30.5. Mạch L-C

Các mạch điện R-C và R-L mà ta đã khảo sát ở các phần trước đều có một đặc điểm chung: Dòng điện, điện tích và hiệu điện thế luôn tiếp cận trạng thái dừng ổn định theo quy luật hàm mũ suy giảm. Trái lại, một mạch điện chỉ chứa một $L$ và một $C$ lại biểu hiện một phương thức hoạt động hoàn toàn mới: Hiện tượng dao động điện từ điều hòa.

Trong , điện tích trên các bản và cường độ dòng điện qua biến thiên tuần hoàn theo thời gian. Năng lượng của hệ không bị tiêu tán thành nhiệt (khi bỏ qua điện trở của dây dẫn), mà liên tục chuyển hóa qua lại giữa năng lượng điện trường trong tụ điện và trong cuộn cảm.

---

Cơ chế dao động trong mạch L-C

Để khảo sát trực quan quá trình dao động, ta xét mạch điện ở Hình 30.14. Ban đầu, được nạp đến hiệu điện thế $V_m$, tích lũy điện tích cực đại $Q_m=C{V}_m$ với bản cực bên trái mang điện tích dương và bản cực bên phải mang điện tích âm. Tại thời điểm $t=0$, ta đóng công tắc nối tụ điện với .

Hình 30.14: Sự biến thiên của điện tích trên tụ điện, dòng điện qua cuộn cảm và sự chuyển hóa năng lượng trong một chu kỳ dao động của mạch L-C.

Chú thích:

• Đóng công tắc tại thời điểm t = 0. (close switch at t = 0)
• Tụ điện tích đầy; dòng điện bằng không. (Capacitor fully charged; zero current)
• Tụ phóng hết điện; dòng điện cực đại. (Capacitor fully discharged; current maximal)
• Bản cực tụ điện đảo dấu. (Capacitor polarity reverses.)
• Chiều dòng điện đảo ngược. (Current direction reverses.)
• Tụ đang phóng điện; dòng I đang tăng. (Capacitor discharging; I increasing)
• Tụ đang nạp điện; dòng I đang giảm. (Capacitor charging; I decreasing)
• Toàn bộ năng lượng mạch tích trữ trong điện trường. (Circuit’s energy all stored in electric field)
• Toàn bộ năng lượng mạch tích trữ trong từ trường. (Circuit’s energy all stored in magnetic field)
• Bằng không. (zero)

Diễn biến của một chu kỳ dao động hoàn chỉnh diễn ra qua các giai đoạn sau:

1. Giai đoạn (a), tại $t=0$: tích điện cực đại $q=Q_m$, dòng điện qua mạch bằng không ($i=0$). Toàn bộ năng lượng của mạch được tích lũy dưới dạng năng lượng điện trường trong tụ điện:

   $$E=U_E=\frac{Q_m^2}{2C}$$

2. Từ giai đoạn (a) sang giai đoạn (b): bắt đầu phóng điện qua . Do xuất hiện suất điện động chống lại sự tăng của dòng điện, cường độ dòng điện không thể tăng đột ngột mà tăng dần từ không. Dòng điện chạy ngược chiều kim đồng hồ, làm giảm điện tích trên bản cực bên trái của tụ. Điện trường trong tụ giảm dần, đồng thời từ trường trong lòng cuộn cảm mạnh lên.

3. Giai đoạn (b), tại $t=T/4$: phóng hết điện tích ($q=0$), hiệu điện thế giữa hai bản tụ bằng không. Cường độ dòng điện qua đạt giá trị cực đại $I_m$. Toàn bộ năng lượng của hệ lúc này chuyển hóa hoàn toàn thành trong cuộn cảm:

   $$E=U_B=\frac{1}{2}L{I}_m^2$$

4. Từ giai đoạn (b) sang giai đoạn (c): Mặc dù đã phóng hết điện, dòng điện không thể dừng lại ngay lập tức. Suất điện động của có xu hướng duy trì dòng điện, tiếp tục đẩy điện tích dương về phía bản cực bên phải của tụ điện. Tụ điện bắt đầu được nạp điện theo chiều ngược lại, với bản phải mang điện dương và bản trái mang điện âm. Cường độ dòng điện giảm dần về không.

