40.2. Hạt trong hộp thế

Một bài toán nền tảng của cơ học lượng tử là sử dụng không phụ thuộc thời gian để xác định các mức khả dĩ cùng tương ứng cho các hệ vật lý khác nhau. Với một hàm thế năng $U(x)$ cho trước, nhiệm vụ trọng tâm là tìm các hàm sóng $\psi (x)$ cùng các giá trị năng lượng $E$ đi kèm.

Đối với một hạt tự do chuyển động trong không gian không có lực tác dụng, bằng 0 ở mọi nơi ($U(x)=0$). Các và mức năng lượng tương ứng có dạng:

$$\begin{array}{rl}\psi (x)& =A{e}^{ikx},\\ E& =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\end{array}$$

(40.24)

Trong đó: Số sóng $k$ liên hệ với $\lambda$ qua hệ thức $k=2\pi /\lambda$. Do số sóng $k$ có thể nhận giá trị thực bất kỳ, $E$ của hạt tự do có thể biến thiên liên tục từ 0 đến vô hạn. Mật độ xác suất tìm thấy hạt $|\psi (x){|}^2=|A{|}^2$ là đồng đều trên toàn bộ trục $x$, phản ánh một trạng thái hoàn toàn không bị giam giữ và không thể chuẩn hóa trên toàn bộ đường thẳng thực.

Bây giờ, chúng ta khảo sát một mô hình đơn giản trong đó hạt bị liên kết trong một vùng không gian giới hạn và không thể thoát ra xa vô cực. Hệ gồm một hạt chuyển động một chiều dọc theo trục $x$, bị giam giữa hai bức tường cứng cách nhau một khoảng $L$. Các bức tường đặt tại tọa độ $x=0$ và $x=L$. tại vị trí các bức tường cứng là vô hạn ($U=\mathrm{\infty }$), ngăn cản hoàn toàn hạt vượt ra ngoài. Trong khoảng giữa hai bức tường, thế năng bằng 0 ($U=0$). Mô hình này được gọi là hay giếng thế sâu vô hạn một chiều. Mô hình này có thể mô tả gần đúng một electron tự do di chuyển dọc theo mạch polymer liên hợp dài hoặc trong một dây dẫn nano rất mảnh.

Hình 40.8: Quan niệm cơ học cổ điển Newton về một hạt có khối lượng m chuyển động qua lại giữa hai bức tường cứng cách nhau khoảng L với tốc độ không đổi.

Chú thích:

• Một hạt có khối lượng m chuyển động dọc theo một đường thẳng với tốc độ không đổi, nảy giữa hai thành cứng cách nhau một khoảng L. (A particle with mass m moves along a straight line at constant speed, bouncing between two rigid walls a distance L apart.)

Hình 40.9: Hàm thế năng của một hạt trong hộp một chiều: Thế năng U(x) bằng 0 trong khoảng 0 < x < L và bằng vô hạn ở mọi vị trí bên ngoài khoảng này.

Chú thích:

• Thế năng U bằng 0 trong khoảng 0 < x < L và vô hạn ở mọi vị trí bên ngoài khoảng này. (The potential energy U is zero in the interval 0 < x < L and is infinite everywhere outside this interval.)

Hàm sóng của hạt trong hộp

Để giải cho hệ này, trước hết ta xét các điều kiện vật lý áp đặt lên $\psi (x)$. Do hạt bị giam giữ hoàn toàn trong khoảng $0\le x\le L$, xác suất tìm thấy hạt bên ngoài vùng này phải bằng 0, kéo theo hàm sóng $\psi (x)=0$ với mọi $x<0$ và $x>L$. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với phương trình Schrödinger: Muốn tích số $U(x)\psi (x)$ trong phương trình không bị phân kỳ tại những nơi $U(x)$ tiến tới vô hạn, hàm sóng $\psi (x)$ bắt buộc phải triệt tiêu tại đó.

Hơn nữa, để là một nghiệm vật lý chấp nhận được, $\psi (x)$ phải là một hàm liên tục trên toàn miền xác định. Tính liên tục tại hai mép biên đòi hỏi phải triệt tiêu ngay tại các điểm ranh giới:

$$\psi (0)=0\text{và}\psi (L)=0$$

Hai điều kiện này đóng vai trò là các điều kiện biên của bài toán. Chúng tương tự như điều kiện biên hai đầu cố định khi khảo sát sóng dừng và các họa tần chuẩn trên sợi dây đàn hồi.

