38.3. Ánh sáng tán xạ dưới dạng photon: Tán xạ Compton và sự tạo cặp

Khía cạnh cuối cùng của ánh sáng cần kiểm chứng dựa trên mô hình của Einstein là hành vi của bức xạ điện từ sau khi được phát ra và trước khi bị hấp thụ hoàn toàn. Phương thức trực tiếp để nghiên cứu giai đoạn này là khảo sát hiện tượng tán xạ ánh sáng, tức là quá trình bức xạ bị lệch hướng khi va chạm với các vi hạt trong môi trường.

Tán xạ Compton

Khi xét ánh sáng tương tác với một electron đơn lẻ trong nguyên tử, mô hình sóng cổ điển của Maxwell và mô hình hạt của Einstein đưa ra hai bức tranh hoàn toàn trái ngược nhau:

• Dự đoán của mô hình sóng: Theo quan điểm điện từ cổ điển, tán xạ là một chuỗi hấp thụ và tái bức xạ liên tục. tới truyền làm electron dao động cưỡng bức với đúng bằng tần số sóng tới. Electron dao động hoạt động như một ăng-ten lưỡng cực siêu nhỏ, phát sóng thứ cấp ra các hướng khác nhau với cùng tần số và cùng bước sóng ban đầu. Như vậy, mô hình sóng khẳng định ánh sáng tán xạ luôn giữ nguyên tần số và bước sóng so với chùm tia tới.
• Dự đoán của mô hình : Trái lại, mô hình lượng tử xem tán xạ là va chạm đàn hồi giữa hai hạt cơ bản: Một photon tới mang $E=hf=hc/\lambda$ và $p=h/\lambda$, va chạm với một electron ban đầu đứng yên (Hình 38.10a). Khi va chạm, photon truyền một phần năng lượng và động lượng cho electron, làm electron giật lùi. Photon tán xạ bay ra theo góc lệch $\varphi$ so với phương tới (Hình 38.10b), mang năng lượng và động lượng nhỏ hơn ban đầu. Vì $E=hc/\lambda$, năng lượng photon giảm đồng nghĩa với việc giảm và bước sóng ${\lambda }^{\prime }$ của ánh sáng tán xạ phải dài hơn bước sóng $\lambda$ của ánh sáng tới.

Hình 38.10: Mô hình photon giải thích tán xạ ánh sáng trên một electron.

Chú thích:

• (a) Trước va chạm: Electron bia đang đứng yên. ((a) Before collision: The target electron is at rest.)
• Photon tới: Bước sóng λ, động lượng p (Incident photon: wavelength λ, momentum p)
• Electron bia (đứng yên) (Target electron (at rest))
• (b) Sau va chạm: Góc giữa phương của photon tán xạ và photon tới là φ. ((b) After collision: The angle between the directions of the scattered photon and the incident photon is φ.)
• Photon tán xạ: Bước sóng λ′, động lượng p′ (Scattered photon: wavelength λ′, momentum p′)
• Electron giật lùi: Động lượng Pe (Recoiling electron: momentum Pe)

Thực nghiệm mang tính quyết định để phân định hai mô hình này được nhà vật lý người Mỹ Arthur H. Compton thực hiện vào năm 1922. Ông chiếu một chùm tia X hẹp có xác định vào bia vật rắn và dùng máy đo để ghi nhận phổ bước sóng của tia X tán xạ ở các góc lệch $\varphi$ khác nhau (Hình 38.11).

Hình 38.11: Bố trí thí nghiệm tán xạ Compton với nguồn tia X, mẫu bia và đầu dò quay ở các góc tán xạ khác nhau.

