27.4 Chuyển động của hạt mang điện trong từ trường

Khi hạt mang điện , ở phương trình (27.2) làm thay đổi chuyển động của hạt theo các . Nếu vận tốc vuông góc với đều, lực luôn vuông góc với vận tốc. Vì vậy, lực không làm thay đổi độ lớn vận tốc mà chỉ đổi hướng chuyển động. Nói cách khác, lực từ không có thành phần song song với chuyển động nên không sinh công. Kết luận này vẫn đúng ngay cả khi từ trường không đều.

Do đó, nếu chỉ có tác dụng lên hạt, tốc độ của hạt luôn không đổi.

Quỹ đạo tròn trong từ trường đều

Xét hạt có dương $q$ tại điểm $O$, chuyển động với vận tốc vuông góc với đều $\overrightarrow{B}$ hướng vào mặt phẳng hình. Độ lớn không đổi và bằng $qvB$. Lực luôn vuông góc với vận tốc nên đóng vai trò lực hướng tâm. Hạt chuyển động tròn đều với bán kính $R$:

Quỹ đạo tròn của một điện tích dương và cung sáng do chùm electron trong từ trường vuông góc

Chú thích:

• Điện tích chuyển động vuông góc với từ trường đều sẽ chuyển động tròn với tốc độ không đổi vì lực từ và vận tốc luôn vuông góc nhau. (A charge moving at right angles to a uniform B field moves in a circle at constant speed because F and v are always perpendicular to each other.)
• Chùm electron. (Electron beam)
• Các cuộn dây tạo ra từ trường vuông góc với mặt phẳng ảnh. (Coils generate magnetic field perpendicular to plane of photo.)

Hình 27.17: Chuyển động của hạt trong . (a) Khi vận tốc vuông góc với từ trường đều, làm đổi hướng vận tốc nhưng giữ nguyên tốc độ. (b) Chùm electron tạo thành cung sáng khi đi qua từ trường vuông góc với mặt ảnh.

Đồng nhất với lực hướng tâm cho

$$\begin{array}{rl}F& =|q|vB\\ & =m\frac{v^2}{R}.\end{array}$$

(27.10)

Giải phương trình theo bán kính quỹ đạo:

$$R=\frac{mv}{|q|B}.$$

(27.11)

Hạt mang điện âm chuyển động theo chiều kim đồng hồ trong tình huống của Hình 27.17a. Chùm electron trong Hình 27.17b cũng uốn cong theo chiều đó.

Từ vận tốc góc $\omega =v/R$ và bán kính ở phương trình (27.11), suy ra

$$\omega =\frac{|q|B}{m}.$$

(27.12)

Tần số quay, tức số vòng hoàn thành trong một đơn vị thời gian, là $f=\omega /(2\pi )$. Tần số này không phụ thuộc bán kính quỹ đạo. Nó được gọi là tần số cyclotron. Trong máy gia tốc cyclotron, hạt chuyển động gần như theo các quỹ đạo tròn và được tăng tốc hai lần trong mỗi vòng. và bán kính quỹ đạo tăng dần, còn tốc độ góc và tần số quay giữ nguyên trong mô hình này. Một loại magnetron, nguồn phát vi ba dùng trong lò vi sóng và radar, phát ra sóng có tần số bằng tần số quay tròn của electron trong buồng chân không giữa các cực nam châm.

Quỹ đạo xoắn ốc trong từ trường đều

Nếu vận tốc ban đầu không vuông góc với , ta phân tích vận tốc thành hai thành phần. Thành phần song song với $\overrightarrow{B}$ không chịu nên không đổi. Thành phần vuông góc với $\overrightarrow{B}$ tạo chuyển động tròn đều, với bán kính tính từ phương trình (27.11) khi thay $v$ bằng độ lớn thành phần vuông góc $v_{\perp }$. Hai chuyển động đồng thời tạo thành một quanh .

