25.3. Điện trở

Trong một dây dẫn, nếu tăng gấp đôi thì cần thiết có tăng gấp đôi không? Câu trả lời phụ thuộc vào vật liệu. Với vật liệu tuân theo định luật Ohm ở nhiệt độ đang xét, điện trường tỉ lệ thuận với mật độ dòng điện. Từ quan hệ vi mô ấy, ta suy ra của một dây có tiết diện đều.

1. Từ mật độ dòng điện đến điện trở

Với vật liệu có $\rho$, và tại mỗi điểm liên hệ bởi:

$$\overrightarrow{E}=\rho \overrightarrow{J}.$$

(25.7)

Đẳng thức dạng vector áp dụng cho vật liệu đẳng hướng. Nếu vật liệu tuân theo định luật Ohm thì $\rho$ không phụ thuộc độ lớn đang xét. Khi ấy $\overrightarrow{E}$ cùng hướng và tỉ lệ với $\overrightarrow{J}$.

Xét dây dẫn dài $L$, tiết diện đều $A$, như Hình 25.7. Giả sử phân bố đều trên mỗi tiết diện và dọc dây có độ lớn không đổi. Khi đó:

$$I=JA,V=EL,$$

trong đó $V$ là giữa đầu có điện thế cao và đầu có điện thế thấp, nên $V>0$. Vì $\overrightarrow{E}$ hướng về phía điện thế giảm, quy ước chạy từ đầu điện thế cao đến đầu điện thế thấp. Khi đi qua dây dẫn, điện giảm và năng lượng được truyền cho các ion của vật liệu qua va chạm.

Hình 25.7: Dây dẫn tiết diện đều có mật độ dòng điện phân bố đều và điện trường không đổi dọc chiều dài

Chú thích:

• Dòng điện quy ước đi từ điện thế cao xuống điện thế thấp. (Current flows from higher to lower electric potential.)
• Điện thế cao hơn. (Higher potential)
• Điện thế thấp hơn. (Lower potential)
• V là hiệu điện thế giữa hai đầu dây. (V = potential difference between ends)

Hình 25.7: Với dây đồng chất, tiết diện đều và điều kiện dòng phân bố đều, $J$ không đổi trên mỗi tiết diện còn dọc dây có độ lớn không đổi. hướng từ cao sang điện thế thấp.

Từ hai hệ thức $I=JA$ và $V=EL$, ta có $J=I/A$ và $E=V/L$. Thay vào $E=\rho J$:

$$\begin{array}{rl}\frac{V}{L}& =\rho \frac{I}{A},\\ V& =\frac{\rho L}{A}I.\end{array}$$

(25.8)

Đối với một vật dẫn, tỉ số giữa hai đầu và qua nó được gọi là :

$$R=\frac{V}{I}.$$

(25.9)

So sánh với phương trình trên, đối với dây đồng chất, tiết diện đều:

$$R=\rho \frac{L}{A}.$$

(25.10)

tăng theo chiều dài và , đồng thời giảm khi tiết diện tăng. Điện trở suất là tính chất của vật liệu, còn điện trở còn phụ thuộc kích thước vật dẫn.

Hình 25.8: Vòi cứu hỏa dài cần chênh lệch áp suất lớn để duy trì dòng nước mạnh

Ống dài cản dòng nước nhiều hơn ống ngắn, và ống hẹp cản nhiều hơn ống rộng. Nhồi bông hoặc cát vào ống làm tăng sức cản, tương tự tăng của vật liệu. Lưu lượng gần tỉ lệ chênh lệch áp suất, như và trong mô hình Ohm.

Phép tương tự có giới hạn. Lưu lượng nước trong ống thường không tỉ lệ với tiết diện như trong một dây đều ở cùng . Không suy rộng mọi quy luật của dòng điện sang dòng chất lỏng.

Đối với vật liệu Ohm có $R$ không đổi, ta viết:

$$V=IR.$$

(25.11)

Phương trình $V=IR$ thường được gọi là định luật Ohm. Nội dung vật lý của định luật là tính tỉ lệ thuận trực tiếp giữa $V$ và $I$ đối với vật liệu và điều kiện cụ thể. Định nghĩa $R=V/I$ vẫn dùng được cho mọi vật dẫn, kể cả vật liệu không Ohm, nhưng nếu tỉ số thay đổi theo điện áp hoặc thì không thể gọi quan hệ đó là định luật Ohm.

