26.2. Các quy tắc Kirchhoff

Nhiều mạng điện thực tế không thể rút gọn thành các nhóm nối tiếp và song song đơn giản. Hình 26.6a mô tả một bộ nguồn một chiều có ${\mathcal{E}}_1$ nạp cho pin có suất điện động nhỏ hơn ${\mathcal{E}}_2$, đồng thời cấp dòng cho bóng đèn có $R$. Hình 26.6b là một mạch cầu, được dùng trong nhiều hệ thống đo lường và điều khiển. Để phân tích những mạng như vậy, ta dùng hai quy tắc do nhà vật lý người Đức Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887) phát triển.

Trước hết, cần phân biệt hai khái niệm. Nút mạch là điểm nơi ba hay nhiều dây dẫn gặp nhau. Vòng kín là một đường dẫn điện khép kín. Trong Hình 26.6a, $a$ và $b$ là nút mạch, còn $c$ và $d$ không phải. Trong Hình 26.6b, $a$, $b$, $c$ và $d$ là nút mạch, còn $e$ và $f$ không phải. Các đường màu xanh trong hình chỉ một vài vòng kín có thể chọn.

Hình 26.6: Hai mạng điện không thể rút gọn bằng cách mắc nối tiếp và song song

Chú thích:

• Vòng 1. (Loop 1)
• Vòng 2. (Loop 2)
• Vòng 3. (Loop 3)
• Nút mạng. (Junction)
• Không phải nút mạng. (Not a junction)

Hình 26.6: Sơ đồ (a) gồm hai nguồn có ${\mathcal{E}}_1$, ${\mathcal{E}}_2$ và các $r_1$, $r_2$, cùng $R$. Sơ đồ (b) là mạch cầu gồm năm điện trở. Một nút là nơi có ít nhất ba dây dẫn gặp nhau. Một vòng kín là đường đi khép kín như các đường màu xanh được vẽ trong hai mạch.

Hai được phát biểu như sau.

mạch: Tổng đại số các đi vào một nút bằng không:

$$\sum _{j=1}^m{\tilde{I}}_j=0.$$

(26.5)

Chỉ số j chạy qua m nhánh nối với nút. ${\tilde{I}}_j$ là dòng đã gán dấu, dương khi đi vào nút và âm khi đi ra. Với ba nhánh, nếu $I_1$ và $I_2$ đi vào còn $I_3$ đi ra:

$$\begin{array}{rl}& {\tilde{I}}_1+{\tilde{I}}_2+{\tilde{I}}_3=0,\\ & I_1+I_2-I_3=0,\\ & I_1+I_2=I_3.\end{array}$$

Tổng dòng đi vào bằng tổng dòng đi ra. Quy tắc này áp dụng tại mọi nút.

kín: Tổng đại số các độ biến thiên khi đi quanh một vòng kín bằng không:

$$\sum _{j=1}^k\mathrm{\Delta }{V}_j=0.$$

(26.6)

Chỉ số j chạy qua k phần tử của vòng. $\mathrm{\Delta }{V}_j$ là tăng hoặc giảm theo chiều đi vòng đã chọn. Trong tổng này phải tính mọi phần tử, kể cả nguồn điện và .

Chẳng hạn, với ba đoạn mạch, cách viết khai triển là:

$$\mathrm{\Delta }{V}_1+\mathrm{\Delta }{V}_2+\mathrm{\Delta }{V}_3=0.$$

Dấu của từng số hạng được xác định theo chiều ta đi quanh vòng.

Vì sao hai quy tắc đúng?

mạch bắt nguồn từ bảo toàn điện tích. Điện tích không thể tích tụ tại nút. Vì là lượng điện tích đi qua trong một đơn vị thời gian, tổng dòng đi vào nút phải bằng tổng dòng đi ra. Hình 26.7a minh họa quan hệ này. Có thể hình dung như chỗ nối ống nước ở Hình 26.7b: Nếu hai ống đưa tổng cộng $1\mathrm{L}/\min$ nước vào nút, ống còn lại không thể đưa $3\mathrm{L}/\min$ nước ra.