Một điều kiện bổ sung quan trọng: Để bậc hai $d^2\psi (x)/d{x}^2$ tồn tại, đạo hàm bậc nhất $d\psi (x)/dx$ cũng phải liên tục ở mọi nơi, ngoại trừ những điểm mà trở nên vô hạn (chính là tại hai thành hộp). Điều này tương đương với yêu cầu một sợi dây dao động không thể bị gập gãy đột ngột tại bất kỳ điểm nào giữa hai đầu dây.

Hình 40.10: Các họa tần chuẩn của một sợi dây có chiều dài L cố định tại hai đầu: Chiều dài dây bằng một số nguyên lần nửa bước sóng, hai đầu là hai nút sóng.

Chú thích:

• Mỗi đầu cố định là một nút, và có thêm n - 1 nút giữa hai đầu. (Each end is a node, and there are n - 1 additional nodes between the ends.)
• Chiều dài là một số nguyên lần nửa bước sóng: L = nλ_n/2. (The length is an integral number of half-wavelengths: L = nλ_n/2.)

Bây giờ ta giải trong khoảng $0\le x\le L$. Trong vùng này $U(x)=0$, phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian có dạng:

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=E\psi (x)$$

(40.25)

Phương trình (40.25) có dạng toán học tương tự như phương trình của hạt tự do, nhưng đơn lẻ dạng sóng chạy $\psi (x)=A{e}^{ikx}$ không thể thỏa mãn đồng thời hai điều kiện biên. Tại $x=0$, hàm sóng này bằng $A{e}^0=A$. Tại $x=L$, nó bằng $A{e}^{ikL}$. Nếu ép hai giá trị này bằng 0 thì đòi hỏi biên độ $A=0$, dẫn đến hàm sóng triệt tiêu $\psi (x)=0$ trên toàn không gian. Hàm sóng triệt tiêu đồng nhất không thể chuẩn hóa được ($\int |\psi {|}^{2}dx=0\ne 1$), do đó không thể đại diện cho trạng thái vật lý của một hạt.

Nghiệm dừng tổng quát của phương trình tuyến tính (40.25) cho phép chồng hai sóng phẳng truyền ngược chiều nhau. Ta sẽ chọn các hệ số để tổng ấy thỏa điều kiện tại hai vách. Viết gọn $\psi =\psi (x)$:

$$\psi =A_1{e}^{ikx}+A_2{e}^{-ikx}$$

(40.26)

này gồm một sóng truyền theo chiều dương trục $x$ với biên độ $A_1$ và một sóng truyền theo chiều âm trục $x$ với biên độ $A_2$. Hiện tượng này hoàn toàn tương tự như sự tạo thành sóng dừng trên sợi dây đàn hồi, vốn là kết quả của sự giao thoa giữa hai sóng hình sin lan truyền ngược chiều nhau. tương ứng với nghiệm chồng chập này vẫn là $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$, hoàn toàn giống như đối với từng sóng đơn lẻ.

Để áp dụng các điều kiện biên, ta biểu diễn nghiệm qua các hàm lượng giác bằng công thức Euler. Đặt hai thành phần sóng:

$$\begin{array}{rl}{\psi }_1(x)& =(A_1+A_2)\cos kx,\\ {\psi }_2(x)& =i(A_1-A_2)\sin kx\end{array}$$

Khi đó tổng cộng nhận dạng:

$$\psi (x)={\psi }_1(x)+{\psi }_2(x)$$

(40.27)

Tại điểm biên $x=0$, có giá trị:

$$\psi (0)=A_1+A_2=0$$

Hệ thức trên kéo theo $A_2=-A_1$. Thay hệ thức này trở lại vào phương trình (40.27), số hạng chứa $\cos kx$ triệt tiêu hoàn toàn và ta thu được:

$$\begin{array}{rl}\psi (x)& =2i{A}_1\sin kx\\ & =C\sin kx\end{array}$$

(40.28)

