Điện tích và điện trường

Chạm vào tay nắm cửa sau khi đi trên thảm có thể làm ta giật mình vì một tia điện rất nhỏ. Vì sao hai vật đang trung hòa lại tạo ra hiện tượng ấy? Cũng lực điện đó, ở cấp độ nguyên tử, giữ các nguyên tử liên kết thành vật rắn và ngăn các vật xuyên qua nhau.

Nước và sự sống: Tương tác của các phân tử nước với các chất hòa tan

Trong các tương tác cơ bản, ta đã nghiên cứu hấp dẫn. Tiếp theo là tương tác điện từ, bao gồm cả điện và từ. Các hạt tham gia tương tác này mang , một thuộc tính cơ bản như khối lượng. Vật có khối lượng được lực hấp dẫn làm gia tốc, còn vật mang điện được lực điện làm gia tốc. Cảm giác giật khi chạm tay nắm cửa xuất hiện vì các hạt mang điện chuyển giữa ngón tay và kim loại. Dòng điện trong dây là dòng chuyển động của hạt mang điện dưới tác dụng lực điện.

Ta bắt đầu bằng bản chất của : Điện tích được lượng tử hóa và tuân theo định luật bảo toàn. Khi các điện tích đứng yên trong hệ quy chiếu đang xét, chúng tác dụng lên nhau bằng lực tĩnh điện. Tương tác này có vai trò trong hóa học, sinh học và nhiều công nghệ. Định luật Coulomb mô tả lực giữa các điện tích điểm, còn khái niệm cho một cách trình bày thuận tiện hơn về tác dụng của nguồn điện tích lên không gian xung quanh. Khi xét điện tích chuyển động ở các chương sau, ta sẽ đi đến từ trường và bản chất của ánh sáng.

Những ý tưởng nền của điện từ học không quá phức tạp, nhưng giải bài toán cụ thể đòi hỏi hình học, phép toán và . Khi tính lực hoặc trường, cần xác định đồng thời độ lớn, hướng và miền áp dụng của mô hình.

Bài tập: Bài toán mở đầu: Vì sao nước là dung môi tốt?

Nước làm sự sống có thể tồn tại. Các tế bào không hoạt động được nếu thiếu nước để hòa tan những phân tử sinh học thiết yếu. Nước là dung môi tốt vì các phân tử của nó:

(i) Có tổng bằng không.

(ii) Có tổng bằng không, nhưng tâm điện tích dương và tâm điện tích âm không trùng nhau.

(iii) Có tổng khác không.

(iv) Không đáp ứng lực điện.

(v) Tác dụng lực đẩy điện lên nhau.

Ta sẽ trở lại câu hỏi này sau khi xây dựng khái niệm .

Mục tiêu học tập

Nhận biết bản chất và giải thích sự bảo toàn điện tích.
Giải thích cách một vật nhiễm điện do tiếp xúc, hưởng ứng và .
Dùng định luật Coulomb để tính lực điện giữa các và cộng lực theo .
Phân biệt lực điện với , rồi tính điện trường của các nguồn rời rạc hoặc liên tục.
Đọc đường sức điện và tính mômen lực, thế năng của .

Kiến thức cần ôn

Phép cộng , thành phần vector, và ở mục 1.7–1.10 được dùng xuyên suốt. Khi liên hệ lực với chuyển động, cần định luật II Newton ở mục 4.3. Phần lưỡng cực sử dụng ý nghĩa và không bền ở mục 7.5. của chất lưu ở mục 12.5 giúp hình dung cách biểu diễn hướng của một trường vector.

7 chủ đề · tổng cộng khoảng 21 phút đọc

Điện tích và sự nhiễm điện

Lực điện và điện trường

Hướng trường và lưỡng cực

Tóm tắt

Điện tích, vật dẫn và vật cách điện

Điện tích cùng dấu đẩy nhau và trái dấu hút nhau

là đại lượng nền của tĩnh điện. Điện tích có hai dấu, dương và âm. Cùng dấu đẩy nhau, trái dấu hút nhau. Tổng điện tích trong hệ cô lập giữ nguyên.

Vật chất thông thường gồm proton, neutron và electron. Proton dương, neutron trung hòa nằm trong hạt nhân và được giữ bởi tương tác hạt nhân, còn electron âm phân bố ở khoảng cách lớn hơn nhiều kích thước hạt nhân. Tương tác điện giữ vai trò chủ yếu trong cấu trúc nguyên tử, phân tử và chất rắn.

cho dễ chuyển động, còn vật cách điện thì không. Phần lớn kim loại dẫn tốt, phần lớn phi kim cách điện.

Lực Coulomb và chồng chất lực

Hai lực tương tác điện có cùng độ lớn và ngược hướng

Lực giữa hai điểm cách r có độ lớn:

F = \frac{| q_{1} q_{2} |}{4 π ε_{0} r^{2}} .

Đơn vị là coulomb. Hệ số dùng trong SI gần bằng $8.988 \times 10^{9} N m^{2} / C^{2}$ . Lực dọc đường nối hai điện tích, đẩy với cùng dấu và hút với trái dấu. Hai lực trên hai hạt bằng nhau và ngược chiều. Với nhiều nguồn, cộng từng lực theo . Xem Ví dụ 21.1–21.4.

Điện trường

Trường điện tích điểm dương hướng ra xa nguồn

là lực trên một đơn vị thử:

\vec{E} = \frac{{\vec{F}}_{0}}{q_{0}} .

Trường nguồn điểm là:

\vec{E} = \frac{q}{4 π ε_{0} r^{2}} \hat{r} .

Nguồn dương cho trường ra xa, nguồn âm cho trường hướng vào. Đơn vị là $N / C$ . Xem Ví dụ 21.5–21.7.

Chồng chất trường và nguồn liên tục

Trường của vòng tích điện được cộng từ các phần tử nhỏ

Tổng trường là tổng của những trường thành phần tại cùng một điểm. Với nguồn liên tục, chia thành phần nhỏ, tìm trường từng phần rồi vector. Mật độ dài $λ$ , mật độ mặt $σ$ và mật độ thể tích $ρ$ mô tả trên đường, mặt và thể tích. Xem Ví dụ 21.8–21.12.

Đường sức

Tiếp tuyến đường sức tại mỗi điểm có hướng $\vec{E}$ ở điểm đó. Số đường trên một đơn vị diện tích vuông góc hướng trường tỷ lệ với độ lớn trường trong cách biểu diễn đã chọn. Các đường không cắt nhau, đi ra khỏi nguồn dương và vào nguồn âm. Đường sức không phải quỹ đạo chung của .

Lưỡng cực điện

Hai lực tạo mômen quay lưỡng cực trong điện trường đều

Hai $+ q$ và $- q$ cách d tạo có độ lớn $p = q d$ , hướng từ âm đến dương. Trong trường ngoài đều:

\begin{aligned} {\vec{F}}_{tong} & = 0, \\ \vec{τ} & = \vec{p} \times \vec{E}, \\ τ & = p E \sin φ, \\ U & = - \vec{p} \cdot \vec{E} . \end{aligned}

Góc $φ$ là góc giữa mômen và trường. Cùng chiều là , ngược chiều là cân bằng không bền. Ở xa lưỡng cực, độ lớn trường giảm theo nghịch đảo lập phương khoảng cách. Xem Ví dụ 21.13–21.14.

Tài liệu tham khảo

Hugh D. Young và Roger A. Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 21, trang 678–717.

Luyện tập có hướng dẫn

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.3–21.4

Ôn hai ví dụ về cộng lực trước khi làm nhóm bài sau.

Bài tập: VP21.4.1

$q_{1} = + 4.00 nC$ ở $x = 0$ , $q_{2} = - 1.20 nC$ ở $x = 6.00 cm$ . Tìm tổng lực của hai nguồn lên $q_{3} = - 2.00 nC$ tại $x = 4.00 cm$ trên cùng trục.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ba nguồn trên trục, nguồn cần xét −2,00 nC ở 4,00 cm.

Hướng đi:

Nguồn dương ở gốc hút sang trái, nguồn âm ở 6,00 cm đẩy cũng sang trái.
Cộng độ lớn rồi gắn dấu −x.

\begin{aligned} F_{1 x} & = - \frac{k (8.00 \times 10^{- 18})}{{0.0400}^{2}}, \\ F_{2 x} & = - \frac{k (2.40 \times 10^{- 18})}{{0.0200}^{2}}, \\ F_{x} & = F_{1 x} + F_{2 x} \\ = - 98.9 μ N . \end{aligned}

Bài tập: VP21.4.2

$q_{1} = + 3.60 nC$ ở $x = 0$ , chưa biết $q_{2}$ ở $x = - 4.00 cm$ . Tổng lực lên $q_{3} = + 2.00 nC$ tại $x = 4.00 cm$ hướng $+ x$ và có độ lớn $54.0 μ N$ . Tìm (a) độ lớn và hướng lực của $q_{1}$ lên $q_{3}$ , (b) độ lớn và hướng lực của $q_{2}$ lên $q_{3}$ , (c) $q_{2}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tổng lực phải 54,0 µN hướng +x, nguồn đã biết ở gốc.

Hướng đi:

Tính lực nguồn đã biết, lấy tổng có dấu trừ lực đó để tìm lực nguồn còn lại.
Nguồn chưa biết bên trái phải dương để đẩy nguồn thử dương sang phải.

\begin{aligned} F_{1} & = k \frac{(3.60) (2.00) 10^{- 18}}{{0.0400}^{2}} \\ = 40.5 μ N, \\ F_{2} & = 54.0 - F_{1} \\ = 13.6 μ N, \\ q_{2} & = \frac{F_{2} (0.0800)^{2}}{k (2.00 \times 10^{- 9})} \\ = + 4.82 nC . \end{aligned}

Hai lực đều hướng +x; giá trị làm tròn được giữ sau khi tính lực thành phần.

Bài tập: VP21.4.3

$q_{1} = + 6.00 nC$ ở $(0, 0.200 m)$ , $q_{2} = - 6.00 nC$ ở $(0, - 0.200 m)$ . Tìm độ lớn và hướng tổng lực lên $q_{3} = - 2.50 nC$ tại $(0.150 m, 0)$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn trái dấu đối xứng quanh trục x; nguồn thử âm ở (0,150;0) m.

Hướng đi:

Nguồn trên dương hút lên trái, nguồn dưới âm đẩy lên phải.
Thành phần x triệt tiêu, thành phần y cộng.

Khoảng cách mỗi nguồn đến điểm thử là 0,250 m:

\begin{aligned} F_{y} & = 2 \frac{k (6.00) (2.50) 10^{- 18}}{{0.250}^{2}} \frac{0.200}{0.250} \\ = + 3.45 μ N . \end{aligned}

Bài tập: VP21.4.4

Một mảnh nhựa nhỏ có $q_{1} = + 4.00 nC$ ở $(0, 0.200 m)$ , mảnh thứ hai có $q_{2} = - 4.00 nC$ ở $(0, 0)$ . Tìm thành phần x và y của tổng lực lên mảnh thứ ba có $q_{3} = - 1.50 nC$ tại $(0.250 m, 0)$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: thử âm nằm bên phải hai nguồn; một nguồn dương ở trên, một nguồn âm tại gốc.

Hướng đi:

Nguồn trên hút lên trái, nguồn gốc đẩy sang phải.
Tính khoảng cách r₁ rồi chiếu từng lực, tránh cộng độ lớn vì hai lực khác hướng.

\begin{aligned} r_{1} & = \sqrt{{0.250}^{2} + {0.200}^{2}}, \\ F_{x} & = k (1.50) (4.00) 10^{- 18} (\frac{1}{{0.250}^{2}} - \frac{0.250}{r_{1}^{3}}), \\ F_{y} & = k (1.50) (4.00) 10^{- 18} \frac{0.200}{r_{1}^{3}} . \end{aligned}

Kết quả $F_{x} = + 0.452$ µN, $F_{y} = + 0.329$ µN.

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.8–21.10

Ôn trường lưỡng cực, vòng và đoạn dây trước khi làm nhóm này.

Bài tập: VP21.10.1

$q_{1} = + 4.00 nC$ ở $(0, 0.200 m)$ và $q_{2} = - 5.00 nC$ ở gốc. Tìm thành phần x, y của tổng trường tại (a) $(0, 0.100 m)$ , (b) $(0, 0.400 m)$ , (c) $(0.200 m, 0)$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn +4,00 nC ở (0;0,200) m và −5,00 nC tại gốc; cần trường ba điểm.

Hướng đi:

Dùng $k q \vec{r} / r^{3}$ cho từng nguồn.
Ở hai điểm trên trục y chỉ cộng thành phần đứng; ở điểm c cần cả thành phần ngang và đứng.

(a) Hai trường đều hướng xuống, nên $E_{x} = 0$ . Thành phần đứng là:

\begin{aligned} E_{y} & = - \frac{k (4 + 5) 10^{- 9}}{{0.100}^{2}} \\ = - 8.09 \times 10^{3} N / C . \end{aligned}

(b) Hai trường đối hướng:

\begin{aligned} E_{y} & = \frac{k (4.00 \times 10^{- 9})}{{0.200}^{2}} - \frac{k (5.00 \times 10^{- 9})}{{0.400}^{2}} \\ = 618 N / C . \end{aligned}

(c) Nguồn trên cách điểm c $\sqrt{{0.200}^{2} + {0.200}^{2}}$ m, có trường phải và xuống; nguồn gốc có trường trái. Cộng cho $E_{x} = - 806$ N/C, $E_{y} = - 318$ N/C.

Bài tập: VP21.10.2

$q_{1} = + 1.80 nC$ tại $x = 0$ , nguồn chưa biết $q_{2}$ tại $x = + 4.00 cm$ . Tổng trường tại P ở $x = + 2.00 cm$ hướng $+ x$ , độ lớn $6.75 \times 10^{4} N / C$ . Tìm (a) trường do $q_{1}$ tại P, (b) trường do $q_{2}$ tại P, (c) $q_{2}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: P giữa hai nguồn, tổng trường hướng +x 67500 N/C.

Hướng đi:

Nguồn đã biết dương cho trường phải 40500 N/C.
Trường còn thiếu phải cùng hướng, nên nguồn bên phải âm.

\begin{aligned} E_{1} & = k (1.80 \times 10^{- 9}) / {0.0200}^{2} \\ = 4.05 \times 10^{4} N / C, \\ E_{2} & = 6.75 \times 10^{4} - E_{1} \\ = 2.70 \times 10^{4} N / C, \\ q_{2} & = - E_{2} (0.0200)^{2} / k \\ = - 1.20 nC . \end{aligned}

Bài tập: VP21.10.3

Mô hình đơn giản của nguyên tử hydrogen gồm nguồn $+ e$ tại tâm vòng bán kính a, và $- e$ phân bố đều trên vòng để biểu diễn electron quay quanh proton. (a) Tìm độ lớn trường tổng ở điểm cách proton một khoảng a theo phương vuông góc mặt vòng. (b) Trường hướng về hay ra xa proton?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: +e tại tâm, −e đều trên vòng bán kính a; điểm trên trục cách tâm a.

Hướng đi:

Cộng trường nguồn điểm và trường vòng tại cùng điểm.
Trường proton ra xa, trường vòng âm về vòng nên hai thành phần trái chiều.

\begin{aligned} E_{p} & = k e / a^{2}, \\ E_{ring} & = k e / (2^{3 / 2} a^{2}), \\ E & = \frac{k e}{a^{2}} (1 - \frac{1}{2 \sqrt{2}}) . \end{aligned}

Hệ số ngoặc dương, nên tổng hướng ra xa proton.

Bài tập: VP21.10.4

dương Q phân bố đều trên thanh dài L, nằm dọc trục x từ $x = L$ đến $x = 2 L$ . Tìm (a) điện tích trong phần dài $d x$ , (b) thành phần x, y của trường tại gốc do phần tử ở x, (c) thành phần x, y của tổng trường tại gốc do cả thanh.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q dương đều trên L ≤ x ≤ 2L; cần trường gốc.

Hướng đi:

Mật độ dài Q/L cho phần tử.
Trường tại gốc đi ra xa nguồn dương về −x, mọi phần tử cùng hướng nên chỉ một thành phần.

\begin{aligned} d q & = (Q / L) d x, \\ d E_{x} & = - \frac{k Q}{L x^{2}} d x, \\ d E_{y} & = 0, \\ E_{x} & = - \frac{k Q}{L} \int_{L}^{2 L} x^{- 2} d x \\ = - \frac{k Q}{2 L^{2}}, \\ E_{y} & = 0. \end{aligned}

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.13–21.14

Bài tập: VP21.14.1

Phân tử nước có $6.13 \times 10^{- 30} C m$ , đặt trong trường đều $3.00 \times 10^{5} N / C$ với góc giữa mômen và trường ${50.0}^{\circ}$ . Tính (a) độ lớn mômen lực và (b) thế năng.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nước có mômen p, góc 50,0° với trường 300000 N/C.

Hướng đi:

Dùng $τ = p E \sin φ$ cho độ lớn mômen lực và $U = - p E \cos φ$ cho thế năng, vì hai đại lượng dùng hai phép khác nhau.

\begin{aligned} p E & = (6.13) (3.00) 10^{- 25} N m, \\ τ & = p E \sin {50.0}^{\circ} \\ = 1.41 \times 10^{- 24} N m, \\ U & = - p E \cos {50.0}^{\circ} \\ = - 1.18 \times 10^{- 24} J . \end{aligned}

Bài tập: VP21.14.2

Lưỡng cực trong trường đều $8.50 \times 10^{4} N / C$ có hai cách $1.10 \times 10^{- 10} m$ . Khi mômen vuông góc trường, mômen lực là $6.60 \times 10^{- 26} N m$ . Tìm độ lớn mỗi điện tích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách d, trường E và mômen lực khi lưỡng cực vuông góc trường đã biết.

Hướng đi:

Khi vuông góc, sinφ = 1 nên $τ = p E = q d E$ .
Giải trực tiếp độ lớn q, không cần tìm góc khác.

\begin{aligned} q & = \frac{6.60 \times 10^{- 26}}{(1.10 \times 10^{- 10}) (8.50 \times 10^{4})} \\ = 7.06 \times 10^{- 21} C . \end{aligned}

Bài tập: VP21.14.3

Đặt phân tử trong trường đều $1.20 \times 10^{5} N / C$ . Cần công $4.60 \times 10^{- 25} J$ để đổi từ cùng chiều sang ngược chiều trường. Tìm độ lớn mômen.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Công bên ngoài đổi mômen từ cùng chiều sang ngược chiều trường.

Hướng đi:

Nếu đổi chậm, công ngoài bằng tăng thế năng.
Hai thế năng đầu và cuối là −pE và +pE, nên chênh bằng 2pE, không phải pE.

\begin{aligned} p & = \frac{W}{2 E} \\ = \frac{4.60 \times 10^{- 25}}{2 (1.20 \times 10^{5})} \\ = 1.92 \times 10^{- 30} C m . \end{aligned}

Bài tập: VP21.14.4

Phân tử ion KBr gồm ion kali có $+ e = 1.60 \times 10^{- 19} C$ và ion brom có $- e$ , với $3.50 \times 10^{- 29} C m$ . (a) Tìm khoảng cách hai ion. (b) Trên trục nối hai ion, trường có độ lớn $8.00 \times 10^{4} N / C$ . Điểm ấy cách tâm phân tử bao xa?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: KBr có p = $3.50 \times 10^{- 29}$ C·m, hai ±e; trường xa trên trục 80000 N/C.

Hướng đi:

Khoảng hai ion tìm bằng p = ed.
Khoảng đến tâm tìm bằng trường trục xa $E = 2 k p / r^{3}$ , rồi so r với d để xác nhận gần đúng xa tự nhất quán.

\begin{aligned} d & = p / e \\ = 2.19 \times 10^{- 10} m, \\ r & = (2 k p / E)^{1 / 3} \\ = 1.99 \times 10^{- 8} m . \end{aligned}

Khoảng đến tâm lớn hơn d khoảng 91 lần, phù hợp điều kiện trường xa.

Tài nguyên học tập đa phương tiện và bài tập được giao của học phần có thể được mở qua Mastering Physics.

Bài tổng hợp: Điện trường ở tâm nửa vòng tròn

Bài tập: Điện tích phân bố trên nửa vòng

dương Q phân bố đều trên nửa đường tròn bán kính a trong Hình 21.34. Tìm độ lớn và hướng trường tại P, tâm cong của nửa vòng.

Hình 21.34: Điện tích đều trên nửa đường tròn phía trên trục x

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: +Q đều trên nửa vòng trên bán kính a, P tại tâm.

Hướng đi:

Dùng phần tử cung $d s = a d θ$ , mật độ $Q / (π a)$ .
Trường tại tâm hướng ngược bán kính đến phần tử.
Thành phần ngang tự triệt tiêu theo đối xứng, thành phần đứng cộng xuống.

\begin{aligned} d q & = \frac{Q}{π} d θ, \\ d E_{x} & = - \frac{k Q}{π a^{2}} \cos θ d θ, \\ d E_{y} & = - \frac{k Q}{π a^{2}} \sin θ d θ, \\ E_{x} & = - \frac{k Q}{π a^{2}} \int_{0}^{π} \cos θ d θ \\ = 0, \\ E_{y} & = - \frac{k Q}{π a^{2}} \int_{0}^{π} \sin θ d θ \\ = - \frac{2 k Q}{π a^{2}} . \end{aligned}

Đơn vị kQ/a² là N/C. Nếu nối thành vòng kín có cùng mật độ, nửa dưới cho thành phần đứng ngược lại và trường tâm bằng không.

Gợi ý: Hướng dẫn giải

Xác định và thiết lập.

Đại lượng cần tìm là các thành phần trường tại P.
Chia nửa vòng thành những cung rất nhỏ bán kính a và góc $d θ$ . Độ dài và mỗi cung bằng bao nhiêu?
Đo góc $θ$ từ đầu bên phải tại $(a, 0)$ . Khi ở đỉnh $(0, a)$ , góc là $π / 2$ , và khi ở đầu trái $(- a, 0)$ , góc là $π$ . Tìm $d E_{x}$ , $d E_{y}$ tại P do phần tử tại góc $θ$ .

Thực hiện.

hai biểu thức từ $θ = 0$ đến $π$ để tìm $E_{x}, E_{y}$ .
Từ hai thành phần, xác định độ lớn và hướng.

Đánh giá.

Kết quả độ lớn có đúng đơn vị không?
Giải thích cách tìm thành phần x bằng đối xứng mà không cần .
Nếu kéo dài nửa vòng thành một vòng kín có tâm P, trường tại P sẽ bằng bao nhiêu?

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q21.1

Bóc hai dải băng dính trong suốt từ cùng cuộn rồi treo gần nhau, chúng đẩy nhau. Sau đó dán mặt dính của một dải lên mặt bóng của dải kia và giật tách ra, chúng lại hút nhau. Hãy giải thích hợp lý chuỗi hiện tượng bằng sự chuyển electron giữa các dải.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dải băng cùng cuộn đẩy nhau sau bóc nhưng hút nhau sau dán rồi tách.

Hướng đi:

Dùng chuyển electron và bảo toàn để giải thích dấu, không giả định lực hút luôn đòi hai vật ban đầu đều nhiễm điện.

Lần bóc khỏi cuộn có thể làm cả hai dải nhận hoặc mất electron theo cùng chiều, nên chúng cùng dấu và đẩy. Khi hai mặt khác nhau được ép rồi tách, electron chuyển từ một mặt sang mặt kia. Nếu lượng chuyển đủ lớn so với ban đầu, hai dải có thể trái dấu và hút nhau. Cách giải thích nêu một cơ chế khả dĩ, không khẳng định dấu cụ thể chỉ từ hiện tượng đẩy.

Bài tập: Q21.2

Hai cầu kim loại treo bằng dây nylon có xu hướng hút nhau khi đưa lại gần. Chỉ từ thông tin ấy, hãy xét mọi khả năng về của hai cầu. Sau khi chạm nhau, chúng có thể dính với nhau không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai cầu hút nhau nhưng chưa biết .

Hướng đi:

Xét cả trái dấu lẫn hưởng ứng trên vật trung hòa.
Sau chạm, kim loại cho phân bố lại nên phải xét tổng điện tích.

Hai cầu có thể trái dấu, hoặc một cầu nhiễm điện còn cầu kia trung hòa bị hưởng ứng. Nếu chạm rồi tổng khác không, điện tích phân bố lại với cùng dấu trong mô hình hai cầu cô lập, nên chúng có xu hướng đẩy. Nếu tổng bằng không, chúng có thể trở về trung hòa. Vì vậy không thể kết luận chúng bám nhau lâu dài chỉ nhờ lực điện từ thông tin ban đầu.

