Một đứa trẻ chạm vào quả cầu kim loại đã nhiễm điện, nhận và có những sợi tóc dựng lên do đẩy nhau. Nếu em đứng bên trong một vỏ kim loại lớn mang điện, liệu tóc có dựng lên như vậy không?

Hiện tượng tóc dựng khi cơ thể nhận điện tích từ máy phát tĩnh điện

Bài tập: Câu hỏi mở đầu

Khi đứng trong vỏ kim loại lớn mang điện, em sẽ (i) nhận cùng dấu với vỏ và tóc dựng lên, (ii) nhận điện tích trái dấu và tóc dựng lên, (iii) không nhận điện tích và tóc không dựng, hay (iv) có thể xảy ra bất kỳ trường hợp nào tùy điện tích của vỏ?

Một hình trụ không thay đổi hình dạng khi quay quanh trục. Một quả cầu tích điện đều cũng không có phương đặc biệt nào qua tâm. Những tính đối xứng như vậy không chỉ giúp ta mô tả hình học mà còn làm đơn giản đáng kể việc tính .

sẽ cho phép tìm trường của dây dài hoặc mặt phẳng tích điện bằng vài bước, thay cho những dài. Tuy nhiên, ý nghĩa của định luật rộng hơn một cách tính thuận tiện. Nó phát biểu một quan hệ nền tảng giữa và , đồng thời giải thích điện tích dư phân bố như thế nào trên .

Ta tưởng tượng dựng một mặt kín bao quanh một phân bố , rồi xét ở mọi điểm trên mặt. liên hệ trường trên mặt đó với tổng đại số điện tích được bao bên trong. Cách nhìn này sẽ tiếp tục được sử dụng trong những chương điện học tiếp theo.

Sau chương này, bạn cần thực hiện được những việc sau:

• Suy ra tổng bên trong một mặt kín từ thông tin trên mặt.
• Tính qua mặt phẳng và mặt cong, với quy ước hướng pháp tuyến rõ ràng.
• Phát biểu và phân biệt được bao với mọi điện tích tạo ra trường.
• Chọn phù hợp để tìm trường của phân bố có đối xứng cầu, trụ hoặc phẳng.
• Xác định trên mặt trong, mặt ngoài của và giải thích sự .

Trước khi đọc, cần ôn , nguyên lý chồng chất và đường sức ở các mục 21.4–21.6, cùng và .

5 chủ đề · tổng cộng khoảng 15 phút đọc

Điện tích và điện thông

1. 1Điện tích và điện thôngTrường bên ngoài cho biết gì về điện tích bên trong?Khoảng 3 phút
2. 2Tính điện thôngDiện tích, pháp tuyến và trường đi vào tích phân như thế nào?Khoảng 3 phút

Định luật và các cấu hình đối xứng

1. 3Định luật GaussVì sao điện thông tổng chỉ phụ thuộc điện tích được bao?Khoảng 3 phút
2. 4Áp dụng định luật GaussChọn mặt Gauss thế nào để tìm điện trường?Khoảng 3 phút

Điện tích trên vật dẫn

1. 5Điện tích và che chắn tĩnh điện trên vật dẫnĐiện tích mặt trong, mặt ngoài và trường trong hốc liên hệ thế nào?Khoảng 3 phút

Tóm tắt

Điện thông

Điện thông qua mặt nghiêng được xác định bằng diện tích hình chiếu

đo thành phần vuông góc một mặt. Với mặt phẳng trong trường đều, điện thông bằng của điện trường và vector diện tích. Với mặt cong hoặc trường không đều, cần tích phân mặt:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& =\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{A}\\ & =EA\cos \phi ,\\ {\mathrm{\Phi }}_E& ={\int }_A\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}.\end{array}$$

Góc φ đo từ pháp tuyến đã chọn đến trường. Xem Ví dụ 22.1–22.3.

Định luật Gauss

Mặt kín bao một điện tích có điện thông không phụ thuộc hình dạng mặt

Chú thích:

• Pháp tuyến hướng ra ngoài của mặt. (Outward normal to surface)

tổng qua một mặt kín bằng tổng được bao chia cho ${\epsilon }_0$. Pháp tuyến của mặt kín luôn hướng ra ngoài:

$$\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{\mathrm{trong}}}{{\epsilon }_0}.$$

Định luật đúng với mọi mặt kín và mọi phân bố nguồn. Nó đặc biệt thuận tiện để tìm trường khi có đối xứng cầu, trụ hoặc phẳng. Xem Ví dụ 22.4–22.12.

Trường của các phân bố đối xứng

Phân bố	Vị trí	Độ lớn trường
Một điểm q	Cách nguồn r	$\frac{k
q đều trên mặt cầu bán kính R	Ngoài cầu, r > R	$\frac{k
Cùng mặt cầu	Trong cầu, r < R	0
Dây thẳng dài vô hạn, mật độ λ	Cách dây r	$\frac{
Trụ dẫn dài vô hạn, mật độ dài λ	Ngoài trụ	$\frac{
Cùng trụ dẫn	Trong vật liệu	0
Mặt phẳng cách điện vô hạn, mật độ σ	Hai phía mặt	$\frac{
Quả cầu cách điện có Q đều trong thể tích	Ngoài cầu	$\frac{k
Cùng quả cầu cách điện	Trong cầu	$\frac{k
Hai bản dẫn lớn song song trái dấu	Giữa bản, xa mép	$\frac{
Cùng hai bản	Ngoài hệ trong mô hình vô hạn	0
bất kỳ ở cân bằng	Trong vật liệu	0
Cùng	Ngay ngoài mặt	$\frac{

Trường của nguồn dương hướng ra, nguồn âm hướng vào. Trong bảng, r là khoảng cách xuyên tâm hoặc khoảng cách vuông góc đến trục tùy phân bố. Mặt cầu có trên bề mặt và quả cầu có điện tích trong thể tích là hai mô hình khác nhau.

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 22, trang 718–746.

Luyện tập có hướng dẫn

Biến thể từ Ví dụ 22.2–22.4

Bài tập: VP22.4.1

Mặt lập phương tưởng tượng có các cạnh song song trục x,y,z, hai đỉnh đối diện ở (0,0,0) và (L,L,L). Trong vùng có trường đều $\overrightarrow{E}=E_1\hat{\mathbf{i}}+E_2\hat{\mathbf{j}}$, với E₁,E₂ dương. Tính qua mặt (a) x = 0, (b) x = L, (c) y = 0, (d) y = L, (e) z = 0, (f) z = L và (g) toàn lập phương. Pháp tuyến mọi mặt hướng ra ngoài.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mỗi mặt có diện tích L², trường không có thành phần z.

Hướng đi:

• Mỗi bằng thành phần trường có dấu theo pháp tuyến nhân L².
• Các mặt tại tọa độ 0 có pháp tuyến theo chiều âm, các mặt tại L theo chiều dương.

Các kết quả (a)–(f) lần lượt −E₁L², +E₁L², −E₂L², +E₂L², 0, 0. Từng cặp đối diện triệt tiêu nên (g) tổng bằng không.

Bài tập: VP22.4.2

Nguồn điểm q tại gốc. Cắt bỏ nửa z < 0 của mặt cầu bán kính R tâm tại gốc, giữ lại mặt cong bán cầu z ≥ 0. Pháp tuyến hướng ra xa tâm. Tính khi (a) q = 8,00 nC, R = 0,100 m, (b) q = −4,00 nC, R = 0,100 m, (c) q = −4,00 nC, R = 0,200 m.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chỉ mặt cong bán cầu, nguồn ở tâm mặt cầu ban đầu.

Hướng đi:

• Trường xuyên tâm, phân bố như nhau theo góc khối.
• Bán cầu chiếm nửa diện tích cầu cùng bán kính, nên bằng q/(2${\epsilon }_0$).

Kết quả (a) +452, (b) −226, (c) −226 N m²/C. Bán kính không ảnh hưởng. Không thêm mặt đáy đi qua nguồn vào phép tính mặt cong này.

Bài tập: VP22.4.3

Lập phương tưởng tượng cạnh 5,00 cm có q = +6,00 nC tại tâm. Tính (a) qua toàn mặt kín, (b) qua một trong sáu mặt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn ở tâm lập phương, sáu mặt tương đương về đối xứng.

Hướng đi:

• Gauss cho toàn phần q/${\epsilon }_0$.
• Đối xứng chia đều cho sáu mặt, dù trường không đều trên mỗi mặt.

(a) Φ = +678 N m²/C. (b) Φ/6 = +113 N m²/C. Không được suy từ chia đều sang trường đều trên từng mặt.

Bài tập: VP22.4.4

Mặt cầu tưởng tượng R = 5,00 cm tâm tại gốc. Tính khi có (a) q₁ = +3,00 nC ở (1,00 cm,1,00 cm,0), (b) thêm q₂ = −8,00 nC ở (2,00 cm,0,−4,00 cm), (c) thêm q₃ = +2,00 nC ở (4,00 cm,−2,00 cm,3,00 cm).

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: So khoảng cách từng nguồn đến gốc với 5,00 cm.

Hướng đi:

• q₁ cách gốc √2 cm, q₂ cách √20 cm, đều nằm trong.
• q₃ cách √29 cm, nằm ngoài và không góp tổng.

(a) +339 N m²/C. (b) Tổng được bao −5,00 nC cho −565 N m²/C. (c) Vẫn −565 N m²/C, dù nguồn thứ ba làm trường trên mặt thay đổi.

Biến thể từ Ví dụ 22.5–22.10

Bài tập: VP22.10.1

Cầu bán kính 5,00 cm mang +3,00 nC. Tìm độ lớn trường tại r = 4,00 cm và 6,00 cm nếu cầu là (a) đặc, đều trong thể tích, (b) vật dẫn đặc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm 4 cm trong cầu, điểm 6 cm ngoài cầu.