5. Giai đoạn (c), tại $t=T/2$: Dòng điện giảm về không ($i=0$), được nạp đầy hoàn toàn với cực tính đảo ngược ($q=-Q_m$). Toàn bộ năng lượng lại quay về tích lũy trong điện trường của tụ điện.

6. Từ giai đoạn (c) sang giai đoạn (d): lại bắt đầu phóng điện, nhưng lần này dòng điện chạy theo chiều kim đồng hồ. Năng lượng điện trường lại chuyển hóa dần thành trong .

7. Giai đoạn (d), tại $t=3T/4$: Điện tích trên tụ lại bằng không ($q=0$), dòng điện theo chiều kim đồng hồ đạt giá trị cực đại $I_m$. Toàn bộ năng lượng lại nằm trong từ trường của .

8. Trở lại giai đoạn (a), tại $t=T$: Dòng điện tiếp tục nạp lại cho với bản trái dương và bản phải âm, đưa hệ trở về trạng thái ban đầu tại thời điểm $t=T$. Chu kỳ dao động mới lại tiếp diễn.

---

Thiết lập phương trình vi phân dao động

Để mô tả định lượng dòng điện và điện tích, ta áp dụng Kirchhoff cho mạch điện ở Hình 30.15.

Hình 30.15: Quy ước dấu của điện tích q và chiều dòng điện i khi áp dụng quy tắc vòng Kirchhoff cho mạch L-C.

Chú thích:

• Chiều đi vòng khi áp dụng quy tắc Kirchhoff. (Travel)

Ta quy ước dấu một cách chặt chẽ:

• Gọi $q$ là điện tích trên bản cực bên trái của .
• Chiều dương của dòng điện $i$ được chọn là chiều đi vào bản cực bên trái của tụ. Theo định nghĩa này:
  $$i=\frac{dq}{dt}$$
  Khi $i>0$, điện tích $q$ trên bản cực bên trái tăng lên. Ngược lại, khi đang phóng điện và bản cực trái mất bớt điện tích dương, dòng điện $i$ mang giá trị âm.

Chọn chiều đi vòng theo chiều kim đồng hồ quanh mạch kín. Đi qua từ bản trái sang bản phải làm điện thế giảm một lượng $-v=-q/C$. Đi qua theo chiều mũi tên làm điện thế biến thiên một lượng $-L(di/dt)$. Tổng độ biến thiên điện thế quanh vòng kín bằng không:

$$-L\frac{di}{dt}-\frac{q}{C}=0$$

Vì $i=dq/dt$, ta có bậc hai $di/dt=d^{2}q/d{t}^2$. Thay vào phương trình (30.20) và chia hai vế cho $-L$:

$$\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}q=0$$

(30.20)

Phương trình vi phân này có dạng hoàn toàn trùng khớp với phương trình vi phân của cơ học ở con lắc lò xo:

$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$

Trong đó:

• Li độ $x$ tương ứng với điện tích $q$ trên .
• Vận tốc $v_x=dx/dt$ tương ứng với dòng điện $i=dq/dt$.
• Khối lượng $m$ (quán tính cơ học) tương ứng với $L$ (quán tính điện từ).
• Độ cứng lò xo $k$ tương ứng với nghịch đảo của , tức $1/C$.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

$$q(t)=Q\cos (\omega t+\varphi )$$

(30.21)

Trong đó $Q$ là điện tích cực đại trên , $\varphi$ là pha ban đầu, và tần số góc riêng của mạch dao động là:

$$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}}$$

(30.22)

Kiểm tra nghiệm: Hãy lấy hai của (30.21) để xác nhận nghiệm điện tích thỏa phương trình (30.20) khi tần số góc có giá trị (30.22).

