c}{f}\\ & =1,24\times {10}^{-6}\text{ m}\\ & =1240\text{ nm}\end{array}$$

Bức xạ này nằm trong vùng hồng ngoại của quang phổ.

Tính toán tương tự cho hai còn lại:

• Với $E=2,00\text{ eV}$: $f=4,84\times {10}^{14}\text{ Hz}$, $\lambda =620\text{ nm}$ (ánh sáng đỏ).
• Với $E=3,00\text{ eV}$: $f=7,25\times {10}^{14}\text{ Hz}$, $\lambda =414\text{ nm}$ (ánh sáng tím).

(b) Từ mức cơ bản ($0,00\text{ eV}$), nguyên tử chỉ có thể hấp thụ các có vừa đủ để đưa nó lên một trong các mức kích thích hiện có: Mức $1,00\text{ eV}$ hoặc mức $3,00\text{ eV}$.

• Hấp thụ $1,00\text{ eV}$ đưa nguyên tử lên mức $1,00\text{ eV}$, ứng với vạch hấp thụ $\lambda =1240\text{ nm}$.
• Hấp thụ $3,00\text{ eV}$ đưa nguyên tử lên mức $3,00\text{ eV}$, ứng với vạch hấp thụ $\lambda =414\text{ nm}$.

Nguyên tử ở mức cơ bản hoàn toàn không thể hấp thụ $2,00\text{ eV}$ ($\lambda =620\text{ nm}$) vì nguyên tử không có nào nằm tại vị trí $2,00\text{ eV}$ phía trên mức cơ bản.

Đánh giá: Nếu khối khí gồm các nguyên tử này được nâng lên nhiệt độ rất cao, các va chạm nhiệt sẽ kích thích một phần đáng kể nguyên tử lên mức $1,00\text{ eV}$. Khi đó, các nguyên tử đã ở mức $1,00\text{ eV}$ này có thể hấp thụ tiếp $2,00\text{ eV}$ để nhảy lên mức $3,00\text{ eV}$, làm xuất hiện thêm vạch hấp thụ tại $620\text{ nm}$. Điều này chứng minh rằng quang phổ thực nghiệm của một chất phụ thuộc chặt chẽ vào hệ thống và nhiệt độ của chất đó.

Khái niệm cần nhớ: Khi nguyên tử chuyển dời giữa hai , nó phát ra (nếu mất ) hoặc hấp thụ photon (nếu nhận thêm năng lượng). Năng lượng photon phát xạ hoặc hấp thụ bằng hiệu năng lượng giữa hai mức. Năng lượng photon càng lớn thì càng ngắn.

---

Hiện tượng huỳnh quang và quang phổ phân tử

Giả sử ta chiếu ánh sáng tím $414\text{ nm}$ vào khối khí nguyên tử giả định ở Ví dụ 39.5. Các nguyên tử ở mức cơ bản hấp thụ này và nhảy lên mức $3,00\text{ eV}$. Một số nguyên tử sẽ chuyển dời thẳng về mức cơ bản và tái phát xạ photon $414\text{ nm}$. Tuy nhiên, nhiều nguyên tử khác lại rơi về mức cơ bản theo hai chặng liên tiếp: Đầu tiên phát ra photon $620\text{ nm}$ để xuống mức $1,00\text{ eV}$, sau đó phát tiếp photon $1240\text{ nm}$ để về mức cơ bản. Khối khí này hấp thụ bức xạ bước sóng ngắn nhưng lại phát ra bức xạ có bước sóng dài hơn. Hiện tượng này được gọi là sự phát huỳnh quang (fluorescence).

Trong đời sống, hiện tượng huỳnh quang được ứng dụng trong đèn huỳnh quang: Quá trình phóng điện trong hơi thủy ngân phát ra bức xạ tử ngoại (chủ yếu là $250\text{ nm}$). Bức xạ tử ngoại này bị hấp thụ bởi lớp bột huỳnh quang quét ở mặt trong thành ống, và các nguyên tử bột huỳnh quang tái phát xạ ánh sáng ở dải dài hơn nằm trong vùng nhìn thấy. Đèn huỳnh quang có hiệu suất phát sáng cao hơn nhiều so với đèn dây tóc sợi đốt vì ít hao phí vào việc tạo ra các hồng ngoại không nhìn thấy. Trong tự nhiên, hiện tượng huỳnh quang xuất hiện ở nhiều loài sinh vật biển. Chẳng hạn, khi được chiếu bởi ánh sáng xanh lam, loài cá thằn lằn nhiệt đới (họ Synodontidae) phát huỳnh quang và phát ra ánh sáng màu xanh lục có bước sóng dài hơn. Hiện tượng huỳnh quang này có thể đóng vai trò như một tín hiệu nhận diện bạn tình hoặc là một phương thức giúp cá ngụy trang lẫn vào các rạn san hô (vốn cũng có khả năng phát huỳnh quang màu xanh lục).