Hướng đi:

• Với cầu cách điện đều, trường trong bằng kQr/R³.
• Với cầu dẫn, trường trong vật liệu bằng không. Trường ngoài của cả hai cùng kQ/r².

(a) Hai độ lớn tương ứng $8.63\times {10}^3$ và $7.49\times {10}^3$ N/C. (b) Tương ứng 0 và $7.49\times {10}^3$ N/C. Các trường khác không hướng ra.

Bài tập: VP22.10.2

Nguồn q = −4,00 nC cách dây mảnh dài vô hạn 9,00 cm. Dây có mật độ dài $3.00\times {10}^{-9}$ C/m. Tìm độ lớn lực dây lên nguồn điểm và xác định hút hay đẩy.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn âm gần dây dương, r = 0,0900 m.

Hướng đi:

• Trường dây dài bằng λ/(2π${\epsilon }_0$r), lực có độ lớn |q|E.
• Hai nguồn trái dấu nên lực hút hướng về dây.

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{|q|\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\\ & =2.40\times {10}^{-6}\mathrm{N}\\ & =2.40\mu \mathrm{N}.\end{array}$$

Bài tập: VP22.10.3

Nguồn q = +1,80 nC cách mặt phẳng cách điện mỏng vô hạn 8,00 cm, mật độ mặt đều chưa biết. Trường tổng bằng không ở trung điểm giữa nguồn và mặt. Tìm mật độ mặt và dấu của nó.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm trường cách nguồn 0,0400 m và nằm giữa nguồn với mặt.

Hướng đi:

• Trường nguồn dương tại trung điểm hướng về phía mặt, nên mặt phải dương để cho trường ngược lại.
• Cân bằng $kq/r^2=\sigma /(2{\epsilon }_0)$.

$$\begin{array}{rl}\sigma & =2{\epsilon }_0\frac{kq}{r^2}\\ & =+1.79\times {10}^{-7}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Bài tập: VP22.10.4

Hai bản dẫn lớn song song mang trái dấu và cùng độ lớn. Nguồn +3,60 nC đặt giữa bản chịu lực 22,0 µN. Tìm độ lớn mật độ mặt trên mỗi bản.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: F và q cho trường giữa bản E = F/q.

Hướng đi:

• Hai mặt đối diện mang điện có trường giữa bản E = |σ|/${\epsilon }_0$.
• Đây là hai bản dẫn, nên không dùng riêng hệ số 1/(2${\epsilon }_0$) của một mặt cách điện.

$$\begin{array}{rl}|\sigma |& =\frac{{\epsilon }_{0}F}{q}\\ & =5,41\times {10}^{-8}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Biến thể từ Ví dụ 22.11–22.12

Bài tập: VP22.12.1

Khối đồng dẫn tốt có hốc. Nguồn +3,00 nC trong hốc cách điện với khối. Khối đồng mang dư −8,00 nC. Tìm điện tích (a) mặt ngoài và (b) thành hốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn q = +3,00 nC trong hốc, khối dẫn −8,00 nC.

Hướng đi:

• Thành hốc phải −q để trường trong vật liệu bằng không.
• Phần còn lại của tổng khối nằm trên mặt ngoài.

(b) Thành hốc −3,00 nC. (a) Mặt ngoài −8,00 − (−3,00) = −5,00 nC. Cộng hai mặt đúng bằng −8,00 nC.

Bài tập: VP22.12.2

Cầu bạc dẫn có hốc cầu ở tâm, nguồn điểm ở tâm hốc. Mặt ngoài có +9,00 nC, thành hốc có −2,00 nC. (a) Tìm nguồn điểm. (b) Nếu nguồn điểm chuyển đến vị trí lệch tâm trong hốc, tổng trên mỗi mặt có đổi không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tổng thành hốc cho dấu và độ lớn nguồn.

Hướng đi:

• trong vật liệu buộc q cộng thành hốc bằng không.
• Dời nguồn không truyền , nên các tổng điện tích giữ nguyên dù mật độ thay đổi.

(a) q = +2,00 nC. (b) Cả hai tổng không đổi. Phân bố thành hốc trở nên không đều khi nguồn lệch tâm.

Bài tập: VP22.12.3

Trong một trình diễn tại Deutsches Museum ở Munich, một người ngồi trong vỏ cầu kim loại bán kính 0,90 m. Nạp điện cho đến khi trường ngay ngoài mặt có độ lớn $3.0\times {10}^5$ N/C. Người ra ngoài sau trình diễn không bị ảnh hưởng. Tìm độ lớn (a) trường trong cầu, (b) tổng trên cầu, (c) mật độ mặt ngoài.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ dẫn kín, hốc không có nguồn riêng, trường ngoài mặt đã biết.

Hướng đi:

• cho E trong hốc bằng không.
• Trường ngoài cầu và quan hệ E = |σ|/${\epsilon }_0$ cho hai độ lớn còn lại.

(a) E = 0. (b) $|Q|=E{R}^2/k=2.7\times {10}^{-5}$ C. (c) $|\sigma |={\epsilon }_{0}E=2.7\times {10}^{-6}$ C/m². Dấu chưa xác định vì chỉ cho độ lớn trường.

Bài tập: VP22.12.4

Cầu dẫn bán kính ngoài 0,330 m có hốc cầu đồng tâm bán kính 0,120 m. mang tổng −6,00 nC, nguồn +4,00 nC ở tâm hốc. Tìm (a) thành hốc, (b) điện tích mặt ngoài, (c) độ lớn trường ngay bên trong hốc sát thành, (d) độ lớn trường ngay ngoài mặt ngoài.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn tâm +4 nC, tổng −6 nC.

Hướng đi:

• Thành hốc mang −4 nC để tổng trong thuộc vật liệu bằng không.
• Mặt ngoài còn −2 nC. Tính trường hốc bằng nguồn tâm, trường ngoài bằng tổng toàn hệ.

(a) −4,00 nC. (b) −2,00 nC. (c) Trường trong hốc sát thành là:

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{k(4.00\times {10}^{-9})}{{0.120}^2}\\ & =2.50\times {10}^3\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Trường này hướng ra. (d) Trường ngoài có độ lớn $E=k(2.00\times {10}^{-9})/{0.330}^2$, bằng 165 N/C và hướng vào. Ở phía vật liệu dẫn của mặt trong, trường bằng không, khác với giới hạn lấy từ phía hốc ở (c).

Bài tổng hợp: Điện trường trong nguyên tử hydrogen

Bài tập: Bài tổng hợp 22

Nguyên tử hydrogen gồm proton $+Q=1.60\times {10}^{-19}$ C ở r = 0 và electron −Q. Trong mô hình phân bố cầu, chuyển động electron làm âm trải ra với mật độ:

$$\rho (r)=-\frac{Q}{\pi a_0^3}{e}^{-2r/a_0}.$$

Bán kính Bohr $a_0=5.29\times {10}^{-11}$ m. (a) Tìm tổng của nguyên tử được bao trong cầu bán kính r. (b) Tìm độ lớn và hướng theo r. (c) Vẽ tỷ số giữa độ lớn trường tổng và trường của riêng proton theo r, thuận tiện dùng r/a₀.

Hình 22.29: Proton điểm và phân bố điện tích cầu của electron

Chú thích:

• Proton được xem là điện tích điểm +Q. (Proton: point charge +Q)
• Điện tích −Q của electron được phân bố lan tỏa theo đối xứng cầu. (Electron: charge −Q “smeared out” in a spherical distribution)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn điểm +Q cộng mật độ âm biến thiên theo r. Phân bố đối xứng cầu.

Hướng đi:

• Chọn cầu đồng tâm như Ví dụ 22.9.
• được bao gồm proton và phần điện tích electron nằm trong r. Vì mật độ không đều, không được lấy mật độ tại r nhân toàn thể tích.
• Chia phân bố electron thành lớp cầu mỏng bán kính s, bề dày ds, thể tích $dV=4\pi s^{2}ds$.
• từ 0 đến r, rồi dùng Gauss. Đổi biến x = 2s/a₀ giúp tính tích phân bằng từng phần.
• Dùng tỷ số trường để vẽ đồ thị và xét giới hạn gần tâm, xa tâm.

(a) được bao là:

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}(r)& =Q+4\pi {\int }_0^r\rho (s)s^{2}ds\\ & =Q-\frac{4Q}{a_0^3}\times {\int }_0^r{s}^2{e}^{-2s/a_0}ds.\end{array}$$

Đặt x = 2s/a₀, cận trên X = 2r/a₀. Khi đó:

$$Q_{\mathrm{trong}}=Q-\frac{Q}{2}{\int }_0^X{x}^2{e}^{-x}dx.$$

Hai lần từng phần lần lượt hạ x² xuống 2x rồi xuống hằng số, cho nguyên hàm:

$$\int x^2{e}^{-x}dx=-e^{-x}(x^2+2x+2).$$

Thay hai cận cho $Q_{\mathrm{trong}}=Q{e}^{-X}(1+X+X^2/2)$. Viết u = r/a₀ cho kết quả:

$$Q_{\mathrm{trong}}=Q{e}^{-2u}(1+2u+2u^2).$$

(b) Mọi r > 0 đều có được bao dương. Trường hướng xuyên tâm ra ngoài:

$$E(r)=\frac{kQ}{r^2}{e}^{-2u}(1+2u+2u^2).$$

(c) Chia cho trường proton $E_p=kQ/r^2$:

$$\frac{E}{E_p}=e^{-2u}(1+2u+2u^2).$$

Tỷ số trường tổng trong mô hình hydrogen so với trường proton theo r/a₀

Khi r tiến về 0, được bao tiến về +Q và tỷ số tiến về 1. Trường vẫn tăng không giới hạn theo mô hình proton điểm. Khi r tiến ra vô hạn, điện tích được bao tiến về 0 và trường giảm nhanh về không. Tổng nguyên tử trung hòa vì toàn bộ phân bố electron có điện tích −Q. Đồ thị tỷ số giảm từ 1 về 0, cho thấy phần điện tích âm dần che bớt trường proton khi khảo sát xa tâm hơn.

