Hai người chuyển động tương đối có dùng cùng định luật vật lý không?

Trên một đoàn tàu chuyển động thẳng đều, hai đứa trẻ ném bóng cho nhau. Nếu bạn cùng đứng trong toa và chỉ theo dõi quả bóng, thí nghiệm cơ học ấy có cho biết tàu đang chạy nhanh bao nhiêu hay không? Định luật Newton áp dụng trong toa giống như trong một phòng thí nghiệm đứng yên trên mặt đất, khi có thể coi cả hai hệ là quán tính.

1. Tiên đề thứ nhất

Nguyên lý tương đối phát biểu rằng các định luật vật lý có cùng dạng trong mọi . Không một hệ quán tính nào được ưu tiên chỉ vì trạng thái chuyển động thẳng đều của nó.

Nếu một định luật có dạng khác trong một hệ, ta có thể dùng thí nghiệm dựa trên khác biệt ấy để nhận ra một hệ đặc biệt. Nguyên lý tương đối loại bỏ khả năng phân biệt như vậy giữa các hệ quán tính.

Xét thêm một nam châm và một cuộn dây. Trong hệ cuộn dây đứng yên, nam châm chuyển động làm từ thông biến thiên và gây suất điện động cảm ứng. Trong hệ nam châm đứng yên, cuộn dây chuyển động trong từ trường, và lực từ trên điện tích dẫn giải thích sự cảm ứng.

Hình 37.1: Chuyển động tương đối giữa nam châm và cuộn dây tạo hiện tượng cảm ứng, dù chọn hệ gắn với cuộn dây hay nam châm để mô tả.

Chú thích:

• Nam châm chuyển động ... (Magnet moves ...)
• Cuộn dây chuyển động ... (Coil moves ...)
• Cùng một kết quả (... same result)

Hai cách mô tả phải nhất quán khi cùng dự đoán một phép đo. Định luật Faraday và các định luật điện từ nói chung có thể được phát biểu trong mọi hệ quán tính. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa từng thành phần điện trường, từ trường hay lực đều giữ nguyên giá trị khi đổi hệ.

Phương trình Maxwell còn dự đoán sóng điện từ truyền trong chân không với tốc độ $c$. Giá trị được định nghĩa chính xác là

$$c=299792458\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Trong nhiều phép tính, ta dùng gần đúng $c=3,00\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Nếu phương trình Maxwell có cùng dạng trong mọi hệ quán tính, tốc độ mà chúng dự đoán cũng phải phù hợp với yêu cầu ấy.

2. Tiên đề thứ hai

Trong thế kỷ XIX, ánh sáng từng được giả thuyết truyền trong một môi trường gọi là ether, tương tự âm truyền trong không khí. Giả thuyết ấy gợi ý rằng tốc độ ánh sáng đo được phải phụ thuộc chuyển động của người đo đối với ether và có thể khác nhau theo phương.

Thí nghiệm Michelson–Morley tìm chuyển động của Trái Đất đối với môi trường giả định ấy nhưng không phát hiện hiệu ứng mong đợi. Kết quả này phù hợp với việc không cần một hệ ether ưu tiên để mô tả ánh sáng. Không nên đồng nhất sự phù hợp ấy với khẳng định Einstein nhất thiết đã biết và dựa trực tiếp vào kết quả thí nghiệm khi hình thành tiên đề.

Tiên đề thứ hai phát biểu: Tốc độ ánh sáng trong chân không như nhau trong mọi và không phụ thuộc chuyển động của nguồn phát.

Giả sử một người đứng yên đối với nguồn, còn người kia rời xa nguồn với không đổi. Mỗi người dùng thước và đồng hồ trong hệ của mình để đo tốc độ cùng một chùm sáng. Cả hai đều thu được $c$.