Ứng dụng: Cá thằn lằn nhiệt đới phát ánh sáng huỳnh quang màu xanh lục khi được chiếu bằng ánh sáng xanh lam. Hiện tượng này có thể giúp nhận diện bạn tình hoặc ngụy trang giữa các rạn san hô phát huỳnh quang.

Nguyên lý và chuyển dời quang phổ cũng áp dụng hoàn toàn tương tự cho các phân tử, chẳng hạn như phân tử hydro ($H_2$) hay phân tử nước ($H_{2}O$). Từ quang phổ phát xạ vạch của phân tử, các nhà khoa học có thể xác định được cấu trúc mức năng lượng quay, dao động và điện tử của phân tử đó.

Thí nghiệm Franck–Hertz: Mức năng lượng có thực hay không?

Liệu các của nguyên tử là một thực thể vật lý có thực trong tự nhiên, hay chỉ là một mô hình toán học thuận tiện để giải thích quang phổ? Năm 1914, hai nhà vật lý người Đức James Franck và Gustav Hertz đã mang lại câu trả lời thực nghiệm trực tiếp và thuyết phục cho câu hỏi này.

Franck và Hertz nghiên cứu dòng chuyển động của các electron qua hơi thủy ngân dưới tác dụng của điện trường gia tốc. Họ nhận thấy rằng khi động năng của electron nhỏ hơn $4,9\text{ eV}$, các electron va chạm đàn hồi với nguyên tử thủy ngân mà không truyền kích thích nội tại cho nguyên tử. Tuy nhiên, ngay khi động năng của electron đạt từ $4,9\text{ eV}$ trở lên, các electron va chạm không đàn hồi, truyền năng lượng $4,9\text{ eV}$ để kích thích nguyên tử thủy ngân lên đầu tiên phía trên mức cơ bản. Sau va chạm, nguyên tử thủy ngân kích thích này tự phát rơi về mức cơ bản bằng cách phát ra một tử ngoại có $\lambda =hc/E$. Với $E=4,9\text{ eV}$, $h=\mathrm{4,136}\times {10}^{-15}\text{ eV}\cdot \text{s}$ và $c=3,00\times {10}^8\text{ m/s}$:

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{hc}{E}\\ & =2,5\times {10}^{-7}\text{ m}\\ & =250\text{ nm}\end{array}$$

Giá trị tính toán này trùng khớp chính xác với bước sóng thực nghiệm mà Franck và Hertz đo được từ hơi thủy ngân phát quang, chứng minh trực tiếp rằng $4,9\text{ eV}$ thực sự tồn tại trong nguyên tử thủy ngân. James Franck và Gustav Hertz đã được trao giải Nobel Vật lý năm 1925 cho nghiên cứu tiên phong này.

---

Sóng electron và mô hình nguyên tử hydro của Bohr

Giả thuyết của Bohr thiết lập mối quan hệ giữa quang phổ và các . Tuy nhiên, nó chưa cung cấp quy tắc tổng quát để tính toán giá trị các mức năng lượng của một nguyên tử cụ thể. Bohr đã giải quyết trọn vẹn bài toán này đối với trường hợp nguyên tử đơn giản nhất: Nguyên tử hydro, vốn chỉ gồm một electron quay quanh một proton.

Trong mô hình của mình, Bohr đưa ra các giả thuyết mang tính đột phá:

1. Electron chuyển động quanh hạt nhân theo các quỹ đạo tròn ổn định xác định.
2. Trái với dự đoán của điện động lực học cổ điển (cho rằng điện tích chuyển động có gia tốc phải liên tục bức xạ sóng điện từ và rơi vào hạt nhân), electron khi chuyển động trên các quỹ đạo ổn định này không bức xạ bất kỳ nào.
3. Nguyên tử chỉ bức xạ hoặc hấp thụ khi electron chuyển dời từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác, giải phóng hoặc thu vào một có năng lượng $hf=|E_i-E_f|$.

Hình 39.21: Xác định mômen động lượng Ln của electron chuyển động tròn quanh hạt nhân nguyên tử. Vectơ Ln vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo và có độ lớn Ln = m vn rn.

Chú thích:

• Mômen động lượng Ln của electron quay theo quỹ đạo vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo (khi chọn gốc tọa độ tại hạt nhân) và có độ lớn L = mvnrn sin φ = mvnrn sin 90° = mvnrn. (Angular momentum Ln of orbiting electron is perpendicular to plane of orbit (since we take origin to be at nucleus) and has magnitude L = mvnrn sin f = mvnrn sin 90° = mvnrn.)
• Quỹ đạo electron cho phép thứ n (nth allowed electron orbit)
• Hạt nhân (Nucleus)
• Electron (Electron)

Bằng lập luận đối chiếu góc của bức xạ phát ra với tần số quay của electron ở các mức kích thích rất cao, Bohr tìm ra điều kiện lượng tử hóa quỹ đạo: Độ lớn mômen động lượng của electron phải bằng một số nguyên lần đại lượng $h/(2\pi )$. Số nguyên $n=1,2,3,\dots$ dùng để đánh số quỹ đạo được gọi là :

$$L_n=m{v}_n{r}_n=n\frac{h}{2\pi }$$

(39.6)

Trong phương trình trên, $m$ là khối lượng nghỉ của electron, $v_n$ là tốc độ quỹ đạo, $r_n$ là bán kính quỹ đạo thứ $n$.