Câu hỏi thảo luận

Bài tập: Q22.1

Một bóng cao su chứa một điểm. qua bóng có phụ thuộc bóng đã bơm căng hoàn toàn hay chưa không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: vẫn ở trong bóng khi hình dạng và kích thước bóng thay đổi.

Hướng đi:

• Bóng là mặt kín, nên Gauss liên hệ với được bao.
• Thay đổi hình dạng không thay đổi q.

luôn q/${\epsilon }_0$. Trường trên từng phần mặt có thể đổi, nhưng tổng không đổi nếu không đi qua mặt bóng.

Bài tập: Q22.2

Nếu cả hai nguồn trong Hình 22.15 đều dương, qua A, B, C và D bằng bao nhiêu?

Hình 22.15: Bốn mặt kín bao những phần khác nhau của một lưỡng cực

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Thay −q thành +q, giữ các mặt bao như cũ.

Hướng đi:

• Mỗi được bao đóng góp q/${\epsilon }_0$.
• Cộng của cả hai nguồn nếu mặt bao cả hai.

Các theo A,B,C,D là q/${\epsilon }_0$, q/${\epsilon }_0$, 2q/${\epsilon }_0$ và 0.

Bài tập: Q22.3

Đặt thêm một điểm ở ngoài mặt tím C trong Hình 22.15. qua A, B, C hoặc D có thay đổi không? Vì sao?

Hình 22.15: Bốn mặt kín bao những phần khác nhau của một lưỡng cực

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn mới nằm ngoài các mặt đang xét trong hình.

Hướng đi:

• Trường nguồn ngoài có thể khác không trên mặt nhưng tổng của nó bằng không.
• Gauss chỉ đếm nguồn được bao.

Trong Hình 22.15, các mặt A, B và D đều nằm trong mặt C. Nguồn mới ở ngoài C vì thế cũng ở ngoài ba mặt còn lại. Nó có thể làm tại từng điểm trên các mặt thay đổi, nhưng không làm thay đổi tổng qua bất kỳ mặt nào. Cả bốn điện thông giữ nguyên.

Bài tập: Q22.4

Vùng được giới hạn bởi mặt kín tưởng tượng không chứa . Trường có luôn bằng không tại mọi điểm trên mặt không? Nếu không, trong trường hợp nào trường trên mặt bằng không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q được bao bằng không, không có giả thiết triệt tiêu trường ngoài.

Hướng đi:

• Gauss chỉ bắt buộc bằng không.
• Muốn trường tại mỗi điểm bằng không cần thêm thông tin về nguồn và che chắn hoặc đối xứng thích hợp.

Không. Trường đều đi xuyên hộp là phản ví dụ. Trường trên mặt bằng không nếu không có nguồn trường nào, nếu các trường thành phần triệt tiêu tại mọi điểm mặt, hoặc nếu mặt nằm hoàn toàn trong vật liệu dẫn cân bằng tĩnh điện. Không thể suy ra một trong các điều kiện ấy chỉ từ Q được bao bằng không.

Bài tập: Q22.5

cầu bao điểm q. Dời q từ tâm đến một vị trí lệch tâm nhưng vẫn trong cầu có làm trường ở một điểm trên mặt thay đổi không? Có làm tổng thay đổi không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn thay vị trí nhưng không đi qua mặt.

Hướng đi:

• Trường Coulomb tại điểm phụ thuộc vector nối nguồn đến điểm đó.
• Gauss chỉ phụ thuộc tổng q được bao.

Trường tại một điểm nhìn chung đổi cả độ lớn và hướng. vẫn q/${\epsilon }_0$. Khi nguồn lệch tâm, không còn được lấy một độ lớn E chung nhân toàn diện tích mặt cầu.

Bài tập: Q22.6

Bạn nhận một hộp kín, nghi trong đó có nhiều cầu kim loại mang điện được bọc . Có thể xác định tổng trong hộp mà không mở không? Nếu có, bằng cách nào?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cần tổng, không cần biết từng cầu.

Hướng đi:

• Đo thành phần trường theo pháp tuyến trên một mặt kín bao hộp.
• rồi nhân ${\epsilon }_0$.

Có thể về nguyên tắc, bằng $Q={\epsilon }_0\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}$. Nếu bản thân thành hộp mang điện, phép đo cho tổng của cả thành và vật bên trong. Muốn tách riêng các cầu phải biết của thành hộp. Đo trường tại một vài điểm không đủ cho hộp có phân bố bất kỳ.

Bài tập: Q22.7

Cầu đồng đặc có dương đều trên mặt và trường trong bằng không. Đưa nguồn âm bên ngoài đến gần. Điện tích dư còn nằm hoàn toàn trên mặt không? Còn đều không? Nếu không, phân bố thế nào? Trường trong vật liệu còn bằng không không? Giải thích từng ý.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn ngoài phá đối xứng cầu của toàn hệ, nhưng cầu vẫn dẫn và đạt cân bằng.

Hướng đi:

• Tính chất cân bằng vẫn cho E = 0 trong vật liệu và dư trên mặt.
• Nguồn âm hút phần dương về phía gần nó, nên mật độ không còn đều.

dư vẫn trên mặt. Phía gần nguồn âm có mật độ dương lớn hơn, phía xa giảm mật độ dương và có thể mang mật độ âm nếu cảm ứng đủ mạnh. Tổng điện tích của cầu vẫn giữ nguyên nếu không tiếp xúc hay nối đất. Trường trong vật liệu tiếp tục bằng không sau khi điện tích tái phân bố.

Bài tập: Q22.8

Nếu trường nguồn điểm tỷ lệ 1/r³ thay cho 1/r², có còn đúng không? Gợi ý: Xét cầu Gauss tâm tại nguồn điểm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Giả sử một quy luật trường khác và kiểm tra cầu.

Hướng đi:

• Với nguồn ở tâm, bằng E nhân 4πr².
• Xem kết quả còn độc lập bán kính hay không.

Nếu E ∝ 1/r³ thì Φ ∝ 1/r. thay đổi khi đổi bán kính dù được bao không đổi. Vì thế không thể giữ nguyên dạng Q/${\epsilon }_0$.

Bài tập: Q22.9

Trong , một hoặc nhiều electron của mỗi nguyên tử có thể đi khắp thể tích. Điều này có mâu thuẫn với phát biểu dư ở vật dẫn đặc chỉ nằm trên mặt không? Vì sao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phân biệt các hạt mang điện trong vật chất và dư tổng.

Hướng đi:

• dư là phần không được điện tích trái dấu cân bằng tại trạng thái vĩ mô.
• vẫn chứa electron và ion dương trong toàn thể tích dù dư ở đó bằng không.

Không mâu thuẫn. có mặt và chuyển động vi mô trong khối vật liệu, nhưng mật độ âm của chúng cân bằng mật độ dương của mạng ion về tổng. Kết luận trên mặt nói về phần dư ở cân bằng tĩnh điện, không nói mọi electron phải rời thể tích.

Bài tập: Q22.10

Nạp điện máy Van de Graaff ở Hình 22.26, rồi đưa đến gần một vỏ cầu dẫn giống hệt nhưng trung hòa, không cho hai cầu chạm nhau. Phác phân bố trên cầu thứ hai. tổng qua nó và trường trong nó bằng bao nhiêu?

Hình 22.26: Đai cách điện chuyển điện tích đến vỏ dẫn của máy Van de Graaff

Chú thích:

• Động cơ kéo đai. (Motor for belt)
• Bộ phận thu electron. (Electron sink)
• Trụ đỡ cách điện. (Insulating support)
• Đai cách điện. (Insulating belt)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu thứ hai trung hòa, có hốc trống, đặt gần nguồn ngoài dương.

Hướng đi:

• Nguồn dương hút electron về phía gần, làm phía gần âm và phía xa dương.
• Cảm ứng không truyền giữa hai cầu, nên điện tích tổng cầu hai vẫn không.
• cho trường trong vật liệu và hốc trống bằng không.

Phác dấu trừ tập trung ở phía hướng về máy, dấu cộng phía xa, mật độ nói chung không đều. tổng bằng không. Trường trong vật liệu và trong hốc bằng không sau khi đạt cân bằng, còn trường ở ngoài mặt cầu khác không.

Bài tập: Q22.11

Cột thu sét là thanh đồng đầu tròn đặt trên mái, nối bằng cáp đồng lớn xuống đất. Vì sao dòng sét đi qua đồng thay vì công trình? Vì sao đầu thanh được làm tròn?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: So sánh đường dẫn điện và tác dụng của hình dạng đầu .

Hướng đi:

• Kim loại có tự do dễ chuyển động hơn vật liệu cách điện của công trình, nên cung cấp đường dẫn dòng.
• Đầu nhọn có độ cong lớn làm và trường tập trung mạnh hơn đầu tròn. Tính chất này sẽ được xét thêm qua điện thế.

Cáp đồng dẫn dòng xuống đất qua một đường dẫn điện tốt. Làm tròn đầu hạn chế sự tập trung quá mạnh của và trường tại một mũi nhọn, từ đó hạn chế phóng điện cục bộ do trường rất lớn.

Bài tập: Q22.12

đặc có hốc. Nguồn điểm trong hốc có ảnh hưởng trường ngoài vật dẫn không? Vì sao? Nguồn điểm ngoài vật dẫn có ảnh hưởng trường trong hốc không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Phải phân biệt cô lập với vật dẫn nối đất.