Bài tập: Q21.3

Lực điện giữa hai hạt yếu đi khi khoảng cách tăng. Giả sử lực điện không phụ thuộc khoảng cách. Lược mang điện còn làm trung hòa bị như Hình 21.8 không? Vì sao? Vật trung hòa còn bị hút về lược không? Vì sao?

Hình 21.8: Lược mang điện hút các mảnh nhựa trung hòa nhờ phân cực
Chú thích:
Lược mang điện âm (Negatively charged comb)
Lược mang điện dương (Positively charged comb)
(a) Lược tích điện hút các mảnh nhựa chưa nhiễm điện ((a) A charged comb picking up uncharged pieces of plastic)
(b) Cách lược âm hút vật cách điện ((b) How a negatively charged comb attracts an insulator)
(c) Cách lược dương hút vật cách điện ((c) How a positively charged comb attracts an insulator)
Electron trong mỗi phân tử của chất cách điện trung hòa dịch ra xa lược (Electrons in each molecule of the neutral insulator shift away from the comb)
Điện tích dương gần lược hơn điện tích âm nên chịu lực hút mạnh hơn. Hợp lực vì thế hướng về lược (As a result, the (+) charges in each molecule are closer to the comb than are the (−) charges and so feel a stronger force from the comb. Therefore the net force is attractive)
Lần này electron trong các phân tử dịch về phía lược (This time, electrons in the molecules shift toward the comb)
Điện tích âm gần lược hơn nên chịu lực hút mạnh hơn điện tích dương. Hợp lực vẫn là lực hút (The (−) charges in each molecule are closer to the comb, and feel a stronger force from it, than the (+) charges. Again, the net force is attractive)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giả sử lực điện không giảm theo khoảng cách.

Hướng đi:

Phân biệt sự dịch chuyển trong phân tử với lực tổng trên phân tử.
cần lực khác hướng trên dương, âm; lực hút tổng cần chênh lệch độ lớn gần–xa.

Lược vẫn có thể đẩy phần cùng dấu và hút phần trái dấu, gây . Nhưng nếu hai phần có lượng bằng nhau và lực không phụ thuộc khoảng cách, lực hút và lực đẩy bằng nhau về độ lớn trong mô hình đang xét. Lợi thế của phía gần mất đi, nên vật trung hòa không còn lực hút tổng như cơ chế Hình 21.8.

Bài tập: Q21.4

Quần áo thường dính nhau sau khi qua máy sấy. Vì sao? Nếu mọi đồ đều cùng vật liệu, chẳng hạn cotton, mức dính nhiều hơn hay ít hơn so với sấy chung các vật liệu khác nhau? Giải thích. Bạn có thể thử quan sát ở lần giặt tiếp theo.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Quần áo dính sau sấy; so vật liệu giống và khác nhau.

Hướng đi:

Dùng sự trao đổi electron khi cọ xát và lực giữa vùng trái dấu.

Đồ cọ nhau khi quay và tách ra trong môi trường khô, làm một phần mất electron, phần khác nhận electron. Các vùng trái dấu hút nhau. Các vật liệu khác nhau thường có khả năng giữ electron khác nhau nên trao đổi dễ hơn; dùng cùng một vật liệu thường làm mức nhiễm điện do sự khác vật liệu giảm. Đây là xu hướng cần quan sát, không bảo đảm mọi mẻ đồ cùng vật liệu đều hoàn toàn không dính.

Bài tập: Q21.5

Một cầu kim loại trung hòa treo bằng dây nylon bị thanh thủy tinh dương hút lại gần. Nhưng vừa chạm thanh, cầu đột ngột bay ra xa. Giải thích vì sao đầu tiên hút, sau đó đẩy.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu trung hòa ban đầu bị thanh dương hút, sau chạm bị đẩy.

Hướng đi:

Trước chạm dùng hưởng ứng, sau chạm dùng truyền electron qua tiếp xúc.

Thanh dương hút electron trong cầu về phía gần, tạo mặt gần âm và mặt xa dương. Lực hút gần mạnh hơn lực đẩy xa. Khi cầu chạm thanh, electron chuyển từ cầu sang thanh; cầu thiếu electron và trở thành dương. Hai vật dương sau đó đẩy nhau.

Bài tập: Q21.6 BIO

Ước lượng số electron trong cơ thể bạn, nêu rõ những giả thiết cần dùng. Gợi ý: Phần lớn nguyên tử trong cơ thể có số electron, proton và neutron gần bằng nhau. Tổng của toàn bộ electron đó bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ước lượng electron cơ thể, lấy khối lượng 70 kg và số neutron gần số proton.

Hướng đi:

Khối lượng gần nằm trong proton và neutron.
Với neutron và proton gần bằng số, mỗi electron trung hòa tương ứng khoảng hai khối lượng proton.

\begin{aligned} N_{e} & \approx \frac{70}{2 m_{p}} \approx 2.1 \times 10^{28}, \\ Q_{e} & = - N_{e} e \approx - 3.4 \times 10^{9} C . \end{aligned}

Đây là tổng riêng phần electron; proton có dương gần bù hết nên điện tích dư cơ thể nhỏ hơn rất nhiều.

Bài tập: Q21.7

Hình Q21.7 cho một số đường sức của ba điểm trên trục đứng, đều có cùng độ lớn điện tích. (a) Dấu mỗi điện tích là gì? Giải thích. (b) Tại điểm nào độ lớn trường nhỏ nhất? Giải thích cách các trường thành phần cộng để tạo trường tổng nhỏ tại đó.

Hình Q21.7: Đường sức của ba điện tích bằng nhau về độ lớn

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ba nguồn cùng độ lớn trên trục đứng, đường sức như hình.

Hướng đi:

Đọc chiều mũi tên để xác định dấu, rồi dùng đối xứng và chồng chất để tìm điểm trường nhỏ nhất.

Đường sức đi ra từ nguồn giữa và đi vào hai nguồn ngoài, nên nguồn giữa dương, hai nguồn ngoài âm. Ở hai điểm đối xứng trái và phải nguồn giữa trên đường ngang, trường nguồn giữa hướng ra, hai trường nguồn ngoài có thành phần ngang hướng vào và thành phần đứng bù nhau. Tại hai điểm mà độ lớn ngang bằng nhau, tổng trường bằng không, tức đạt nhỏ nhất. Nếu khoảng cách từ giữa đến mỗi nguồn ngoài là a, vị trí là $x = \pm a / \sqrt{2^{2 / 3} - 1}$ , y = 0.

Bài tập: Q21.8

điện tốt như kim loại thường cũng dẫn nhiệt tốt, còn vật cách điện như gỗ thường dẫn nhiệt kém. Vì sao hai tính chất này có liên hệ ở các vật liệu ấy?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sự dẫn điện và dẫn nhiệt của kim loại, gỗ.

Hướng đi:

Xét hạt mang điện có thể di chuyển và khả năng chúng vận chuyển năng lượng.

trong kim loại vừa vận chuyển vừa trao đổi, mang năng lượng qua vật. Do đó kim loại thường dẫn tốt cả điện và nhiệt. Trong vật cách điện như gỗ, electron không tự do chạy qua vật nên mất cơ chế truyền này; nhiệt vẫn có thể truyền qua dao động và tương tác vật liệu, nhưng thường kém hiệu quả hơn trong ví dụ đang xét.

Bài tập: Q21.9

Nguồn trong Hình 21.28a được giữ cố định. Thả một hạt nhỏ dương từ nghỉ tại một vị trí: Quỹ đạo có theo đường sức không? Giải thích. Lặp tình huống ở Hình 21.28b, giữ cả hai nguồn cố định. Quỹ đạo có theo đường sức không? Giải thích sự khác nhau giữa hai câu trả lời.

Hình 21.28: Đường sức của điện tích dương, lưỡng cực và hai điện tích dương bằng nhau
Chú thích:
Đường sức luôn đi ra khỏi điện tích dương và hướng vào điện tích âm (Field lines always point away from (+) charges and toward (−) charges)
Tại mỗi điểm, vector điện trường tiếp tuyến với đường sức đi qua điểm đó (At each point in space, the electric field vector is tangent to the field line passing through that point)
Đường sức gần nhau ở nơi trường mạnh và xa nhau hơn ở nơi trường yếu (Field lines are close together where the field is strong, farther apart where it is weaker)
(a) Một điện tích dương đơn lẻ ((a) A single positive charge)
(b) Hai điện tích bằng nhau, trái dấu, tạo thành lưỡng cực ((b) Two equal and opposite charges (a dipole))
(c) Hai điện tích dương bằng nhau ((c) Two equal positive charges)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thả hạt dương từ nghỉ trong trường nguồn dương hoặc lưỡng cực cố định.

Hướng đi:

Lực xác định gia tốc, không trực tiếp xác định hướng vận tốc.
Chỉ khi quỹ đạo và hướng lực giữ cùng một đường thẳng mới có thể kết luận hạt theo đường sức từ nghỉ.

Với nguồn dương đơn lẻ, trường hướng xuyên tâm và hạt từ nghỉ chuyển động thẳng ra xa, trùng một đường sức. Với lưỡng cực, trường nhìn chung đổi hướng theo vị trí; quỹ đạo không trùng đường sức cong vì gia tốc không phải luôn theo tiếp tuyến quỹ đạo. Có ngoại lệ trên các đường đối xứng thẳng, nhưng không được suy rộng cho mọi điểm thả.

Bài tập: Q21.10

Hai vật kim loại giống nhau đặt trên giá cách điện. Mô tả cách tạo trái dấu nhưng đúng bằng nhau về độ lớn trên hai vật.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai vật kim loại giống nhau cần ±q cùng độ lớn.

Hướng đi:

Hưởng ứng trên hai vật nối nhau cho phép tách mà không đổi tổng, rồi cô lập chúng trước khi lấy nguồn ngoài đi.

Cho hai vật đang trung hòa chạm nhau. Đưa nguồn mang điện gần một vật để electron phân bố lệch giữa hai vật. Giữ nguồn ở đó và tách hai vật. Sau đó lấy nguồn ra. Tổng hai vật vẫn bằng không, nên hai điện tích còn lại trái dấu và bằng nhau về độ lớn. Không cần vật nhận điện tích tiếp xúc nguồn ngoài.

Bài tập: Q21.11

Giả sử độ lớn electron nhỏ hơn proton $0.00100 %$ , thay vì bằng nhau. Ước lượng điện tích tổng của một quyển giáo trình, nêu rõ những giả thiết về khối lượng và cấu tạo cần dùng. Gợi ý: Phần lớn nguyên tử có số electron, proton và neutron gần bằng nhau. Tính lực điện giữa hai quyển đặt cách $5.0 m$ . Lực hút hay đẩy? Vì sao sự ổn định của vật chất thông thường cho thấy hai điện tích cơ bản phải bằng nhau về độ lớn với độ chính xác rất cao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: electron nhỏ hơn proton theo tỷ lệ $10^{- 5}$ ; ước lượng quyển nặng 1 kg.

Hướng đi:

Số proton gần m/(2mₚ).
Mỗi proton và electron đi kèm để dư dương $10^{- 5} e$ , nên tổng dư tỷ lệ khối lượng.
Dùng Coulomb cho hai quyển cách 5,0 m.

\begin{aligned} Q & \approx \frac{10^{- 5} e}{2 m_{p}} \\ = 4.8 \times 10^{2} C, \\ F & \approx k Q^{2} / {5.0}^{2} \\ = 8.2 \times 10^{13} N . \end{aligned}

Lực đẩy rất lớn vì cả hai dư dương. Sự ổn định của vật chất thông thường loại trừ sự lệch tương đối lớn như giả thuyết đó; độ lớn electron và proton phải gần bằng nhau với độ chính xác cao.

Bài tập: Q21.12

Đi trên thảm nylon rồi chạm vật kim loại lớn như tay nắm cửa có thể tạo tia lửa và gây giật. Vì sao dễ xảy ra vào ngày khô hơn ngày ẩm? Gợi ý: Xét phân tử nước ở Hình 21.30. Vì sao chạm vật kim loại nhỏ như kẹp giấy ít gây giật hơn?

Hình 21.30: Phân tử nước có hai phía điện tích và các chất hòa tan trong nước
Chú thích:
(a) Phân tử nước, điện tích dương biểu diễn bằng màu đỏ và điện tích âm bằng màu xanh ((a) A water molecule, showing positive charge as red and negative charge as blue)
Mômen lưỡng cực điện p hướng từ đầu âm đến đầu dương của phân tử (The electric dipole moment p is directed from the negative end to the positive end of the molecule)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giật điện sau đi thảm dễ xảy ra khi khô và chạm vật kim loại lớn.

Hướng đi:

Xét sự tích tụ và sự truyền điện tích nhanh khi chạm.
Nước có thể làm bề mặt ẩm cho thoát dễ hơn.

Ngày khô, khó rò qua thảm và bề mặt nên tích tụ nhiều. Ngày ẩm, lớp ẩm giúp điện tích phân bố và thoát dần, giảm chênh lệch điện. Vật kim loại lớn có thể nhận hoặc cung cấp lượng điện tích lớn hơn trong quá trình cân bằng so với kẹp giấy nhỏ, nên chạm nó dễ có xung truyền điện tích mạnh hơn.

Bài tập: Q21.13

Có một vật mang điện âm. Dùng nó như thế nào để tạo tổng âm trên cầu kim loại cách điện với đất? Để tạo điện tích tổng dương thì làm thế nào?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dùng vật âm để làm cầu cô lập âm hoặc dương.

Hướng đi:

Nhận cùng dấu dùng tiếp xúc; nhận trái dấu dùng hưởng ứng với nối đất và đúng thứ tự tháo.

Cho vật âm chạm cầu để truyền electron, cầu nhận điện âm. Để tạo điện dương, đưa vật âm gần cầu mà không chạm, nối cầu đất để electron bị đẩy thoát, tháo dây đất trước rồi lấy vật âm ra. Cầu còn thiếu electron nên dương.

Bài tập: Q21.14

Thả hai điểm có cùng khối lượng và điện tích trên bàn không ma sát, mỗi hạt có gia tốc đầu với độ lớn $a_{0}$ . Nếu giữ một hạt cố định và chỉ thả hạt còn lại, gia tốc đầu của nó là $a_{0}$ , $2 a_{0}$ hay $a_{0} / 2$ ? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn giống nhau thả cùng lúc hoặc một nguồn được giữ.

Hướng đi:

Gia tốc đầu phụ thuộc lực ở khoảng cách ban đầu và khối lượng, không phụ thuộc việc nguồn kia được giữ hay sau đó sẽ chuyển động.

Trong cả hai cách thả, lực đầu lên hạt tự do là cùng kq²/r². Khối lượng không đổi nên gia tốc đầu vẫn $a_{0}$ . Các chuyển động về sau khác nhau vì khoảng cách phát triển khác nhau.

Bài tập: Q21.15

Một hạt khối lượng m, Q và một hạt cùng khối lượng m, điện tích $2 Q$ được thả trên bàn không ma sát. Nếu hạt Q có gia tốc đầu $a_{0}$ , hạt $2 Q$ có gia tốc đầu là $a_{0}$ , $2 a_{0}$ , $4 a_{0}$ , $a_{0} / 2$ hay $a_{0} / 4$ ? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai hạt cùng khối lượng, Q và 2Q.

Hướng đi:

Định luật III Newton cho hai lực bằng nhau về độ lớn, dù khác nhau.
Chia cùng lực cho cùng khối lượng.

Gia tốc của hạt 2Q cũng là $a_{0}$ , hướng ngược gia tốc hạt Q. Không nhân hai gia tốc chỉ vì hạt đó gấp hai, vì lực cặp chứa tích cả hai điện tích.

Bài tập: Q21.16

Lần lượt đặt proton và electron tại cùng một điểm trong trường đều rồi thả. Chúng chịu cùng lực không? Cùng gia tốc không? Chúng chuyển động cùng hướng không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton và electron thả tại cùng điểm trường đều.

Hướng đi:

Dùng F = qE cho lực và a = F/m cho gia tốc.

Hai lực cùng độ lớn eE nhưng ngược hướng. Gia tốc electron lớn hơn proton khoảng $m_{p} / m_{e} \approx 1836$ lần vì khối lượng nhỏ hơn. Proton chuyển động cùng chiều trường, electron ngược chiều.

Bài tập: Q21.17

Ví dụ 21.1 cho thấy lực điện giữa hai hạt alpha cỡ $10^{35}$ lần lực hấp dẫn. Vì sao ta dễ cảm nhận hấp dẫn của Trái Đất nhưng không thấy lực điện của nó?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lực điện giữa các hạt rất lớn nhưng ta cảm thấy hấp dẫn Trái Đất.

Hướng đi:

Phân biệt tổng riêng dương, âm với điện tích dư gây trường bên ngoài.

Trái Đất và vật thông thường gần trung hòa, nên những đóng góp điện dương và âm phần lớn bù nhau. Khối lượng không có hai dấu để bù theo cách đó, nên trường hấp dẫn cộng từ toàn khối lượng. So sánh lực giữa hai hạt mang điện riêng không trực tiếp cho lực điện dư của một vật trung hòa vĩ mô.

Bài tập: Q21.18

Lực điện giống lực hấp dẫn ở những điểm nào? Những khác biệt đáng kể nhất là gì?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: So hai lực cơ bản trên mô hình hạt điểm.

Hướng đi:

So dạng phương trình, nguồn, hướng và định luật chồng chất.

Cả hai là lực dọc đường nối hai hạt, giảm như nghịch đảo bình phương khoảng cách và tuân theo chồng chất . Hấp dẫn phụ thuộc tích khối lượng, luôn hút trong mô hình khối lượng dương. Lực điện phụ thuộc tích có dấu, có thể hút hoặc đẩy; các nguồn điện có thể bù nhau nhờ hai dấu và chịu ảnh hưởng sự phân bố điện tích hưởng ứng trong vật liệu.

Bài tập: Q21.19

Hai vật hình dạng không đều A, B mang điện trái dấu. Hình Q21.19 cho đường sức gần chúng. (a) Vật nào dương? Vì sao? (b) Trường mạnh hơn gần A hay gần B? Vì sao?

Hình Q21.19: Đường sức gần hai vật A và B trái dấu

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Các mũi tên đi từ vật B lớn về vật A nhỏ.

Hướng đi:

Đường sức đi ra nguồn dương, vào nguồn âm; mật độ đường chỉ độ mạnh trường.

B dương, A âm. Đường tập trung dày hơn gần A nên trường mạnh hơn gần A. Không dùng riêng kích thước vật để suy dấu ; dấu phải đọc từ mũi tên.

Bài tập: Q21.20

Hạt nhân gồm proton và neutron. Vì sao điều đó cho thấy cần một tương tác khác ngoài lực điện và hấp dẫn?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt nhân chứa nhiều proton dương ở rất gần nhau.

Hướng đi:

Xét hai lực đã biết có đủ giữ proton liên kết không.

Proton đẩy nhau bằng lực điện, còn lực hấp dẫn giữa hạt rất nhỏ so với lực điện. Vì hạt nhân bền vẫn tồn tại, cần một tương tác hút khác đủ mạnh ở khoảng cách hạt nhân để thắng lực đẩy điện. Đó là vai trò của tương tác hạt nhân mạnh đã được giới thiệu.

Bài tập: Q21.21

đủ mạnh có thể làm nguyên tử ion hóa dương, tức mất một hoặc nhiều electron. Giải thích cơ chế và điều gì quyết định độ mạnh trường cần thiết.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường mạnh làm nguyên tử mất electron.

Hướng đi:

Lực ngoài trên electron có thể chống lực giữ của hạt nhân.
Mức liên kết quyết định trường cần để tách electron.

Trường tác dụng lực −eE lên electron, kéo nó lệch khỏi cấu hình liên kết. Nếu trường đủ mạnh, electron có thể bị tách ra và nguyên tử thành ion dương. Độ mạnh cần thiết phụ thuộc cấu trúc nguyên tử, electron đang xét và năng lượng liên kết của nó, không có một ngưỡng chung cho mọi nguyên tử.

Bài tập: Q21.22

Hai trường tại P do các nguồn dương $q_{1}, q_{2}$ được vẽ trong Hình Q21.22. Việc hai vector gặp nhau có vi phạm tính chất đường sức không cắt nhau ở mục 21.6 không? Giải thích.

Hình Q21.22: Hai vector trường thành phần tại P

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai trường thành phần đều đặt tại P.

Hướng đi:

Phân biệt mũi tên biểu diễn với đường sức của trường tổng.

Không có vi phạm. Hai mũi tên là trường do hai nguồn riêng, và phải được cộng để có một trường tổng duy nhất ở P. Tính chất không cắt nhau áp dụng cho các đường sức của cùng trường tổng, không cấm vẽ nhiều vector thành phần cùng điểm gốc.

Bài tập: Q21.23

Nhiệt độ và vận tốc không khí khác nhau ở các vị trí trong khí quyển. Vận tốc không khí có là trường không? Vì sao? Nhiệt độ có là trường vector không? Vì sao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vận tốc và nhiệt độ không khí thay đổi theo vị trí.

Hướng đi:

Loại trường được quyết định bởi đại lượng gắn với mỗi điểm, không chỉ bởi việc nó thay đổi trong không gian.

Vận tốc có độ lớn và hướng tại mỗi điểm, nên là trường . Nhiệt độ là một số vô hướng tại mỗi điểm, nên là trường vô hướng. Biến thiên theo vị trí không tự biến nhiệt độ thành vector.

Bài tập theo mục

Ký hiệu •, ••, ••• chỉ mức độ khó. CP là bài tổng hợp kiến thức các chương trước. CALC là bài cần giải tích. DATA chỉ bài liên quan dữ liệu, bằng chứng, thiết kế thí nghiệm hoặc suy luận thống kê. BIO chỉ bài thuộc khoa học sự sống.

Mục 21.3: Định luật Coulomb

Bài tập 21: 1 ••

Thêm electron vào một quả cầu nhỏ bằng chì khối lượng $8.00 g$ để tổng là $- 3.20 \times 10^{- 9} C$ . (a) Tìm số electron dư. (b) Số electron dư trên mỗi nguyên tử chì bằng bao nhiêu? Chì có số hiệu nguyên tử 82 và khối lượng mol $207 g / mol$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Quả cầu bằng chì có $m = 8.00 g$ , dư $q = - 3.20 \times 10^{- 9} C$ . Cần số electron dư và tỷ lệ trên một nguyên tử.

Hướng đi:

Mỗi electron có độ lớn e, nên số dư bằng $| q | / e$ .
Số nguyên tử được tính từ số mol nhân hằng số Avogadro, vì khối lượng mol nối khối lượng mẫu với số hạt.

\begin{aligned} N_{e} & = \frac{3.20 \times 10^{- 9}}{1.602 \times 10^{- 19}} \\ = 2.00 \times 10^{10}, \\ N_{Pb} & = \frac{8.00}{207} (6.022 \times 10^{23}) \\ = 2.33 \times 10^{22}, \\ \frac{N_{e}}{N_{Pb}} & = 8.59 \times 10^{- 13} . \end{aligned}

dư âm do electron được thêm vào. Số 82 không cần để tính số nguyên tử từ khối lượng mol.

Bài tập 21: 2 •

Sét xuất hiện khi , chủ yếu electron, chuyển giữa đất và đám mây giông. Tốc độ truyền điện tích cực đại khoảng $20 000 C / s$ , kéo dài $100 μ s$ hoặc ít hơn. Trong thời gian này, bao nhiêu điện tích và bao nhiêu electron chuyển giữa đất và mây?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tốc độ truyền $I = 2.00 \times 10^{4} C / s$ trong $t = 100 μ s$ .

Hướng đi:

Tốc độ không đổi trong khoảng đang ước lượng cho $Q = I t$ .
Chia Q cho e để đếm electron, vì mỗi electron mang cùng một cơ bản.

\begin{aligned} Q & = (2.00 \times 10^{4}) (100 \times 10^{- 6}) C \\ = 2.00 C, \\ N & = Q / e \approx 1.25 \times 10^{19} . \end{aligned}

Đây là lượng ở tốc độ cực đại trong toàn khoảng. Nếu khoảng ngắn hơn hoặc tốc độ giảm, lượng truyền nhỏ hơn.

Bài tập 21: 3 ••

Một proton và electron được thả khi cách nhau $2.0 \times 10^{- 10} m$ , cỡ khoảng cách nguyên tử điển hình. Tìm gia tốc đầu của mỗi hạt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton và electron cách $r = 2.0 \times 10^{- 10} m$ , được thả từ nghỉ.

Hướng đi:

Coulomb cho lực hút ban đầu; định luật II Newton cho gia tốc từng hạt.
Hai lực bằng nhau nhưng hai khối lượng khác nhau, nên không dùng cùng gia tốc.

\begin{aligned} F & = k e^{2} / r^{2} \approx 5.77 \times 10^{- 9} N, \\ a_{p} & = F / m_{p} \approx 3.4 \times 10^{18} m / s^{2}, \\ a_{e} & = F / m_{e} \approx 6.3 \times 10^{21} m / s^{2} . \end{aligned}

Mỗi gia tốc hướng về hạt kia. Electron gia tốc lớn hơn vì khối lượng nhỏ hơn.