Ta có thể hiểu điều kiện lượng tử hóa (39.6) một cách tự nhiên và trực quan thông qua bức tranh de Broglie. Thay vì coi electron là một hạt điểm cổ điển chuyển động trên đường tròn, ta hình dung electron là một sóng dừng hình sin khép kín quanh quỹ đạo. Sóng dừng trên dây không truyền tải , tương tự như electron trên không bức xạ năng lượng. Để sóng có thể giao thoa tăng cường và nối tiếp trơn tru với chính nó sau mỗi vòng quay, chu vi của quỹ đạo tròn phải chứa đúng một số nguyên $n$ ($n=1,2,3,\dots$) lần :

$$2\pi r_n=n{\lambda }_n$$

Theo hệ thức de Broglie, của hạt chuyển động phi tương đối tính với tốc độ $v_n$ là ${\lambda }_n=h/(m{v}_n)$. Thay biểu thức này vào điều kiện sóng dừng, ta thu được:

$$\begin{array}{rl}2\pi r_n& =n\frac{h}{m{v}_n}\\ & ⟹m{v}_n{r}_n=n\frac{h}{2\pi }\end{array}$$

Kết quả này trùng khớp hoàn toàn với tiên đề của Bohr ở Phương trình (39.6). Bức tranh sóng hạt electron dẫn dắt tự nhiên đến sự lượng tử hóa .

Hình 39.22: Ý tưởng khớp sóng dừng electron quanh chu vi quỹ đạo tròn. Để sóng tự khép kín trơn tru, chu vi quỹ đạo phải bằng đúng một số nguyên n lần bước sóng de Broglie (n = 2, 3, 4).

Bây giờ ta áp dụng định luật hai Newton cho chuyển động tròn của electron quanh hạt nhân proton mang điện tích $+e$. Vì khối lượng proton lớn gấp gần 2000 lần khối lượng electron ($m_p\approx 1836,2m$), ta có thể coi hạt nhân đứng yên tại gốc tọa độ. Gia tốc hướng tâm của electron là $v_n^2/r_n$. Lực hút tĩnh điện Coulomb giữa proton và electron cung cấp gia tốc hướng tâm này:

$$\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^2}{r_n^2}=\frac{m{v}_n^2}{r_n}$$

(39.7)

Hình 39.23: Mô hình nguyên tử hydro của Bohr: Lực hút tĩnh điện Coulomb giữa proton đứng yên và electron cung cấp gia tốc hướng tâm cho electron chuyển động tròn.

Chú thích:

• Giả thiết proton đứng yên. (Proton is assumed to be stationary.)
• Lực hút tĩnh điện đóng vai trò gia tốc hướng tâm. (Electrostatic attraction provides centripetal acceleration.)
• Electron chuyển động tròn bán kính rn với tốc độ vn. (Electron revolves in a circle of radius rn with speed vn.)
• Electron (khối lượng m, điện tích -e) (Electron m, -e)
• Proton (khối lượng M, điện tích +e) (Proton M, +e)

Giải hệ hai phương trình (39.6) và (39.7) để tìm bán kính quỹ đạo $r_n$ và tốc độ $v_n$: Từ (39.6), ta có $v_n=\frac{nh}{2\pi m{r}_n}$. Thay vào (39.7), ta rút ra bán kính quỹ đạo cho phép thứ $n$:

$$r_n={ϵ}_0\frac{n^2{h}^2}{\pi m{e}^2}$$

(39.8)

Tương tự, rút $r_n$ từ (39.6) thay vào (39.7) cho ta tốc độ của electron trên quỹ đạo thứ $n$:

$$v_n=\frac{1}{{ϵ}_0}\frac{e^2}{2nh}$$

(39.9)

Phương trình (39.8) chỉ ra rằng bán kính quỹ đạo tỉ lệ thuận với $n^2$. Quỹ đạo nhỏ nhất ứng với $n=1$, được gọi là bán kính Bohr, ký hiệu là $a_0$:

$$a_0=\frac{{ϵ}_0{h}^2}{\pi m{e}^2}$$

(39.10)

Khi đó, bán kính của quỹ đạo thứ $n$ có thể viết gọn thành:

$$r_n=n^2{a}_0$$

(39.11)