Hướng đi:

• Nguồn q trong hốc tạo −q ở mặt trong. Với cô lập, mặt ngoài có tổng tăng thêm q.
• Trường ngoài bị kín che chắn khỏi hốc trong trạng thái tĩnh điện.

Với cô lập, có ảnh hưởng trường ngoài vì cảm ứng mặt ngoài thay đổi. Nếu vật dẫn nối đất, điện tích có thể trao đổi với đất và nguồn trong có thể được che chắn khỏi bên ngoài. Nguồn ngoài không làm thay đổi trường trong hốc kín khi các nguồn riêng trong hốc giữ nguyên. Nó chỉ làm thay đổi điện tích mặt ngoài. Hốc không chứa nguồn có trường bằng không.

Bài tập: Q22.13

Giải thích phát biểu trường tại mặt tĩnh điện không có thành phần song song mặt, vì nếu có mặt không thể đứng yên. Phát biểu có đúng với mặt vật cách điện không? Giải thích sự khác nhau.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cân bằng của tự do trên mặt dẫn và điện tích bị giữ trên mặt cách điện.

Hướng đi:

• Thành phần trường tiếp tuyến gây lực tiếp tuyến qE lên hạt mang điện.
• cho phép các hạt tái phân bố, vật cách điện có thể giữ tại chỗ.

Trên , thành phần tiếp tuyến khác không làm tự do chuyển động. Chúng tái phân bố cho đến khi thành phần ấy triệt tiêu. Trên vật cách điện, điện tích bị ràng buộc bởi vật liệu, nên có thể đứng yên dù trường ngoài có thành phần tiếp tuyến. Vì thế không áp dụng cùng kết luận cho mặt cách điện.

Bài tập: Q22.14

Một vùng có đều. (a) Dùng Gauss chứng minh mật độ thể tích ρ trong vùng phải bằng không. (b) Chiều đảo có đúng không, tức vùng không có có buộc trường đều không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Xét những mặt hộp kín nhỏ nằm hoàn toàn trong vùng.

Hướng đi:

• Với trường đều, hai mặt đối diện triệt tiêu.
• Gauss cho trong mọi hộp nhỏ bằng không, suy ra mật độ bằng không.

(a) Φ = 0 cho mọi hộp nên Q được bao bằng không ở mọi phần thể tích, tức ρ = 0. (b) Không. Một vùng ngoài nguồn điểm không chứa nhưng trường thay đổi theo khoảng cách và hướng. Điều kiện mật độ không không buộc trường đều.

Bài tập: Q22.15

(a) Trong vùng có mật độ thể tích dương đều ρ, trường có thể đều không? Giải thích. (b) Nếu trong vùng có một “bong bóng” mà ρ = 0, trường trong bong bóng có thể đều không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ khác không trong vật liệu, còn bong bóng không chứa .

Hướng đi:

• Dùng kết quả Q22.14 để loại trừ trường đều ở vùng có ρ khác không.
• Với bong bóng, xét một cấu hình cụ thể bằng chồng chất thay vì suy từ ρ = 0 sang “bắt buộc đều”.

(a) Không. Trường đều sẽ cho không qua hộp nhỏ, trái với dương trong hộp. (b) Có thể. Một hốc cầu nằm trong cầu tích điện đều cho trường đều như Bài 22.53. Nhưng không phải mọi hình dạng bong bóng hoặc phân bố xung quanh đều cho trường đều. Mật độ không chỉ làm điều đó có thể xảy ra, không bảo đảm nó.

Bài tập: Q22.16

Đặt nguồn −Q trong hốc của vật kim loại, nối mặt ngoài với đất. Có dư cảm ứng mặt trong hay mặt ngoài không? Người ngoài có đo trường do −Q không? Có thể nói nối đất che chắn bên ngoài khỏi nguồn trong không? Về nguyên tắc, có thể làm tương tự với hấp dẫn không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: nối đất, không có nguồn ngoài khác trong mô hình.

Hướng đi:

• Gauss trong vật liệu buộc mặt trong mang +Q.
• Nối đất cho phép trao đổi để mặt ngoài không còn điện tích dư do nguồn trong gây ra.
• Che chắn điện dựa vào hai dấu và khả năng tái phân bố.

Mặt trong có +Q. Mặt ngoài không có dư do nguồn −Q, nên không có trường bên ngoài do cấu hình nguồn trong. Có thể gọi đây là theo chiều từ trong ra ngoài. Không có cách che chắn hấp dẫn tương tự bằng một vật liệu thông thường, vì khối lượng không có hai dấu có thể bố trí để tạo cơ chế triệt tiêu như điện tích dương và âm.

Bài tập theo mục

Điện thông

Bài tập 22: 1 •

Tờ giấy phẳng diện tích 0,250 m² có pháp tuyến hợp góc 60° với trường đều 14 N/C. (a) Tìm độ lớn . (b) Kết quả có phụ thuộc hình dạng tờ giấy không? Giải thích. (c) Góc giữa pháp tuyến và trường bằng bao nhiêu để độ lớn điện thông lớn nhất hoặc nhỏ nhất?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: A = 0,250 m², E = 14 N/C, φ = 60°.

Hướng đi:

• Dùng ${\mathrm{\Phi }}_E=EA\cos \phi$ vì mặt phẳng và trường đều.
• Muốn xét độ lớn, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của |cosφ|.

(a) có độ lớn $14(0.250)\cos {60}^{\circ }=1.75$ N m²/C. (b) Không phụ thuộc đường biên, vì A và hướng mặt đã xác định. (c) Độ lớn lớn nhất ở φ = 0° hoặc 180°, nhỏ nhất bằng không ở 90°. Nếu chỉ xét góc nhọn giữa phương pháp tuyến và phương trường, hai góc tương ứng là 0° và 90°.

Bài tập 22: 2 ••

Mặt chữ nhật có các cạnh 0,400 m và 0,600 m, nằm trong trường đều 90,0 N/C hợp góc 20° với mặt phẳng. Tìm độ lớn .

Hình E22.2: Góc 20 độ được đo giữa trường và mặt phẳng

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: A = 0,240 m², góc trường với mặt bằng 20°.

Hướng đi:

• Công thức dùng góc với pháp tuyến, nên φ = 70°.
• Dùng $\cos {70}^{\circ }=\sin {20}^{\circ }$ để tránh lấy nhầm cos20°.

$$\begin{array}{rl}|{\mathrm{\Phi }}_E|& =90.0(0.400)(0.600)\sin {20}^{\circ }\\ & =7.39\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}.\end{array}$$

Bài tập 22: 3 •

Đo được trường $1.25\times {10}^6$ N/C cách một nguồn điểm 0,150 m. Không có nguồn nào khác trong vùng. (a) Tìm qua cầu bán kính 0,150 m tâm tại nguồn. (b) Tìm độ lớn nguồn.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường nguồn điểm có E đã biết tại r = 0,150 m.

Hướng đi:

• Đối xứng cầu cho trường vuông góc mặt và cùng độ lớn, nên độ lớn là $4\pi r^{2}E$.
• Dùng $|q|={\epsilon }_0|{\mathrm{\Phi }}_E|$ để tìm .

$$\begin{array}{rl}|{\mathrm{\Phi }}_E|& =3.53\times {10}^5\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C},\\ |q|& =3.13\mu \mathrm{C}.\end{array}$$

Đề chỉ cho độ lớn trường, nên dấu chưa xác định. Trường hướng ra cho điện thông dương, trường hướng vào cho điện thông âm.

Bài tập 22: 4 •

Dây dài vô hạn mang mật độ dương λ = 3,00 µC/m đi dọc trục một mặt trụ tưởng tượng bán kính r = 0,250 m, dài ℓ = 0,400 m. (a) Tìm qua trụ kín. (b) Điện thông thay đổi thế nào khi bán kính tăng thành 0,500 m? (c) Nếu giữ cấu hình và tăng chiều dài thành 0,800 m thì sao?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt trụ đồng trục với dây vô hạn, được bao λℓ.

Hướng đi:

• Gauss cho ${\mathrm{\Phi }}_E=\lambda \ell /{\epsilon }_0$ trực tiếp.
• Bán kính không làm đổi được bao, còn chiều dài làm đổi điện tích theo tỷ lệ thuận.

(a) ${\mathrm{\Phi }}_E=1.36\times {10}^5$ N m²/C. (b) Không đổi. (c) Chiều dài gấp đôi nên $2.71\times {10}^5$ N m²/C. Cả ba giá trị có dấu dương.

Bài tập 22: 5 •

Trường đều hợp góc 60,0° với một mặt phẳng diện tích $6.66\times {10}^{-4}$ m². có độ lớn 4,44 N m²/C. Tìm độ lớn trường.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Góc với mặt 60°, và diện tích đã biết.

Hướng đi:

• Góc với pháp tuyến là 30°, nên $|{\mathrm{\Phi }}_E|=EA\sin {60}^{\circ }$.
• Chia cho diện tích hình chiếu để tìm E.

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{4.44}{(6.66\times {10}^{-4})\sin {60}^{\circ }}\\ & =7.70\times {10}^3\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Bài tập 22: 6 •

Lập phương trong Hình E22.6 có cạnh L = 10,0 cm. Trường đều $E=4.00\times {10}^3$ N/C nằm trong mặt xy, hợp góc 53,1° từ +x về +y. (a) Tìm qua S₁–S₆. (b) Tìm điện thông tổng.

