Vì sao chỉ tăng tốc một chút mà động năng tăng rất nhiều?

Tại Phòng thí nghiệm Quốc gia Brookhaven ở New York, các hạt nhân nguyên tử được gia tốc đến $\mathrm{99,995}\mathrm{\%}$ tốc độ ánh sáng. Tốc độ này chỉ nhỉnh hơn $\mathrm{99,000}\mathrm{\%}$ của cùng giới hạn một lượng nhỏ. Tuy nhiên, cần để đạt hai tốc độ ấy khác nhau rất lớn.

Mở đầu: Hệ máy gia tốc tại Brookhaven đưa các hạt nhân nguyên tử đến tốc độ rất gần tốc độ ánh sáng trong chân không.

Nếu động năng vẫn tỉ lệ với bình phương tốc độ ở mọi miền, sự thay đổi trên chỉ làm động năng tăng ít. Câu hỏi này đòi hỏi ta xét lại chính những khái niệm vẫn dùng để mô tả chuyển động: Không gian, thời gian, và .

Năm 1905, Albert Einstein còn là một nhân viên ít người biết đến tại cơ quan sáng chế Thụy Sĩ. Ông công bố bốn công trình có ảnh hưởng sâu rộng. Một công trình phân tích chuyển động Brown. Một công trình khác giải thích hiệu ứng quang điện, đóng góp sau này được trao giải Nobel.

Trong hai công trình còn lại, Einstein xây dựng thuyết tương đối hẹp và đặt lại cơ sở của những quan niệm Newton về không gian và thời gian. Điểm xuất phát là hai tiên đề: Các định luật vật lý có cùng dạng trong mọi , và tốc độ ánh sáng trong chân không như nhau trong mọi hệ ấy.

Hai phát biểu ngắn gọn dẫn đến những hệ quả sâu sắc. Hai sự kiện đồng thời đối với một người quan sát có thể không đồng thời đối với người khác. Những người chuyển động tương đối có thể đo được các khoảng thời gian và chiều dài khác nhau.

Muốn bảo toàn và trong mọi hệ quán tính, ta còn phải sửa các biểu thức động lượng, động năng và cách viết định luật II Newton. Những thay đổi này có ý nghĩa trong điện từ học, vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân và vật lý năng lượng cao.

Các kết luận có thể khác với trực giác hình thành từ chuyển động chậm hằng ngày. Cơ sở đánh giá chúng vẫn là sự phù hợp với quan sát và thí nghiệm.

Mục tiêu của chương

• Phát biểu hai tiên đề của thuyết tương đối hẹp và giải thích những vấn đề dẫn đến chúng.
• Giải thích vì sao hai người quan sát có thể không thống nhất về tính đồng thời của hai sự kiện.
• Suy ra sự và liên hệ với những thí nghiệm kiểm tra đồng hồ chuyển động.
• Phân biệt với chiều dài đo trong hệ mà vật chuyển động.
• Dùng để liên hệ tọa độ, thời gian và trong hai hệ quán tính.
• Xác định ánh sáng mà những người quan sát chuyển động tương đối đo được.
• Tính và liên hệ lực với sự thay đổi .
• Giải bài toán công, động năng, và toàn phần ở tốc độ lớn.
• Trình bày những ý niệm nền tảng của thuyết tương đối rộng.

Kiến thức cần ôn

Cần ôn chuyển động tròn, tương đối và . Hiệu ứng Doppler của âm là cơ sở so sánh với . Cảm ứng điện từ, phương trình Maxwell và tốc độ ánh sáng dẫn đến vấn đề về tính bất biến của định luật vật lý. Thí nghiệm Michelson–Morley nối chương này với phép đo quang học đã học.

Câu hỏi mở đầu

So với động năng của một hạt nhân chuyển động ở $\mathrm{99,000}\mathrm{\%}$ tốc độ ánh sáng, động năng của chính hạt nhân ấy khi chuyển động ở $\mathrm{99,995}\mathrm{\%}$ tốc độ ánh sáng xấp xỉ bao nhiêu?

• (i) Lớn hơn $\mathrm{0,001}\mathrm{\%}$.
• (ii) Lớn hơn $0,1\mathrm{\%}$.
• (iii) Lớn hơn $1\mathrm{\%}$.
• (iv) Lớn hơn $2\mathrm{\%}$.
• (v) Lớn gấp khoảng $16$ lần.

Xem đáp án và giải thích

Chọn (v). Đặt $\beta =v/c$ và gọi $\gamma$ là . Với hạt có khối lượng nghỉ $m$, ta có

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}.$$

$$K=(\gamma -1)m{c}^2.$$

Hai tốc độ đã cho tương ứng với ${\gamma }_1\approx \mathrm{7,088}8$ và ${\gamma }_2\approx \mathrm{100,001}3$. Khi so sánh cùng một hạt nhân, thừa số $m{c}^2$ triệt tiêu:

$$\frac{K_2}{K_1}=\frac{{\gamma }_2-1}{{\gamma }_1-1}\approx 16,26.$$

Động năng tăng rất nhanh khi tốc độ tiến gần $c$. Vì vậy, không thể ngoại suy công thức động năng cổ điển đến miền này.

9 chủ đề · tổng cộng khoảng 27 phút đọc

Không gian, thời gian và phép đo

1. 1Tính bất biến của định luật vật lýHai hệ quán tính có thể dùng những định luật khác nhau không?Khoảng 3 phút
2. 2Tính tương đối của đồng thờiVì sao hai sự kiện đồng thời trong một hệ lại không đồng thời trong hệ khác?Khoảng 3 phút
3. 3Giãn thời gian và thời gian riêngĐồng hồ chuyển động chạy chậm được xác định bằng phép đo nào?Khoảng 3 phút
4. 4Co chiều dài và hình dạng quan sátĐo đồng thời hai đầu vật khác với chụp ảnh vật như thế nào?Khoảng 3 phút
5. 5Biến đổi LorentzCùng một sự kiện và cùng một chuyển động có tọa độ nào trong hai hệ?Khoảng 3 phút
6. 6Doppler của sóng điện từTần số đổi thế nào trong khi tốc độ ánh sáng vẫn bằng c?Khoảng 3 phút

Động lực học, năng lượng và hấp dẫn

1. 7Động lượng và lực tương đối tínhVì sao lực dọc và lực ngang cho các hệ số gia tốc khác nhau?Khoảng 3 phút
2. 8Công và năng lượng tương đối tínhĐộng năng, năng lượng nghỉ và năng lượng toàn phần liên hệ thế nào?Khoảng 3 phút
3. 9Cơ học Newton và thuyết tương đối rộngNguyên lý tương ứng và nguyên lý tương đương nói gì?Khoảng 3 phút

Tổng kết chương

1. Tính bất biến của định luật vật lý và tính đồng thời

Các định luật vật lý có cùng dạng trong mọi . Tốc độ ánh sáng trong chân không như nhau trong các hệ ấy và không phụ thuộc chuyển động của nguồn phát.

Tính đồng thời không tuyệt đối. Hai sự kiện đồng thời trong một hệ không nhất thiết đồng thời trong hệ khác chuyển động tương đối với hệ thứ nhất.

Tổng kết: Tốc độ ánh sáng trong chân không bằng c trong cả hệ gắn với Trái Đất và hệ gắn với tàu.

Chú thích:

• Ánh sáng (Light (L))

2. Giãn thời gian

Nếu hai sự kiện xảy ra tại cùng một vị trí trong một hệ quán tính, khoảng thời gian đo trong hệ ấy là khoảng $\mathrm{\Delta }{t}_0$. Khi hệ ấy chuyển động với tốc độ $u$ đối với hệ thứ hai, khoảng thời gian trong hệ thứ hai là

$$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0.$$

Trong đó,

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.$$

Với $0<u<c$, ta có $\gamma >1$. Do đó, khoảng thời gian giữa cùng hai sự kiện trong hệ thứ hai dài hơn . Các ví dụ 37.1–37.3 vận dụng quan hệ này cho đồng hồ và hạt không bền.

Tổng kết: Đồng hồ ánh sáng đứng yên trong hệ S′, còn đường đi của ánh sáng gồm hai đoạn xiên trong hệ S.

3. Co chiều dài

Hai đầu của một vật đứng yên trong một hệ xác định $l_0$. Trong hệ mà vật chuyển động với tốc độ $u$, chiều dài đo dọc phương chuyển động bằng

$$l=\frac{l_0}{\gamma }.$$

Tương đương,

$$l=l_0\sqrt{1-u^2/c^2}.$$

Phải ghi vị trí hai đầu tại cùng một thời điểm trong hệ đang đo chiều dài. Kích thước vuông góc với tương đối không bị co theo quan hệ này. Các ví dụ 37.4–37.5 phân biệt hai trường hợp.

Tổng kết: Đo chiều dài dọc chuyển động cần phân biệt chiều dài l với quãng đường bổ sung mà đầu thước đi được trong thời gian ánh sáng truyền.

4. Biến đổi Lorentz

Xét hệ $S^{\prime }$ chuyển động theo chiều $+x$ với $u$ đối với $S$. Hai hệ có các trục song song và trùng gốc tại $t=t^{\prime }=0$. Tọa độ của cùng một sự kiện liên hệ bởi

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\gamma (x-ut),\\ y^{\prime }& =y,\\ z^{\prime }& =z,\\ t^{\prime }& =\gamma (t-ux/c^2).\end{array}$$

Nếu một vật chuyển động dọc trục $x$, của vật trong hai hệ thỏa mãn

$$v_x^{\prime }=\frac{v_x-u}{1-u{v}_x/c^2}.$$

Biến đổi ngược là

$$v_x=\frac{v_x^{\prime }+u}{1+u{v}_x^{\prime }/c^2}.$$

Các ví dụ 37.6–37.7 dùng riêng biến đổi tọa độ và biến đổi theo đại lượng mà đề bài cho. Không thay tọa độ của một sự kiện trong hệ này bằng tọa độ của sự kiện khác trong hệ kia.

Tổng kết: Một sự kiện P có các tọa độ khác nhau trong hai hệ quán tính chuyển động tương đối, nhưng vẫn là cùng một sự kiện.

5. Doppler của sóng điện từ

Chuyển động tương đối dọc đường nối nguồn và người quan sát làm thay đổi ánh sáng thu được. Gọi $f_0$ là tần số trong hệ nghỉ của nguồn. Khi hai bên tiến lại gần nhau với tốc độ tương đối $u$, tần số thu là

$$f=f_0\sqrt{\frac{c+u}{c-u}}.$$

Khi hai bên rời xa nhau với cùng độ lớn tốc độ tương đối,

$$f=f_0\sqrt{\frac{c-u}{c+u}}.$$

tăng khi tiến lại gần và giảm khi rời xa. Tốc độ truyền trong chân không vẫn bằng $c$. Ví dụ 37.8 dùng dịch tần để suy chuyển động của vật phát sáng.

Tổng kết: Người quan sát đứng yên thu ánh sáng có tần số cao hơn tần số phát khi nguồn tiến lại gần.

Chú thích:

• Nguồn chuyển động phát ánh sáng có tần số f₀ (Moving source emits light of frequency f₀.)
• Người quan sát đứng yên thu ánh sáng có tần số f lớn hơn f₀ (Stationary observer detects light of frequency f > f₀.)

6. Động lượng và năng lượng tương đối tính

Với hạt có khối lượng nghỉ $m$ và $\overrightarrow{v}$, là

$$\overrightarrow{p}={\gamma }_{v}m\overrightarrow{v}.$$

Ở đây, ${\gamma }_v$ được tính theo tốc độ $v$ của hạt trong hệ đang xét:

$${\gamma }_v=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

Động năng bằng

$$K=({\gamma }_v-1)m{c}^2.$$

toàn phần gồm động năng và :

$$E=K+m{c}^2={\gamma }_{v}m{c}^2.$$

Quan hệ trực tiếp giữa toàn phần và độ lớn là

$$E^2=(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2.$$

Hạt có khối lượng nghỉ bằng không thỏa mãn $E=pc$ và truyền trong chân không với tốc độ $c$. Các ví dụ 37.9–37.11 kết hợp những hệ thức này với lực, điện thế và bảo toàn trong va chạm.

Tổng kết: Động năng tương đối tính tăng không bị chặn khi tốc độ tiến gần c, còn công thức Newton chỉ là gần đúng ở tốc độ nhỏ.

Chú thích:

• Động năng tương đối tính (Relativistic kinetic energy)
• Động năng Newton (Newtonian kinetic energy)
• Không xảy ra (DOESN’T HAPPEN)

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 37, trang 1217–1252.

Luyện tập hướng dẫn

Trong các phép tính gần đúng của phần này, dùng $c=3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ký hiệu $\gamma$ luôn ứng với tốc độ tương đối được chỉ rõ trong từng bài.

Giãn thời gian và co chiều dài

Trước nhóm bài này, hãy ôn các ví dụ 37.1–37.5. Khi đọc đề, xác định hai sự kiện có xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ đang xét hay không. Đó là căn cứ chọn khoảng .

Bài tập: VP37.5.1. Thời gian sống của meson K dương

Meson $K^{+}$ là hạt không bền, phân rã thành những hạt khác. Khi đứng yên, thời gian sống trung bình của hạt bằng $1,23\times {10}^{-8}\mathrm{s}$.

(a) Bạn đo được thời gian sống trung bình bằng bao nhiêu nếu hạt chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,800}c$ đối với bạn? (b) Trong hệ nghỉ của hạt ấy, thời gian sống trung bình của một hạt $K^{+}$ thứ hai đang đứng yên đối với bạn bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thời gian sống riêng ${\tau }_0=1,23\times {10}^{-8}\mathrm{s}$. Hai hệ chuyển động tương đối với tốc độ $u=\mathrm{0,800}c$.

Hướng đi:

• Dùng $\tau =\gamma {\tau }_0$ vì sự hình thành và phân rã của mỗi hạt xảy ra cùng một vị trí trong hệ nghỉ của chính hạt ấy.
• Đổi vai trò hai hệ cho phần (b). Độ lớn tương đối không thay đổi, nên của hạt thứ hai vẫn như cũ.

là

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{0,800}}^2}}=\frac{5}{3}.$$

(a) Thời gian sống trung bình bạn đo được bằng

$$\tau =\gamma {\tau }_0=2,05\times {10}^{-8}\mathrm{s}.$$

(b) Trong hệ nghỉ của hạt thứ nhất, hạt thứ hai chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,800}c$. Do đó, thời gian sống trung bình của hạt thứ hai cũng bằng $2,05\times {10}^{-8}\mathrm{s}$.

Hai kết quả bằng nhau không có nghĩa hai hệ có cùng cách xác định đồng thời ở những vị trí khác nhau. Mỗi lần áp dụng đều xét hai sự kiện xảy ra trên cùng một hạt.

Bài tập: VP37.5.2. Hai bộ đếm thời gian trên Arrakis

Alia lái tàu với tốc độ $\mathrm{0,600}c$ đối với hành tinh Arrakis. Khi Alia đi ngang Paul đang đứng yên trên hành tinh, cả hai cùng khởi động bộ đếm thời gian.

(a) Theo đồng hồ của Alia, khoảng thời gian từ lúc Paul khởi động đến lúc Paul dừng đồng hồ là $20,0\mathrm{s}$. Đồng hồ Paul chỉ bao nhiêu khi dừng? (b) Alia dừng đồng hồ của mình ở số chỉ $24,0\mathrm{s}$. Theo Paul, khoảng thời gian từ lúc Alia khởi động đến lúc cô dừng đồng hồ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $u=\mathrm{0,600}c$. Phần (a) cho khoảng thời gian trong hệ Alia giữa hai sự kiện trên Paul. Phần (b) cho số chỉ riêng của đồng hồ Alia.

Hướng đi:

• Xác định đồng hồ nào có mặt ở cả hai sự kiện để nhận ra .
• Dùng $\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0$. Phần (a) cần chia cho $\gamma$, còn phần (b) cần nhân với $\gamma$ vì thời gian đã cho thuộc hai loại khác nhau.

Ta có $\gamma =1,25$.

(a) Việc khởi động và dừng đồng hồ Paul xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ Paul. Vì $20,0\mathrm{s}$ là khoảng thời gian giữa hai sự kiện ấy trong hệ Alia,

$$\mathrm{\Delta }{t}_{0P}=\frac{20,0}{1,25}=16,0\mathrm{s}.$$

(b) Hai sự kiện khởi động và dừng đồng hồ Alia cùng nằm trên tàu. Khoảng $24,0\mathrm{s}$ là . Paul đo được

$$\mathrm{\Delta }{t}_P=1,25(24,0)=30,0\mathrm{s}.$$

Bài tập: VP37.5.3. Chuyến bay từ Trái Đất đến Mặt Trời

Tại một vị trí trên quỹ đạo, Trái Đất cách Mặt Trời $1,50\times {10}^{11}\mathrm{m}$. Một tàu vũ trụ bay dọc đường nối hai thiên thể với tốc độ $\mathrm{0,950}c$.

(a) Theo người quan sát trên Trái Đất, tàu cần bao lâu để đi hết khoảng cách ấy? (b) Theo nhà du hành trên tàu, khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và thời gian bay bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách trong hệ Trái Đất là $L_0=1,50\times {10}^{11}\mathrm{m}$. Tốc độ tương đối $u=\mathrm{0,950}c$. Trong mô hình chuyến bay, coi khoảng cách hai thiên thể không đổi và tàu chuyển động đều.

Hướng đi:

• Dùng $t=L_0/u$ trong hệ Trái Đất vì đã biết quãng đường và tốc độ trong cùng một hệ.
• Dùng $L=L_0/\gamma$ cho khoảng cách giữa hai thiên thể trong hệ tàu. Hai đầu khoảng cách đứng yên trong mô hình hệ Trái Đất, nên $L_0$ là .
• Dùng $\tau =t/\gamma$ vì khởi hành và đến nơi đều xảy ra tại tàu, hoặc tính lại bằng $L/u$ trong hệ tàu.

(a) Thời gian trong hệ Trái Đất là

$$t=\frac{L_0}{u}\approx 526\mathrm{s}.$$

(b) Với $\gamma \approx \mathrm{3,202}6$, khoảng cách trong hệ tàu bằng

$$L=\frac{L_0}{\gamma }\approx 4,68\times {10}^{10}\mathrm{m}.$$

Thời gian trên đồng hồ của nhà du hành là

$$\tau =\frac{t}{\gamma }\approx 164\mathrm{s}.$$

Trong hệ tàu, Trái Đất và Mặt Trời cùng chuyển động về phía sau với tốc độ $u$. Khoảng cách đã co và thời gian ngắn hơn vẫn cho cùng tốc độ tương đối, vì $L/\tau =u$.

Bài tập: VP37.5.4. Tàu đi về phía Mặt Trăng

Một tàu bay ngang Trái Đất theo hướng đến Mặt Trăng, cách Trái Đất $3,84\times {10}^5\mathrm{km}$. Theo đồng hồ trên Trái Đất, cần $6,00\mathrm{s}$ để đồng hồ trên tàu chạy được $2,00\mathrm{s}$. Bạn đo chiều dài tàu dọc chuyển động bằng $24,0\mathrm{m}$.

Theo nhà du hành đứng yên trên tàu, (a) khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng và (b) chiều dài của tàu bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\mathrm{\Delta }t=6,00\mathrm{s}$, $\mathrm{\Delta }{t}_0=2,00\mathrm{s}$. Khoảng cách Trái Đất–Mặt Trăng trong hệ Trái Đất là $D_0=3,84\times {10}^5\mathrm{km}$. Chiều dài tàu đo từ Trái Đất là $l=24,0\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Từ , suy ra $\gamma =\mathrm{\Delta }t/\mathrm{\Delta }{t}_0$ mà không cần tìm tốc độ trước.
• Chia khoảng cách hai thiên thể cho $\gamma$ vì chúng chuyển động trong hệ tàu.
• Nhân chiều dài tàu đo từ Trái Đất với $\gamma$ để tìm của tàu.

bằng

$$\gamma =\frac{6,00}{2,00}=3,00.$$

(a) Trong hệ tàu, khoảng cách hai thiên thể bằng

$$D=\frac{D_0}{\gamma }=1,28\times {10}^5\mathrm{km}.$$

(b) của tàu bằng

$$l_0=\gamma l=72,0\mathrm{m}.$$

Cùng một hệ số xuất hiện theo hai chiều ngược nhau vì vật đứng yên trong hai phép đo không phải cùng một vật.

Biến đổi Lorentz

Trước nhóm bài này, hãy ôn các ví dụ 37.6–37.7. Luôn xác định hệ nào chuyển động theo chiều dương và phân biệt của hệ với vận tốc của vật.

Bài tập: VP37.7.1. Pháo hoa và vụ nổ trong hai hệ

Gamora lái tàu theo chiều $+x$ với tốc độ $\mathrm{0,750}c$ ngang hành tinh Xandar. Nebula đứng yên trên hành tinh. Khi đi ngang nhau, hai người đặt đồng hồ về không và chọn gốc tọa độ tại vị trí của mình.

(a) Nebula đốt pháo hoa ngay cạnh mình sau $2,50\mathrm{s}$ kể từ lúc Gamora đi qua. Gamora gán tọa độ nào cho sự kiện ấy? (b) Gamora ghi nhận một vụ nổ xảy ra ở vị trí cách cô $4,00\times {10}^8\mathrm{m}$ về phía trước, tại thời điểm $2,50\mathrm{s}$ sau lúc đi ngang Nebula. Nebula gán tọa độ nào cho vụ nổ?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn $S$ gắn với Nebula, $S^{\prime }$ gắn với Gamora và $u=\mathrm{0,750}c$. Phần (a) cho $x=0$, $t=2,50\mathrm{s}$. Phần (b) cho $x^{\prime }=4,00\times {10}^8\mathrm{m}$, $t^{\prime }=2,50\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Dùng thuận ở phần (a) vì cần chuyển tọa độ từ $S$ sang $S^{\prime }$.
• Dùng biến đổi ngược ở phần (b), với dấu cộng trong các tổ hợp $x^{\prime }+u{t}^{\prime }$ và $t^{\prime }+u{x}^{\prime }/c^2$.
• Hiểu thời điểm của vụ nổ là thời điểm đã gán bằng đồng hồ đồng bộ trong hệ, không phải thời điểm ánh sáng từ vụ nổ vừa đến mắt.

là $\gamma \approx \mathrm{1,511}86$.

(a) Tọa độ Gamora đo được là

$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =\gamma (x-ut)\\ & \approx -8,50\times {10}^8\mathrm{m},\\ t^{\prime }& =\gamma (t-ux/c^2)\\ & \approx 3,78\mathrm{s}.\end{array}$$

Dấu âm của $x^{\prime }$ cho biết pháo hoa ở phía sau Gamora trong hệ của cô.

(b) Dùng biến đổi ngược:

$$\begin{array}{rl}x& =\gamma (x^{\prime }+u{t}^{\prime })\\ & \approx 1,46\times {10}^9\mathrm{m},\\ t& =\gamma (t^{\prime }+u{x}^{\prime }/c^2)\\ & \approx 5,29\mathrm{s}.\end{array}$$

Các tọa độ ngang còn lại bằng không nếu chọn các trục trùng với đường chuyển động.

Bài tập: VP37.7.2. Hai sự kiện đồng thời đối với Kamala

Kamala ghi nhận hai sự kiện ở hai tọa độ $x$ khác nhau nhưng cùng một thời điểm. Doreen chuyển động theo chiều $+x$ với tốc độ $\mathrm{0,800}c$ đối với Kamala và đo được một sự kiện xảy ra trước sự kiện còn lại $\mathrm{0,600}\mathrm{s}$.

Khoảng cách giữa hai sự kiện bằng bao nhiêu theo (a) Kamala và (b) Doreen?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trong hệ Kamala, $\mathrm{\Delta }t=0$. Trong hệ Doreen, $|\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }|=\mathrm{0,600}\mathrm{s}$. Tốc độ tương đối $u=\mathrm{0,800}c$ và $\gamma =5/3$.

Hướng đi:

• Áp dụng biến đổi cho hiệu tọa độ của hai sự kiện, vì đề không cần tọa độ tuyệt đối.
• Dùng biến đổi thời gian để tìm $|\mathrm{\Delta }x|$, rồi dùng biến đổi vị trí để tìm $|\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }|$.
• Không dùng công thức ở phần (b), vì hai sự kiện đang xét không đồng thời trong hệ Doreen.