Các quỹ đạo cho phép có bán kính lần lượt là $a_0,4a_0,9a_0,16a_0,\dots$

Thay các hằng số vật lý nền tảng: ${ϵ}_0=\mathrm{8,854}\times {10}^{-12}{\text{ C}}^2/(\text{N}\cdot {\text{m}}^2)$, $h=\mathrm{6,626}\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$, $m=\mathrm{9,109}\times {10}^{-31}\text{ kg}$ và $e=\mathrm{1,602}\times {10}^{-19}\text{ C}$ vào biểu thức (39.10), ta tính được giá trị bán kính Bohr:

$$a_0=5,29\times {10}^{-11}\text{ m}$$

Bán kính này ứng với đường kính nguyên tử hydro vào khoảng ${10}^{-10}\text{ m}=0,1\text{ nm}$, hoàn toàn phù hợp với các ước lượng kích thước nguyên tử độc lập từ các phương pháp nhiệt động và hóa học.

Phương trình (39.9) cho thấy tốc độ $v_n$ tỉ lệ nghịch với $n$: Số lượng tử $n$ càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng rộng nhưng tốc độ chuyển động của electron lại càng chậm. Tốc độ lớn nhất đạt được tại quỹ đạo cơ bản $n=1$, tính từ biểu thức (39.9):

$$v_1=2,19\times {10}^6\text{ m/s}$$

Tốc độ này chỉ chiếm khoảng $0,73\mathrm{\%}$ tốc độ ánh sáng ($v_1/c<0,01$), do đó các hiệu ứng tương đối tính không đáng kể trong mô hình nguyên tử hydro cơ bản.

---

Các mức năng lượng của nguyên tử hydro

Từ các biểu thức của bán kính $r_n$ và tốc độ $v_n$, ta xác định động năng $K_n$ và tĩnh điện $U_n$ của electron trên quỹ đạo thứ $n$:

$$\begin{array}{rl}{K}_n& =\frac{1}{2}m{v}_n^2\\ & =\frac{1}{{ϵ}_0^2}\frac{m{e}^4}{8n^2{h}^2}\end{array}$$

(39.12)

tương tác tĩnh điện giữa electron và proton là:

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^2}{r_n}\\ & =-\frac{1}{{ϵ}_0^2}\frac{m{e}^4}{4n^2{h}^2}\end{array}$$

(39.13)

tĩnh điện mang giá trị âm vì ta chọn gốc thế năng bằng không khi electron ở khoảng cách vô hạn so với hạt nhân. Cơ năng toàn phần $E_n$ của nguyên tử hydro là tổng của động năng và thế năng:

$$\begin{array}{rl}{E}_n& =K_n+U_n\\ & =-\frac{1}{{ϵ}_0^2}\frac{m{e}^4}{8n^2{h}^2}\end{array}$$

(39.14)

Vì $E_n$ nhận các giá trị khác nhau ứng với mỗi số nguyên $n$, Phương trình (39.14) biểu diễn chính xác các của nguyên tử hydro theo . Mỗi quỹ đạo ổn định tương ứng với một mức năng lượng xác định.

Hình 39.24: Hai cách biểu diễn các mức năng lượng của nguyên tử hydro và các chuyển dời bức xạ. (a) Các quỹ đạo tròn cho phép có bán kính tỉ lệ với n^2. (b) Giản đồ mức năng lượng và các dãy chuyển dời quang phổ tương ứng.

Chú thích:

• (a) Các quỹ đạo cho phép của electron trong mô hình Bohr cho nguyên tử hydro (không vẽ theo tỷ lệ). Các mũi tên chỉ chuyển dời tương ứng với một số vạch của các dãy khác nhau. ((a) Permitted orbits of an electron in the Bohr model of a hydrogen atom (not to scale). Arrows indicate the transitions responsible for some of the lines of various series.)
• (b) Giản đồ mức năng lượng cho hydro, thể hiện một số chuyển dời tương ứng với các dãy khác nhau ((b) Energy-level diagram for hydrogen, showing some transitions corresponding to the various series)
• Dãy Balmer (ánh sáng nhìn thấy và tử ngoại) (Balmer series (visible light and ultraviolet))
• Dãy Paschen (hồng ngoại) (Paschen series (infrared))
• Dãy Pfund (hồng ngoại) (Pfund series (infrared))
• Dãy Brackett (hồng ngoại) (Brackett series (infrared))
• Dãy Lyman (tử ngoại) (Lyman series (ultraviolet))

Mức có thấp nhất ứng với $n=1$, có năng lượng âm với độ lớn lớn nhất và bán kính nhỏ nhất $a_0$. Đây chính là trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro. Khi $n=2,3,\dots$, độ lớn tuyệt đối của $E_n$ giảm dần, khiến năng lượng toàn phần tăng dần (tiến dần về $0$).