Hình 26.7: Quy tắc nút mạch và phép tương tự với dòng nước

Chú thích:

• (a) Quy tắc nút mạng của Kirchhoff. ((a) Kirchhoff’s junction rule)
• (b) Mô hình dòng nước trong ống. ((b) Water-pipe analogy)
• Tổng dòng điện đi vào nút mạng bằng tổng dòng điện đi ra. (The current leaving a junction equals the current entering it.)
• Lưu lượng nước đi ra khỏi ống bằng lưu lượng nước đi vào. (The flow rate of water leaving the pipe equals the flow rate entering it.)

Hình 26.7: (a) rời khỏi nút bằng dòng điện đi vào nút. (b) Lưu lượng nước đi ra tại nhánh ống bằng tổng lưu lượng đi vào.

kín nói rằng lực tĩnh điện là lực thế. Khi đi quanh một vòng và cộng các liên tiếp, ta trở về đúng điểm xuất phát. Tổng độ biến thiên điện thế phải bằng không, nếu không điện thế tại điểm ấy sẽ không có một giá trị xác định.

Quy ước dấu khi áp dụng quy tắc vòng kín

Trước khi lập phương trình, ta giả định chiều ở mỗi nhánh và đánh dấu lên sơ đồ. Sau đó, chọn một chiều đi quanh vòng kín. Chiều đi này có thể cùng hoặc ngược với chiều dòng điện đã giả định. Khi đi qua nguồn điện từ cực âm sang cực dương, độ biến thiên là $+\mathcal{E}$. Khi đi từ cực dương sang cực âm, độ biến thiên là $-\mathcal{E}$.

Khi đi qua theo chiều giả định, giảm, nên ghi $-IR$. Khi đi ngược chiều dòng điện giả định, điện thế tăng, nên ghi $+IR$.

Hình 26.8: Quy ước dấu của suất điện động và điện trở

Chú thích:

• (a) Quy ước dấu cho suất điện động. ((a) Sign conventions for emfs)
• (b) Quy ước dấu cho điện trở. ((b) Sign conventions for resistors)
• Chiều đi từ cực âm đến cực dương. (Travel direction from − to +)
• Chiều đi từ cực dương đến cực âm. (Travel direction from + to −)
• Đi theo chiều dòng điện. (Travel in direction of current)
• Đi ngược chiều dòng điện. (Travel opposite to current direction)

Hình 26.8: (a) Đi qua nguồn theo chiều từ cực âm đến cực dương thì ghi $+\mathcal{E}$, còn đi từ cực dương đến cực âm thì ghi $-\mathcal{E}$. (b) Đi qua cùng chiều giả định thì ghi $-IR$, còn đi ngược chiều dòng điện thì ghi $+IR$. “Chiều đi” là chiều ta chọn để lần theo vòng, không nhất thiết trùng với chiều dòng điện.

Hai đủ để giải nhiều mạng điện. Thường ta biết một số , và , còn các đại lượng khác cần tìm. Ta lập đủ số phương trình độc lập bằng số ẩn rồi giải đồng thời. Khó nhất thường là theo dõi dấu đại số chính xác.

Dòng điện không nhất thiết chia đều tại nút

Khi trong dây phân nhánh, dòng ở các nhánh thường không bằng nhau. Dòng điện lớn hơn đi qua nhánh có nhỏ hơn.

Chiến lược giải bài toán 26.2: Các quy tắc Kirchhoff

Nhận diện khái niệm

Các dùng để phân tích mọi mạch điện.

Bố trí bài giải

1. Vẽ sơ đồ mạch và chừa chỗ để ghi các đại lượng đã biết lẫn chưa biết. Đánh dấu chiều giả định của từng chưa biết và cực tính giả định của mỗi chưa biết. sẽ cho độ lớn và chiều thực. Nếu chiều thực ngược chiều đã chọn, kết quả đại số mang dấu âm.
2. Khi ghi , có thể dùng như trong Hình 26.9 để biểu diễn các dòng qua ít ẩn nhất có thể.
3. Xác định các đại lượng cần tìm.