(a) Từ $\mathrm{\Delta }t=0$, biến đổi thời gian cho

$$|\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }|=\frac{\gamma u|\mathrm{\Delta }x|}{c^2}.$$

Do đó,

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }x|& =\frac{c^2|\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }|}{\gamma u}\\ & =1,35\times {10}^8\mathrm{m}.\end{array}$$

(b) Hiệu tọa độ trong hệ Doreen bằng

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }|& =\gamma |\mathrm{\Delta }x|\\ & =2,25\times {10}^8\mathrm{m}.\end{array}$$

Khoảng cách tọa độ ở phần (b) lớn hơn không mâu thuẫn với . Đây là khoảng cách giữa hai sự kiện không đồng thời, không phải phép đo đồng thời hai đầu một thanh.

Bài tập: VP37.7.3. Tàu Nostromo, đầu dò và tàu trinh sát

Tàu Nostromo rời Trái Đất theo chiều $+x$ với tốc độ $\mathrm{0,800}c$. Tàu phóng một đầu dò theo chiều $-x$ với tốc độ $\mathrm{0,600}c$ đối với Nostromo. Một tàu trinh sát rời Trái Đất theo chiều $+x$ với tốc độ $\mathrm{0,700}c$ để thu hồi đầu dò.

Tìm của (a) đầu dò đối với Trái Đất và (b) tàu trinh sát đối với Nostromo, viết theo đơn vị $c$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hệ $S$ gắn Trái Đất, hệ $S^{\prime }$ gắn Nostromo và $u=\mathrm{0,800}c$. Đầu dò có $v_p^{\prime }=-\mathrm{0,600}c$, còn tàu trinh sát có $v_s=+\mathrm{0,700}c$.

Hướng đi:

• Dùng phép biến đổi ngược cho đầu dò vì biết vận tốc trong hệ Nostromo và cần vận tốc trong hệ Trái Đất.
• Dùng phép biến đổi thuận cho tàu trinh sát. Giữ dấu đại số để xác định hướng chuyển động tương đối.

(a) đầu dò trong hệ Trái Đất là

$$\begin{array}{rl}\frac{v_p}{c}& =\frac{-\mathrm{0,600}+\mathrm{0,800}}{1-\mathrm{0,800}(\mathrm{0,600})}\\ & \approx +\mathrm{0,385.}\end{array}$$

Đầu dò vẫn đi xa Trái Đất, dù được phóng về phía sau trong hệ Nostromo.

(b) tàu trinh sát trong hệ Nostromo là

$$\begin{array}{rl}\frac{v_s^{\prime }}{c}& =\frac{\mathrm{0,700}-\mathrm{0,800}}{1-\mathrm{0,800}(\mathrm{0,700})}\\ & \approx -\mathrm{0,227.}\end{array}$$

Dấu âm cho biết tàu trinh sát chuyển động về phía sau đối với Nostromo.

Bài tập: VP37.7.4. Hai tàu ở hai phía Trái Đất

Theo người quan sát trên Trái Đất, tàu Macross đang bay thẳng về Trái Đất với tốc độ $\mathrm{0,750}c$. Tàu Yamato ở phía đối diện Trái Đất, trên cùng đường thẳng, có tốc độ $\mathrm{0,650}c$.

Tốc độ của Yamato đối với Macross bằng bao nhiêu nếu Yamato bay (a) về phía Trái Đất và (b) ra xa Trái Đất?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn chiều dương từ Trái Đất về phía vị trí ban đầu của Macross. Khi đó Macross là $u=-\mathrm{0,750}c$. Yamato có vận tốc $+\mathrm{0,650}c$ ở phần (a) và $-\mathrm{0,650}c$ ở phần (b).

Hướng đi:

• Dùng $v^{\prime }=(v-u)/(1-uv/c^2)$ để chuyển từ hệ Trái Đất sang hệ Macross.
• Xác định dấu từ vị trí hai tàu ở hai phía Trái Đất. Đề hỏi tốc độ nên lấy độ lớn của kết quả cuối.

(a) Hai tàu bay về phía nhau:

$$\begin{array}{rl}\frac{v^{\prime }}{c}& =\frac{\mathrm{0,650}+\mathrm{0,750}}{1+\mathrm{0,650}(\mathrm{0,750})}\\ & \approx \mathrm{0,941.}\end{array}$$

(b) Hai tàu có cùng chiều trong hệ Trái Đất:

$$\begin{array}{rl}\frac{v^{\prime }}{c}& =\frac{-\mathrm{0,650}+\mathrm{0,750}}{1-\mathrm{0,650}(\mathrm{0,750})}\\ & \approx \mathrm{0,195.}\end{array}$$

Cả hai tốc độ tương đối đều nhỏ hơn $c$.

Động lượng, lực và năng lượng

Trước nhóm bài này, hãy ôn các ví dụ 37.9–37.11. Khối lượng $m$ là khối lượng nghỉ. Khi dùng $\gamma$, tốc độ trong hệ số ấy là tốc độ của hạt trong hệ đang tính hoặc .

Bài tập: VP37.11.1. Proton chịu lực dọc và lực ngang

Một proton có khối lượng nghỉ $1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$ chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,925}c$. Tìm (a) của proton, (b) gia tốc nếu lực $9,00\times {10}^{-14}\mathrm{N}$ cùng hướng chuyển động và (c) gia tốc nếu lực có cùng độ lớn nhưng vuông góc hướng chuyển động.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $m=1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$, $v=\mathrm{0,925}c$ và $F=9,00\times {10}^{-14}\mathrm{N}$.

Hướng đi:

• Tính $p=\gamma mv$ vì tốc độ không còn thuộc miền cơ học Newton.
• Với lực dọc , dùng $F_{\parallel }={\gamma }^{3}m{a}_{\parallel }$. Cả độ lớn vận tốc và cùng biến thiên.
• Với lực vuông góc ở thời điểm xét, dùng $F_{\perp }=\gamma m{a}_{\perp }$. Khi ấy lực làm đổi hướng vận tốc và tốc độ không đổi tức thời.

là $\gamma \approx \mathrm{2,631}81$.

(a) Độ lớn :

$$\begin{array}{rl}p& =\gamma mv\\ & \approx 1,22\times {10}^{-18}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

cùng hướng .

(b) Gia tốc dọc:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\parallel }& =\frac{F}{{\gamma }^{3}m}\\ & \approx 2,96\times {10}^{12}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

(c) Gia tốc ngang:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\perp }& =\frac{F}{\gamma m}\\ & \approx 2,05\times {10}^{13}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Cùng độ lớn lực nhưng gia tốc ngang lớn hơn gia tốc dọc một hệ số ${\gamma }^2$. Trong cả hai trường hợp đặc biệt này, gia tốc cùng hướng với lực đang xét.

Bài tập: VP37.11.2. Electron có năng lượng toàn phần đã biết

Một electron chuyển động có khối lượng nghỉ $9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$ và toàn phần $4,00\times {10}^{-13}\mathrm{J}$. Tìm (a) động năng, (b) và (c) tốc độ của electron theo đơn vị $c$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $m=9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$ và $E=4,00\times {10}^{-13}\mathrm{J}$.

Hướng đi:

• Tách toàn phần thành $E=K+m{c}^2$ để không đồng nhất động năng với năng lượng toàn phần.
• Dùng $E=\gamma m{c}^2$ để tìm $\gamma$, rồi suy tốc độ từ định nghĩa của .

bằng

$$\begin{array}{rl}{E}_0& =m{c}^2\\ & =\mathrm{8,199}\times {10}^{-14}\mathrm{J}.\end{array}$$

(a) Động năng:

$$\begin{array}{rl}K& =E-E_0\\ & \approx 3,18\times {10}^{-13}\mathrm{J}.\end{array}$$

(b) :

$$\gamma =\frac{E}{E_0}\approx 4,88.$$

(c) Tốc độ:

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}\approx \mathrm{0,979.}$$

Bài tập: VP37.11.3. Electron có động lượng đã biết

Một electron có khối lượng nghỉ $9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$ và độ lớn $2,60\times {10}^{-22}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tìm (a) toàn phần, (b) và (c) tốc độ theo đơn vị $c$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $m=9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$ và $p=2,60\times {10}^{-22}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Dùng hệ thức $E^2=(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$ để tìm trực tiếp từ và khối lượng nghỉ.
• Dùng $\gamma =E/(m{c}^2)$ và $v/c=pc/E$. Công thức cuối suy ra bằng cách chia $p=\gamma mv$ cho $E=\gamma m{c}^2$.

Đặt $E_0=m{c}^2=\mathrm{8,199}\times {10}^{-14}\mathrm{J}$. Đồng thời, $pc=7,80\times {10}^{-14}\mathrm{J}$.

(a) toàn phần:

$$\begin{array}{rl}E& =\sqrt{E_0^2+(pc{)}^2}\\ & \approx 1,13\times {10}^{-13}\mathrm{J}.\end{array}$$

(b) :

$$\gamma =\frac{E}{E_0}\approx 1,38.$$

(c) Tốc độ:

$$\frac{v}{c}=\frac{pc}{E}\approx \mathrm{0,689.}$$

Không được đặt $E=pc$ cho electron. Hệ thức ấy chỉ áp dụng cho hạt có khối lượng nghỉ bằng không.

Bài tập: VP37.11.4. Phân rã meson thành hai kaon

Meson $\psi (2S)$ không bền có $3686\mathrm{MeV}$. Một cách phân rã là tạo thành meson $K^{+}$ và meson $K^{-}$, mỗi hạt có năng lượng nghỉ $495\mathrm{MeV}$. Giả sử meson ban đầu đứng yên.

Tìm (a) động năng theo MeV, (b) và (c) tốc độ theo đơn vị $c$ của mỗi kaon.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: của hạt mẹ là $E_M=3686\mathrm{MeV}$. Hai hạt con có cùng năng lượng nghỉ $E_K=495\mathrm{MeV}$. Hạt mẹ đứng yên trước phân rã.

Hướng đi:

• Bảo toàn : Hai kaon phải có động lượng đối nhau, cùng độ lớn vì tổng động lượng ban đầu bằng không.
• Hai kaon có cùng khối lượng nghỉ, nên cùng độ lớn dẫn đến cùng toàn phần. Bảo toàn năng lượng cho mỗi hạt một nửa năng lượng ban đầu.
• Trừ để tìm động năng, rồi dùng tỉ số toàn phần trên năng lượng nghỉ để tìm $\gamma$ và tốc độ.

Mỗi hạt con có toàn phần

$$E=\frac{E_M}{2}=1843\mathrm{MeV}.$$

(a) Động năng của mỗi kaon:

$$K=E-E_K=1348\mathrm{MeV}.$$

(b) :

$$\gamma =\frac{1843}{495}\approx 3,72.$$

(c) Tốc độ:

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}\approx \mathrm{0,963.}$$

Hai kaon chuyển động ngược chiều nhau. Tổng của hai kaon nhỏ hơn năng lượng nghỉ của hạt mẹ, còn phần chênh lệch trở thành tổng động năng của chúng.

Bài tập cầu nối. Hai chùm proton đối đầu

Bài tập: Bài cầu nối 37. Hai cấu hình tạo cùng một va chạm

Hai proton được bắn thẳng về phía nhau, với hai đối nhau có cùng độ lớn trong phòng thí nghiệm. Trong hệ nghỉ của mỗi proton, proton còn lại chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,500}c$.

(a) Người quan sát trong phòng thí nghiệm đo tốc độ mỗi proton bằng bao nhiêu? (b) Động năng của mỗi proton trong phòng thí nghiệm bằng bao nhiêu? (c) Động năng của mỗi proton trong hệ nghỉ của proton kia bằng bao nhiêu?

Đánh giá thêm: Nhà thực nghiệm phải truyền tổng động năng bao nhiêu cho hai chùm? Nếu giữ một proton đứng yên, proton tới phải có động năng bao nhiêu để va chạm tương đương?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trong phòng thí nghiệm, hai proton có $+\alpha c$ và $-\alpha c$. Tốc độ tương đối bằng $\mathrm{0,500}c$. Dùng khối lượng nghỉ proton $m=1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$.

Hướng đi:

• Chọn trục $x$ theo đường bay của hai proton. Dùng biến đổi để liên hệ tốc độ trong phòng thí nghiệm với tốc độ trong hệ nghỉ của một proton.
• Loại nghiệm $\alpha >1$ vì hạt có khối lượng nghỉ dương không đạt tốc độ lớn hơn hoặc bằng $c$.
• Dùng $K=(\gamma -1)m{c}^2$ trong từng hệ. Với cấu hình bia đứng yên, hệ phòng thí nghiệm mới chính là hệ nghỉ của proton bia.

(a) Chọn proton bên trái chuyển động theo chiều dương. Trong hệ nghỉ của nó, proton bên phải là

$$v^{\prime }=\frac{-\alpha c-\alpha c}{1+{\alpha }^2}.$$

Vì $v^{\prime }=-\mathrm{0,500}c$, ta có

$$\begin{array}{rl}\frac{2\alpha }{1+{\alpha }^2}& =\frac{1}{2}\\ {\alpha }^2-4\alpha +1& =0.\end{array}$$

Hai nghiệm là $2-\sqrt{3}$ và $2+\sqrt{3}$. Chỉ nghiệm thứ nhất thuộc miền vật lý:

$$\alpha =2-\sqrt{3}\approx \mathrm{0,268.}$$

Vậy mỗi proton có tốc độ $\mathrm{0,268}c$ trong phòng thí nghiệm.

(b) của proton là $E_0=m{c}^2\approx 938\mathrm{MeV}$. Với ${\gamma }_{\alpha }\approx \mathrm{1,037}95$, động năng mỗi proton bằng

$$\begin{array}{rl}{K}_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{b}}& =({\gamma }_{\alpha }-1)E_0\\ & \approx 35,6\mathrm{MeV}.\end{array}$$

(c) Trong hệ nghỉ của proton kia, tốc độ là $\mathrm{0,500}c$ và bằng ${\gamma }_r=2/\sqrt{3}$. Do đó,

$$\begin{array}{rl}{K}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}& =({\gamma }_r-1)E_0\\ & \approx 145\mathrm{MeV}.\end{array}$$

Tổng động năng cần truyền cho hai chùm đối đầu trong phòng thí nghiệm bằng

$$\begin{array}{rl}{K}_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{s}}& =2K_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{b}}\\ & \approx 71,2\mathrm{MeV}.\end{array}$$

Nếu giữ một proton làm bia đứng yên, proton tới phải có tốc độ $\mathrm{0,500}c$ trong hệ phòng thí nghiệm mới. Động năng cần cung cấp khi ấy bằng $145\mathrm{MeV}$. Cấu hình hai chùm đối đầu vì thế cần ít tổng động năng hơn để tạo cùng chuyển động tương đối ở va chạm.

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q37.1. Đồng hồ và thước riêng

Bạn đứng trên sân ga quan sát một tàu cao tốc đi qua. Một đèn trong toa được bật rồi tắt sau một khoảng thời gian.

(a) Ai đo được khoảng từ lúc bật đến lúc tắt đèn: Bạn hay hành khách trên tàu? (b) Ai đo được của toa tàu? (c) Ai đo được chiều dài riêng của một biển báo gắn trên cột ở sân ga? Giải thích từng trường hợp.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đèn và toa đứng yên trong hệ tàu. Biển báo đứng yên trong hệ sân ga.

Hướng đi:

• được đo trong hệ mà hai sự kiện xảy ra cùng một vị trí.
• được đo trong hệ nghỉ của vật. Vì vậy, cần xét riêng từng vật trong câu hỏi.

(a) Hành khách đo . Đèn bật và tắt tại cùng một vị trí trong toa, còn vị trí đèn thay đổi trong hệ sân ga.

(b) Hành khách đo của toa vì toa đứng yên đối với họ.

(c) Bạn đo của biển báo vì biển đứng yên trong hệ sân ga. Biển chuyển động đối với hành khách.

Bài tập: Q37.2. Tính đồng thời và quan hệ nhân quả

Nếu tính đồng thời không tuyệt đối, có phải ta phải từ bỏ quan hệ nhân quả hay không? Muốn sự kiện A gây ra sự kiện B thì A phải xảy ra trước. Có thể trong một hệ A là nguyên nhân của B, còn trong hệ khác B lại là nguyên nhân của A hay không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần phân biệt những sự kiện có thể tác động nhân quả với những sự kiện chỉ xảy ra ở các vị trí và thời điểm khác nhau.

Hướng đi:

• Dùng giới hạn truyền tín hiệu không vượt $c$ để nhận ra điều kiện cần cho tác động nhân quả.
• Dùng của khoảng thời gian để xét thứ tự hai sự kiện khi đổi hệ.

Chọn trục $x$ dọc đường nối hai sự kiện. Nếu A có thể tác động đến B, với B xảy ra sau A, thì

$$\mathrm{\Delta }t\ge \frac{|\mathrm{\Delta }x|}{c}>0$$

khi hai sự kiện ở hai vị trí khác nhau. Với mọi hệ quán tính có $|u|<c$,

$$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }t-u\mathrm{\Delta }x/c^2).$$

Vì $|u\mathrm{\Delta }x|/c^2$ nhỏ hơn hoặc bằng $|\mathrm{\Delta }x|/c$, đồng thời $|u|<c$, biểu thức trong ngoặc vẫn dương. B vẫn xảy ra sau A. Nếu A và B ở cùng một vị trí thì kết luận càng trực tiếp, vì $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma \mathrm{\Delta }t>0$.

Chỉ những sự kiện cách nhau quá xa để ánh sáng đi từ sự kiện này đến sự kiện kia mới có thể đổi thứ tự thời gian khi đổi hệ. Hai sự kiện ấy không thể là nguyên nhân trực tiếp của nhau bằng một tín hiệu truyền với tốc độ không vượt $c$. Do đó, không phá vỡ quan hệ nhân quả.

Bài tập: Q37.3. Bóng đèn giữa phòng trong tên lửa

Một tên lửa chuyển động sang phải với tốc độ bằng một nửa tốc độ ánh sáng đối với Trái Đất. Bóng đèn ở giữa một phòng trong tên lửa đột ngột bật sáng. Gọi A là sự kiện ánh sáng chạm đầu trước của phòng và B là sự kiện ánh sáng chạm đầu sau.

Câu hỏi Q37.3: Đèn đặt giữa phòng trong tên lửa, với A ở phía trước và B ở phía sau theo chiều chuyển động.

Sự kiện nào xảy ra trước, hay chúng đồng thời, theo (a) nhà du hành trên tên lửa và (b) người đứng yên trên Trái Đất?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn sáng đặt giữa phòng trong hệ tên lửa. Hai đầu phòng cách nguồn bằng nhau trong hệ ấy. Tên lửa chuyển động sang phải với $u=\mathrm{0,500}c$.

Hướng đi:

• Trong hệ tên lửa, dùng sự bằng nhau của khoảng cách và tốc độ ánh sáng theo hai hướng.
• Trong hệ Trái Đất, xét chuyển động của hai vách trong thời gian ánh sáng truyền. Cả hai chùm sáng vẫn có tốc độ $c$ trong hệ này.

(a) Nhà du hành thấy ánh sáng đi các quãng đường bằng nhau với cùng tốc độ, nên A và B đồng thời.

(b) Trong hệ Trái Đất, vách sau chuyển động đón chùm sáng truyền về phía sau. Vách trước chuyển động ra xa chùm sáng truyền về phía trước. Vì vậy, ánh sáng chạm vách sau trước: B xảy ra trước A.

Ta cũng có thể dùng biến đổi ngược cho hai sự kiện. Trong hệ tên lửa, $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=t_A^{\prime }-t_B^{\prime }=0$ và $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=x_A^{\prime }-x_B^{\prime }>0$. Do đó,

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{\gamma u\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2}>0.$$

Đây là thứ tự các sự kiện đã gán tọa độ trong hệ Trái Đất, không phải thứ tự ánh sáng từ các sự kiện đến mắt một người đứng ở vị trí tùy ý.

Bài tập: Q37.4. Hai tin nhắn nhận cùng lúc

Một tàu bay về Trái Đất từ khu định cư trên tiểu hành tinh 1040A. Khi đi được nửa hành trình và đang ngang Sao Hỏa với tốc độ $0,9c$ đối với hệ Sao Hỏa, một hành khách đồng thời nhận hai tin vô tuyến. Một tin do bạn trai cô ở 1040A gửi, tin kia do chị cô trên Trái Đất gửi.

Theo hành khách trên tàu, hai tin được gửi đồng thời hay ở những thời điểm khác nhau? Nếu khác nhau, tin nào được gửi trước? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tàu bay từ 1040A về Trái Đất. Hai tín hiệu đến tàu tại cùng một sự kiện khi tàu ở giữa hành trình trong hệ các điểm gửi.

Hướng đi:

• Trong mô hình hành trình, coi hai điểm gửi đứng yên trong cùng hệ với mốc Sao Hỏa. Từ vị trí giữa đường, hai tín hiệu có cùng quãng đường truyền trong hệ ấy, nên được phát đồng thời trong hệ ấy.
• Dùng biến đổi thời gian cho hai sự kiện phát, vì hai sự kiện nhận đã trùng nhau còn hai sự kiện phát ở hai nơi khác nhau.

Chọn chiều $+x$ hướng về Trái Đất. Gọi hai sự kiện phát từ Trái Đất và 1040A lần lượt là E và A. Trong hệ các điểm gửi, ta có $t_E-t_A=0$ và $x_E-x_A=D>0$, với $D$ là khoảng cách hai điểm gửi.

Trong hệ tàu,

$$t_E^{\prime }-t_A^{\prime }=-\frac{\gamma uD}{c^2}<0.$$

Vì vậy, hành khách kết luận tin từ Trái Đất được gửi trước tin từ 1040A. Nhận hai tin tại cùng một sự kiện không buộc hai sự kiện gửi ở xa phải đồng thời trong mọi hệ.

Bài tập: Q37.5. Tuổi thọ và khoảng cách du hành

Xét một tuổi thọ trung bình khoảng 70 năm như mốc so sánh cho người ở Hoa Kỳ. Điều đó có làm một người có tuổi thọ như vậy không thể đi xa Trái Đất hơn 70 năm ánh sáng hay không? Một năm ánh sáng là khoảng cách ánh sáng truyền trong một năm. Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng 70 năm là thời gian người du hành trải qua. Khoảng cách tính theo năm ánh sáng được xét trong hệ Trái Đất.

Hướng đi:

• Phân biệt trên đồng hồ người du hành với thời gian trong hệ Trái Đất.
• Dùng hoặc để mô tả cùng chuyến đi trong hai hệ.

Không. Với một chặng bay đều ở tốc độ $u$ rất gần $c$, nếu người du hành trải qua $\tau$ thì thời gian trong hệ Trái Đất là $\gamma \tau$. Quãng đường trong hệ Trái Đất bằng

$$D=u\gamma \tau .$$

Hệ số $\gamma$ có thể rất lớn, nên quãng đường ấy có thể vượt 70 năm ánh sáng trong khi vẫn nhỏ hơn 70 năm. Trong hệ tàu, khoảng cách đến nơi lại bị co, nên cũng không cần vượt tốc độ $c$.

Kết luận này là về khả năng động học của mô hình. Chuyến bay thực tế còn cần gia tốc, , phương tiện bảo vệ và điều kiện sống phù hợp.

Bài tập: Q37.6. Khi nào chiếc đĩa bầu dục trở thành tròn?

Bạn cầm một chiếc đĩa đựng thức ăn có dạng ellipse. Bạn cần chuyển động như thế nào để một người quan sát khác thấy chiếc đĩa có dạng tròn?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chiếc đĩa có bán trục lớn $a$ và bán trục nhỏ $b$, với $a>b$. Cần làm hai kích thước đo trong hệ người quan sát bằng nhau.

Hướng đi:

• Chọn song song trục lớn của ellipse để chỉ kích thước dài hơn chịu co Lorentz.
• Dùng $a^{\prime }=a/\gamma$ và $b^{\prime }=b$. Đặt hai bán trục trong hệ người quan sát bằng nhau.

Giữ trục lớn của đĩa song song tương đối, còn trục nhỏ vuông góc vận tốc. Điều kiện để dạng đo được là tròn là

$$\frac{a}{\gamma }=b.$$

Suy ra tốc độ cần có:

$$\frac{u}{c}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}.$$

Chuyển động theo phương trục nhỏ sẽ làm kích thước vốn ngắn càng ngắn hơn, nên không đạt mục tiêu.

Ở đây, “dạng tròn” được hiểu qua vị trí các điểm đo đồng thời trong hệ người quan sát. Một ảnh chụp quang học còn phụ thuộc thời gian ánh sáng truyền từ từng phần của đĩa đến máy ảnh, như đã phân biệt khi xét hình dạng vật chuyển động.