Khi electron chuyển từ cao $n_U$ (upper) xuống mức năng lượng thấp hơn $n_L$ (lower) với $n_L<n_U$, nguyên tử phát ra một có :

$$\mathrm{\Delta }E=E_{n_U}-E_{n_L}=\frac{hc}{\lambda }$$

Để tính $\lambda$, ta viết lại Phương trình (39.14) thông qua hằng số Rydberg $R$:

$$E_n=-\frac{hcR}{n^2}$$

(39.15)

Trong đó, hằng số Rydberg được xác định hoàn toàn từ các hằng số vật lý cơ bản:

$$R=\frac{m{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}$$

Thay các giá trị của $m,c,e,h$ và ${ϵ}_0$, ta nhận được giá trị lý thuyết: $R=\mathrm{1,097}\times {10}^7{\text{ m}}^{-1}$. Khi đó, ở trạng thái cơ bản là $-hcR=-13,60\text{ eV}$.

của phát ra trong bước chuyển dời từ $n_U$ xuống $n_L$ được xác định bởi:

$$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{n_L^2}-\frac{1}{n_U^2})$$

(39.16)

Phương trình (39.16) giải thích trọn vẹn và dự đoán chính xác của mọi vạch quang phổ trong phổ phát xạ cũng như hấp thụ của hydro:

• Dãy Balmer: Ứng với các chuyển dời về mức $n_L=2$ từ các mức cao hơn $n_U=3,4,5,\dots$. Bốn vạch đầu tiên nằm trong vùng ánh sáng nhìn thấy:
  • Vạch $H_{\alpha }$ ($n_U=3\to n_L=2$): $\lambda =656,3\text{ nm}$ (đỏ).
  • Vạch $H_{\beta }$ ($n_U=4\to n_L=2$): $\lambda =486,1\text{ nm}$ (lam).
  • Vạch $H_{\gamma }$ ($n_U=5\to n_L=2$): $\lambda =434,1\text{ nm}$ (chàm).
  • Vạch $H_{\delta }$ ($n_U=6\to n_L=2$): $\lambda =410,2\text{ nm}$ (tím).
  • Giới hạn ngắn nhất của dãy ứng với $n_U=\mathrm{\infty }$: $\lambda =364,6\text{ nm}$ (thuộc vùng tử ngoại).

Hình 39.25: Các vạch quang phổ của dãy Balmer đối với nguyên tử hydro. Bốn vạch H-alpha, H-beta, H-gamma, H-delta thuộc vùng nhìn thấy, trong khi các vạch còn lại hội tụ về vùng tử ngoại tại giới hạn dãy 364,6 nm.

Chú thích:

• Hα, Hβ, Hγ và Hδ nằm trong vùng ánh sáng nhìn thấy của quang phổ. Toàn bộ các vạch Balmer vượt quá Hδ đều thuộc vùng quang phổ tử ngoại. (Ha, Hb, Hg, and Hd are in the visible region of the spectrum. All Balmer lines beyond Hd are in the ultraviolet spectrum.)

• Dãy Lyman: Ứng với các chuyển dời về mức cơ bản $n_L=1$ từ $n_U=2,3,4,\dots$. Do độ chênh lệch lớn, toàn bộ các của dãy Lyman đều có ngắn thuộc vùng tử ngoại.
• Dãy Paschen: Ứng với các chuyển dời về mức $n_L=3$ từ $n_U=4,5,6,\dots$, nằm hoàn toàn trong vùng hồng ngoại.
• Dãy Brackett: Ứng với các chuyển dời về mức $n_L=4$ từ $n_U=5,6,7,\dots$ (vùng hồng ngoại).
• Dãy Pfund: Ứng với các chuyển dời về mức $n_L=5$ từ $n_U=6,7,8,\dots$ (vùng hồng ngoại).

Lưu ý: Chuyển dời không bắt buộc phải nhảy từng bậc liên tiếp

Nguyên tử có thể chuyển dời trực tiếp giữa hai không kề nhau (chẳng hạn từ $n=5$ xuống $n=3$, hoặc từ $n=1$ lên $n=4$) bằng cách phát xạ hoặc hấp thụ một duy nhất. Nguyên tử không bắt buộc phải nhảy tuần tự qua từng nấc thang liền kề.

cũng dự đoán chính xác (ionization energy) của nguyên tử hydro. Đây là tối thiểu cần cung cấp để bứt electron hoàn toàn khỏi nguyên tử, đưa electron từ mức cơ bản $n=1$ ra xa vô cực ($n=\mathrm{\infty }$):

$$\begin{array}{rl}{E}_{\text{ion}}& =E_{\mathrm{\infty }}-E_1\\ & =0-(-13,60\text{ eV})\\ & =13,60\text{ eV}\end{array}$$

Giá trị đo đạc trực tiếp bằng thực nghiệm là $13,60\text{ eV}$, trùng khớp với lý thuyết trong phạm vi sai số $0,1\mathrm{\%}$.