Hạt mang điện có vận tốc song song và vuông góc với từ trường chuyển động theo đường xoắn ốc

Chú thích:

• Chuyển động của hạt gồm thành phần song song và thành phần vuông góc với từ trường, nên hạt đi theo đường xoắn ốc. (This particle’s motion has components both parallel (v∥) and perpendicular (v⊥) to the magnetic field, so it moves in a helical path.)

Hình 27.18: Thành phần vận tốc song song với tạo bước tiến dọc trục xoắn ốc, còn thành phần vuông góc tạo chuyển động tròn.

không đều có thể tạo ra những quỹ đạo phức tạp hơn. Chẳng hạn, từ trường do hai cuộn dây tròn đặt cách nhau tạo ra có thể làm hạt gần mỗi cuộn chịu lực hướng về vùng giữa. Hạt có tốc độ thích hợp sẽ xoắn ốc qua lại giữa hai đầu vùng đó. Vì có thể giữ các hạt mang điện trong vùng từ trường như vậy, cấu hình này được gọi là chai từ. Phương pháp này dùng để giam giữ plasma rất nóng, có nhiệt độ cỡ ${10}^6\mathrm{K}$, vì không vật liệu nào có thể làm bình chứa trực tiếp ở nhiệt độ ấy.

Các đường xoắn ốc của hạt bị giữ trong vùng từ trường giữa hai cuộn dây

Chú thích:

• Cuộn dây 1. (Coil 1)
• Cuộn dây 2. (Coil 2)

Hình 27.19: Các hạt gần hai đầu vùng bị đẩy về phía giữa, tạo điều kiện giam giữ khí đã ion hóa ở nhiệt độ rất cao.

không đều của Trái Đất cũng giữ các hạt mang điện đến từ Mặt Trời trong những vùng dạng vành khăn bao quanh hành tinh. Các vùng này gọi là vành đai bức xạ Van Allen, được phát hiện năm 1958 nhờ số liệu từ các thiết bị trên vệ tinh Explorer I. Gần hai cực, một số hạt đi vào khí quyển và tạo ra cực quang Bắc hoặc cực quang Nam.

Vành đai bức xạ Van Allen bao quanh Trái Đất và cực quang gần hai cực

Chú thích:

• Các hạt tích điện từ Mặt Trời đi vào từ trường Trái Đất. (Charged particles from sun enter earth’s magnetic field)
• Proton bị giữ trong vành đai bức xạ phía trong. (Protons trapped in inner radiation belts)
• Cực Bắc. (North Pole)
• Cực Nam. (South Pole)
• Electron bị giữ trong vành đai bức xạ phía ngoài. (Electrons trapped in outer radiation belts)

Hình 27.20: Proton bị giữ trong vành đai phía trong, electron trong vành đai phía ngoài. Một phần hạt đi vào khí quyển gần hai cực và tạo cực quang.

lên hạt mang điện còn được dùng để khảo sát các hạt cơ bản. Trong buồng bọt chứa hiđrô lỏng, một tia gamma cao có thể bật một electron khỏi nguyên tử hiđrô. Electron nhanh để lại vệt cong trong chất lỏng. Năng lượng va chạm còn tạo ra một electron khác và một positron, tức electron mang điện dương. Hai hạt cong theo hai chiều ngược nhau vì trái dấu. Khi đi qua hiđrô lỏng, chúng va chạm với các hạt mang điện khác nên mất dần năng lượng và tốc độ. Bán kính cong vì thế nhỏ dần như phương trình (27.11) dự đoán. Trong hình, tốc độ electron gần bằng tốc độ ánh sáng nên phương trình cổ điển (27.11) không áp dụng trực tiếp. Những thí nghiệm tương tự giúp xác định khối lượng và điện tích của các hạt mới được phát hiện.