Chú thích:

• Độ biến thiên bước sóng phụ thuộc vào góc mà tại đó các photon bị tán xạ. (The change in wavelength depends on the angle at which the photons are scattered.)
• Nguồn tia X (X-ray source)
• Photon tới (Incident photons)
• Bia (Target)
• Đầu dò (Detector)
• Photon tán xạ (Scattered photons)

Kết quả thực nghiệm của Compton chỉ ra rằng bức xạ tán xạ luôn chứa thành phần có dài hơn bước sóng tới, đồng thời độ tăng bước sóng phụ thuộc trực tiếp vào góc tán xạ $\varphi$. Hiện tượng này được gọi là . Compton đã chứng minh định lượng rằng nếu tán xạ lệch một góc $\varphi$ so với phương ban đầu thì bước sóng mới ${\lambda }^{\prime }$ tuân theo hệ thức:

$${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \varphi )$$

(38.7)

Trong đó $m$ là khối lượng nghỉ của electron. Đại lượng $h/(mc)$ có thứ nguyên chiều dài, được gọi là Compton của electron. Với $h=\mathrm{6,626}\times {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$, $m=\mathrm{9,109}\times {10}^{-31}\text{ kg}$ và $c=\mathrm{2,998}\times {10}^8\text{ m/s}$, giá trị số của đại lượng này là:

$$\begin{array}{rl}\frac{h}{mc}& =\frac{h}{m_{e}c}\\ & =\mathrm{2,426}\times {10}^{-12}\text{ m}\\ & =\mathrm{2,426}\text{ pm}\end{array}$$

Phương trình (38.7) cho thấy ${\lambda }^{\prime }$ luôn lớn hơn hoặc bằng bước sóng tới $\lambda$. Vì giá trị $(1-\cos \varphi )$ dao động trong khoảng từ $0$ (khi $\varphi =0^{\circ }$) đến $2$ (khi $\varphi ={180}^{\circ }$, tán xạ ngược), độ dịch bước sóng lớn nhất có thể đạt được là hai lần bước sóng Compton, tương đương $\mathrm{4,852}\text{ pm}$.

Chứng minh hệ thức tán xạ Compton

Compton giải thích thành công kết quả thực nghiệm bằng cách kết hợp thuyết với các định luật bảo toàn và trong cơ học tương đối tính. Vì động năng giật lùi của electron có thể đạt thang vận tốc tương đối tính, ta phải áp dụng hệ thức năng lượng toàn phần tương đối tính:

$$E_e=\sqrt{(m{c}^2{)}^2+(P_{e}c{)}^2}$$

Xét hệ cô lập gồm tới và electron bia trước và sau va chạm:

• tới có $\overrightarrow{p}$, độ lớn $p=h/\lambda$, mang $E=pc$.
• Electron bia ban đầu đứng yên, có bằng 0 và $m{c}^2$.
• tán xạ lệch góc $\varphi$, có $\overrightarrow{p}{}^{\prime }$, độ lớn $p^{\prime }=h/{\lambda }^{\prime }$, mang $E^{\prime }=p^{\prime }c$.
• Electron giật lùi có ${\overrightarrow{P}}_e$, độ lớn $P_e$, mang toàn phần $E_e$.

Định luật bảo toàn toàn phần cho hệ:

$$pc+m{c}^2=p^{\prime }c+E_e$$

Chuyển vế để cô lập $E_e$ rồi bình phương hai vế:

$$(pc-p^{\prime }c+m{c}^2{)}^2=E_e^2$$

$$E_e^2=(m{c}^2{)}^2+(P_{e}c{)}^2$$

(38.8)

Định luật bảo toàn vector cho hệ va chạm:

$$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p}{}^{\prime }+{\overrightarrow{P}}_e$$

Biến đổi để tìm electron giật lùi (Hình 38.12):

$${\overrightarrow{P}}_e=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{p}{}^{\prime }$$

(38.9)

Hình 38.12: Giản đồ vector minh họa định luật bảo toàn động lượng trong tán xạ Compton.

Chú thích:

• Bảo toàn động lượng trong tán xạ Compton (Conservation of momentum during Compton scattering)

Lấy tích vô hướng của vector ${\overrightarrow{P}}_e$ với chính nó:

$$P_e^2=p^2+p^{\prime 2}-2p{p}^{\prime }\cos \varphi$$

(38.10)

