36.2. Nhiễu xạ qua một khe hẹp

Xét hiện tượng nhiễu xạ xảy ra khi một chùm ánh sáng đơn sắc có các phẳng (chùm tia song song) truyền qua một khe hẹp dài có bề rộng $a$. Ta quy ước phương vuông góc với chiều dài của khe là bề rộng, dù trên hình vẽ phương này có thể là phương thẳng đứng.

Hình 36.3: Phần (a): Bóng của một khe hẹp nằm ngang theo dự đoán của quang hình học: Chùm tia truyền thẳng chỉ tạo ra một dải sáng duy nhất có cùng kích thước với khe. (b) Hiện tượng thực tế quan sát được: Chùm ánh sáng bị loe rộng theo phương thẳng đứng sau khi qua khe, tạo nên một hệ vân nhiễu xạ gồm dải sáng trung tâm rất rộng xen kẽ với các dải tối và sáng phụ hai bên.

Chú thích:

• Kết quả dự đoán: Quang hình học dự đoán bố trí này sẽ tạo ra một dải sáng duy nhất có cùng kích thước với khe. (PREDICTED OUTCOME: Geometric optics predicts that this setup will produce a single bright band the same size as the slit.)
• Điều thực sự xảy ra: Trong thực tế, ta quan sát thấy một hệ vân nhiễu xạ gồm các dải sáng và tối xen kẽ. (WHAT REALLY HAPPENS: In reality, we see a diffraction pattern—a set of bright and dark fringes.)
• Chùm tia sáng đơn sắc song song (Parallel-ray monochromatic light)
• Bề rộng a (Width a)
• Màn quan sát (Screen)

Theo mô hình quang hình học, chùm sáng truyền qua khe sẽ giữ nguyên tiết diện của khe hẹp như Hình 36.3a. Trong thực tế, chùm sáng bị loe rộng ra sau khi đi qua khe như Hình 36.3b. Hệ vân nhiễu xạ gồm có:

• Một dải sáng cực đại trung tâm (central bright fringe) rất rộng, có bề rộng lớn hơn rất nhiều so với bề rộng hình học của khe.
• Khoảng $85\mathrm{\%}$ tổng năng lượng của chùm sáng truyền qua khe tập trung tại dải sáng cực đại trung tâm này.
• Hai bên dải sáng trung tâm là các dải tối và dải sáng phụ xen kẽ, có cường độ sáng giảm đi rất nhanh khi càng ra xa tâm.
• Bề rộng của toàn bộ hệ vân tỷ lệ nghịch với bề rộng của khe: Khe càng hẹp thì chùm sáng bị loe rộng ra càng lớn.

Sự lan rộng theo phương ngang của chùm trong Hình 36.3(b) không đáng kể vì chiều ngang của khe lớn hơn nhiều bề rộng hẹp đang xét.

Trong thực tế, bạn có thể tự mình quan sát hệ vân nhiễu xạ tương tự bằng cách nhìn vào một nguồn sáng điểm ở xa, chẳng hạn một ngọn đèn đường ban đêm, qua một khe hẹp tạo bởi hai ngón tay cái khép sát trước mắt. Khi đó, võng mạc của mắt đóng vai trò là màn quan sát.

Xác định vị trí các vân tối trong nhiễu xạ một khe

Hình 36.4: Nhiễu xạ ánh sáng qua một khe hẹp hình chữ nhật. Cạnh dài của khe vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. (a) Mỗi dải hẹp trên mặt sóng phẳng tới khe đóng vai trò như một nguồn phát sóng thứ cấp Huygens hình trụ. (b) Nhiễu xạ Fresnel: Màn quan sát đặt gần khe, các tia sóng từ những dải khác nhau tới một điểm P trên màn không song song với nhau. (c) Nhiễu xạ Fraunhofer: Màn quan sát đặt ở rất xa khe, các tia sóng tới P gần như song song tuyệt đối. (d) Dùng thấu kính trụ hội tụ để quan sát hệ vân Fraunhofer ngay trên một màn đặt tại tiêu diện của thấu kính.