Hình 26.9: Dùng quy tắc nút để giảm số ẩn dòng điện

Hình 26.9: Phần (a) có ba chưa biết $I_1$, $I_2$, $I_3$. Phần (b) áp dụng tại $a$ để biểu diễn nhánh thứ ba bằng tổng hoặc hiệu của hai dòng còn lại, nhờ đó giảm số ẩn độc lập.

Thực hiện

1. Chọn một vòng trong mạng và chọn chiều đi quanh vòng, theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ. Chiều đi không cần trùng với chiều giả định.
2. Đi lần lượt quanh vòng, cộng đại số các khi đi qua từng phần tử. Dùng quy ước dấu ở Hình 26.8.
3. Đặt tổng ở bước 2 bằng không theo kín.
4. Nếu cần thêm phương trình độc lập, chọn vòng khác và lặp lại các bước trên. Tiếp tục đến khi có số phương trình độc lập bằng số ẩn hoặc mọi phần tử mạch đã xuất hiện trong ít nhất một vòng.
5. Giải đồng thời hệ phương trình để tìm các đại lượng chưa biết.
6. Có thể dùng cùng quy ước dấu để tìm $V_{ab}$ của điểm $a$ so với điểm $b$. Bắt đầu tại $b$, cộng các độ tăng và giảm điện thế khi đi đến $a$. Tổng đại số thu được là $V_{ab}=V_a-V_b$.

Đánh giá

Kiểm tra các phép biến đổi đại số. Sau đó áp dụng kín cho một vòng chưa dùng. Nếu tổng đại số các độ biến thiên không bằng không, có sai sót trong lời giải.

Ví dụ 26.3. Mạch một vòng

Mạch ở Hình 26.10a có hai pin, mỗi pin có và , cùng hai ngoài. Tìm (a) trong mạch, (b) $V_{ab}$ và (c) công suất của suất điện động mỗi pin.

Hình 26.10: Mạch khởi động xe bằng pin

Chú thích:

• (a) Pin còn điện. ((a) Live battery)
• (b) Pin hết điện. ((b) Dead battery)

Hình 26.10: Mạch (a) gồm hai nguồn $12\mathrm{V}$ và $4\mathrm{V}$, các $2\mathrm{\Omega }$, $3\mathrm{\Omega }$, $4\mathrm{\Omega }$ và $7\mathrm{\Omega }$. Chiều giả định ngược chiều kim đồng hồ. Hình (b) cho thấy tình huống thực tế tương tự khi dùng pin xe đang hoạt động để khởi động xe có pin yếu.

Nhận diện và bố trí

Mạch chỉ có một vòng và không có nút phân nhánh, nên không cần dùng . Ta giả định chạy ngược chiều kim đồng hồ như Hình 26.10a rồi áp dụng quy tắc vòng kín.

Thực hiện

(a) Tìm . Bắt đầu tại $a$ và đi ngược chiều kim đồng hồ, cùng chiều dòng điện giả định. Ta lần lượt gặp các độ giảm thế trên và các độ tăng, giảm thế qua hai pin:

$$-I(4\mathrm{\Omega })-4\mathrm{V}-I(7\mathrm{\Omega })+12\mathrm{V}-I(2\mathrm{\Omega })-I(3\mathrm{\Omega })=0.$$

Thu gọn các hạng tử:

$$8\mathrm{V}=I(16\mathrm{\Omega })⟹I=0,5\mathrm{A}.$$

tìm được dương, vì vậy chiều dòng điện thực đúng với chiều đã giả định.