Để khai triển mà giữ rõ từng bước, đặt $D=p-p^{\prime }$, $S=p^2+p^{\prime 2}$ và $C=2p{p}^{\prime }\cos \varphi$. Khi ấy $P_e^2=S-C$. Chia phương trình đã bình phương cho $c^2$ cho

$$(D+mc{)}^2=(mc{)}^2+P_e^2.$$

Khai triển vế trái rồi triệt tiêu số hạng $(mc{)}^2$ ở hai vế:

$$D^2+2Dmc=P_e^2.$$

Vì $D^2=p^2-2p{p}^{\prime }+p^{\prime 2}=S-2p{p}^{\prime }$, thay vào phương trình trên cho

$$S-2p{p}^{\prime }+2Dmc=S-C.$$

Khử $S$ rồi chuyển vế:

$$\begin{array}{rl}2Dmc& =2p{p}^{\prime }-C\\ & =2p{p}^{\prime }(1-\cos \varphi ).\end{array}$$

Chia cho $2p{p}^{\prime }$ và thay lại $D=p-p^{\prime }$:

$$\frac{mc}{p^{\prime }}-\frac{mc}{p}=1-\cos \varphi .$$

(38.11)

Cuối cùng, thay $p=h/\lambda$ và $p^{\prime }=h/{\lambda }^{\prime }$:

$$\frac{mc}{h}({\lambda }^{\prime }-\lambda )=1-\cos \varphi .$$

Nhân hai vế với $h/(mc)$ cho phương trình (38.7). Các bước đã giữ cả của electron lẫn hai thành phần của .

Hai đỉnh phổ trong thực nghiệm tán xạ tia X

Khi đo phổ bức xạ tia X tán xạ ở một góc $\varphi$ xác định (chẳng hạn $\varphi ={135}^{\circ }$), đồ thị cường độ trên một đơn vị xuất hiện hai đỉnh cực đại tách biệt (Hình 38.13):

1. Đỉnh dài ${\lambda }^{\prime }$: Nằm ở giá trị bước sóng dịch chuyển tính từ Phương trình (38.7). Đỉnh này tương ứng với electron liên kết yếu. Trong mô hình đang dùng, liên kết đủ nhỏ để coi electron gần như tự do và ban đầu đứng yên.
2. Đỉnh không đổi ${\lambda }_0$: Có bước sóng trùng khít với bước sóng của chùm tia X tới. Đỉnh này xuất hiện do va chạm với các electron liên kết rất chặt ở các tầng vỏ sâu bên trong nguyên tử. Khi đó, electron không thể bị bứt riêng lẻ mà toàn bộ nguyên tử phải giật lùi để bảo toàn . Khối lượng $m$ trong Phương trình (38.7) khi ấy phải thay bằng khối lượng của toàn bộ nguyên tử, lớn hơn khối lượng electron hàng chục nghìn lần. Vì mẫu số $mc$ quá lớn, độ dịch bước sóng trở nên nhỏ và phổ tán xạ thực tế không đổi màu.

Hình 38.13: Đồ thị cường độ theo bước sóng của bức xạ tán xạ ở góc 135 độ, hiển thị hai đỉnh đặc trưng tương ứng với electron tự do và nguyên tử giật lùi.

Chú thích:

• Cường độ trên một đơn vị bước sóng (Intensity per unit wavelength)
• Các photon tán xạ từ electron liên kết chặt trải qua độ dịch bước sóng không đáng kể. (Photons scattered from tightly bound electrons undergo a negligible wavelength shift.)
• Các photon tán xạ từ electron liên kết yếu trải qua độ dịch bước sóng cho bởi Phương trình (38.7). (Photons scattered from loosely bound electrons undergo a wavelength shift given by Eq. (38.7).)

Ví dụ 38.5: Tán xạ Compton

Trong một thí nghiệm , người ta sử dụng chùm tia X có $\mathrm{0,124}\text{ nm}$.

• (a) Tại góc tán xạ nào thì của tia X tán xạ dài hơn $1,0\mathrm{\%}$ so với bước sóng tới?
• (b) Tại góc tán xạ nào thì dài hơn $\mathrm{0,050}\mathrm{\%}$?

Nhận dạng bài toán: Bài toán yêu cầu xác định góc tán xạ $\varphi$ của khi biết tới $\lambda$ và tỷ lệ tăng bước sóng $\mathrm{\Delta }\lambda /\lambda$. Ta áp dụng hệ thức , Phương trình (38.7).

