Định luật Gauss trong điện môi

Gauss với ${\epsilon }_0$ luôn đếm toàn bộ điện tích, gồm điện tích tự do và điện tích liên kết. Trong tuyến tính, có thể viết lại định luật để chỉ cần điện tích tự do ở vế phải. Ta suy dạng ấy từ tụ phẳng đã xét.

Mặt Gauss đi qua biên dẫn và điện môi

Chọn một hộp nhỏ cắt qua bản dẫn dương và mặt gần bản. Hai mặt chính có diện tích A. Mặt trái nằm trong nên trường bằng không. Mặt phải nằm trong điện môi có trường E vuông góc. Bốn mặt bên có trường tiếp tuyến, nên không góp điện thông.

Hình 24.22: Hộp Gauss nằm một nửa trong vật dẫn, một nửa trong điện môi

Chú thích:

• Mặt Gauss (Gaussian surface)
• Điện môi (Dielectric)
• Vật dẫn (Conductor)
• Hình nhìn cạnh (Side view)
• Hình phối cảnh (Perspective view)

Hộp bao điện tích tự do +σA và điện tích liên kết −σᵢA. Đặt ${\sigma }_t=\sigma -{\sigma }_i$, Gauss cho:

$$EA=\frac{{\sigma }_{t}A}{{\epsilon }_0}.$$

(24.21)

Quan hệ này còn chứa hai đại lượng chưa biết E,σᵢ. Dùng đáp ứng tuyến tính σᵢ = σ(1 − 1/K) để có σ − σᵢ = σ/K. Do đó:

$$KEA=\frac{\sigma A}{{\epsilon }_0}.$$

(24.22)

Vế phải bây giờ chỉ chứa điện tích tự do trên bản dẫn. Vế trái là điện thông của K nhân , không phải điện thông của riêng điện trường.

Dạng tích phân

Đặt ${\mathrm{\Phi }}_{KE}=\oint K\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}$ và gọi Q_f là tổng điện tích tự do được bao. Đối với tuyến tính, đẳng hướng được xét, dạng tổng quát là:

$${\mathrm{\Phi }}_{KE}=Q_f/{\epsilon }_0.$$

(24.23)

Q_f là tổng đại số điện tích tự do bên trong mặt kín, không gồm điện tích liên kết. Pháp tuyến vẫn hướng ra ngoài.

K có thể khác nhau trên các phần mặt nằm trong các khác nhau. Khi ấy phải dùng K đúng tại từng điểm và giữ trong . Chỉ kéo K ra ngoài nếu nó không đổi trên toàn phần mặt được tích phân. Dạng này cần đáp ứng tuyến tính, tức K không phụ thuộc độ lớn trường. Với các trường không quá mạnh, điều kiện ấy đúng cho nhiều điện môi thông thường.

Gauss ban đầu vẫn đúng:

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{\mathrm{tong},\mathrm{trong}}}{{\epsilon }_0}.$$

Hai vế phải khác loại điện tích. Không thay ${\epsilon }_0$ bằng K${\epsilon }_0$ nhưng vẫn lấy tổng gồm điện tích liên kết, vì khi đó đã tính tác dụng hai lần.

Ví dụ 24.12: Tụ cầu được lấp bằng dầu cách điện

Tụ cầu ở Ví dụ 24.3 có hai bán kính rₐ,rᵦ. Lấp toàn khe bằng dầu cách điện có hằng số K. Dùng Gauss tìm .

Lời giải: Chi tiết

Xác định và thiết lập. đồng đều không làm mất đối xứng cầu. Chọn mặt cầu bán kính r trong khe. Trên đó K,E không đổi và trường theo pháp tuyến.

$$\begin{array}{rl}KE(4\pi r^2)& =Q/{\epsilon }_0,\\ E(r)& =\frac{Q}{4\pi K{\epsilon }_0{r}^2}\\ & =\frac{Q}{4\pi \epsilon r^2}.\end{array}$$

So với chân không ở cùng Q, trường bằng 1/K giá trị ban đầu, nên cũng giảm K lần. xuyên tâm cho:

$$\begin{array}{rl}{V}_{ab}& =\frac{Q}{4\pi \epsilon }(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}),\\ C& =Q/V_{ab}\\ & =4\pi K{\epsilon }_0\frac{r_a{r}_b}{r_b-r_a}\\ & =4\pi \epsilon \frac{r_a{r}_b}{r_b-r_a}.\end{array}$$

Đánh giá. gấp K lần giá trị chân không khi lấp toàn khe. Nếu chỉ lấp một phần, phải xét hình học và các vùng riêng, không dùng một K chung để nhân toàn C₀.

Bài tập: Câu hỏi ôn lại mục 24.6

Một nguồn điểm q dương nằm sâu trong khối rất lớn, đồng đều, hằng số K. Ở điểm cách nguồn r trong điện môi, độ lớn trường là (i) kq/r², (ii) Kkq/r², (iii) kq/(Kr²), hay (iv) không đáp án nào?

Lời giải: Giải thích

Chọn (iii). Mặt cầu đồng tâm có KE·4πr² = q/${\epsilon }_0$, nên E = kq/(Kr²). Mô hình khối rất lớn bỏ ảnh hưởng biên. Nếu q âm thì trường hướng vào và độ lớn dùng |q|.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 24.6, trang 801–802.