Chú thích:

• Khe hẹp đóng vai trò như một nguồn phát sóng thứ cấp (A slit as a source of wavelets)
• Ta chia khe hẹp thành các dải tưởng tượng song song với trục dài của khe. (We divide the slit into imaginary strips parallel to the slit’s long axis.)
• Mỗi dải đóng vai trò là một nguồn phát sóng thứ cấp Huygens. (Each strip is a source of Huygens’s wavelets.)
• Bề rộng khe a (Slit width a)
• Sóng phẳng tới khe (Plane waves incident on the slit)
• Nhiễu xạ Fresnel (trường gần) (Fresnel (near-field) diffraction)
• Nếu màn đặt gần, các tia sóng từ những dải khác nhau tới một điểm P trên màn không song song với nhau. (If the screen is close, the rays from the different strips to a point P on the screen are not parallel.)
• Nhiễu xạ Fraunhofer (trường xa) (Fraunhofer (far-field) diffraction)
• Nếu màn đặt ở rất xa, các tia sóng tới P gần như song song với nhau. (If the screen is distant, the rays to P are approximately parallel.)
• Tạo ảnh nhiễu xạ Fraunhofer (Imaging Fraunhofer diffraction)
• Thấu kính trụ hội tụ (Converging cylindrical lens)
• Một thấu kính hội tụ tạo ảnh của hệ vân Fraunhofer trên một màn quan sát đặt gần. (A converging lens images a Fraunhofer pattern on a nearby screen.)
• Màn quan sát (Screen)

Để xác định vị trí các vân sáng và vân tối trên màn quan sát, ta áp dụng theo phương pháp chia khe thành các dải hẹp:

• Giả sử một sóng phẳng đơn sắc bước sóng $\lambda$ truyền tới khe hẹp có bề rộng $a$ từ phía bên trái.
• Ta tưởng tượng chia bề rộng của khe thành vô số dải hẹp song song có bề rộng bằng nhau, dọc theo chiều dài của khe như Hình 36.4a. Mỗi dải hẹp này là một nguồn phát sóng thứ cấp .
• Để đơn giản hóa phép tính, ta xét điều kiện như Hình 36.4c và Hình 36.4d, trong đó màn quan sát đặt rất xa khe hoặc đặt tại tiêu diện của thấu . Nhờ đó, các tia sáng xuất phát từ các vị trí khác nhau trên khe truyền tới cùng một điểm $P$ trên màn có thể coi là song song với nhau, nghiêng một góc $\theta$ so với trục quang học ban đầu.

Các phần sóng từ các dải khác nhau đi qua thấu kính dường như có thể nhận thêm những độ dịch pha khác nhau. Tuy nhiên, có thể chứng minh rằng phần dịch pha thêm của các đường truyền liên quan bằng nhau. Vì vậy thấu kính không làm thay đổi quan hệ pha cần dùng trong phép dựng Fraunhofer này.

Hình 36.5: Mặt cắt bên của khe hẹp nằm ngang. Khi khoảng cách x từ khe tới màn lớn hơn rất nhiều so với bề rộng a của khe, các tia sóng từ các điểm cách nhau một đoạn a/2 có thể coi là song song với nhau. (a) Sơ đồ quang học tổng thể xác định vị trí điểm P trên màn qua tọa độ y và góc lệch θ. (b) Phóng to nửa trên của khe, cho thấy hiệu đường đi giữa hai tia sáng phát ra từ hai mép của nửa khe là (a/2)sin θ.

Chú thích:

• Đối với hai dải sóng đang xét, hiệu đường đi tới P là (a/2)sin θ. Khi (a/2)sin θ = λ/2, ánh sáng triệt tiêu lẫn nhau tại P. Điều này đúng cho toàn bộ các cặp dải trên khe, do đó P là một vân tối. (For the two strips shown, the path difference to P is (a/2)sin θ. When (a/2)sin θ = λ/2, the light cancels at P. This is true for the whole slit, so P represents a dark fringe.)
• Hình phóng đại nửa trên của khe hẹp (Enlarged view of the top half of the slit)
• Góc θ thường rất nhỏ, nên ta có thể dùng các xấp xỉ sin θ = θ và tan θ = θ. Khi đó điều kiện cho một dải tối là (θ is usually very small, so we can use the approximations sin θ = θ and tan θ = θ. Then the condition for a dark band is)
• Màn quan sát (Screen)