(b) Tìm $V_{ab}$. Để tìm tại $a$ so với $b$, bắt đầu ở $b$ rồi cộng các độ biến thiên điện thế trên đường đi đến $a$. Theo nhánh dưới:

$$\begin{array}{rl}{V}_{ab}& =(0,5\mathrm{A})(7\mathrm{\Omega })+4\mathrm{V}+(0,5\mathrm{A})(4\mathrm{\Omega })\\ & =9,5\mathrm{V}.\end{array}$$

Vậy tại $a$ cao hơn tại $b$ $9,5\mathrm{V}$. Mọi số hạng đều dương vì trên đường đi từ $b$ đến $a$, mỗi số hạng biểu thị một độ tăng điện thế. Đi theo nhánh trên cũng cho

$$\begin{array}{rl}{V}_{ab}& =12\mathrm{V}-(0,5\mathrm{A})(2\mathrm{\Omega })-(0,5\mathrm{A})(3\mathrm{\Omega })\\ & =9,5\mathrm{V}.\end{array}$$

Trên nhánh trên, hai số hạng $IR$ âm vì ta đi cùng chiều , qua các có giảm. Hai đường cho cùng $V_{ab}$, đúng như yêu cầu của kín.

(c) Công suất của hai . Quy ước dấu của suất điện động cho công suất:

$$\begin{array}{rl}{P}_{12\mathrm{V}}& =(12\mathrm{V})(0,5\mathrm{A})\\ & =6\mathrm{W},\\ P_{4\mathrm{V}}& =(-4\mathrm{V})(0,5\mathrm{A})\\ & =-2\mathrm{W}.\end{array}$$

Dấu âm của $4\mathrm{V}$ cho biết dòng thực đi qua pin từ phía có cao sang phía có điện thế thấp. Công suất âm biểu thị pin đang tích trữ . Pin $12\mathrm{V}$ nạp cho pin $4\mathrm{V}$ nếu pin sau có thể nạp lại. Nếu không, pin đó bị phá hủy.

Đánh giá

Tổng công suất tỏa nhiệt ở bốn , tính theo $P=I^{2}R$, là

$$\begin{array}{rl}{P}_R& =I^2(4\mathrm{\Omega }+7\mathrm{\Omega })+I^2(2\mathrm{\Omega }+3\mathrm{\Omega })\\ & =(0,5\mathrm{A}{)}^2(16\mathrm{\Omega })\\ & =4\mathrm{W}.\end{array}$$

Trong $6\mathrm{W}$ do $12\mathrm{V}$ cung cấp, có $2\mathrm{W}$ được tích trữ trong pin $4\mathrm{V}$ và $4\mathrm{W}$ tỏa nhiệt ở các . Mạch tương tự mạch dùng pin còn đầy của một xe đang chạy để khởi động xe có pin yếu. Điện trở $3\mathrm{\Omega }$ và $7\mathrm{\Omega }$ trong mô hình đại diện cho điện trở dây câu và đường dẫn điện qua xe có pin yếu. Trong ô tô thật, điện trở này nhỏ hơn nhiều và suất điện động của pin yếu thường không thấp hơn $12\mathrm{V}$ quá nhiều.

Ý chính

Trong mọi vòng kín, tổng các độ biến thiên bằng không. Nếu mạch chỉ có một vòng, có cùng độ lớn tại mọi vị trí trong mạch.

Ví dụ 26.4. Nạp pin

Trong Hình 26.11, bộ nguồn $12\mathrm{V}$ có chưa biết $r$, được nối với một pin sạc đang yếu có chưa biết $\mathcal{E}$ và điện trở trong $1\mathrm{\Omega }$, cùng một bóng đèn báo có $3\mathrm{\Omega }$. Dòng qua bóng đèn là $2\mathrm{A}$. Dòng qua pin yếu là $1\mathrm{A}$ theo chiều đã vẽ. Tìm $r$, $\mathcal{E}$ và $I$ qua bộ nguồn.

Hình 26.11: Bộ nguồn nạp pin yếu và làm sáng bóng đèn

Hình 26.11: Bộ nguồn $12\mathrm{V}$ có $r$ nối với pin yếu có $\mathcal{E}$, điện trở trong $1\mathrm{\Omega }$ và bóng đèn $3\mathrm{\Omega }$. Các chiều , cực tính và ba vòng (1), (2), (3) được giả định trên sơ đồ.

Nhận diện và bố trí

Mạch có nhiều vòng và nút phân nhánh, nên cần dùng cả lẫn quy tắc vòng. Ta giả định chiều qua bộ nguồn $12\mathrm{V}$ và cực tính của pin yếu như trên Hình 26.11. Có ba ẩn, nên cần ba phương trình độc lập.