Chuẩn bị: Đại lượng cần tìm là góc tán xạ $\varphi$. Từ Phương trình (38.7), ta biến đổi để biểu diễn $\cos \varphi$ theo độ dịch $\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }^{\prime }-\lambda$:

$$\cos \varphi =1-\frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{h/(mc)}$$

với Compton $h/(mc)=\mathrm{2,426}\times {10}^{-12}\text{ m}$ (tức $\mathrm{0,002}426\text{ nm}$).

Thực hiện:

• (a) Khi độ tăng $\mathrm{\Delta }\lambda$ bằng $1,0\mathrm{\%}$ của $\lambda =\mathrm{0,124}\text{ nm}$:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }\lambda & =\mathrm{0,010}\times \mathrm{0,124}\text{ nm}\\ & =\mathrm{0,001}24\text{ nm}\\ & =1,24\times {10}^{-12}\text{ m}\end{array}$$

Thay vào biểu thức tính $\cos \varphi$:

$$\begin{array}{rl}\cos \varphi & =1-\frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{{\lambda }_C}\\ & =1-\mathrm{0,511}1\\ & =\mathrm{0,488}9\end{array}$$

Suy ra góc tán xạ:

$$\begin{array}{rl}\varphi & =\arccos (\mathrm{0,488}9)\\ & =60,7^{\circ }\end{array}$$

• (b) Khi độ tăng $\mathrm{\Delta }\lambda$ bằng $\mathrm{0,050}\mathrm{\%}$ của $\lambda =\mathrm{0,124}\text{ nm}$:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }\lambda & =\mathrm{0,000}50\times \mathrm{0,124}\text{ nm}\\ & =6,2\times {10}^{-5}\text{ nm}\\ & =6,2\times {10}^{-14}\text{ m}\end{array}$$

Thay vào biểu thức tính góc:

$$\begin{array}{rl}\cos \varphi & =1-\frac{\mathrm{\Delta }\lambda }{{\lambda }_C}\\ & =1-\mathrm{0,025}6\\ & =\mathrm{0,974}4\end{array}$$

Suy ra:

$$\begin{array}{rl}\varphi & =\arccos (\mathrm{0,974}4)\\ & =13,0^{\circ }\end{array}$$

Đánh giá: Kết quả cho thấy góc tán xạ càng nhỏ thì độ dịch càng bé. Khi chỉ sượt qua electron ở góc hẹp, mà photon truyền cho electron giật lùi rất nhỏ. Trái lại, khi góc tán xạ lớn, va chạm diễn ra trực diện hơn và năng lượng mất mát của photon tăng lên rõ rệt. Hành vi này hoàn toàn tương đồng với va chạm đàn hồi giữa hai quả bi-a cổ điển.

Điểm then chốt: Trong , va chạm giữa và electron bảo toàn cả và . Độ tăng $\mathrm{\Delta }\lambda$ chỉ phụ thuộc duy nhất vào góc tán xạ $\varphi$ chứ không phụ thuộc vào bước sóng photon tới.

Sự tạo cặp và sự hủy cặp

Một hiện tượng lượng tử khác chỉ có thể lý giải bằng mô hình liên quan đến tia gamma, dải có ngắn nhất và cao nhất trong thang sóng điện từ.

Khi một tia gamma mang đủ lớn đi vào một tấm bia vật chất, photon này có thể không bị tán xạ mà biến mất hoàn toàn, đồng thời làm xuất hiện hai hạt mới: Một electron và một positron (Hình 38.14). Positron là phản hạt của electron, có cùng khối lượng nghỉ $m$ nhưng mang điện tích dương $+e$ thay vì điện tích âm $-e$. Hiện tượng này được gọi là sự (pair production), do hai nhà vật lý Patrick Blackett và Giuseppe Occhialini quan sát thực nghiệm lần đầu vào năm 1933.

Hình 38.14: (a) Ảnh chụp vết hạt trong buồng bọt ghi nhận các cặp electron–positron sinh ra khi photon 300 MeV bắn vào tấm chì; từ trường hướng ra khỏi mặt ảnh làm hai hạt uốn cong về hai phía ngược nhau. (b) Sơ đồ minh họa quá trình tạo cặp của hai photon gamma.

