Tụ điện và điện dung

Điện tích của một tụ

Hai ngăn cách bởi chất cách điện hoặc chân không tạo thành . Trong cách nạp thường gặp, ban đầu mỗi vật trung hòa. Electron chuyển từ vật này sang vật kia, nên hai vật mang điện tích bằng độ lớn và trái dấu. Tổng điện tích của cả tụ vẫn bằng không. Chương này dùng cấu hình ấy.

Hình 24.1: Hai vật dẫn a và b cách điện, mang +Q và −Q

Chú thích:

• Vật dẫn (Conductor)

Khi nói “tụ có điện tích Q”, với Q dương, ta đang nói vật ở thế cao mang +Q, vật ở thế thấp mang −Q. Q không phải tổng điện tích đại số của cả tụ.

Trong sơ đồ mạch, hai vạch thẳng hoặc một vạch thẳng và một vạch cong biểu diễn hai bản tụ. Các đoạn ngang là dây nối tới từng bản. Nối hai dây ấy vào hai cực pin là một cách nạp. Khi điện tích đã được thiết lập, có thể ngắt pin. Ngay sau khi ngắt, của tụ lý tưởng bằng điện áp pin lúc nạp, còn các điện tích được giữ trên những bản cô lập.

Hai ký hiệu tụ điện và dây nối tới từng bản

Điện dung đo tỷ số điện tích và điện áp

Với hình học giữ nguyên, trong chân không hoặc tuyến tính, tăng Q gấp đôi làm mật độ điện tích, trường ở từng điểm và cùng tăng gấp đôi. Tỷ số Q trên hiệu điện thế không đổi. Đặt a là bản dương, b là bản âm và $V_{ab}=V_a-V_b>0$:

$$C=\frac{Q}{V_{ab}}.$$

(24.1)

Đơn vị SI là farad, ký hiệu F, đặt theo tên Michael Faraday:

$$1\mathrm{F}=1\mathrm{C}/\mathrm{V}.$$

Trong công thức, C in nghiêng là . Chữ C đứng trong đơn vị là coulomb. Hai ký hiệu giống chữ nhưng biểu thị hai đại lượng khác nhau.

Với điện áp cho trước, C lớn hơn cho điện tích mỗi bản lớn hơn và tích trữ lớn hơn. đo khả năng tích trữ điện tích, đồng thời liên hệ khả năng tích trữ năng lượng. Nó phụ thuộc hình dạng, kích thước, khoảng cách các và tính chất chất cách điện. Một số vật liệu đặc biệt làm điện dung phụ thuộc điện tích hoặc điện áp. Chương này không xét những vật liệu ấy.

Muốn tìm C của một tụ, chọn điện tích +Q, −Q trên hai vật, tìm rồi lấy Q chia hiệu điện thế. Trước hết xét tụ trong chân không.

Tụ phẳng trong chân không

Hai bản dẫn song song, mỗi bản diện tích A, cách d nhỏ hơn nhiều kích thước ngang là tụ phẳng. Phần lớn nằm trong khe. Bỏ trường loe ở mép, điện bố đều trên hai mặt đối diện và trường trong khe gần như đều.

Hình 24.2: Hai bản tụ phẳng, trường trong khe gần đều và trường mép chỉ chiếm phần nhỏ

Chú thích:

• Khi khoảng cách giữa hai bản nhỏ so với kích thước của chúng, điện trường chỉ loe nhẹ ở mép. (When the separation of the plates is small compared to their size, the fringing of the field is slight.)
• Dây dẫn (Wire)
• Bản a, diện tích A (Plate a, area A)
• Bản b, diện tích A (Plate b, area A)
• Hiệu điện thế Vₐᵦ (Potential difference = Vab)
• (b) Hình nhìn cạnh của điện trường E ((b) Side view of the electric field E)

Kết quả chồng chất ở Ví dụ 21.12 hoặc Gauss ở Ví dụ 22.8 cho:

$$\begin{array}{rl}\sigma & =Q/A,\\ E& =\sigma /{\epsilon }_0\\ & =Q/({\epsilon }_{0}A),\\ V_{ab}& =Ed\\ & =Qd/({\epsilon }_{0}A).\end{array}$$

Thay vào định nghĩa :

$$C=\frac{{\epsilon }_{0}A}{d}.$$

(24.2)

Diện tích lớn hơn cho C lớn hơn, còn khe rộng hơn cho C nhỏ hơn. Khi A,d cố định, không phụ thuộc điện tích hoặc điện áp. Nếu một bản mềm có thể chuyển động, thay đổi d làm C thay đổi.