Bài tập: Q37.7. Hai sự kiện trùng vị trí và thời điểm

Hai sự kiện xảy ra tại cùng một vị trí và đồng thời trong một hệ quán tính. Có thể chúng không đồng thời trong một hệ quán tính khác hay không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai sự kiện có $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }z=0$ và $\mathrm{\Delta }t=0$ trong hệ ban đầu.

Hướng đi:

• Áp dụng cho hiệu tọa độ và hiệu thời gian.
• Phân biệt hai sự kiện đồng thời nhưng cách xa nhau với hai sự kiện trùng cả vị trí lẫn thời điểm.

Biến đổi thời gian cho

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }& =\gamma (\mathrm{\Delta }t-u\mathrm{\Delta }x/c^2)\\ & =0.\end{array}$$

Các hiệu tọa độ không gian cũng bằng không. Vì vậy, hai sự kiện vẫn trùng cả vị trí và thời điểm trong mọi hệ quán tính. Sự trùng nhau của các sự kiện không phụ thuộc hệ quy chiếu.

Bài tập: Q37.8. Chiều dài toa tàu theo ba người

Một tàu cao tốc đi qua sân ga. Larry là hành khách trên tàu, Adam đứng trên sân ga, còn David đi xe đạp về phía sân ga theo cùng chiều chuyển động của tàu. So sánh chiều dài một toa mà ba người đo được.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Larry đứng yên đối với toa. Adam và David chuyển động tương đối với toa ở những tốc độ khác nhau.

Hướng đi:

• Larry đo $L_0$. Người có tốc độ tương đối với toa càng lớn đo chiều dài dọc chuyển động càng nhỏ.
• Dùng biến đổi để xác định tốc độ của tàu đối với David. Không cộng trừ vận tốc theo Galileo khi cần kết luận ở tốc độ tương đối tính.

Gọi tốc độ tàu trong hệ sân ga là $u$, tốc độ xe đạp là $v$. Trong tình huống xe đạp đi chậm hơn tàu theo cùng chiều, $0<v<u$. Tốc độ tàu đối với David bằng

$$w=\frac{u-v}{1-uv/c^2}.$$

Ta có $0<w<u$. Vì vậy, David chuyển động tương đối với toa chậm hơn Adam. Chiều dài đo được thỏa mãn

$$L_{\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{m}}<L_{\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}}<L_0.$$

Larry đo chiều dài lớn nhất, David đo chiều dài trung gian và Adam đo chiều dài nhỏ nhất. Mỗi người phải đo vị trí hai đầu đồng thời trong hệ của mình.

Nếu không biết xe đạp chậm hơn tàu, quy tắc tổng quát vẫn là so sánh độ lớn tốc độ tương đối. Chỉ thông tin “cùng chiều” mà không có thứ tự tốc độ sẽ chưa đủ cho mọi tình huống giả định.

Bài tập: Q37.9. Có giới hạn trên của động lượng và năng lượng không?

Thuyết tương đối đặt một giới hạn trên cho tốc độ của hạt. Có giới hạn trên tương tự cho và của hạt hay không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xét hạt có khối lượng nghỉ dương, với tốc độ tiến gần $c$ từ phía nhỏ hơn.

Hướng đi:

• Dùng $p=\gamma mv$ và $E=\gamma m{c}^2$ để xét giới hạn khi $v$ tiến đến $c$.
• Phân biệt giới hạn của tốc độ với giới hạn của những đại lượng phụ thuộc .

Khi $v$ tiến gần $c$, mẫu trong tiến về không, nên $\gamma$ tăng không bị chặn. Vì thế, và toàn phần của hạt cũng tăng không bị chặn.

Không có một giá trị lớn nhất hữu hạn cho hai đại lượng ấy trong mô hình. Chính sự tăng không bị chặn là lý do không thể gia tốc một hạt có khối lượng nghỉ dương đến $c$ bằng năng lượng hữu hạn.

Với hạt không khối lượng, hệ thức $E=pc$ cũng không đặt một giới hạn hay chung chỉ từ tốc độ truyền bằng $c$.

Bài tập: Q37.10. Hạt không khối lượng có cần tăng tốc từ trạng thái nghỉ?

Một sinh viên phát biểu rằng hạt vật chất có khối lượng nghỉ dương luôn chuyển động chậm hơn ánh sáng, còn hạt không khối lượng phải chuyển động đúng bằng tốc độ ánh sáng. Bạn ấy nêu photon và neutrino làm ví dụ cho hạt không khối lượng.

Hãy đánh giá phát biểu này. Các hạt không khối lượng có phải bắt đầu từ trạng thái nghỉ rồi tăng tốc lên $c$ hay không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần xét riêng quy luật chuyển động của hạt có khối lượng nghỉ dương, của hạt không khối lượng và việc chọn ví dụ về neutrino.

Hướng đi:

• Với hạt có khối lượng nghỉ dương, dùng sự phân kỳ của khi tốc độ tiến đến $c$.
• Với hạt không khối lượng và dương, dùng $E=pc$. Hạt ấy không có hệ quy chiếu nghỉ, nên không thể mô tả sự phát sinh của nó như quá trình tăng tốc từ nghỉ.
• Không đồng nhất neutrino với photon. Dao động neutrino cho thấy không thể coi toàn bộ neutrino là những hạt không khối lượng.

Phần phát biểu về giới hạn tốc độ đúng đối với các hạt tự do đang xét. Hạt có khối lượng nghỉ dương chỉ có tốc độ nhỏ hơn $c$. Photon trong chân không truyền với tốc độ $c$ ngay từ khi được phát ra, với và xác định bởi quá trình phát.

Photon không đi qua một chuỗi trạng thái từ không đến $c$. Không có trạng thái nghỉ của một photon có dương, cũng không có hệ quán tính chuyển động cùng photon.

Việc xếp neutrino vào nhóm ví dụ không khối lượng cần được sửa. Bằng chứng dao động neutrino đòi hỏi các trạng thái khối lượng khác nhau, trong đó không thể tất cả đều bằng không. Nobel Vật lý 2015 ghi nhận phát hiện này.

Bài tập: Q37.11. Ánh sáng trong nước chuyển động

Tốc độ ánh sáng đối với nước đứng yên bằng $2,25\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Nếu nước chuyển động ngang người quan sát, tốc độ ánh sáng người ấy đo được phụ thuộc tốc độ của nước. Hai điều này có vi phạm tiên đề thứ hai của Einstein hay không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ánh sáng truyền trong nước, không phải trong chân không. Nước tạo ra một hệ quy chiếu riêng gắn với môi trường.

Hướng đi:

• Đọc đúng phạm vi tiên đề thứ hai: Tính bất biến áp dụng cho tốc độ ánh sáng trong chân không.
• Khi đổi hệ đối với môi trường chuyển động, dùng biến đổi Lorentz cho tốc độ truyền trong môi trường.

Không có vi phạm. Tốc độ ánh sáng trong nước có thể nhỏ hơn $c$ và thay đổi theo hệ quy chiếu. Trong hệ nghỉ của nước, tốc độ truyền là giá trị đã cho. Trong một hệ khác, tốc độ được biến đổi theo công thức tương đối tính.

Chẳng hạn, nếu nước chuyển động cùng hướng truyền ánh sáng với $u$, gọi $w^{\prime }$ là tốc độ ánh sáng đối với nước, ta có

$$w=\frac{w^{\prime }+u}{1+u{w}^{\prime }/c^2}.$$

Nếu môi trường là chân không và $w^{\prime }=c$, công thức trả về $w=c$. Với $w^{\prime }<c$, kết quả nói chung phụ thuộc $u$.

Bài tập: Q37.12. Dịch bước sóng có mâu thuẫn với tốc độ ánh sáng không đổi?

Khi một nguồn sáng đơn sắc tiến về phía người quan sát, đo được ngắn hơn bước sóng khi nguồn đứng yên. Điều đó có mâu thuẫn với phát biểu tốc độ ánh sáng như nhau đối với mọi người quan sát hay không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chuyển động tương đối làm thay đổi và tần số ánh sáng trong chân không.

Hướng đi:

• Dùng quan hệ $c=f\lambda$ trong từng hệ quán tính.
• Xét đồng thời thay đổi của và bước sóng theo hiệu ứng Doppler, thay vì giữ một đại lượng cố định khi đổi hệ.

Không có mâu thuẫn. Khi nguồn tiến lại gần, người quan sát đo được lớn hơn và bước sóng ngắn hơn. Tích của hai đại lượng vẫn bằng $c$.

không phải đại lượng bất biến giữa các hệ, và tần số cũng vậy. Tính bất biến của tốc độ ánh sáng ràng buộc cách hai đại lượng cùng biến đổi.

Bài tập: Q37.13. Khí nóng có khối lượng lớn hơn khí lạnh không?

Về nguyên tắc, một lượng khí nóng có khối lượng lớn hơn chính lượng khí ấy khi lạnh hay không? Trong thực tế, hiệu ứng ấy có thể đo được hay không? Giải thích.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh cùng lượng khí trong hệ khối tâm, trước và sau khi nội năng tăng. Không thêm hay bớt phân tử.

Hướng đi:

• Dùng tương đương khối lượng– cho toàn hệ khí, vì khối lượng hệ gồm cả năng lượng chuyển động nhiệt và tương tác nội.
• Phân biệt khối lượng của hệ khí với tổng khối lượng nghỉ riêng lẻ của các phân tử.

Nếu khí nhận thêm nội năng $\mathrm{\Delta }U$ thì khối lượng của hệ tăng một lượng

$$\mathrm{\Delta }M=\frac{\mathrm{\Delta }U}{c^2}.$$

Khối lượng nghỉ riêng lẻ của mỗi phân tử không vì chuyển động nhiệt mà thay đổi. Phần tăng thuộc nội của toàn hệ trong hệ khối tâm.

Do $c^2$ rất lớn, thay đổi khối lượng do đun nóng thông thường cực nhỏ. Đo trực tiếp bằng phép cân thông thường rất khó. Khả năng đo trong một bố trí cụ thể còn tùy lượng khí, mức tăng và độ nhạy thiết bị. Phải kiểm soát trao đổi vật chất và các tác động cơ học đi kèm trước khi gán một số chỉ cân cho hiệu ứng này.

Bài tập: Q37.14. Vì sao cơ học Newton ra đời trước?

Vì sao cơ học Newton được phát triển trước cơ học tương đối tính tinh tế hơn nhiều năm?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần liên hệ miền quan sát được với mức độ tinh vi của phép đo và các vấn đề mà lý thuyết phải giải quyết.

Hướng đi:

• Dùng : Khi tốc độ nhỏ so với $c$, cơ học tương đối tính trở về các dự đoán Newton với độ chính xác cao.
• Xét nhu cầu thực nghiệm dẫn tới việc mở rộng lý thuyết, đặc biệt là điện từ học và phép đo tốc độ ánh sáng.

Phần lớn chuyển động cơ học trong sinh hoạt, kỹ thuật và thiên văn quan sát ban đầu có tốc độ nhỏ so với $c$. Trong miền ấy, hiệu ứng , và hiệu chỉnh rất nhỏ. Cơ học Newton giải thích tốt những phép đo sẵn có mà không cần cấu trúc không thời gian tinh vi hơn.

Khi điện từ học phát triển và phép đo trở nên chính xác hơn, mối quan hệ giữa tốc độ ánh sáng, hệ quy chiếu và phép đo không gian–thời gian trở thành một vấn đề cần giải quyết. Lý thuyết mới phải mở rộng cơ học cũ, đồng thời giữ được những thành công của nó trong miền nhỏ.

Bài tập: Q37.15. Nếu tốc độ ánh sáng chỉ bằng 10 mét mỗi giây

Bạn dự đoán cuộc sống hằng ngày sẽ khác thế nào nếu tốc độ ánh sáng bằng $10\mathrm{m}/\mathrm{s}$ thay cho $3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xét một mô hình giả định trong đó tốc độ giới hạn rất gần các tốc độ chuyển động quen thuộc.

Hướng đi:

• So sánh tốc độ của người và phương tiện với tốc độ giới hạn mới để xác định khi nào các hiệu ứng tương đối tính trở nên rõ.
• Phân biệt hiệu ứng và với độ trễ do ánh sáng cần thời gian để truyền đến mắt.

Những chuyển động thông thường đã có thể chiếm một phần đáng kể của $c$. Các đồng hồ chuyển động tương đối sẽ cho chênh lệch thời gian rõ hơn, còn chiều dài đo dọc chuyển động sẽ thay đổi đáng kể. Phép cộng Galileo không còn dùng được cho nhiều hoạt động quen thuộc.

Vật có khối lượng nghỉ dương không thể đạt hoặc vượt $10\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tăng động năng khi đã gần giới hạn ấy chủ yếu làm và tăng, trong khi tốc độ chỉ tăng ít. Ánh sáng truyền từ những vật ở xa cũng cần thời gian đủ lớn để độ trễ trở nên rõ rệt.

Đây là cách khảo sát các hệ quả động học bằng một mô hình giả định. Một vũ trụ tự nhất quán với hằng số $c$ thay đổi còn đòi hỏi xét lại cấu trúc vật chất và những quá trình vật lý khác, nên không thể chỉ thay tốc độ giao thông rồi giữ nguyên mọi chi tiết đời sống.

Bài tập 37.1–37.13

Tính đồng thời và giãn thời gian

Bài tập 37: 1

Giả sử hai tia sét ở Hình 37.5a xảy ra đồng thời đối với người quan sát trên tàu. Chứng minh chúng không đồng thời đối với người quan sát trên mặt đất. Người trên mặt đất xác định tia sét nào đánh trước?

Bài 37.1: Hai vị trí sét đánh và các tín hiệu ánh sáng được xét trong hệ mặt đất và hệ tàu đang chạy.

Chú thích:

• Sét đánh vào đầu và đuôi một đoàn tàu (các điểm A′ và B′) và đánh xuống mặt đất tại các điểm A và B. (Lightning hits the front and back of a train (points A′ and B′) and hits the ground at points A and B.)
• Bên trong đoàn tàu, Mavis chuyển động về phía ánh sáng truyền tới từ đầu tàu và ra xa ánh sáng truyền tới từ đuôi tàu. (Inside the train, Mavis moves toward the light coming from the front of the train and away from the light coming from the back of the train.)
• Mavis nhìn thấy ánh sáng từ đầu tàu trước, nên cô cho rằng sét đánh vào đầu tàu trước. (Mavis sees the light from the front of the train first, so she believes that the lightning hit the front of the train first.)
• Stanley nhìn thấy sét đánh vào hai điểm cùng lúc, nên anh cho rằng sét đánh vào hai đầu đoàn tàu đồng thời. (Stanley sees the lightning hit the two points at the same time, so he believes that the lightning hit the two ends of the train simultaneously.)
• Ánh sáng từ đuôi tàu vẫn chưa truyền tới Mavis. ((The light from the rear of the train has not reached Mavis yet.))

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tàu chuyển động theo chiều dương. Hai sự kiện ở hai đầu toa đồng thời trong hệ tàu $S^{\prime }$, nên $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=0$. Vị trí phía trước có tọa độ lớn hơn phía sau.

Hướng đi:

• Dùng ngược cho hiệu thời gian vì đề cho tính đồng thời trong hệ tàu và hỏi thứ tự trong hệ mặt đất.
• Giữ rõ chiều dương từ đuôi đến đầu tàu để dấu thời gian có ý nghĩa xác định.

Lấy hiệu “phía trước trừ phía sau”. Trong hệ tàu, $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }>0$. Biến đổi ngược cho

$$\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+u\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }/c^2).$$

Vì $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=0$,

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{\gamma u\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2}>0.$$

Sự kiện ở đầu tàu xảy ra sau sự kiện ở đuôi trong hệ mặt đất. Người trên mặt đất vì thế xác định tia sét phía sau đánh trước. Đây là thứ tự thời gian của hai sự kiện sau khi xét thời gian ánh sáng truyền, không chỉ là thứ tự tín hiệu đến mắt.

Bài tập 37: 2

Muon dương ${\mu }^{+}$ là hạt không bền có thời gian sống trung bình trong hệ nghỉ bằng $2,20\times {10}^{-6}\mathrm{s}$.

(a) Nếu hạt chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,900}c$ đối với phòng thí nghiệm, thời gian sống trung bình trong phòng bằng bao nhiêu? (b) Trong hệ phòng thí nghiệm, hạt đi được quãng đường trung bình bao nhiêu trước khi phân rã?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: ${\tau }_0=2,20\times {10}^{-6}\mathrm{s}$ và $v=\mathrm{0,900}c$.

Hướng đi:

• Dùng $\tau =\gamma {\tau }_0$ vì thời gian sống đã cho là của hạt.
• Tính quãng đường bằng $d=v\tau$ với cả tốc độ và thời gian lấy trong hệ phòng thí nghiệm.

Với $\gamma \approx \mathrm{2,294}16$, ta có

$$\tau =\gamma {\tau }_0\approx 5,05\times {10}^{-6}\mathrm{s}.$$

Quãng đường trung bình là

$$d=v\tau \approx 1,36\times {10}^3\mathrm{m}.$$

Đây là giá trị trung bình của phân bố phân rã, không phải một khoảng cách cố định mà mọi muon đều đi được.

Bài tập 37: 3

Một tên lửa phải bay nhanh bao nhiêu đối với Trái Đất để tốc độ chạy của đồng hồ trong tên lửa chỉ bằng một nửa tốc độ chạy mà người trên Trái Đất dùng để so sánh? Máy bay phản lực thông thường có tiến gần tốc độ đó hay không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trong một khoảng thời gian $\mathrm{\Delta }t$ của hệ Trái Đất, đồng hồ tên lửa tăng số chỉ $\mathrm{\Delta }{t}_0=\mathrm{\Delta }t/2$.

Hướng đi:

• Dùng $\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0$ để đổi yêu cầu về tốc độ chạy đồng hồ thành yêu cầu về .
• Giải định nghĩa của $\gamma$ để tìm tỉ số $v/c$.

Điều kiện cho $\gamma =2$. Vì vậy,

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{2^2}}\approx \mathrm{0,866.}$$

Tốc độ cần có là $\mathrm{0,866}c$, tức xấp xỉ $2,60\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Máy bay phản lực thông thường có tốc độ nhỏ hơn rất nhiều so với giá trị này. Hiệu ứng của máy bay vì thế chỉ có thể nhận ra bằng phép đo thời gian đủ chính xác.

Bài tập 37: 4

Một tàu vũ trụ bay ngang Sao Hỏa với tốc độ $\mathrm{0,985}c$ đối với bề mặt hành tinh. Khi tàu ở ngay phía trên, một đèn tín hiệu trên mặt đất bật rồi tắt. Người quan sát trên Sao Hỏa đo thời gian đèn sáng bằng $75,0\mu \mathrm{s}$.

(a) Người trên Sao Hỏa hay phi công trên tàu đo ? (b) Phi công đo khoảng thời gian đèn sáng bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đèn đứng yên trên Sao Hỏa, có thời gian sáng $\mathrm{\Delta }{t}_0=75,0\mu \mathrm{s}$. Tốc độ tương đối $u=\mathrm{0,985}c$.

Hướng đi:

• Nhận ra hai sự kiện bật và tắt ở cùng vị trí trong hệ Sao Hỏa, nên khoảng thời gian đo trong hệ ấy là .
• Dùng để tìm khoảng thời gian giữa hai sự kiện trong hệ tàu. Đây là thời gian gán cho các sự kiện, đã phân biệt với độ dài tín hiệu nhìn thấy do ánh sáng truyền đến tàu.

(a) Người quan sát trên Sao Hỏa đo .

(b) Với $\gamma \approx \mathrm{5,795}28$,

$$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0\approx 435\mu \mathrm{s}.$$

Khoảng thời gian trong hệ tàu dài hơn khoảng .

Bài tập 37: 5

Pion âm ${\pi }^{-}$ là hạt không bền có thời gian sống trung bình trong hệ nghỉ bằng $2,60\times {10}^{-8}\mathrm{s}$. Khi hạt chuyển động rất nhanh đối với phòng thí nghiệm, thời gian sống trung bình đo trong phòng là $4,20\times {10}^{-7}\mathrm{s}$.

(a) Tìm tốc độ của pion theo đơn vị $c$. (b) Trong hệ phòng thí nghiệm, pion đi được quãng đường trung bình bao nhiêu trong thời gian sống ấy?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: ${\tau }_0=2,60\times {10}^{-8}\mathrm{s}$ và $\tau =4,20\times {10}^{-7}\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Từ tỉ số hai thời gian, tìm $\gamma =\tau /{\tau }_0$ vì pion mang đồng hồ riêng của quá trình phân rã.
• Suy tốc độ từ $\gamma$, rồi nhân với thời gian sống trong hệ phòng thí nghiệm để tìm quãng đường trong chính hệ ấy.

bằng $\gamma \approx \mathrm{16,153}8$.

(a) Tốc độ là

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}\approx \mathrm{0,998}08.$$

(b) Quãng đường trung bình:

$$d=v\tau \approx 126\mathrm{m}.$$

Bài tập 37: 6

Bạn lái một xe tiện ích vũ trụ với không đổi về phía Mặt Trăng. Một phi công đua bay ngang bạn với tốc độ không đổi $\mathrm{0,800}c$ đối với bạn. Ngay lúc đi ngang nhau, hai người cùng khởi động bộ đếm từ không.

(a) Khi bạn xác định tàu đua đã đi xa bạn $1,20\times {10}^8\mathrm{m}$, đồng hồ phi công chỉ bao nhiêu? (b) Khi đồng hồ phi công chỉ giá trị tìm được ở (a), cô đo khoảng cách từ mình đến bạn bằng bao nhiêu? (c) Ở thời điểm đồng hồ phi công chỉ giá trị ấy, đồng hồ bạn chỉ bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn $S$ gắn với bạn và $S^{\prime }$ gắn với phi công. Tốc độ tương đối $u=\mathrm{0,800}c$ và $\gamma =5/3$.

Hướng đi:

• Phần (a) cho vị trí tàu trong hệ bạn, nên trước hết dùng $t=x/u$ trong hệ $S$, rồi đổi sang trên tàu đua.
• Phần (b) xét khoảng cách đo đồng thời trong hệ phi công, nên dùng thời gian và trong $S^{\prime }$.
• Phần (c) phải nêu hệ quy chiếu dùng để xác định “cùng lúc”, vì hai đồng hồ ở xa nhau. Tiếp tục cách xác định đồng thời trong hệ phi công như phần (b).

(a) Trong hệ bạn, sự kiện đồng hồ trên tàu đua được đọc có tọa độ thời gian

$$t=\frac{1,20\times {10}^8}{\mathrm{0,800}c}=\mathrm{0,500}\mathrm{s}.$$

Đồng hồ phi công chỉ

$$t^{\prime }=\frac{t}{\gamma }=\mathrm{0,300}\mathrm{s}.$$

(b) Trong hệ phi công, bạn chuyển động ngược chiều với tốc độ $u$. Ở $t^{\prime }=\mathrm{0,300}\mathrm{s}$, khoảng cách đo trong hệ ấy bằng

$$D^{\prime }=u{t}^{\prime }=7,20\times {10}^7\mathrm{m}.$$

(c) Gọi F là sự kiện trên đồng hồ bạn được xem là đồng thời với $t^{\prime }=\mathrm{0,300}\mathrm{s}$ trong hệ phi công. Vì bạn luôn ở $x_F=0$ trong hệ $S$, biến đổi thời gian cho $t_F^{\prime }=\gamma t_F$. Do đó,

$$t_F=\frac{\mathrm{0,300}}{5/3}=\mathrm{0,180}\mathrm{s}.$$

Nếu dùng đồng thời trong hệ của bạn ở phần (a), đồng hồ bạn lại chỉ $\mathrm{0,500}\mathrm{s}$. Hai con số gắn với hai sự kiện khác nhau trên đồng hồ bạn. Chúng không mâu thuẫn, mà làm rõ vì sao phải chỉ rõ hệ quy chiếu của từ “cùng lúc”.

Bài tập 37: 7

Bạn đứng ở sân sau nhà và quan sát một tàu ngoài hành tinh bay qua ở rất xa. Bạn đo thời gian đèn rọi của tàu bật sáng bằng $\mathrm{0,150}\mathrm{s}$. Sĩ quan trên tàu đo thời gian ấy bằng $12,0\mathrm{ms}$.