Bài tập 21: 4 ••

Trong Ví dụ 21.4, tìm độ lớn và hướng tổng lực do hai còn lại tác dụng lên $q_{1}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tìm lực lên nguồn trên $q_{1} = 2.0 μ C$ trong Ví dụ 21.4.

Hướng đi:

Cộng lực của $q_{2}$ và Q theo thành phần. $q_{2}$ đẩy $q_{1}$ thẳng lên, Q đẩy nó lên trái.
Khoảng cách tương ứng là 0,60 m và 0,50 m.

\begin{aligned} F_{2 \to 1} & = k q_{1} q_{2} / (0.60)^{2} \\ = 0.0999 N, \\ F_{Q \to 1} & = 0.2876 N, \\ F_{x} & = - 0.2876 (0.40 / 0.50) \\ = - 0.230 N, \\ F_{Q y} & = 0.2876 (0.30 / 0.50) \\ = 0.1726 N, \\ F_{y} & = 0.0999 + 0.1726 \\ = 0.272 N . \end{aligned}

Độ lớn $F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}} = 0.357 N$ , góc ${130.2}^{\circ}$ tính ngược chiều kim đồng hồ từ $+ x$ .

Bài tập 21: 5 • BIO: Truyền tín hiệu trong neuron

Neuron truyền tín hiệu khi xung điện lan dọc chiều dài. Xung xuất hiện khi nhanh chóng đi vào rồi đi ra khỏi sợi trục. Trong giai đoạn đi vào, khoảng $5.6 \times 10^{11}$ ion ${Na}^{+}$ trên mỗi mét, mỗi ion có $+ e$ , đi vào sợi trục. Bao nhiêu coulomb đi vào đoạn dài $1.5 cm$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Có $5.6 \times 10^{11}$ ion natri trên một mét, xét đoạn $1.5 cm$ .

Hướng đi:

Nhân số ion trên mét với chiều dài bằng mét để có số ion trong đoạn.
Mỗi ion dương mang +e, nên tổng bằng số ion nhân e.

\begin{aligned} N & = (5.6 \times 10^{11}) (0.015) \\ = 8.4 \times 10^{9}, \\ Q & = N e \approx 1.3 \times 10^{- 9} C . \end{aligned}

Lượng đi vào là dương.

Bài tập 21: 6 •

Hai cầu nhỏ cách $20.0 cm$ có cùng . Mỗi cầu phải có bao nhiêu electron dư để lực đẩy giữa chúng có độ lớn $3.33 \times 10^{- 21} N$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai cầu có bằng nhau, $r = 0.200 m$ , $F = 3.33 \times 10^{- 21} N$ .

Hướng đi:

Viết q bằng số electron dư n, $q = - n e$ , rồi giải $F = k q^{2} / r^{2}$ .
Lực là độ lớn nên dấu âm không đi vào căn.

n = \frac{1}{e} \sqrt{\frac{F r^{2}}{k}} \approx 7.60 \times 10^{2} .

Mỗi cầu có khoảng 760 electron dư.

Bài tập 21: 7 ••

Một người bình thường có trọng lượng khoảng $650 N$ . Nếu hai người mỗi người mang dư $1.0 C$ , một dương và một âm, họ phải cách nhau bao xa để lực hút điện bằng $650 N$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai trái dấu có độ lớn 1,0 C; lực hút yêu cầu 650 N.

Hướng đi:

Định luật Coulomb liên hệ lực và khoảng cách.
Không dùng khối lượng người trong phép tính lực điện, vì 650 N đã cho trực tiếp giá trị cần so sánh.

r = \sqrt{k | q_{1} q_{2} | / F} \approx 3.7 \times 10^{3} m .

Khoảng cách khoảng 3,7 km cho thấy dư cỡ coulomb rất lớn.

Bài tập 21: 8 ••

Hai cầu nhôm nhỏ, mỗi cầu $0.0250 kg$ , cách $80.0 cm$ . (a) Mỗi cầu chứa bao nhiêu electron? Khối lượng mol nhôm là $26.982 g / mol$ , số hiệu nguyên tử là 13. (b) Cần chuyển bao nhiêu electron từ một cầu sang cầu kia để lực hút là $1.00 \times 10^{4} N$ , khoảng trọng lượng một tấn? Coi hai cầu là điểm. (c) Số chuyển đó chiếm tỷ lệ nào của toàn bộ electron trong mỗi cầu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mỗi cầu nhôm 25,0 g có 13 electron mỗi nguyên tử; khoảng cách 0,800 m, lực hút $10^{4} N$ .

Hướng đi:

Khối lượng mol và Avogadro cho số nguyên tử, rồi nhân 13 để đếm electron.
Chuyển n electron tạo hai ±ne, nên dùng Coulomb với hai độ lớn bằng nhau.

\begin{aligned} N_{e} & = 13 \frac{25.0}{26.982} N_{A} \\ = 7.25 \times 10^{24}, \\ q & = \sqrt{F r^{2} / k} \\ = 8.44 \times 10^{- 4} C, \\ n & = q / e \\ = 5.27 \times 10^{15}, \\ n / N_{e} & = 7.26 \times 10^{- 10} . \end{aligned}

Cầu mất electron dương, cầu nhận electron âm. Chỉ một phần cực nhỏ electron được chuyển đã tạo lực lớn.

Bài tập 21: 9 ••

Hai cầu nhựa nhỏ mang điện dương, cách $15.0 cm$ , đẩy nhau bằng lực $0.220 N$ . Tìm mỗi cầu (a) khi chúng bằng nhau và (b) khi một cầu có điện tích gấp bốn cầu kia.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn dương cách 0,150 m và đẩy với 0,220 N.

Hướng đi:

Lực xác định tích .
Sau đó dùng điều kiện hai nguồn bằng nhau hoặc tỷ lệ 4 để tách từng nguồn.

q_{1} q_{2} = F r^{2} / k = 5.51 \times 10^{- 13} C^{2} .

(a) $q_{1} = q_{2} = \sqrt{q_{1} q_{2}} = 0.742 μ C$ .

(b) Đặt $q_{2} = 4 q_{1}$ , ta có $4 q_{1}^{2} = q_{1} q_{2}$ , nên $q_{1} = 0.371 μ C$ và $q_{2} = 1.48 μ C$ .

Bài tập 21: 10 ••

$q_{1} = + 4.00 nC$ tại $x = 0.200 m$ , $q_{2} = + 5.00 nC$ tại $x = - 0.300 m$ . Tìm độ lớn và hướng tổng lực lên $q_{3} = - 6.00 nC$ tại gốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn dương 4,00 nC ở +0,200 m và 5,00 nC ở −0,300 m hút nguồn âm −6,00 nC tại gốc.

Hướng đi:

Hai lực hút trái chiều.
Chọn +x sang phải và trừ lực bên trái khỏi lực bên phải.

\begin{aligned} F_{x} & = \frac{k (24.0 \times 10^{- 18})}{{0.200}^{2}} - \frac{k (30.0 \times 10^{- 18})}{{0.300}^{2}} \\ = 2.40 \times 10^{- 6} N . \end{aligned}

Lực tổng hướng +x.

Bài tập 21: 11 •

Trong thí nghiệm ngoài không gian, giữ một proton cố định và thả proton khác từ nghỉ ở cách $2.50 mm$ . (a) Tìm gia tốc đầu của hạt được thả. (b) Phác định tính đồ thị gia tốc–thời gian và vận tốc–thời gian, không cần số.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Một proton cố định, proton còn lại được thả cách 2,50 mm.

Hướng đi:

Coulomb tạo lực đẩy, rồi $a = F / m_{p}$ .
Sau khi hạt đi ra xa, r tăng làm lực và gia tốc giảm, nhưng gia tốc vẫn cùng chiều vận tốc.

\begin{aligned} a_{0} & = \frac{k e^{2}}{m_{p} (2.50 \times 10^{- 3})^{2}} \\ = 2.21 \times 10^{4} m / s^{2} . \end{aligned}

Đồ thị a–t bắt đầu dương và giảm dần về không. Đồ thị v–t bắt đầu từ không, tăng với độ dốc giảm dần và tiến đến một giá trị giới hạn.

Bài tập 21: 12 •

$- 0.550 μ C$ tác dụng lực $0.600 N$ hướng lên điện tích chưa biết ở ngay dưới, cách $0.300 m$ . Tìm (a) độ lớn và dấu điện tích chưa biết, (b) độ lớn và hướng lực nó tác dụng lại lên điện tích $- 0.550 μ C$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn âm ở phía trên gây lực hướng lên 0,600 N lên nguồn dưới, cách 0,300 m.

Hướng đi:

Lực hướng về nguồn trên là lực hút, nên nguồn dưới phải dương.
Dùng độ lớn Coulomb để tính q và định luật III Newton cho lực tác dụng lại.

q = \frac{F r^{2}}{k | q_{1} |} = 1.09 \times 10^{- 5} C .

(a) $q = + 10.9 μ C$ . (b) Nguồn dưới tác dụng lực 0,600 N hướng xuống lên nguồn trên.

Bài tập 21: 13 ••

$q_{3} = + 5.00 nC$ ở gốc, $q_{2} = - 3.00 nC$ ở $x = + 4.00 cm$ , còn $q_{1}$ ở $x = + 2.00 cm$ . Tìm độ lớn và dấu $q_{1}$ để tổng lực lên $q_{3}$ bằng không.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn 5,00 nC tại gốc phải cân bằng dưới hai nguồn ở 2,00 cm và 4,00 cm.

Hướng đi:

Nguồn âm xa hút sang phải, nên nguồn gần phải dương để đẩy sang trái.
Hai lực bằng nhau và cùng chứa thử, nên điện tích thử triệt tiêu.

\begin{aligned} r_{13} & = 0.0200 m, \\ r_{23} & = 0.0400 m, \\ \frac{q_{1}}{r_{13}^{2}} & = \frac{3.00 nC}{r_{23}^{2}}, \\ q_{1} & = 3.00 nC {(\frac{r_{13}}{r_{23}})}^{2} \\ = + 0.750 nC . \end{aligned}

Bài tập 21: 14 ••

Trong Ví dụ 21.4, đổi nguồn ở $y = - 0.30 m$ thành $- 2.0 μ C$ , giữ các còn lại. Tìm độ lớn và hướng tổng lực lên Q. So sánh với Ví dụ 21.4 và giải thích sự khác nhau.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đổi nguồn dưới ở Ví dụ 21.4 thành âm, giữ Q dương.

Hướng đi:

Lực nguồn trên đẩy xuống phải; lực nguồn dưới hút xuống trái.
Hai lực cùng độ lớn, nên thành phần x bù nhau, thành phần y cộng.

\begin{aligned} F_{x} & = 0, \\ F_{y} & = - 2 (0.2876) (0.30 / 0.50) \\ = - 0.345 N . \end{aligned}

Lực hướng −y, khác lực +x ở ví dụ vì chỉ một lực thành phần bị đảo chiều.

Bài tập 21: 15 ••

Trong Ví dụ 21.3, tính tổng lực lên $q_{1}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tìm lực lên $q_{1}$ tại x = 2,0 cm của Ví dụ 21.3.

Hướng đi:

Nguồn dương ở gốc đẩy $q_{1}$ sang phải, nguồn âm ở 4,0 cm hút nó cũng sang phải.
Khoảng cách đến hai nguồn đều 2,0 cm, nên hai lực cộng độ lớn.

\begin{aligned} F_{x} & = \frac{k (1.0) (5.0 + 3.0)}{{0.020}^{2}} 10^{- 18} \\ \approx 1.8 \times 10^{- 4} N . \end{aligned}

Bài tập 21: 16 ••

Ba trên trục x: $q_{1} = + 3.00 μ C$ tại gốc, $q_{2} = - 5.00 μ C$ tại $x = 0.200 m$ , $q_{3} = - 8.00 μ C$ . $q_{3}$ phải ở đâu để tổng lực lên $q_{1}$ có độ lớn $7.00 N$ hướng $- x$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn −5,00 µC bên phải hút nguồn gốc sang +x, nhưng tổng lực phải 7,00 N sang −x.

Hướng đi:

Nguồn thứ ba âm phải ở bên trái để tạo lực hút sang −x.
Độ lớn lực thứ ba phải bằng 7,00 N cộng độ lớn lực sang phải, chứ không phải hiệu.

\begin{aligned} F_{2 \to 1} & = k \frac{(3.00) (5.00) 10^{- 12}}{{0.200}^{2}} \\ = 3.37 N, \\ r_{3} & = \sqrt{\frac{k (3.00) (8.00) 10^{- 12}}{7.00 + 3.37}} \\ = 0.144 m . \end{aligned}

Vị trí $x_{3} = - 0.144 m$ .

Bài tập 21: 17 ••

$q_{1} = - 1.50 nC$ ở $y = - 0.600 m$ , $q_{2} = + 3.20 nC$ tại gốc. Tìm độ lớn và hướng tổng lực lên $q_{3} = + 5.00 nC$ tại $y = - 0.400 m$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn dương cần xét nằm giữa nguồn âm phía dưới và nguồn dương tại gốc.

Hướng đi:

Nguồn âm hút xuống và nguồn dương trên đẩy xuống.
Do đó hai thành phần y âm cộng lại.
Khoảng cách lần lượt 0,200 m và 0,400 m.

\begin{aligned} F_{y} & = - \frac{k (7.50 \times 10^{- 18})}{{0.200}^{2}} - \frac{k (16.0 \times 10^{- 18})}{{0.400}^{2}} \\ = - 2.58 μ N . \end{aligned}

Bài tập 21: 18 •• BIO: Liên kết cặp base DNA, phần I

Hai phía xoắn kép DNA nối nhau bằng các cặp adenine–thymine và cytosine–guanine, do hình dạng hình học của phân tử. Hình E21.18 cho liên kết thymine với adenine. Mỗi là $\pm e$ , khoảng H–N bằng $0.110 nm$ . (a) Tính tổng lực thymine tác dụng lên adenine, xác định hút hay đẩy. Để phép tính đơn giản nhưng hợp lý, chỉ xét các lực do tổ hợp O–H–N và N–H–N, coi hai tổ hợp song song. Trong O–H–N, O âm tác dụng lên cả H dương lẫn N âm. Tương tự phải xét cả hai lực trong N–H–N. (b) Tính lực lên electron hydrogen, cách proton $0.0529 nm$ , rồi so sánh lực liên kết electron hydrogen với lực liên kết hai phân tử adenine–thymine.

Hình E21.18: Liên kết thymine–adenine với khoảng cách 0,280 và 0,300 nanômét
Chú thích:
Bazơ thymine (Thymine)
Bazơ adenine (Adenine)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai chuỗi liên kết song song có khoảng cách giữa nguyên tử âm 0,280 nm và 0,300 nm; H–N là 0,110 nm.

Hướng đi:

Với mỗi chuỗi, lực hút lên đầu dương gần mạnh hơn lực đẩy giữa hai đầu âm xa.
Dùng cả hai lực cho mỗi liên kết rồi cộng, tránh chỉ tính cặp trái dấu.

Các khoảng hút là 0,170 nm và 0,190 nm. Chọn chiều dương từ adenine về thymine:

\begin{aligned} F & = k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.170}^{2}} - k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.280}^{2}} + k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.190}^{2}} - k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.300}^{2}} \\ = 8.87 \times 10^{- 9} N . \end{aligned}

Đó là lực hút. Lực liên kết electron trong hydrogen là $k e^{2} / (0.0529 nm)^{2} = 8.24 \times 10^{- 8} N$ , lớn hơn khoảng 9,3 lần.

Bài tập 21: 19 •• BIO: Liên kết cặp base DNA, phần II

Xét tiếp bài 21.18. Hình E21.19 cho liên kết cytosine–guanine. Khoảng O–H và H–N đều $0.110 nm$ . Chỉ xét các lực trong O–H–O, N–H–N và O–H–N, coi ba tổ hợp song song. Tính tổng lực cytosine tác dụng lên guanine và xác định hút hay đẩy.

Hình E21.19: Liên kết cytosine–guanine với ba tổ hợp điện tích
Chú thích:
Bazơ cytosine (Cytosine)
Bazơ guanine (Guanine)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ba chuỗi song song có hai khoảng 0,290 nm và một khoảng 0,300 nm, với khoảng giữa H và đầu âm gần là 0,110 nm.

Hướng đi:

Mỗi chuỗi cho hiệu lực hút ở gần và lực đẩy ở xa.
Hai chuỗi 0,290 nm giống nhau nên nhân hai, rồi cộng chuỗi còn lại.

\begin{aligned} F & = 2 k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.180}^{2}} - 2 k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.290}^{2}} + k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.190}^{2}} - k e^{2} \frac{10^{18}}{{0.300}^{2}} \\ = 1.26 \times 10^{- 8} N . \end{aligned}

Lực tổng là lực hút cytosine–guanine.

Mục 21.4: Điện trường và lực điện

Bài tập 21: 20 •• CP

Giữa hai bản song song trái dấu có đều. Proton được thả từ nghỉ tại bản dương và chạm bản đối diện cách $1.60 cm$ sau $3.20 \times 10^{- 6} s$ . Tìm (a) độ lớn trường và (b) tốc độ proton khi chạm bản âm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton từ nghỉ đi d = 0,0160 m trong $3.20 \times 10^{- 6} s$ ở trường đều.

Hướng đi:

Trường đều cho lực không đổi và gia tốc không đổi.
Từ $d = a t^{2} / 2$ tìm a, rồi $e E = m_{p} a$ .

\begin{aligned} a & = 2 d / t^{2} \\ = 3.125 \times 10^{9} m / s^{2}, \\ E & = m_{p} a / e \\ = 32.6 N / C, \\ v & = a t \\ = 1.00 \times 10^{4} m / s . \end{aligned}

Proton đi từ bản dương về bản âm, cùng hướng trường.

Bài tập 21: 21 • CP

Proton đặt trong trường đều $2.75 \times 10^{3} N / C$ . Tính (a) độ lớn lực điện, (b) gia tốc, (c) tốc độ sau $1.00 μ s$ nếu bắt đầu từ nghỉ.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton từ nghỉ trong E = 2750 N/C, thời gian 1,00 µs.

Hướng đi:

Dùng lần lượt lực điện, định luật II Newton và động học gia tốc không đổi vì đều.

\begin{aligned} F & = e E \\ = 4.40 \times 10^{- 16} N, \\ a & = F / m_{p} \\ = 2.63 \times 10^{11} m / s^{2}, \\ v & = a t \\ = 2.63 \times 10^{5} m / s . \end{aligned}

Bài tập 21: 22 •

Một hạt mang điện $- 5.00 nC$ . (a) Tìm độ lớn và hướng trường ở ngay trên hạt, cách $0.250 m$ . (b) Ở khoảng cách nào trường có độ lớn $12.0 N / C$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn âm 5,00 nC, điểm trên cách 0,250 m; cần khoảng cách cho trường 12,0 N/C.

Hướng đi:

Trường điểm tỷ lệ $| q | / r^{2}$ .
Dấu âm chỉ hướng vào nguồn, không làm độ lớn âm.

\begin{aligned} E & = k | q | / (0.250)^{2} \\ = 719 N / C, \\ r & = \sqrt{k | q | / 12.0} \\ = 1.94 m . \end{aligned}

Ở điểm trên, trường hướng xuống.

Bài tập 21: 23 • CP

Proton đi ngang sang phải với $4.50 \times 10^{6} m / s$ . (a) Tìm độ lớn và hướng trường yếu nhất có thể làm nó dừng đều trên $3.20 cm$ . (b) Thời gian dừng sau khi vào trường? (c) Nếu thay bằng electron ở cùng điều kiện, trường tối thiểu cần có độ lớn và hướng nào?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton sang phải ở $4.50 \times 10^{6}$ m/s, cần dừng trong 0,0320 m.

Hướng đi:

Trường yếu nhất phải tạo lực hoàn toàn ngược vận tốc.
Từ $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a d$ lấy độ lớn gia tốc hãm, rồi dùng lực điện.
Với electron, dấu đảo hướng trường cần thiết.

\begin{aligned} | a | & = v_{0}^{2} / (2 d) \\ = 3.16 \times 10^{14} m / s^{2}, \\ E_{p} & = m_{p} | a | / e \\ = 3.30 \times 10^{6} N / C, \\ t & = v_{0} / | a | \\ = 14.2 ns, \\ E_{e} & = m_{e} | a | / e \\ = 1.80 \times 10^{3} N / C . \end{aligned}

Trường cho proton hướng trái; trường cho electron hướng phải.

Bài tập 21: 24 • CP

Electron được thả từ nghỉ trong trường đều, gia tốc thẳng đứng lên và đi $4.50 m$ trong $3.00 μ s$ đầu. (a) Tìm độ lớn và hướng trường. (b) Có thể bỏ trọng lực không? Chứng minh bằng số.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron từ nghỉ đi lên 4,50 m trong 3,00 µs.

Hướng đi:

Tìm gia tốc bằng động học.
Electron âm nên trường phải ngược gia tốc.
So sánh a với g để đánh giá trọng lực thay vì chỉ dựa vào khối lượng nhỏ.

\begin{aligned} a & = 2 (4.50) / (3.00 \times 10^{- 6})^{2} \\ = 1.00 \times 10^{12} m / s^{2}, \\ E & = m_{e} a / e \\ = 5.69 N / C, \\ a / g & \approx 1.02 \times 10^{11} . \end{aligned}

Trường hướng xuống. Trọng lực chỉ làm thay đổi gia tốc một phần cỡ $10^{- 11}$ nên bỏ qua hợp lý.

Bài tập 21: 25 ••

(a) Hạt khối lượng $1.45 g$ phải có với dấu và độ lớn nào để đứng yên trong trường hướng xuống $650 N / C$ ? (b) Trường có độ lớn bao nhiêu để lực điện lên proton bằng độ lớn trọng lượng của nó?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt 1,45 g phải đứng yên trong trường hướng xuống 650 N/C.

Hướng đi:

Cân bằng cần lực điện hướng lên để bù trọng lượng, nên q âm.
Với proton ở phần b, chỉ so sánh độ lớn eE và $m_{p} g$ .

\begin{aligned} q & = - m g / E \\ = - 21.9 μ C, \\ E_{p} & = m_{p} g / e \\ = 1.02 \times 10^{- 7} N / C . \end{aligned}

Bài tập 21: 26 ••

điểm $+ 8.75 μ C$ được dán cố định trên bàn ngang không ma sát. Nó nối với điện tích $- 6.50 μ C$ bằng dây nhẹ không dẫn điện dài $2.50 cm$ . Trường đều $1.85 \times 10^{8} N / C$ song song dây như Hình E21.26. (a) Tìm lực căng dây. (b) Nếu cả hai điện tích đều âm, lực căng bằng bao nhiêu?

Hình E21.26: Hai điện tích nối bằng dây trong trường đều

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: âm ở đầu dây chịu lực trường sang trái; đầu dương cố định ở bên phải.

Hướng đi:

Vẽ lực riêng trên âm.
Với hai nguồn trái dấu, Coulomb hút sang phải và giảm lực căng cần thiết.
Nếu cả hai âm, Coulomb đẩy sang trái và tăng lực căng.

\begin{aligned} F_{E} & = (6.50 \times 10^{- 6}) (1.85 \times 10^{8}) \\ = 1202.5 N, \\ F_{C} & = k \frac{(8.75) (6.50) 10^{- 12}}{(0.0250)^{2}} \\ = 817.9 N, \\ T_{a} & = F_{E} - F_{C} \\ = 385 N, \\ T_{b} & = F_{E} + F_{C} \\ = 2.02 \times 10^{3} N . \end{aligned}

Bài tập 21: 27 •• CP

Electron được phóng ngang với $v_{0} = 1.60 \times 10^{6} m / s$ vào trường giữa hai bản ở Hình E21.27, tại điểm giữa khoảng cách bản. Giả sử trường đều hướng xuống giữa bản và bằng không bên ngoài. (a) Electron vừa tránh bản trên khi ra khỏi vùng trường. Tìm độ lớn trường. (b) Thay electron bằng proton cùng tốc độ đầu, proton có chạm bản không? Nếu không, độ dời đứng khi ra khỏi trường có độ lớn và hướng nào? (c) So sánh hai quỹ đạo và giải thích khác biệt. (d) Có hợp lý khi bỏ trọng lực với mỗi hạt không?

Hình E21.27: Bản dài 2,00 centimét và cách nhau 1,00 centimét

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron bay ngang 2,00 cm, khoảng bản 1,00 cm, vào ở chính giữa với $v_{0} = 1.60 \times 10^{6}$ m/s.