Hình 24.3: Micro điện dung có một bản cố định và một bản mềm chuyển động theo sóng âm

Trong micro , hai bản được giữ ở điện áp không đổi. Sóng âm làm bản mềm dao động, khiến điện dung đổi. Quan hệ Q = CV cho điện tích chạy vào, ra tụ. Dòng tín hiệu ấy có thể được khuếch đại và ghi số, biến sóng âm thành tín hiệu điện.

Vật chất trong khe ảnh hưởng . Với không khí ở áp suất khí quyển, sai khác so với (24.2) dưới 0,06% trong mô hình đang xét. Ảnh hưởng được mở ở mục 24.4.

Các đơn vị của hằng số điện liên hệ với farad như sau:

$$\begin{array}{rl}1\mathrm{F}& =1{\mathrm{C}}^2/(\mathrm{N}\mathrm{m})\\ & =1{\mathrm{C}}^2/\mathrm{J},\\ {\epsilon }_0& =8.85\times {10}^{-12}\mathrm{F}/\mathrm{m}.\end{array}$$

Đơn vị F/m nhân A/d, có đơn vị m, cho F, nên (24.2) đúng thứ nguyên.

Ví dụ 24.1: Kích thước của tụ 1 F

Một tụ phẳng chân không có C = 1,0 F, hai bản cách nhau 1,0 mm. Cần diện tích bản bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. , khe và diện tích liên hệ bởi (24.2). Giải công thức theo diện tích:

$$\begin{array}{rl}A& =\frac{Cd}{{\epsilon }_0}\\ & =\frac{(1.0)(1.0\times {10}^{-3})}{8.85\times {10}^{-12}}\\ & \approx 1.1\times {10}^8{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Một bản vuông cần cạnh cỡ 10 km. Thể tích khe ít nhất cỡ $1.1\times {10}^5$ m³, tương đương một khối lập phương cạnh khoảng 50 m. Tuy vậy, có thể chế tạo tụ 1 F chỉ cỡ vài centimét bằng vật liệu và cấu trúc phù hợp, trong đó khoảng cách hữu hiệu giữa các mặt tích điện được thu hẹp đáng kể xuống cỡ nanomét nhờ lớp hoặc lớp điện kép bề mặt. Tụ thực tế không cần giữ mô hình hai bản chân không cách 1 mm của ví dụ này.

đo lượng điện tích có thể giữ ở điện áp cho trước, tỷ lệ thuận diện tích và nghịch khoảng cách trong mô hình tụ phẳng.

Một farad là lớn đối với nhiều linh kiện thông thường. Các đơn vị hay dùng là:

$$\begin{array}{rl}1\mu \mathrm{F}& ={10}^{-6}\mathrm{F},\\ 1\mathrm{pF}& ={10}^{-12}\mathrm{F}.\end{array}$$

Tụ của đèn flash máy ảnh thường có cỡ vài trăm microfarad, còn tụ trong mạch chọn sóng radio có thể cỡ 10–100 picofarad. Những giá trị này mô tả các cấu hình điển hình được xét, không phải giới hạn cho mọi thiết bị.

Hình 24.4: Các tụ linh kiện có nhãn 2200 µF, 1000 µF và 470 µF

Ví dụ 24.2: Điện dung, điện tích và điện trường

Tụ phẳng chân không có hai bản cách 5,00 mm, diện tích mỗi bản 2,00 m², được đặt 10,0 kV. Tìm (a) , (b) điện tích mỗi bản, (c) trường trong khe.

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Đổi khe sang mét và điện áp sang volt. Tìm C theo hình học, Q theo định nghĩa và E theo mật độ mặt:

$$\begin{array}{rl}C& ={\epsilon }_{0}A/d\\ & =3.54\times {10}^{-9}\mathrm{F}\\ & =0.00354\mu \mathrm{F},\\ Q& =C{V}_{ab}\\ & =3.54\times {10}^{-5}\mathrm{C}\\ & =35.4\mu \mathrm{C},\\ E& =Q/({\epsilon }_{0}A)\\ & =2.00\times {10}^6\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Bản cao thế có +35,4 µC, bản thấp thế có −35,4 µC. Tổng điện tích cả tụ vẫn không.

Đánh giá. Trường đều còn có E = V_ab/d, cho $2.00\times {10}^6$ V/m, cùng kết quả vì N/C và V/m tương đương. Công thức theo điện áp và theo điện tích diễn tả cùng .