Chú thích:

• Cặp electron–positron (Electron–positron pair)

Quá trình phải luôn sinh ra đồng thời một electron và một positron nhằm bảo toàn điện tích: tới không mang điện ($q=0$), trong khi tổng điện tích của hệ hạt sinh ra là $(-e)+(+e)=0$.

Để quá trình xảy ra, của tới tối thiểu phải đủ để bù đắp tổng của hai hạt sinh ra:

$$\begin{array}{rl}{E}_{min}& =2m{c}^2\\ & =\mathrm{1,637}\times {10}^{-13}\text{ J}\\ & =\mathrm{1,022}\text{ MeV}\end{array}$$

Từ hệ thức $E=hc/\lambda$, của gamma phải ngắn hơn ngưỡng cực đại:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{max}& =\frac{hc}{E_{min}}\\ & =\mathrm{1,213}\times {10}^{-12}\text{ m}\\ & =\mathrm{1,213}\text{ pm}\end{array}$$

này chỉ bằng khoảng $1/1000$ bước sóng tia X thông thường trong thí nghiệm Compton. Trong thực tế, ngưỡng của cần thiết phải cao hơn $\mathrm{1,022}\text{ MeV}$ một lượng nhỏ. Lý do là sự từ một photon đơn lẻ không thể tự xảy ra trong chân không tuyệt đối vì không thể đồng thời bảo toàn năng lượng và . Photon bắt buộc phải tương tác trong vùng điện trường của một hạt nhân nguyên tử trong bia vật chất, và hạt nhân này sẽ nhận một phần động lượng giật lùi cùng một lượng nhỏ động năng.

Quá trình ngược lại là sự (pair annihilation). Khi một positron gặp một electron, hai hạt này có thể va chạm, biến mất hoàn toàn và giải phóng ít nhất hai (hoặc hiếm khi ba) tia gamma với tổng tối thiểu bằng tổng của chúng, tức $2m{c}^2=\mathrm{1,022}\text{ MeV}$. Quá trình phân rã chỉ thành một photon duy nhất là bất khả thi vì không thể đồng thời bảo toàn cả năng lượng và vector trong hệ quy chiếu khối tâm của hai hạt.

Phép phân tích thuận tiện nhất được thực hiện trong hệ quy chiếu có tổng bằng không. Hệ này thường gọi là hệ khối tâm, mở rộng ý tưởng hệ khối tâm trong cơ học Newton sang mô tả tương đối tính.

Ví dụ 38.6: Sự hủy cặp electron–positron

Một electron và một positron ban đầu ở rất xa nhau, chuyển động đối đầu trực diện với cùng tốc độ. Chúng va chạm trực diện, hủy lẫn nhau và sinh ra hai gamma. Hãy tìm , và tần số của các photon sinh ra trong hai trường hợp:

• (a) Động năng ban đầu của electron và positron đều không đáng kể.
• (b) Động năng ban đầu của mỗi hạt đều bằng $\mathrm{5,000}\text{ MeV}$.

Cho biết của electron và positron là $m{c}^2=\mathrm{0,511}\text{ MeV}$.

Nhận dạng bài toán: Bài toán yêu cầu xác định các đặc trưng sau phản ứng . Ta áp dụng định luật bảo toàn toàn phần và bảo toàn .

Chuẩn bị: Trước va chạm, hai hạt ở xa nhau nên tĩnh điện bằng 0. Năng lượng toàn phần của mỗi hạt là $K+m{c}^2$. Vì hai hạt có cùng tốc độ và bay ngược chiều, tổng của hệ trước va chạm bằng 0:

$${\overrightarrow{P}}_0={\overrightarrow{p}}_{-}+{\overrightarrow{p}}_{+}=\overrightarrow{0}$$

Để bảo toàn , hai sinh ra phải có động lượng bằng nhau về độ lớn và ngược hướng: ${\overrightarrow{p}}_1=-{\overrightarrow{p}}_2$. Vì $E=pc$, hai photon sinh ra phải có cùng $E$, cùng $\lambda$ và cùng tần số $f$.