Trong đó: Ta đặt hằng số mới $C=2i{A}_1$. Về mặt toán học, hằng số $C$ nói chung là một số phức. Do triệt tiêu $\psi (x)=0$ không thể chuẩn hóa được, ta yêu cầu $C\ne 0$. Để thỏa mãn điều kiện biên thứ hai tại $x=L$, ta cần:

$$\psi (L)=C\sin kL=0$$

Vì hằng số $C\ne 0$, phương trình lượng giác đòi hỏi $\sin kL=0$, dẫn đến $kL=n\pi$. Với mỗi số nguyên dương $n=1,2,3,\dots$, các giá trị khả dĩ của số sóng $k$ và ${\lambda }_n$ được lượng tử hóa:

$$\begin{array}{rl}{k}_n& =\frac{n\pi }{L},\\ {\lambda }_n& =\frac{2\pi }{k_n}=\frac{2L}{n}\end{array}$$

(40.29)

Chiều rộng $L$ của hộp đúng bằng một số nguyên lần nửa ($L=n{\lambda }_n/2$), hoàn toàn tương ứng với điều kiện sóng dừng trên sợi dây hai đầu cố định.

Các mức năng lượng của hạt trong hộp

của hạt bên trong hộp hoàn toàn là động năng do thế năng bằng 0:

$$p_n=\frac{h}{{\lambda }_n}=\frac{nh}{2L}$$

(40.30)

Với mỗi số lượng tử $n=1,2,3,\dots$, các mức cho phép của một được xác định bởi:

$$\begin{array}{rl}{E}_n& =\frac{p_n^2}{2m}=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}\\ & =\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\end{array}$$

(40.31)

Mỗi mức tương ứng với một giá trị của số lượng tử $n=1,2,3,\dots$ và một riêng biệt:

$${\psi }_n(x)=C\sin \frac{n\pi x}{L}$$

(40.32)

Hình 40.11: Sơ đồ mức năng lượng và hàm sóng dừng của hạt trong hộp. Phần (a) biểu diễn các mức năng lượng tỷ lệ với bình phương số lượng tử. Phần (b) biểu diễn các hàm sóng từ n = 1 đến n = 5 được tịnh tiến theo phương đứng.

của hạt tỷ lệ với $n^2$, do đó khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau càng lên cao càng dãn rộng. Do các bức tường cứng hoàn hảo, hệ có vô số mức năng lượng gián đoạn. Ngay cả hạt có động năng cực lớn cũng không thể thoát khỏi hộp.

Thận trọng: Hạt trong hộp không thể có năng lượng bằng không

của một hạt bị giam trong hộp thế không bao giờ có thể bằng 0. Để $E=0$ thì phương trình (40.31) đòi hỏi $n=0$, nhưng khi thay $n=0$ vào phương trình (40.32) ta nhận được $\psi (x)=C\sin (0)=0$ ở mọi nơi. Một triệt tiêu đồng nhất $\psi (x)=0$ không thể thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa bằng 1, do đó không thể đại diện cho trạng thái của một hạt.

Kết luận cũng phù hợp nguyên lý bất định. Nếu động năng bằng không một cách xác định, phân bố chỉ còn giá trị không. Khi ấy, độ phân tán động lượng bằng không không thể đi cùng một trạng thái chuẩn hóa bị giới hạn trong hộp hữu hạn.

Mức thấp nhất $E_1>0$ vì vậy được gọi là , với mốc trong hộp bằng không. Các hàm sin có thể khai triển thành hai thành phần sóng chạy ngược chiều và cùng độ lớn biên độ trên khoảng của hộp. Đây là chồng chập biên độ, không phải một hỗn hợp thống kê của hai quỹ đạo.

có trung bình bằng không nhưng độ phân tán khác không. Muốn suy ra toàn bộ phân bố của một phép đo động lượng, còn phải nêu cách đo và điều kiện giam giữ. Phép khai triển sóng đứng riêng lẻ không thay thế được bước ấy.

Ứng dụng: Hạt trong "hộp" polymer

Polyacetylene là một đại diện tiêu biểu của nhóm polymer hữu cơ dẫn điện dạng mạch dài. Phân tử này cấu tạo từ chuỗi liên kết luân phiên giữa các liên kết đơn và liên kết đôi carbon–carbon gồm các đơn vị monome ${\mathrm{C}}_2{\mathrm{H}}_2$. Các electron $\pi$ có thể chuyển động tự do dọc theo chiều dài phân tử nhưng không thể rời khỏi mạch theo phương ngang. Do đó, toàn bộ phân tử đóng vai trò như một "hộp thế một chiều" giam giữ các electron. Chiều dài $L$ của phân tử tỷ lệ thuận với số lượng đơn vị monome ghép lại. Thực nghiệm quang phổ xác nhận rằng các mức của electron trong polyacetylene tuân theo rất sát phương trình (40.31): Chiều dài phân tử $L$ càng lớn thì năng lượng các mức càng thấp và khoảng cách giữa các mức năng lượng càng thu hẹp lại.