(a) Thời gian nào là ? (b) Tốc độ tàu đối với Trái Đất bằng bao nhiêu, viết theo đơn vị $c$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đèn gắn với tàu. Thời gian trong hệ tàu là ${\tau }_0=\mathrm{0,012}0\mathrm{s}$, còn thời gian giữa hai sự kiện trong hệ Trái Đất là $\tau =\mathrm{0,150}\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Chọn từ hệ mà đèn bật và tắt tại cùng một vị trí.
• Tìm $\gamma$ từ tỉ số thời gian rồi suy tốc độ. Hiểu thời gian đo là thời gian của các sự kiện sau khi xét truyền ánh sáng, không đồng nhất với hiệu thời điểm tín hiệu đến mắt khi khoảng cách thay đổi.

(a) Số đo $12,0\mathrm{ms}$ trên tàu là .

(b) Ta có $\gamma =\mathrm{0,150}/\mathrm{0,012}0=12,5$. Suy ra

$$\begin{array}{rl}\frac{v}{c}& =\sqrt{1-\frac{1}{12,5^2}}\\ & \approx \mathrm{0,996}8.\end{array}$$

Chiều dài và quãng đường trong hai hệ

Bài tập 37: 8

Tại $x=x^{\prime }=0$ và $t=t^{\prime }=0$, một đồng hồ phát tiếng tích tắc trên tàu đang bay theo chiều $+x$ với bằng 100, nên tốc độ rất gần $c$. Thuyền trưởng nghe lần tích tắc tiếp theo sau $1,00\mathrm{s}$ trong hệ tàu. Ta gán vị trí và thời điểm nào cho lần tích tắc thứ hai?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đồng hồ ở gốc hệ tàu, với $x^{\prime }=0$, $t^{\prime }=1,00\mathrm{s}$ ở lần tích tắc thứ hai. $\gamma =100$.

Hướng đi:

• Dùng ngược vì biết tọa độ sự kiện trên tàu.
• Tìm tốc độ từ hoặc dùng $u\approx c$ khi tính vị trí gần đúng.

Thời điểm trong hệ ta là

$$t=\gamma (t^{\prime }+u{x}^{\prime }/c^2)=100\mathrm{s}.$$

Tốc độ tàu thỏa mãn $u/c=\sqrt{1-{10}^{-4}}$. Vị trí lần tích tắc thứ hai là

$$\begin{array}{rl}x& =\gamma (x^{\prime }+u{t}^{\prime })\\ & \approx 3,00\times {10}^{10}\mathrm{m}.\end{array}$$

Tọa độ $x$ dương vì tàu bay theo chiều $+x$.

Bài tập 37: 9

Một tàu của Liên đoàn Thương mại bay ngang hành tinh Coruscant với tốc độ $\mathrm{0,600}c$. Nhà khoa học trên hành tinh đo chiều dài tàu chuyển động bằng $74,0\mathrm{m}$. Sau đó tàu hạ cánh, và cùng nhà khoa học đo lại chiều dài tàu đang đứng yên. Kết quả bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chiều dài chuyển động $l=74,0\mathrm{m}$ và tốc độ $u=\mathrm{0,600}c$.

Hướng đi:

• Dùng $l=l_0/\gamma$ vì chiều dài ban đầu được đo trong hệ tàu chuyển động.
• Sau khi tàu hạ cánh và đứng yên, nhà khoa học đo được $l_0$.

Với $\gamma =1,25$,

$$l_0=\gamma l=92,5\mathrm{m}.$$

Bài tập 37: 10

Một thước mét chuyển động ngang bạn rất nhanh, với song song chiều dài thước. Bạn đo chiều dài của nó bằng $1,00\mathrm{ft}$, chẳng hạn bằng cách so với thước một foot đứng yên bên mình. Biết $1\mathrm{ft}=\mathrm{0,304}8\mathrm{m}$. Tốc độ thước bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $l_0=1,00\mathrm{m}$ và chiều dài chuyển động $l=\mathrm{0,304}8\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng dọc chuyển động. Độ dài một mét là giá trị trong hệ nghỉ của thước, không phải số đo của mọi người quan sát.
• Giải $l/l_0=\sqrt{1-v^2/c^2}$ để tìm tốc độ.

Suy ra

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-{\left(\frac{l}{l_0}\right)}^2}.$$

Thay tỉ số $l/l_0=\mathrm{0,304}8$, ta được $v\approx \mathrm{0,952}4c$.

Bài tập 37: 11

Muon là hạt không bền, phân rã tạo electron và có thời gian sống trung bình $2,2\mu \mathrm{s}$ trong hệ nghỉ. Chúng sinh ra khi tia vũ trụ tương tác với khí quyển ở độ cao khoảng $10\mathrm{km}$ và chuyển động rất gần tốc độ ánh sáng. Vì sao ta vẫn phát hiện được muon ở mặt đất?

(a) Quãng đường lớn nhất một muon có thể đi trong khoảng $2,2\mu \mathrm{s}$ bằng bao nhiêu? (b) Nếu muon có tốc độ $\mathrm{0,999}c$, người đứng yên trên Trái Đất đo thời gian sống trung bình và quãng đường trung bình bằng bao nhiêu? Kết quả có giải thích việc muon đến mặt đất không? (c) Trong hệ muon, nó chỉ sống trung bình $2,2\mu \mathrm{s}$. Bề dày $10\mathrm{km}$ khí quyển trong hệ ấy bằng bao nhiêu, và muon vượt qua khoảng này như thế nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: ${\tau }_0=2,2\mu \mathrm{s}$, độ cao $H_0=10\mathrm{km}$ và tốc độ $v=\mathrm{0,999}c$.

Hướng đi:

• Phần (a) dùng giới hạn tốc độ $c$ để tìm cận trên của quãng đường trong khoảng thời gian đã nêu.
• Trong hệ Trái Đất, dùng trước khi tính quãng đường.
• Trong hệ muon, dùng của khí quyển. Hai cách phải mô tả cùng khả năng đi đến mặt đất.

(a) Cận trên theo tốc độ ánh sáng là

$$d_{max}=c{\tau }_0=660\mathrm{m}.$$

Một hạt có khối lượng nghỉ dương không đạt đúng cận trên này. Quan trọng hơn, không được lấy ${\tau }_0$ làm thời gian sống trong hệ Trái Đất khi muon chuyển động rất nhanh.

(b) Với $\gamma \approx \mathrm{22,366}$,

$$\tau =\gamma {\tau }_0\approx 49\mu \mathrm{s}.$$

Quãng đường trung bình trong hệ Trái Đất là

$$d=v\tau \approx 15\mathrm{km}.$$

Giá trị trước làm tròn là khoảng $14,75\mathrm{km}$, lớn hơn $10\mathrm{km}$. Vì phân rã là quá trình thống kê, điều này không có nghĩa mọi muon đều đến mặt đất, nhưng giải thích vì sao một phần đáng kể có thể tới nơi.

(c) Trong hệ muon, bề dày cần vượt qua co thành

$$H=\frac{H_0}{\gamma }\approx 0,45\mathrm{km}.$$

Giá trị trước làm tròn là khoảng $447\mathrm{m}$. Mặt đất tiến lại gần muon với tốc độ $\mathrm{0,999}c$, nên thời gian cần để đến muon bằng

$${\tau }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{p}}=\frac{H}{v}\approx 1,5\mu \mathrm{s}.$$

Khoảng này nhỏ hơn thời gian sống trung bình riêng $2,2\mu \mathrm{s}$. Hai mô tả hoàn toàn phù hợp.

Bài tập 37: 12

Một tàu vũ trụ bay ngang Trái Đất với tốc độ bằng $91,0\mathrm{\%}$ tốc độ ánh sáng. Bác sĩ trên tàu đo chiều cao một nhà du hành đang nằm dọc phương chuyển động.

(a) Nếu bác sĩ đo chiều cao bằng $2,00\mathrm{m}$, người trên Trái Đất đo được bao nhiêu? (b) Nếu người trên Trái Đất đo được $2,00\mathrm{m}$, bác sĩ đo được bao nhiêu? Chiều cao ấy có hợp lý đối với một người không? (c) Nhà du hành ở phần (a) đứng dậy, để cơ thể vuông góc phương chuyển động. Hai người quan sát đo chiều cao bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $u=\mathrm{0,910}c$. Kích thước cơ thể trong hệ nghỉ không đổi khi nhà du hành đổi tư thế.

Hướng đi:

• Khi cơ thể nằm dọc chuyển động, dùng $l=l_0/\gamma$.
• Khi cơ thể vuông góc tương đối, kích thước ấy không bị co Lorentz.
• Phần (a) và (b) giả định hai độ dài được cho trong hai hệ khác nhau, nên phải giải theo hai chiều ngược nhau.

Ta có $\gamma \approx \mathrm{2,411}92$.

(a) Với chiều cao riêng $l_0=2,00\mathrm{m}$,

$$l=\frac{l_0}{\gamma }\approx \mathrm{0,829}\mathrm{m}.$$

(b) Nếu chiều cao đo từ Trái Đất là $l=2,00\mathrm{m}$, bác sĩ đo được

$$l_0=\gamma l\approx 4,82\mathrm{m}.$$

Đây không phải chiều cao hợp lý của một người bình thường.

(c) Với nhà du hành ở phần (a), khi cơ thể vuông góc , cả bác sĩ và người đo trên Trái Đất đều thu được $2,00\mathrm{m}$.

Bài tập 37: 13

Một đường băng trên Trái Đất dài $3600\mathrm{m}$ theo người đứng yên trên mặt đất. Một tàu bay ngang đường băng với tốc độ $4,00\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

(a) Phi công đo chiều dài đường băng bằng bao nhiêu? (b) Người trên Trái Đất đo thời gian từ lúc tàu ở trên đầu này đến lúc ở trên đầu kia của đường băng bằng bao nhiêu? (c) Phi công đo thời gian đi qua đường băng bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: của đường băng $L_0=3600\mathrm{m}$ và tốc độ tương đối $u=4,00\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Dùng vì đường băng chuyển động trong hệ phi công.
• Tính thời gian trên mặt đất bằng $L_0/u$.
• Thời gian phi công đo là giữa hai lần tàu đi ngang hai đầu đường băng. Chia thời gian mặt đất cho $\gamma$, hoặc chia chiều dài đã co cho $u$.

là $\gamma \approx \mathrm{1,009}01$.

(a) Chiều dài trong hệ phi công:

$$L=\frac{L_0}{\gamma }\approx 3,57\times {10}^3\mathrm{m}.$$

(b) Thời gian trong hệ Trái Đất:

$$t=\frac{L_0}{u}=90,0\mu \mathrm{s}.$$

(c) Thời gian trên tàu:

$$\tau =\frac{t}{\gamma }=\frac{L}{u}\approx 89,2\mu \mathrm{s}.$$

Bài tập 37.14–37.24

Biến đổi tọa độ và vận tốc

Bài tập 37: 14

Biến đổi tọa độ Lorentz chọn $t=t^{\prime }$ tại $x=x^{\prime }=0$. Ngoài vị trí gốc ấy, những giá trị nào của $x$ và $x^{\prime }$ cũng cho $t=t^{\prime }$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hệ $S^{\prime }$ chuyển động với $u$ theo trục $x$ của $S$. Hai gốc trùng nhau ở $t=t^{\prime }=0$. Cần tìm những sự kiện được hai hệ gán cùng tọa độ thời gian.

Hướng đi:

• Đặt điều kiện $t^{\prime }=t$ vào biến đổi thời gian Lorentz để tìm quan hệ giữa $x$ và $t$.
• Thay quan hệ ấy vào biến đổi vị trí để liên hệ $x^{\prime }$ với $x$. Hai tọa độ này phải thuộc cùng một sự kiện.

Với $u\ne 0$, từ $t^{\prime }=\gamma (t-ux/c^2)=t$ suy ra

$$\frac{\gamma ux}{c^2}=(\gamma -1)t.$$

Dùng hệ thức ${\gamma }^2-1={\gamma }^2{u}^2/c^2$, ta thu được

$$x=\frac{\gamma ut}{\gamma +1}.$$

Thay vào $x^{\prime }=\gamma (x-ut)$ cho

$$x^{\prime }=-x.$$

Vì vậy, các sự kiện có tọa độ đối nhau $x^{\prime }=-x$ trong hai hệ được gán cùng thời gian. Quan hệ này đi kèm giá trị $x$ theo $t$ vừa tìm, chứ không có nghĩa mọi sự kiện ở một vị trí cố định tùy ý đều có hai số chỉ thời gian bằng nhau. Nếu $u=0$, hai hệ trùng nhau và $t=t^{\prime }$ ở mọi vị trí.

Bài tập 37: 15

Người quan sát trong hệ $S^{\prime }$ chuyển động sang phải, theo chiều $+x$, với tốc độ $u=\mathrm{0,600}c$ đối với hệ $S$. Người ấy đo của một hạt bay sang phải ra xa mình là $v^{\prime }$.

Người trong hệ $S$ đo được nào nếu (a) $v^{\prime }=\mathrm{0,400}c$, (b) $v^{\prime }=\mathrm{0,900}c$ và (c) $v^{\prime }=\mathrm{0,990}c$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: hệ là $u=+\mathrm{0,600}c$. Vận tốc hạt trong hệ chuyển động cũng mang dấu dương.

Hướng đi:

• Dùng biến đổi ngược $v=(v^{\prime }+u)/(1+u{v}^{\prime }/c^2)$ vì đề cho trong $S^{\prime }$ và hỏi vận tốc trong $S$.
• Đặt các theo đơn vị $c$ để tính bằng các tỉ số không thứ nguyên.

Gọi $b=v/c$ và $b^{\prime }=v^{\prime }/c$. Ta có

$$b=\frac{b^{\prime }+\mathrm{0,600}}{1+\mathrm{0,600}{b}^{\prime }}.$$

Thay lần lượt các giá trị:

Phần	$v^{\prime }/c$	$v/c$
(a)	$\mathrm{0,400}$	$\mathrm{0,806}$
(b)	$\mathrm{0,900}$	$\mathrm{0,974}$
(c)	$\mathrm{0,990}$	$\mathrm{0,997}5$

Cả ba đều hướng sang phải và có độ lớn nhỏ hơn $c$.

Bài tập 37: 16

Mavis bay ngang Stanley với tốc độ không đổi $\mathrm{0,800}c$. Khi đầu tàu của Mavis ở ngay trên Stanley, hai người đặt bộ đếm thời gian về không. Khi đồng hồ Mavis chỉ $5,00\mathrm{s}$, cô bật một đèn sáng dưới đầu tàu.

(a) Dùng để tìm tọa độ $x,t$ của sự kiện bật đèn trong hệ Stanley. (b) Dùng để tìm khoảng thời gian từ lúc đầu tàu đi ngang đến lúc bật đèn trong hệ Stanley, rồi so sánh với (a). (c) Nhân khoảng thời gian ấy với tốc độ Mavis trong hệ Stanley để tính quãng đường và so sánh với $x$ ở (a).

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn $S$ gắn Stanley và $S^{\prime }$ gắn đầu tàu. Sự kiện bật đèn có $x^{\prime }=0$, $t^{\prime }=5,00\mathrm{s}$. hệ là $u=\mathrm{0,800}c$.

Hướng đi:

• Dùng ngược cho phần (a).
• Hai sự kiện xảy ra cùng vị trí ở đầu tàu, nên $5,00\mathrm{s}$ là . Đó là lý do công thức ở (b) áp dụng được.
• Trong hệ Stanley, tàu chuyển động đều nên $x=ut$ ở phần (c).

Với $\gamma =5/3$, phần (a) cho

$$\begin{array}{rl}t& =\gamma (t^{\prime }+u{x}^{\prime }/c^2)\\ & =8,33\mathrm{s},\\ x& =\gamma (x^{\prime }+u{t}^{\prime })\\ & =2,00\times {10}^9\mathrm{m}.\end{array}$$

(b) Từ ,

$$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0=8,33\mathrm{s}.$$

Kết quả đúng bằng tọa độ thời gian ở phần (a), vì thời điểm ban đầu được chọn bằng không.

(c) Quãng đường là

$$x=u\mathrm{\Delta }t=2,00\times {10}^9\mathrm{m}.$$

Kết quả cũng trùng với biến đổi tọa độ. Ba cách dùng nhất quán cùng hệ quy chiếu và cùng cặp sự kiện.

Bài tập 37: 17

Một tàu truy đuổi từ hành tinh Tatooine tìm cách bắt kịp tuần dương hạm của Liên đoàn Thương mại. Trong hệ Tatooine, tuần dương hạm bay ra xa hành tinh với tốc độ $\mathrm{0,600}c$, còn tàu truy đuổi bay cùng chiều với tốc độ $\mathrm{0,800}c$.

(a) Để bắt kịp, của tuần dương hạm đối với tàu truy đuổi phải hướng về hay ra xa tàu truy đuổi? (b) Tốc độ tương đối ấy bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn chiều dương ra xa Tatooine. Tuần dương hạm ở phía trước có $v=\mathrm{0,600}c$, còn hệ tàu truy đuổi có $u=\mathrm{0,800}c$.

Hướng đi:

• Xét dấu của mục tiêu trong hệ tàu truy đuổi. Mục tiêu ở trước phải tiến lại gần để khoảng cách giảm.
• Dùng biến đổi thuận để tìm giá trị.

(a) tương đối của tuần dương hạm phải hướng về tàu truy đuổi, tức theo chiều âm đã chọn.

(b) Ta có

$$\begin{array}{rl}\frac{v^{\prime }}{c}& =\frac{\mathrm{0,600}-\mathrm{0,800}}{1-\mathrm{0,600}(\mathrm{0,800})}\\ & \approx -\mathrm{0,385.}\end{array}$$

Tốc độ tương đối bằng $\mathrm{0,385}c$. Dấu âm phù hợp với việc khoảng cách giữa hai tàu giảm.

Bài tập 37: 18

Một tàu địch tiến về chiến đấu cơ của bạn với tốc độ $\mathrm{0,400}c$ trong hệ của bạn. Tàu địch phóng tên lửa về phía bạn với tốc độ $\mathrm{0,700}c$ đối với nó.

Bài 37.18: Tàu địch phóng tên lửa về phía chiến đấu cơ đang làm mốc hệ quy chiếu.

Chú thích:

• Tàu địch (Enemy)
• Chiến đấu cơ (Starfighter)

(a) Tốc độ tên lửa đối với bạn bằng bao nhiêu theo đơn vị $c$? (b) Bạn đo khoảng cách đến tàu địch tại thời điểm phóng bằng $8,00\times {10}^6\mathrm{km}$. Trong hệ của bạn, tên lửa mất bao lâu để đến nơi?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn chiều dương từ tàu địch đến chiến đấu cơ. Trong hệ của bạn, tàu địch có $u=+\mathrm{0,400}c$, còn tên lửa có $v^{\prime }=+\mathrm{0,700}c$ trong hệ tàu địch. Khoảng cách lúc phóng là $D=8,00\times {10}^9\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng cộng Lorentz để chuyển vận tốc tên lửa từ hệ tàu địch sang hệ của bạn.
• Tính thời gian bằng khoảng cách chia tốc độ trong cùng hệ của bạn. Chiến đấu cơ đứng yên tại điểm đến trong hệ ấy.

(a) Tỉ số tốc độ tên lửa là

$$\begin{array}{rl}\frac{v}{c}& =\frac{\mathrm{0,700}+\mathrm{0,400}}{1+\mathrm{0,700}(\mathrm{0,400})}\\ & =\mathrm{0,859}375.\end{array}$$

Vậy $v\approx \mathrm{0,859}c$.

(b) Thời gian bay là

$$t=\frac{D}{v}\approx 31,0\mathrm{s}.$$

Không cộng hai tốc độ thành $1,10c$, vì phép cộng ấy không áp dụng trong miền tương đối tính.

Bài tập 37: 19

Hai hạt sinh ra trong máy gia tốc cao và chuyển động theo hai hướng ngược nhau. Trong hệ phòng thí nghiệm, hạt thứ nhất có tốc độ $\mathrm{0,650}c$. Tốc độ mỗi hạt đối với hạt kia bằng $\mathrm{0,950}c$. Tốc độ hạt thứ hai trong phòng thí nghiệm bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Gọi tốc độ hạt thứ hai là $bc$, với $0<b<1$. Hai trong phòng thí nghiệm ngược dấu.

Hướng đi:

• Dùng công thức tốc độ tương đối của hai vật chuyển động đối đầu.
• Giải phương trình theo $b$, rồi kiểm tra rằng kết quả nhỏ hơn một.

Tốc độ tương đối thỏa mãn

$$\mathrm{0,950}=\frac{\mathrm{0,650}+b}{1+\mathrm{0,650}b}.$$

Chuyển vế và gom các số hạng chứa $b$ cho

$$\mathrm{0,382}5b=\mathrm{0,300.}$$

Suy ra $b\approx \mathrm{0,784}$. Hạt thứ hai chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,784}c$ theo hướng ngược hạt thứ nhất trong hệ phòng thí nghiệm.

Bài tập 37: 20

Hai hạt trong thí nghiệm máy gia tốc bay thẳng về phía nhau. Mỗi hạt có tốc độ $\mathrm{0,938}0c$ trong phòng thí nghiệm. Độ lớn của một hạt đối với hạt kia bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai trong phòng thí nghiệm là $+bc$ và $-bc$, với $b=\mathrm{0,938}0$.

Hướng đi:

• Chuyển sang hệ nghỉ của một hạt bằng phép biến đổi Lorentz.
• Lấy độ lớn vì đề hỏi tốc độ tương đối, không hỏi hướng.

Tốc độ tương đối $w$ là

$$\frac{w}{c}=\frac{2b}{1+b^2}\approx \mathrm{0,998}0.$$

Mỗi hạt vẫn đo hạt kia chuyển động chậm hơn $c$, dù tốc độ khép khoảng cách được tính theo tọa độ phòng thí nghiệm là $2bc>c$. Tốc độ khép khoảng cách ấy không phải của một hạt trong hệ nghỉ của hạt kia.

Bài tập 37: 21

Hai hạt bay thẳng về phía nhau với tốc độ tương đối $\mathrm{0,890}c$. Chúng có cùng độ lớn trong phòng thí nghiệm. Mỗi hạt có tốc độ bao nhiêu trong phòng thí nghiệm?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: hai hạt trong phòng thí nghiệm là $+bc$ và $-bc$. Tốc độ tương đối là $rc$, với $r=\mathrm{0,890}$.

Hướng đi:

• Dùng $r=2b/(1+b^2)$ để lập phương trình bậc hai.
• Chọn nghiệm trong khoảng $0<b<1$, vì hạt có khối lượng nghỉ dương không đạt tốc độ ánh sáng.

Phương trình cần giải là

$$r{b}^2-2b+r=0.$$

Nghiệm thuộc miền vật lý có thể viết

$$b=\frac{r}{1+\sqrt{1-r^2}}\approx \mathrm{0,611.}$$

Vậy mỗi hạt có tốc độ $\mathrm{0,611}c$ trong phòng thí nghiệm, theo hai hướng ngược nhau.

Hiệu ứng Doppler điện từ

Bài tập 37: 22

Kính thiên văn trên Trái Đất thu bức xạ từ một ngôi sao đang rời xa Trái Đất với tốc độ $\mathrm{0,520}c$. bức xạ trong hệ nghỉ của sao là $8,64\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$. Người trên Trái Đất đo được tần số bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: riêng $f_0=8,64\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$ và tỉ số tốc độ rời xa $b=\mathrm{0,520}$.

Hướng đi:

• Dùng công thức cho nguồn rời xa, nên thu phải nhỏ hơn tần số phát.
• Giữ căn bậc hai của tỉ số $(1-b)/(1+b)$, vì không dùng công thức Doppler âm cho ánh sáng trong chân không.

Ta có

$$\begin{array}{rl}f& =f_0\sqrt{\frac{1-b}{1+b}}\\ & \approx 4,86\times {10}^{14}\mathrm{Hz}.\end{array}$$

giảm phù hợp với chuyển động rời xa.

Bài tập 37: 23

(a) Bạn phải tiến về một đèn giao thông đỏ có $675\mathrm{nm}$ với tốc độ bao nhiêu để ánh sáng ấy có bước sóng vàng $575\mathrm{nm}$ trong hệ của bạn? Viết kết quả theo đơn vị $c$.