Hướng đi:

Không có lực ngang nên $t = L / v_{0}$ .
Electron phải lệch lên nửa khoảng bản.
Từ $h = a t^{2} / 2$ tìm a và E.
Proton có cùng độ lớn lực nhưng khối lượng lớn hơn và trái dấu.

\begin{aligned} t & = 0.0200 / v_{0} \\ = 1.25 \times 10^{- 8} s, \\ a_{e} & = 2 (0.00500) / t^{2} \\ = 6.40 \times 10^{13} m / s^{2}, \\ E & = m_{e} a_{e} / e \\ = 364 N / C, \\ | y_{p} | & = 0.00500 (m_{e} / m_{p}) \\ = 2.73 μ m . \end{aligned}

Electron cong lên, proton cong xuống rất ít và không chạm bản. Cả hai quỹ đạo trong trường là parabol. Tỷ số gia tốc điện với g rất lớn cho cả hai hạt, nên trọng lực không đáng kể.

Bài tập 21: 28 •• CP

Ở bài 21.27, tốc độ electron khi ra khỏi bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dùng thời gian và gia tốc electron từ bài 21.27.

Hướng đi:

Vận tốc ngang giữ nguyên, vận tốc đứng bằng at.
Tốc độ ra là độ lớn , không cộng hai thành phần đại số.

\begin{aligned} v_{y} & = a_{e} t \\ = 8.00 \times 10^{5} m / s, \\ v & = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{y}^{2}} \\ = 1.79 \times 10^{6} m / s . \end{aligned}

Bài tập 21: 29 •

điểm tại gốc là điểm nguồn. Tìm đơn vị $\hat{r}$ hướng đến điểm trường (a) $(0, - 1.35 m)$ , (b) $(12.0 cm, 12.0 cm)$ , (c) $(- 1.10 m, 2.60 m)$ . Viết bằng $\hat{i}, \hat{j}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm nguồn ở gốc, cần đơn vị hướng đến ba điểm đã cho.

Hướng đi:

đơn vị bằng vector tọa độ chia độ dài.
Nó không phụ thuộc dấu nguồn; dấu nguồn được dùng khi tính trường ở bước sau.

(a) $\hat{r} = - \hat{j}$ .

(b) Hai thành phần bằng nhau, nên $\hat{r} = (\hat{i} + \hat{j}) / \sqrt{2}$ .

Bài tập 21: 30 ••

(a) Electron đi về đông trong trường đều $1.50 N / C$ hướng tây. Ở A, vận tốc là $4.50 \times 10^{5} m / s$ hướng đông. Tốc độ tại B, cách A $0.375 m$ về đông, bằng bao nhiêu? (b) Proton chuyển động trong cùng trường, có vận tốc ở A là $1.90 \times 10^{4} m / s$ hướng đông. Tốc độ ở B bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường hướng tây 1,50 N/C; hai hạt đều đi đông từ A đến B cách 0,375 m.

Hướng đi:

Electron chịu lực đông nên tăng tốc, proton chịu lực tây nên giảm tốc.
Dùng $v_{B}^{2} = v_{A}^{2} + 2 a Δ x$ vì gia tốc không đổi.

\begin{aligned} v_{B e} & = \sqrt{v_{A e}^{2} + 2 e E Δ x / m_{e}} \\ = 6.33 \times 10^{5} m / s, \\ v_{B p} & = \sqrt{v_{A p}^{2} - 2 e E Δ x / m_{p}} \\ = 1.59 \times 10^{4} m / s . \end{aligned}

Biểu thức proton còn dương, nên proton đến được B trước khi dừng.

Mục 21.5: Tính điện trường

Bài tập 21: 31 ••

Đoạn dài $20.0 cm$ nằm dọc trục x, trung điểm tại gốc, mật độ dài $+ 4.80 nC / m$ . Cầu nhỏ có điện tích $- 2.00 μ C$ tại $(0, 5.00 cm)$ . Tìm độ lớn và hướng lực cầu tác dụng lên cả đoạn điện tích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đoạn dây dài 0,200 m, mật độ 4,80 nC/m; cầu âm −2,00 µC trên trung trực, cách 0,0500 m.

Hướng đi:

Trường đoạn dây trên trung trực đã có ở (21.9).
Tính lực dây lên cầu rồi đảo chiều bằng định luật III Newton, vì đề hỏi lực cầu lên dây.

\begin{aligned} Q & = λ (2 a) \\ = 9.60 \times 10^{- 10} C, \\ E & = \frac{k Q}{r \sqrt{r^{2} + a^{2}}} \\ = 1.54 \times 10^{3} N / C, \\ F & = | q | E \\ = 3.09 \times 10^{- 3} N . \end{aligned}

Dây dương hút cầu xuống, nên cầu hút dây lên theo +y.

Bài tập 21: 32 •

Hai nguồn Q và $+ q$ , với q dương, tạo trường tại P như Hình E21.32. Trường song song đường nối hai nguồn. (a) Có thể kết luận gì về dấu và độ lớn Q? Giải thích. (b) Nếu nguồn dưới âm thay vì dương, trường có thể có hướng đã vẽ không? Giải thích.

Hình E21.32: Hai nguồn ở trên và dưới, P cách đều và có trường hướng lên

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: P ở trên trung trực hai nguồn; trường tổng hướng lên song song đường nối nguồn.

Hướng đi:

Vì P cách hai nguồn bằng nhau, trường thành phần có cùng hình học.
Muốn thành phần ngang triệt tiêu nhưng thành phần đứng cùng hướng, hai phải trái dấu và cùng độ lớn.

Nguồn dưới +q tạo trường lên phải. Nguồn trên phải âm để tạo trường lên trái. Do đó (a) $Q = - q$ .

(b) Nếu nguồn dưới âm, nó tạo trường xuống trái. Không có lựa chọn Q nào vừa triệt tiêu thành phần ngang vừa cho tổng hướng lên: Q dương chỉ tạo tổng hướng xuống khi hai độ lớn cân bằng. Vì vậy hướng đã vẽ không thể đạt.

Bài tập 21: 33 ••

Dây rất dài có mật độ $+ 8.00 μ C / m$ dọc trục x, trung điểm tại $x = 0$ . Dây rất dài thứ hai song song, ở $y = 10.0 cm$ , có mật độ $- 4.00 μ C / m$ và cũng có trung điểm tại $x = 0$ . Tại điểm nào trên trục y tổng trường bằng không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây ở y = 0 và y = 0,100 m, mật độ +8,00 và −4,00 µC/m.

Hướng đi:

Trường dây vô hạn giảm như nghịch đảo khoảng cách.
Giữa dây, hai trường cùng hướng nên không thể triệt tiêu.
Điểm cần tìm phải phía ngoài dây âm yếu hơn.

Với $y > 0.100$ m, hai trường trái chiều. Điều kiện cân bằng:

\begin{aligned} \frac{8}{y} & = \frac{4}{y - 0.100}, \\ 8 (y - 0.100) & = 4 y, \\ y & = 0.200 m . \end{aligned}

Phía y < 0 không có nghiệm trong miền đó.

Bài tập 21: 34 •

Hai trong Hình E21.34 có cùng độ lớn. Tìm hướng trường tại A ở trung điểm, B và C khi (a) cả hai âm, (b) cả hai dương, (c) $q_{1}$ dương và $q_{2}$ âm.

Hình E21.34: Hai nguồn nằm ngang, B và C trên trung trực

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: A là trung điểm, B ở trên, C ở dưới trên trung trực hai nguồn bằng độ lớn.

Hướng đi:

Ghép hai theo đối xứng.
Cùng dấu làm thành phần ngang triệt tiêu trên trung trực.
Trái dấu làm thành phần đứng triệt tiêu, thành phần ngang cùng hướng.

(a) Hai nguồn âm: Tại A trường bằng không; tại B hướng xuống; tại C hướng lên.

(b) Hai nguồn dương: Tại A bằng không; tại B hướng lên; tại C hướng xuống.

(c) Nguồn trái $q_{1}$ dương, nguồn phải $q_{2}$ âm: Trường tại A, B, C đều hướng phải, từ phía nguồn dương sang phía nguồn âm.

Bài tập 21: 35 •

$+ 2.00 nC$ đặt tại gốc, nguồn $- 5.00 nC$ tại $x = 0.800 m$ . (a) Tìm độ lớn và hướng trường trên trục x tại (i) $0.200 m$ , (ii) $1.20 m$ , (iii) $- 0.200 m$ . (b) Tìm tổng lực điện lên electron đặt ở mỗi điểm đó.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn +2,00 nC ở gốc và −5,00 nC ở 0,800 m; ba điểm trên x.

Hướng đi:

Dùng trường có dấu trên trục, rồi cộng.
Lực electron bằng −e nhân trường, nên ngược chiều kết quả E.

E_{x} (x) = k \sum_{i = 1}^{2} \frac{q_{i} (x - x_{i})}{| x - x_{i} |^{3}} .

Biểu thức là tổng hai số hạng, một cho mỗi nguồn. Kết quả:

x (m)	$E_{x}$ (N/C)	$F_{x}$ trên electron (N)
0,200	+574	$- 9.20 \times 10^{- 17}$
1,20	−268	$+ 4.30 \times 10^{- 17}$
−0,200	−404	$+ 6.48 \times 10^{- 17}$

Dấu mỗi thành phần chỉ chiều so với +x.

Bài tập 21: 36 ••

Lặp bài 21.35, nhưng đổi nguồn tại gốc thành $- 4.00 nC$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Như bài 21.35 nhưng nguồn gốc là −4,00 nC.

Hướng đi:

Giữ khoảng cách và chỉ thay dấu, độ lớn nguồn tại gốc.
Tính từng trường hướng về nguồn âm, rồi nhân tổng trường với −e để tìm lực electron.

x (m)	$E_{x}$ (N/C)	$F_{x}$ trên electron (N)
0,200	−774	$+ 1.24 \times 10^{- 16}$
1,20	−306	$+ 4.90 \times 10^{- 17}$
−0,200	+944	$- 1.51 \times 10^{- 16}$

Ở điểm giữa hai nguồn, các trường âm có hướng đối nhau; ở ngoài cả hai nguồn, chúng cùng hướng về hệ.

Bài tập 21: 37 •

Ba nguồn âm trên đường thẳng như Hình E21.37. Tìm độ lớn và hướng trường tại P, cách nguồn $- 2.00 μ C$ một khoảng vuông góc $6.00 cm$ .

Hình E21.37: Nguồn giữa âm 2,00 microcoulomb, hai nguồn ngoài âm 5,00 microcoulomb

Hình E21.37: Hai nguồn ngoài cách nguồn giữa $8.00 cm$ về hai phía; P ở bên phải nguồn giữa.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn giữa −2,00 µC, hai nguồn ngoài −5,00 µC; P cách nguồn giữa 6,00 cm, nguồn ngoài cách giữa 8,00 cm.

Hướng đi:

Hai nguồn ngoài cách P 10,0 cm và có thành phần đứng triệt tiêu.
Các thành phần ngang đều hướng về đường nguồn, nên cộng ba độ lớn ngang.

\begin{aligned} E & = k \frac{2.00 \times 10^{- 6}}{{0.0600}^{2}} + 2 k \frac{5.00 \times 10^{- 6}}{{0.100}^{2}} \frac{0.0600}{0.100} \\ = 1.04 \times 10^{7} N / C . \end{aligned}

Trường hướng từ P về nguồn giữa.

Bài tập 21: 38 ••

Mỗi đỉnh hình vuông cạnh a có một điểm, đều có độ lớn q. Hai điện tích dương và hai âm bố trí như Hình E21.38. Tìm hướng trường tại tâm và độ lớn theo q, a.

Hình E21.38: Hai đỉnh trên dương, hai đỉnh dưới âm

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn trên +q và hai nguồn dưới −q tại đỉnh hình vuông cạnh a.

Hướng đi:

Mỗi nguồn cách tâm $a / \sqrt{2}$ , tạo độ lớn $2 k q / a^{2}$ .
Thành phần ngang bù nhau; mỗi thành phần đứng hướng xuống và bằng độ lớn nhân $1 / \sqrt{2}$ .

\begin{aligned} E_{y} & = - 4 (\frac{2 k q}{a^{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}} \\ = - \frac{4 \sqrt{2} k q}{a^{2}} . \end{aligned}

Độ lớn $4 \sqrt{2} k q / a^{2}$ , hướng từ hai nguồn dương xuống hai nguồn âm.

Bài tập 21: 39 •

Hai nguồn cách $25.0 cm$ như Hình E21.39. Tìm tổng trường tại (a) A và (b) B. (c) Tìm độ lớn và hướng lực lên proton đặt tại A.

Hình E21.39: Hai nguồn âm 6,25 và 12,5 nanocoulomb, cùng các điểm A và B

Hình E21.39: A nằm giữa, cách nguồn phải $10.0 cm$ . B ở bên trái nguồn trái $10.0 cm$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn âm 6,25 nC và 12,5 nC cách 0,250 m; A cách nguồn phải 0,100 m, B bên trái nguồn trái 0,100 m.

Hướng đi:

Ở A, hai trường trái hướng, còn ở B cả hai hướng phải.
Proton dương chịu lực cùng chiều trường.

\begin{aligned} E_{A} & = \frac{k (12.5 \times 10^{- 9})}{{0.100}^{2}} - \frac{k (6.25 \times 10^{- 9})}{{0.150}^{2}} \\ = 8.74 \times 10^{3} N / C, \\ E_{B} & = \frac{k (6.25 \times 10^{- 9})}{{0.100}^{2}} + \frac{k (12.5 \times 10^{- 9})}{{0.350}^{2}} \\ = 6.54 \times 10^{3} N / C, \\ F_{A} & = e E_{A} = 1.40 \times 10^{- 15} N . \end{aligned}

Cả ba kết quả hướng phải.

Bài tập 21: 40 ••

$q_{1} = - 5.00 nC$ tại gốc, $q_{2} = + 3.00 nC$ tại $x = 3.00 cm$ . P trên trục y ở $y = 4.00 cm$ . (a) Tính ${\vec{E}}_{1}, {\vec{E}}_{2}$ tại P bằng đơn vị như Ví dụ 21.6. (b) Dùng kết quả để tìm tổng trường ở dạng vector đơn vị.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn −5,00 nC ở gốc, +3,00 nC ở (3,00 cm,0), P ở (0,4,00 cm).

Hướng đi:

Nguồn thứ nhất cho trường thẳng xuống.
Nguồn thứ hai cách P 5,00 cm, đơn vị đến P là $- 0.60 \hat{i} + 0.80 \hat{j}$ .
Dùng hình học 3–4–5 rồi cộng thành phần.

\begin{aligned} {\vec{E}}_{1} & = - (2.81 \times 10^{4}) \hat{j} N / C, \\ {\vec{E}}_{2} & = (- 6.47 \times 10^{3}) \hat{i} N / C + (8.63 \times 10^{3}) \hat{j} N / C, \\ \vec{E} & = (- 6.47 \times 10^{3}) \hat{i} N / C - (1.95 \times 10^{4}) \hat{j} N / C . \end{aligned}

Bài tập 21: 41 ••

Hai electron đều cách proton $1.50 \times 10^{- 10} m$ như Hình E21.41. Tìm độ lớn và hướng tổng lực chúng tác dụng lên proton.

Hình E21.41: Hai electron nhìn từ proton tạo góc 65,0 độ

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai electron cách proton cùng r, với góc giữa hai hướng hút 65,0°.

Hướng đi:

Hai lực có cùng độ lớn $F_{0} = k e^{2} / r^{2}$ .
Tổng nằm trên phân giác, thành phần vuông góc phân giác triệt tiêu.
Mỗi thành phần dọc phân giác là $F_{0} \cos {32.5}^{\circ}$ .

\begin{aligned} F_{0} & = k e^{2} / (1.50 \times 10^{- 10})^{2}, \\ F & = 2 F_{0} \cos {32.5}^{\circ} \\ = 1.73 \times 10^{- 8} N . \end{aligned}

Hướng về trung điểm hai electron.

Bài tập 21: 42 •• BIO: Điện trường của sợi trục thần kinh

Tín hiệu thần kinh truyền khi ion ${Na}^{+}$ đi vào sợi trục hình trụ dài. Đường kính sợi trục khoảng $10.0 μ m$ , và khoảng $5.6 \times 10^{11}$ ion trên mỗi mét, mỗi ion mang $+ e$ , đi vào trong quá trình này. không đi vào toàn chiều dài đồng thời, nên có thể dùng mô hình các điện tích điểm lan dọc sợi. Coi đoạn $0.10 mm$ là một điện tích điểm. (a) Điện tích vào đoạn đó bằng bao nhiêu nếu lượng trên mỗi mét phân bố đều? (b) Trường đột ngột do lượng này tại da có độ lớn và hướng nào nếu sợi trục nằm dưới da $5.00 cm$ ? (c) Một số cá mập cảm nhận được trường yếu đến $1.0 μ N / C$ . Chúng có thể ở cách đoạn này xa nhất bao nhiêu mà vẫn phát hiện trường?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đoạn sợi trục 0,10 mm nhận ion theo mật độ $5.6 \times 10^{11}$ ion/m; da cách 0,0500 m.

Hướng đi:

Tính đoạn rồi dùng mô hình nguồn điểm đã cho.
Giới hạn phát hiện tìm từ $E = k Q / r^{2}$ , vì đây là độ lớn trường ở xa đoạn nhỏ.

\begin{aligned} Q & = (5.6) (0.10) 10^{8} e \\ = 8.97 \times 10^{- 12} C, \\ E_{da} & = k Q / (0.0500)^{2} \\ = 32.3 N / C, \\ r_{max} & = \sqrt{k Q / (1.0 \times 10^{- 6})} \\ \approx 2.8 \times 10^{2} m . \end{aligned}

Trường tại da hướng ra xa sợi trục dương. Khoảng cách cuối là kết quả của mô hình một nguồn điểm trong môi trường đã lý tưởng hóa, không tự mô tả mọi ảnh hưởng của cơ thể và nước biển.

Bài tập 21: 43 •

Hai nguồn giống nhau $q = 6.00 \times 10^{- 9} C$ ở $(+ 0.150 m, 0)$ và $(- 0.150 m, 0)$ . Tìm thành phần x, y, độ lớn và hướng tổng trường tại (a) gốc, (b) $(0.300 m, 0)$ , (c) $(0.150 m, - 0.400 m)$ , (d) $(0, 0.200 m)$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn +6,00 nC đối xứng ở x = ±0,150 m.

Hướng đi:

Cộng $k q \vec{r} / r^{3}$ cho hai nguồn.
Ở trục đối xứng, một thành phần triệt tiêu.
Tại điểm không đối xứng, tính cả hai rồi lấy độ lớn và góc theo dấu thành phần.

Điểm	$E_{x}$ (N/C)	$E_{y}$ (N/C)	Độ lớn, hướng
a	0	0	Trường bằng không
b	2660	0	2660 N/C, +x
c	129	−510	526 N/C, $284^{\circ}$ từ +x
d	0	1380	1380 N/C, +y

Ví dụ ở d, mỗi khoảng cách là 0,250 m và mỗi thành phần đứng bằng $k q (0.200) / (0.250)^{3}$ ; cộng hai thành phần cho kết quả trên.

Bài tập 21: 44 ••

$q_{1} = - 4.00 nC$ ở $(0.600 m, 0.800 m)$ , $q_{2} = + 6.00 nC$ ở $(0.600 m, 0)$ . Tính độ lớn và hướng trường tổng tại gốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn âm ở (0,600;0,800) m, nguồn dương ở (0,600;0) m; cần trường gốc.

Hướng đi:

Trường nguồn âm hướng từ gốc về nó, còn nguồn dương hướng sang trái.
Nguồn âm cách 1,00 m nên đơn vị có thành phần 0,600 và 0,800.

\begin{aligned} E_{x} & = k (4.00 \times 10^{- 9}) (0.600) - \frac{k (6.00 \times 10^{- 9})}{{0.600}^{2}} \\ = - 128 N / C, \\ E_{y} & = k (4.00 \times 10^{- 9}) (0.800) \\ = 28.8 N / C . \end{aligned}

Độ lớn 131 N/C, góc ${167.4}^{\circ}$ ngược chiều kim đồng hồ từ +x.

Bài tập 21: 45 •

Ba mặt tích điện song song, đủ lớn để coi vô hạn, vuông góc trục x. A có $σ_{A} = + 8.00 nC / m^{2}$ . B cách A $4.00 cm$ về phải và có $σ_{B} = - 4.00 nC / m^{2}$ . C cách B $4.00 cm$ về phải, có $σ_{C} = + 6.00 nC / m^{2}$ . Tìm độ lớn và hướng trường tại trung điểm giữa B và C, cách mỗi mặt $2.00 cm$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm khảo sát nằm bên phải A và B, bên trái C.

Hướng đi:

Trường từng mặt vô hạn có độ lớn $| σ | / (2 ε_{0})$ , không phụ thuộc khoảng cách.
Chỉ dấu mật độ và phía của điểm quyết định chiều.

A dương cho trường phải, B âm cho trường trái, C dương cũng cho trường trái:

\begin{aligned} E_{A} & = \frac{8.00 \times 10^{- 9}}{2 ε_{0}}, \\ E_{B} & = - \frac{4.00 \times 10^{- 9}}{2 ε_{0}}, \\ E_{C} & = - \frac{6.00 \times 10^{- 9}}{2 ε_{0}}, \\ E_{x} & = E_{A} + E_{B} + E_{C} \\ = \frac{- 2.00 \times 10^{- 9}}{2 ε_{0}} \\ = - 113 N / C . \end{aligned}

Bài tập 21: 46 •

$q_{1} = - 5.00 nC$ tại $x = - 0.400 m$ , P tại $x = + 0.200 m$ , còn $q_{2}$ tại gốc. Tìm dấu và độ lớn $q_{2}$ để tổng trường ở P bằng không.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn âm ở −0,400 m, nguồn chưa biết tại gốc, P ở +0,200 m.

Hướng đi:

Nguồn âm tạo trường trái ở P.
Nguồn gốc phải dương để bù trường phải.
Hai độ lớn trường bằng nhau.

\begin{aligned} q_{2} & = (5.00 nC) \frac{{0.200}^{2}}{{0.600}^{2}} \\ = + 0.556 nC . \end{aligned}

Bài tập 21: 47 •

A ở $x = - 3.00 cm$ tạo độ lớn trường $2700 N / C$ tại $x = 1.00 cm$ . B ở $x = 5.00 cm$ có độ lớn điện tích gấp hai A. Tìm độ lớn và hướng tổng trường tại gốc khi (a) cả hai dương, (b) cả hai âm, (c) A dương, B âm, (d) A âm, B dương.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Biết trường A ở cách 4,00 cm là 2700 N/C; cần trường gốc cách A 3,00 cm, B 5,00 cm.

Hướng đi:

Sự phụ thuộc $1 / r^{2}$ cho độ lớn trường A tại gốc mà không cần tính q trước.
B có gấp hai, rồi cộng với dấu theo từng trường hợp.

\begin{aligned} E_{A} & = 2700 (4 / 3)^{2} \\ = 4800 N / C, \\ E_{B} & = 2 (2700) (4 / 5)^{2} \\ = 3456 N / C . \end{aligned}

(a) $E_{x} = + 1344$ N/C. (b) $E_{x} = - 1344$ N/C. (c) $E_{x} = + 8256$ N/C. (d) $E_{x} = - 8256$ N/C. Làm tròn lần lượt thành 1340 và 8260 N/C theo độ chính xác dữ kiện.

Bài tập 21: 48 ••

Dây thẳng rất dài có mật độ $3.20 \times 10^{- 10} C / m$ . Ở khoảng cách nào độ lớn trường là $2.50 N / C$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây rất dài có mật độ $3.20 \times 10^{- 10}$ C/m; E = 2,50 N/C.

Hướng đi:

Đây là dây dài, không phải điểm, nên E giảm theo $1 / r$ .

r = \frac{λ}{2 π ε_{0} E} = 2.30 m .

Bài tập 21: 49 •

Vòng dẫn bán kính $a = 2.50 cm$ có dương đều $Q = + 0.125 nC$ , tâm tại gốc như Hình 21.23. (a) Tìm độ lớn và hướng trường ở P trên trục x tại $x = 40.0 cm$ . (b) Đặt $q = - 2.50 μ C$ tại P. Tìm độ lớn và hướng lực q tác dụng lên vòng.

Hình 21.23: Phần điện tích nhỏ trên vòng và các thành phần trường tại P

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vòng bán kính 0,0250 m, Q = 0,125 nC; P trên trục ở 0,400 m.

Hướng đi:

Dùng trường trục vòng (21.8).
Lực vòng lên nguồn âm hướng về vòng, còn lực nguồn lên vòng phải đảo chiều theo Newton III.

\begin{aligned} E_{x} & = \frac{k Q x}{(x^{2} + a^{2})^{3 / 2}} \\ = 7.0 N / C, \\ F & = | q | E = 1.75 \times 10^{- 5} N . \end{aligned}

Cả trường tại P và lực lên vòng hướng +x.

