34.1. Phản xạ và khúc xạ tại mặt phẳng

Một gương phẳng khiến ta thấy vật ở phía sau gương, mặc dù các tia tới mắt chỉ đi ở phía trước. Vậy vị trí ảnh được xác định bằng đường đi thật của tia hay bằng đường kéo dài của chúng?

Vật điểm, vật có kích thước và điểm ảnh

Trong quang học, vật là đối tượng từ đó các truyền ra. Vật có thể tự phát sáng như dây tóc bóng đèn. Nó cũng có thể phản xạ ánh sáng từ đèn hay Mặt Trời, như trang giấy đang được đọc.

Hình 34.1: Các tia truyền từ vật điểm P tới hai mắt theo những hướng khác nhau. Muốn nhìn trực tiếp vật, đường truyền tới mắt không bị che.

Các tia từ $P$ tới mắt trái và mắt phải có các góc khác nhau. Não xử lý những khác biệt đó để suy khoảng cách tới vật. Để phân tích hình học, ta bắt đầu bằng vật điểm, tức vật lý tưởng không có kích thước. có chiều dài, rộng, cao là vật có kích thước, có thể xem như tập hợp nhiều vật điểm.

Xét các tia từ $P$ tới một mặt phản xạ phẳng, nhẵn như Hình 34.2. Mặt phân cách giữa hai có thể phản xạ một phần ánh sáng, còn kim loại được đánh bóng có thể phản xạ gần như toàn bộ.

Trong sơ đồ, mặt phản xạ là đường đen với phần tô phía sau. Ta bỏ qua tác dụng của lớp kính mỏng bảo vệ phía trước gương thông thường.

Hình 34.2: Tia từ P phản xạ trên gương phẳng rồi tới mắt, có phương như phát ra từ điểm ảnh P′ phía sau gương.

Chú thích:

• Điểm vật, nguồn phát các tia (Object point: Source of rays)
• Điểm ảnh, nguồn biểu kiến của các tia phản xạ (Image point: Apparent source of reflected rays)
• Gương phẳng (Plane mirror)

Pháp tuyến của gương phẳng có cùng phương ở mọi điểm. Theo định luật phản xạ, góc phản xạ bằng góc tới. Sau phản xạ, các tia có phương như cùng xuất phát từ $P^{\prime }$. Ta gọi $P$ là điểm vật và $P^{\prime }$ là điểm ảnh tương ứng.

Người chỉ nhìn các tia phản xạ có thể cho rằng chúng xuất phát từ $P^{\prime }$. Như vậy, điểm ảnh mô tả phương của các tia rời hệ, tương tự điểm vật mô tả các tia đi tới hệ. Nếu mặt bị nhám, các hướng phản xạ không còn quy về một điểm ảnh rõ. Đánh bóng kim loại làm mặt nhẵn hơn và khôi phục ảnh phản xạ.

Mặt khúc xạ phẳng cũng có thể tạo ảnh. Khi các góc tới nhỏ, tia từ $P$ sau khúc xạ có các phương gần như xuất phát từ cùng một điểm $P^{\prime }$ như Hình 34.3. Đó là lý do vật dưới nước có vẻ gần mặt nước hơn vị trí thật khi nhìn từ không khí.

Hình 34.3: Ảnh qua mặt khúc xạ phẳng ở gần đúng góc nhỏ. Khi na lớn hơn nb, P′ gần mặt phân cách hơn P. Khi na nhỏ hơn nb, quan hệ ngược lại.

Chú thích:

• Khi na lớn hơn nb, P′ gần mặt hơn P. Khi na nhỏ hơn nb, quan hệ ngược lại (When na > nb, P′ is closer to the surface than P; for na < nb, the reverse is true.)
• Điểm vật, nguồn phát các tia (Object point: Source of rays)
• Điểm ảnh, nguồn biểu kiến của các tia khúc xạ (Image point: Apparent source of refracted rays)

Ở Hình 34.2 và 34.3, các tia ra không thật sự đi qua $P^{\prime }$. Với gương đục, phía sau gương thậm chí không có những tia đó. Ảnh có đặc điểm này là . Nếu các tia ra thật sự đi qua điểm ảnh, ảnh là ảnh thật. Ảnh trên màn chiếu, cảm biến máy ảnh và võng mạc là các ví dụ về ảnh thật.