(b) Nếu dùng dịch màu này để giải thích việc vượt đèn đỏ, bạn sẽ chịu mức phạt tốc độ bao nhiêu trong mô hình sau: Mỗi $1\mathrm{km}/\mathrm{h}$ vượt quá giới hạn $90\mathrm{km}/\mathrm{h}$ bị phạt $1,00$ đô la?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: trong hệ đèn là ${\lambda }_0=675\mathrm{nm}$, còn bước sóng bạn đo là $\lambda =575\mathrm{nm}$. Giới hạn tốc độ là $90\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

Hướng đi:

• Khi tiến lại gần, giảm theo Doppler. Dùng $\lambda /{\lambda }_0=\sqrt{(1-b)/(1+b)}$ với $b=v/c$.
• Bình phương tỉ số để giải theo $b$.
• Đổi tốc độ từ mét mỗi giây sang kilômét mỗi giờ bằng hệ số $3,6$ trước khi tính mức vượt giới hạn.

(a) Đặt $r=\lambda /{\lambda }_0=575/675$. Từ quan hệ Doppler,

$$b=\frac{1-r^2}{1+r^2}\approx \mathrm{0,159.}$$

Tốc độ cần thiết là khoảng $\mathrm{0,159}c$.

(b) Với $c=3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tốc độ trên tương ứng

$$v\approx \mathrm{1,717}\times {10}^8\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Gọi $V$ là giá trị số của tốc độ tính bằng $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Mức phạt theo mô hình là $V-90$ đô la, xấp xỉ $1,72\times {10}^8$ đô la.

Đây là một bài toán giả định về độ lớn của hiệu ứng Doppler. Tốc độ để đổi màu đèn theo cách này vượt rất xa tốc độ của phương tiện giao thông thông thường.

Bài tập 37: 24

Một nguồn bức xạ điện từ chuyển động dọc đường nối nguồn với bạn. bạn đo được lớn gấp $1,25$ lần tần số trong hệ nghỉ của nguồn. Tốc độ tương đối bằng bao nhiêu? Nguồn tiến lại gần hay rời xa bạn?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tỉ số thu và tần số riêng là $r=f/f_0=1,25$.

Hướng đi:

• tăng cho biết nguồn và người thu tiến lại gần nhau trong chuyển động dọc đường nối.
• Bình phương $r=\sqrt{(1+b)/(1-b)}$ rồi giải $b=u/c$.

Ta được

$$b=\frac{r^2-1}{r^2+1}\approx \mathrm{0,220.}$$

Nguồn tiến lại gần với tốc độ khoảng $\mathrm{0,220}c$.

Bài tập 37.25–37.39

Động lượng và lực

Bài tập 37: 25

Một hạt đi ngang chúng ta với bằng $1,12$. Hạt thứ hai đi ngang với tốc độ gấp đôi hạt thứ nhất.

(a) của hạt thứ hai bằng bao nhiêu? (b) Ở tốc độ nhỏ so với $c$, của hạt thứ hai sẽ gấp đôi hạt thứ nhất trong phép so sánh hai hạt cùng khối lượng. Với các tốc độ tương đối tính ở đây, tỉ số độ lớn động lượng bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: ${\gamma }_1=1,12$ và $v_2=2v_1$. Phép so sánh bằng một tỉ số số học xác định đòi hỏi hai khối lượng nghỉ bằng nhau.

Hướng đi:

• Tìm tốc độ hạt thứ nhất từ định nghĩa , rồi nhân đôi tốc độ trước khi tính ${\gamma }_2$.
• Dùng $p=\gamma mv$. Chỉ triệt tiêu khối lượng khi hai hạt có cùng khối lượng nghỉ.

(a) Từ ${\gamma }_1=1,12$,

$$\frac{v_1}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }_1^2}}\approx \mathrm{0,450}34.$$

Vì vậy, $v_2/c\approx \mathrm{0,900}68$ và ${\gamma }_2\approx 2,30$.

(b) Với hai hạt cùng khối lượng nghỉ,

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{2{\gamma }_2}{{\gamma }_1}\approx 4,11.$$

Nếu hai khối lượng nghỉ khác nhau, tỉ số tổng quát phải nhân thêm $m_2/m_1$. Không thể suy ra một tỉ số duy nhất chỉ từ hai tốc độ khi chưa có điều kiện khối lượng ấy.

Bài tập 37: 26

Một quả bóng chày có khối lượng nghỉ $\mathrm{0,145}\mathrm{kg}$. Tính độ lớn lực cần để tạo gia tốc $1,00\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ cùng hướng khi tốc độ ban đầu bằng (a) $10,0\mathrm{m}/\mathrm{s}$, (b) $\mathrm{0,900}c$ và (c) $\mathrm{0,990}c$.

(d) Lặp lại ba phần trên khi lực và gia tốc vuông góc .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $m=\mathrm{0,145}\mathrm{kg}$, độ lớn gia tốc $a=1,00\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ và ba tốc độ đã cho.

Hướng đi:

• Với gia tốc dọc , dùng $F_{\parallel }={\gamma }^{3}ma$ vì cả độ lớn vận tốc và thay đổi.
• Với gia tốc ngang , dùng $F_{\perp }=\gamma ma$. Đây là hai trường hợp đặc biệt mà lực cùng phương gia tốc.
• Ở $10,0\mathrm{m}/\mathrm{s}$, gần một nên phải tìm lại gần đúng Newton.

Tính tại từng tốc độ rồi thay vào hai biểu thức cho kết quả:

Tốc độ	$F_{\parallel }$ (N)	$F_{\perp }$ (N)
$10,0\mathrm{m}/\mathrm{s}$	$\mathrm{0,145}$	$\mathrm{0,145}$
$\mathrm{0,900}c$	$1,75$	$\mathrm{0,333}$
$\mathrm{0,990}c$	$51,7$	$1,03$

Ba giá trị ở cột lực dọc lần lượt trả lời (a), (b), (c). Cột lực ngang trả lời (d). Khi tốc độ tiến gần $c$, lực cần cho cùng gia tốc dọc tăng mạnh hơn lực cần cho cùng gia tốc ngang.

Bài tập 37: 27

Một proton có độ lớn $p_0$ khi tốc độ bằng $\mathrm{0,400}c$. Khi tốc độ tăng gấp đôi lên $\mathrm{0,800}c$, động lượng có độ lớn bằng bao nhiêu theo $p_0$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cùng một proton được so sánh ở hai tốc độ $v_1=\mathrm{0,400}c$ và $v_2=\mathrm{0,800}c$.

Hướng đi:

• Dùng tỉ số $p_2/p_0={\gamma }_2{v}_2/({\gamma }_1{v}_1)$ để triệt tiêu khối lượng nghỉ.
• Không chỉ nhân với hai, vì cũng tăng khi tốc độ tăng.

Với ${\gamma }_1\approx \mathrm{1,091}09$ và ${\gamma }_2=5/3$,

$$\frac{p_2}{p_0}=\frac{2{\gamma }_2}{{\gamma }_1}\approx 3,06.$$

Vậy mới bằng $3,06p_0$.

Bài tập 37: 28

Theo phi hành đoàn, một tàu hình trụ dài $120\mathrm{m}$, đường kính $25\mathrm{m}$ và có khối lượng nghỉ $4,0\times {10}^3\mathrm{kg}$. Tàu chuyển động dọc trục hình trụ ngang chúng ta. Ta đo chiều dài tàu bằng $90\mathrm{m}$.

(a) Ta đo đường kính bằng bao nhiêu? (b) Độ lớn tàu trong hệ của ta bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $L_0=120\mathrm{m}$, chiều dài chuyển động $L=90\mathrm{m}$, đường kính riêng $D_0=25\mathrm{m}$ và khối lượng nghỉ $m=4,0\times {10}^3\mathrm{kg}$.

Hướng đi:

• Đường kính vuông góc nên không bị co Lorentz.
• Suy $\gamma =L_0/L$ từ chiều dài dọc trục, rồi tìm tốc độ và dùng $p=\gamma mv$.

(a) Đường kính đo được vẫn bằng $25\mathrm{m}$.

(b) và tốc độ thỏa mãn

$$\begin{array}{rl}\gamma & =\frac{120}{90}=\frac{4}{3},\\ \frac{v}{c}& =\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}\\ & \approx \mathrm{0,661}4.\end{array}$$

Do đó,

$$\begin{array}{rl}p& =\gamma mv\\ & \approx 1,1\times {10}^{12}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Bài tập 37: 29

(a) Hạt phải chuyển động với tốc độ bao nhiêu để lớn gấp đôi kết quả tính bằng biểu thức phi tương đối tính $mv$?

(b) Một lực cùng hướng chuyển động tác dụng lên hạt. Ở tốc độ nào, lực cần để tạo một gia tốc đã cho lớn gấp đôi lực cần để tạo cùng gia tốc khi hạt đứng yên? Viết các tốc độ theo đơn vị $c$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh cùng khối lượng nghỉ và cùng ở phần (a). So sánh cùng gia tốc dọc chuyển động ở phần (b).

Hướng đi:

• Tỉ số trên $mv$ là $\gamma$.
• Tỉ số lực dọc cần cho cùng gia tốc so với lúc đứng yên là ${\gamma }^3$, nên hai câu hỏi không cho cùng .

(a) Điều kiện $\gamma =2$ cho

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\approx \mathrm{0,866.}$$

(b) Điều kiện ${\gamma }^3=2$ cho $\gamma =2^{1/3}$. Do đó,

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-2^{-2/3}}\approx \mathrm{0,608.}$$

Công và năng lượng

Bài tập 37: 30

Mặt Trời phát nhờ các phản ứng nhiệt hạch. Công suất bức xạ được cho bằng $3,8\times {10}^{26}\mathrm{W}$.

(a) Mặt Trời mất bao nhiêu kilogram khối lượng mỗi giây do phát ? Xấp xỉ bao nhiêu ton theo đơn vị $1\mathrm{ton}=2000\mathrm{lb}$? (b) Nếu giữ nguyên tốc độ mất khối lượng ấy, cần bao lâu để dùng hết khối lượng Mặt Trời?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công suất $P=3,8\times {10}^{26}\mathrm{W}$. Dùng khối lượng Mặt Trời $M_{\odot }=1,99\times {10}^{30}\mathrm{kg}$ và $1\mathrm{lb}=\mathrm{0,453}59237\mathrm{kg}$. Đơn vị ton trong câu hỏi là short ton, không phải tấn mét.

Hướng đi:

• Từ $E=m{c}^2$, suy tốc độ giảm khối lượng bằng công suất chia $c^2$.
• Đổi short ton sang kilogram trước khi tính số ton mỗi giây.
• Phần (b) chỉ là phép ngoại suy với công suất không đổi, nên chia tổng khối lượng cho tốc độ mất khối lượng đã tính.

(a) Độ lớn tốc độ mất khối lượng là

$$\dot{m}=\frac{P}{c^2}\approx 4,2\times {10}^9\mathrm{kg}/\mathrm{s}.$$

Một short ton xấp xỉ $\mathrm{907,185}\mathrm{kg}$. Vì vậy, Mặt Trời mất khoảng $4,7\times {10}^6$ short ton mỗi giây theo mô hình.

(b) Thời gian ngoại suy là

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{M_{\odot }}{\dot{m}}\\ & \approx 4,7\times {10}^{20}\mathrm{s}\\ & \approx 1,5\times {10}^{13}\text{ years}.\end{array}$$

Đây không phải tuổi thọ dự đoán của Mặt Trời. Phép tính giả định toàn bộ khối lượng đều có thể chuyển thành với công suất không đổi, trong khi cấu trúc và nhiên liệu của sao đặt những giới hạn khác.

Bài tập 37: 31

Tìm tốc độ của một hạt khi động năng bằng (a) và (b) năm lần năng lượng nghỉ.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt có khối lượng nghỉ dương. Động năng thỏa mãn $K=qm{c}^2$, với $q=1$ hoặc $q=5$.

Hướng đi:

• Dùng $K=(\gamma -1)m{c}^2$ để suy $\gamma =q+1$.
• Tìm $v/c=\sqrt{1-1/{\gamma }^2}$ cho từng hệ số.

(a) Với $K=m{c}^2$, ta có $\gamma =2$, nên $v\approx \mathrm{0,866}c$.

(b) Với $K=5m{c}^2$, ta có $\gamma =6$, nên

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{36}}\approx \mathrm{0,986.}$$

Bài tập 37: 32

Một muon chuyển động với tốc độ $\mathrm{0,999}c$. Khối lượng nghỉ muon bằng 207 lần khối lượng nghỉ electron. Tìm và động năng của muon.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $v=\mathrm{0,999}c$, $m_{\mu }=207m_e$ và $m_e=9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$.

Hướng đi:

• Tính khối lượng nghỉ muon từ tỉ số đã cho.
• Dùng $p=\gamma m_{\mu }v$ và $K=(\gamma -1)m_{\mu }{c}^2$ vì tốc độ rất gần $c$.

Ta có $m_{\mu }\approx 1,89\times {10}^{-28}\mathrm{kg}$ và $\gamma \approx \mathrm{22,366}$.

Độ lớn bằng

$$\begin{array}{rl}p& =\gamma m_{\mu }v\\ & \approx 1,26\times {10}^{-18}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

cùng hướng . Động năng là

$$\begin{array}{rl}K& =(\gamma -1)m_{\mu }{c}^2\\ & \approx 3,63\times {10}^{-10}\mathrm{J}.\end{array}$$

Bài tập 37: 33

Một proton có khối lượng nghỉ $1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$ và toàn phần bằng $4,00$ lần . Tìm (a) động năng, (b) độ lớn và (c) tốc độ proton.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Gọi $E_0=m{c}^2$. Đề cho $E=4E_0$, tương ứng $\gamma =4$.

Hướng đi:

• Lấy toàn phần trừ để tìm động năng.
• Dùng $E^2=E_0^2+(pc{)}^2$ để tìm mà không cần tính tốc độ trước.
• Suy tốc độ trực tiếp từ .

(a) Động năng bằng

$$K=3E_0\approx 4,51\times {10}^{-10}\mathrm{J}.$$

(b) Hệ thức – cho $pc=\sqrt{15}{E}_0$. Do đó,

$$\begin{array}{rl}p& =\sqrt{15}mc\\ & \approx 1,94\times {10}^{-18}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

(c) Tốc độ là

$$\frac{v}{c}=\frac{\sqrt{15}}{4}\approx \mathrm{0,968.}$$

Bài tập 37: 34

Một hạt có khối lượng nghỉ $m$. Cần thực hiện công bao nhiêu để tăng tốc hạt (a) từ trạng thái nghỉ đến $\mathrm{0,090}c$ và (b) từ $\mathrm{0,900}c$ đến $\mathrm{0,990}c$? Viết kết quả theo $m{c}^2$. (c) So sánh hai công ấy.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai khoảng tăng tốc có cùng độ tăng tốc độ $\mathrm{0,090}c$, nhưng bắt đầu ở những miền tốc độ khác nhau.

Hướng đi:

• Dùng định lý công–động năng $W=\mathrm{\Delta }K$ với động năng tương đối tính.
• Vì khối lượng nghỉ không đổi, $W=({\gamma }_f-{\gamma }_i)m{c}^2$. So sánh hiệu , không chỉ so sánh độ tăng tốc độ.

(a) Từ nghỉ, ${\gamma }_i=1$. Kết quả là

$$\frac{W_a}{m{c}^2}\approx \mathrm{0,004}07.$$

(b) Với hai tốc độ đã cho, ${\gamma }_i\approx \mathrm{2,294}16$ và ${\gamma }_f\approx \mathrm{7,088}81$. Suy ra

$$\frac{W_b}{m{c}^2}\approx 4,79.$$

(c) Tỉ số hai công bằng

$$\frac{W_b}{W_a}\approx 1,18\times {10}^3.$$

Cùng tăng tốc độ thêm $\mathrm{0,090}c$, nhưng ở gần $c$ cần công lớn hơn khoảng 1180 lần. Nếu tiếp tục tiến đến $c$, công cần thiết tăng không bị chặn.

Bài tập 37: 35

Một hạt có khối lượng nghỉ $6,64\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$ và độ lớn $2,10\times {10}^{-18}\mathrm{kg}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tìm (a) toàn phần, (b) động năng và (c) tỉ số động năng trên .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết $m$ và $p$. Cần phân biệt toàn phần $E$ với động năng $K$.

Hướng đi:

• Dùng hệ thức – để tìm $E$.
• Tính $E_0=m{c}^2$ và lấy $K=E-E_0$, rồi lập tỉ số không thứ nguyên.

là $E_0=\mathrm{5,976}\times {10}^{-10}\mathrm{J}$, còn $pc=6,30\times {10}^{-10}\mathrm{J}$.

(a) toàn phần:

$$\begin{array}{rl}E& =\sqrt{E_0^2+(pc{)}^2}\\ & \approx 8,68\times {10}^{-10}\mathrm{J}.\end{array}$$

(b) Động năng:

$$\begin{array}{rl}K& =E-E_0\\ & \approx 2,71\times {10}^{-10}\mathrm{J}.\end{array}$$

(c) Tỉ số cần tìm là $K/E_0\approx \mathrm{0,453}$.

Bài tập 37: 36

Electron được gia tốc qua hiệu điện thế $750\mathrm{kV}$ nên có động năng $7,50\times {10}^5\mathrm{eV}$. (a) Tìm tỉ số tốc độ electron trên $c$. (b) Nếu tính bằng cơ học cổ điển, tốc độ sẽ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $K=7,50\times {10}^5\mathrm{eV}$, $m_e=9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$ và $1\mathrm{eV}=\mathrm{1,602}\times {10}^{-19}\mathrm{J}$.

Hướng đi:

• Tính $\gamma =1+K/(m_e{c}^2)$ từ động năng tương đối tính rồi suy tốc độ.
• Tính riêng giá trị cổ điển từ $K=m_e{v}^2/2$ để nhận ra giới hạn áp dụng của công thức ấy.

(a) Với electron xấp xỉ $\mathrm{0,512}\mathrm{MeV}$ khi dùng các hằng số đã làm tròn, ta được $\gamma \approx \mathrm{2,465}4$. Do đó,

$$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}\approx \mathrm{0,914.}$$

(b) Công thức cổ điển cho

$$\begin{array}{rl}{v}_{\mathrm{N}}& =\sqrt{\frac{2K}{m_e}}\\ & \approx 5,14\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Giá trị này bằng khoảng $1,71c$, không thể là của electron. Kết quả vượt $c$ chỉ ra rằng công thức động năng cổ điển không phù hợp ở mức đang xét.

Bài tập 37: 37

Dùng khối lượng proton $1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$. Tính động năng bằng cả biểu thức phi tương đối tính và tương đối tính, rồi lấy tỉ số kết quả tương đối tính chia kết quả phi tương đối tính cho hai tốc độ: (a) $8,00\times {10}^7\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và (b) $2,85\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cùng một proton được xét ở hai tốc độ. Cần so sánh hai mô hình động năng trong cùng hệ quy chiếu.

Hướng đi:

• Tính $K_{\mathrm{N}}=m{v}^2/2$ và $K=(\gamma -1)m{c}^2$ ở từng tốc độ.
• Lấy tỉ số $K/K_{\mathrm{N}}$ sau khi tính cả hai giá trị, không thay $v$ bằng $c$ trong biểu thức gần đúng.

Kết quả là

Phần	$K_{\mathrm{N}}$ (J)	$K$ (J)
(a)	$5,34\times {10}^{-12}$	$5,65\times {10}^{-12}$
(b)	$6,78\times {10}^{-11}$	$3,31\times {10}^{-10}$

Các tỉ số tương ứng là $1,06$ ở phần (a) và $4,88$ ở phần (b). Sai khác tăng rõ khi tốc độ tiến gần $c$.

Bài tập 37: 38

Hai proton, mỗi hạt có khối lượng nghỉ $M=1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$, ban đầu bay ngược chiều với cùng tốc độ. Va chạm tạo thêm một hạt ${\eta }^0$ có khối lượng nghỉ $m=9,75\times {10}^{-28}\mathrm{kg}$, còn hai proton vẫn tồn tại.

(a) Nếu cả ba hạt đứng yên sau va chạm, tốc độ ban đầu mỗi proton bằng bao nhiêu theo đơn vị $c$? (b) Động năng ban đầu mỗi proton bằng bao nhiêu MeV? (c) của ${\eta }^0$ bằng bao nhiêu MeV? (d) Nêu quan hệ giữa kết quả (b) và (c).

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tổng ban đầu bằng không do hai proton có cùng tốc độ ngược chiều. Ở trạng thái cuối được xét, toàn bộ là của hai proton và hạt mới.

Hướng đi:

• Dùng bảo toàn toàn phần trong hệ phòng thí nghiệm, đồng thời cũng là hệ khối tâm của hai chùm đối đầu.
• Hai proton vẫn tồn tại nên của chúng có ở cả hai vế. Phần động năng ban đầu tạo năng lượng nghỉ của hạt ${\eta }^0$.
• Chia đều tổng động năng ban đầu cho hai proton vì cấu hình đối xứng.

Bảo toàn cho

$$2\gamma M{c}^2=(2M+m)c^2.$$

(a) là

$$\gamma =1+\frac{m}{2M}\approx \mathrm{1,291}92.$$

Do đó, tốc độ ban đầu bằng $v\approx \mathrm{0,633}c$.

(b) Động năng mỗi proton là

$$K=\frac{m{c}^2}{2}\approx 274\mathrm{MeV}.$$

(c) hạt mới:

$$E_{\eta }=m{c}^2\approx 548\mathrm{MeV}.$$

(d) Ta có $E_{\eta }=2K$. Toàn bộ tổng động năng ban đầu đã chuyển thành của hạt mới trong trạng thái ngưỡng đang xét. Khối lượng nghỉ của mỗi proton vẫn được giữ nguyên.

Bài tập 37: 39

(a) Electron bắt đầu từ nghỉ phải được gia tốc qua hiệu điện thế có độ lớn bao nhiêu để đạt tốc độ $\mathrm{0,980}c$? (b) Động năng ở tốc độ ấy bằng bao nhiêu joule và electronvolt?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron bắt đầu từ nghỉ, có $v=\mathrm{0,980}c$, $m_e=9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$ và điện tích $q=-e$.

Hướng đi:

• Tính động năng tương đối tính $K=(\gamma -1)m_e{c}^2$.
• Dùng điện $\mathrm{\Delta }K=-q\mathrm{\Delta }V=e\mathrm{\Delta }V$. Electron phải đi về phía điện thế tăng để được gia tốc từ nghỉ.
• Đổi joule sang electronvolt bằng $e$ joule ứng với mỗi electronvolt.

tại tốc độ đã cho là $\gamma \approx \mathrm{5,025}19$.

(a) Độ tăng điện thế cần có là

$$\mathrm{\Delta }V=\frac{K}{e}\approx 2,06\times {10}^6\mathrm{V}.$$

(b) Động năng tương ứng là

$$\begin{array}{rl}K& \approx 3,30\times {10}^{-13}\mathrm{J}\\ & \approx 2,06\times {10}^6\mathrm{eV}.\end{array}$$

Bài tập 37.40–37.54

Bài tập 37: 40

Một con lắc dao động trong tàu bay ngang Trái Đất với tốc độ $\mathrm{0,750}c$. (a) Nếu nhà du hành đo thời gian một lần dao động bằng $1,80\mathrm{s}$, người ở trung tâm điều khiển trên Trái Đất đo được bao nhiêu? (b) Nếu người ở trung tâm điều khiển đo thời gian ấy bằng $1,80\mathrm{s}$, nhà du hành đo được bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Con lắc gắn với tàu và $u=\mathrm{0,750}c$. Hai lần con lắc trở lại cùng trạng thái được xét tại cùng vị trí trong hệ tàu.

Hướng đi:

• Thời gian trên tàu là của một chu kỳ. Dùng $T=\gamma T_0$.
• Phần (a) nhân với $\gamma$, còn phần (b) chia cho $\gamma$, vì hai số $1,80\mathrm{s}$ được cho trong hai hệ khác nhau.

Với $\gamma \approx \mathrm{1,511}86$, phần (a) cho $T\approx 2,72\mathrm{s}$. Phần (b) cho $T_0\approx 1,19\mathrm{s}$.

Các kết quả là khoảng thời gian gán cho những sự kiện trong từng hệ, đã phân biệt với thời gian tín hiệu ánh sáng truyền đến người quan sát.

Bài tập 37: 41

Tàu của Liên bang Mặt Trời mang biểu tượng hình tròn. Tàu của Đế chế Deneb mang biểu tượng ellipse, có trục lớn bằng $1,40$ lần trục nhỏ. Tàu Đế chế cần bay nhanh bao nhiêu đối với người quan sát để biểu tượng của nó có thể bị nhầm với biểu tượng hình tròn của Liên bang?

Bài 37.41: Biểu tượng tròn của Liên bang và biểu tượng ellipse có trục lớn a bằng 1,40 lần trục nhỏ b của Đế chế.