Ví dụ 24.3: Tụ cầu

Hai vỏ cầu dẫn đồng tâm ngăn bởi chân không. Vỏ trong có điện tích +Q, bán kính ngoài rₐ. Vỏ ngoài có −Q, bán kính trong rᵦ > rₐ. Tìm .

Hình 24.5: Tụ cầu, hai mặt dẫn và mặt Gauss nằm trong khe

Chú thích:

• Vỏ cầu trong mang điện tích +Q (Inner shell, charge +Q)
• Vỏ cầu ngoài mang điện tích −Q (Outer shell, charge -Q)
• Mặt Gauss (Gaussian surface)

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Trong khe, Gauss cho trường kQ/r² do điện tích được bao. Vỏ ngoài không góp trường trong khe, nhưng có thể góp một hằng số vào . Vì vậy ta tính hiệu điện thế, hoặc chọn vỏ ngoài làm mốc V = 0.

$$\begin{array}{rl}{V}_{ab}& =kQ(1/r_a-1/r_b),\\ C& =Q/V_{ab}\\ & =4\pi {\epsilon }_0\frac{r_a{r}_b}{r_b-r_a}.\end{array}$$

Nếu rₐ = 9,5 cm và rᵦ = 10,5 cm, xấp xỉ $1.1\times {10}^{-10}$ F, tức 110 pF.

Đánh giá. Đặt d = rᵦ − rₐ. Diện tích $A_g=4\pi r_a{r}_b$ là trung bình nhân của hai diện tích mặt cầu $4\pi r_a^2$ và $4\pi r_b^2$. Công thức trở thành C = ${\epsilon }_0$A_g/d. Khi khe nhỏ hơn nhiều hai bán kính, hai mặt gần như phẳng trên một miền nhỏ và kết quả gần điện dung tụ phẳng cùng diện tích, cùng khe.

Muốn tìm một cấu hình hai , tìm ứng với +Q,−Q trước, rồi lấy Q chia hiệu điện thế ấy.

Ví dụ 24.4: Tụ trụ

Hai trụ dài đồng trục ngăn bởi chân không. Trụ trong có bán kính ngoài rₐ và mật độ dài +λ. Trụ ngoài có bán kính trong rᵦ và mật độ dài −λ. Tìm trên một đơn vị chiều dài, bỏ hiệu ứng hai đầu.

Hình 24.6: Hai trụ đồng trục, đoạn dài L mang điện tích ±λL

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. Dùng trường trụ ở Ví dụ 23.10. Trong khe, trường chỉ phụ thuộc điện tích trụ trong. được chọn bằng không tại bán kính r₀ hữu hạn:

$$V(r)=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln (r_0/r).$$

Chọn r₀ = rᵦ thì thế ở trụ trong chính là hai trụ:

$$\begin{array}{rl}{V}_{ab}& =\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln (r_b/r_a),\\ Q& =\lambda L,\\ C& =\frac{2\pi {\epsilon }_{0}L}{\ln (r_b/r_a)},\\ \frac{C}{L}& =\frac{2\pi {\epsilon }_0}{\ln (r_b/r_a)}\\ & =\frac{55.6\mathrm{pF}/\mathrm{m}}{\ln (r_b/r_a)}.\end{array}$$

λ dương cho trụ trong cao thế hơn trụ ngoài. trên chiều dài phụ thuộc tỷ số hai bán kính. Nó không phụ thuộc λ trong mô hình tuyến tính.

Cáp đồng trục có cấu trúc này nhưng thường chứa chất cách điện giữa các trụ. Một cấu hình cáp truyền hình điển hình có trên chiều dài 69 pF/m. Vật liệu cách điện làm giá trị khác kết quả chân không nếu giữ cùng hình học.

Bài tập: Câu hỏi ôn lại mục 24.1

Một tụ có chân không giữa hai . Tăng độ lớn điện tích mỗi vật gấp đôi, giữ nguyên hình học, thì (i) tăng, (ii) giảm, (iii) không đổi, hay (iv) còn tùy hình dạng, kích thước vật dẫn?

Lời giải: Giải thích

Chọn (iii). Tăng Q gấp đôi làm V_ab gấp đôi, nên tỷ số Q/V_ab giữ nguyên. Kết luận đúng với mọi hình học cố định của tụ chân không trong mô hình đang xét.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 24.1, trang 782–786.