---

Ví dụ 39.6: Khám phá mô hình Bohr

Hãy xác định động năng, và cơ năng toàn phần của nguyên tử hydro ở mức kích thích thứ nhất. Đồng thời, hãy tính của phát ra khi nguyên tử chuyển dời từ mức đó về mức cơ bản.

Nhận dạng và Chuẩn bị:

• Nhận dạng: Bài toán yêu cầu tính các dạng của nguyên tử hydro ở mức kích thích thứ nhất ($n=2$) và phát ra khi chuyển về mức cơ bản ($n=1$).
• Chuẩn bị: ở mức thứ $n$ được xác định theo hệ thức $E_n=-hcR/n^2=-(13,60\text{ eV})/n^2$. Từ các phương trình (39.12), (39.13) và (39.14), động năng và thế năng liên hệ với năng lượng toàn phần theo $K_n=(13,60\text{ eV})/n^2$ và $U_n=-(27,20\text{ eV})/n^2$. phát xạ khi chuyển từ mức $n_U=2$ về $n_L=1$ được tính qua $\lambda =hc/(E_2-E_1)$.

Thực hiện:

Đối với mức kích thích thứ nhất ứng với $n=2$:

• Động năng: $K_2=(13,60\text{ eV})/2^2=3,40\text{ eV}$.
• : $U_2=-(27,20\text{ eV})/2^2=-6,80\text{ eV}$.
• Cơ năng toàn phần: $E_2=K_2+U_2$, thu được $E_2=-3,40\text{ eV}$.

Đối với mức cơ bản $n=1$: $E_1=-(13,60\text{ eV})/1^2=-13,60\text{ eV}$.

của phát ra trong quá trình chuyển dời là $\mathrm{\Delta }E=E_2-E_1$:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }E& =E_2-E_1\\ & =10,20\text{ eV}\end{array}$$

Với $\mathrm{\Delta }E=10,20\text{ eV}$, tương ứng là:

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{hc}{E_2-E_1}\\ & =1,22\times {10}^{-7}\text{ m}\\ & =122\text{ nm}\end{array}$$

Đây chính là vạch Lyman-$\alpha$ ($L_{\alpha }$), vạch có dài nhất trong dãy Lyman thuộc vùng tử ngoại của quang phổ hydro.

Đánh giá: Cơ năng toàn phần ở mọi mức luôn mang dấu âm và bằng đúng một nửa : $E_n=\frac{1}{2}{U}_n<0$ (với thế năng mang dấu âm $U_n<0$, trong khi động năng mang dấu dương $K_n=-E_n=-\frac{1}{2}{U}_n>0$). Mối quan hệ năng lượng này tương tự như chuyển động của vệ tinh trên quỹ đạo tròn trong trường hấp dẫn Newton. Tình huống tương đồng này xuất phát từ nguyên nhân sâu xa: Cả lực tĩnh điện Coulomb và lực vạn vật hấp dẫn Newton đều tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $1/r^2$.

Khái niệm cần nhớ: Trong cho nguyên tử hydro, electron chuyển động tròn theo các quỹ đạo xác định. Mỗi quỹ đạo cho phép có động năng $K_n$, $U_n$ và cơ năng $E_n=K_n+U_n$ xác định. Khi electron chuyển giữa hai quỹ đạo, nguyên tử phát xạ hoặc hấp thụ một có năng lượng đúng bằng hiệu cơ năng giữa hai mức đó.

---

Chuyển động của hạt nhân và khối lượng rút gọn

Mặc dù rất thành công, những phép đo phổ chính xác cao cho thấy thực nghiệm của hydro lệch khoảng $0,1\mathrm{\%}$ so với tính toán lý thuyết sơ cấp. Nguyên nhân là ta đã giả thiết proton đứng yên tuyệt đối. Trên thực tế, cả proton và electron đều cùng quay quanh khối tâm chung của hệ.

Hình 39.26: Cả hạt nhân và electron đều chuyển động trên quỹ đạo quanh khối tâm chung của chúng. Khoảng cách rN được phóng đại để trực quan; đối với hydro thông thường, rN nhỏ hơn re khoảng 1836 lần.