Bài tập 21: 50 ••

Dây nhựa không dẫn điện dài $8.50 cm$ nằm trên mặt bàn ngang, có mật độ dài dương đều $175 nC / m$ . (a) Tìm độ lớn và hướng trường ở ngay trên trung điểm, cao $6.00 cm$ . (b) Uốn dây thành vòng nằm phẳng trên bàn. Tìm trường ở ngay trên tâm vòng, cao $6.00 cm$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây dài L = 0,0850 m, mật độ 175 nC/m; điểm cao x = 0,0600 m.

Hướng đi:

Dây thẳng dùng trường trên trung trực với $a = L / 2$ .
Uốn thành vòng không đổi tổng , nhưng bán kính thành $R = L / (2 π)$ , nên dùng công thức vòng.

\begin{aligned} Q & = λ L \\ = 1.4875 \times 10^{- 8} C, \\ E_{straight} & = \frac{k Q}{x \sqrt{x^{2} + (L / 2)^{2}}} \\ = 3.03 \times 10^{4} N / C, \\ E_{ring} & = \frac{k Q x}{(x^{2} + R^{2})^{3 / 2}} \\ = 3.45 \times 10^{4} N / C . \end{aligned}

Cả hai hướng thẳng đứng lên vì nguồn dương và điểm nằm trên đối xứng.

Mục 21.7: Lưỡng cực điện

Bài tập 21: 51 •

$q_{1} = - 4.5 nC$ và $q_{2} = + 4.5 nC$ cách $3.1 mm$ . (a) Tìm độ lớn và hướng . (b) Trường đều tạo góc ${36.9}^{\circ}$ với đường nối hai . Độ lớn trường bằng bao nhiêu nếu mômen lực là $7.2 \times 10^{- 9} N m$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai ±4,5 nC cách 3,1 mm; mômen lực $7.2 \times 10^{- 9}$ N·m ở góc 36,9°.

Hướng đi:

bằng qd, hướng từ âm đến dương.
Trường được tìm từ mômen lực $p E \sin φ$ , vì góc không vuông.

\begin{aligned} p & = (4.5) (3.1) 10^{- 12} \\ \approx 1.4 \times 10^{- 11} C m, \\ E & = τ / (p \sin {36.9}^{\circ}) \approx 860 N / C . \end{aligned}

Bài tập 21: 52 •

Phân tử ammonia ${NH}_{3}$ có mômen $5.0 \times 10^{- 30} C m$ , ở trạng thái khí trong trường đều $1.6 \times 10^{6} N / C$ . (a) Thế năng thay đổi bao nhiêu khi mômen từ song song chuyển sang vuông góc trường? (b) Ở nhiệt độ tuyệt đối T nào, động năng tịnh tiến trung bình $3 k_{B} T / 2$ bằng độ thay đổi thế năng ở (a)? Trên nhiệt độ ấy, chuyển động nhiệt cản sự định hướng lưỡng cực theo trường.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mômen $5.0 \times 10^{- 30}$ C·m trong trường $1.6 \times 10^{6}$ N/C, đổi từ song song sang vuông góc.

Hướng đi:

Tính chênh thế năng từ $U = - p E \cos φ$ .
So sánh với động năng nhiệt $3 k_{B} T / 2$ để tìm nhiệt độ đặc trưng.

\begin{aligned} Δ U & = 0 - (- p E) \\ = 8.0 \times 10^{- 24} J, \\ T & = 2 Δ U / (3 k_{B}) \\ = 0.39 K . \end{aligned}

Bài tập 21: 53 •: Mômen lực lên lưỡng cực

Lưỡng cực có mômen $\vec{p}$ nằm trong trường ngoài đều $\vec{E}$ . (a) Tìm các hướng làm mômen lực bằng không. (b) Hướng nào bền, hướng nào không bền? Gợi ý: Quay lệch một góc nhỏ khỏi cân bằng rồi xem xu hướng. (c) Chứng tỏ ở hướng , trường của chính lưỡng cực có xu hướng chống trường ngoài.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xét hướng cân bằng và trường riêng của lưỡng cực trong trường ngoài đều.

Hướng đi:

Mômen lực bằng $p E \sin φ$ , nên bằng không khi hai cùng hoặc ngược chiều.
Dấu mômen sau lệch nhỏ, hoặc cực trị thế năng, quyết định ổn định.

(a) $φ = 0$ hoặc $π$ modulo một vòng quay. (b) Cùng chiều là bền vì lệch nhỏ làm mômen kéo về; ngược chiều không bền vì lệch nhỏ làm mômen đẩy xa.

(c) Khi cùng chiều trường ngoài, trường riêng ở vùng giữa hai và trên trung trực đi từ +q sang −q, tức ngược $\vec{p}$ và ngược trường ngoài. Cần phân biệt vùng này với vùng ngoài trên trục lưỡng cực, nơi trường riêng có thể cùng chiều trường ngoài.

Bài tập 21: 54 •

Phân tử nước có mômen $6.17 \times 10^{- 30} C m$ , đặt tại gốc và hướng $+ x$ . Ion clo ${Cl}^{-}$ mang $- 1.60 \times 10^{- 19} C$ tại $x = 3.00 \times 10^{- 9} m$ . Tìm độ lớn, hướng và tính hút hay đẩy của lực phân tử nước lên ion. Giả sử x lớn hơn nhiều khoảng cách d của hai trong lưỡng cực, để dùng gần đúng Ví dụ 21.14.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nước có p dọc +x; ion clo âm ở xa trên trục x dương.

Hướng đi:

Vì $x ≫ d$ , dùng trường trục xa $E = 2 k p / x^{3}$ .
Trường hướng +x, nên ion âm chịu lực −x.

F = \frac{2 k e p}{x^{3}} = 6.58 \times 10^{- 13} N .

Lực hướng về phân tử nước, là lực hút.

Bài tập 21: 55 •

Ba ở các đỉnh tam giác cân như Hình E21.55. Hai nguồn $\pm 5.00 μ C$ tạo lưỡng cực. (a) Tìm độ lớn và hướng lực nguồn $- 10.00 μ C$ tác dụng lên cả lưỡng cực. (b) Tìm độ lớn và hướng mômen lực quanh trục vuông góc đường nối hai nguồn lưỡng cực tại trung điểm của đường đó.

Hình E21.55: Hai nguồn lưỡng cực cách 3,00 centimét và đều cách nguồn thứ ba 2,00 centimét

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn ±5,00 µC cách 0,0300 m, nguồn −10,00 µC cách mỗi đầu 0,0200 m.

Hướng đi:

Hai lực lên đầu lưỡng cực cùng độ lớn $F_{0}$ .
Thành phần ngang bù nhau, thành phần đứng cùng hướng từ đầu dương xuống đầu âm.
Mômen quanh trung điểm dùng khoảng cách ngang h của nguồn thứ ba.

\begin{aligned} F_{0} & = k \frac{(10.00) (5.00) 10^{- 12}}{{0.0200}^{2}}, \\ F_{y} & = - 2 F_{0} (0.0150 / 0.0200) \\ = - 1.68 \times 10^{3} N, \\ h & = \sqrt{{0.0200}^{2} - {0.0150}^{2}}, \\ τ & = 2 F_{0} (h / 0.0200) (0.0150) \\ = 22.3 N m . \end{aligned}

Mômen quay theo chiều kim đồng hồ, hướng vào mặt hình.

Bài tập 21: 56 •

Lưỡng cực có độ lớn mômen p được đặt ở các hướng khác nhau trong trường $\vec{E}$ hướng trái. (a) Hướng nào cho mômen lực lớn nhất hướng vào mặt hình? Thế năng khi đó bằng bao nhiêu? (b) Hướng nào cho mômen lực bằng không và thế năng lớn nhất? Cân bằng đó là bền, không bền hay phiếm định?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường hướng trái, cần định hướng lưỡng cực cho mômen vào hình cực đại hoặc thế năng cực đại.

Hướng đi:

Dùng để chọn chiều mômen và để tính thế năng.
Mômen cực đại khi vuông góc trường.

(a) Cho $\vec{p}$ hướng xuống. Khi ấy $\vec{p} \times \vec{E}$ hướng vào hình, có độ lớn pE; thế năng bằng không.

(b) Cho $\vec{p}$ hướng phải, ngược trường. Mômen bằng không, $U = + p E$ lớn nhất, nên .

Bài tập tổng hợp

Bài tập 21: 57 •••

Bốn nguồn giống nhau Q đặt tại các đỉnh hình vuông cạnh L. (a) Vẽ mọi lực tác dụng lên một nguồn. (b) Tìm độ lớn và hướng tổng lực do ba nguồn còn lại lên nguồn đó.

Lời giải: Chi tiết

Ba lực đẩy trên một điện tích ở đỉnh hình vuông Tóm tắt đề bài: Bốn nguồn Q tại đỉnh vuông cạnh L, xét một đỉnh.

Hướng đi:

Hai nguồn kề gây lực dọc hai cạnh, mỗi lực $F_{0} = k Q^{2} / L^{2}$ .
Nguồn chéo cách $L \sqrt{2}$ gây lực $F_{0} / 2$ dọc đường chéo.
Đối xứng làm tổng nằm trên đường chéo hướng ra xa tâm.

\begin{aligned} F & = \sqrt{2} F_{0} + F_{0} / 2 \\ = \frac{k Q^{2}}{L^{2}} (\sqrt{2} + \frac{1}{2}) . \end{aligned}

Sơ đồ lực gồm hai mũi tên theo hai cạnh ra ngoài và một mũi tên theo đường chéo ra ngoài. Không gộp chúng trước khi thể hiện từng nguồn.

Ba lực đẩy trên một điện tích ở đỉnh hình vuông

Bài tập 21: 58 •••

Nguồn $2.50 μ C$ ở gốc và nguồn $- 3.50 μ C$ ở $x = 0.600 m$ , như Hình P21.58. Tìm vị trí trên trục x mà tổng lực lên nhỏ $+ q$ bằng không.

Hình P21.58: Hai nguồn trái dấu cách 0,600 mét

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: +2,50 µC tại gốc, −3,50 µC tại 0,600 m.

Hướng đi:

Giữa hai nguồn trái dấu, hai trường cùng hướng nên không có điểm không trường.
Điểm phải nằm ngoài về phía nguồn yếu hơn, tức x < 0.

Đặt $r = - x > 0$ , khoảng cách đến nguồn âm là $r + 0.600$ :

\begin{aligned} 2.50 / r^{2} & = 3.50 / (r + 0.600)^{2}, \\ \frac{r + 0.600}{r} & = \sqrt{3.50 / 2.50}, \\ x & = - \frac{0.600}{\sqrt{3.50 / 2.50} - 1} \\ = - 3.27 m . \end{aligned}

Bài tập 21: 59 ••

$q_{1} = + 5.00 nC$ tại gốc và $q_{2} = - 2.00 nC$ tại $x = 4.00 cm$ . (a) Đặt $q_{3} = + 6.00 nC$ ở $(4.00 cm, 3.00 cm)$ , tìm thành phần x và y của tổng lực lên nó. (b) Tìm độ lớn và hướng lực đó.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn cần xét +6,00 nC ở (4,00;3,00) cm; nguồn gốc dương và nguồn tại (4,00;0) cm âm.

Hướng đi:

Nguồn gốc cách 5,00 cm đẩy theo đơn vị (4/5,3/5).
Nguồn âm phía dưới cách 3,00 cm chỉ hút xuống.
Cộng thành phần rồi lấy độ lớn.

\begin{aligned} F_{x} & = \frac{k (5.00) (6.00) 10^{- 18}}{{0.0500}^{2}} \frac{4}{5} \\ = 8.63 \times 10^{- 5} N, \\ F_{y} & = \frac{k (5.00) (6.00) 10^{- 18}}{{0.0500}^{2}} \frac{3}{5} - \frac{k (2.00) (6.00) 10^{- 18}}{{0.0300}^{2}} \\ = - 5.52 \times 10^{- 5} N . \end{aligned}

Độ lớn $1.02 \times 10^{- 4}$ N, hướng ${32.6}^{\circ}$ dưới +x.

Bài tập 21: 60 •• CP

Hai cầu giống nhau khối lượng m treo bằng dây lụa dài L như Hình P21.60, có $q_{1} = q_{2} = q$ . Bán kính cầu rất nhỏ so với khoảng cách nên coi là điểm. Chứng tỏ khi góc $θ$ nhỏ, khoảng cách cân bằng là:

d = {(\frac{q^{2} L}{2 π ε_{0} m g})}^{1 / 3} .

Gợi ý: Với góc nhỏ, $\tan θ \approx \sin θ$ .

Hình P21.60: Hai cầu cùng điện tích treo từ một điểm và đẩy nhau
Chú thích:
Khối lượng m (mass m)
Điện tích q₁ (charge q1)
Điện tích q₂ (charge q2)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai cầu bằng nhau treo từ một điểm, khoảng cách d và góc lệch nhỏ θ.

Hướng đi:

Cân bằng đứng cho $T \cos θ = m g$ , ngang cho $T \sin θ = k q^{2} / d^{2}$ .
Chia hai phương trình để bỏ lực căng, rồi dùng hình học d = 2L sinθ và gần đúng góc nhỏ.

\begin{aligned} \tan θ & = \frac{k q^{2}}{m g d^{2}}, \\ \frac{d}{2 L} & \approx \tan θ, \\ d^{3} & = \frac{2 k q^{2} L}{m g}, \\ d & = {(\frac{q^{2} L}{2 π ε_{0} m g})}^{1 / 3} . \end{aligned}

Không dùng gần đúng này nếu góc lớn.

Bài tập 21: 61 ••• CP

Hai cầu nhỏ $m = 15.0 g$ treo từ cùng điểm bằng dây lụa $L = 1.20 m$ , như Hình P21.60. Cho hai cầu âm bằng nhau q, mỗi dây lệch ${25.0}^{\circ}$ so với phương thẳng đứng. (a) Vẽ lực trên mỗi cầu, coi cầu là điểm. (b) Tìm độ lớn q. (c) Rút cả hai dây còn $0.600 m$ , giữ điện tích không đổi. Góc lệch mới bằng bao nhiêu? Có thể giải số bằng cách thử và điều chỉnh góc đến khi phương trình tự nhất quán.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khối lượng m = 0,0150 kg, L = 1,20 m, θ = 25,0°, sau đó L giảm còn 0,600 m.

Hướng đi:

Góc 25° không đủ nhỏ để thay sin bằng tan.
Dùng hai phương trình cân bằng chính xác và d = 2L sinθ.

\begin{aligned} q^{2} & = \frac{m g (2 L \sin θ)^{2} \tan θ}{k}, \\ | q | & = 2.80 μ C . \end{aligned}

Sơ đồ mỗi cầu gồm mg xuống, T dọc dây lên và lực điện ngang ra ngoài. Giữ q, m không đổi khi thay L:

\sin^{2} θ_{2} \tan θ_{2} = \frac{L_{1}^{2}}{L_{2}^{2}} \times \sin^{2} θ_{1} \tan θ_{1} .

Thế $L_{1} / L_{2} = 2$ và giải phương trình đơn điệu trên $(0, π / 2)$ cho $θ_{2} \approx {39.5}^{\circ}$ .

Bài tập 21: 62 •• CP

Cầu nhỏ mang $q = 5.00 μ C$ , khối lượng $0.500 g$ , đang đi ngang về đông ở độ cao $60.0 cm$ so với đất. Khi vào vùng đều có độ lớn E, tốc độ là $2.00 m / s$ . Tìm E nếu tốc độ ngay trước khi chạm đất là $5.00 m / s$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu q = 5,00 µC, m = 0,500 g, cao 0,600 m, ban đầu bay ngang 2,00 m/s và chạm đất ở 5,00 m/s.

Hướng đi:

Định lý công–động năng chỉ xác định công điện, còn độ lớn E cần biết cả hướng trường và độ dời theo hướng đó.
Đề chưa nêu hướng trường, nên không có một giá trị E duy nhất từ dữ kiện hiện có.

Ví dụ, nếu trường hướng thẳng xuống, gia tốc xuống là $g + q E / m$ :

\begin{aligned} E & = \frac{m}{q} [\frac{v_{f}^{2} - v_{0}^{2}}{2 h} - g] \\ = 770 N / C . \end{aligned}

Nếu trường nằm ngang hướng đông, thời gian rơi là $t = \sqrt{2 h / g}$ , vận tốc đứng cuối có bình phương $2 g h$ . Khi đó:

\begin{aligned} v_{x f} & = \sqrt{v_{f}^{2} - 2 g h}, \\ E & = \frac{m (v_{x f} - v_{0})}{q t} \\ = 468 N / C . \end{aligned}

Hai mô hình đều đạt tốc độ cuối đã cho nhưng cho E khác nhau, chứng minh cần bổ sung hướng trường trước khi chọn đáp số.

Bài tập 21: 63 •• CP

Quả cầu nhựa $12.3 g$ được buộc bằng dây rất nhẹ dài $28.6 cm$ vào tường đứng, như Hình P21.63. Trong phòng có trường đều nằm ngang. Cho cầu dư $- 1.11 μ C$ , nó đứng yên với dây lệch ${17.4}^{\circ}$ so với tường. Tìm độ lớn và hướng trường.

Hình P21.63: Cầu âm đứng yên với dây lệch 17,4 độ khỏi tường

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu âm −1,11 µC nặng 12,3 g, dây lệch 17,4° về phía phải tường.

Hướng đi:

Lực điện phải ngang ra khỏi tường.
Cân bằng hai thành phần lực căng cho $| q | E = m g \tan θ$ .
Vì q âm, trường ngược lực điện.

\begin{aligned} E & = \frac{(0.0123) (9.8) \tan {17.4}^{\circ}}{1.11 \times 10^{- 6}} \\ = 3.41 \times 10^{4} N / C . \end{aligned}

Trường hướng trái, về phía tường. Chiều dài dây không đi vào cân bằng lực ở góc đã cho.

Bài tập 21: 64 •• CP

Cầu nhỏ dương q, khối lượng m được thả từ nghỉ trong trường đều hướng lên có độ lớn E, đủ để cầu đi lên. Thời gian đi lên quãng d bằng bao nhiêu theo q, m, d, E và g?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu dương từ nghỉ, trường đều lên, tổng gia tốc lên.

Hướng đi:

Lực điện và trọng lực ngược nhau.
cho $a = (q E - m g) / m$ , rồi động học với vận tốc đầu bằng không.

t = \sqrt{\frac{2 d}{a}} = \sqrt{\frac{2 m d}{q E - m g}} .

Điều kiện $q E > m g$ chính là điều kiện cầu gia tốc lên. Nếu bằng nhau, cầu từ nghỉ không đi lên.

Bài tập 21: 65 ••

Cọ bóng bay lên tóc làm electron chuyển sang bóng, khiến bóng âm. Gần trần, electron dư của bóng đẩy electron trong trần, tạo phía dương gần bóng hơn. Mô hình tương tác bằng hai điểm bằng nhau về độ lớn và trái dấu, cách $500 μ m$ , bỏ điện tích âm xa hơn trong trần. (a) Với bóng thường nặng $4 g$ , ước lượng điện tích tối thiểu để bám trần. (b) Vì bóng dễ bám sau cọ xát, giả sử điện tích đạt gấp 10 giá trị tối thiểu. Ước lượng số electron đã chuyển sang bóng.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bóng 4 g được giữ bởi hai trái dấu bằng độ lớn, cách 500 µm.

Hướng đi:

tối thiểu khi lực hút vừa bằng trọng lượng.
Đây là ước lượng nên giữ độ chính xác tương ứng giả thiết khối lượng và khoảng cách.

\begin{aligned} q_{min} & = \sqrt{m g d^{2} / k} \\ \approx 1.0 nC, \\ N & = 10 q_{min} / e \\ \sim 6 \times 10^{10} . \end{aligned}

Electron chuyển sang bóng tạo âm; phần trần gần bóng có điện tích hưởng ứng dương.

Bài tập 21: 66 ••

Một xu Mỹ nặng $2.5 g$ gồm $97.5 %$ kẽm và $2.5 %$ đồng. (a) Gần đúng xu là kẽm nguyên chất, khối lượng mol $65.38 g / mol$ và 30 electron mỗi nguyên tử, ước lượng tổng số electron. (b) Ước lượng tổng electron. (c) Proton có điện tích tổng dương cùng độ lớn. Ước lượng lực giữa hai vật mang độ lớn điện tích đó, cách $2 cm$ . (d) Ước lượng số lá trên cây sồi cao $60 ft$ . (e) Một rừng gồm những cây đó theo lưới vuông, mỗi cây cách cây bên cạnh $10 m$ , cần rộng bao nhiêu để số lá bằng số electron trong một xu? (f) So sánh diện tích ấy với diện tích bề mặt Trái Đất.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xu 2,5 g gần đúng là kẽm; cần nối số electron với ước lượng diện tích rừng.

Hướng đi:

Số nguyên tử từ khối lượng mol, mỗi nguyên tử có 30 electron.
Sau đó dùng tổng cho Coulomb.
Phần rừng là bài ước lượng, cần nêu số lá giả định mỗi cây.

\begin{aligned} N_{e} & = 30 \frac{2.5}{65.38} N_{A} \\ \approx 6.9 \times 10^{23}, \\ Q_{e} & = - N_{e} e \\ \approx - 1.1 \times 10^{5} C, \\ F & = \frac{k Q_{e}^{2}}{(0.02)^{2}} \\ \approx 2.8 \times 10^{23} N . \end{aligned}

Với cây cao 60 ft, lấy ước lượng $5 \times 10^{4}$ lá mỗi cây. Cần khoảng $1.4 \times 10^{19}$ cây. Mỗi cây chiếm ô 100 m², nên rừng rộng khoảng $1.4 \times 10^{21}$ m². So với diện tích Trái Đất $4 π R_{E}^{2} \approx 5.1 \times 10^{14}$ m², lớn hơn khoảng $2.7 \times 10^{6}$ lần. Thay giả thiết số lá làm thay đổi phần ước lượng cuối, không thay đổi số electron của xu.

Bài tập 21: 67 ••

Hai hạt có $q_{1} = 0.500 nC$ và $q_{2} = 8.00 nC$ cách $1.20 m$ . Tại điểm nào trên đường nối chúng tổng trường bằng không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn dương 0,500 nC và 8,00 nC cách 1,20 m.

Hướng đi:

Chỉ giữa hai nguồn mới có hai trường đối hướng.
Gọi x là khoảng cách từ nguồn nhỏ, cân bằng hai độ lớn rồi lấy căn.

\begin{aligned} \frac{0.500}{x^{2}} & = \frac{8.00}{(1.20 - x)^{2}}, \\ 1.20 - x & = 4 x, \\ x & = 0.240 m . \end{aligned}

Bài tập 21: 68 ••

Nguồn $- 3.00 nC$ ở $x = 1.20 m$ , nguồn Q ở $x = - 0.600 m$ . Q có dấu và độ lớn nào để tổng trường tại gốc là (a) $45.0 N / C$ hướng $+ x$ hoặc (b) cùng độ lớn hướng $- x$ ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn âm −3,00 nC bên phải tạo trường phải tại gốc; Q nằm bên trái.

Hướng đi:

Trường nguồn đã biết tại gốc là +18,7 N/C.
Nguồn Q phải bổ sung trường để đạt thành phần mục tiêu ±45,0 N/C.

Q = \frac{(E_{*} - 18.7) (0.600)^{2}}{k} .

Ở đây $E_{*}$ là thành phần trường mục tiêu. (a) Với $E_{*} = + 45.0$ N/C, $Q = + 1.05$ nC. (b) Với $E_{*} = - 45.0$ N/C, $Q = - 2.55$ nC. Dấu đã được suy ra bằng trường có dấu, không lấy giá trị tuyệt đối trước khi cộng.

Bài tập 21: 69 •••

$+ Q$ ở gốc, $+ 4 Q$ trên trục x cách gốc d. thứ ba q phải đặt ở đâu, có dấu và độ lớn nào để cả ba cùng cân bằng?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: +Q ở 0, +4Q ở d; cần cả ba cân bằng.

Hướng đi:

Nguồn thứ ba phải âm và nằm giữa để hút hai nguồn ngoài ngược lực đẩy của chúng.
Vị trí phải là điểm trường không do hai nguồn ngoài, rồi độ lớn q từ cân bằng một nguồn ngoài.

\begin{aligned} Q / x^{2} & = 4 Q / (d - x)^{2}, \\ x & = d / 3, \\ \frac{k Q | q |}{(d / 3)^{2}} & = \frac{4 k Q^{2}}{d^{2}}, \\ q & = - 4 Q / 9. \end{aligned}

Thế giá trị này cũng cân bằng nguồn 4Q. Cân bằng lực không tự bảo đảm .