Vệt cong trái chiều của electron và positron trong buồng bọt đặt trong từ trường

Chú thích:

• Positron chuyển động chậm (q > 0). (Slow-moving positron (q > 0))
• Đường đi của tia gamma tới. (Path of incoming gamma ray)
• Nguyên tử hiđrô. (Hydrogen atom)
• Electron chuyển động chậm (q < 0). (Slow-moving electron (q < 0))
• Electron chuyển động nhanh (q < 0). (Fast-moving electron (q < 0))

Hình 27.21: Tia gamma không để lại vệt nhưng có thể va chạm với electron, tạo thêm một cặp electron–positron có quỹ đạo cong theo hai chiều đối nhau.

Chiến lược giải bài toán: Chuyển động trong từ trường

Nhận diện. Khi phân tích chuyển động của hạt mang điện trong điện trường và , dùng định luật II Newton $\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ với hợp lực điện từ $q(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})$. Có thể bỏ qua các lực khác như trọng lực khi chúng không đáng kể. Nhiều bài toán gần với bài toán quỹ đạo và chuyển động tròn ở mục 3.3, 3.4 và 5.4.

Thiết lập. Xác định đại lượng cần tìm. Thường nên chọn hệ trục thuận tiện, rồi biểu diễn từng vectơ bằng các thành phần theo hệ trục ấy.

Thực hiện. Nếu hạt chuyển động vuông góc với đều, quỹ đạo là đường tròn với bán kính và tốc độ góc được cho bởi các phương trình (27.11) và (27.12). Với quỹ đạo phức tạp hơn, viết định luật II Newton theo từng thành phần. Cách làm này đặc biệt hữu ích khi đồng thời có điện trường và từ trường.

Đánh giá. Kiểm tra xem kết quả có hợp lí với hướng lực, chiều chuyển động và các đại lượng đầu vào hay không.

Ví dụ: Ví dụ 27.3: Chuyển động electron trong magnetron

Một magnetron trong lò vi sóng phát sóng điện từ có tần số $f=2450\mathrm{MHz}$. Cần có độ lớn bao nhiêu để electron chuyển động tròn với tần số này?

Nhận diện và thiết lập. Đây là chuyển động tròn như Hình 27.17a. Dùng phương trình (27.12) để tìm độ lớn $B$.

Thực hiện. Tốc độ góc ứng với tần số $f$ là

$$\begin{array}{rl}\omega & =2\pi f\\ & =2\pi (2450\times {10}^6{\mathrm{s}}^{-1})\\ & =1,54\times {10}^{10}{\mathrm{s}}^{-1}.\end{array}$$

Từ phương trình (27.12), cần có độ lớn

$$\begin{array}{rl}B& =\frac{m\omega }{|q|}\\ & =\frac{(9,11)(1,54)}{1,60}\times {10}^{-2}\mathrm{T}\\ & =\mathrm{0,087}7\mathrm{T}.\end{array}$$

Đây là vừa phải, có thể tạo ra bằng nam châm vĩnh cửu. Sóng điện từ tần số $2450\mathrm{MHz}$ có ích cho nấu và làm nóng thức ăn vì chúng được các phân tử nước hấp thụ mạnh.

Ý chính

Hạt mang điện chuyển động vuông góc với đều sẽ chuyển động tròn đều. Tần số chuyển động không phụ thuộc tốc độ của hạt, mà chỉ phụ thuộc độ lớn từ trường, độ lớn và khối lượng hạt.

Ví dụ: Ví dụ 27.4: Hạt chuyển động xoắn ốc trong từ trường

Một proton có $q=1,60\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ và khối lượng $m=1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$ đều $\mathrm{0,500}\mathrm{T}$ hướng theo trục $+x$. Tại $t=0$, các thành phần vận tốc là $v_x=1,50\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_y=0$ và $v_z=2,00\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Chỉ có tác dụng lên proton. (a) Tìm lực và gia tốc tại $t=0$. (b) Tìm bán kính đường xoắn ốc, tốc độ góc và bước xoắn, tức quãng đường dọc theo trục xoắn ốc trong một vòng.