Trước hết, ta xét điều kiện để xuất hiện vân tối đầu tiên ($m=1$):

• Ta chia khe thành hai nửa bằng nhau, mỗi nửa có bề rộng là $a/2$.
• Xét một dải sóng nằm ở mép trên cùng của khe và một dải sóng nằm ở chính giữa khe (cách dải trên một đoạn $a/2$) như Hình 36.5b. của hai sóng này tới điểm $P$ là:

$$\mathrm{\Delta }r=\frac{a}{2}\sin \theta$$

• Nếu này bằng đúng một nửa bước sóng ($\lambda /2$), hai sóng sẽ tới $P$ ngược pha nhau và triệt tiêu lẫn nhau hoàn toàn:

$$\frac{a}{2}\sin \theta =\frac{\lambda }{2}$$

• Tương tự, dải sóng nằm ngay dưới dải thứ nhất cũng sẽ bị dải nằm ngay dưới dải giữa triệt tiêu. Cứ như vậy, mỗi dải sóng ở nửa trên của khe đều tìm được một dải sóng tương ứng ở nửa dưới cách nó đúng $a/2$ để triệt tiêu hoàn toàn dao động tại $P$. Do đó, toàn bộ ánh sáng phát ra từ khe đều bị triệt tiêu tại $P$, tạo thành vân tối đầu tiên:

$$\sin \theta =\pm \frac{\lambda }{a}$$

(36.1)

Dấu cộng hoặc trừ thể hiện tính đối xứng của hệ vân ở phía trên và phía dưới trục trung tâm.

Để tìm vị trí các vân tối tiếp theo, ta chia khe thành $2m$ dải bằng nhau (với $m=1,2,3,\dots$):

• Với $m=2$: Ta chia khe thành bốn phần bằng nhau, mỗi phần có bề rộng $a/4$. Khi giữa hai dải cách nhau $a/4$ bằng $\lambda /2$, hai phần này sẽ triệt tiêu nhau, dẫn đến điều kiện vân tối thứ hai là $\sin \theta =\pm 2\lambda /a$.
• Tổng quát hóa cho số nguyên $m$ bất kỳ, điều kiện xuất hiện vân tối trong là:

$$\sin \theta =\frac{m\lambda }{a}$$

(36.2)

Trong đó: Giá trị $m=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$ là các số nguyên khác không.

Lưu ý đặc biệt: Phân biệt vân tối một khe và vân sáng hai khe

• Phương trình (36.2) có dạng toán học tương tự như điều kiện cực đại giao thoa hai khe ($d\sin \theta =m\lambda$), nhưng phương trình (36.2) xác định vị trí vân tối (cực tiểu) của chứ không phải vân sáng.
• Giá trị $m=0$ không tương ứng với vân tối: Tại $\theta =0$, toàn bộ các sóng thứ cấp từ mọi điểm trên khe truyền tới màn đều cùng pha, tạo nên dải sáng cực đại trung tâm.
• Góc $\theta$ trong phương trình (36.2) là góc lệch đo từ trục trung tâm tới vân tối thứ $m$, không phải là góc mở giữa hai vân tối đối xứng hai bên.

Trong thực tế với ánh sáng nhìn thấy, bước sóng $\lambda$ cỡ $500\mathrm{nm}=5\times {10}^{-7}\mathrm{m}$, thường nhỏ hơn rất nhiều so với bề rộng khe $a$ (thường cỡ ${10}^{-4}\mathrm{m}$). Vì vậy góc $\theta$ rất nhỏ, cho phép áp dụng xấp xỉ góc nhỏ $\sin \theta \approx \theta$ (với $\theta$ tính bằng radian):

$$\theta =\frac{m\lambda }{a}$$

Gọi $x$ là khoảng cách từ khe tới màn quan sát, và $y_m$ là khoảng cách từ tâm dải sáng trung tâm tới vân tối thứ $m$ trên màn:

$$\tan \theta =\frac{y_m}{x}\approx \theta$$

Từ đó, ta tìm được vị trí khoảng cách của vân tối thứ $m$ trên màn quan sát:

$$y_m=x\frac{m\lambda }{a}$$

(36.3)

Trong đó: Phương trình (36.3) là một hệ thức xấp xỉ chỉ có hiệu lực khi góc lệch $\theta$ rất nhỏ, tương đương điều kiện $y_m\ll x$, chứ không phải là biểu thức vị trí chính xác toàn cục cho mọi góc lớn.