Ứng dụng: Cấu trúc polyacetylene gồm những đơn vị monome C₂H₂. Các liên kết đơn và đôi xen kẽ, còn electron bị giới hạn dọc theo chiều dài L của phân tử như hạt trong hộp một chiều.

Chú thích:

• Đơn vị monome C₂H₂ (C₂H₂ monomer)
• Liên kết đôi (Double bond)
• Liên kết đơn (Single bond)
• Electron bị giới hạn trong chiều dài L của phân tử, tương tự hạt trong hộp (Electrons are confined to the length L of the molecule (like particles in a box).)

---

Ví dụ 40.3: Electron trong hộp có kích thước nguyên tử

Xét một electron bị giam giữ trong một hộp thế một chiều có chiều rộng $L=5,0\times {10}^{-10}\text{ m}$ (xấp xỉ đường kính của một nguyên tử). Hãy xác định giá trị của hai mức đầu tiên $E_1$ và $E_2$.

Nhận dạng và thiết lập bài toán

Bài toán yêu cầu tính các mức khả dĩ của một electron bị giam giữ trong hộp thế một chiều. Hai mức năng lượng đầu tiên tương ứng với số lượng tử $n=1$ và $n=2$ trong phương trình (40.31). Khối lượng của electron là $m=\mathrm{9,109}\times {10}^{-31}\text{ kg}$ và hằng số Planck là $h=\mathrm{6,626}\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$.

Lời giải chi tiết

Áp dụng phương trình (40.31) cho trạng thái cơ bản ($n=1$). Thay các giá trị số $m=\mathrm{9,109}\times {10}^{-31}\text{ kg}$, $h=\mathrm{6,626}\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$ và $L=5,0\times {10}^{-10}\text{ m}$:

$$\begin{array}{rl}{E}_1& =\frac{h^2}{8m{L}^2}\\ & =2,41\times {10}^{-19}\text{ J}\\ & =1,5\text{ eV}\end{array}$$

Với mức thứ hai ($n=2$):

$$\begin{array}{rl}{E}_2& =2^2{E}_1\\ & =4(2,41\times {10}^{-19}\text{ J})\\ & =9,64\times {10}^{-19}\text{ J}\\ & =6,0\text{ eV}\end{array}$$

Đánh giá và thảo luận mở rộng

Hiệu giữa hai mức đầu tiên là:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }E& =E_2-E_1\\ & =6,0\text{ eV}-1,5\text{ eV}\\ & =4,5\text{ eV}\end{array}$$

Dù electron bị giam trong hộp có thành giếng sâu vô hạn khác với thế năng Coulomb hút electron trong nguyên tử thực tế, giá trị hiệu năng lượng này cùng bậc độ lớn với khoảng cách giữa các mức năng lượng quang phổ trong nguyên tử thực tế (vài electron-volt).

Để thấy rõ sự phụ thuộc của vào khối lượng và kích thước hệ, ta so sánh với hai trường hợp sau:

• Hạt nucleon trong hạt nhân nguyên tử: Một proton hoặc neutron ($m=1,67\times {10}^{-27}\text{ kg}$) bị giam trong một hộp thế có kích thước hạt nhân $L=1,1\times {10}^{-14}\text{ m}$. Tính toán cho thấy trạng thái cơ bản lớn hơn khoảng một triệu lần: $E_1=1,7\text{ MeV}$, $E_2=4E_1=6,8\text{ MeV}$, và $\mathrm{\Delta }E=5,1\text{ MeV}$. Điều này giải thích tại sao các phản ứng hạt nhân giải phóng năng lượng lớn hơn hàng triệu lần so với phản ứng hóa học thông thường.
• Vật thể vĩ mô: Một quả bóng bi-a ($m=0,2\text{ kg}$) chuyển động trong một hộp có chiều rộng $L=1,3\text{ m}$ (chiều rộng bàn bi-a). Khoảng cách giữa các mức kế tiếp nhau chỉ vào khoảng $5\times {10}^{-67}\text{ J}$. Khoảng cách này quá nhỏ đến mức không một thiết bị đo lường nào có thể phát hiện được tính gián đoạn, cho thấy tính chất lượng tử hoàn toàn hòa vào cơ học cổ điển ở thế giới vĩ mô.