Xem phép kiểm tra

$$\begin{array}{rl}{q}^{″}& =-{\omega }^{2}q,\\ q^{″}+\frac{q}{LC}& =-{\omega }^{2}q+\frac{q}{LC}\\ & =0.\end{array}$$

Tần số dao động $f$ và chu kỳ dao động $T$ được xác định bởi:

$$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

$$T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{LC}$$

Cường độ dòng điện tức thời trong mạch là theo thời gian của điện tích:

$$\begin{array}{rl}i(t)& =\frac{dq}{dt}\\ & =-\omega Q\sin (\omega t+\varphi )\end{array}$$

(30.23)

Biên độ cực đại của dòng điện là $I_m=\omega Q$. So sánh phương trình (30.21) và (30.23), ta thấy dòng điện $i(t)$ lệch pha $\pi /2$ so với điện tích $q(t)$. Khi điện tích đạt cực đại thì dòng điện bằng không, và khi điện tích bằng không thì dòng điện đạt độ lớn cực đại.

Nếu tại thời điểm ban đầu $t=0$, bản cực bên trái của có điện tích cực đại $q=Q$ và dòng điện trong mạch bằng không ($i=0$), ta suy ra pha ban đầu $\varphi =0$.

Nếu điện tích bằng không tại $t=0$ thì có thể chọn $\varphi =\pm \pi /2$. Dấu cụ thể được quyết định bởi chiều dòng ban đầu.

---

Sự tương tự cơ học và bảo toàn năng lượng

Trong cơ học, vận tốc của một vật liên hệ với li độ theo biểu thức:

$$v_x=\pm \sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{A^2-x^2}$$

(30.24)

Đối với , vì không có điện trở làm tiêu hao năng lượng, tổng năng lượng điện trường và từ trường là một đại lượng bảo toàn:

$$\begin{array}{rl}E& =U_B+U_E\\ & =\frac{1}{2}L{i}^2+\frac{q^2}{2C}\\ & =\frac{Q^2}{2C}\end{array}$$

(30.25)

Từ phương trình bảo toàn năng lượng (30.25), ta rút ra biểu thức xác định cường độ dòng điện $i$ theo điện tích tức thời $q$:

$$i=\pm \sqrt{\frac{1}{LC}}\sqrt{Q^2-q^2}$$

(30.26)

Biểu thức (30.26) hoàn toàn tương ứng với hệ thức cơ học (30.24). Khi thay $q=Q\cos (\omega t+\varphi )$ và $i=-\omega Q\sin (\omega t+\varphi )$ vào (30.25), ta thấy tổng năng lượng luôn bằng $Q^2/(2C)$ tại mọi thời điểm nhờ hệ thức lượng giác ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Kiểm tra quan hệ dòng, điện tích: Hãy thế nghiệm $q(t),i(t)$ vào (30.26). Bình phương hai vế cho cùng giá trị nhờ $1-{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$. Dấu của dòng sau khi lấy căn phải phù hợp dấu điện tích ở thời điểm xét.

Hình: Bảng 30.1 đối chiếu chi tiết sự tương tự giữa các đại lượng cơ học của hệ con lắc lò xo và các đại lượng điện từ trong mạch dao động L-C.

Chú thích:

• Bảng 30.1: Dao động của hệ lò xo–vật nặng so sánh với dao động điện trong mạch L-C. (TABLE 30.1 Oscillation of a Mass-Spring System Compared with Electrical Oscillation in an L-C Circuit)
• Hệ con lắc lò xo (lò xo–vật nặng). (Mass-Spring System)
• Động năng. (Kinetic energy)
• Thế năng. (Potential energy)
• Mạch cuộn cảm–tụ điện (L-C). (Inductor-Capacitor Circuit)
• Năng lượng từ trường. (Magnetic energy)
• Năng lượng điện trường. (Electrical energy)

Dưới đây là bảng tổng hợp các đại lượng tương tự giữa dao động cơ và dao động điện:

Hệ con lắc lò xo (Cơ học)	Mạch dao động L-C (Điện từ)
Li độ $x$	Điện tích $q$ trên
Vận tốc $v_x=dx/dt$	Dòng điện $i=dq/dt$
Khối lượng $m$ (đo mức quán tính)	$L$ (quán tính từ tính)
Độ cứng lò xo $k$	Nghịch đảo $1/C$
Động năng: $K=\frac{1}{2}m{v}_x^2$	: $U_B=\frac{1}{2}L{i}^2$
Thế năng đàn hồi: $U=\frac{1}{2}k{x}^2$	Năng lượng điện trường: $U_E=\frac{q^2}{2C}$
Cơ năng được bảo toàn	Năng lượng điện từ được bảo toàn
Tần số góc: $\omega =\sqrt{k/m}$	Tần số góc: $\omega =\sqrt{1/(LC)}$
Li độ $x(t)$	Điện tích $q(t)$