Hình 36.6: Ảnh chụp hệ vân nhiễu xạ Fraunhofer thực tế của một khe hẹp nằm ngang. Các vân tối cực tiểu bậc m = ±1, ±2, ±3 được đánh nhãn đối xứng qua dải sáng cực đại trung tâm. Trong xấp xỉ góc nhỏ, dải sáng trung tâm có bề rộng bằng đúng hai lần bề rộng của các dải sáng phụ hai bên.

Khoảng cách giữa hai vân tối bậc một ($m=-1$ và $m=+1$) ở hai bên dải sáng trung tâm là:

$$\mathrm{\Delta }{y}_0=y_1-y_{-1}=2x\frac{\lambda }{a}$$

Trong khi đó, khoảng cách giữa hai vân tối liền kề bất kỳ ở vùng ngoài dải trung tâm là:

$$\mathrm{\Delta }y=y_{m+1}-y_m=x\frac{\lambda }{a}$$

Như vậy, dải sáng cực đại trung tâm có bề rộng gấp đúng hai lần bề rộng của các dải sáng phụ.

Ví dụ 36.1: Xác định bề rộng khe hẹp từ hệ vân nhiễu xạ

Chiếu chùm ánh sáng laser có bước sóng $633\mathrm{nm}$ qua một khe hẹp và quan sát hệ vân nhiễu xạ trên một màn đặt cách khe $6,0\mathrm{m}$. Khoảng cách trên màn giữa hai tâm của hai vân tối bậc một ở hai bên dải sáng trung tâm đo được là $32\mathrm{mm}$ (Hình 36.7). Xác định bề rộng của khe hẹp.

Hình 36.7: Sơ đồ thí nghiệm nhiễu xạ một khe trong Ví dụ 36.1. Ánh sáng laser bước sóng 633 nm chiếu qua khe hẹp có bề rộng a cần tìm. Màn đặt cách khe một khoảng x = 6,0 m. Khoảng cách giữa hai vân tối bậc một đối xứng hai bên dải sáng trung tâm là 32 mm.

Chú thích:

• Bề rộng khe = ? (Slit width = ?)
• Màn quan sát (Screen)

Nhận dạng bài toán: Bài toán yêu cầu xác định bề rộng $a$ của khe hẹp từ khoảng cách giữa các vân tối trong hệ vân .

Chuẩn bị:

• Bước sóng ánh sáng: $\lambda =633\mathrm{nm}=633\times {10}^{-9}\mathrm{m}$.
• Khoảng cách từ khe tới màn: $x=6,0\mathrm{m}$.
• Khoảng cách giữa hai vân tối bậc một hai bên: $2y_1=32\mathrm{mm}=32\times {10}^{-3}\mathrm{m}$.
• Khoảng cách từ tâm tới vân tối bậc một ($m=1$) là $y_1=\frac{32\mathrm{mm}}{2}=16\mathrm{mm}$ (tương đương $16\times {10}^{-3}\mathrm{m}$).
• Vì khoảng cách trên màn $y_1\ll x$ ($16\mathrm{mm}\ll 6,0\mathrm{m}$), góc $\theta$ rất nhỏ, ta áp dụng phương trình (36.3) với $m=1$.

Thực hiện: Từ phương trình (36.3), rút ra biểu thức tính bề rộng khe $a$:

$$\begin{array}{rl}a& =\frac{x\lambda }{y_1}\\ & =\frac{6,0\times 633\times {10}^{-9}}{16\times {10}^{-3}}\mathrm{m}\\ & =2,37\times {10}^{-4}\mathrm{m}\\ & \approx 0,24\mathrm{mm}\end{array}$$

Đánh giá: Góc $\theta$ chỉ nhỏ khi bước sóng rất bé so với bề rộng khe. Ở đây, tỷ số giữa bước sóng và bề rộng khe là:

$$\begin{array}{rl}\frac{\lambda }{a}& =\frac{6,33\times {10}^{-7}\mathrm{m}}{2,4\times {10}^{-4}\mathrm{m}}\\ & \approx \mathrm{0,002}6\end{array}$$

Tỷ số này rất nhỏ ($0,26\mathrm{\%}$), chứng tỏ kết quả tính toán hoàn toàn nhất quán với giả thiết góc nhỏ.