Chú thích:

• Liên bang (Federation)
• Đế chế (Empire)

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trong hệ tàu, trục lớn $a=1,40b$. Muốn hai kích thước đo trong hệ người quan sát bằng nhau, cần co trục lớn mà không co trục nhỏ.

Hướng đi:

• Chọn phương bay song song trục lớn của biểu tượng. Chiều trục nhỏ vuông góc chuyển động nên giữ nguyên.
• Đặt $a/\gamma =b$ để tìm , rồi suy tốc độ.

Điều kiện là $\gamma =a/b=1,40$. Do đó,

$$\frac{u}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{1,{40}^2}}\approx \mathrm{0,700.}$$

Tàu phải bay với tốc độ khoảng $\mathrm{0,700}c$, theo phương trục lớn của biểu tượng. Kết luận nói về hình dạng xác định bằng các phép đo đồng thời. Nếu xét ảnh chụp, còn phải tính thời gian ánh sáng từ những điểm khác nhau truyền đến máy ảnh.

Bài tập 37: 42

Một khối kim loại hình lập phương cạnh $a$ đứng yên trong hệ $S$, với một cạnh song song trục $x$. Thể tích trong hệ ấy là $a^3$. Hệ $S^{\prime }$ chuyển động dọc trục $x$ với tốc độ $u$. Người trong hệ $S^{\prime }$ đo thể tích khối bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Một kích thước song song tương đối và hai kích thước vuông góc vận tốc ấy.

Hướng đi:

• Co Lorentz chỉ tác động lên cạnh dọc trục $x$.
• Thể tích trong một hệ được xác định từ vị trí các mặt tại cùng thời điểm trong hệ ấy.

Ba kích thước trong $S^{\prime }$ lần lượt là $a/\gamma$, $a$, $a$. Do đó,

$$V^{\prime }=\frac{a^3}{\gamma }=a^3\sqrt{1-u^2/c^2}.$$

Khối lập phương trở thành khối hộp theo các phép đo đồng thời trong hệ $S^{\prime }$.

Bài tập 37: 43

Một tàu thăm dò được gửi đến gần sao Capella, cách Trái Đất $42,2$ năm ánh sáng trong hệ Trái Đất. Tàu bay với tốc độ $\mathrm{0,993}0c$. Một nhà du hành 19 tuổi lúc rời Trái Đất sẽ có tuổi sinh học bao nhiêu khi tàu đến Capella?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách riêng trong mô hình hệ Trái Đất là $D_0=42,2$ năm ánh sáng, còn tốc độ tàu $u=\mathrm{0,993}0c$. Bỏ qua thời gian tăng tốc và giảm tốc.

Hướng đi:

• Tính thời gian bay trong hệ Trái Đất bằng $t=D_0/u$.
• Tuổi sinh học tăng theo trên tàu $\tau =t/\gamma$, không theo thời gian Trái Đất.

Thời gian trong hệ Trái Đất xấp xỉ $\mathrm{42,497}5$ năm. Với $\gamma \approx \mathrm{8,466}37$, nhà du hành trải qua

$$\tau =\frac{t}{\gamma }\approx 5,02\text{ years}.$$

Tuổi sinh học khi đến nơi vì thế xấp xỉ $24,0$ tuổi.

Bài tập 37: 44

Hạt ${\mathrm{\Sigma }}^{+}$ có thời gian sống trung bình riêng $80,2\mathrm{ps}$. Nhà vật lý đo thời gian sống trung bình của hạt chuyển động trong phòng thí nghiệm bằng $403\mathrm{ps}$. Khối lượng nghỉ của hạt là $2,12\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$.

(a) Tốc độ hạt bằng bao nhiêu? (b) Trong hệ phòng thí nghiệm, hạt đi được quãng đường trung bình bao nhiêu? (c) , động năng và toàn phần trong hệ phòng bằng bao nhiêu? (d) Ba năng lượng ấy trong hệ nghỉ của hạt bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: ${\tau }_0=80,2\mathrm{ps}$, $\tau =403\mathrm{ps}$ và $m=2,12\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$. Một picôgiây bằng ${10}^{-12}\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Tìm $\gamma =\tau /{\tau }_0$ từ , rồi suy tốc độ và quãng đường.
• Dùng $E_0=m{c}^2$, $K=(\gamma -1)E_0$, $E=\gamma E_0$ trong hệ phòng.
• Trong hệ nghỉ của hạt, động năng bằng không nhưng vẫn giữ nguyên.

xấp xỉ $\mathrm{5,024}94$.

(a) Tốc độ hạt bằng $\mathrm{0,980}c$, tương ứng khoảng $2,94\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

(b) Quãng đường trung bình là

$$d=v\tau \approx \mathrm{0,118}\mathrm{m}.$$

(c) Trong hệ phòng thí nghiệm:

Đại lượng	Giá trị (J)
$E_0$	$1,91\times {10}^{-10}$
Động năng $K$	$7,68\times {10}^{-10}$
toàn phần $E$	$9,59\times {10}^{-10}$

(d) Trong hệ nghỉ của hạt, và toàn phần cùng bằng $1,91\times {10}^{-10}\mathrm{J}$, còn động năng bằng không.

Bài tập 37: 45

Tàu A bay ngang Trái Đất với tốc độ $0,80c$ về phía tây. Tàu B bay về phía đông, tiến lại gần A. Hai phi hành đoàn cùng đo tốc độ tương đối bằng $0,98c$.

Với quả cân chuẩn một kilogram đứng yên trên Trái Đất, hai phi hành đoàn gán giá trị khối lượng nào theo (a) cơ học cổ điển và (b) cơ học tương đối tính?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Quả cân có khối lượng nghỉ $m=1\mathrm{kg}$. Chọn chiều đông dương, nên $u_A=-0,80c$. Gọi B trong hệ Trái Đất là $bc$.

Hướng đi:

• Dùng biến đổi để tìm tốc độ B đối với Trái Đất.
• Phân biệt khối lượng bất biến với đại lượng lịch sử gọi là “khối lượng tương đối tính” $E/c^2$.

Tốc độ tương đối cho

$$0,98=\frac{b+0,80}{1+0,80b}.$$

Suy ra $b=5/6\approx \mathrm{0,833}3$.

(a) Trong cơ học cổ điển, cả hai phi hành đoàn đều gán quả cân khối lượng $1\mathrm{kg}$.

(b) Theo cách dùng khối lượng bất biến của chương, cả hai cũng gán khối lượng nghỉ $1\mathrm{kg}$. và của quả cân phụ thuộc hệ, còn khối lượng nghỉ không đổi.

Nếu câu hỏi dùng thuật ngữ lịch sử $m_r=E/c^2=\gamma m$, hai giá trị tương ứng là

$$\begin{array}{rl}{m}_{r,A}& \approx 1,67\mathrm{kg},\\ m_{r,B}& \approx 1,81\mathrm{kg}.\end{array}$$

Những giá trị này mô tả toàn phần chia $c^2$ trong hai hệ tàu, không phải sự thay đổi khối lượng nghỉ của quả cân.

Bài tập 37: 46

Giả sử tốc độ ánh sáng chỉ bằng $65\mathrm{mph}$. Nhà cách nơi làm việc 30 mile, còn bạn lái xe với tốc độ $60\mathrm{mph}$.

(a) Sau một lượt đi làm và trở về mỗi ngày, đồng hồ đeo tay chậm hơn đồng hồ ở bếp bao nhiêu? (b) Hãy ước lượng chiều dài xe của bạn. (c) Người bên đường đo chiều dài xe đang chạy bằng bao nhiêu? (d) Xe giống xe bạn chạy ngược chiều với cùng tốc độ đối với mặt đất có tốc độ bao nhiêu đối với bạn? (e) Bạn đo chiều dài những xe ấy bằng bao nhiêu?

(f) Nếu tổng khối lượng nghỉ của bạn và xe là $2000\mathrm{kg}$, cần công bao nhiêu để đạt tốc độ trên trong vũ trụ giả định? (g) Trong vũ trụ có $c=3,0\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cần công bao nhiêu để đạt cùng tốc độ lái xe?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tốc độ giới hạn giả định $c_{\ast }=65\mathrm{mph}$ và tốc độ lái xe $v=60\mathrm{mph}$. Tổng quãng đường mỗi ngày là 60 mile. Bỏ qua thời gian tăng tốc, dừng và quay đầu.

Hướng đi:

• Dùng tỉ số $v/c_{\ast }=12/13$, suy $\gamma =13/5$.
• Tính riêng thời gian trên mặt đất và trên xe.
• Chọn một chiều dài nghỉ minh họa rồi giữ kết quả tổng quát theo chiều dài ấy, vì đề yêu cầu tự ước lượng.
• Với hai xe đối đầu, dùng tốc độ tương đối Lorentz và tương ứng để đo chiều dài xe kia.
• Tính công bằng động năng tương đối tính trong vũ trụ giả định, còn ở tốc độ lái xe trong vũ trụ thực có thể dùng gần đúng Newton.

(a) Tổng thời gian trên mặt đất là $t=1,00$ giờ. Đồng hồ trên xe chạy được

$$\tau =\frac{t}{\gamma }=\frac{5}{13}\text{ h}.$$

Độ chậm là $t-\tau \approx \mathrm{0,615}$ giờ, tức khoảng $36,9$ phút.

(b) Chọn chiều dài nghỉ minh họa $L_0=4,50\mathrm{m}$. Nếu xe thực của bạn có chiều dài khác, giữ $L_0$ trong các công thức dưới.

(c) Người bên đường đo

$$L=\frac{L_0}{\gamma }\approx 1,73\mathrm{m}.$$

(d) Đặt $b=v/c_{\ast }=12/13$. Tốc độ xe ngược chiều đối với bạn là

$$\frac{w}{c_{\ast }}=\frac{2b}{1+b^2}\approx \mathrm{0,996}8.$$

Vậy $w\approx 64,8\mathrm{mph}$, vẫn nhỏ hơn $65\mathrm{mph}$.

(e) giữa hai xe là ${\gamma }_w=2{\gamma }^2-1=12,52$. Chiều dài xe kia trong hệ của bạn bằng

$$L_{\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\frac{L_0}{{\gamma }_w}\approx \mathrm{0,359}\mathrm{m}.$$

(f) Đổi sang đơn vị SI bằng $1\mathrm{mph}=\mathrm{0,447}04\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Khi đó $c_{\ast }=\mathrm{29,057}6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Công cần thiết là

$$\begin{array}{rl}{W}_{\ast }& =(\gamma -1)m{c}_{\ast }^2\\ & \approx 2,70\times {10}^6\mathrm{J}.\end{array}$$

(g) Trong vũ trụ thực, $v=\mathrm{26,822}4\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nhỏ hơn rất nhiều so với $c$. Do đó,

$$W\approx \frac{1}{2}m{v}^2\approx 7,19\times {10}^5\mathrm{J}.$$

Hai công khác nhau vì cùng tốc độ lái xe chiếm những phần rất khác nhau của tốc độ giới hạn trong hai mô hình.

Bài tập 37: 47

Máy gia tốc LHC tại CERN có vòng ngầm dài khoảng $27\mathrm{km}$. Xét proton được gia tốc đến động năng $7,0\mathrm{TeV}$.

(a) Viết tốc độ theo dạng $v=(1-\mathrm{\Delta })c$ và tìm $\mathrm{\Delta }$. (b) Tìm đại lượng lịch sử gọi là khối lượng tương đối tính theo khối lượng nghỉ của proton.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $K=7,0\times {10}^{12}\mathrm{eV}$ và $m=1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$.

Hướng đi:

• Dùng $\gamma =1+K/(m{c}^2)$ vì đề cho động năng, không phải toàn phần.
• Khi $\gamma$ rất lớn, dùng $\mathrm{\Delta }\approx 1/(2{\gamma }^2)$ để biểu diễn độ lệch khỏi $c$ mà không làm mất các chữ số nhỏ.
• Đại lượng ở phần (b) là $m_r=E/c^2=\gamma m$, còn khối lượng nghỉ vẫn là $m$.

xấp xỉ $7,46\times {10}^3$.

(a) Ta có

$$\mathrm{\Delta }=1-\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}.$$

Vì $\gamma$ rất lớn,

$$\mathrm{\Delta }\approx \frac{1}{2{\gamma }^2}\approx 9,0\times {10}^{-9}.$$

Tốc độ nhỏ hơn $c$ khoảng $2,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$ trong phép tính với các hằng số đã làm tròn.

(b) Khối lượng tương đối tính theo thuật ngữ của câu hỏi là $m_r\approx 7,5\times {10}^{3}m$. Điều này tương đương việc toàn phần bằng $\gamma m{c}^2$, không làm khối lượng nghỉ tăng.

Bài tập 37: 48

Hợp lực tác dụng lên một hạt có hướng tạo góc $30,0^{\circ }$ ngược chiều kim đồng hồ so với trục $+x$. Tại thời điểm xét, hạt bay theo chiều $+x$ với tốc độ $\mathrm{0,700}c$ trong hệ Trái Đất. Gia tốc hạt có hướng nào?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: dọc $+x$, còn lực có cả thành phần dọc $F_x$ và thành phần ngang $F_y$.

Hướng đi:

• Dùng $F_x={\gamma }^{3}m{a}_x$ cho thành phần dọc và $F_y=\gamma m{a}_y$ cho thành phần ngang.
• Lập tỉ số $a_y/a_x$ để tìm hướng. Trong trường hợp tổng quát này, gia tốc không cùng phương hợp lực.

Ta có

$$\frac{a_y}{a_x}={\gamma }^2\frac{F_y}{F_x}.$$

Gọi $\alpha$ là góc gia tốc so với trục $+x$. Với $v=\mathrm{0,700}c$,

$$\tan \alpha =\frac{\tan 30,0^{\circ }}{1-{\mathrm{0,700}}^2}.$$

Suy ra $\alpha \approx 48,5^{\circ }$, đo ngược chiều kim đồng hồ từ $+x$. Thành phần gia tốc ngang được đáp ứng mạnh hơn thành phần dọc, nên hướng gia tốc lệch xa trục $x$ hơn hướng lực.

Bài tập 37: 49

Hai đồng hồ nguyên tử được đồng bộ. Một đồng hồ ở lại New York, đồng hồ kia lên máy bay có tốc độ trung bình $250\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rồi quay về. Khi máy bay trở lại, đồng hồ ở New York đã chạy được $4,00$ giờ.

Hai số chỉ khác nhau bao nhiêu, và đồng hồ nào chỉ thời gian ngắn hơn? Có thể khai triển nhị thức vì tốc độ nhỏ hơn nhiều so với $c$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $u=250\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và $t=4,00$ giờ $=14400\mathrm{s}$. Chỉ xét hiệu ứng do chuyển động theo mô hình bài toán.

Hướng đi:

• Dùng $\tau =t\sqrt{1-u^2/c^2}$ cho đồng hồ trên máy bay.
• Khai triển $\sqrt{1-z}\approx 1-z/2$ khi $z=u^2/c^2$ rất nhỏ, tránh trừ hai số gần bằng nhau trong phép tính.

Độ chênh là

$$t-\tau \approx \frac{t{u}^2}{2c^2}.$$

Thay số cho $t-\tau \approx 5,00\times {10}^{-9}\mathrm{s}$, tức $5,00\mathrm{ns}$. Đồng hồ trên máy bay chỉ thời gian ngắn hơn.

Một so sánh đồng hồ bay thực tế còn phải xét độ cao, hấp dẫn và chuyển động của Trái Đất. Các hiệu ứng ấy không nằm trong dữ kiện của mô hình này.

Bài tập 37: 50

Trong hệ Trái Đất, một ngôi sao cách chúng ta $7,11$ năm ánh sáng. Hành khách trên tàu đo thời gian bay từ Trái Đất đến sao bằng $3,35$ năm. (a) Người trên Trái Đất đo thời gian bay bao nhiêu? (b) Hành khách đo khoảng cách chuyến đi bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách trong hệ Trái Đất là $D_0=7,11$ năm ánh sáng. trên tàu là $\tau =3,35$ năm. Tàu chuyển động đều trong mô hình.

Hướng đi:

• Kết hợp $D_0=ut$ với ${\tau }^2=t^2(1-u^2/c^2)$ để loại chưa biết.
• Sau khi tìm $t$, suy $u=D_0/t$ và khoảng cách đã co $D=u\tau$ trong hệ tàu.

Thay $ut=D_0$ vào biểu thức cho

$$t^2={\tau }^2+\frac{D_0^2}{c^2}.$$

(a) Trong đơn vị năm và năm ánh sáng, $D_0/c=7,11$ năm. Do đó,

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{3,{35}^2+7,{11}^2}\\ & \approx 7,86\text{ years}.\end{array}$$

(b) Tốc độ tàu xấp xỉ $\mathrm{0,904}6c$. Khoảng cách trong hệ tàu là

$$\begin{array}{rl}D& =u\tau \\ & \approx 3,03\text{ ly}.\end{array}$$

Bài tập 37: 51

P. A. Cherenkov phát hiện một hạt tích điện chuyển động trong chất rắn nhanh hơn tốc độ ánh sáng trong chất ấy có thể phát bức xạ điện từ. Hiện tượng này tương tự tiếng nổ âm do vật bay nhanh hơn âm thanh trong không khí. Ông cùng nhận Nobel năm 1958 cho phát hiện liên quan.

Electron trong thủy tinh crown có chiết suất $n=1,52$ phải có động năng tối thiểu bao nhiêu electronvolt để phát bức xạ Cherenkov?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điều kiện phát là tốc độ electron lớn hơn tốc độ ánh sáng $c/n$ trong mô hình môi trường.

Hướng đi:

• Tìm ngưỡng tốc độ bằng $v_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=c/n$, không phải bằng $c$.
• Thay tốc độ ngưỡng vào động năng tương đối tính. Dấu bằng xác định ngưỡng, còn phát bức xạ đòi hỏi vượt ngưỡng ấy.

tại ngưỡng là

$${\gamma }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}=\frac{1}{\sqrt{1-1/n^2}}.$$

Dùng $m_e=9,11\times {10}^{-31}\mathrm{kg}$, động năng ngưỡng bằng

$$\begin{array}{rl}{K}_{\mathrm{t}\mathrm{h}}& =({\gamma }_{\mathrm{t}\mathrm{h}}-1)m_e{c}^2\\ & \approx 1,68\times {10}^5\mathrm{eV}.\end{array}$$

Vậy electron cần động năng lớn hơn ngưỡng xấp xỉ $168\mathrm{keV}$. Tốc độ electron vẫn nhỏ hơn tốc độ ánh sáng trong chân không, nên không vi phạm thuyết tương đối.

Bài tập 37: 52

Proton gồm hai quark up và một quark down, được liên kết bởi tương tác mạnh. Khối lượng nghỉ proton là $m_p=1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$, lớn hơn nhiều tổng các khối lượng nghỉ quark. Cho mỗi quark up có $m_u=4,12\times {10}^{-30}\mathrm{kg}$ và quark down có $m_d=8,59\times {10}^{-30}\mathrm{kg}$.

Trước hết xét mô hình chưa đúng về cấu trúc proton: Toàn bộ proton được gán cho động năng ba quark, chia đều mỗi quark một phần ba. (a) Ước lượng mỗi quark up. (b) Làm tương tự cho quark down. (c) Các tốc độ có lớn hơn $99\mathrm{\%}$ tốc độ ánh sáng không?

(d) Xét mô hình khác: Ba quark cùng có tốc độ $0,90c$, phần proton còn lại gán cho gluon không khối lượng, hạt truyền tương tác mạnh. Ước lượng phần trăm gán cho gluon. (e) Coi một quark dao động qua lại dọc đường kính proton $1,7\times {10}^{-15}\mathrm{m}$ với tốc độ trung bình $0,90c$. Ước lượng .

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai mô hình được đặt để ước lượng. Không được coi mô hình các quark tự do là mô tả đầy đủ proton liên kết.

Hướng đi:

• Ở (a), (b), dùng động năng mỗi quark bằng $m_p{c}^2/3$, nên $\gamma -1=m_p/(3m_q)$.
• Ở (c), suy tốc độ từ mỗi .
• Ở (d), tính toàn bộ ba quark, gồm cả và động năng, rồi lấy phần còn lại trên năng lượng proton.
• Ở (e), một chu kỳ đi qua rồi trở lại phải có tổng quãng đường bằng hai đường kính.

(a) Với quark up,

$${\gamma }_u=1+\frac{m_p}{3m_u}\approx 136.$$

(b) Với quark down,

$${\gamma }_d=1+\frac{m_p}{3m_d}\approx 65,8.$$

(c) Tốc độ tương ứng là $v_u\approx \mathrm{0,999}973c$ và $v_d\approx \mathrm{0,999}885c$. Cả hai đều lớn hơn $0,99c$.

(d) Ở tốc độ $0,90c$, $\gamma \approx \mathrm{2,294}16$. ba quark trong mô hình thứ hai là

$$E_q=\gamma (2m_u+m_d)c^2.$$

Phần gán cho gluon bằng

$${\eta }_g=1-\frac{\gamma (2m_u+m_d)}{m_p}.$$

Kết quả là ${\eta }_g\approx \mathrm{0,977}$, tức khoảng $97,7\mathrm{\%}$. Đây là kết quả trong mô hình phân chia đã đặt, không phải một phép phân rã năng lượng proton độc lập với mô hình.

(e) Gọi $D$ là đường kính proton. ước lượng là

$$f\approx \frac{0,90c}{2D}\approx 7,9\times {10}^{22}\mathrm{Hz}.$$

Bài tập 37: 53

Một vụ nổ hạt nhân có $12,0\mathrm{kg}$ plutonium. Tổng khối lượng nghỉ của các sản phẩm nhỏ hơn tổng khối lượng nghỉ ban đầu một phần ${10}^4$.

(a) giải phóng bằng bao nhiêu? (b) Nếu quá trình diễn ra trong $4,00\mu \mathrm{s}$, công suất trung bình bằng bao nhiêu? (c) Nếu chuyển toàn bộ năng lượng thành thế năng trọng trường, có thể nâng khối lượng nước bao nhiêu lên độ cao $1,00\mathrm{km}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Độ giảm tổng khối lượng nghỉ $\mathrm{\Delta }m=12,0/{10}^4\mathrm{kg}$. Thời gian $\mathrm{\Delta }t=4,00\times {10}^{-6}\mathrm{s}$, độ cao $h=1000\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Dùng $E=\mathrm{\Delta }m{c}^2$ cho do giảm tổng khối lượng nghỉ.
• Chia cho thời gian để tính công suất trung bình.
• Dùng $E=Mgh$ với $g=9,80\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ cho phép đổi lý tưởng sang thế năng nước.

(a) là

$$E=\mathrm{\Delta }m{c}^2=1,08\times {10}^{14}\mathrm{J}.$$

(b) Công suất trung bình:

$$P=\frac{E}{\mathrm{\Delta }t}=2,70\times {10}^{19}\mathrm{W}.$$

(c) Khối lượng nước tương ứng:

$$M=\frac{E}{gh}\approx 1,10\times {10}^{10}\mathrm{kg}.$$

Phần (c) giả định hiệu suất chuyển hóa bằng một và bỏ qua mọi thất thoát .

Bài tập 37: 54

Trong hệ Trái Đất, hai proton rời xa nhau với cùng tốc độ. Trong hệ nghỉ của mỗi proton, proton kia có tốc độ $\mathrm{0,700}c$. Người trên Trái Đất đo tốc độ mỗi proton bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai trong hệ Trái Đất là $+bc$ và $-bc$. Tốc độ tương đối của hai proton bằng $rc$, với $r=\mathrm{0,700}$.

Hướng đi:

• Dùng phép cộng Lorentz cho hai chuyển động ngược chiều.
• Giải phương trình như bài 37.21 và chọn nghiệm nhỏ hơn một.

Ta có $r=2b/(1+b^2)$, nên

$$b=\frac{r}{1+\sqrt{1-r^2}}\approx \mathrm{0,408.}$$

Mỗi proton có tốc độ $\mathrm{0,408}c$ trong hệ Trái Đất.

Bài tập 37.55–37.62

Bài tập 37: 55

Trong phòng thí nghiệm $S$, một khung dây chữ nhật bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng $xz$. Khung cao $H$ theo phương $z$, dài $L$ theo phương $x$ và mang dòng $I$ ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ phía trục $+y$. Từ trường là $\overrightarrow{B}=B\hat{\mathbf{z}}$.

Bài 37.55: Khung dây trong mặt phẳng xz, với mômen từ theo trục y và từ trường theo trục z.