So sánh với một tên lửa nhỏ được phóng từ tàu. Tàu bay ngang Trái Đất với tốc độ $1000\mathrm{m}/\mathrm{s}$ và phóng tên lửa về phía trước với tốc độ $2000\mathrm{m}/\mathrm{s}$ đối với tàu. Trong gần đúng Newton, người trên Trái Đất đo tốc độ tên lửa bằng $3000\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Hình 37.2: Phép cộng vận tốc Newton phù hợp với tên lửa chuyển động chậm, nhưng không thể áp dụng cho chùm sáng phát về phía trước từ cùng tàu.

Chú thích:

• Tàu vũ trụ (S′) chuyển động với tốc độ vS′/S = 1000 m/s so với người quan sát trên Trái Đất (S). (A spaceship (S′) moves with speed vS′/S = 1000 m/s relative to an observer on earth (S).)
• Tên lửa (M) được phóng với tốc độ vM/S′ = 2000 m/s so với tàu vũ trụ. (A missile (M) is fired with speed vM/S′ = 2000 m/s relative to the spaceship.)
• Chùm sáng (L) được phát ra từ tàu vũ trụ với tốc độ c. (A light beam (L) is emitted from the spaceship at speed c.)
• Tên lửa (M) (Missile (M))
• Trái Đất (Earth)
• CƠ HỌC NEWTON ĐÚNG: Cơ học Newton cho ta biết một cách chính xác rằng tên lửa chuyển động với tốc độ vM/S = 3000 m/s so với người quan sát trên Trái Đất. (NEWTONIAN MECHANICS HOLDS: Newtonian mechanics tells us correctly that the missile moves with speed vM/S = 3000 m/s relative to the observer on earth.)
• CƠ HỌC NEWTON THẤT BẠI: Cơ học Newton dự đoán sai rằng ánh sáng chuyển động với tốc độ lớn hơn c so với người quan sát trên Trái Đất ... điều này mâu thuẫn với tiên đề thứ hai của Einstein. (NEWTONIAN MECHANICS FAILS: Newtonian mechanics tells us incorrectly that the light moves at a speed greater than c relative to the observer on earth ... which would contradict Einstein’s second postulate.)
• Chùm sáng (L) (Light beam (L))

Nếu thay tên lửa bằng ánh sáng đèn , người trên tàu đo tốc độ chùm sáng bằng $c$. Người trên Trái Đất cũng đo được $c$, chứ không phải $c+1000\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Đây là chỗ phép cộng quen thuộc không còn chính xác.

Trực giác hình thành từ nhỏ không đủ để quyết định cách ánh sáng phải chuyển động. Ta cần một mô tả không gian và thời gian phù hợp với cả hai tiên đề.

3. Vì sao không có hệ quán tính chạy cùng ánh sáng?

Giả sử một tàu và người quan sát trên tàu có thể chuyển động với tốc độ $c$ đối với Trái Đất. Khi tàu bật đèn , người trên Trái Đất đo cả tàu và chùm sáng cùng đi với tốc độ $c$. Từ cùng vị trí phát, chúng sẽ luôn trùng nhau trong mô tả ấy.

Nhưng tiên đề thứ hai lại yêu cầu người trên tàu đo ánh sáng rời mình với tốc độ $c$. Chùm sáng không thể vừa luôn trùng tàu vừa rời tàu theo cách hai mô tả ấy yêu cầu. Giả thiết có một hệ quán tính gắn với tàu chạy ở $c$ vì thế không thể được giữ.

Không có hệ nghỉ quán tính của ánh sáng. Câu hỏi “người quan sát chạy cùng tia sáng sẽ nhìn thấy gì?” đã giả định một hệ quy chiếu mà thuyết tương đối không cho phép. Về sau, quan hệ sẽ cho thấy vì sao một vật có khối lượng nghỉ dương không thể được gia tốc đến $c$ bằng năng lượng hữu hạn.

4. Biến đổi Galileo và giả thiết thời gian chung

Chọn hệ $S$ gắn với người trên Trái Đất và hệ $S^{\prime }$ gắn với tàu. Trục $x$ và $x^{\prime }$ cùng phương, cùng chiều. Gốc $O^{\prime }$ chuyển động theo chiều $+x$ với $u$, còn hai gốc trùng nhau ở thời điểm $t=t^{\prime }=0$.