Đơn vị SI của là ôm:

$$1\mathrm{\Omega }=1\mathrm{V}/\mathrm{A}.$$

Các đơn vị thường gặp khác là kilôôm $1\mathrm{k}\mathrm{\Omega }={10}^3\mathrm{\Omega }$ và mêgaôm $1\mathrm{M}\mathrm{\Omega }={10}^6\mathrm{\Omega }$. Một dây đồng cỡ 12 gauge dài 100 m có khoảng $0.5\mathrm{\Omega }$ ở nhiệt độ phòng. Bóng đèn sợi đốt 100 W, 120 V có điện trở khoảng $140\mathrm{\Omega }$ khi hoạt động. Nếu cùng chạy qua dây và bóng đèn, độ giảm $V=IR$ lớn hơn nhiều trên bóng đèn. điện thế giảm tại dây tóc được chuyển thành nhiệt và ánh sáng. Dây điện gia dụng cần điện trở nhỏ, nên thường dùng vật liệu có thấp và dây có tiết diện lớn.

Điện trở linh kiện và mã màu

có giá trị xác định được chế tạo sẵn gọi là resistor (điện trở linh kiện). Nhiều linh kiện có dạng trụ nhỏ với các vòng màu đánh dấu giá trị. Hai vòng đầu biểu diễn chữ số, vòng thứ ba là hệ số nhân lũy thừa của 10. Vòng thứ tư, nếu có, cho biết sai số cho phép. Ví dụ, xanh lục–tím–đỏ biểu diễn $57\times {10}^2\mathrm{\Omega }=5.7\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$. Không có vòng dung sai nghĩa là ±20%, vòng bạc là ±10%, vòng vàng là ±5%. Điện trở linh kiện bán sẵn thường có dải giá trị từ $0.01$ đến ${10}^7\mathrm{\Omega }$. Công suất cực đại mà linh kiện chịu được mà không hỏng cũng là thông số quan trọng.

Hình 25.9: Điện trở linh kiện có các vòng màu biểu thị trị số và dung sai

Chú thích:

• Chữ số thứ nhất. (First digit)
• Chữ số thứ hai. (Second digit)
• Hệ số nhân. (Multiplier)
• Dung sai. (Tolerance)

Hình 25.9: Hai vòng gần đầu linh kiện là chữ số, vòng tiếp theo là hệ số nhân, còn vòng cuối cho biết dung sai. Mẫu minh họa có trị số 5.7 kΩ và dung sai ±10%.

Bảng 25.3. Mã màu

Màu	Chữ số	Hệ số nhân
Đen	0	${10}^0$
Nâu	1	${10}^1$
Đỏ	2	${10}^2$
Cam	3	${10}^3$
Vàng	4	${10}^4$
Lục	5	${10}^5$
Lam	6	${10}^6$
Tím	7	${10}^7$
Xám	8	${10}^8$
Trắng	9	${10}^9$

Nhiệt độ làm thay đổi điện trở

thay đổi theo nhiệt độ, vì vậy của một vật dẫn cụ thể cũng thay đổi. Trong một khoảng nhiệt độ không quá rộng, có thể xấp xỉ:

$$\begin{array}{rl}R(T)& =R_0[1+\alpha (T-T_0)],\\ \mathrm{\Delta }R& =R_0\alpha (T-T_0).\end{array}$$

(25.12)

Ở đây, $R_0$ là tại nhiệt độ mốc $T_0$, còn $\alpha$ là hệ số nhiệt điện trở. Mốc $T_0$ thường được chọn là $0^{\circ }\mathrm{C}$ hoặc ${20}^{\circ }\mathrm{C}$. Công thức gần đúng này giả sử kích thước dây không đổi đáng kể khi nhiệt độ thay đổi.

Khi L và A gần như giữ nguyên trong R = ρL/A, hệ số nhiệt của bằng hệ số nhiệt của trong Bảng 25.2. Do đó có thể dùng cùng α để tính biến thiên của R. Trong giới hạn gần đúng tuyến tính, độ thay đổi điện trở bằng R₀α(T − T₀).

Quan hệ dòng điện và điện áp

Với một tuân theo định luật Ohm, đồ thị $I$ theo $V$ là đường thẳng qua gốc tọa độ. Độ dốc bằng $1/R$. Đảo dấu làm đổi chiều. Khi đó và cũng đổi chiều.