(a) Tìm mômen lưỡng cực từ trong $S$. (b) Tìm mômen lực tác dụng lên khung. (c) Tàu vũ trụ $S^{\prime }$ chuyển động với $\overrightarrow{v}=v\hat{\mathbf{x}}$ đối với phòng thí nghiệm, các trục cùng hướng. Nếu xét sự dọc chuyển động của khung, mômen từ trong mô hình giữ nguyên dòng $I$ bằng bao nhiêu?

(d) Nếu đặt điều kiện mômen lực như nhau trong hai hệ, từ trường trong hệ tàu phải bằng bao nhiêu? (e) Khái quát phép biến đổi thành phần từ trường vuông góc khi $\overrightarrow{E}=0$ trong hệ ban đầu.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Diện tích nghỉ $A=LH$, pháp tuyến theo quy tắc bàn tay phải là $+\hat{\mathbf{y}}$. Hệ tàu chuyển động dọc cạnh $L$, vuông góc từ trường. Các phần (c), (d) đặt một mô hình hình học và điều kiện mômen lực cần được phân biệt với phép đầy đủ.

Hướng đi:

• Trong hệ nghỉ của khung, dùng $\overrightarrow{\mu }=IA\hat{\mathbf{n}}$ và $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{\mu }\times \overrightarrow{B}$.
• Với mô hình giữ nguyên $I$ ở phần (c), chỉ thay $L$ bằng $L/\gamma$.
• Thực hiện suy luận có điều kiện ở phần (d), rồi kiểm tra phạm vi của điều kiện ấy. Mômen lực nói chung không bất biến giữa hai hệ quán tính.
• Phần (e) dùng phép biến đổi trường điện từ, trong đó điện trường và từ trường phải được biến đổi cùng nhau.

(a) Mômen từ trong hệ nghỉ là

$$\overrightarrow{\mu }=ILH\hat{\mathbf{y}}.$$

(b) Vì $\hat{\mathbf{y}}\times \hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{x}}$,

$$\overrightarrow{\tau }=ILHB\hat{\mathbf{x}}.$$

(c) Cạnh dọc chuyển động có $L^{\prime }=L/\gamma$, còn $H^{\prime }=H$. Nếu chỉ xét co hình học và giữ nguyên $I$, biểu thức suy ra trong mô hình ấy là

$${\overrightarrow{\mu }}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}}^{\prime }=\frac{ILH}{\gamma }\hat{\mathbf{y}}.$$

Không thể mặc nhiên coi đây là quy luật biến đổi chính xác của một khung dòng điện chuyển động. Mật độ điện tích và mật độ dòng điện cũng thay đổi khi đổi hệ, nên giả thiết giữ nguyên dòng điện cần được nêu rõ.

(d) Nếu đồng thời áp đặt điều kiện ${\tau }^{\prime }=\tau$ và dùng mômen từ hình học ở (c), thì ${\mu }_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}}^{\prime }{B}^{\prime }=\mu B$. Suy luận có điều kiện ấy cho

$${\overrightarrow{B}}^{\prime }=\gamma B\hat{\mathbf{z}}.$$

Kết quả từ trường này phù hợp với phép biến đổi trường trong cấu hình đang xét. Tuy nhiên, không được dùng lập luận ấy để kết luận rằng mômen lực luôn như nhau trong hai hệ. Trong một xử lý đầy đủ, phải xét cả điện trường xuất hiện trong $S^{\prime }$ và sự biến đổi của nguồn điện tích, dòng điện.

(e) Quy luật chính xác khi điện trường ban đầu bằng không là

$${\overrightarrow{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma {\overrightarrow{B}}_{\perp }.$$

Thành phần song song giữ nguyên. Đồng thời, điện trường vuông góc xuất hiện:

$${\overrightarrow{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}.$$

Các quy luật này là một phần của phép biến đổi Lorentz của trường điện từ.

Để thấy giới hạn của giả thiết mômen lực bất biến, xét khung trung hòa trong hệ nghỉ và lực điện từ trên hai cạnh ngang. Các lực này vuông góc của hệ. Phép biến đổi lực cho $F_y^{\prime }=F_y/\gamma$, còn khoảng cách theo $z$ không đổi. Mômen lực điện từ dọc trục $x$ vì thế thỏa mãn ${\tau }_x^{\prime }={\tau }_x/\gamma$ trong cấu hình ấy, thay vì bất biến.

Bài tập 37: 56

Một quả cầu nhỏ mang điện tích $Q$ đứng yên trên giá cách điện trong phòng thí nghiệm $S$. Trục $z$ hướng lên, từ trường là $\overrightarrow{B}=-B\hat{\mathbf{y}}$ và điện trường bằng không.

(a) Hợp lực điện từ trên quả cầu bằng bao nhiêu? (b) Tàu vũ trụ chuyển động với $\overrightarrow{v}=v\hat{\mathbf{x}}$, các trục cùng hướng hệ phòng. Từ trường trong hệ tàu là gì? (c) Trong hệ tàu, quả cầu chuyển động nên chịu lực từ nào? (d) Tìm điện trường trong hệ tàu để tổng lực điện từ phù hợp với trạng thái cân bằng ban đầu. (e) Khái quát thành phần điện trường vuông góc khi điện trường trong hệ ban đầu bằng không.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Quả cầu đứng yên trong $S$, còn trong $S^{\prime }$ có ${\overrightarrow{w}}^{\prime }=-v\hat{\mathbf{x}}$. Từ trường ban đầu vuông góc vận tốc hai hệ.

Hướng đi:

• Ở phần (a), dùng lực Lorentz với cầu bằng không và điện trường bằng không.
• Biến đổi từ trường theo kết quả chính xác ${\overrightarrow{B}}_{\perp }^{\prime }=\gamma {\overrightarrow{B}}_{\perp }$.
• Tính ${\overrightarrow{F}}_B^{\prime }=Q{\overrightarrow{w}}^{\prime }\times {\overrightarrow{B}}^{\prime }$ và tìm điện trường để $Q{\overrightarrow{E}}^{\prime }$ triệt tiêu lực từ ấy. Trạng thái không có lực điện từ là nhất quán trong cả hai hệ.

(a) Hợp lực điện từ trong $S$ bằng không. Các lực cơ học của giá đỡ và trọng lực, nếu xét, cân bằng riêng trong trạng thái đứng yên đã cho.

(b) Từ trường trong hệ tàu là

$${\overrightarrow{B}}^{\prime }=-\gamma B\hat{\mathbf{y}}.$$

(c) Lực từ bằng

$${\overrightarrow{F}}_B^{\prime }=\gamma QvB\hat{\mathbf{z}}.$$

Với $Q>0$, lực từ hướng lên. Với $Q<0$, hướng lực đảo lại.

(d) Để tổng lực điện từ bằng không, điện trường phải là

$${\overrightarrow{E}}^{\prime }=-\gamma vB\hat{\mathbf{z}}.$$

Khi đó $Q{\overrightarrow{E}}^{\prime }+{\overrightarrow{F}}_B^{\prime }=0$ cho cả hai dấu của điện tích. Không phải từng lực điện và lực từ bất biến, mà tổng của chúng cho chuyển động phù hợp trong hệ mới.

(e) Với $\overrightarrow{E}=0$ trong hệ $S$,

$${\overrightarrow{E}}_{\perp }^{\prime }=\gamma \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}.$$

Trong cấu hình này, $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=-vB\hat{\mathbf{z}}$, đúng với kết quả phần (d).

Bài tập 37: 57

Một vạch sáng của hydrogen trong điều kiện phòng thí nghiệm có $656,3\mathrm{nm}$, thuộc vùng đỏ. Từ một thiên hà xa, cùng vạch ấy được quan sát ở bước sóng $953,4\mathrm{nm}$, thuộc hồng ngoại. Các nguyên tử phát sáng có tốc độ bao nhiêu đối với Trái Đất? Chúng tiến lại gần hay rời xa?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: riêng ${\lambda }_0=656,3\mathrm{nm}$ và bước sóng thu $\lambda =953,4\mathrm{nm}$. Bài toán mô hình hóa dịch vạch bằng Doppler dọc đường nối nguồn và người thu.

Hướng đi:

• tăng biểu thị nguồn rời xa trong mô hình Doppler này.
• Đặt $r=\lambda /{\lambda }_0$ rồi dùng $r^2=(1+b)/(1-b)$ với $b=u/c$.

Suy ra

$$b=\frac{r^2-1}{r^2+1}\approx \mathrm{0,357.}$$

Các nguyên tử rời xa với tốc độ khoảng $\mathrm{0,357}c$. Khi phân tích thiên hà trong vũ trụ học, dịch đỏ còn có thể cần một mô hình sự giãn nở không gian. Kết quả ở đây thuộc mô hình Doppler của bài toán.

Bài tập 37: 58

Trong hệ $S$, hai sự kiện xảy ra cùng một vị trí và cách nhau $1,80\mathrm{s}$. Trong hệ $S^{\prime }$ chuyển động đối với $S$, khoảng thời gian giữa chúng bằng $2,15\mathrm{s}$. Hiệu vị trí hai sự kiện trong $S^{\prime }$ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $\mathrm{\Delta }x=0$, $\mathrm{\Delta }t=1,80\mathrm{s}$ và $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=2,15\mathrm{s}$. Chỉ biết độ lớn tương đối nên chỉ xác định được độ lớn hiệu vị trí nếu chưa chọn chiều trục.

Hướng đi:

• Dùng tính bất biến của khoảng không thời gian giữa cùng hai sự kiện.
• Hoặc suy $\gamma =\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }/\mathrm{\Delta }t$, tìm tốc độ rồi dùng $|\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }|=u\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$.

Tính bất biến cho

$$c^2\mathrm{\Delta }{t}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^{\prime 2}-\mathrm{\Delta }{x}^{\prime 2}.$$

Vì vậy,

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }|& =c\sqrt{\mathrm{\Delta }{t}^{\prime 2}-\mathrm{\Delta }{t}^2}\\ & \approx 3,53\times {10}^8\mathrm{m}.\end{array}$$

Nếu $S^{\prime }$ chuyển động theo chiều $+x$ của $S$, thì $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }<0$: Vị trí sự kiện thứ hai ở phía âm hơn sự kiện thứ nhất trong $S^{\prime }$.

Bài tập 37: 59

Huấn luyện viên dùng radar đo tốc độ một quả bóng chày đang tiến lại gần. Thiết bị phát sóng có $f_0$ rồi đo độ dịch tần $\mathrm{\Delta }f$ của sóng phản xạ. Nếu $\mathrm{\Delta }f/f_0=2,86\times {10}^{-7}$, tốc độ bóng bằng bao nhiêu $\mathrm{km}/\mathrm{h}$? Hãy xét cả lần dịch Doppler khi sóng tới bóng và lần dịch khi sóng phản xạ trở lại.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bóng tiến về radar. Đặt $b=v/c$ và $\delta =\mathrm{\Delta }f/f_0$.

Hướng đi:

• Trong hệ bóng, sóng tới tăng theo Doppler. Sóng phản xạ được biến đổi trở lại hệ radar, tạo thêm một hệ số Doppler.
• Bỏ qua giật lùi và coi phản xạ đàn hồi trong hệ bóng. Hai hệ số căn bậc hai nhân thành $(1+b)/(1-b)$.

phản xạ thu tại radar thỏa mãn

$$\frac{f}{f_0}=\frac{1+b}{1-b}.$$

Do đó,

$$\delta =\frac{2b}{1-b}.$$

Giải theo $b$ cho $b=\delta /(2+\delta )$. Thay số, tốc độ bóng xấp xỉ $42,9\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tức $154\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

Vì $b$ rất nhỏ, gần đúng $\delta \approx 2v/c$ cũng cho kết quả ấy. Bỏ một lần dịch Doppler sẽ làm tốc độ suy ra lớn gấp đôi.

Bài tập 37: 60

Einstein và Lorentz chơi tennis không có lưới, đứng cách nhau $20,0\mathrm{m}$. Bóng có khối lượng nghỉ $\mathrm{0,058}0\mathrm{kg}$. Bỏ qua trọng lực và coi bóng bay song song mặt đất. Nếu không nói khác, các số đo thuộc hệ hai người chơi.

(a) Lorentz giao bóng với tốc độ $80,0\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Động năng bóng bằng bao nhiêu? (b) Einstein đánh trả với tốc độ $1,80\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Động năng lúc ấy bằng bao nhiêu?

(c) Trong lần đánh trả này, một chú thỏ trắng chạy dọc sân từ Einstein về Lorentz với tốc độ $2,20\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$ đối với hai người. Tốc độ thỏ đối với bóng bằng bao nhiêu? (d) Thỏ đo khoảng cách giữa hai người chơi bằng bao nhiêu? (e) Theo hai người chơi, thỏ cần bao lâu để đi hết $20,0\mathrm{m}$? (f) Đồng hồ bỏ túi của thỏ đo thời gian để đoạn sân ấy đi qua dưới mình bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khối lượng bóng $m=\mathrm{0,058}0\mathrm{kg}$, khoảng sân riêng $L_0=20,0\mathrm{m}$, tốc độ đánh trả $v_b=\mathrm{0,600}c$ và tốc độ thỏ $v_r=2,20\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Phần (a) thuộc miền nhỏ, nên dùng động năng Newton. Phần (b) phải dùng động năng tương đối tính.
• Phần (c) dùng biến đổi cho hai vật chuyển động cùng chiều.
• Phần (d) dùng vì hai đầu sân chuyển động trong hệ thỏ.
• Phần (e), (f) là cùng cặp sự kiện thỏ đi ngang hai người. Thời gian trên đồng hồ thỏ là .

(a) Động năng giao bóng là

$$K_a\approx \frac{1}{2}m{v}^2\approx 186\mathrm{J}.$$

(b) Với $v_b=\mathrm{0,600}c$, bằng $1,25$. Do đó,

$$\begin{array}{rl}{K}_b& =(1,25-1)m{c}^2\\ & \approx 1,31\times {10}^{15}\mathrm{J}.\end{array}$$

(c) Gọi $b_r=v_r/c$ và $b_b=v_b/c$. Tốc độ thỏ trong hệ bóng thỏa mãn

$$\frac{v_r^{\prime }}{c}=\frac{b_r-b_b}{1-b_r{b}_b}\approx \mathrm{0,238.}$$

Thỏ đi cùng chiều và vượt bóng, nên tương đối mang dấu dương theo chiều Einstein đến Lorentz.

(d) Với ${\gamma }_r\approx \mathrm{1,470}87$, khoảng cách trong hệ thỏ bằng

$$L=\frac{L_0}{{\gamma }_r}\approx 13,6\mathrm{m}.$$

(e) Thời gian trong hệ người chơi là

$$t=\frac{L_0}{v_r}\approx 9,09\times {10}^{-8}\mathrm{s}.$$

(f) trên đồng hồ thỏ:

$$\tau =\frac{t}{{\gamma }_r}\approx 6,18\times {10}^{-8}\mathrm{s}.$$

Trong hệ thỏ, tính trực tiếp $L/v_r$ cũng cho cùng kết quả.

Bài tập 37: 61

Trong máy gia tốc, proton chuyển động tròn đều với tốc độ $\mathrm{0,750}c$ trên quỹ đạo bán kính $628\mathrm{m}$. Hợp lực tác dụng lên proton bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $v=\mathrm{0,750}c$, $R=628\mathrm{m}$ và $m_p=1,67\times {10}^{-27}\mathrm{kg}$. Tốc độ không đổi, nhưng hướng đổi liên tục.

Hướng đi:

• Gia tốc hướng tâm vuông góc nên dùng $F_{\perp }=\gamma ma$.
• Gia tốc hình học của chuyển động tròn đều vẫn là $a=v^2/R$ trong hệ đang xét.

Với $\gamma \approx \mathrm{1,511}86$,

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{\gamma m_p{v}^2}{R}\\ & \approx 2,04\times {10}^{-13}\mathrm{N}.\end{array}$$

Lực hướng vào tâm quỹ đạo. Không dùng trực tiếp $m{v}^2/R$ ở tốc độ này vì lớn hơn giá trị Newton một hệ số $\gamma$.

Bài tập 37: 62

Một tàu chuyển động đều với tốc độ $u$ đối với chúng ta và phát tín hiệu vô tuyến có riêng không đổi $f_0$. Khi tiến lại gần, ta thu tần số cao hơn. Khi rời xa, ta thu tần số thấp hơn.

(a) Xét trường hợp phương truyền sóng từ tàu đến người thu vuông góc tàu tại thời điểm phát. Chứng minh thu không bằng $f_0$ và tìm biểu thức. Tần số ấy cao hơn hay thấp hơn? (b) Với $f_0=345\mathrm{MHz}$ và $u=\mathrm{0,758}c$, tìm tần số và độ dịch $f-f_0$ khi tàu tiến thẳng lại gần, rồi khi tàu rời thẳng ra xa. (c) Tính tần số và độ dịch trong cấu hình ngang ở (a), rồi so sánh với (b).

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: nguồn được đo trong hệ nghỉ tàu. Phần (a) xét Doppler ngang, với góc vuông tại sự kiện phát của tín hiệu mà ta nhận.

Hướng đi:

• Khi hai đỉnh sóng liên tiếp có cùng thời gian truyền đến người thu trong giới hạn chu kỳ rất ngắn, chỉ còn hiệu ứng của đồng hồ nguồn.
• Dùng $T=\gamma T_0$ và $f=1/T$ cho Doppler ngang.
• Ở (b), dùng riêng các công thức Doppler dọc đường nối nguồn và người thu.

(a) Khoảng thời gian giữa hai lần phát trong hệ người thu dài hơn chu kỳ riêng một hệ số $\gamma$. Vì thời gian truyền của hai đỉnh sóng bằng nhau ở giới hạn đang xét,

$$f=\frac{f_0}{\gamma }=f_0\sqrt{1-u^2/c^2}.$$

thấp hơn $f_0$, dù không có thành phần dọc phương truyền ở thời điểm phát. Đây là dịch đỏ Doppler ngang.

(b), (c) Với $u=\mathrm{0,758}c$, kết quả là

Cấu hình	$f$ (MHz)	$f-f_0$ (MHz)
Tiến thẳng lại gần	$930$	$+585$
Rời thẳng ra xa	$128$	$-217$
Phát theo phương ngang	$225$	$-120$

Độ dịch ngang là âm và có độ lớn nhỏ hơn độ dịch đỏ khi nguồn rời thẳng ra xa ở cùng tốc độ.

Cần phân biệt thời điểm phát với thời điểm nhận. Tín hiệu phát khi tàu ngang người quan sát đến người thu sau một khoảng truyền hữu hạn. Không thể dùng ngay vị trí hiện tại của tàu lúc nhận để kết luận tín hiệu ấy đã được phát theo phương vuông góc. Nếu đề dùng cách nói “khi tàu đi ngang”, cấu hình Doppler ngang ở trên phải được hiểu tại sự kiện phát.

Bài tập dữ liệu và bài tập nâng cao

Bài tập 37: 63

Bạn nghiên cứu một hạt không bền tại máy gia tốc thẳng. Thời gian sống trung bình $\mathrm{\Delta }t$ được đo theo tốc độ $u$ của hạt đối với thiết bị phòng thí nghiệm:

$u/c$	$\mathrm{\Delta }t$ (${10}^{-8}\mathrm{s}$)
$0,70$	$3,57$
$0,80$	$4,41$
$0,85$	$5,02$
$0,88$	$5,47$
$0,90$	$6,05$
$0,92$	$6,58$
$0,94$	$7,62$

(a) Vẽ bình phương thời gian sống theo đại lượng nghịch đảo $1-u^2/c^2$. Kiểm tra dự đoán rằng các điểm gần nằm trên một đường thẳng và dùng đường hồi quy tốt nhất để tìm thời gian sống riêng. (b) Tốc độ hạt bằng bao nhiêu theo đơn vị $c$ nếu thời gian sống trong phòng lớn gấp bốn thời gian sống riêng?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Có bảy điểm đo tốc độ và thời gian sống. Cần biến đổi dữ liệu để nhận ra quan hệ tuyến tính từ .

Hướng đi:

• Bình phương $\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0$ để thu được quan hệ giữa hai đại lượng đề yêu cầu vẽ.
• Dùng hệ số góc của đường thẳng, thay vì lấy một điểm riêng lẻ, để ước lượng thời gian sống riêng.
• Ở (b), tỉ số thời gian cho trực tiếp $\gamma =4$.

(a) Đặt

$$X=\frac{1}{1-u^2/c^2}.$$

Gọi $Y$ là bình phương thời gian sống, đo theo đơn vị ${10}^{-16}{\mathrm{s}}^2$. Mô hình lý tưởng cho

$$(\mathrm{\Delta }t{)}^2=(\mathrm{\Delta }{t}_0{)}^{2}X.$$

Hồi quy cả bảy điểm bằng một đường thẳng có hệ số chặn tự do cho

$$Y\approx \mathrm{6,708}6X+\mathrm{0,422}6.$$

Lời giải 37.63: Cả bảy điểm đo sau tuyến tính hóa nằm gần đường hồi quy của bình phương thời gian sống theo bình phương hệ số Lorentz.

Hệ số xác định xấp xỉ $\mathrm{0,998}1$, phù hợp với dự đoán gần tuyến tính. Hệ số góc có giá trị vật lý $\mathrm{6,708}6\times {10}^{-16}{\mathrm{s}}^2$, nên

$$\mathrm{\Delta }{t}_0\approx 2,59\times {10}^{-8}\mathrm{s}.$$

Mô hình lý tưởng có hệ số chặn bằng không, nhưng dữ liệu đo không nằm đúng trên đường lý tưởng. Nếu buộc đường hồi quy qua gốc, kết quả là $2,60\times {10}^{-8}\mathrm{s}$. Hai cách đều cho ước lượng khoảng $2,6\times {10}^{-8}\mathrm{s}$ ở mức chính xác của dữ liệu.

(b) Điều kiện thời gian sống tăng bốn lần cho $\gamma =4$. Do đó,

$$\frac{u}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}\approx \mathrm{0,968.}$$

Bài tập 37: 64

Armand Fizeau đo tốc độ ánh sáng trong nước chuyển động và thu được dạng gần đúng

$$w=\frac{c}{n}+kV.$$

Ở đây $n=\mathrm{1,333}$ là chiết suất nước, $V$ là tốc độ nước cùng hướng truyền ánh sáng đối với phòng thí nghiệm, còn $k$ là hệ số kéo. Giá trị thực nghiệm được cho bằng $0,44$. Dùng phép biến đổi tương đối tính để tính $k$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trong hệ nghỉ của nước, ánh sáng có tốc độ $c/n$. Cần khai triển đến bậc nhất theo tốc độ nước $V$ khi $V/c$ nhỏ.

Hướng đi:

• Dùng phép cộng Lorentz cho ánh sáng trong môi trường chuyển động.
• Khai triển mẫu số đến bậc nhất theo $V/c$, rồi gom hệ số của $V$.

Biểu thức chính xác trong mô hình chiết suất đã cho là

$$w=\frac{c/n+V}{1+V/(nc)}.$$

Đặt $q=V/c$. Với $q$ nhỏ, ta có

$$\frac{1}{1+q/n}\approx 1-\frac{q}{n}.$$

Sau khi nhân và bỏ các số hạng bậc hai theo $V/c$,

$$w\approx \frac{c}{n}+(1-\frac{1}{n^2})V.$$

Vậy

$$k=1-\frac{1}{n^2}\approx \mathrm{0,437.}$$

Giá trị làm tròn là $0,44$, phù hợp với dữ kiện thực nghiệm.

Bài tập 37: 65

Một hạt aerosol tích điện trong buồng chân không chịu lực điện không đổi $8,00\times {10}^{-14}\mathrm{N}$. Hạt chuyển động theo hướng lực. Gia tốc đo được theo tốc độ là

$v/c$	$a$ (${10}^3\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$)
$0,60$	$20,3$
$0,65$	$17,9$
$0,70$	$14,8$
$0,75$	$11,2$
$0,80$	$8,5$
$0,85$	$5,9$

(a) Chọn cách vẽ để các điểm gần nằm trên một đường thẳng. Dùng hệ số góc tìm khối lượng hạt. (b) Cùng lực ấy tạo gia tốc bao nhiêu khi tốc độ hạt bằng $100\mathrm{m}/\mathrm{s}$?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lực cùng hướng và có độ lớn không đổi. Có sáu điểm gia tốc theo tốc độ.

Hướng đi:

• Dùng $F={\gamma }^{3}ma$ vì lực dọc .
• Chọn hoành độ $X=(1-v^2/c^2{)}^{3/2}$ để có quan hệ tuyến tính $a=(F/m)X$.
• Hệ số góc cho $F/m$. Ở $100\mathrm{m}/\mathrm{s}$, gần một nên gia tốc gần bằng hệ số góc.