Bảo toàn toàn phần:

$$2(K+m{c}^2)=2E$$

Suy ra của mỗi :

$$E=K+m{c}^2$$

Thực hiện:

• (a) Khi động năng $K$ không đáng kể so với :

$$\begin{array}{rl}E& =m{c}^2\\ & =\mathrm{0,511}\text{ MeV}\\ & =\mathrm{0,511}\times {10}^6\text{ eV}\end{array}$$

của mỗi gamma:

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{hc}{E}\\ & =2,43\times {10}^{-12}\text{ m}\\ & =2,43\text{ pm}\end{array}$$

tương ứng:

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{c}{\lambda }\\ & =\frac{3,00\times {10}^8\text{ m/s}}{2,43\times {10}^{-12}\text{ m}}\\ & =1,24\times {10}^{20}\text{ Hz}\end{array}$$

• (b) Khi mỗi hạt có động năng $K=\mathrm{5,000}\text{ MeV}$:

$$\begin{array}{rl}E& =K+m{c}^2\\ & =(\mathrm{5,000}+\mathrm{0,511})\mathrm{MeV}\\ & =\mathrm{5,511}\text{ MeV}\end{array}$$

Tiến hành tương tự phần (a):

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{hc}{E}\\ & =2,25\times {10}^{-13}\text{ m}\\ & =\mathrm{0,225}\text{ pm}\end{array}$$

của :

$$\begin{array}{rl}f& =\frac{c}{\lambda }\\ & =\frac{3,00\times {10}^8\text{ m/s}}{2,25\times {10}^{-13}\text{ m}}\\ & =1,33\times {10}^{21}\text{ Hz}\end{array}$$

Đánh giá: Ở câu (a), sinh ra có lớn hơn photon ánh sáng nhìn thấy ($650\text{ nm}$, năng lượng $1,91\text{ eV}$) khoảng $2,5\times {10}^5\text{ lần}$. photon gamma vì vậy ngắn hơn và tần số cao hơn ánh sáng nhìn thấy khoảng $2,5\times {10}^5\text{ lần}$. Ở câu (b), động năng ban đầu lớn làm bước sóng photon giảm xuống thang phần mười picomet, minh chứng cho sự chuyển hóa trực tiếp giữa động năng tương đối tính và năng lượng trường bức xạ.

Điểm then chốt: Trong hiện tượng , và động năng của các hạt chuyển thành của các điện từ. Quá trình luôn tuân thủ chặt chẽ định luật bảo toàn năng lượng và .

Câu hỏi tự kiểm tra 38.3

Nếu bạn sử dụng các ánh sáng nhìn thấy trong thí nghiệm tán xạ bố trí như Hình 38.11, các photon có trải qua độ dịch do tán xạ hay không? Nếu có, mắt người có thể phát hiện được sự thay đổi màu sắc này không?

Xem đáp án và giải thích

**Đáp án**: Có trải qua độ dịch bước sóng, nhưng mắt người không thể phát hiện được.

Lời giải chi tiết: Phương trình (38.7) chỉ ra rằng độ dịch $\mathrm{\Delta }\lambda ={\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \varphi )$ chỉ phụ thuộc duy nhất vào góc tán xạ $\varphi$ và khối lượng electron, hoàn toàn độc lập với bước sóng tới. Do đó, một photon ánh sáng nhìn thấy khi tán xạ qua góc $\varphi$ cũng trải qua độ dịch bước sóng đúng bằng độ dịch của photon tia X, với thang độ lớn cỡ ${\lambda }_C=\mathrm{0,002}426\mathrm{nm}$.

Đối với tia X có cỡ $0,1\text{ nm}$, độ dịch vài phần nghìn nanomet chiếm tỷ lệ khoảng vài phần trăm bước sóng ban đầu nên các thiết bị đo quang phổ tia X dễ dàng ghi nhận được. Tuy nhiên, đối với ánh sáng nhìn thấy (bước sóng từ $380\text{ nm}$ đến $750\text{ nm}$), độ biến thiên $\mathrm{0,002}426\text{ nm}$ chỉ chiếm chưa tới một phần một trăm nghìn bước sóng ($<\mathrm{0,001}\mathrm{\%}$). Mắt người hoàn toàn không thể phân biệt được sự chênh lệch màu sắc nhỏ bé này.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, mục 38.3, trang 1262–1265.