Các biểu thức bảo toàn cơ năng và nghiệm li độ được viết riêng để đọc rõ từng số hạng:

$$\begin{array}{rl}{E}_m& =\frac{1}{2}m{v}_x^2+\frac{1}{2}k{x}^2\\ & =\frac{1}{2}k{A}^2,\\ x(t)& =A\cos (\omega t+\varphi ).\end{array}$$

Đối với , biểu thức năng lượng ở (30.25) và nghiệm điện tích ở (30.21) đóng vai trò tương ứng.

Bảng 30.1 nêu rõ mối tương quan trực diện giữa hai hệ thống vật lý:

• Li độ $x$ của vật nặng tương ứng với điện tích tức thời $q$ trên bản , và vận tốc tức thời $v_x=dx/dt$ tương ứng với dòng điện tức thời $i=dq/dt$.
• Khối lượng $m$ đại diện cho mức quán tính cơ học chống lại sự thay đổi vận tốc, tương ứng với $L$ là quán tính từ tính chống lại sự thay đổi đột ngột của dòng điện.
• Hằng số đàn hồi của lò xo $k$ tỉ lệ thuận với lực hồi phục kéo vật về vị trí cân bằng, tương ứng với nghịch đảo $1/C$ quyết định hiệu điện thế đưa điện tích trở về trạng thái trung hòa.
• Động năng cơ học $K=\frac{1}{2}m{v}_x^2$ chuyển đổi qua lại với thế năng đàn hồi $U=\frac{1}{2}k{x}^2$, hoàn toàn tương đồng với trong $U_B=\frac{1}{2}L{i}^2$ chuyển hóa liên tục với năng lượng điện trường trong $U_E=\frac{q^2}{2C}$.
• Quan hệ vận tốc–li độ ở (30.24) tương ứng với quan hệ dòng–điện tích ở (30.26). Cả hai được suy từ bảo toàn năng lượng của hệ không hao phí.

Sự tương đồng sâu sắc này là cơ sở nguyên lý của các máy tính tương tự (analog computer), cho phép giải các bài toán dao động cơ học phức tạp bằng cách thiết lập các mạch điện tương đương và đo đạc các dòng điện, điện thế tương ứng.

Sự tương tự còn mở rộng sang ở mục tiếp theo và dao động điện cưỡng bức trong mạch xoay chiều ở chương 31.

---

Các ví dụ minh họa và câu hỏi tự kiểm

Ví dụ: Ví dụ 30.8: Khảo sát mạch dao động L-C

Một nguồn điện một chiều có hiệu điện thế $300\text{ V}$ được dùng để nạp điện cho một có điện dung $C=25\mu \text{F}$. Sau khi tụ được nạp đầy, ta ngắt tụ khỏi nguồn rồi nối hai đầu tụ với một có $L=10\text{ mH}$. Điện trở của mạch là không đáng kể.

1. Tìm tần số và chu kỳ dao động của mạch.
2. Tìm điện tích trên và cường độ dòng điện trong mạch tại thời điểm $t=1,2\text{ ms}$ sau khi nối tụ với .

Nhận dạng và chuẩn bị: Mạch điện không có điện trở nên dao động là thuần túy. Ta tính tần số góc $\omega$ từ phương trình (30.22), từ đó suy ra tần số $f$ và chu kỳ $T$. Điện tích ban đầu cực đại của tụ là $Q=CV$. Vì tại $t=0$ dòng điện bằng không và tụ có điện tích cực đại, pha ban đầu $\varphi =0$. Sau đó áp dụng phương trình (30.21) và (30.23) để tính $q$ và $i$ tại $t=1,2\text{ ms}$.