Hình E22.6: Sáu mặt lập phương và các trục tọa độ

Chú thích:

• S₁, mặt trái. (S1 (left side))
• S₂, mặt trên. (S2 (top))
• S₃, mặt phải. (S3 (right side))
• S₄, mặt dưới. (S4 (bottom))
• S₅, mặt trước. (S5 (front))
• S₆, mặt sau. (S6 (back))

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: $E_x=E\cos {53.1}^{\circ }$, $E_y=E\sin {53.1}^{\circ }$, $E_z=0$.

Hướng đi:

• Đọc pháp tuyến theo hình: S₁ hướng −y, S₂ hướng +z, S₃ hướng +y, S₄ hướng −z, S₅ hướng +x, S₆ hướng −x.
• Mỗi bằng thành phần có dấu theo pháp tuyến nhân L².

Theo thứ tự S₁–S₆, tính bằng N m²/C là −32,0, 0, +32,0, 0, +24,0, −24,0. Cộng từng cặp đối diện cho tổng bằng không. Trường khác không trên mặt nhưng không có được bao.

Định luật Gauss

Bài tập 22: 7 •

87,6 pC phân bố đều trên một tấm cách điện mỏng diện tích 29,2 cm². Một bao một phần tấm và có 5,00 N m²/C. Diện tích phần tấm được bao bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ đều, tổng và tổng diện tích cho σ.

Hướng đi:

• Gauss cho được bao $Q_{\mathrm{trong}}={\epsilon }_0{\mathrm{\Phi }}_E$.
• Chia này cho σ vì điện tích trên phần tấm bằng σ nhân diện tích phần ấy.

$$\begin{array}{rl}\sigma & =\frac{87.6\times {10}^{-12}}{29.2\times {10}^{-4}},\\ A_{\mathrm{trong}}& =\frac{5.00{\epsilon }_0}{\sigma }\\ & =14.8{\mathrm{cm}}^2.\end{array}$$

Bài tập 22: 8 •

Ba cầu nhỏ có q₁ = 4,00 nC, q₂ = −7,80 nC, q₃ = 2,40 nC. Hình E22.8 cho năm mặt kín. Tìm qua (a) S₁, (b) S₂, (c) S₃, (d) S₄, (e) S₅. (f) Các kết quả có phụ thuộc cách phân bố trên từng cầu nhỏ không? Giải thích.

Hình E22.8: Các mặt bao q₁, q₂, q₁ và q₂, q₁ và q₃, hoặc cả ba

Chú thích:

• Mặt kín. (Surface)
• Điện tích được bao. (What it encloses)
• Các điện tích q₁ và q₂. (q1 and q2)
• Các điện tích q₁ và q₃. (q1 and q3)
• Các điện tích q₁, q₂ và q₃. (q1 and q2 and q3)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Các được bao lần lượt là 4,00, −7,80, −3,80, 6,40 và −1,40 nC.

Hướng đi:

• Cộng với dấu trong từng mặt, rồi chia ${\epsilon }_0$.
• Gauss chỉ phụ thuộc tổng được bao, nên phân bố chi tiết trên cầu không đổi kết quả nếu mỗi cầu vẫn nằm trọn trong hoặc ngoài mặt tương ứng.

Theo thứ tự (a)–(e), là +452, −881, −429, +723 và −158 N m²/C. (f) Không phụ thuộc sự phân bố trên từng cầu với điều kiện vừa nêu.

Bài tập 22: 9 ••

Lớp sơn tích điện rất mỏng phủ đều mặt quả cầu nhựa đường kính 12,0 cm, tổng −49,0 µC. Tìm trường (a) ngay phía trong lớp sơn, (b) ngay phía ngoài, (c) cách mặt sơn 5,00 cm ra ngoài.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ cầu tích điện đều, R = 0,0600 m, Q âm.

Hướng đi:

• Trong vỏ cầu, đối xứng cùng được bao bằng không cho trường bằng không.
• Ngoài vỏ, dùng $E=k|Q|/r^2$, với r đo từ tâm.

(a) E = 0. (b) Ở r = R, E = $1.22\times {10}^8$ N/C. (c) Dùng r = 0,0600 + 0,0500 = 0,110 m, được $3.64\times {10}^7$ N/C. Hai trường ngoài đều hướng về tâm vì âm.

Bài tập 22: 10 •

Nguồn q₁ = 4,00 nC trên trục x tại x = 2,00 m, nguồn q₂ = −6,00 nC trên trục y tại y = 1,00 m. Tìm tổng qua cầu tâm tại gốc có bán kính (a) 0,500 m, (b) 1,50 m, (c) 2,50 m.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai nguồn cách gốc lần lượt 2,00 m và 1,00 m.

Hướng đi:

• So khoảng cách nguồn với bán kính để xác định nguồn nào được bao.
• Trường của nguồn ngoài có thể khác không trên mặt nhưng không góp tổng.

(a) Không bao nguồn, Φ = 0. (b) Chỉ bao q₂, Φ = −678 N m²/C. (c) Bao cả hai, tổng −2,00 nC, Φ = −226 N m²/C.

Bài tập 22: 11 • BIO

Tế bào thần kinh có tổng −8,65 pC và phần vật liệu trong tế bào dẫn điện tốt. Tìm độ lớn và chiều vào hoặc ra của tổng qua ranh giới tế bào.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q = −8,65 pC trong ranh giới tế bào.

Hướng đi:

• Ranh giới là mặt kín, nên dùng Gauss không cần biết hình dạng tế bào.
• Dấu âm của cho tổng hướng vào.

$${\mathrm{\Phi }}_E=\frac{Q}{{\epsilon }_0}=-\mathrm{0,977}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}.$$

Độ lớn bằng 0,977 N m²/C, chiều tổng vào trong.

Bài tập 22: 12 •: Trường trong nguyên tử

Hạt nhân uranium có 92 proton, được mô hình hóa bằng phân bố cầu đối xứng bán kính $7.4\times {10}^{-15}$ m. (a) Tìm trường ngay ngoài mặt hạt nhân. (b) Tìm trường ở khoảng cách electron, cỡ $1.0\times {10}^{-10}$ m. (c) Nếu các electron tạo vỏ cầu âm đều, trường tổng do chúng tạo tại hạt nhân bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: hạt nhân Q = 92e, hai khoảng cách ngoài hạt nhân đã biết.

Hướng đi:

• Ngoài phân bố cầu đối xứng, dùng trường nguồn điểm Q đặt tại tâm.
• Vỏ electron đều cho trường bằng không trong vỏ do đối xứng và Gauss.

(a) $E=k(92e)/R^2=2.4\times {10}^{21}$ N/C. (b) $E=k(92e)/r^2=1.3\times {10}^{13}$ N/C. Cả hai hướng ra khỏi hạt nhân. (c) Trường do riêng vỏ electron tại hạt nhân bằng không.

Phân bố đối xứng và vật dẫn

Bài tập 22: 13 ••

Hai dây rất dài song song cách 0,300 m, mỗi dây mang mật độ đều +5,20 µC/m. Một dây tác dụng lực có độ lớn bao nhiêu lên đoạn dài 0,0500 m của dây kia?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai dây cùng mật độ λ, khoảng cách d, đoạn chịu lực dài ℓ.

Hướng đi:

• Trường của dây thứ nhất tại dây kia là $E=\lambda /(2\pi {\epsilon }_{0}d)$.
• đoạn chịu lực là λℓ, nên nhân trường với điện tích đoạn đó.

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{{\lambda }^2\ell }{2\pi {\epsilon }_{0}d}\\ & =\mathrm{0,081}0\mathrm{N}.\end{array}$$

Lực là lực đẩy vì hai dây cùng dấu.

Bài tập 22: 14 ••

Cầu kim loại đặc bán kính 0,450 m mang tổng 0,250 nC. Tìm độ lớn trường (a) cách mặt cầu 0,100 m ra ngoài, (b) cách mặt cầu 0,100 m vào trong.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu dẫn ở cân bằng, R = 0,450 m.

Hướng đi:

• Điểm ngoài cách tâm 0,550 m, dùng trường nguồn điểm.
• Điểm trong nằm trong vật liệu dẫn, nên E = 0.

(a) $E=k(0.250\times {10}^{-9})/{0.550}^2=7.43$ N/C. (b) E = 0.

Bài tập 22: 15 •

(a) Cầu dẫn bán kính R mang Q có E = 1400 N/C tại r = 2R. Tìm E ở r = 4R. (b) Trụ dẫn rất dài bán kính R mang mật độ dài λ cũng có E = 1400 N/C tại 2R. Tìm E tại 4R. (c) Mặt phẳng rất lớn mang mật độ đều σ có E = 1400 N/C tại khoảng cách d. Tìm E tại 2d.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Khoảng cách tăng gấp đôi trong ba đối xứng khác nhau.

Hướng đi:

• Ngoài cầu, E tỷ lệ $1/r^2$, nên giảm bốn lần.
• Ngoài trụ dài, E tỷ lệ $1/r$, nên giảm hai lần.
• Với mặt phẳng vô hạn, E không phụ thuộc khoảng cách.

Kết quả (a) 350 N/C, (b) 700 N/C, (c) 1400 N/C.

Bài tập 22: 16 •

Giả thuyết mô hình của Mars cho tổng qua mặt hành tinh là $-3.63\times {10}^{16}$ N m²/C. Tính (a) tổng, (b) trường tại mặt, dùng dữ kiện thiên văn ở Phụ lục F, (c) mật độ mặt nếu điện tích phân bố đều.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: âm, bán kính Mars lấy xấp xỉ $3.39\times {10}^6$ m.

Hướng đi:

• Gauss cho Q = ${\epsilon }_0$Φ.
• Với mô hình đối xứng cầu, chia cho diện tích mặt để có thành phần trường pháp tuyến, rồi tính σ = Q/A.

$$\begin{array}{rl}Q& =-3.21\times {10}^5\mathrm{C},\\ E_{\perp }& =-251\mathrm{N}/\mathrm{C},\\ \sigma & =-2.23\times {10}^{-9}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}$$

Trường hướng về tâm. Đây là kết quả của giả thuyết đã cho trong đề, không phải một phép đo mới về Mars.