Chú thích:

• Hạt nhân (Nucleus)
• Hạt electron (Electron)
• Khối tâm (cm)

Ta có thể hiệu chỉnh chính xác chuyển động này bằng cách thay khối lượng nghỉ $m$ của electron trong mọi công thức của Bohr bằng (reduced mass) $m_r$ của hệ hai vật có khối lượng $m_1$ và $m_2$:

$$m_r=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$$

(39.17)

Đối với nguyên tử hydro thông thường ($m_1=m$, $m_2=m_p=1836,2m$):

$$\begin{array}{rl}{m}_r& =\frac{m(1836,2m)}{m+1836,2m}\\ & =\mathrm{0,999}46m\end{array}$$

Đối với nguyên tử deuteri (hydro nặng), hạt nhân gồm một proton và một neutron liên kết với nhau, có khối lượng xấp xỉ gấp đôi. của deuteri là $m_r=\mathrm{0,999}73m$. Do tỉ lệ nghịch với khối lượng rút gọn, bước sóng các vạch quang phổ của deuteri dịch chuyển một lượng rất nhỏ (khoảng $\mathrm{0,027}\mathrm{\%}$) so với hydro thông thường. Sự dịch chuyển bước sóng tinh vi này đã giúp nhà khoa học người Mỹ Harold Urey phát hiện ra đồng vị deuteri vào năm 1932, thành tựu mang lại cho ông giải Nobel Hóa học năm 1934.

---

Các nguyên tử dạng hydro và giới hạn của mô hình Bohr

Ta có thể mở rộng cho các ion chỉ có một electron duy nhất quay quanh hạt nhân mang điện tích $+Ze$ (với $Z$ là số hiệu nguyên tử), chẳng hạn như ion heli bị ion hóa một lần (${\text{He}}^{+}$, $Z=2$), ion liti bị ion hóa hai lần (${\text{Li}}^{2+}$, $Z=3$). Những hệ này được gọi là các nguyên tử dạng hydro (hydrogen-like atoms).

Khi thay điện tích hạt nhân $e$ bằng $Ze$, lực hút Coulomb tăng lên $Z$ lần. Bán kính quỹ đạo thu hẹp lại $Z$ lần:

$$r_n=\frac{n^2{a}_0}{Z}$$

Trong khi đó, bị nhân với thừa số $Z^2$:

$$\begin{array}{rl}{E}_n& =-Z^2\frac{hcR}{n^2}\\ & =-Z^2\frac{13,60\text{ eV}}{n^2}\end{array}$$

Hình 39.27: So sánh các mức năng lượng của nguyên tử hydro (Z = 1) và ion heli He+ (Z = 2). Do nhân với Z^2 = 4, năng lượng của ion He+ ở mức có cùng số lượng tử n âm gấp 4 lần so với nguyên tử hydro.

Chú thích:

• Hydro (H) (Hydrogen (H))
• Ion heli (He+) (Helium ion (He+))

Đối với các nguyên tử kim loại kiềm (ở cột ngoài cùng bên trái của bảng tuần hoàn), electron hóa trị ngoài cùng chuyển động xung quanh một lõi gồm hạt nhân và các lớp electron bên trong mang điện tích hiệu dụng xấp xỉ $+e$. Khi electron ngoài cùng này bị kích thích lên một trạng thái có số lượng tử rất lớn (ví dụ $n=1000$, gọi là nguyên tử Rydberg), bán kính quỹ đạo tăng lên $n^2={10}^6$ lần so với bán kính Bohr, đạt kích thước khoảng $0,05\text{ mm}$, tương đương với kích thước của một hạt cát nhỏ.

Mặc dù dự đoán chính xác các và quang phổ của hydro, nó bộc lộ những hạn chế căn bản:

• Mô hình là sự chắp vá không nhất quán giữa cơ học cổ điển và các tiên đề lượng tử gián đoạn.
• Không thể giải thích được diễn biến vi mô trong quá trình chuyển dời giữa hai quỹ đạo.
• Không thể mở rộng để tính toán chính xác cho bất kỳ nguyên tử nào có từ hai electron trở lên (thậm chí ngay cả nguyên tử heli trung hòa).
• Theo , electron chuyển động tròn tạo thành một dòng điện kín và phải có mômen từ lưỡng cực orbital. Tuy nhiên, các phép đo thực nghiệm chỉ ra rằng nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản hoàn toàn không có mômen từ orbital.

Những mâu thuẫn này đòi hỏi một lý thuyết lượng tử toàn diện và triệt để hơn, được phát triển thông qua cơ học lượng tử của Schrödinger và Heisenberg.

---

Câu hỏi tự kiểm tra 39.3

Xét các bước chuyển dời khả dĩ giữa các trong ion heli ${\text{He}}^{+}$. Trong các chuyển dời sau đây của ${\text{He}}^{+}$, chuyển dời nào sẽ phát ra có gần như trùng khớp với một trong các bước sóng phát ra bởi nguyên tử hydro bị kích thích?

(i) Từ $n=2$ xuống $n=1$

(ii) Từ $n=3$ xuống $n=2$

(iii) Từ $n=4$ xuống $n=3$

(iv) Từ $n=4$ xuống $n=2$

(v) Nhiều hơn một trong các chuyển dời trên

(vi) Không có chuyển dời nào trong số này

Đáp án và giải thích

Đáp án đúng: (iv).