Dựng ảnh qua gương phẳng

Đặt vật điểm $P$ trước gương, cách gương một khoảng hình học $s$. Tia $PV$ tới theo pháp tuyến và phản xạ ngược trên chính đường đó. Tia $PB$ tạo góc $\theta$ với $PV$, gặp gương tại $B$ rồi phản xạ với cùng góc $\theta$ so với pháp tuyến.

Hình 34.4: Hai tam giác PVB và P′VB bằng nhau. Điểm ảnh P′ nằm sau gương một khoảng bằng khoảng vật P ở trước gương.

Chú thích:

• Sau phản xạ, mọi tia từ P có vẻ phân kỳ từ P′. Các tia không thật sự đi qua P′ nên ảnh là ảo (After reflection, all rays originating at P diverge from P′. Because the rays do not actually pass through P′, the image is virtual.)
• Hai tam giác PVB và P′VB bằng nhau, nên hai khoảng cách có độ lớn bằng nhau (Triangles PVB and P′VB are congruent, so |s| = |s′|.)
• Khoảng vật (Object distance)
• Khoảng ảnh (Image distance)

Kéo dài hai tia phản xạ về phía sau gương, chúng gặp nhau tại $P^{\prime }$. Hai tam giác vuông $PVB$ và $P^{\prime }VB$ có cạnh $VB$ chung và các góc tương ứng bằng nhau nên bằng nhau. Do đó khoảng cách hình học từ $P^{\prime }$ tới gương bằng khoảng cách từ $P$ tới gương. Đường nối hai điểm vuông góc mặt gương.

Lặp phép dựng với bất kỳ tia nào phát từ $P$ đều cho cùng điểm $P^{\prime }$. Vì vậy vị trí ảnh không phụ thuộc vị trí người nhìn, miễn là có các tia phản xạ thích hợp tới mắt.

Quy tắc dấu thống nhất

Trước khi đưa dấu vào khoảng cách, cần phân biệt phía tia đi tới với phía tia đi ra. Quy ước sau dùng được cho mặt phản xạ, mặt khúc xạ phẳng hoặc cầu và thấu kính:

1. $s$ dương khi vật nằm cùng phía mặt đang xét với ánh sáng tới. Nếu ở phía còn lại, $s$ âm.
2. $s^{\prime }$ dương khi ảnh nằm cùng phía mặt với ánh sáng đi ra. Nếu ở phía còn lại, $s^{\prime }$ âm.
3. Bán kính cong $R$ dương khi tâm cong $C$ nằm cùng phía mặt với ánh sáng đi ra. Nếu ở phía còn lại, $R$ âm.

Hình 34.5: Trong hai cấu hình được vẽ, vật ở phía ánh sáng tới nên s dương. Ảnh ở phía đối diện ánh sáng đi ra nên s′ âm. Phía tới và phía ra giống nhau với gương, nhưng khác nhau với mặt khúc xạ.

Chú thích:

• Gương phẳng (Plane mirror)
• Mặt khúc xạ phẳng (Plane refracting interface)
• Tia đi ra (Outgoing)
• Tia đi tới (Incoming)
• Trong cả hai trường hợp cụ thể này (In both of these specific cases:)
• Khoảng vật s dương vì vật nằm cùng phía với ánh sáng tới (Object distance s is positive because the object is on the same side as the incoming light.)
• Khoảng ảnh s′ âm vì ảnh không nằm cùng phía với ánh sáng đi ra (Image distance s′ is negative because the image is NOT on the same side as the outgoing light.)