Nhận diện và thiết lập. là $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$, còn định luật II Newton cho gia tốc. Vì lực vuông góc với vận tốc nên tốc độ proton không đổi. Bán kính được tính từ phương trình (27.11), trong đó dùng thành phần vận tốc vuông góc với . Phương trình (27.12) cho tốc độ góc. Từ đó tìm thời gian một vòng, rồi nhân với thành phần vận tốc song song với từ trường để được bước xoắn.

Thực hiện (a). Với $\overrightarrow{B}=B\hat{ı}$ và $\overrightarrow{v}=v_x\hat{ı}+v_z\hat{k}$, chỉ còn thành phần do $v_z$:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{F}& =q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\\ & =q(v_x\hat{ı}+v_z\hat{k})\times \left(B\hat{ı}\right)\\ & =q{v}_{z}B\hat{ȷ}\\ & =1,60\times {10}^{-14}\hat{ȷ}\mathrm{N}.\end{array}$$

Gia tốc proton là

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\frac{\overrightarrow{F}}{m}\\ & =9,58\times {10}^{12}\hat{ȷ}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Thực hiện (b). Vì $v_y=0$ và hướng theo $x$, thành phần vận tốc vuông góc với trường có độ lớn $v_{\perp }=v_z$. Bán kính xoắn ốc là

$$\begin{array}{rl}R& =\frac{m{v}_{\perp }}{|q|B}\\ & =4,18\times {10}^{-3}\mathrm{m}\\ & =4,18\mathrm{mm}.\end{array}$$

Tốc độ góc và chu kì quay lần lượt là

$$\begin{array}{rl}\omega & =\frac{|q|B}{m}\\ & =4,79\times {10}^7\mathrm{rad}/\mathrm{s},\\ T& =\frac{2\pi }{\omega }\\ & =1,31\times {10}^{-7}\mathrm{s}.\end{array}$$

Trong một chu kì, proton tiến dọc trục $x$ một đoạn

$$\begin{array}{rl}p& =v_{x}T\\ & =(1,50)(1,31)\times {10}^{-2}\mathrm{m}\\ & =\mathrm{0,019}7\mathrm{m}\\ & =19,7\mathrm{mm}.\end{array}$$

Đánh giá. rất nhỏ nhưng proton có khối lượng rất nhỏ nên gia tốc vẫn rất lớn. Bước xoắn gần gấp năm lần bán kính, vì vậy đường xoắn ốc này kéo dài hơn nhiều so với hình phác họa.

Ý chính

Trong đều, hạt mang điện có vận tốc vuông góc với từ trường chuyển động tròn đều. Tần số quay không phụ thuộc tốc độ hạt. Quỹ đạo tổng quát là đường xoắn ốc, gồm chuyển động thẳng đều song song với từ trường và chuyển động tròn đều vuông góc với từ trường.

Bài tập: Tự kiểm tra mục 27.4

(a) Nếu tăng gấp đôi tốc độ của hạt mang điện trong Hình 27.17a nhưng giữ nguyên , và khối lượng, bán kính quỹ đạo thay đổi thế nào? (i) Không đổi. (ii) Tăng gấp đôi. (iii) Tăng gấp bốn. (iv) Giảm còn một nửa. (v) Giảm còn một phần tư.

(b) Thời gian để hạt hoàn thành một vòng thay đổi thế nào? (i) Không đổi. (ii) Tăng gấp đôi. (iii) Tăng gấp bốn. (iv) Giảm còn một nửa. (v) Giảm còn một phần tư.

Lời giải

(a) Chọn (ii). Phương trình (27.11) cho thấy bán kính tỉ lệ thuận với tốc độ, nên khi tốc độ tăng gấp đôi thì bán kính cũng tăng gấp đôi.

(b) Chọn (i). Tốc độ góc ở phương trình (27.12) không phụ thuộc tốc độ tuyến tính. Vì vậy, thời gian một vòng $T=2\pi /\omega$ không đổi.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 27.4, trang 888–891.