Thực hiện

Áp dụng tại $a$:

$$-I+1\mathrm{A}+2\mathrm{A}=0⟹I=3\mathrm{A}.$$

Áp dụng kín cho vòng ngoài (1):

$$12\mathrm{V}-(3\mathrm{A})r=(2\mathrm{A})(3\mathrm{\Omega })=6\mathrm{V}⟹r=2\mathrm{\Omega }.$$

Áp dụng kín cho vòng bên trái (2):

$$-\mathcal{E}+(1\mathrm{A})(1\mathrm{\Omega })-(2\mathrm{A})(3\mathrm{\Omega })=0⟹\mathcal{E}=-5\mathrm{V}.$$

thực có cực tính ngược với giả định ở Hình 26.11. Pin đang được nạp như ở Ví dụ 26.3.

Đánh giá

Nếu dùng tại $b$ hoặc đi theo chiều kim đồng hồ quanh vòng (1), ta vẫn tìm được cùng $I$ và $r$. Có thể kiểm tra $\mathcal{E}$ bằng vòng (3):

$$12\mathrm{V}-(3\mathrm{A})(2\mathrm{\Omega })-(1\mathrm{A})(1\mathrm{\Omega })+\mathcal{E}=0.$$

phương trình này cũng cho $\mathcal{E}=-5\mathrm{V}$.

Kiểm tra thêm $V_{ba}=V_b-V_a$. Trên $3\mathrm{\Omega }$:

$$V_{ba}=(2\mathrm{A})(3\mathrm{\Omega })=6\mathrm{V}.$$

Đi theo nhánh bên phải từ $a$ đến $b$:

$$V_{ba}=12\mathrm{V}-(3\mathrm{A})(2\mathrm{\Omega })=6\mathrm{V}.$$

Đi theo nhánh giữa:

$$\begin{array}{rl}{V}_{ba}& =-(-5\mathrm{V})+(1\mathrm{A})(1\mathrm{\Omega })\\ & =6\mathrm{V}.\end{array}$$

Cả ba cách đều cho cùng một .

Ý chính

Trong mạch có nhiều vòng, yêu cầu tổng đại số đi vào một nút bằng không.

Ví dụ 26.5. Công suất trong mạch nạp pin

Trong mạch ở Ví dụ 26.4 và Hình 26.11, tìm công suất do bộ nguồn $12\mathrm{V}$ cấp, công suất do pin đang nạp trao đổi và công suất tỏa nhiệt ở từng .

Nhận diện và bố trí

Công suất của cấp cho mạch là $P=\mathcal{E}I$. Công suất truyền từ mạch sang là $P=V_{ab}I=I^{2}R$. Các đại lượng cần thiết đã biết từ Ví dụ 26.4.

Thực hiện

Công suất do của bộ nguồn tạo ra là

$$P_{\mathrm{source}}=(12\mathrm{V})(3\mathrm{A})=36\mathrm{W}.$$

$r$ của bộ nguồn tỏa nhiệt công suất

$$P_{r,\mathrm{source}}=(3\mathrm{A}{)}^2(2\mathrm{\Omega })=18\mathrm{W}.$$

Vì thế công suất thuần bộ nguồn cấp ra là $36\mathrm{W}-18\mathrm{W}=18\mathrm{W}$. Ta cũng có thể dùng điện áp hai đầu bộ nguồn $V_{ba}=6\mathrm{V}$:

$$P_{\mathrm{net}}=(6\mathrm{V})(3\mathrm{A})=18\mathrm{W}.$$

Công suất của $\mathcal{E}$ trong pin đang được nạp là

$$P_{\mathcal{E}}=(-5\mathrm{V})(1\mathrm{A})=-5\mathrm{W}.$$

Dấu âm xuất hiện vì $1\mathrm{A}$ đi qua pin từ phía cao sang phía điện thế thấp. Pin tích trữ . $1\mathrm{\Omega }$ của pin tỏa nhiệt:

$$P_{r,\mathrm{pin}}=(1\mathrm{A}{)}^2(1\mathrm{\Omega })=1\mathrm{W}.$$

Do đó, tổng công suất nhận vào của pin là $1\mathrm{W}+|-5\mathrm{W}|=6\mathrm{W}$. Trong đó, $5\mathrm{W}$ làm tăng lưu trữ của pin và $1\mathrm{W}$ tỏa nhiệt ở . Bóng đèn tỏa nhiệt công suất

$$P_{\mathrm{lamp}}=(2\mathrm{A}{)}^2(3\mathrm{\Omega })=12\mathrm{W}.$$

Đánh giá

Toàn bộ công suất thuần $18\mathrm{W}$ của bộ nguồn được phân bổ thành ba phần. Trong đó, $5\mathrm{W}$ được lưu trữ trong pin, $1\mathrm{W}$ tỏa ở pin và $12\mathrm{W}$ tỏa ở bóng đèn.

Ý chính

Trong mạch chỉ gồm nguồn và , tổng công suất các nguồn cấp ra bằng tổng công suất tỏa nhiệt ở các điện trở. Nếu mạch có pin đang được nạp, phần công suất điện còn lại làm tăng lưu trữ của pin, như phép cân bằng ngay phía trên.

Ví dụ 26.6. Mạng điện phức tạp

Hình 26.12 là mạch cầu, một dạng mạch đã nêu ở đầu mục. Tìm qua mỗi và của mạng gồm năm điện trở.

Hình 26.12: Mạng điện cầu gồm năm điện trở

Hình 26.12: Mạng điện có nguồn $13\mathrm{V}$, bốn $1\mathrm{\Omega }$ và một điện trở $2\mathrm{\Omega }$. Các dòng $I_1$, $I_2$, $I_3$ cùng chiều giả định và ba vòng (1), (2), (3) được đánh dấu trên sơ đồ.

Nhận diện và bố trí

Mạng này không phải tổ hợp nối tiếp hoặc song song đơn giản, nên cần dùng các . Có năm dòng chưa biết. Áp dụng quy tắc nút tại $a$ và $b$ cho phép biểu diễn chúng theo ba ẩn $I_1$, $I_2$, $I_3$ như hình.

Thực hiện

Áp dụng kín cho ba vòng được đánh dấu:

$$\begin{array}{rl}& 13\mathrm{V}=I_1(1\mathrm{\Omega })+(I_1-I_3)\mathrm{\Omega },\\ & 13\mathrm{V}=I_2(1\mathrm{\Omega })+2(I_2+I_3)\mathrm{\Omega },\\ & -I_1(1\mathrm{\Omega })-I_3(1\mathrm{\Omega })+I_2(1\mathrm{\Omega })=0.\end{array}$$

Từ phương trình thứ ba, $I_2=I_1+I_3$. Thay vào phương trình thứ hai, rồi thu gọn phương trình thứ nhất, ta được

$$\begin{array}{rl}13\mathrm{V}& =I_1(2\mathrm{\Omega })-I_3(1\mathrm{\Omega }),\\ 13\mathrm{V}& =I_1(3\mathrm{\Omega })+I_3(5\mathrm{\Omega }).\end{array}$$

Nhân phương trình đầu với $5$ rồi cộng phương trình sau, ta khử được $I_3$:

$$78\mathrm{V}=I_1(13\mathrm{\Omega })⟹I_1=6\mathrm{A}.$$

Thay $I_1$ vào phương trình đầu thu gọn, ta được $I_3=-1\mathrm{A}$. Từ $I_2=I_1+I_3$, suy ra $I_2=5\mathrm{A}$. Dấu âm của $I_3$ cho biết dòng thực chạy ngược chiều giả định.