Hình 37.3: Vị trí cùng một điểm P được mô tả bởi hai hệ có gốc cách nhau ut trong hệ S.

Chú thích:

• Hệ S′ chuyển động so với hệ S với vận tốc không đổi u dọc theo trục chung x-x′. (Frame S′ moves relative to frame S with constant velocity u along the common x-x′-axis.)
• Các gốc tọa độ O và O′ trùng nhau tại thời điểm t = 0 = t′. (Origins O and O′ coincide at time t = 0 = t′.)

Trong cơ học Newton, ta cho rằng hai hệ dùng cùng thang thời gian, tức $t^{\prime }=t$. Khi ấy,

$$\begin{array}{rl}x& =x^{\prime }+ut,\\ y& =y^{\prime },\\ z& =z^{\prime }.\end{array}$$

(37.1)

Đây là biến đổi tọa độ Galileo. Hệ và trục phải được vẽ rõ trước khi dùng. Với quy ước $u>0$ đang chọn, chiều dương phải là chiều gốc $O^{\prime }$ chuyển động đối với $O$. Nếu chọn hệ hay chiều trục khác, phải thay dấu nhất quán.

Lấy đạo hàm phương trình vị trí theo thời gian chung cho

$$\frac{dx}{dt}=\frac{d{x}^{\prime }}{dt}+u.$$

Vì đang giả sử $d{t}^{\prime }=dt$, ta có phép cộng Galileo:

$$v_x=v_x^{\prime }+u.$$

(37.2)

Thế ánh sáng vào sẽ cho $c=c^{\prime }+u$, trong khi tiên đề thứ hai yêu cầu $c=c^{\prime }$. Mâu thuẫn này không phải do tín hiệu đến mắt chậm. Nó xuất hiện ngay trong cách hai hệ gán vận tốc bằng thước và đồng hồ của mình.

Giả thiết cần xét lại là $t^{\prime }=t$. Trong hệ $S^{\prime }$, định nghĩa đúng phải là $v_x^{\prime }=d{x}^{\prime }/d{t}^{\prime }$, chứ không mặc nhiên thay mẫu số bằng $dt$. Để xác định quan hệ giữa hai thời gian, trước hết cần làm rõ hai sự kiện “đồng thời” có nghĩa gì.

Câu hỏi tự kiểm tra 37.1

Một tàu bay rất nhanh ngang bạn và phát một xung ánh sáng theo mọi hướng. Người trên tàu đo được một mặt sóng cầu, lan ra với tốc độ $c$ như nhau theo các hướng.

(a) Bạn đo hình dạng mặt sóng nào?

• (i) Hình cầu.
• (ii) Ellipsoid có trục dài nhất dọc phương chuyển động của tàu.
• (iii) Ellipsoid có trục ngắn nhất dọc phương chuyển động của tàu.
• (iv) Chưa đủ thông tin để quyết định.

(b) Theo các phép đo của bạn, tâm mặt sóng có luôn ở tàu hay không?

Xem đáp án và giải thích

(a) Chọn (i). Theo tiên đề thứ hai, ánh sáng lan với cùng tốc độ $c$ theo mọi hướng trong hệ của bạn. Tại cùng một thời điểm trong hệ ấy, mặt sóng là hình cầu.

(b) Không. Tâm cầu trong hệ của bạn nằm ở vị trí P mà tàu phát xung, còn tàu tiếp tục chuyển động ra khỏi P. Chẳng hạn, nếu tàu có tốc độ $c/2$, sau thời gian $t$ mặt sóng có bán kính $ct$, còn tàu cách P một đoạn $ct/2$.

Hai hệ không dùng cùng tập sự kiện khi dựng một mặt sóng “tại cùng thời điểm”. Vì thế, không được áp dụng cho một quả cầu của hệ này để kết luận mặt sóng phải thành ellipsoid trong hệ kia.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 37.1, trang 1217–1220.