Hình 25.10: Đồ thị dòng điện theo điện áp của điện trở Ohm và điôt bán dẫn

Chú thích:

• Điện trở Ohm, chẳng hạn dây kim loại điển hình. Ở một nhiệt độ xác định, dòng điện tỉ lệ thuận với điện áp. (Ohmic resistor (e.g., typical metal wire): At a given temperature, current is proportional to voltage.)
• Điôt bán dẫn là điện trở không Ohm. (Semiconductor diode: a nonohmic resistor)
• Theo chiều dòng điện và điện áp dương, I tăng phi tuyến khi V tăng. (In the direction of positive current and voltage, I increases nonlinearly with V.)
• Theo chiều dòng điện và điện áp âm, dòng điện rất nhỏ. (In the direction of negative current and voltage, little current flows.)

Hình 25.10: Đồ thị (a) của Ohm là đường thẳng có độ dốc $1/R$. Đồ thị (b) của điôt không tuyến tính và không đối xứng theo chiều .

Một thiết bị không Ohm có thể có quan hệ $I$–$V$ phi tuyến, thậm chí khác nhau khi đảo chiều. Điôt bán dẫn là linh kiện dùng để đổi dòng xoay chiều thành dòng một chiều và thực hiện nhiều chức năng logic. Khi anôt so với catôt dương, tăng theo hàm mũ khi điện áp tăng; khi điện thế âm, dòng điện rất nhỏ. Vì vậy điôt gần giống van một chiều trong mạch.

Ví dụ 25.2. Điện trường, hiệu điện thế và điện trở trong dây

Dây đồng 18 gauge có tiết diện $8.17\times {10}^{-7}{\mathrm{m}}^2$ và $1.67\mathrm{A}$. của đồng ở nhiệt độ đang xét là $1.72\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\mathrm{m}$. Hãy tìm (a) độ lớn trong dây, (b) giữa hai điểm cách nhau $50.0\mathrm{m}$, và (c) của đoạn dây dài $50.0\mathrm{m}$.

Lời giải Ví dụ 25.2

Tóm tắt đề bài: $A=8.17\times {10}^{-7}{\mathrm{m}}^2$, $I=1.67\mathrm{A}$, $\rho =1.72\times {10}^{-8}\mathrm{\Omega }\mathrm{m}$ và $L=50.0\mathrm{m}$.

Hướng đi:

• Tính $J=I/A$ vì là trên một đơn vị tiết diện.
• Dùng $E=\rho J$ để tìm trong vật liệu Ohm.
• Với đều dọc dây, $V=EL$. Sau đó tính từ $R=\rho L/A$ và kiểm tra bằng $R=V/I$.

(a) :

$$\begin{array}{rl}J& =\frac{I}{A}\\ & =\frac{1.67}{8.17\times {10}^{-7}}\\ & =2.044\times {10}^6\mathrm{A}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

trong dây:

$$\begin{array}{rl}E& =\rho J\\ & =(1.72)(2.044)\times {10}^{-2}\\ & =3.516\times {10}^{-2}\mathrm{V}/\mathrm{m}.\end{array}$$

(b) giữa hai điểm cách nhau $50.0$ m:

$$\begin{array}{rl}V& =EL\\ & =(3.516\times {10}^{-2})(50.0)\\ & =1.758\mathrm{V}\\ & \approx 1.76\mathrm{V}.\end{array}$$

(c) của đoạn dây:

$$\begin{array}{rl}R& =\rho \frac{L}{A}\\ & =\frac{(1.72\times {10}^{-8})(50.0)}{8.17\times {10}^{-7}}\\ & =1.05263\mathrm{\Omega }\\ & \approx 1.05\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Kiểm tra bằng định nghĩa :

$$R=\frac{V}{I}=\frac{1.758}{1.67}=1.05269\mathrm{\Omega }.$$

Hai cách tính khớp nhau trong độ chính xác của dữ kiện. Với vật liệu không Ohm, $R=V/I$ vẫn là định nghĩa tại điểm hoạt động ấy, nhưng giá trị có thể đổi khi thay đổi $V$ hoặc $I$. Khi đó $\rho$ cũng có thể phụ thuộc .