Khái niệm cần nhớ

Các của một chiều là các sóng dừng hình sin bên trong hộp với nút sóng tại hai thành biên. Hàm sóng triệt tiêu bên ngoài hộp. Trạng thái dừng thứ $n$ chứa $n$ nửa và có tỷ lệ với $n^2$. Hệ sở hữu vô số trạng thái dừng rời rạc.

---

Xác suất và sự chuẩn hóa hàm sóng

Ý nghĩa thống kê của cơ học lượng tử chỉ ra rằng đại lượng $|\psi (x){|}^{2}dx$ tỷ lệ thuận với xác suất tìm thấy hạt trong một khoảng vi phân $dx$ quanh tọa độ $x$. Đối với thế, mật độ xác suất tìm thấy hạt trong trạng thái thứ $n$ có dạng:

$$|{\psi }_n(x){|}^2=C^2{\sin }^2\frac{n\pi x}{L}$$

Hình 40.12: Đồ thị so sánh giữa hàm sóng và hàm mật độ xác suất cho ba trạng thái đầu tiên n = 1, 2, 3 của hạt trong hộp thế: Phần (a) biểu diễn hàm sóng trạng thái dừng. Phần (b) biểu diễn hàm mật độ xác suất.

Trong cơ học cổ điển, một hạt chuyển động nảy qua lại giữa hai bức tường với vận tốc không đổi có xác suất xuất hiện hoàn toàn đồng đều ở mọi vị trí giữa 0 và $L$. Trái lại, trong cơ học lượng tử, mật độ xác suất biến thiên theo dạng hình sin bình phương và triệt tiêu tại các nút sóng.

Do hạt bắt buộc phải tồn tại ở một nơi nào đó trên trục $x$ (giữa $-\mathrm{\infty }$ và $+\mathrm{\infty }$), tổng xác suất tìm thấy hạt trên toàn bộ không gian phải bằng đúng $1$:

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\psi (x){|}^{2}dx=1$$

(40.33)

Điều kiện này được gọi là điều kiện chuẩn hóa của . Vì hàm sóng của triệt tiêu bên ngoài khoảng $[0,L]$, phương trình (40.33) thu gọn về:

$${\int }_0^L{C}^2{\sin }^2\frac{n\pi x}{L}dx=1$$

(40.34)

Sử dụng công thức lượng giác hạ bậc ${\sin }^2\theta =\frac{1}{2}(1-\cos 2\theta )$, trên cho kết quả $|C{|}^2\frac{L}{2}=1⟹|C|=\sqrt{\frac{2}{L}}$. Ta chọn thừa số quy ước sao cho $C$ là số thực dương $C=\sqrt{2/L}>0$.

Bộ đã chuẩn hóa hoàn chỉnh của với $n=1,2,3,\dots$ là:

$${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$$

(40.35)

---

Ví dụ 40.4: Một hàm sóng không mang dạng hình sin?

Xét một thế có chiều rộng $L$ ($0\le x\le L$).

1. Hãy chứng minh rằng hàm số $\psi (x)=Ax+B$ (với $A$ và $B$ là các hằng số) là một nghiệm của cho mức $E=0$.
2. Hãy xác định các điều kiện biên tại $x=0$ và $x=L$ áp đặt những ràng buộc gì lên các hằng số $A$ và $B$.

Nhận dạng và thiết lập bài toán

Một chỉ có ý nghĩa vật lý khi thỏa mãn đồng thời hai tiêu chuẩn: Thỏa mãn và thỏa mãn các điều kiện biên tương ứng của hệ. Ở câu thứ nhất, ta thay trực tiếp $\psi (x)$ vào phương trình Schrödinger (40.25) với $E=0$. Ở câu thứ hai, ta kiểm tra các điều kiện biên triệt tiêu tại hai thành hộp: $\psi (0)=0$ và $\psi (L)=0$.