Bài tập 21: 70 ••

Nguồn $- 3.00 nC$ ở gốc, nguồn $2.00 nC$ ở $(0, 4.00 cm)$ . (a) Đặt nguồn thứ ba $5.00 nC$ tại $(3.00 cm, 4.00 cm)$ , tìm thành phần x và y của tổng lực lên nó. (b) Tìm độ lớn và hướng lực.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn cần xét +5,00 nC ở (3,00;4,00) cm, nguồn gốc âm và nguồn trên y dương.

Hướng đi:

Nguồn gốc hút theo hướng (−3/5,−4/5), khoảng cách 5,00 cm.
Nguồn dương ở cùng y đẩy sang phải, khoảng cách 3,00 cm.

\begin{aligned} F_{x} & = - \frac{3}{5} \frac{k (3.00) (5.00) 10^{- 18}}{{0.0500}^{2}} + \frac{k (2.00) (5.00) 10^{- 18}}{{0.0300}^{2}} \\ = 6.75 \times 10^{- 5} N, \\ F_{y} & = - \frac{4}{5} \frac{k (3.00) (5.00) 10^{- 18}}{{0.0500}^{2}} \\ = - 4.31 \times 10^{- 5} N . \end{aligned}

Độ lớn $8.01 \times 10^{- 5}$ N, góc ${32.6}^{\circ}$ dưới +x.

Bài tập 21: 71 •

Ba nguồn điểm giống nhau q ở ba đỉnh hình vuông cạnh L. Tìm độ lớn và hướng tổng lực lên $- 3 q$ đặt (a) tại tâm hoặc (b) tại đỉnh còn trống. Trong mỗi trường hợp, vẽ sơ đồ lực do từng nguồn.

Lời giải: Chi tiết

Các lực hút lên −3q tại tâm và tại đỉnh còn trống Tóm tắt đề bài: Ba nguồn q ở ba đỉnh, nguồn −3q ở tâm hoặc đỉnh trống.

Hướng đi:

Sơ đồ lực có ba lực hút về từng nguồn.
Tại tâm, dùng đối xứng của bốn đỉnh đầy đủ rồi bỏ lực của đỉnh trống.
Tại đỉnh trống, hai lực theo cạnh cộng thành đường chéo và lực nguồn chéo cùng hướng.

(a) Mỗi lực tại tâm có độ lớn $6 k q^{2} / L^{2}$ . Tổng ba lực bằng âm lực đỉnh bị bỏ, nên hướng ra xa đỉnh trống với cùng độ lớn ấy.

(b) Hai lực cạnh có độ lớn $3 k q^{2} / L^{2}$ , lực chéo bằng nửa giá trị đó:

F = \frac{3 k q^{2}}{L^{2}} (\sqrt{2} + \frac{1}{2}) .

Hướng về tâm hình vuông.

Các lực hút lên −3q tại tâm và tại đỉnh còn trống

Bài tập 21: 72 •••

Giữ hai nguồn $q_{1}, q_{2}$ cách $4.50 cm$ . Nguồn $Q = - 1.75 μ C$ , khối lượng $5.00 g$ , ban đầu cách mỗi nguồn $3.00 cm$ như Hình P21.72, được thả từ nghỉ. Gia tốc đầu của Q là $324 m / s^{2}$ hướng lên, song song đường nối $q_{1}, q_{2}$ . Tìm $q_{1}, q_{2}$ .

Hình P21.72: Nguồn Q ở trên trung trực, gia tốc đầu hướng lên

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q âm ở bên trái trung trực, cách hai nguồn 0,0300 m; nguồn trên $q_{1}$ , nguồn dưới $q_{2}$ cách 0,0450 m.

Hướng đi:

Gia tốc chỉ lên nghĩa là hai thành phần ngang triệt tiêu.
Hai khoảng cách bằng nhau nên $q_{2} = - q_{1}$ .
Q âm phải bị hút về nguồn trên dương và bị nguồn dưới âm đẩy lên.

Góc mỗi lực có thành phần đứng bằng $0.0225 / 0.0300$ lần độ lớn. Do đó:

\begin{aligned} m a & = 2 \frac{k | Q | q_{1}}{r^{2}} \frac{0.0225}{r}, \\ q_{1} & = + 6.18 \times 10^{- 8} C, \\ q_{2} & = - 6.18 \times 10^{- 8} C . \end{aligned}

Bài tập 21: 73 •• CP: Độ mạnh lực điện

Tưởng tượng hai túi proton, mỗi túi $1.0 g$ , đặt ở hai cực bắc và nam Trái Đất. (a) Mỗi túi có bao nhiêu proton? (b) Tính lực hút hấp dẫn và lực đẩy điện giữa chúng. (c) Những lực ấy có đủ để cảm nhận nếu cầm một túi không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mỗi túi proton 0,0010 kg, cách nhau một đường kính Trái Đất.

Hướng đi:

Số proton bằng m chia khối lượng proton.
túi bằng Ne.
Lực điện và hấp dẫn đều dùng cùng khoảng cách $2 R_{E}$ , nhưng phụ thuộc hoặc khối lượng khác nhau.

\begin{aligned} N & = m / m_{p} \approx 6.0 \times 10^{23}, \\ F_{g} & = G m^{2} / (2 R_{E})^{2} \\ \approx 4.1 \times 10^{- 31} N, \\ F_{e} & = k (N e)^{2} / (2 R_{E})^{2} \\ \approx 5.1 \times 10^{5} N . \end{aligned}

Lực điện rất dễ cảm nhận, lực hấp dẫn giữa hai túi không thể cảm nhận trực tiếp.

Bài tập 21: 74 ••• CP

Hai cầu rất nhỏ $6.80 mg$ có cùng độ lớn $72.0 nC$ nhưng trái dấu, treo từ cùng móc trần bằng dây nhẹ dài $0.530 m$ . Bật trường đều nằm ngang hướng trái, hai cầu đứng yên với góc giữa dây ${58.0}^{\circ}$ như Hình P21.74. (a) Cầu bên phải hay bên trái mang điện dương? (b) Độ lớn E bằng bao nhiêu?

Hình P21.74: Hai cầu trái dấu trong điện trường hướng trái

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai cầu trái dấu treo với nửa góc giữa dây 29,0°, trường hướng trái.

Hướng đi:

Trường phải kéo hai cầu ra ngoài để thắng lực hút giữa chúng.
Vì vậy cầu trái dương, cầu phải âm.
Cân bằng ngang của một cầu gồm lực trường ra ngoài, lực hút Coulomb vào trong và thành phần lực căng vào trong.

\begin{aligned} d & = 2 L \sin {29.0}^{\circ}, \\ q E & = m g \tan {29.0}^{\circ} + k q^{2} / d^{2}, \\ E & = 2.96 \times 10^{3} N / C . \end{aligned}

Bài tập 21: 75 •• CP

Trong mô hình nguyên tử hydrogen, electron chuyển động tròn bán kính $5.29 \times 10^{- 11} m$ quanh proton đứng yên. Tốc độ electron bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron tròn bán kính $5.29 \times 10^{- 11}$ m quanh proton đứng yên.

Hướng đi:

Lực Coulomb đóng vai trò lực hướng tâm, nên $k e^{2} / r^{2} = m_{e} v^{2} / r$ .
Không cộng thêm một “lực hướng tâm” khác vào Coulomb.

v = \sqrt{\frac{k e^{2}}{m_{e} r}} = 2.19 \times 10^{6} m / s .

Bài tập 21: 76 ••• CP

Đĩa bán kính R với mật độ mặt dương đều $σ$ nằm ngang trên bàn. Cầu nhựa nhỏ khối lượng M, dương Q lơ lửng đứng yên trên tâm nhờ lực đẩy Coulomb. (a) Tìm lực hướng lên tổng cộng theo độ cao z. (b) Độ cao cân bằng h bằng bao nhiêu? Biểu diễn theo hằng số không $ω = 2 ε_{0} M g / (Q σ)$ . (c) Với $M = 100 g$ , $Q = 1 μ C$ , $R = 5 cm$ và $σ = 10 nC / {cm}^{2}$ , h bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu dương trên trục đĩa dương, cần cân bằng với trọng lực.

Hướng đi:

Trường đĩa cho lực điện hướng lên; trừ trọng lực để có tổng lực.
Cân bằng là tổng bằng không, rồi giải theo h với tham số không đã cho.

\begin{aligned} F_{z} (z) & = \frac{Q σ}{2 ε_{0}} - \frac{Q σ z}{2 ε_{0} \sqrt{z^{2} + R^{2}}} - M g, \\ \frac{h}{\sqrt{h^{2} + R^{2}}} & = 1 - ω, \\ h & = \frac{R (1 - ω)}{\sqrt{ω (2 - ω)}} . \end{aligned}

Độ cao dương hữu hạn cần $0 < ω < 1$ . Với dữ kiện, $ω = 0.174$ và $h = 0.0734$ m, khoảng 7,34 cm.

Bài tập 21: 77 •• CP

Proton được phóng vào trường đều hướng thẳng đứng lên có độ lớn E. Vận tốc đầu có độ lớn $v_{0}$ , hợp với phương ngang góc $α$ hướng xuống. (a) Tìm độ hạ thấp cực đại $h_{max}$ so với độ cao đầu, bỏ trọng lực. (b) Sau quãng ngang d nào proton trở lại độ cao đầu? (c) Phác quỹ đạo. (d) Tính $h_{max}, d$ với $E = 500 N / C$ , $v_{0} = 4.00 \times 10^{5} m / s$ , $α = {30.0}^{\circ}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Proton ban đầu đi chếch xuống, trường đều hướng lên, bỏ trọng lực.

Hướng đi:

Gia tốc đứng là $a = e E / m_{p}$ , vận tốc ngang giữ nguyên.
Dùng động học đứng cho độ hạ thấp cực đại và thời gian trở về cùng độ cao.

\begin{aligned} v_{0 x} & = v_{0} \cos α, \\ v_{0 y} & = - v_{0} \sin α, \\ h_{max} & = \frac{m v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 e E}, \\ t_{ret} & = \frac{2 m v_{0} \sin α}{e E}, \\ d & = \frac{m v_{0}^{2} \sin 2 α}{e E} . \end{aligned}

Quỹ đạo parabol cong lên. Số cụ thể là $h_{max} = 0.418$ m và d = 2,89 m.

Bài tập 21: 78 •••

Vật nhỏ khối lượng m, q, tốc độ đầu $5.00 \times 10^{3} m / s$ được phóng vào trường giữa bản kim loại song song dài $26.0 cm$ như Hình P21.78. Trường hướng xuống, độ lớn $800 N / C$ , bằng không ngoài bản. Khoảng cách hai bản đủ lớn để vật không chạm bản dưới. Sau khi qua trường, vật lệch xuống $d = 1.25 cm$ và đến bản thu cách mép ra $56.0 cm$ . Bỏ trọng lực và lực cản. Tính tỷ số q/m.

Hình P21.78: Vật bị lệch trong trường rồi bay đến bản thu

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vật qua bản dài L = 0,260 m rồi bay tự do thêm D = 0,560 m, lệch xuống d = 0,0125 m.

Hướng đi:

Vận tốc ngang không đổi.
Độ lệch có hai phần: Gia tốc trong bản và chuyển động đứng đều sau bản.
Phải cộng cả hai, không coi tổng quãng đường đều có trường.

\begin{aligned} t_{1} & = L / v_{0}, \\ t_{2} & = D / v_{0}, \\ d & = \frac{1}{2} a t_{1}^{2} + (a t_{1}) t_{2}, \\ a & = q E / m, \\ q / m & = \frac{2 d v_{0}^{2}}{E L (L + 2 D)} \\ = 2.18 \times 10^{3} C / kg . \end{aligned}

Vật lệch cùng hướng trường xuống nên q dương.

Bài tập 21: 79 •• CALC

Q dương phân bố đều trên trục x từ 0 đến a. Nguồn dương q tại $x = a + r$ , cách đầu đoạn r như Hình P21.79. (a) Tính $E_{x}, E_{y}$ do Q tại các điểm trục x với $x > a$ . (b) Tính độ lớn và hướng lực Q lên q. (c) Chứng tỏ với $r ≫ a$ , độ lớn lực gần bằng $Q q / (4 π ε_{0} r^{2})$ và giải thích.

Hình P21.79: Điện tích đều trên đoạn trục x và điện tích điểm ở bên phải

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q đều trên 0 ≤ ξ ≤ a; điểm khảo sát x > a.

Hướng đi:

Phần nguồn $d Q = (Q / a) d ξ$ cách điểm trường $x - ξ$ .
Mọi trường đều hướng +x, nên một thành phần.
Dùng ξ cho tọa độ nguồn để không lẫn với x của điểm khảo sát.

\begin{aligned} E_{x} & = \frac{k Q}{a} \int_{0}^{a} \frac{d ξ}{(x - ξ)^{2}} \\ = \frac{k Q}{a} (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x}), \\ E_{y} & = 0. \end{aligned}

Tại x = a + r:

\begin{aligned} \vec{F} & = \frac{k Q q}{a} (\frac{1}{r} - \frac{1}{r + a}) \hat{i} \\ = \frac{k Q q}{r (r + a)} \hat{i} . \end{aligned}

Khi r ≫ a, $r + a \approx r$ nên lực gần $k Q q / r^{2}$ , vì đoạn nhìn từ xa gần như một nguồn điểm.

Bài tập 21: 80 •• CALC

Q dương phân bố đều trên trục y từ 0 đến a. Nguồn điểm $- q$ trên trục x dương cách gốc x, như Hình P21.80. (a) Tính $E_{x}, E_{y}$ do Q tại điểm trục x dương. (b) Tính $F_{x}, F_{y}$ lên $- q$ . (c) Chứng tỏ khi $x ≫ a$ :

\begin{aligned} F_{x} & \approx - \frac{Q q}{4 π ε_{0} x^{2}}, \\ F_{y} & \approx + \frac{Q q a}{8 π ε_{0} x^{3}} . \end{aligned}

Giải thích kết quả.

Hình P21.80: Đoạn nguồn dương trên y và nguồn âm trên x

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q dương đều trên 0 ≤ y ≤ a; điểm (x,0), tại đó −q.

Hướng đi:

Trường phần tử nguồn hướng theo $(x, - y)$ , nên một thành phần phải và một thành phần xuống.
hai thành phần, rồi nhân với −q để có lực.

\begin{aligned} E_{x} & = \frac{k Q}{a} \int_{0}^{a} \frac{x d y}{(x^{2} + y^{2})^{3 / 2}} \\ = \frac{k Q}{x \sqrt{x^{2} + a^{2}}}, \\ E_{y} & = - \frac{k Q}{a} \int_{0}^{a} \frac{y d y}{(x^{2} + y^{2})^{3 / 2}} \\ = - \frac{k Q}{a} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}) . \end{aligned}

Do đó $F_{x} = - q E_{x} < 0$ , $F_{y} = - q E_{y} > 0$ . Khi x ≫ a, dùng $(1 + a^{2} / x^{2})^{- 1 / 2} \approx 1 - a^{2} / (2 x^{2})$ :

\begin{aligned} F_{x} & \approx - k Q q / x^{2}, \\ F_{y} & \approx k Q q a / (2 x^{3}) . \end{aligned}

Thành phần ngang gần lực nguồn điểm Q, còn thành phần đứng nhỏ hơn một bậc khoảng cách vì nguồn trải lên phía trên.

Bài tập tổng hợp tiếp theo

Bài tập 21: 81 •••

Đĩa tích điện đều như Hình 21.25 có bán kính $2.50 cm$ và tổng $7.0 \times 10^{- 12} C$ . (a) Tìm độ lớn và hướng trường trên trục tại $x = 20.0 cm$ . (b) Chứng tỏ khi $x ≫ R$ , (21.11) trở thành $E = Q / (4 π ε_{0} x^{2})$ . (c) Trường ở (a) lớn hơn hay nhỏ hơn trường của điện tích điểm cùng Q cách $20.0 cm$ ? Giải thích bằng gần đúng ở (b). (d) Tìm chênh lệch phần trăm giữa hai trường tại $x = 20.0 cm$ và $10.0 cm$ .

Hình 21.25: Chia đĩa thành những vòng đồng tâm để tính trường

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đĩa R = 0,0250 m, Q = $7.0 \times 10^{- 12}$ C; xét x = 0,200 m và 0,100 m.

Hướng đi:

Dùng trường đĩa, thay $σ = Q / (π R^{2})$ .
Khai triển theo $R^{2} / x^{2}$ để so với điểm.
So sánh trường cần chỉ rõ mẫu số khi tính phần trăm.

E = \frac{Q}{2 π ε_{0} R^{2}} - \frac{Q x}{2 π ε_{0} R^{2} \sqrt{x^{2} + R^{2}}} .

(a) Tại x = 0,200 m, E = 1,56 N/C, hướng +x. (b) Với $u = R^{2} / x^{2} ≪ 1$ , $(1 + u)^{- 1 / 2} \approx 1 - u / 2$ , nên:

E \approx \frac{Q}{2 π ε_{0} R^{2}} \frac{R^{2}}{2 x^{2}} = \frac{k Q}{x^{2}} .

(c) Đĩa cho trường nhỏ hơn nguồn điểm: Những phần xa tâm vừa cách P xa hơn vừa không hướng hoàn toàn theo trục. (d) Lấy phần trăm so với trường đĩa, $(E_{point} - E_{disk}) / E_{disk}$ , được khoảng 1,17% tại 20,0 cm và 4,66% tại 10,0 cm. Nếu dùng trường điểm làm mẫu số, các giá trị tương ứng là 1,16% và 4,46%.

Bài tập 21: 82 •• CP

Cầu nhỏ khối lượng m, dương q gắn vào một đầu sợi lụa dài L. Đầu kia gắn vào mặt cách điện đứng rất lớn có mật độ mặt dương $σ$ . Chứng tỏ ở cân bằng, góc dây so với mặt đứng là $\arctan [q σ / (2 m g ε_{0})]$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu dương q treo gần mặt phẳng lớn dương σ.

Hướng đi:

Trường mặt lớn vuông góc mặt với $E = σ / (2 ε_{0})$ .
Cân bằng lực ngang và đứng để khử lực căng.

\begin{aligned} T \cos θ & = m g, \\ T \sin θ & = q σ / (2 ε_{0}), \\ θ & = \arctan (\frac{q σ}{2 m g ε_{0}}) . \end{aligned}

Góc không phụ thuộc L trong mô hình mặt phẳng vô hạn.

Bài tập 21: 83 •• CALC

âm $- Q$ phân bố đều trên một phần tư đường tròn bán kính a ở góc phần tư thứ nhất, tâm cong tại gốc. Tìm $E_{x}, E_{y}$ tổng tại gốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: −Q đều trên cung một phần tư ở góc phần tư I, bán kính a.

Hướng đi:

Nguồn âm tạo trường tại gốc hướng về từng phần tử, nên cả hai thành phần dương.
Phần tử có $d q = - 2 Q d θ / π$ , θ chạy 0 đến π/2.

\begin{aligned} E_{x} & = \frac{2 k Q}{π a^{2}} \int_{0}^{π / 2} \cos θ d θ, \\ E_{y} & = \frac{2 k Q}{π a^{2}} \int_{0}^{π / 2} \sin θ d θ, \\ E_{x} & = E_{y} \\ = \frac{2 k Q}{π a^{2}} . \end{aligned}

Bài tập 21: 84 •• CALC

Nửa vòng bán kính a nằm trong hai góc phần tư trên, tâm tại gốc. $+ Q$ phân bố đều trên nửa bên trái, $- Q$ trên nửa bên phải như Hình P21.84. Tìm độ lớn và hướng trường tổng tại gốc.

Hình P21.84: Nửa vòng bên trái dương, bên phải âm

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cung trái +Q, cung phải −Q, mỗi cung dài πa/2.

Hướng đi:

Phần tử đối xứng có thành phần đứng đối nhau và thành phần ngang cùng hướng phải.
Có thể cộng hai kết quả cung một phần tư.

Mỗi nửa cung góp thành phần x bằng $2 k Q / (π a^{2})$ và thành phần y bằng nhau ngược dấu. Vì vậy:

\vec{E} = \frac{4 k Q}{π a^{2}} \hat{i} .

Bài tập 21: 85 ••

Hai thanh không dẫn điện dài $1.20 m$ gặp nhau vuông góc. Một thanh có $+ 2.50 μ C$ phân bố đều, thanh kia có $- 2.50 μ C$ như Hình P21.85. (a) Tìm trường tại P cách mỗi thanh $60.0 cm$ . (b) Nếu thả electron tại P, tìm độ lớn và hướng tổng lực do các thanh.

Hình P21.85: Thanh ngang dương, thanh đứng âm và điểm P cách đều

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai thanh vuông góc dài 1,20 m, ±2,50 µC, P cách trung điểm mỗi thanh 0,600 m.

Hướng đi:

P trên trung trực mỗi thanh.
Thanh ngang dương tạo trường xuống, thanh đứng âm tạo trường trái.
Hai độ lớn bằng nhau, nên tổng tạo góc 225°.

\begin{aligned} E_{0} & = \frac{k Q}{0.600 \sqrt{{0.600}^{2} + {0.600}^{2}}}, \\ E & = \sqrt{2} E_{0} = 6.25 \times 10^{4} N / C, \\ F_{e} & = e E = 1.00 \times 10^{- 14} N . \end{aligned}

Lực electron ngược trường, tạo góc 45° từ hướng phải.

Bài tập 21: 86 •

Hai mặt rất lớn song song cách $5.00 cm$ . A có mật độ đều $- 8.80 μ C / m^{2}$ . B ở bên phải A có mật độ đều $- 11.6 μ C / m^{2}$ . Coi hai mặt vô hạn. Tìm trường tại (a) điểm cách A $4.00 cm$ về phải, (b) điểm cách A $4.00 cm$ về trái, (c) điểm cách B $4.00 cm$ về phải.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai mặt âm A và B, độ lớn mật độ 8,80 và 11,6 µC/m², B ở phải A.

Hướng đi:

Mỗi trường hướng về mặt âm.
Giữa mặt lấy hiệu; ngoài hai mặt lấy tổng.
Khoảng cách không ảnh hưởng độ lớn trong mô hình vô hạn.

\begin{aligned} E_{khe} & = \frac{(11.6 - 8.80) \times 10^{- 6}}{2 ε_{0}} \\ = 1.58 \times 10^{5} N / C, \\ E_{ngoai} & = \frac{(11.6 + 8.80) \times 10^{- 6}}{2 ε_{0}} \\ = 1.15 \times 10^{6} N / C . \end{aligned}

(a) Hướng phải. (b) Hướng phải. (c) Hướng trái.

Bài tập 21: 87 •• CP

Đĩa mỏng có lỗ tròn tại tâm, gọi là vành khăn, có bán kính trong $R_{1}$ , ngoài $R_{2}$ và mật độ mặt dương đều $σ$ , như Hình P21.87. (a) Tìm tổng. (b) Đặt vành trong mặt yz, tâm ở gốc. Tìm độ lớn và hướng trường tại điểm bất kỳ trên trục x, ở cả hai phía. (c) Chứng tỏ gần gốc, độ lớn trường gần tỷ lệ với khoảng cách đến tâm. “Đủ gần” cần thỏa điều kiện nào? (d) Hạt điểm khối lượng m, điện tích $- q$ chỉ được chuyển động trên trục x. Thả từ nghỉ tại $x = 0.01 R_{1}$ , tìm tần số dao động. Ôn mục 14.2 và coi vành đứng yên.

Hình P21.87: Vành khăn tích điện và trục vuông góc x

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vành khăn có $R_{2} > R_{1}$ , mật độ σ và hạt âm chỉ chuyển động trên trục.

Hướng đi:

Vành bằng đĩa lớn trừ đĩa nhỏ, nên trừ hai trường đĩa.
Gần tâm, khai triển theo $x^{2} / R_{1}^{2}$ cho trường tuyến tính.
Lực lên hạt âm khi đó có dạng phục hồi để dùng dao động điều hòa.

(a) $Q = π σ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})$ . (b) Biểu thức có dấu dùng được cả hai phía:

E_{x} = \frac{σ x}{2 ε_{0} \sqrt{x^{2} + R_{1}^{2}}} - \frac{σ x}{2 ε_{0} \sqrt{x^{2} + R_{2}^{2}}} .

Trường dương với x > 0, âm với x < 0, bằng không ở tâm. (c) Khi $| x | ≪ R_{1}$ :

E_{x} \approx \frac{σ}{2 ε_{0}} (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}) x .

(d) $F_{x} = - q E_{x} = - κ x$ , với hệ số phục hồi dương. Tần số:

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{q σ}{2 m ε_{0}} (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})} .

Biên độ ban đầu 0,01R₁ thỏa gần đúng nhỏ.