Lời giải:

1. Tần số góc dao động của mạch là:
   $$$$

\omega &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \ &= \frac{1}{\sqrt{(10\text{ mH})(25\ \mu\text{F})}} \ &= \frac{1}{\sqrt{2{,}5 \times 10^{-7}\text{ s}^2}} \ &= 2{,}0 \times 10^3\text{ rad/s} \end

$$Tầnsốdaođộngcủamạchlà:$$

\begin{aligned} f &= \frac{\omega}{2\pi} \ &= \frac{2{,}0 \times 10^3\text{ rad/s}}{2\pi} \ &\approx 318\text{ Hz} \approx 320\text{ Hz} \end

$$Chukỳdaođộnglà:$$

\begin{aligned} T &= \frac{1}{f} \ &= \frac{1}{318\text{ Hz}} \ &\approx 3{,}14 \times 10^{-3}\text{ s} = 3{,}1\text{ ms} \end

$$2.Điệntíchcựcđạibanđầucủatụđiện:$$

\begin{aligned} Q &= C V \ &= (25\ \mu\text{F})(300\text{ V}) \ &= 7{,}5\text{ mC} \end

$$Phươngtrìnhđiệntíchvàdòngđiệntheothờigian:$$

\begin{aligned} q(t) &= Q\cos(\omega t) \ &= (7{,}5\text{ mC})\cos(\omega t) \end

$$$$

\begin{aligned} I_m &= \omega Q \ &= (2000\text{ rad/s})(7{,}5\text{ mC}) \ &= 15\text{ A} \end

$$$$

i(t) = -(15\text{ A})\sin(\omega t)

$$Tạithờiđiểm\$t=1,2\text{ ms}=1,2\times {10}^{-3}\text{ s}\$,gócphalà:$$

\begin{aligned} \omega t &= (2000\text{ rad/s})(1{,}2\text{ ms}) \ &= 2{,}4\text{ rad} \end

$$Tínhcácgiátrịlượnggiáctươngứng:Tacó\$\cos (2,4\text{ rad})\approx -\mathrm{0,737}4\$và\$\sin (2,4\text{ rad})\approx \mathrm{0,675}5\$.Thayvàophươngtrìnhtađược:$$

\begin{aligned} q &= (7{,}5\text{ mC})(-0{,}7374) \ &\approx -5{,}5\text{ mC} \end

$$$$

\begin{aligned} i &= -(15\text{ A})(0{,}6755) \ &\approx -10{,}1\text{ A} \approx -10\text{ A} \end

$$\ast \ast Đánhgiá:\ast \ast Vìchukỳdaođộnglà\$T=3,1\text{ ms}\$,thờiđiểm\$t=1,2\text{ ms}\$tươngứngvới\$t\approx 0,38T\$.Thờiđiểmnàynằmgiữa\$T/4=0,25T\$(giaiđoạnb)và\$T/2=0,50T\$(giaiđoạnc).Ởvịtrínày,bảntụbêntráimangđiệntíchâmđangtiếptụcnạp,vàdòngđiệnngượcchiềukimđồnghồđanggiảmdầnvềkhông.Dấuâmcủacả\$q\$và\$i\$hoàntoànphùhợpvớidựđoánhìnhhọctừsơđồdaođộng.$$

---

Ví dụ: Ví dụ 30.9: Phân bố năng lượng trong mạch L-C

Đối với mạch dao động L-C ở Ví dụ 30.8, hãy tính và năng lượng điện trường tại hai thời điểm:

1. Tại thời điểm ban đầu $t=0$.
2. Tại thời điểm $t=1,2\text{ ms}$.

Nhận dạng và chuẩn bị: tích trữ trong là $U_B=\frac{1}{2}L{i}^2$, và năng lượng điện trường tích trữ trong là $U_E=q^2/(2C)$. Sử dụng các giá trị điện tích và dòng điện đã tìm được ở Ví dụ 30.8 để tính toán và kiểm tra định luật bảo toàn năng lượng.