Lời giải chi tiết

1. Với mức $E=0$, (40.25) trong khoảng $0\le x\le L$ trở thành:

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=0$$

bậc nhất của hàm số $\psi (x)=Ax+B$ là $\frac{d\psi (x)}{dx}=A$, do đó đạo hàm bậc hai bằng:

$$\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=0$$

Vế trái của hoàn toàn bằng 0, trùng với vế phải. Do đó, hàm số tuyến tính $\psi (x)=Ax+B$ là một nghiệm toán học chính xác của phương trình Schrödinger ứng với mức $E=0$. Cả và bậc nhất của nó đều liên tục.

2. Áp dụng điều kiện biên thứ nhất tại $x=0$:

$$\psi (0)=B=0$$

Hệ thức này dẫn đến $\psi (x)=Ax$ trên toàn miền. Áp dụng tiếp điều kiện biên thứ hai tại $x=L$:

$$\psi (L)=AL=0$$

Vì bề rộng của hộp $L>0$, điều kiện này bắt buộc hằng số $A=0$. Hệ quả là $\psi (x)=0$ tại mọi vị trí bên trong cũng như bên ngoài hộp. Một hàm sóng triệt tiêu đồng nhất $\psi (x)=0$ có mật độ xác suất bằng 0, không thể chuẩn hóa về 1, do đó không thể mô tả trạng thái của hạt bị giam giữ.

Đánh giá và bài học phương pháp

Có rất nhiều hàm toán học có thể thỏa mãn phương trình vi phân Schrödinger của một hệ cơ học lượng tử, nhưng đa số các nghiệm toán học đó phải bị loại bỏ vì không đáp ứng được các điều kiện biên vật lý của bài toán.

Khái niệm cần nhớ

Một chỉ có ý nghĩa vật lý thực tế khi thỏa mãn đồng thời cả phương trình vi phân Schrödinger lẫn tất cả các điều kiện biên áp đặt lên hệ.

---

Sự phụ thuộc thời gian của trạng thái dừng

${\psi }_n(x)$ trong phương trình (40.35) chỉ phụ thuộc vào tọa độ không gian $x$. Đặt góc dao động ${\omega }_n=E_n/\hslash$, hàm sóng phụ thuộc thời gian đầy đủ ${\mathrm{\Psi }}_n(x,t)$ ứng với $n=1,2,3,\dots$ nhận biểu thức:

$${\mathrm{\Psi }}_n(x,t)={\psi }_n(x)e^{-i{\omega }_{n}t}$$

(40.36)

Khi tính mật độ xác suất tìm thấy hạt:

$$|{\mathrm{\Psi }}_n(x,t){|}^2=\frac{2}{L}{\sin }^2\frac{n\pi x}{L}$$

Thừa số thời gian có bình phương môđun bằng một. Do đó, mật độ xác suất không phụ thuộc thời gian, dù phức vẫn đổi pha. Tính chất ấy giải thích tên gọi .

---

Câu hỏi tự kiểm tra 40.2

Nếu một hạt bị giam trong hộp thế đang ở mức thứ $n$, giá trị trung bình của thành phần theo trục $x$ (ký hiệu $⟨p_x⟩$) bằng bao nhiêu?

• (i) $\frac{nh}{2L}$
• (ii) $\frac{1}{2}\frac{nh}{L}$
• (iii) $\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{nh}{L}$
• (iv) $\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{nh}{L}$
• (v) Bằng 0

Lời giải và giải thích

Đáp án đúng: Bằng 0, tức phương án (v).

Giải thích chi tiết: Quá trình thiết lập cho thấy mỗi trạng thái dừng là một sóng dừng có mật độ dòng xác suất triệt tiêu và giá trị trung bình của $⟨p_x⟩=0$ do tính đối xứng không gian:

$$⟨p_x⟩=0$$

Hai sóng chạy thành phần trong sự chồng chập mang đối nhau $+p_n=+nh/(2L)$ và $-p_n=-nh/(2L)$ với trọng số biên độ bằng nhau tuyệt đối. Chú ý rằng vì hạt bị giam giữ trong khoảng hữu hạn $[0,L]$, phổ xung lượng thu được từ phép biến đổi Fourier của ${\psi }_n(x)$ là một phân bố liên tục chứ không phải chỉ gồm hai vạch delta gián đoạn.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 40.2, trang 1331–1336.