Bài tập 22: 17 ••

Dây dài vô hạn có λ₁ = +4,80 µC/m dọc trục x. Dây thứ hai có λ₂ = −2,40 µC/m song song trục x tại y = 0,400 m. Tìm độ lớn và hướng trường trên trục y tại (a) y = 0,200 m, (b) y = 0,600 m.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Một dây dương ở y = 0, dây âm ở y = 0,400 m.

Hướng đi:

• Dùng $E=2k|\lambda |/r$ cho từng dây.
• Giữa dây, hai trường đều hướng +y. Phía trên cả hai, trường dây dương hướng +y và trường dây âm hướng −y.

(a) Cộng hai độ lớn tại r = 0,200 m, được $6.47\times {10}^5$ N/C hướng +y. (b)

$$\begin{array}{rl}{E}_y& =\frac{2k(4.80\times {10}^{-6})}{0.600}-\frac{2k(2.40\times {10}^{-6})}{0.200}\\ & =-7.19\times {10}^4\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Trường có độ lớn $7.19\times {10}^4$ N/C, hướng −y.

Bài tập 22: 18 ••

Trường cách dây dài vô hạn tích điện đều 0,400 m có độ lớn 840 N/C. Đoạn dây dài 2,00 cm chứa bao nhiêu ?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: E và khoảng cách r cho độ lớn λ.

Hướng đi:

• Giải công thức dây dài cho $|\lambda |=2\pi {\epsilon }_{0}rE$.
• Nhân chiều dài đoạn dây ℓ = 0,0200 m.

$$|Q|=2\pi {\epsilon }_{0}rE\ell =\mathrm{0,374}\mathrm{nC}.$$

Chưa biết dấu vì đề chỉ cho độ lớn trường.

Bài tập 22: 19 ••

Vỏ cầu dẫn có bán kính ngoài 0,250 m và bán kính trong 0,200 m, ban đầu có mật độ mặt ngoài đều $+6.37\times {10}^{-6}$ C/m². Đưa nguồn −0,500 µC vào tâm hốc, cách điện với vỏ. (a) Tìm mật độ mặt ngoài mới. (b) Tìm độ lớn trường ngay ngoài vỏ. (c) Tìm qua mặt cầu nằm ngay phía trong mặt hốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: ban đầu của vỏ là $Q_C=4\pi R^2{\sigma }_0$.

Hướng đi:

• Nguồn âm trong hốc cảm ứng +0,500 µC ở mặt trong, nên mặt ngoài mất bớt lượng dương ấy.
• Dùng mật độ mặt ngoài mới để tính trường. Mặt cầu trong hốc chỉ bao nguồn điểm.

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\mathrm{ngoai}}& =5.73\times {10}^{-6}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^2,\\ E(R^{+})& =6.48\times {10}^5\mathrm{N}/\mathrm{C},\\ {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{cavity}}& =\frac{-0.500\times {10}^{-6}}{{\epsilon }_0}\\ & =-5.65\times {10}^4\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}.\end{array}$$

Bài tập 22: 20 •

Quả cầu cách điện bán kính R có tổng Q phân bố đều trong thể tích. Nếu E = 800 N/C tại r = R/2, E tại r = 2R bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Một điểm trong cầu và một điểm ngoài cầu.

Hướng đi:

• Trong cầu dùng $E=k|Q|r/R^3$, ngoài cầu dùng $E=k|Q|/r^2$.
• So sánh hai biểu thức để khử Q và R, thay vì áp cùng một quy luật cho cả hai vùng.

Ở R/2, $E_1=k|Q|/(2R^2)$. Ở 2R, $E_2=k|Q|/(4R^2)=E_1/2=400$ N/C.

Bài tập 22: 21 ••

Trường cách mặt ngoài quả cầu cách điện đặc bán kính 0,355 m một khoảng 0,145 m có độ lớn 1750 N/C. (a) Nếu đều trong thể tích, tìm mật độ điện tích. (b) Tìm trường cách tâm 0,200 m.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm ngoài cách tâm 0,500 m. Chỉ độ lớn trường được cho.

Hướng đi:

• Tìm |Q| từ trường ngoài, chia thể tích để có |ρ|.
• Điểm ở 0,200 m nằm trong cầu, nên dùng trường tăng tuyến tính theo r.

$$\begin{array}{rl}|Q|& =1750(0.500{)}^2/k,\\ |\rho |& =2.60\times {10}^{-7}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^3,\\ E(0.200)& =\frac{|\rho |(0.200)}{3{\epsilon }_0}\\ & =1.96\times {10}^3\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Nếu nguồn dương, trường hướng ra. Nếu nguồn âm, trường hướng vào. Độ lớn đã cho chưa phân biệt hai khả năng.

Bài tập 22: 22 ••

Nguồn điểm −3,00 µC ở tâm hốc cầu bán kính 6,50 cm. Hốc nằm ở tâm một quả cầu cách điện đặc có mật độ $\rho =7.35\times {10}^{-4}$ C/m³. Tìm trường trong vật liệu tại r = 9,50 cm từ tâm hốc.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Nguồn âm tại tâm cộng dương trong phần vật liệu từ a = 0,0650 m đến r = 0,0950 m.

Hướng đi:

• Đối xứng cầu cho $E_r=k{Q}_{\mathrm{trong}}/r^2$ có dấu.
• Phần hốc không có mật độ thể tích, nên phải trừ thể tích hốc.

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}& =-3.00\times {10}^{-6}+\frac{4\pi \rho }{3}(r^3-a^3),\\ E_r& =-1.20\times {10}^6\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Độ lớn là $1.20\times {10}^6$ N/C, hướng về tâm.

Bài tập 22: 23 •• CP

Electron được thả từ nghỉ cách mặt phẳng cách điện rất lớn 0,300 m, mật độ mặt đều $+2.90\times {10}^{-12}$ C/m². (a) Tính công lực điện khi electron đến cách mặt 0,050 m. (b) Tìm tốc độ lúc ấy.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron đi về mặt dương một quãng 0,250 m, ban đầu nghỉ.

Hướng đi:

• Trường mặt vô hạn đều, lực hút có độ lớn eE và cùng chiều dịch chuyển, nên công dương.
• Dùng định lý công–động năng vì không cần biết thời gian.

$$\begin{array}{rl}E& =\sigma /(2{\epsilon }_0),\\ W& =eE(0.250)\\ & =6.56\times {10}^{-21}\mathrm{J},\\ v& =\sqrt{2W/m_e}\\ & =1.20\times {10}^5\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Bài tập 22: 24 ••

Q đều trong cầu cách điện R = 4,00 cm. Tại r = 8,00 cm, trường có độ lớn 940 N/C. Tìm (a) mật độ thể tích, (b) trường cách tâm 2,00 cm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm đo ngoài cầu, điểm cần tìm bên trong.

Hướng đi:

• Dùng trường ngoài suy ra |Q|, rồi chia thể tích.
• Dùng $E=k|Q|r/R^3$ ở điểm trong. Dấu mật độ cần biết thêm hướng trường.

$$\begin{array}{rl}|Q|& =940(0.0800{)}^2/k,\\ |\rho |& =2.50\times {10}^{-6}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^3,\\ E(0.0200)& =1.88\times {10}^3\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Bài tập 22: 25 •

có hốc tương tự cấu hình ở Hình 22.23(c), mang tổng +5,00 nC. Nguồn cách điện với vật dẫn trong hốc mang −6,00 nC. Tìm (a) mặt trong, (b) mặt ngoài.

Hình 22.23: Vật dẫn đặc, vật dẫn có hốc trống và vật dẫn có điện tích trong hốc

Chú thích:

• (a) Vật dẫn đặc mang điện tích qC. ((a) Solid conductor with charge qC)
• (b) Cùng vật dẫn ấy nhưng có một hốc bên trong. ((b) The same conductor with an internal cavity)
• (c) Đặt riêng điện tích q trong hốc. ((c) An isolated charge q placed in the cavity)
• Mặt Gauss A tùy ý. (Arbitrary Gaussian surface A)
• Hốc. (Cavity)
• Điện tích qC nằm hoàn toàn trên bề mặt vật dẫn. Hệ đang ở trạng thái tĩnh điện nên điện trường bên trong vật dẫn bằng không. (The charge qC resides entirely on the surface of the conductor. The situation is electrostatic, so E = 0 within the conductor.)
• Vì điện trường bằng không tại mọi điểm trong vật dẫn, điện trường tại mọi điểm trên mặt Gauss cũng phải bằng không. (Because E = 0 at all points within the conductor, the electric field at all points on the Gaussian surface must be zero.)
• Để điện trường bằng không trên toàn bộ mặt Gauss, thành hốc phải có điện tích tổng bằng −q. (For E to be zero at all points on the Gaussian surface, the surface of the cavity must have a total charge −q.)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: $q_C=+5.00$ nC, $q=-6.00$ nC.

Hướng đi:

• Trường trong vật liệu dẫn bằng không buộc mặt trong bằng −q.
• Bảo toàn tổng của cho phần còn lại ở mặt ngoài.

(a) Mặt trong +6,00 nC. (b) Mặt ngoài $5.00-6.00=-1.00$ nC. Tổng hai mặt vẫn +5,00 nC.

Bài tập 22: 26 •

Tấm cách điện vuông cạnh 80,0 cm đặt nằm ngang, 4,50 nC phân bố đều. (a) Ước lượng trường ở 0,100 mm phía trên tâm. (b) Ước lượng trường ở 100 m phía trên tâm. (c) Hai kết quả có thay đổi nếu tấm làm bằng không? Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Điểm đầu rất gần tâm so với cạnh, điểm sau rất xa so với cạnh.