Lời giải:

1. Tại thời điểm $t=0$, dòng điện $i=0$ và điện tích $q=Q=7,5\times {10}^{-3}\text{ C}$:
   $$U_B=\frac{1}{2}L{i}^2=0$$
   $$$$

U_E &= \frac{Q^2}{2C} \ &= \frac{(7{,}5\text{ mC})^2}{2(25\ \mu\text{F})} \ &= \frac{56{,}25 \times 10^{-6},\mathrm{C^2}}{50 \times 10^{-6},\mathrm F} \ &= 1{,}125\text{ J} \approx 1{,}1\text{ J} \end

$$Tổngnănglượngcủamạchtại\$t=0\$là\$E=U_B+U_E=\mathrm{1,125}\text{ J}\approx 1,1\text{ J}\$.2.Tạithờiđiểm\$t=1,2\text{ ms}\$,tacó\$i=-10,13\text{ A}\$và\$q=-5,53\times {10}^{-3}\text{ C}\$:$$

\begin{aligned} U_B &= \frac{1}{2}L i^2 \ &= \frac{1}{2}(10\text{ mH})(-10{,}13\text{ A})^2 \ &\approx 0{,}513\text{ J} \end

$$$$

\begin{aligned} U_E &= \frac{q^2}{2C} \ &= \frac{(-5{,}53\text{ mC})^2}{2(25\ \mu\text{F})} \ &= \frac{30{,}58 \times 10^{-6},\mathrm{C^2}}{50 \times 10^{-6},\mathrm F} \ &\approx 0{,}612\text{ J} \approx 0{,}6\text{ J} \end

$$Tổngnănglượngtạithờiđiểmnàylà:$$

\begin{aligned} E &= U_B + U_E \ &= 0{,}513\text{ J} + 0{,}612\text{ J} \ &= 1{,}125\text{ J} \approx 1{,}1\text{ J} \end

$$\ast \ast Đánhgiá:\ast \ast Nănglượngđiệnvànănglượngtừbằngnhautạithờiđiểm\$t=3T/8=\mathrm{0,375}T\$.Vìthờiđiểm\$t=1,2\text{ ms}\approx 0,38T\$hơimuộnhơn\$\mathrm{0,375}T\$mộtchút,nănglượngtừtrường\$U_B\$hơinhỏhơnnănglượngđiệntrường\$U_E\$.Ởmọithờiđiểm,tổngnănglượng\$U_B+U_E\$luônkhôngđổivàbằng\$\mathrm{1,125}\text{ J}\$,đúngnhưđịnhluậtbảotoànnănglượngyêucầu.$$

---

Bài tập: Câu hỏi tự kiểm 30.5

Một cách tiếp cận trực quan để hiểu về năng lượng tích trữ trong là xem xét công do các phần tử mạch thực hiện lên các điện tích chuyển động qua lại:

1. Trong quá trình chuyển biến từ giai đoạn (a) sang giai đoạn (b) ở Hình 30.14, sinh công dương hay công âm lên các điện tích chuyển động?
2. Lực mà tác dụng lên các điện tích để thực hiện công này thuộc loại lực nào (lực điện hay lực từ)?
3. Cũng trong quá trình đó, sinh công dương hay công âm lên các điện tích chuyển động?
4. Lực mà tác dụng lên các điện tích thuộc loại lực nào (lực điện hay lực từ)?

Đáp án và giải thích

Đáp án:

1. sinh công dương.
2. Lực điện.
3. sinh công âm.
4. Lực điện.

Giải thích chi tiết:

• Trong quá trình từ (a) sang (b), tụ mất năng lượng nên sinh công dương lên các điện tích. Điện trường do điện tích tụ tạo ra đẩy dòng trong dây ngoài rời bản dương và đi về phía bản âm.
• Cùng lúc đó, dòng điện qua tăng dần, tích lũy trong cuộn cảm tăng lên. Do cuộn cảm nhận thêm năng lượng, nó sinh công âm lên dòng điện tích chuyển động.
• Mặc dù năng lượng tích trữ trong là , lực mà cuộn cảm tác dụng trực tiếp lên các điện tích chuyển động trong dây dẫn lại là lực điện. Lực điện không tĩnh này xuất phát từ suất điện động do từ thông biến thiên gây ra trong lòng cuộn dây.

Lực từ $q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ vuông góc vận tốc nên không trực tiếp sinh công lên hạt tải. Sự trao đổi năng lượng trong câu hỏi này gắn với lực điện.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 30.5, trang 1002–1006.