Với gương, tia tới và tia ra ở cùng một phía. Với mặt khúc xạ, chúng ở hai phía khác nhau. Vì vậy không thể quyết định dấu chỉ bằng việc nhìn điểm đó nằm bên trái hay bên phải trang giấy.

Trong cấu hình gương phẳng đang xét, ở phía tới nên $s>0$. Ảnh ảo ở phía sau gương, đối diện phía tia ra, nên $s^{\prime }<0$. Hai khoảng cách có độ lớn bằng nhau nhưng trái dấu:

$$s=-s^{\prime }.$$

(34.1)

Với mặt phẳng, bán kính cong có độ lớn vô hạn nên chưa cần dùng quy tắc thứ ba. Quy tắc ấy sẽ quyết định dấu ở các mặt cầu trong những mục sau. Các hệ quy ước khác có thể dùng dấu khác, vì vậy phải giữ nhất quán quy ước cùng phương trình tương ứng.

Ảnh của vật có kích thước và độ phóng đại ngang

Xét mũi tên $PQ$ song song mặt gương, cao $y$. Dựng ảnh cho từng điểm của mũi tên. Tia từ đầu $Q$ sau phản xạ có vẻ xuất phát từ $Q^{\prime }$, còn $P$ cho ảnh $P^{\prime }$. Những điểm ở giữa cũng có các ảnh tương ứng giữa $P^{\prime }$ và $Q^{\prime }$.

Hình 34.6: Ảnh mũi tên qua gương phẳng có cùng chiều cao và cùng hướng ngang với vật.

Chú thích:

• Với gương phẳng, hai tam giác PQV và P′Q′V bằng nhau, nên y bằng y′ và ảnh có cùng kích thước với vật, độ phóng đại ngang bằng 1 (For a plane mirror, PQV and P′Q′V are congruent, so y = y′ and the object and image are the same size (the lateral magnification is 1).)
• Vật (Object)
• Ảnh (Image)

Hai tam giác $PQV$ và $P^{\prime }{Q}^{\prime }V$ bằng nhau, nên chiều cao ảnh $y^{\prime }$ bằng $y$. Định nghĩa :

$$m=\frac{y^{\prime }}{y}.$$

(34.2)

Với gương phẳng, $m=+1$. Ảnh có cùng kích thước với vật. Khi hai mũi tên ngang cùng hướng, $y$ và $y^{\prime }$ cùng dấu, ảnh được gọi là cùng chiều và $m>0$. Khi hai mũi tên ngược hướng, chúng trái dấu, ảnh ngược chiều và $m<0$.

Gương đảo trước–sau như thế nào?

Vật ba chiều cho ba chiều có cùng kích thước, như Hình 34.7. Quan hệ giữa vật và ảnh giống quan hệ giữa bàn tay phải và bàn tay trái.

Hình 34.7: Gương phẳng cho ảnh ảo, cùng chiều ngang và cùng kích thước, nhưng đảo phương trước–sau.

Chú thích:

• Ảnh qua gương phẳng đảo trước–sau, ngón cái ảnh P′R′ và ngón cái vật PR hướng ngược nhau, về phía nhau (An image made by a plane mirror is reversed back to front: The image thumb P′R′ and object thumb PR point in opposite directions (toward each other).)
• Vật (Object)
• Ảnh (Image)

Câu hỏi: Vì sao người ta thường nói gương đổi trái thành phải mà không đổi trên thành dưới?

Các đoạn trên–dưới $PQ$ và $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ vẫn song song, cùng hướng. Các đoạn ngang $PS$ và $P^{\prime }{S}^{\prime }$ cũng vậy. Chỉ các đoạn trước–sau $PR$ và $P^{\prime }{R}^{\prime }$ hướng ngược nhau. Vì thế mô tả chính xác là gương đảo phương trước–sau. Sự đảo này không mâu thuẫn với việc ảnh cùng chiều theo các phương song song mặt gương.

Hình 34.8: Bàn tay đặt trên một gương ngang tạo ảnh có tính đối xứng như bàn tay đối diện. Các chữ trên tấm nhãn cho thấy tác dụng của phép phản xạ.