Hướng đi:

• Gần tâm tấm cách điện đều, dùng mặt phẳng vô hạn với σ = Q/A.
• Ở xa, dùng nguồn điểm tổng Q.
• cho phép tái phân bố, nên mật độ gần tâm không còn chắc chắn bằng Q/A.

(a) $E\approx Q/(2{\epsilon }_{0}A)=397$ N/C hướng lên. (b) $E\approx kQ/(100{)}^2=4.04\times {10}^{-3}$ N/C hướng lên. (c) Gần mặt dẫn hữu hạn, tập trung nhiều hơn ở mép và góc, nên ước lượng ở (a) thay đổi. Kết quả xa ở (b) vẫn gần như cũ vì chủ yếu phụ thuộc tổng Q.

Bài tập 22: 27 •

Trụ dẫn dài vô hạn bán kính R có mật độ mặt đều σ. (a) Tìm mật độ dài λ theo σ và R. (b) Tìm độ lớn trường ở r > R theo σ. (c) Viết theo λ, chứng tỏ trường ngoài giống mọi tập trung trên trục và so với Ví dụ 22.6.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: trên mặt bên trụ, ngoài trụ có đối xứng trụ.

Hướng đi:

• Đoạn dài ℓ có diện tích mặt bên $2\pi R\ell$, nên chia đoạn cho ℓ để tìm λ.
• đồng trục bán kính r cho $E(2\pi r\ell )$.

$$\begin{array}{rl}\lambda & =2\pi R\sigma ,\\ E& =\frac{|\sigma |R}{{\epsilon }_{0}r}\\ & =\frac{|\lambda |}{2\pi {\epsilon }_{0}r}.\end{array}$$

Đây chính là trường dây dài ở Ví dụ 22.6. Trường hướng ra nếu σ dương và vào nếu σ âm.

Bài tập 22: 28 •

Hai tấm nhựa không dẫn điện rất lớn, mỗi tấm dày 10,0 cm, có mật độ trên bốn mặt lần lượt σ₁ = −6,00, σ₂ = +5,00, σ₃ = +2,00, σ₄ = +4,00 µC/m² như hình. Bỏ hiệu ứng mép. Tìm trường tại (a) A cách mặt trái của tấm trái 5,00 cm, (b) B cách mặt trong của tấm phải 1,25 cm, (c) C ở giữa bề dày tấm phải.

Hình E22.28: Hai tấm nhựa dày, bốn mặt tích điện và các điểm A, B, C

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bốn mặt phẳng mang điện, trục +x chọn sang phải.

Hướng đi:

• Mỗi mặt cho thành phần trường bằng σ/(2${\epsilon }_0$) ở phía phải và −σ/(2${\epsilon }_0$) ở phía trái.
• Cộng bốn thành phần có dấu theo vị trí, không dùng khoảng cách vì mô hình mỗi mặt là vô hạn.

$$\begin{array}{rl}{E}_A& =\frac{-{\sigma }_1-{\sigma }_2-{\sigma }_3-{\sigma }_4}{2{\epsilon }_0},\\ E_B& =\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2-{\sigma }_3-{\sigma }_4}{2{\epsilon }_0},\\ E_C& =\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3-{\sigma }_4}{2{\epsilon }_0}.\end{array}$$

Độ lớn tương ứng là $2.82\times {10}^5$, $3.95\times {10}^5$ và $1.69\times {10}^5$ N/C. Cả ba thành phần âm, nên đều hướng sang trái.

Bài tập tổng hợp

Bài tập 22: 29 •• CP

Tại t = 0, proton cách mặt phẳng cách điện rất lớn 0,360 m và bay song song mặt với tốc độ $9.70\times {10}^2$ m/s. Mặt có mật độ đều $2.34\times {10}^{-9}$ C/m². Tìm tốc độ tại $t=5.00\times {10}^{-8}$ s.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vận tốc đầu tiếp tuyến mặt, lực điện không đổi theo pháp tuyến.

Hướng đi:

• Trường mặt vô hạn bằng σ/(2${\epsilon }_0$), nên gia tốc pháp tuyến bằng eE/mₚ.
• Hai thành phần vận tốc vuông góc, phải cộng bình phương thay vì cộng độ lớn.

$$\begin{array}{rl}{v}_{\parallel }& =v_0,\\ v_{\perp }& =\frac{e\sigma t}{2m_p{\epsilon }_0},\\ v& =\sqrt{v_0^2+v_{\perp }^2}\\ & =1.16\times {10}^3\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Khoảng cách ban đầu không đi vào kết quả vì trường vô hạn không đổi theo khoảng cách.

Bài tập 22: 30 •• CP

Vật rất nhỏ có $m=8.20\times {10}^{-9}$ kg, $q=+6.50\times {10}^{-9}$ C được phóng thẳng về mặt cách điện rất lớn có mật độ dương đều $5.90\times {10}^{-8}$ C/m². Ban đầu vật cách mặt 0,400 m. Tốc độ đầu phải bằng bao nhiêu để vật đến gần nhất cách mặt 0,100 m?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vật đi về mặt dương 0,300 m rồi dừng tức thời.

Hướng đi:

• Lực đẩy qE ngược chiều chuyển động và không đổi.
• Động năng đầu bằng công cần thắng lực đẩy trên quãng 0,300 m.

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}m{v}_0^2& =\frac{q\sigma }{2{\epsilon }_0}(0.300),\\ v_0& =39.8\mathrm{m}/\mathrm{s}.\end{array}$$

Bài tập 22: 31 •• CP

Cầu nhỏ có $m=4.00\times {10}^{-6}$ kg, $q=5.00\times {10}^{-8}$ C treo gần mặt cách điện rất lớn mang mật độ đều $-2.50\times {10}^{-9}$ C/m². Tìm góc dây so với phương thẳng đứng.

Hình P22.31: Quả cầu treo bị hút về mặt tích điện âm

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu chịu trọng lực đứng và lực hút điện ngang.

Hướng đi:

• Cân bằng cho $T\cos \theta =mg$ và $T\sin \theta =qE$.
• Chia hai phương trình khử lực căng, dùng trường mặt vô hạn.

$$\begin{array}{rl}\tan \theta & =\frac{q|\sigma |}{2mg{\epsilon }_0},\\ \theta & ={10.2}^{\circ }.\end{array}$$

Dây lệch về phía mặt âm.

Bài tập 22: 32 ••

Lập phương như Hình E22.6 có cạnh L = 0,300 m, một đỉnh ở gốc. Trường không đều có $E_x=-5.00x$, $E_y=0$, $E_z=3.00z$, với tọa độ tính bằng m và trường bằng N/C. (a) Tìm qua sáu mặt S₁–S₆. (b) Tìm tổng trong lập phương.

Hình E22.6: Sáu mặt lập phương và các trục tọa độ

Chú thích:

• S₁, mặt trái. (S1 (left side))
• S₂, mặt trên. (S2 (top))
• S₃, mặt phải. (S3 (right side))
• S₄, mặt dưới. (S4 (bottom))
• S₅, mặt trước. (S5 (front))
• S₆, mặt sau. (S6 (back))

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Các mặt giới hạn 0 ≤ x,y,z ≤ L, trường tuyến tính theo x và z.

Hướng đi:

• Trên mỗi mặt vuông góc trục, thành phần pháp tuyến có cùng giá trị nên nhân L².
• Giữ đúng nhãn mặt của Hình E22.6, rồi cộng và dùng Q = ${\epsilon }_0$Φ.

S₁ và S₃ có pháp tuyến theo y, nên bằng không. S₂ ở z = L cho +3L³. S₄ ở z = 0 cho không. S₅ ở x = L cho −5L³, S₆ ở x = 0 cho không.

Theo thứ tự S₁–S₆, tính bằng N m²/C là 0, +0,0810, 0, 0, −0,135, 0. Do đó:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& =-0.0540\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C},\\ Q& =-4.78\times {10}^{-13}\mathrm{C}.\end{array}$$

Bài tập 22: 33 •

Trường trong Hình P22.33 luôn song song trục x, với Eᵧ = E_z = 0 và Eₓ chỉ phụ thuộc x. Ở x = 0, Eₓ = 125 N/C. (a) Tìm qua mặt I. (b) Qua mặt II. (c) Khối vẽ là một phần của tấm cách điện rất lớn dày 1,0 m, có tổng −24,0 nC trong phần thể tích vẽ. Tìm độ lớn và hướng trường ở mặt đối diện I. (d) Trường chỉ do điện tích trong tấm hay còn có nguồn ngoài tấm? Giải thích cách nhận biết.

Hình P22.33: Khối tấm có mặt I diện tích 2,0 m nhân 3,0 m

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai mặt vuông góc x có diện tích A = 6,0 m². Mặt I ở x = 0, có pháp tuyến ra ngoài hướng +x. Khối nằm về phía x âm, mặt đối diện có pháp tuyến −x.

Hướng đi:

• Mặt I có +EₓA, còn mặt II song song trường nên điện thông không.
• Những mặt bên khác cũng không có , nên Gauss liên hệ hai mặt đối diện.

(a) Φᵢ = +125(6,0) = +750 N m²/C. (b) Φᵢᵢ = 0. (c)

$$\begin{array}{rl}A(125-E_{x,\mathrm{opp}})& =Q/{\epsilon }_0,\\ E_{x,\mathrm{opp}}& =+577\mathrm{N}/\mathrm{C}.\end{array}$$

Trường hướng +x, độ lớn 577 N/C. (d) Hai phía ngoài một tấm phẳng rất lớn nếu chỉ do trong tấm tạo ra phải có trường bằng nhau về độ lớn và ngược chiều. Ở đây hai trường cùng hướng +x và có độ lớn 125, 577 N/C, nên còn có trường do điện tích ngoài tấm. Trung bình hai thành phần ngoài là khoảng +351 N/C, cho phần trường ngoài chung theo x.