Ví dụ 25.3. Điện trở của dây đồng ở các nhiệt độ khác nhau

Một dây đồng có $1.05\mathrm{\Omega }$ ở ${20}^{\circ }\mathrm{C}$. Hãy tính điện trở ở $0^{\circ }\mathrm{C}$ và ${100}^{\circ }\mathrm{C}$. Hệ số nhiệt điện trở của đồng là $\alpha =0.00393({}^{\circ }\mathrm{C}{)}^{-1}$ trong khoảng nhiệt độ này.

Lời giải Ví dụ 25.3

Tóm tắt đề bài: $R_0=1.05\mathrm{\Omega }$ tại $T_0={20}^{\circ }\mathrm{C}$, $\alpha =0.00393({}^{\circ }\mathrm{C}{)}^{-1}$.

Hướng đi:

• Thay nhiệt độ cần tính vào biểu thức tuyến tính $R(T)=R_0[1+\alpha (T-T_0)]$.
• Giữ dấu của $T-T_0$: Hạ từ 20°C xuống 0°C làm giảm, còn tăng lên 100°C làm điện trở tăng.

Ở $0^{\circ }\mathrm{C}$:

$$\begin{array}{rl}R(0)& =R_0[1+\alpha (0-T_0)]\\ & =R_0(1-20\alpha )\\ & =R_0(0.9214).\\ R(0)& =1.05(0.9214)\mathrm{\Omega }\\ & =0.9675\mathrm{\Omega }\\ & \approx 0.97\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Ở ${100}^{\circ }\mathrm{C}$:

$$\begin{array}{rl}R(100)& =R_0[1+\alpha (100-T_0)]\\ & =R_0(1+80\alpha )\\ & =R_0(1.3144).\\ R(100)& =1.05(1.3144)\mathrm{\Omega }\\ & =1.3801\mathrm{\Omega }\\ & \approx 1.38\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

Từ các giá trị chưa làm tròn, tỉ số giữa ở 100°C và 0°C là $1.380/0.9675\approx 1.43$, tương ứng mức tăng khoảng 43%. Nếu làm tròn trước thành 1.38 Ω và 0.97 Ω như thường ghi trong bảng kết quả, tỉ số là khoảng 1.42, tức mức tăng khoảng 42%. Nếu cần giữ cùng , $V=IR$ cho biết điện áp cần thiết cũng tăng theo điện trở. Vì thế, thiết kế mạch hoạt động trong dải nhiệt độ rộng cần xét sự thay đổi này.

Câu hỏi kiểm tra

Nếu tăng gấp đôi điện áp trên dây đồng ở Ví dụ 25.2, tăng theo hệ số nào khi dòng điện lớn hơn làm dây nóng lên? Chọn (i) đúng gấp đôi, (ii) lớn hơn gấp đôi, hoặc (iii) nhỏ hơn gấp đôi.

Đáp án và giải thích

Chọn (iii). Nếu nhiệt độ giữ nguyên thì gần như không đổi và sẽ tăng gấp đôi. Nhưng dòng điện lớn hơn làm dây nóng hơn, khiến điện trở đồng tăng. Vì $I=V/R$, điện trở tăng làm dòng điện mới nhỏ hơn hai lần dòng ban đầu. Dây dẫn Ohm đòi hỏi $R=V/I$ không đổi trong các điều kiện so sánh. Dây nóng lên đáng kể không còn đáp ứng giả thiết đó.

Tóm tắt

• Với dây đồng chất, tiết diện đều và dòng phân bố đều, $R=\rho L/A$. mô tả vật liệu, còn phụ thuộc cả vật liệu lẫn hình học.
• Quan hệ $V=IR$ chỉ là định luật Ohm khi $R$ không đổi theo điểm hoạt động. Định nghĩa $R=V/I$ vẫn áp dụng cho vật dẫn không Ohm.
• Trong khoảng nhiệt độ hẹp, $R(T)\approx R_0[1+\alpha (T-T_0)]$. Khi nhiệt độ tăng, kim loại thường tăng, còn bán dẫn có xu hướng tăng khi nhiệt độ giảm.
• Đồ thị $I$–$V$ của linh kiện Ohm là đường thẳng qua gốc. Điôt là ví dụ không Ohm có tính dẫn khác nhau theo chiều.

Tài liệu tham khảo

Young, H. D., & Freedman, R. A. University Physics with Modern Physics (ấn bản 15, mục 25.3, tr. 819–822). Pearson.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 25.3, trang 819–822.