Giải thích chi tiết: Đối với ion ${\text{He}}^{+}$ ($Z=2$), các được xác định bởi:

$$\begin{array}{rl}{E}_n& =-Z^2\frac{13,60\text{ eV}}{n^2}\\ & =-\frac{13,60\text{ eV}}{(n/2{)}^2}\end{array}$$

Như minh họa trên Hình 39.27, mọi mức có số lượng tử chẵn $n=2k$ trong ion ${\text{He}}^{+}$ đều trùng khớp hoàn toàn với mức $n^{\prime }=k$ của nguyên tử hydro. Do đó, phát ra trong các chuyển dời giữa hai mức có số lượng tử chẵn trong ${\text{He}}^{+}$ sẽ có và $\lambda =hc/\mathrm{\Delta }E$ trùng khớp với bước sóng tương ứng của hydro:

Với $n=4$ trong ${\text{He}}^{+}$, là:

$$\begin{array}{rl}{E}_4& =-4(13,60\text{ eV})/16\\ & =-3,40\text{ eV}.\end{array}$$

Mức này trùng với mức $n^{\prime }=2$ của hydro. Với $n=2$ trong ${\text{He}}^{+}$, ta có:

$$\begin{array}{rl}{E}_2& =-4(13,60\text{ eV})/4\\ & =-13,60\text{ eV}.\end{array}$$

Mức này trùng với mức $n^{\prime }=1$ của hydro.

Chuyển dời từ $n=4$ xuống $n=2$ trong ${\text{He}}^{+}$ giải phóng :

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }E& =E_4-E_2\\ & =10,20\text{ eV}\end{array}$$

Độ chênh lệch này bằng đúng chuyển dời từ $n^{\prime }=2$ xuống $n^{\prime }=1$ của nguyên tử hydro, phát ra có $\lambda =122\text{ nm}$ (vạch Lyman-$\alpha$).

Tuy nhiên, việc một chuyển dời có một đầu là mức lẻ trong ${\text{He}}^{+}$ tự nó chưa phải là chứng minh tổng quát rằng không có bất kỳ hiệu mức nào của hydro có thể bằng nó. Để kết luận chặt chẽ, ta kiểm tra trực tiếp ba chuyển dời còn lại đối chiếu với các chuyển dời cho phép giữa hai mức $(n_L^{\prime },n_U^{\prime })$ bất kỳ của hydro:

• Với chuyển dời (i) từ $n=2$ xuống $n=1$ trong ${\text{He}}^{+}$: phát ra là:

$$\mathrm{\Delta }E=40,80\text{ eV}$$

Giá trị này lớn hơn tối đa của nguyên tử hydro ($13,60\text{ eV}$), do đó hydro không thể phát ra có này.

• Với chuyển dời (ii) từ $n=3$ xuống $n=2$ trong ${\text{He}}^{+}$: phát ra là:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }E& =\frac{5}{9}(13,60\text{ eV})\\ & \approx 7,56\text{ eV}\end{array}$$

Nếu hydro phát ra này giữa hai mức $n_L^{\prime }$ và $n_U^{\prime }$, ta cần:

$$\frac{1}{n_L^{\prime 2}}-\frac{1}{n_U^{\prime 2}}=\frac{5}{9}$$

Nếu $n_L^{\prime }=1$, ta có $1/n_U^{\prime 2}=4/9⟹n_U^{\prime }=1,5$ (không nguyên). Nếu $n_L^{\prime }\ge 2$, hiệu cực đại của hydro khi $n_U^{\prime }\to \mathrm{\infty }$ chỉ đạt $(13,60\text{ eV})/4=3,40\text{ eV}<7,56\text{ eV}$. Do đó không tồn tại chuyển dời nào của hydro có năng lượng này.

• Với chuyển dời (iii) từ $n=4$ xuống $n=3$ trong ${\text{He}}^{+}$: phát ra là:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }E& =\frac{7}{36}(13,60\text{ eV})\\ & \approx 2,64\text{ eV}\end{array}$$

Nếu hydro phát ra này, ta cần:

$$\frac{1}{n_L^{\prime 2}}-\frac{1}{n_U^{\prime 2}}=\frac{7}{36}$$

Với $n_L^{\prime }=1$, nhỏ nhất trong dãy Lyman là $10,20\text{ eV}>2,64\text{ eV}$. Với $n_L^{\prime }=2$, ta có $1/n_U^{\prime 2}=1/18⟹n_U^{\prime }=\sqrt{18}\approx 4,24$ (không nguyên). Với $n_L^{\prime }\ge 3$, hiệu năng lượng cực đại của hydro chỉ đạt $(13,60\text{ eV})/9\approx 1,51\text{ eV}<2,64\text{ eV}$. Do đó hydro cũng không thể phát ra này.

Như vậy, trong các chuyển dời đã cho, chỉ duy nhất chuyển dời (iv) phát ra có trùng với hydro.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 39.3, trang 1290–1300.