Bài tập 21: 88 ••• DATA CP: Thiết kế máy in phun

Máy in phun có thể phun liên tục hoặc theo từng giọt khi cần. Trong kiểu liên tục, các giọt từ đầu phun chuyển động nhanh tạo chữ trên giấy. Bạn thuộc nhóm thiết kế máy, với mỗi giọt mực khối lượng $1.4 \times 10^{- 8} g$ , bay ngang đến giấy ở $50 m / s$ . Bộ nạp lấy bớt electron để giọt có dương q. Giọt qua hai bản lệch hướng dài $2.0 cm$ , có trường đứng đều $8.0 \times 10^{4} N / C$ . (a) Để giọt lệch $0.30 mm$ khi đến mép ra, cần q bao nhiêu và phải lấy bớt bao nhiêu electron? (b) Nếu đổi tốc độ giọt còn $25 m / s$ , q cần bao nhiêu để cùng độ lệch?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giọt mực $m = 1.4 \times 10^{- 11}$ kg, bản dài 0,020 m, E = $8.0 \times 10^{4}$ N/C, cần lệch 0,00030 m.

Hướng đi:

Thời gian trong bản L/v.
Gia tốc đứng qE/m, nên độ lệch bằng qEt²/(2m).
dương do lấy bớt electron, số lấy bớt bằng q/e.

\begin{aligned} t & = 0.020 / 50 \\ = 4.0 \times 10^{- 4} s, \\ q & = \frac{2 m d}{E t^{2}} \\ = 6.6 \times 10^{- 13} C, \\ N & = q / e \approx 4.1 \times 10^{6} . \end{aligned}

Giảm tốc độ một nửa làm thời gian gấp đôi, nên để cùng độ lệch cần còn một phần tư: $q = 1.6 \times 10^{- 13}$ C.

Bài tập 21: 89 •• DATA

Hai cầu nhỏ dương cách $0.400 m$ . Đặt $q_{1}$ tại gốc, $q_{2}$ tại $x = + 0.400 m$ . Có cầu thứ ba $q_{3} = 4.00 \times 10^{- 6} C$ và thiết bị đo chính xác vị trí, lực tổng. Tại $x = 0.200 m$ , lực lên $q_{3}$ là $4.50 N$ hướng $+ x$ . Chuyển đến $x = + 0.600 m$ , lực là $3.50 N$ hướng $+ x$ . (a) Tính $q_{1}, q_{2}$ . (b) Tìm lực lên $q_{3}$ tại $x = - 0.200 m$ . (c) Ngoài vị trí vô cùng xa, đặt $q_{3}$ ở x nào để lực bằng không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai phép đo lực tại 0,200 m và 0,600 m cho hai ẩn $q_{1}, q_{2}$ .

Hướng đi:

Lần đầu trường hai nguồn đối chiều; lần sau cùng chiều.
Lập hai phương trình Coulomb có dấu, không lấy độ lớn tổng trước khi lập hệ.

\begin{aligned} 4.50 & = k q_{3} (q_{1} - q_{2}) / {0.200}^{2}, \\ 3.50 & = \frac{k q_{3} q_{1}}{{0.600}^{2}} + \frac{k q_{3} q_{2}}{{0.200}^{2}} . \end{aligned}

Giải hệ cho $q_{1} \approx 8.00$ µC và $q_{2} \approx 3.00$ µC. Tại x = −0,200 m, hai lực cùng trái:

\begin{aligned} F_{x} & = - k \frac{q_{3} q_{1}}{(0.200)^{2}} - k \frac{q_{3} q_{2}}{(0.600)^{2}} \\ = - 7.50 N . \end{aligned}

Điểm không lực nằm giữa nguồn, $q_{1} / x^{2} = q_{2} / (0.400 - x)^{2}$ , cho x = 0,248 m.

Bài tập 21: 90 ••• DATA

dương Q phân bố đều trên vòng dẫn rất mảnh bán kính a, như Hình 21.23. Đo E trên trục ở nhiều khoảng cách x. (a) Các số đo x lớn được vẽ thành $E x^{2}$ theo x ở Hình P21.90a. Giải thích vì sao $E x^{2}$ tiến đến hằng số khi x tăng, rồi dùng đồ thị tính Q. (b) Các số đo x nhỏ được vẽ thành $E / x$ theo x ở Hình P21.90b. Giải thích giới hạn hằng khi x tiến tới không, rồi dùng đồ thị tính a.

Hình P21.90: Hai đồ thị đo trường vòng ở xa và gần tâm

Hình P21.90: (a) Trục đứng $E x^{2}$ có đơn vị $N m^{2} / C$ . (b) Trục đứng $E / x$ có đơn vị $N / (C m)$ . Trục ngang đều là x tính bằng mét.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đồ thị cho giới hạn xa của $E x^{2}$ khoảng 50 N·m²/C và giới hạn gần của E/x khoảng 700 N/(C·m).

Hướng đi:

Trường trục vòng ở xa trở thành kQ/x², còn gần tâm trở thành kQx/a³.
Hai giới hạn tách riêng Q và a.

\begin{aligned} lim_{x \to \infty} E x^{2} & = k Q, \\ Q & \approx 50 / k = 5.6 nC, \\ lim_{x \to 0} E / x & = k Q / a^{3}, \\ a & \approx (50 / 700)^{1 / 3} \\ = 0.41 m . \end{aligned}

Độ chính xác đáp số bị giới hạn bởi việc đọc đồ thị, nên không giữ quá nhiều chữ số.

Bài tập 21: 91 ••• CP

Mặt phẳng vô hạn tích điện dương đều $σ$ có lỗ tròn bán kính R, nằm trong mặt xy, tâm lỗ tại gốc, trục $+ z$ hướng lên. Hạt khối lượng m, $- q$ ban đầu nghỉ ở tâm lỗ, chỉ được chuyển động dọc z. Khi thả, hạt rơi. Càng xuống dưới, lực điện hút lên càng tăng. Nếu m đủ nhỏ, lực điện vượt trọng lượng làm hạt chậm lại, dừng rồi trở về vị trí đầu, lặp lại chuyển động. (a) Tìm trường ở độ sâu $Δ$ dưới gốc. (b) Tìm khối lượng cực đại $m_{max}$ để hạt không rơi mãi. (c) Với $m < m_{max}$ , tìm công lực điện khi hạt từ $z = 0$ đến $z = - Δ$ . (d) Tìm công trọng lực trên cùng khoảng. (e) Tìm độ sâu cực đại theo $α = m / m_{max}$ , dùng định lý công–động năng để tìm tốc độ theo độ sâu rồi xét lúc tốc độ bằng không. (f) Tốc độ tại $Δ \leq Δ_{max}$ bằng bao nhiêu? (g) Với $σ = 1.00 nC / {cm}^{2}$ , $R = 10.0 cm$ , $m = 25.0 g$ và độ lớn điện tích $1.00 μ C$ , tìm $m_{max}, Δ_{max}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt tích điện có lỗ, hạt âm rơi dọc trục lỗ dưới trọng lực.

Hướng đi:

Trường mặt có lỗ bằng trường mặt đầy trừ trường đĩa lấp lỗ.
Lực điện lên hạt âm hướng lên.
Dùng công và định lý công–động năng để tìm điểm quay đầu.

(a) Ở độ sâu Δ:

\vec{E} = - \frac{σ Δ}{2 ε_{0} \sqrt{Δ^{2} + R^{2}}} \hat{k} .

(b) Lực điện giới hạn ở rất sâu là $q σ / (2 ε_{0})$ . Ngưỡng khối lượng $m_{max} = q σ / (2 g ε_{0})$ . Muốn quay đầu cần m nhỏ hơn ngưỡng này, vì ở ngưỡng lực điện chỉ tiến đến trọng lực mà không vượt nó.

(c), (d)

\begin{aligned} W_{e} & = - \frac{q σ}{2 ε_{0}} \int_{0}^{Δ} \frac{s d s}{\sqrt{s^{2} + R^{2}}} \\ = - \frac{q σ}{2 ε_{0}} (\sqrt{Δ^{2} + R^{2}} - R), \\ W_{g} & = m g Δ . \end{aligned}

(e) Đặt $α = m / m_{max} < 1$ . Khi quay đầu, $W_{e} + W_{g} = 0$ :

\begin{aligned} α Δ & = \sqrt{Δ^{2} + R^{2}} - R, \\ α Δ + R & = \sqrt{Δ^{2} + R^{2}}, \\ (α Δ + R)^{2} & = Δ^{2} + R^{2} . \end{aligned}

Khai triển bình phương vế trái rồi khử cùng R² ở hai vế:

\begin{aligned} α^{2} Δ^{2} + 2 α R Δ & = Δ^{2}, \\ (1 - α^{2}) Δ^{2} & = 2 α R Δ . \end{aligned}

Nghiệm Δ = 0 là vị trí thả ban đầu. Điểm quay đầu thứ hai có Δ > 0. Với 0 < α < 1, chia hai vế cho Δ và cho 1 − α² được:

Δ_{max} = \frac{2 R α}{1 - α^{2}} .

Hai vế ở bước trước khi bình phương đều không âm, nên phép bình phương không thêm nghiệm trái dấu. Điều kiện α < 1 cũng bảo đảm độ sâu tìm được dương và hữu hạn.

(f)

v = \sqrt{2 g [Δ - \frac{\sqrt{Δ^{2} + R^{2}} - R}{α}]} .

(g) Đổi mật độ thành $10^{- 5}$ C/m², được $m_{max} = 57.7$ g, $α = 0.434$ và $Δ_{max} = 10.7$ cm.

Bài tập 21: 92 ••• CP

Hai thanh cách điện cứng dài L, khối lượng không đáng kể, nối tâm bằng bản lề không ma sát. Một thanh cố định nằm ngang trên trụ đứng, thanh kia quay tự do theo phương ngang. Mỗi đầu thanh có cầu nhỏ Q, khối lượng M. Khi thanh vuông góc, mômen tổng lên thanh động bằng không. Thanh cố định theo trục x, tâm bản lề tại gốc, thanh động quay theo chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên như Hình P21.92. Gọi góc giữa thanh là $θ$ . (a) Tìm lực ${\vec{F}}_{1}$ do cầu trái thanh cố định lên cầu phía trên bên phải thanh động theo $θ$ . (b) Tìm lực ${\vec{F}}_{2}$ do cầu phải thanh cố định lên cùng cầu đó. (c) Tìm mômen ${\vec{F}}_{1}$ quanh bản lề. (d) Tìm mômen ${\vec{F}}_{2}$ . (e) Tính mômen tổng lên thanh động, kể cả đóng góp từ hai đầu. (f) Gần cân bằng $θ = π / 2$ , đặt $θ = π / 2 - ϵ$ . Dùng khai triển chuỗi lũy thừa ở Phụ lục B, giữ số hạng bậc thấp nhất theo $ϵ$ để tìm mômen. (g) Với biên độ nhỏ, hệ là dao động xoắn. Từ kết quả trước, tìm tần số dao động nhỏ.

Hình P21.92: Bốn điện tích tại đầu hai thanh nối bằng bản lề

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai thanh dài L, hai cầu trên mỗi thanh đều Q,M, tâm quay tại gốc.

Hướng đi:

Tính lực của hai đầu thanh cố định lên một đầu thanh động, lấy với vị trí, rồi nhân hai vì hai đầu thanh động góp cùng mômen.
Quy ước dưới đây đo θ ngược chiều kim đồng hồ; nếu chọn chiều quay đối lại, dấu thành phần y và mômen z đảo, còn tần số không đổi.

Đặt $u = θ / 2$ , đầu đang xét tại $(L \cos θ / 2, L \sin θ / 2)$ . Khoảng cách đến đầu trái và phải của thanh cố định lần lượt là L cosu, L sinu.

\begin{aligned} F_{1 x} & = \frac{k Q^{2}}{L^{2} \cos u}, \\ F_{1 y} & = \frac{k Q^{2} \sin u}{L^{2} \cos^{2} u}, \\ F_{2 x} & = - \frac{k Q^{2}}{L^{2} \sin u}, \\ F_{2 y} & = \frac{k Q^{2} \cos u}{L^{2} \sin^{2} u}, \\ τ_{1 z} & = - \frac{k Q^{2} \sin u}{2 L \cos^{2} u}, \\ τ_{2 z} & = \frac{k Q^{2} \cos u}{2 L \sin^{2} u} . \end{aligned}

Tổng cho hai đầu:

τ_{z} = \frac{k Q^{2}}{L} (\frac{\cos u}{\sin^{2} u} - \frac{\sin u}{\cos^{2} u}) .

Đặt $θ = π / 2 - ϵ$ , nên $u = π / 4 - ϵ / 2$ . Để thấy rõ số hạng bậc nhất, gọi:

g (u) = \frac{\cos u}{\sin^{2} u} - \frac{\sin u}{\cos^{2} u} .

Hai số hạng bằng nhau tại $u = π / 4$ , nên $g (π / 4) = 0$ . Đạo hàm từng số hạng cho:

\begin{aligned} g^{'} (u) & = - \frac{1}{\sin u} - \frac{2 \cos^{2} u}{\sin^{3} u} - \frac{1}{\cos u} - \frac{2 \sin^{2} u}{\cos^{3} u}, \\ g^{'} (π / 4) & = - 6 \sqrt{2} . \end{aligned}

Vì vậy, $g (u) \approx (- 6 \sqrt{2}) (- ϵ / 2)$ , và:

τ_{z} \approx \frac{3 \sqrt{2} k Q^{2}}{L} ϵ .

Khi thanh lệch theo chiều làm θ nhỏ hơn π/2, mômen dương làm θ tăng trở lại. Đây là mômen phục hồi. Với $I = 2 M (L / 2)^{2} = M L^{2} / 2$ :

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{6 \sqrt{2} k Q^{2}}{M L^{3}}} .

Bài tập nâng cao

Bài tập 21: 93 ••• CP CALC

Hai thanh mảnh dài L, mỗi thanh có tổng $+ Q$ , song song và cách a. Thanh thứ nhất từ gốc lên trục y dương, thanh thứ hai có đầu dưới trên trục x dương. (a) Giải thích vì sao thành phần y của tổng lực lên thanh thứ hai bằng không. (b) Tìm thành phần x của lực nhỏ $d F_{2}$ lên đoạn $d y_{2}$ ở $y_{2}$ do thanh thứ nhất. Bước này cần trên các phần $d y_{1}$ của thanh thứ nhất. (c) Tích phân $d F_{2 x}$ trên thanh thứ hai để tìm tổng lực ${\vec{F}}_{2}$ . (d) Chứng tỏ khi $a ≫ L$ :

{\vec{F}}_{2} \approx \frac{Q^{2}}{4 π ε_{0} a^{2}} \hat{i} .

(e) Tìm công bên ngoài để đưa thanh thứ hai từ rất xa đến $x = a$ , giữ thanh thứ nhất ở $x = 0$ . Công này là thế năng cấu hình. (f) Với $L = 50.0 cm$ , $a = 10.0 cm$ , $Q = 10.0 μ C$ và khối lượng mỗi thanh $m = 500 g$ , nếu thả hai thanh, tốc độ tương đối cuối cùng khi chúng xa nhau là bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai thanh dài L cùng Q, nằm song song cách a.

Hướng đi:

Mỗi phần tử chịu lực Coulomb của toàn thanh còn lại.
lần đầu theo y₁ để tìm lực phần tử, lần hai theo y₂ để có lực tổng.
Đối xứng qua giữa chiều dài triệt tiêu thành phần y toàn thanh.

(a) Hai thanh đối xứng qua đường y = L/2. Với mỗi cặp phần tử tại y₁,y₂, có cặp phản chiếu tại L − y₁,L − y₂. Hai cặp có cùng khoảng cách và cùng , nhưng thành phần lực theo y trái dấu. Cộng toàn bộ các cặp cho F₂ᵧ = 0. Thành phần y lên từng đoạn riêng lẻ không nhất thiết bằng không.

(b) Với $λ = Q / L$ :

d F_{2 x} = k λ^{2} a d y_{2} \times \int_{0}^{L} \frac{d y_{1}}{[a^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}]^{3 / 2}} .

Giữ y₂ cố định rồi đặt u = y₂ − y₁, nên du = −dy₁. Khi y₁ chạy từ 0 đến L, u chạy từ y₂ đến y₂ − L. Đổi chiều cận loại dấu trừ:

I (y_{2}) = \int_{y_{2} - L}^{y_{2}} \frac{d u}{(a^{2} + u^{2})^{3 / 2}} .

Một nguyên hàm là:

G (u) = \frac{u}{a^{2} \sqrt{a^{2} + u^{2}}} .

Thật vậy, lấy đạo hàm u/√(a² + u²) cho a²/(a² + u²)^(3/2). Chia thêm a² trong G trả lại hàm dưới dấu . Thế cận:

\begin{aligned} I (y_{2}) & = G (y_{2}) - G (y_{2} - L) \\ = \frac{1}{a^{2}} (\frac{y_{2}}{r_{0}} + \frac{L - y_{2}}{r_{L}}) . \end{aligned}

Ở đây $r_{0} = \sqrt{a^{2} + y_{2}^{2}}$ và $r_{L} = \sqrt{a^{2} + (L - y_{2})^{2}}$ . Nhân I với hệ số kλ²a dy₂ trong biểu thức lực ban đầu:

d F_{2 x} = \frac{k λ^{2}}{a} (\frac{y_{2}}{r_{0}} + \frac{L - y_{2}}{r_{L}}) d y_{2} .

(c) trên $0 \leq y_{2} \leq L$ . Hai số hạng trong ngoặc có cùng tích phân, vì đặt v = L − y₂ biến số hạng thứ hai thành số hạng thứ nhất. Tích phân cần tính là:

\begin{aligned} J & = \int_{0}^{L} \frac{y d y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}} \\ = {[\sqrt{a^{2} + y^{2}}]}_{0}^{L} \\ = \sqrt{a^{2} + L^{2}} - a . \end{aligned}

Do đó:

F_{2 x} = \frac{2 k λ^{2}}{a} J = \frac{2 k Q^{2}}{L^{2}} \frac{J}{a} .

Đặt $η = L / a ≪ 1$ . Khai triển căn bậc hai đến số hạng bậc hai theo η:

\begin{aligned} \sqrt{a^{2} + L^{2}} & = a \sqrt{1 + η^{2}} \\ \approx a (1 + \frac{1}{2} η^{2}), \\ J & = a (\sqrt{1 + η^{2}} - 1) \\ \approx \frac{a η^{2}}{2} \\ = \frac{L^{2}}{2 a} . \end{aligned}

Thay J vào biểu thức lực:

F_{2 x} = \frac{2 k Q^{2} J}{L^{2} a} \approx \frac{k Q^{2}}{a^{2}} .

Ở khoảng cách lớn, mỗi thanh phân bố tạo trường gần như điện tích điểm Q.

(e) Công ngoài khi đưa thanh chậm từ rất xa đến a bằng thế năng cuối. Lực đẩy hướng về phía khoảng cách tăng, còn lực ngoài hướng ngược lại, nên:

U (a) = \int_{a}^{\infty} F_{2 x} (s) d s .

Thay biểu thức lực ở (c). Phần cần là √(s² + L²)/s − 1. Một nguyên hàm là:

H (s) = \sqrt{s^{2} + L^{2}} - s - L \ln \frac{L + \sqrt{s^{2} + L^{2}}}{s} .

Lấy đạo hàm H cho đúng √(s² + L²)/s − 1. Khi s tiến ra vô hạn, √(s² + L²) − s tiến về không và logarit cũng tiến về không. Vì vậy H(∞) = 0. Thế hai cận vào :

U (a) = \frac{2 k Q^{2}}{L^{2}} [H (\infty) - H (a)] .

Thế s = a vào H rồi đổi dấu từng số hạng, ta được:

- H (a) = L \ln \frac{L + \sqrt{a^{2} + L^{2}}}{a} + a - \sqrt{a^{2} + L^{2}} .

Nhân từng số hạng với hệ số 2kQ²/L² cho kết quả:

U (a) = \frac{2 k Q^{2} L}{L^{2}} \ln \frac{L + \sqrt{a^{2} + L^{2}}}{a} + \frac{2 k Q^{2} a}{L^{2}} - \frac{2 k Q^{2}}{L^{2}} \sqrt{a^{2} + L^{2}} .

(f) Hai thanh có cùng khối lượng, từ nghỉ nên động lượng tổng bằng không. Mỗi thanh có tốc độ v ngược chiều nhau; $m v^{2} = U (a)$ và tốc độ tương đối $v_{rel} = 2 v$ . Thế dữ kiện cho U = 5,37 J, nên $v_{rel} = 2 \sqrt{U / 0.500} = 6.55$ m/s.

Bài tập 21: 94 ••• CP CALC

Thanh cách điện cứng dài $2 a$ , khối lượng không đáng kể, gắn tâm vào trục tại gốc và quay trong mặt xy. Một đầu gắn cầu khối lượng M, Q, đầu kia gắn cầu cùng khối lượng M không mang điện. Trong vùng $y > 0$ có trường $\vec{E} = - E \hat{i}$ , còn vùng $y < 0$ không có trường. Gọi $\vec{r}$ từ tâm đến đầu mang điện và $θ$ là góc với trục x dương. Ban đầu $θ = 0$ , hệ được đẩy nhẹ theo chiều tăng góc. (a) Viết $\vec{r}$ . (b) Tìm mômen quanh tâm khi $0 \leq θ \leq π$ . (c) Tìm mômen khi $π \leq θ \leq 2 π$ . (d) Tìm mômen quán tính quanh z. (e) Dùng $τ = - d U / d θ$ để viết $U (θ)$ trên $0 \leq θ \leq 4 π$ , chọn $U (0) = 0$ và bảo đảm liên tục. (f) Với tốc độ góc $ω (θ)$ , dùng $τ = I d^{2} θ / d t^{2}$ để chứng tỏ $I ω^{2} / 2 + U$ bảo toàn. (g) Từ bảo toàn năng lượng, tìm tốc độ góc ở lần thứ n mà đầu dương qua trục y âm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thanh quay có một đầu Q, một đầu trung hòa, mỗi cầu M; trường −x chỉ ở nửa mặt phẳng trên.

Hướng đi:

vị trí–lực cho mômen.
mômen theo góc để có thế năng trên góc quay được theo dõi liên tục.
Không buộc thế năng tuần hoàn khi trường thực hiện công khác không qua một vòng.

(a) $\vec{r} = a \cos θ \hat{i} + a \sin θ \hat{j}$ . (b) Ở $0 < θ < π$ , lực $- Q E \hat{i}$ cho $\vec{τ} = Q a E \sin θ \hat{k}$ . (c) Ở $π < θ < 2 π$ , mômen bằng không. (d) $I = 2 M a^{2}$ .

(e) Với $U (0) = 0$ :

U_{1} (θ) = Q a E (\cos θ - 1) .

Biểu thức này áp dụng khi $0 \leq θ \leq π$ . Khi $π \leq θ \leq 2 π$ :

U_{2} = - 2 Q a E .

Khi $2 π \leq θ \leq 3 π$ :

U_{3} (θ) = Q a E (\cos θ - 3) .

Khi $3 π \leq θ \leq 4 π$ :

U_{4} = - 4 Q a E .

Các giá trị hai phía mỗi điểm nối bằng nhau. (f) Nhân phương trình $I \ddot{θ} = τ = - U^{'} (θ)$ với $\dot{θ}$ cho:

\begin{aligned} I \dot{θ} \ddot{θ} + U^{'} (θ) \dot{θ} & = 0, \\ K & = \frac{1}{2} I {\dot{θ}}^{2}, \\ \frac{d}{d t} (K + U) & = 0. \end{aligned}

(g) Ở lần thứ n qua trục y âm, góc là $3 π / 2 + 2 (n - 1) π$ và U = −2nQaE. Bỏ năng lượng của cú đẩy vô cùng nhỏ:

ω_{n} = \sqrt{\frac{4 n Q a E}{I}} = \sqrt{\frac{2 n Q E}{M a}} .

Bài tập 21: 95 •••

Ba như Hình P21.95. $| q_{1} | = 2.00 μ C$ , nhưng chưa biết dấu $q_{1}$ và giá trị $q_{2}$ . $q_{3} = + 4.00 μ C$ , tổng lực lên $q_{3}$ hoàn toàn hướng $- x$ . (a) Với các dấu có thể của $q_{1}, q_{2}$ , vẽ bốn cấu hình lực thành phần. (b) Từ hình và hướng tổng lực, suy ra dấu hai nguồn. (c) Tính độ lớn $q_{2}$ . (d) Tính độ lớn tổng lực lên $q_{3}$ .

Hình P21.95: Tam giác điện tích có các cạnh 3,00, 4,00 và 5,00 centimét

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q₃ dương, hai khoảng đến nguồn là 4,00 và 3,00 cm; lực tổng trái.