Các dòng qua năm lần lượt là $I_1=6\mathrm{A}$, $I_2=5\mathrm{A}$, $I_3=-1\mathrm{A}$, $I_1-I_3=7\mathrm{A}$ và $I_2+I_3=4\mathrm{A}$. Dòng tổng qua mạng là $I_1+I_2=11\mathrm{A}$. hai đầu mạng bằng $13\mathrm{V}$, nên

$$R_{\mathrm{eq}}=\frac{13\mathrm{V}}{11\mathrm{A}}=1,2\mathrm{\Omega }.$$

Đánh giá

Thay $I_1=6\mathrm{A}$, $I_2=5\mathrm{A}$ và $I_3=-1\mathrm{A}$ vào cả ba phương trình vòng sẽ thu lại đẳng thức. Cụ thể, vế tổng lần lượt bằng $13-6-7=0\mathrm{V}$, $-5-8+13=0\mathrm{V}$ và $-6-(-1)+5=0\mathrm{V}$. Điều này kiểm tra đồng thời dấu và chiều .

Ý chính

Một số mạng điện có cấu trúc không rút gọn được thành nối tiếp hoặc song song. Ta phân tích các mạch đó bằng cả lẫn quy tắc vòng kín.

Kiểm tra hiểu mục 26.2

Lấy phương trình (1) trong Ví dụ 26.6 trừ khỏi phương trình (2). Phương trình thu được ứng với vòng nào trong Hình 26.12? Phương trình này có giúp lời giải Ví dụ 26.6 đơn giản hơn không?

Lời giải kiểm tra hiểu

Tóm tắt

Cần trừ phương trình vòng (1) khỏi phương trình vòng (2), rồi xác định đường đi tương ứng trong Hình 26.12 và xem phương trình mới có độc lập hay không.

Hướng đi

Phép trừ cho

$$-I_2(1\mathrm{\Omega })-(I_2+I_3)(2\mathrm{\Omega })+(I_1-I_3)(1\mathrm{\Omega })+I_1(1\mathrm{\Omega })=0.$$

Đây chính là phương trình thu được khi đi theo vòng $c\to b\to d\to a\to c$. Nó không độc lập với các phương trình đã lập, vì có thể tạo ra bằng cách trừ hai phương trình kia. Do đó, phương trình này không giúp giải Ví dụ 26.6.

Ví dụ 26.7. Hiệu điện thế trong mạng điện phức tạp

Trong mạch ở Ví dụ 26.6 và Hình 26.12, tìm $V_{ab}$.

Nhận diện và bố trí

Đại lượng cần tìm là $V_{ab}=V_a-V_b$, tức tại $a$ so với $b$. Bắt đầu tại $b$ rồi lần theo một đường bất kỳ đến $a$, cộng các độ tăng và giảm điện thế. Mọi đường nối hai điểm ấy phải cho cùng kết quả. Đây là cách kiểm tra lời giải.

Thực hiện

Đường ngắn nhất đi qua $1\mathrm{\Omega }$ ở giữa mạng. Ví dụ 26.6 cho $I_3=-1\mathrm{A}$, nghĩa là dòng thực qua điện trở này chạy từ phải sang trái. Khi đi từ $b$ đến $a$, ta đi cùng chiều dòng thực nên giảm $1\mathrm{V}$:

$$V_{ab}=-(1\mathrm{A})(1\mathrm{\Omega })=-1\mathrm{V}.$$

tại $a$ thấp hơn tại $b$ $1\mathrm{V}$.

Đánh giá

Có thể kiểm tra bằng đường đi từ $b$ đến $a$ qua hai phía dưới. Dòng qua hai điện trở ấy lần lượt là

$$\begin{array}{rl}{I}_2+I_3& =5\mathrm{A}+(-1\mathrm{A})=4\mathrm{A},\\ I_1-I_3& =6\mathrm{A}-(-1\mathrm{A})=7\mathrm{A}.\end{array}$$

Theo đường này,

$$\begin{array}{rl}{V}_{ab}& =-(4\mathrm{A})(2\mathrm{\Omega })+(7\mathrm{A})(1\mathrm{\Omega })\\ & =-1\mathrm{V}.\end{array}$$

Các đường khác từ $b$ đến $a$ cũng cho cùng kết quả.

Ý chính

Có thể phát biểu kín theo cách khác: Với bất kỳ đường đi nào trong mạch từ $a$ đến $b$, $V_{ab}$ đều như nhau.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 26.2, trang 849–853.