(a) Hồi quy sáu điểm với gia tốc tính theo đơn vị SI cho

$$a\approx SX+b.$$

Hai hệ số lần lượt là $S\approx \mathrm{4,036}1\times {10}^4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ và $b\approx -129\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$.

Lời giải 37.65: Sáu điểm gia tốc trở nên gần tuyến tính khi vẽ theo lũy thừa ba phần hai của một trừ bình phương tỉ số tốc độ.

Hệ số xác định xấp xỉ $\mathrm{0,997}7$. Khối lượng từ hệ số góc là

$$m=\frac{F}{S}\approx 1,98\times {10}^{-18}\mathrm{kg}.$$

Nếu buộc đường lý tưởng qua gốc, ước lượng là $2,00\times {10}^{-18}\mathrm{kg}$. Ở độ chính xác của dữ liệu, có thể báo khối lượng khoảng $2,0\times {10}^{-18}\mathrm{kg}$.

(b) Với tốc độ $100\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hiệu chỉnh tương đối tính không đáng kể ở các chữ số được giữ. Gia tốc bằng khoảng $4,04\times {10}^4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ theo khối lượng từ hồi quy tự do.

Bài tập 37: 66

Bạn nghiên cứu bốn nguồn bức xạ hồng ngoại và biết riêng $f_0$ của mỗi nguồn. Máy thu đứng yên trên Trái Đất đo được tần số $f$:

Nguồn	$f$ (THz)	$f_0$ (THz)
A	$7,1$	$9,2$
B	$5,4$	$8,6$
C	$6,1$	$7,9$
D	$8,1$	$8,9$

(a) Nguồn nào có tốc độ lớn nhất đối với máy thu? Tốc độ ấy bằng bao nhiêu và nguồn tiến lại gần hay rời xa? (b) Trả lời tương tự cho tốc độ nhỏ nhất. (c) Với nguồn B, nếu giữ nguyên tốc độ nhưng đổi hướng để nguồn tiến lại gần, máy thu đo bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cả bốn nguồn có $f<f_0$. Xét chuyển động dọc phương nhìn như mô hình Doppler của bài toán.

Hướng đi:

• giảm chỉ ra chuyển động rời xa.
• Dùng tỉ số , không dùng độ chênh tần số tuyệt đối, để suy tốc độ.
• Khi đảo hướng với cùng tốc độ, hệ số Doppler trở thành nghịch đảo của hệ số cũ.

Gọi $b=u/c$ là độ lớn tỉ số tốc độ rời xa. Từ công thức Doppler,

$$b=\frac{f_0^2-f^2}{f_0^2+f^2}.$$

Kết quả trước làm tròn được liệt kê để so sánh:

Nguồn	$u/c$
A	$\mathrm{0,253}46$
B	$\mathrm{0,434}45$
C	$\mathrm{0,252}96$
D	$\mathrm{0,093}91$

(a) Nguồn B nhanh nhất, rời xa với tốc độ khoảng $0,43c$.

(b) Nguồn D chậm nhất, rời xa với tốc độ khoảng $\mathrm{0,094}c$. Chênh lệch suy ra giữa A và C nhỏ hơn mức chính xác mà hai chữ số dữ liệu có thể hỗ trợ, nhưng không ảnh hưởng hai cực trị B và D.

(c) Khi B tiến lại gần, mới thỏa mãn

$$f_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}}=\frac{f_0^2}{f}\approx 13,7\mathrm{THz}.$$

Theo hai chữ số có nghĩa của dữ liệu, kết quả xấp xỉ $14\mathrm{THz}$.

Bài tập 37: 67

Một ống đèn huỳnh quang dài $L$ nằm ngang phía trên cửa bán vé sân ga. Trong hệ sân ga $S$, ống nằm trên trục $x$, đầu phải ở gốc và đầu trái ở $x=-L$. Đèn sáng đồng loạt tại $t=0$, đổi từ trắng sang vàng, rồi tắt đồng loạt tại $t=T$.

Bài 37.67: Miền chữ nhật màu vàng biểu diễn những sự kiện trên ống đèn trong thời gian nó sáng ở hệ sân ga.

Sự kiện 1 và 2 lần lượt là đầu phải và đầu trái lúc bật. Sự kiện 3 và 4 lần lượt là đầu phải và đầu trái lúc tắt. Một tàu chạy từ trái sang phải với tốc độ $v$. Hệ $S^{\prime }$ gắn tàu có các trục cùng hướng, và sự kiện 1 là gốc $x^{\prime }=t^{\prime }=0$.

(a) Tìm tọa độ của bốn sự kiện trong $S^{\prime }$. (b) Dựng giản đồ không thời gian tương ứng. (c) Tìm diện tích miền đèn sáng trên giản đồ $x,ct$ trong $S$. (d) Tìm diện tích miền tương ứng trong $S^{\prime }$. (e) Hai diện tích có bằng nhau không?

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bốn tọa độ trong $S$ là $(0,0)$, $(-L,0)$, $(0,T)$ và $(-L,T)$. Đặt $\beta =v/c$ và $\gamma =1/\sqrt{1-{\beta }^2}$.

Hướng đi:

• Áp dụng $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ và $c{t}^{\prime }=\gamma (ct-\beta x)$ cho từng sự kiện.
• Nối 1–2–4–3 theo thứ tự biên miền sáng. là tuyến tính nên hình chữ nhật trở thành hình bình hành.
• Tính diện tích từ định thức hai cạnh kề trong mặt phẳng có cả hai trục cùng đơn vị chiều dài.

(a) Tọa độ là

Sự kiện	$x^{\prime }$	$c{t}^{\prime }$
1	$0$	$0$
2	$-\gamma L$	$\gamma \beta L$
3	$-\gamma \beta cT$	$\gamma cT$
4	$-\gamma (L+vT)$	$\gamma (cT+\beta L)$

Chia cột cuối cho $c$ nếu cần tọa độ $t^{\prime }$.

(b) Hai đường bật đèn và tắt đèn không còn nằm ngang trên giản đồ của tàu. Hai đầu đèn vẫn cùng chuyển động đều theo chiều âm của $x^{\prime }$.

Lời giải 37.67: Miền sáng trở thành hình bình hành 1–2–4–3 trong hệ tàu. Các độ nghiêng trên sơ đồ minh họa một vận tốc dương, còn tọa độ tổng quát được cho trong bảng.

(c) Trong $S$, diện tích hình chữ nhật là

$$A=LcT.$$

(d) Gọi hai vectơ cạnh từ sự kiện 1 đến 2 và từ 1 đến 3 lần lượt là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Các thành phần theo $x^{\prime },c{t}^{\prime }$ là

$$\begin{array}{rl}{a}_x& =-\gamma L,\\ a_t& =\gamma \beta L,\\ b_x& =-\gamma \beta cT,\\ b_t& =\gamma cT.\end{array}$$

Diện tích là độ lớn định thức:

$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }& =|a_x{b}_t-a_t{b}_x|\\ & ={\gamma }^{2}LcT(1-{\beta }^2)\\ & =LcT.\end{array}$$

(e) Hai diện tích bằng nhau. Trong mặt phẳng $x,ct$, ma trận có định thức bằng một, nên bảo toàn diện tích này dù làm thay đổi hình dạng miền.

Bài tập 37: 68

Hai sao giống nhau, mỗi sao có khối lượng $m$, chuyển động tròn bán kính $R$ quanh khối tâm chung. Mặt phẳng quỹ đạo chứa đường nhìn từ Trái Đất. Ta có thể suy chuyển động từ dịch Doppler của vạch hydrogen, nên đây là một mô hình hệ sao đôi quang phổ.

Bài 37.68: Hai sao cùng khối lượng ở hai phía của quỹ đạo tròn quanh khối tâm, với mặt phẳng quỹ đạo nhìn nghiêng hoàn toàn từ Trái Đất.

Chú thích:

• Hướng về Trái Đất (To the earth)

(a) hydrogen trong phòng thí nghiệm là $f_0=\mathrm{4,568}110\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$. Tần số thu từ mỗi sao biến thiên giữa $f_{min}=\mathrm{4,567}710\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$ và $f_{max}=\mathrm{4,568}910\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$. Tìm hướng và tốc độ chuyển động của toàn hệ đối với Trái Đất, cùng tốc độ quỹ đạo mỗi sao. Có thể dùng gần đúng Doppler tốc độ nhỏ.

(b) Một chu kỳ từ cực đại đến cực tiểu rồi trở lại cực đại kéo dài $11,0$ ngày. Tìm $R$ và $m$ theo kilogram, theo khối lượng Mặt Trời $1,99\times {10}^{30}\mathrm{kg}$, và so $R$ với khoảng cách Trái Đất–Mặt Trời $1,50\times {10}^{11}\mathrm{m}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai sao có cùng khối lượng, quỹ đạo tròn và đường nhìn nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Gọi $U$ là tốc độ khối tâm tiến lại gần, $v$ là tốc độ quỹ đạo mỗi sao.

Hướng đi:

• Trung bình hai cực trị cho dịch do chuyển động chung của khối tâm. Nửa khoảng biến thiên cho thành phần quỹ đạo cực đại.
• Dùng gần đúng $\mathrm{\Delta }f/f_0\approx u/c$ vì các tốc độ suy ra nhỏ hơn nhiều so với $c$.
• Từ $v=2\pi R/T$, tìm bán kính. Khoảng cách hai sao là $2R$, nên lực hấp dẫn dùng mẫu số $(2R{)}^2$.

(a) ở tâm khoảng biến thiên là

$$f_c=\frac{f_{max}+f_{min}}{2}.$$

Giá trị $f_c=\mathrm{4,568}310\times {10}^{14}\mathrm{Hz}$ lớn hơn $f_0$. Vì vậy, khối tâm toàn hệ tiến lại gần Trái Đất. Tốc độ là

$$\begin{array}{rl}U& \approx c\frac{f_c-f_0}{f_0}\\ & \approx 13,1\mathrm{km}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Tốc độ quỹ đạo mỗi sao bằng

$$\begin{array}{rl}v& \approx c\frac{f_{max}-f_{min}}{2f_0}\\ & \approx 39,4\mathrm{km}/\mathrm{s}.\end{array}$$

(b) Chu kỳ $T=11,0$ ngày $=950400\mathrm{s}$. Bán kính quỹ đạo là

$$R=\frac{vT}{2\pi }\approx 5,96\times {10}^9\mathrm{m}.$$

Cân bằng lực hấp dẫn và lực hướng tâm cho mỗi sao:

$$\frac{G{m}^2}{(2R{)}^2}=\frac{m{v}^2}{R}.$$

Suy ra, với $G=6,67\times {10}^{-11}$ theo đơn vị SI,

$$\begin{array}{rl}m& =\frac{4R{v}^2}{G}\\ & \approx 5,55\times {10}^{29}\mathrm{kg}.\end{array}$$

Mỗi sao có khối lượng khoảng $\mathrm{0,279}$ khối lượng Mặt Trời. Bán kính quỹ đạo bằng khoảng $\mathrm{0,039}7$ khoảng cách Trái Đất–Mặt Trời, tức gần $4\mathrm{\%}$.

Trong hệ thật, hai sao có thể không giống nhau, quỹ đạo có thể không tròn và mặt phẳng quỹ đạo có thể nghiêng so với đường nhìn. Khi đó phải bổ sung các thông số ấy để suy khối lượng từ vạch phổ.

Bài tập 37: 69

Trong vật lý cao, va chạm của hai proton có thể tạo thêm một kaon âm và một kaon dương:

$$p+p\to p+p+K^{-}+K^{+}.$$

mỗi proton là $938,3\mathrm{MeV}$, còn mỗi kaon là $493,7\mathrm{MeV}$.

(a) Nếu proton bia ban đầu đứng yên, động năng nhỏ nhất của proton tới để phản ứng có thể xảy ra bằng bao nhiêu? Có thể xét hệ tổng bằng không, rồi liên hệ với hệ phòng thí nghiệm bằng . (b) So động năng ngưỡng ấy với tổng hai kaon. (c) Nếu hai proton tới có bằng nhau về độ lớn, ngược chiều, tổng động năng nhỏ nhất bằng bao nhiêu? So với năng lượng nghỉ hai kaon và giải thích lợi ích của hai chùm đối đầu.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đặt $M=938,3\mathrm{MeV}$ và $q=493,7\mathrm{MeV}$, đều là các . Năng lượng nghỉ tổng trạng thái cuối là $W=2M+2q$.

Hướng đi:

• Ở ngưỡng, các hạt cuối không có chuyển động tương đối trong hệ khối tâm. Tổng trong hệ ấy nhỏ nhất và bằng $W$.
• Dùng tính bất biến của bình phương toàn hệ trừ bình phương tổng nhân $c^2$ để chuyển giữa hai hệ mà vẫn bảo toàn cả năng lượng lẫn động lượng.
• Với bia đứng yên, một phần phải còn trong chuyển động chung của hệ cuối ở phòng thí nghiệm. Hai chùm đối đầu đối xứng loại bỏ phần chuyển động khối tâm ấy.

(a) Gọi $E$ là toàn phần của proton tới và $p$ là của nó. Trong phòng thí nghiệm, tổng năng lượng là $E+M$ và tổng động lượng là $p$. Hệ thức cho proton tới là

$$(pc{)}^2=E^2-M^2.$$

Ở ngưỡng, bất biến toàn hệ cho

$$W^2=(E+M{)}^2-(pc{)}^2.$$

Thay hệ thức của proton tới vào và rút gọn:

$$W^2=2M^2+2ME.$$

Với $E=M+K$, động năng ngưỡng là

$$K=\frac{W^2-4M^2}{2M}.$$

Thay các đã cho, ta được

$$K\approx 2494,3\mathrm{MeV}.$$

Trong hệ khối tâm, các cuối cùng đều bằng không ở ngưỡng. Trong hệ phòng, cả hệ sản phẩm vẫn chuyển động. Tốc độ khối tâm ở ngưỡng xấp xỉ $\mathrm{0,755}4c$, xác định từ $v_{\mathrm{C}\mathrm{M}}/c=pc/(E+M)$.

(b) Tổng của hai kaon là $2q=987,4\mathrm{MeV}$. Động năng ngưỡng bia cố định lớn gấp khoảng $\mathrm{2,526}$ lần giá trị ấy.

(c) Với hai chùm đối đầu đối xứng, phòng thí nghiệm cũng là hệ khối tâm. Ở ngưỡng,

$$K_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=2q=987,4\mathrm{MeV}.$$

Mỗi proton cần động năng $493,7\mathrm{MeV}$. Tổng động năng đúng bằng của các hạt mới vì không phải dành cho chuyển động chung của hệ cuối. Đây là lợi ích của hai chùm đối đầu trong bài toán tạo hạt.

Bài tập 37: 70

(a) Xét biến đổi Galileo $x^{\prime }=x-vt$, $t^{\prime }=t$. Trong hệ $S$, thành phần điện trường sóng điện từ trong chân không thỏa mãn phương trình sóng

$$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=0.$$

Chứng minh phương trình đổi dạng khi chuyển sang $S^{\prime }$. Cụ thể, nếu đặt $\beta =v/c$ và các đạo hàm chuẩn hóa

$$U=\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^{\prime 2}},$$

$$V=\frac{1}{c}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^{\prime }\partial t^{\prime }},$$

$$W=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^{\prime 2}},$$

thì cần thu được

$$(1-{\beta }^2)U+2\beta V-W=0.$$

Dùng quy tắc đạo hàm hàm hợp để chuyển các toán tử đạo hàm. (b) Lặp lại với và chứng minh phương trình trong $S^{\prime }$ trở lại dạng $U-W=0$. Giải thích ý nghĩa đối với tốc độ ánh sáng trong hai hệ.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần xét sự biến đổi toán tử sóng khi các tọa độ đổi tuyến tính. Ký hiệu $E$ ở hai hệ biểu diễn hàm sau đổi biến trong phép chứng minh này.

Hướng đi:

• Dùng quy tắc dây chuyền cho từng đạo hàm bậc nhất, rồi bình phương các toán tử vì các hệ số biến đổi là hằng số.
• Giữ đạo hàm hỗn hợp. Hệ số của nó là nơi thể hiện sự khác nhau giữa biến đổi Galileo và Lorentz.
• Đặt toán tử không gian $A=\partial /\partial x^{\prime }$ và toán tử thời gian chuẩn hóa $B=(1/c)\partial /\partial t^{\prime }$ để khai triển đủ các số hạng mà mỗi công thức vẫn gọn.

Ta có $A^{2}E=U$, $ABE=V$ và $B^{2}E=W$. Các đạo hàm hỗn hợp giao hoán khi trường đủ trơn.

(a) Với biến đổi Galileo, quy tắc dây chuyền cho

$$\frac{\partial }{\partial x}=A,$$

$$\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}=B-\beta A.$$

Gọi $Q=(B-\beta A{)}^{2}E$. Khai triển tường minh:

$$Q=W-2\beta V+{\beta }^{2}U.$$

Phương trình sóng ban đầu là $U-Q=0$. Đặt $\alpha =1-{\beta }^2$ để gom hệ số, ta được

$$\alpha U+2\beta V-W=0.$$

Đây là phương trình đích, với $\alpha =1-v^2/c^2$. Xuất hiện đạo hàm hỗn hợp và hệ số không gian khác một, nên phương trình không giữ nguyên dạng.

(b) Với ,

$$x^{\prime }=\gamma (x-vt),$$

$$t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2).$$

Quy tắc dây chuyền cho

$$\frac{\partial }{\partial x}=\gamma (A-\beta B),$$

$$\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}=\gamma (B-\beta A).$$

Đặt $P=(A-\beta B{)}^{2}E$ và giữ $Q$ như trên. Khai triển hai bình phương là

$$\begin{array}{rl}P& =U-2\beta V+{\beta }^{2}W,\\ Q& =W-2\beta V+{\beta }^{2}U.\end{array}$$

Hai đạo hàm hỗn hợp triệt tiêu khi lấy hiệu:

$$P-Q=(1-{\beta }^2)(U-W).$$

Vì ${\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1$, phương trình ban đầu trở thành

$$\begin{array}{rl}{\gamma }^2(P-Q)& =0\\ U-W& =0.\end{array}$$

Tức là

$$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^{\prime 2}}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^{\prime 2}}=0.$$

Hệ số trong phương trình vẫn là $c$, nên sóng truyền trong chân không với cùng tốc độ $c$ trong hai hệ quán tính. Khi biến đổi toàn bộ trường điện từ, các thành phần điện trường và từ trường cũng phải được biến đổi nhất quán. Phép đổi biến ở đây chỉ làm rõ tính bất biến của toán tử sóng.

Bài tập theo đoạn thông tin

Một vũ trụ có tốc độ ánh sáng nhỏ hơn

Tính chất của vũ trụ phụ thuộc vào các hằng số vật lý cơ bản. Nếu điện tích electron, khối lượng proton hoặc tốc độ ánh sáng khác đi nhiều, thế giới vật chất cũng sẽ khác. Trong cuộc sống hằng ngày, tốc độ ánh sáng rất lớn khiến các hiệu ứng tương đối tính thường khó nhận ra.

Hãy xét một vũ trụ giả định mà tốc độ ánh sáng nhỏ hơn giá trị trong vũ trụ của chúng ta $1000000$ lần. Trong các bài dưới đây, tốc độ giới hạn của vũ trụ ấy là $c_{\ast }=300\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Bài tập 37: 71

Một máy bay dài $60\mathrm{m}$ khi đo trong hệ nghỉ. Nếu máy bay bay với tốc độ $180\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tương đương khoảng $400\mathrm{mph}$, trong vũ trụ giả định, người quan sát đứng yên đo được chiều dài bằng bao nhiêu?

• (a) $24\mathrm{m}$.
• (b) $36\mathrm{m}$.
• (c) $48\mathrm{m}$.
• (d) $60\mathrm{m}$.
• (e) $75\mathrm{m}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: $l_0=60\mathrm{m}$, tốc độ $v=180\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và tốc độ ánh sáng giả định $c_{\ast }=300\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hướng đi:

• Dùng $l=l_0/\gamma$ vì cần chiều dài của máy bay trong hệ mà nó đang chuyển động dọc thân.
• Tính bằng $c_{\ast }$ của vũ trụ đang xét, vì đó là tốc độ giới hạn xuất hiện trong định luật của mô hình.

Ta có $v/c_{\ast }=\mathrm{0,600}$ và $\gamma =1,25$. Suy ra

$$l=\frac{60}{1,25}=48\mathrm{m}.$$

Chọn (c).

Bài tập 37: 72

Máy bay ở bài 37.71 có khối lượng nghỉ $20000\mathrm{kg}$. Khối lượng tương đối tính của máy bay khi bay với tốc độ $180\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bằng bao nhiêu?

• (a) $8000\mathrm{kg}$.
• (b) $12000\mathrm{kg}$.
• (c) $16000\mathrm{kg}$.
• (d) $25000\mathrm{kg}$.
• (e) $33300\mathrm{kg}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khối lượng nghỉ $m=20000\mathrm{kg}$ và ở tốc độ đã cho là $\gamma =1,25$.

Hướng đi:

• Hiểu thuật ngữ lịch sử “khối lượng tương đối tính” là đại lượng $m_r=E/c_{\ast }^2=\gamma m$ mà câu hỏi yêu cầu.
• Phân biệt $m_r$ với khối lượng nghỉ $m$, vốn không thay đổi khi đổi hệ quy chiếu.

Theo định nghĩa đang dùng trong câu hỏi,

$$m_r=\gamma m=25000\mathrm{kg}.$$

Chọn (d). Khối lượng nghỉ của máy bay vẫn bằng $20000\mathrm{kg}$. Khi dùng ký hiệu $m$ cho khối lượng trong các công thức của chương, ta luôn dùng khối lượng nghỉ ấy.

Bài tập 37: 73

Trong vũ trụ của chúng ta, của electron xấp xỉ $8,2\times {10}^{-14}\mathrm{J}$. Trong vũ trụ giả định, năng lượng nghỉ ấy bằng bao nhiêu?

• (a) $8,2\times {10}^{-8}\mathrm{J}$.
• (b) $8,2\times {10}^{-26}\mathrm{J}$.
• (c) $8,2\times {10}^{-2}\mathrm{J}$.
• (d) $0,82\mathrm{J}$.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tốc độ ánh sáng giảm ${10}^6$ lần. Giữ nguyên khối lượng nghỉ electron trong phép so sánh của mô hình.

Hướng đi:

• Dùng $E_0=m{c}^2$ vì đề so sánh .
• tỉ lệ với bình phương tốc độ ánh sáng khi khối lượng nghỉ được giữ nguyên. Vì vậy, phải giảm ${10}^{12}$ lần.

Gọi trong vũ trụ giả định là $E_{0\ast }$:

$$\begin{array}{rl}{E}_{0\ast }& =\frac{E_0}{{10}^{12}}\\ & =8,2\times {10}^{-26}\mathrm{J}.\end{array}$$

Chọn (b).

Bài tập 37: 74

Trong vũ trụ giả định, một vật phải chuyển động nhanh bao nhiêu để động năng của nó bằng khối lượng nghỉ của chính nó?

• (a) $225\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
• (b) $260\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
• (c) $300\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
• (d) Động năng không thể bằng khối lượng nghỉ.

Lời giải chi tiết

Tóm tắt đề bài: Câu hỏi đặt trực tiếp động năng và khối lượng nghỉ bằng nhau. Đây là hai đại lượng có thứ nguyên khác nhau.

Hướng đi:

• Kiểm tra thứ nguyên trước khi biến đổi công thức. Động năng đo bằng joule, còn khối lượng nghỉ đo bằng kilogram.
• Phân biệt khối lượng nghỉ $m$ với $m{c}_{\ast }^2$. Chỉ những đại lượng cùng thứ nguyên mới có thể được đặt bằng nhau trong phương trình vật lý này.

Không có tốc độ nào làm và khối lượng trở thành hai đại lượng cùng thứ nguyên. Vì vậy, chọn (d).

Nếu thay điều kiện bằng “động năng bằng ”, đó sẽ là một câu hỏi khác. Điều kiện khi ấy là

$$(\gamma -1)m{c}_{\ast }^2=m{c}_{\ast }^2.$$

Với $m>0$, ta thu được $\gamma =2$, tương ứng tốc độ xấp xỉ $260\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Giá trị ấy không trả lời điều kiện so sánh khối lượng và động năng đã nêu.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 37, trang 1245–1252.