Chú thích:

• Phải (RIGHT)

Câu hỏi: Ảnh các chữ I, H và T có bị phản xạ không?

Xem giải thích

Phép phản xạ vẫn tác dụng lên mọi điểm của chữ. Với các chữ in hoa có đối xứng thích hợp, hình dạng có thể trùng lại nên khó nhận ra sự đảo. Cần phân biệt phép biến đổi hình học với việc hình sau biến đổi có trùng hình trước hay không. Hướng của mặt gương và kiểu chữ quyết định đối xứng nào đang được dùng.

Ảnh của hệ trước có thể là vật cho hệ sau

Trong Hình 34.9, gương 1 tạo ảnh $P_1^{\prime }$ của $P$, còn gương 2 tạo ảnh $P_2^{\prime }$. Các tia đã phản xạ ở gương 1 có thể tiếp tục tới gương 2. Đối với lần phản xạ sau, $P_1^{\prime }$ đóng vai trò điểm vật, và gương 2 tạo ảnh mới $P_3^{\prime }$.

Hình 34.9: Hai ảnh do một lần phản xạ ở mỗi gương và ảnh thứ ba do tia trải qua hai lần phản xạ.

Chú thích:

• Gương 1 (Mirror 1)
• Gương 2 (Mirror 2)
• Ảnh của vật P do gương 1 tạo thành (Image of object P formed by mirror 1)
• Ảnh của vật P do gương 2 tạo thành (Image of object P formed by mirror 2)
• Ảnh của ảnh P′1 do gương 2 tạo thành (Image of image P1′ formed by mirror 2)

Nếu đổi thứ tự, gương 1 dùng $P_2^{\prime }$ làm vật. Trong cấu hình hai gương vuông góc được vẽ, ta cũng thu được cùng điểm $P_3^{\prime }$.

Câu hỏi: Hãy chứng minh hai thứ tự phản xạ trong cấu hình này cho cùng điểm ảnh thứ ba.

Xem chứng minh

Đặt hai vết gương dọc các trục tọa độ vuông góc. Một phép phản xạ đổi dấu tọa độ vuông góc gương ngang, còn phép kia đổi dấu tọa độ vuông góc gương đứng:

$$(x,y)⟼(x,-y)⟼(-x,-y).$$

Đổi thứ tự:

$$(x,y)⟼(-x,y)⟼(-x,-y).$$

Hai tọa độ đổi dấu độc lập nên kết quả giống nhau. Kết luận về cùng điểm này dùng cấu hình hai gương vuông góc, không suy rộng cho mọi cặp mặt quang học.

Nguyên tắc ảnh làm vật cho hệ sau còn dùng để ghép hai lần khúc xạ của một thấu kính, hoặc ghép nhiều thấu kính trong và .

Câu tự kiểm tra 34.1

Bạn đi thẳng về phía một gương phẳng với tốc độ $v$. Ảnh của bạn tiến lại gần bạn với tốc độ nào?

• (i) Nhỏ hơn $v$.
• (ii) Bằng $v$.
• (iii) Lớn hơn $v$ nhưng nhỏ hơn $2v$.
• (iv) Bằng $2v$.
• (v) Lớn hơn $2v$.

Xem đáp án và giải thích

Chọn (iv). Nếu bạn cách gương khoảng $s$, ảnh ở phía sau gương một khoảng có độ lớn $s$. Khoảng cách người–ảnh là $D=2s$. Vì $s$ giảm với tốc độ $v$:

$$\begin{array}{rl}\frac{ds}{dt}& =-v,\\ \frac{dD}{dt}& =2\frac{ds}{dt}=-2v.\end{array}$$

Khoảng cách người–ảnh giảm với tốc độ $2v$. Trong hệ gắn với gương, riêng ảnh chuyển động có tốc độ $v$ về phía gương, nên phải phân biệt tốc độ ảnh so với gương và tốc độ tiến gần tương đối người–ảnh.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 34.1, trang 1110–1113.