Hướng đi:

Xét bốn sơ đồ dấu để chọn hai lực vừa có thành phần ngang trái vừa có thành phần đứng bù nhau.
Hình tam giác 3–4–5 cho các tỷ số chiếu, không được coi một lực nằm ngang.

Nếu $q_{1} < 0$ , lực thứ nhất hút xuống trái. Để bù thành phần xuống và còn hướng trái, $q_{2}$ phải dương, đẩy lên trái. Ba cặp dấu còn lại không tạo tổng hoàn toàn trái.

Với $F_{1} = k | q_{1} q_{3} | / {0.0400}^{2}$ và $F_{2} = k | q_{2} q_{3} | / {0.0300}^{2}$ , cân bằng đứng là $- (3 / 5) F_{1} + (4 / 5) F_{2} = 0$ . Do đó:

\begin{aligned} F_{2} & = \frac{3}{4} F_{1}, \\ q_{2} & = \frac{3}{4} | q_{1} | {(\frac{0.0300}{0.0400})}^{2} \\ = + 0.844 μ C, \\ F & = \frac{4}{5} F_{1} + \frac{3}{5} F_{2} \\ = 56.2 N . \end{aligned}

Bài tập 21: 96 •••

Hai nguồn như Hình P21.96. $| q_{1} | = 3.00 μ C$ , chưa biết dấu $q_{1}$ và giá trị $q_{2}$ . Tổng trường tại P hoàn toàn hướng $- y$ . (a) Vẽ bốn cấu hình trường thành phần ứng với các dấu nguồn. (b) Từ hình và hướng trường tổng, suy ra dấu nguồn. (c) Tìm độ lớn trường tổng.

Hình P21.96: Điểm P và hai nguồn tạo tam giác 5,0–12,0–13,0 centimét

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: P cách q₁ 5,0 cm và q₂ 12,0 cm, hai nguồn cách 13,0 cm; trường tổng xuống.

Hướng đi:

Dùng hình học tam giác vuông để chiếu trường thành phần.
Muốn tổng đứng xuống, cả hai nguồn phải âm: Mỗi trường tại P hướng về một nguồn dưới, với thành phần ngang đối nhau.

Chọn gốc tại q₁, q₂ tại x = 0,130 m. Khi đó $x_{P} = {0.050}^{2} / 0.130$ , $y_{P} = (0.050) (0.120) / 0.130$ . Điều kiện thành phần ngang bằng không:

\frac{| q_{1} | x_{P}}{{0.050}^{3}} = \frac{| q_{2} | (0.130 - x_{P})}{{0.120}^{3}} .

Cho $q_{1} = - 3.00$ µC, suy ra $q_{2} = - 7.20$ µC. Thành phần đứng:

\begin{aligned} E_{y} & = - \frac{k y_{P} | q_{1} |}{{0.050}^{3}} - \frac{k y_{P} | q_{2} |}{{0.120}^{3}} \\ = - 1.17 \times 10^{7} N / C . \end{aligned}

Bốn sơ đồ dấu được tạo bằng việc đảo riêng từng ; chỉ hai nguồn âm đáp ứng hướng yêu cầu.

Bài tập 21: 97 ••• CALC

Hai thanh mảnh dài L nằm trên trục x. Thanh thứ nhất từ $x = a / 2$ đến $x = a / 2 + L$ , thanh thứ hai từ $x = - a / 2$ đến $x = - a / 2 - L$ . Mỗi thanh có dương đều Q. (a) Tính trường do thanh thứ hai tại các điểm trục x dương. (b) Chứng tỏ độ lớn lực giữa hai thanh là:

F = \frac{Q^{2}}{4 π ε_{0} L^{2}} \ln [\frac{(a + L)^{2}}{a (a + 2 L)}] .

(c) Khi $a ≫ L$ , chứng tỏ lực trở thành $Q^{2} / (4 π ε_{0} a^{2})$ và giải thích. Gợi ý: Dùng khai triển với $| z | ≪ 1$ :

\ln (1 + z) = z - \frac{1}{2} z^{2} + \frac{1}{3} z^{3} - \dots .

Giữ mọi khai triển ít nhất đến bậc $L^{2} / a^{2}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai thanh cùng trục, mỗi thanh dài L, Q, khoảng giữa hai đầu gần là a.

Hướng đi:

Tính trường thanh trái tại điểm x dương rồi lực lên thanh phải.
Các trường và lực cùng hướng trục nên không cần cộng thành phần đứng.

(a) Với mật độ Q/L:

Gọi u đo từ đầu gần của thanh trái về phía trái, 0 ≤ u ≤ L. Khoảng cách từ phần nguồn đến điểm x dương là x + a/2 + u. Đặt c = x + a/2 > 0:

\begin{aligned} E_{x} (x) & = \frac{k Q}{L} \int_{0}^{L} \frac{d u}{(c + u)^{2}} \\ = \frac{k Q}{L} {[- \frac{1}{c + u}]}_{0}^{L} \\ = \frac{k Q}{L} (\frac{1}{c} - \frac{1}{c + L}) . \end{aligned}

Thay lại c = x + a/2:

\begin{aligned} E_{x} (x) & = \frac{k Q}{L (x + a / 2)} - \frac{k Q}{L (x + a / 2 + L)}, \\ E_{y} & = 0. \end{aligned}

(b)

Mỗi phần dx của thanh phải mang Qdx/L. Tổng lực là Q/L nhân trường trên thanh phải. Hai số hạng của Eₓ có hiệu nguyên hàm:

J (x) = \ln \frac{x + a / 2}{x + a / 2 + L} .

Đạo hàm J là 1/(x + a/2) − 1/(x + a/2 + L). Ở hai cận:

\begin{aligned} J (a / 2 + L) & = \ln \frac{a + L}{a + 2 L}, \\ J (a / 2) & = \ln \frac{a}{a + L} . \end{aligned}

Lấy giá trị trên trừ giá trị dưới, rồi dùng hiệu hai logarit bằng logarit tỷ số:

\begin{aligned} F & = \frac{Q}{L} \int_{a / 2}^{a / 2 + L} E_{x} (x) d x \\ = \frac{k Q^{2}}{L^{2}} [J (a / 2 + L) - J (a / 2)] \\ = \frac{k Q^{2}}{L^{2}} \ln \frac{(a + L)^{2}}{a (a + 2 L)} . \end{aligned}

(c) Đặt z = L/a ≪ 1. Logarithm là $2 \ln (1 + z) - \ln (1 + 2 z)$ . Khai triển đến z² cho $(2 z - z^{2}) - (2 z - 2 z^{2}) = z^{2}$ . Vì vậy $F \approx k Q^{2} / a^{2}$ , đúng gần đúng hai nguồn điểm ở xa.

Bài tập đọc hiểu theo dạng MCAT

BIO: Điện tích của ong

Côn trùng bay như ong có thể tích điện dương nhỏ khi bay. Trong một thí nghiệm trên 50 con, trung bình mỗi ong là $+ (30 \pm 5) pC$ . Người nghiên cứu cũng đo điện tích ở thân cây có hoa trên cuống dài khi ong đến gần, đáp và bay đi. Cây thường trung hòa nên thân có điện tích tổng bằng không khi ong còn rất xa. Khi ong gần hoa, thân đã có một điện tích dương nhỏ trước khi ong đáp. Sau khi đáp, toàn cây dương và giữ điện tích dương sau khi ong rời đi. Thử với hoa nhân tạo có điện tích khác nhau cho thấy ong phân biệt hoa mang điện với hoa không mang điện, và có thể dùng điện tích dương của lần thăm trước làm dấu hiệu hoa đã được ghé, khi phấn có thể còn ít.

Bài tập 21: 98

Một con ong có bằng giá trị trung bình trên. Điện tích này tương ứng xấp xỉ bao nhiêu electron thiếu?

(a) $1.9 \times 10^{8}$ ; (b) $3.0 \times 10^{8}$ ; (c) $1.9 \times 10^{18}$ ; (d) $3.0 \times 10^{18}$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: trung bình ong là +30 pC.

Hướng đi:

dương biểu thị thiếu electron.
Chia độ lớn cho e để đếm số thiếu.

N = \frac{30 \times 10^{- 12}}{1.602 \times 10^{- 19}} \approx 1.9 \times 10^{8} .

Chọn (a).

Bài tập 21: 99

Giải thích nào tốt nhất cho thân cây dương khi ong đến gần, trước khi đáp?

(a) Không khí dẫn tốt, nên dương chuyển từ ong qua không khí đến cây.

(b) Đất là kho lớn, nên ion dương bị kéo lên cuống về phía ong.

(d) Những con ong đến trước để lại dương trên thân.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thân cây dương trước khi ong dương chạm hoa.

Hướng đi:

Chưa tiếp xúc nên cần xét phân bố lại , không mặc định đã truyền điện tích qua không khí.
Ong dương hút electron về phía hoa, làm phần thân đang đo thiếu electron tương đối.

Cây bị dù tổng trước tiếp xúc có thể còn bằng không. Chọn (c). Sau khi ong đáp, sự trao đổi điện tích là giai đoạn khác.

Bài tập 21: 100

Một ong rời hoa đã để lại dương. Một ong khác có cùng lượng điện tích dương bay gần cây. Hình nào trong P21.100 biểu diễn đúng nhất đường sức giữa ong và hoa?

Hình P21.100: Bốn phương án đường sức giữa ong và hoa mang điện dương

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Ong và hoa đều dương.

Hướng đi:

Đường sức phải đi ra khỏi cả hai nguồn, không đi từ nguồn dương này kết thúc ở nguồn dương kia.
Giữa chúng, các đường cong ra hai phía giống trường của hai nguồn cùng dấu.

Chọn (c): Mũi tên đi ra từ cả ong và hoa. Các phương án nối hai nguồn như lưỡng cực hoặc hướng mũi tên vào nguồn dương không phù hợp.

Bài tập 21: 101

Trong thí nghiệm tiếp theo, đặt $+ 40 pC$ ở tâm hoa nhân tạo tại đầu cuống dài $30 cm$ . Ong không đến gần tâm hơn $15 cm$ trước khi bay đi. Quan sát gợi ý trường ngoài nhỏ nhất ong có thể cảm nhận gần giá trị nào?

(a) $2.4 N / C$ ; (b) $16 N / C$ ; (c) $2.7 \times 10^{- 10} N / C$ ; (d) $4.8 \times 10^{- 10} N / C$ .

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: hoa +40 pC; khoảng gần nhất của ong là 0,15 m.

Hướng đi:

Mô hình tại tâm cho trường $k Q / r^{2}$ .
Chiều dài cuống không đi vào khoảng cách từ ong đến tâm đã cho.

E = \frac{k (40 \times 10^{- 12})}{{0.15}^{2}} \approx 16 N / C .

Chọn (b).

Đáp án phần luyện tập có hướng dẫn

Câu hỏi mở đầu

Chọn (ii). Phân tử nước có thường trực. Đầu dương hút ion âm và đầu âm hút ion dương, giữ các ion tách nhau trong dung dịch. Nước hòa tan kém hơn những chất không ion hóa như dầu.

VP21.4.1

$\vec{F} = (- 98.9 μ N) \hat{i}$ .

VP21.4.2

(a) $40.5 μ N$ hướng $+ x$ . (b) $13.6 μ N$ hướng $+ x$ . (c) $q_{2} = + 4.82 nC$ .

VP21.4.3

$3.45 μ N$ hướng $+ y$ .

VP21.4.4

$F_{x} = + 0.452 μ N$ , $F_{y} = + 0.329 μ N$ .

VP21.10.1

(a) $E_{x} = 0$ , $E_{y} = - 8.09 \times 10^{3} N / C$ .

(b) $E_{x} = 0$ , $E_{y} = + 6.18 \times 10^{2} N / C$ .

VP21.10.2

(a) $4.05 \times 10^{4} N / C$ hướng $+ x$ .

(b) $2.70 \times 10^{4} N / C$ hướng $+ x$ .

VP21.10.3

(a)

E = \frac{e}{4 π ε_{0} a^{2}} (1 - \frac{1}{2 \sqrt{2}}) .

(b) Trường hướng ra xa proton.

VP21.10.4

(a) $d q = (Q / L) d x$ .

(b)

\begin{aligned} d E_{x} & = - \frac{d q}{4 π ε_{0} x^{2}} \\ = - \frac{Q d x}{4 π ε_{0} L x^{2}}, \\ d E_{y} & = 0. \end{aligned}

VP21.14.1

(a) $1.41 \times 10^{- 24} N m$ . (b) $- 1.18 \times 10^{- 24} J$ .

VP21.14.2

$7.06 \times 10^{- 21} C$ .

VP21.14.3

$1.92 \times 10^{- 30} C m$ .

VP21.14.4

(a) $2.19 \times 10^{- 10} m$ . (b) $1.99 \times 10^{- 8} m$ .

Bài tổng hợp: Nửa vòng tích điện

\vec{E} = - \frac{2 k Q}{π a^{2}} \hat{j} .

Trường hướng $- y$ .

Đáp số bài lẻ

Đáp số các bài 21.1–21.39

Bài	Đáp số
21.1	(a) $2.00 \times 10^{10}$ electron. (b) $8.59 \times 10^{- 13}$ .
21.3	Proton: $3.4 \times 10^{18} m / s^{2}$ . Electron: $6.3 \times 10^{21} m / s^{2}$ .
21.5	$1.3 nC$ .
21.7	$3.7 km$ .
21.9	(a) $0.742 μ C$ . (b) $0.371 μ C$ , $1.48 μ C$ .
21.11	(a) $2.21 \times 10^{4} m / s^{2}$ .
21.13	$+ 0.750 nC$ .
21.15	$1.8 \times 10^{- 4} N$ hướng $+ x$ .
21.17	$2.58 μ N$ hướng $- y$ .
21.19	Lực hút.
21.21	(a) $4.40 \times 10^{- 16} N$ . (b) $2.63 \times 10^{11} m / s^{2}$ . (c) $2.63 \times 10^{5} m / s$ .
21.23	(a) $3.30 \times 10^{6} N / C$ hướng trái. (b) $14.2 ns$ . (c) $1.80 \times 10^{3} N / C$ hướng phải.
21.25	(a) $- 21.9 μ C$ . (b) $1.02 \times 10^{- 7} N / C$ .
21.27	(a) $364 N / C$ . (b) Không chạm bản, lệch $2.73 μ m$ xuống.
21.29	(a) $- \hat{j}$ . (b) $(\sqrt{2} / 2) \hat{i} + (\sqrt{2} / 2) \hat{j}$ . (c) $- 0.39 \hat{i} + 0.92 \hat{j}$ .
21.31	$3.09 \times 10^{- 3} N$ hướng $+ y$ .
21.33	$y = 20.0 cm$ .
21.35	(a) (i) $574 N / C$ hướng $+ x$ , (ii) $268 N / C$ hướng $- x$ , (iii) $404 N / C$ hướng $- x$ . (b) (i) $9.20 \times 10^{- 17} N$ hướng $- x$ , (ii) $4.30 \times 10^{- 17} N$ hướng $+ x$ , (iii) $6.48 \times 10^{- 17} N$ hướng $+ x$ .
21.37	$1.04 \times 10^{7} N / C$ hướng về nguồn $- 2.00 μ C$ .
21.39	(a) $8740 N / C$ hướng phải. (b) $6540 N / C$ hướng phải. (c) $1.40 \times 10^{- 15} N$ hướng phải.

Đáp số các bài 21.41–21.77

Bài	Đáp số
21.41	$1.73 \times 10^{- 8} N$ hướng về trung điểm hai electron.
21.43	(a) $E_{x} = E_{y} = E = 0$ . (b) $E_{x} = 2660 N / C$ , $E_{y} = 0$ , trường hướng $+ x$ . (c) $E_{x} = 129 N / C$ , $E_{y} = - 510 N / C$ , $E = 526 N / C$ , góc $284^{\circ}$ ngược chiều kim đồng hồ từ $+ x$ . (d) $E_{x} = 0$ , $E_{y} = E = 1380 N / C$ .
21.45	$113 N / C$ hướng $- x$ .
21.47	(a) $1340 N / C$ hướng $+ x$ . (b) $1340 N / C$ hướng $- x$ . (c) $8260 N / C$ hướng $+ x$ . (d) $8260 N / C$ hướng $- x$ .
21.49	(a) $\vec{E} = (7.0 N / C) \hat{i}$ . (b) $\vec{F} = (1.75 \times 10^{- 5} N) \hat{i}$ .
21.51	(a) $1.4 \times 10^{- 11} C m$ từ $q_{1}$ đến $q_{2}$ . (b) $860 N / C$ .
21.53	(a) Mômen cùng hoặc ngược chiều trường. (b) Bền khi cùng chiều, không bền khi ngược chiều.
21.55	(a) $1680 N$ , từ nguồn $+ 5.00 μ C$ về nguồn $- 5.00 μ C$ . (b) $22.3 N m$ theo chiều kim đồng hồ.
21.59	(a) $F_{x} = 8.63 \times 10^{- 5} N$ , $F_{y} = - 5.52 \times 10^{- 5} N$ . (b) $1.02 \times 10^{- 4} N$ , góc ${32.6}^{\circ}$ dưới $+ x$ .
21.61	(b) $2.80 μ C$ . (c) ${39.5}^{\circ}$ .
21.63	$3.41 \times 10^{4} N / C$ hướng trái.
21.65	(a) $1 nC$ . (b) $6 \times 10^{10}$ electron.
21.67	Cách nguồn $0.500 nC$ $0.24 m$ , nằm giữa hai nguồn.
21.69	$x = d / 3$ , $q = - 4 Q / 9$ .
21.73	(a) $6.0 \times 10^{23}$ proton. (b) Lực hấp dẫn $4.1 \times 10^{- 31} N$ , lực điện $510 kN$ . (c) Cảm nhận được lực điện, không cảm nhận được lực hấp dẫn giữa hai túi.
21.75	$2190 km / s$ .

Bài 21.57(b):

F = \frac{Q^{2}}{8 π ε_{0} L^{2}} (1 + 2 \sqrt{2}) .

Hướng ra xa tâm hình vuông.

Bài 21.71: (a) Độ lớn $6 q^{2} / (4 π ε_{0} L^{2})$ , hướng ra xa đỉnh trống. (b) Độ lớn:

F = \frac{3 q^{2}}{4 π ε_{0} L^{2}} (\sqrt{2} + \frac{1}{2}),

hướng về tâm hình vuông.

Bài 21.77:

\begin{aligned} h_{max} & = \frac{m v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 e E}, \\ d & = \frac{m v_{0}^{2} \sin 2 α}{e E} . \end{aligned}

(d) $h_{max} = 0.418 m$ , $d = 2.89 m$ .

Đáp số các bài 21.79–21.101

Bài 21.79:

\begin{aligned} E_{x} & = \frac{Q}{4 π ε_{0} a} (\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x}), \\ E_{y} & = 0, \\ \vec{F} & = \frac{q Q}{4 π ε_{0} a} (\frac{1}{r} - \frac{1}{r + a}) \hat{i} . \end{aligned}

Bài 21.81: (a) $1.56 N / C$ hướng $+ x$ . (c) Nhỏ hơn. (d) Chênh lệch ở $x = 10.0 cm$ khoảng $4.7 %$ .

Bài 21.83:

E_{x} = E_{y} = \frac{Q}{2 π^{2} ε_{0} a^{2}} .

Bài 21.85: (a) $6.25 \times 10^{4} N / C$ , hướng $225^{\circ}$ ngược chiều kim đồng hồ từ trục hướng phải tại P. (b) $1.00 \times 10^{- 14} N$ , ngược hướng trường.

Bài 21.87: (a) $Q = π (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) σ$ . (b) Với $x \neq 0$ :

\begin{aligned} E_{x} & = \frac{σ x}{2 ε_{0} \sqrt{x^{2} + R_{1}^{2}}} - \frac{σ x}{2 ε_{0} \sqrt{x^{2} + R_{2}^{2}}}, \\ \vec{E} & = E_{x} \hat{i} . \end{aligned}

Tại $x = 0$ , trường bằng không. (c) Khi $| x | ≪ R_{1}$ :

\vec{E} \approx \frac{σ}{2 ε_{0}} (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}}) x \hat{i} .

(d)

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{q σ}{2 ε_{0} m} (\frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}})} .

Bài 21.89: (a) $q_{1} = 8.00 μ C$ , $q_{2} = 3.00 μ C$ . (b) $7.50 N$ hướng $- x$ . (c) $x = 0.248 m$ .

Bài 21.91: (a) Trường hướng xuống với độ lớn:

E = \frac{σ}{2 ε_{0} \sqrt{1 + (R / Δ)^{2}}} .

(b) $m_{max} = q σ / (2 g ε_{0})$ .

\begin{aligned} W_{e} & = - \frac{q σ}{2 ε_{0}} (\sqrt{Δ^{2} + R^{2}} - R), \\ W_{g} & = m g Δ, \\ Δ_{max} & = \frac{2 R α}{1 - α^{2}}, \\ \frac{1}{2} m v^{2} & = W_{e} + W_{g} . \end{aligned}

(g) $m_{max} = 57.7 g$ , $Δ_{max} = 10.7 cm$ .

Bài 21.93: (b) Đặt $λ = Q / L$ :

\begin{aligned} r_{0} & = \sqrt{y_{2}^{2} + a^{2}}, \\ r_{L} & = \sqrt{(y_{2} - L)^{2} + a^{2}}, \\ d F_{2 x} & = \frac{k λ^{2}}{a} (\frac{y_{2}}{r_{0}} - \frac{y_{2} - L}{r_{L}}) d y_{2} . \end{aligned}

(c)

\begin{aligned} F_{2 x} & = \frac{2 k Q^{2}}{L^{2}} (\sqrt{1 + (L / a)^{2}} - 1), \\ {\vec{F}}_{2} & = F_{2 x} \hat{i} . \end{aligned}

(e)

W = \frac{2 k Q^{2}}{L} \ln \frac{L + \sqrt{a^{2} + L^{2}}}{a} + \frac{2 k Q^{2} a}{L^{2}} - \frac{2 k Q^{2}}{L^{2}} \sqrt{a^{2} + L^{2}} .

(f) $6.55 m / s$ .

Bài 21.95: (b) $q_{1} < 0$ , $q_{2} > 0$ . (c) $0.843 μ C$ . (d) $56.2 N$ .

Bài 21.97(a):

E_{x} = \frac{2 k Q}{L (2 x + a)} - \frac{2 k Q}{L (2 L + 2 x + a)} .

Bài 21.99: Chọn (c). Bài 21.101: Chọn (b).

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 21, trang 707–717 và đáp số phụ lục A-14–A-15.

Mục tiêu học tập ​

Kiến thức cần ôn ​

Điện tích và sự nhiễm điện

Lực điện và điện trường

Hướng trường và lưỡng cực

Tóm tắt ​

Điện tích, vật dẫn và vật cách điện ​

Lực Coulomb và chồng chất lực ​

Điện trường ​

Chồng chất trường và nguồn liên tục ​

Đường sức ​

Lưỡng cực điện ​

Tài liệu tham khảo ​

Luyện tập có hướng dẫn ​

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.3–21.4 ​

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.8–21.10 ​

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.13–21.14 ​

Bài tổng hợp: Điện trường ở tâm nửa vòng tròn ​

Câu hỏi thảo luận ​

Bài tập theo mục ​

Mục 21.3: Định luật Coulomb ​

Mục 21.4: Điện trường và lực điện ​

Mục 21.5: Tính điện trường ​

Mục 21.7: Lưỡng cực điện ​

Bài tập tổng hợp ​

Bài tập tổng hợp tiếp theo ​

Bài tập nâng cao ​

Bài tập đọc hiểu theo dạng MCAT ​

BIO: Điện tích của ong ​

Đáp án phần luyện tập có hướng dẫn ​

Đáp số bài lẻ ​

Tài liệu tham khảo ​

Mục tiêu học tập

Kiến thức cần ôn

Tóm tắt

Điện tích, vật dẫn và vật cách điện

Lực Coulomb và chồng chất lực

Điện trường

Chồng chất trường và nguồn liên tục

Đường sức

Lưỡng cực điện

Tài liệu tham khảo

Luyện tập có hướng dẫn

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.3–21.4

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.8–21.10

Các bài biến thể từ Ví dụ 21.13–21.14

Bài tổng hợp: Điện trường ở tâm nửa vòng tròn

Câu hỏi thảo luận

Bài tập theo mục

Mục 21.3: Định luật Coulomb

Mục 21.4: Điện trường và lực điện

Mục 21.5: Tính điện trường

Mục 21.7: Lưỡng cực điện

Bài tập tổng hợp

Bài tập tổng hợp tiếp theo

Bài tập nâng cao

Bài tập đọc hiểu theo dạng MCAT

BIO: Điện tích của ong

Đáp án phần luyện tập có hướng dẫn

Đáp số bài lẻ

Tài liệu tham khảo