Câu hỏi: Em có thể chứng minh khoảng cách giữa hai cực tiểu bậc hai ở hai bên của cực đại trung tâm là $2(32\mathrm{mm})=64\mathrm{mm}$, và tiếp tục như vậy cho các bậc cao hơn không?

Xem lời giải

Từ phương trình (36.3), trong xấp xỉ góc nhỏ, vị trí trên màn của vân tối thứ hai ($m=2$) cách tâm cực đại chính là:

$$\begin{array}{rl}{y}_2& =x\frac{2\lambda }{a}\\ & =2\left(x\frac{\lambda }{a}\right)\\ & =2y_1\\ & =2\times (16\mathrm{mm})\\ & =32\mathrm{mm}\end{array}$$

Khoảng cách giữa hai vân tối bậc hai nằm đối xứng ở hai phía của cực đại trung tâm là:

$$2y_2=2\times (32\mathrm{mm})=64\mathrm{mm}$$

Hoàn toàn tương tự, với vân tối bậc $m$ bất kỳ, khoảng cách giữa hai cực tiểu bậc $m$ đối xứng hai bên là $2y_m=m\times (32\mathrm{mm})$.

Ý nghĩa vật lý: Trong , các sóng thứ cấp phát ra từ những phần khác nhau của cùng một khe giao thoa với nhau tạo nên hệ vân. Phương trình (36.2) và (36.3) cung cấp vị trí chính xác của các vân tối nơi hiện tượng giao thoa triệt tiêu xảy ra.

Câu hỏi tự kiểm tra 36.2

Hãy sắp xếp các thí nghiệm sau đây theo thứ tự giảm dần của độ lớn góc $\theta$ tính từ tâm hệ vân đến vân tối bậc một:

• (i) Bước sóng $400\mathrm{nm}$, bề rộng khe $0,20\mathrm{mm}$.
• (ii) Bước sóng $600\mathrm{nm}$, bề rộng khe $0,20\mathrm{mm}$.
• (iii) Bước sóng $400\mathrm{nm}$, bề rộng khe $0,30\mathrm{mm}$.
• (iv) Bước sóng $600\mathrm{nm}$, bề rộng khe $0,30\mathrm{mm}$.

Xem đáp án và giải thích

Thứ tự giảm dần là (ii), rồi (i) và (iv) bằng nhau, cuối cùng là (iii).

Giải thích:

Góc lệch $\theta$ của vân tối bậc một được xác định bởi phương trình (36.2) với $m=1$, tức là $\sin \theta =\frac{\lambda }{a}$. Tỷ số $\frac{\lambda }{a}$ càng lớn thì $\sin \theta$ và góc $\theta$ càng lớn. Ta tính tỷ số $\frac{\lambda }{a}$ cho từng trường hợp:

• Trường hợp (i): Tỷ số $\frac{\lambda }{a}=\frac{4,0\times {10}^{-7}\mathrm{m}}{2,0\times {10}^{-4}\mathrm{m}}=2,0\times {10}^{-3}$.
• Trường hợp (ii): Tỷ số $\frac{\lambda }{a}=\frac{6,0\times {10}^{-7}\mathrm{m}}{2,0\times {10}^{-4}\mathrm{m}}=3,0\times {10}^{-3}$.
• Trường hợp (iii): Tỷ số $\frac{\lambda }{a}=\frac{4,0\times {10}^{-7}\mathrm{m}}{3,0\times {10}^{-4}\mathrm{m}}=1,33\times {10}^{-3}$.
• Trường hợp (iv): Tỷ số $\frac{\lambda }{a}=\frac{6,0\times {10}^{-7}\mathrm{m}}{3,0\times {10}^{-4}\mathrm{m}}=2,0\times {10}^{-3}$.

Do đó: ${\theta }_{\text{(ii)}}>{\theta }_{\text{(i)}}={\theta }_{\text{(iv)}}>{\theta }_{\text{(iii)}}$.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 36.2, trang 1187–1190.