Bài tập 22: 34 •• CALC

Trong một vùng, trường hướng z và có độ lớn $E=964x$, với hệ số 964 N/(C m). Tìm qua hình vuông cạnh 0,350 m trong mặt xy tại z = 0, có hai cạnh nằm trên các nửa trục +x và +y.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt có 0 ≤ x,y ≤ L, pháp tuyến chọn +z.

Hướng đi:

• Trường thay đổi theo x nên E_z trên mặt, không lấy giá trị ở một cạnh nhân toàn diện tích.
• Dải rộng dx chạy hết chiều y có diện tích L dx.

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_E& ={\int }_0^{L}964xLdx\\ & =\frac{964L^3}{2}\\ & =20.7\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}.\end{array}$$

Nếu chọn pháp tuyến −z, đổi dấu.

Bài tập 22: 35 •

−Q đều trên mặt một vỏ cầu cách điện mỏng bán kính R. Tìm độ lớn và hướng lực lên nguồn điểm dương q cách tâm (a) r > R, (b) r < R.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vỏ cầu đối xứng, nguồn thử dương.

Hướng đi:

• Trường ngoài tương đương nguồn −Q tại tâm.
• Trong vỏ cầu, đối xứng và Gauss cho trường bằng không.

(a) Lực có độ lớn $kQq/r^2$, hướng về tâm. (b) Lực bằng không. Vỏ cách điện giữ phân bố đều theo giả thiết, kể cả khi nguồn thử nằm lệch tâm bên trong.

Bài tập 22: 36 •

Dây dài mang mật độ đều +50,0 µC/m chạy song song và cách mặt tấm nhựa phẳng rất lớn 10,0 cm. Một phía tấm có mật độ mặt đều −100 µC/m². Tìm mọi vị trí mà một hạt α không chịu lực điện tổng.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn tấm ở z = 0, dây song song y tại z = h = 0,100 m.

Hướng đi:

• Lực bằng không khi trường tổng bằng không vì hạt α có khác không.
• Trường mặt chỉ theo pháp tuyến. Muốn triệt tiêu, trường dây cũng phải theo pháp tuyến, nên điểm tìm nằm trong mặt phẳng chứa dây và pháp tuyến tấm.
• Hai độ lớn cân bằng khi khoảng cách đến dây bằng λ/(π|σ|).

$$\begin{array}{rl}d& =\frac{\lambda }{\pi |\sigma |}=0.159\mathrm{m},\\ z_1& =h+d=0.259\mathrm{m},\\ z_2& =h-d=-0.0592\mathrm{m}.\end{array}$$

Giữa dây và tấm, hai trường cùng hướng về tấm nên không thể triệt tiêu. Tập nghiệm gồm hai đường thẳng song song dây, một cách tấm 25,9 cm ở phía dây, một cách tấm 5,92 cm ở phía đối diện.

Bài tập 22: 37 •: Cáp đồng trục

Cáp dài gồm lõi dẫn trụ bán kính a và vỏ dẫn đồng trục có bán kính trong b, ngoài c. Vỏ được đỡ bằng và có tổng bằng không. Lõi mang mật độ dài dương λ. (a) Tìm trường giữa lõi và vỏ tại r. (b) Tìm trường ngoài vỏ. (c) Vẽ E theo r từ 0 đến 2c. (d) Tìm mật độ dài trên mặt trong và mặt ngoài của vỏ.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lõi +λ, vỏ trung hòa, toàn hệ có đối xứng trụ.

Hướng đi:

• trụ cho $E_r={\lambda }_{\mathrm{trong}}/(2\pi {\epsilon }_{0}r)$.
• Trong mỗi phần vật liệu dẫn, trường bằng không, nên mặt trong vỏ phải mang −λ.
• Vỏ trung hòa buộc mặt ngoài mang +λ.

Trường bằng không khi r < a và b < r < c. Khi a < r < b hoặc r > c:

$$E_r=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}.$$

Trường hướng ra. Đồ thị từ không nhảy lên tại a, giảm theo 1/r đến b, nhảy về không trong vỏ, rồi nhảy lên lại tại c và giảm theo 1/r. Mật độ dài mặt trong vỏ là −λ, mặt ngoài +λ.

Đồ thị trường của cáp đồng trục qua các vùng lõi, khe và vỏ

Bài tập 22: 38 •

Ống dẫn rất dài có bán kính trong a, ngoài b, mang dài +α. Trên trục ống có dây mang điện tích dài +α, với α dương, đơn vị C/m. (a) Tìm trường và vẽ đồ thị ở r < a, a < r < b, r > b. (b) Tìm điện tích dài trên mặt trong và mặt ngoài ống.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Dây trục +α, bản thân ống cũng +α.

Hướng đi:

• Dùng Gauss trong từng vùng để đếm dài được bao.
• Mặt trong mang −α để trường trong vật liệu bằng không. Bảo toàn ống cho mặt ngoài +2α.

Trong hốc r < a, $E_r=\alpha /(2\pi {\epsilon }_{0}r)$. Trong vật liệu a < r < b, E = 0. Ngoài ống r > b, $E_r=2\alpha /(2\pi {\epsilon }_{0}r)$. Cả hai trường khác không đều hướng ra. Đồ thị có nhánh 1/r trong hốc, đoạn bằng không trong ống và nhánh 2/r ngoài ống.

Đồ thị trường của dây tích điện trong ống dẫn có điện tích tổng dương

Bài tập 22: 39 •

Trụ cách điện đặc rất dài bán kính R có mật độ thể tích dương đều ρ. (a) Suy ra trường ở r < R. (b) Tìm trường ngoài theo mật độ dài λ. (c) So hai biểu thức tại R. (d) Vẽ độ lớn trường từ 0 đến 3R.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: đều trong tiết diện trụ, λ = ρπR².

Hướng đi:

• đồng trục dài ℓ có $2\pi r\ell E$.
• Trong trụ, được bao là ρπr²ℓ. Ngoài trụ, bao λℓ.

$$\begin{array}{rl}{E}_{\mathrm{trong}}& =\frac{\rho r}{2{\epsilon }_0},\\ E_{\mathrm{ngoai}}& =\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}\\ & =\frac{\rho R^2}{2{\epsilon }_{0}r}.\end{array}$$

Tại r = R, hai giá trị đều bằng ρR/(2${\epsilon }_0$), nên liên tục. Trường hướng ra, tăng tuyến tính trong trụ rồi giảm theo 1/r ngoài trụ.

Đồ thị trường của trụ cách điện tích điện đều

Bài tập 22: 40 •: Cầu trong vỏ cầu

Cầu dẫn đặc mang q, bán kính a, nằm đồng tâm trong vỏ cầu dẫn có bán kính trong b, ngoài c. Vỏ trung hòa. (a) Suy ra độ lớn trường trong các vùng r < a, a < r < b, b < r < c, r > c. (b) Vẽ E từ 0 đến 2c. (c), (d) Tìm mặt trong và mặt ngoài vỏ. (e) Biểu diễn điện tích cầu nhỏ bằng bốn dấu cộng và phác đường sức trong thể tích cầu bán kính 2c.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu trong q, vỏ trung hòa và hai phần vật liệu dẫn.

Hướng đi:

• Trong vật liệu dẫn, E = 0. Trong khe và ngoài hệ, dùng mặt cầu Gauss.
• Mặt trong vỏ có −q để bù q. Mặt ngoài có +q để vỏ trung hòa.

Độ lớn trường lần lượt theo bốn vùng là 0, $k|q|/r^2$, 0, $k|q|/r^2$. Nếu q dương, trường hướng ra ở hai vùng khác không. Đồ thị nhảy ở a, b, c.

Với bốn dấu cộng trên cầu nhỏ, vẽ bốn đường đi ra và kết thúc trên bốn dấu trừ của mặt trong vỏ. Không có đường trong vật liệu vỏ. Từ mặt ngoài mang bốn dấu cộng, các đường tiếp tục đi ra vô hạn. Nếu q âm, đảo mọi mũi tên và dấu.

Đồ thị trường của cầu dẫn trong vỏ cầu trung hòa

Đường sức từ cầu dương kết thúc trên mặt trong âm, các đường ngoài đi ra từ mặt ngoài dương

Bài tập 22: 41 •

Cầu dẫn đặc bán kính R mang Q dương, đồng tâm với vỏ cách điện rất mỏng bán kính 2R mang Q phân bố đều. (a) Tìm độ lớn và hướng trường ở 0 < r < R, R < r < 2R, r > 2R. (b) Vẽ độ lớn trường theo r.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hai phân bố cầu cùng Q, vỏ ngoài cách điện.

Hướng đi:

• Trong cầu dẫn E = 0. Trong khe, chỉ bao Q.
• Ngoài cả hai, được bao là 2Q.

Ba vùng có độ lớn trường lần lượt 0, $kQ/r^2$, $2kQ/r^2$. Các trường khác không hướng ra. Tại 2R, trường nhảy từ $kQ/(4R^2)$ lên $kQ/(2R^2)$ do mặt mang điện.

Đồ thị trường của cầu dẫn và vỏ cách điện cùng mang điện tích Q

Bài tập 22: 42 •

Vỏ cầu dẫn có bán kính trong a, ngoài b, nguồn điểm dương Q tại tâm. tổng của vỏ là −3Q và vỏ cách điện với xung quanh. (a) Tìm độ lớn trường ở r < a, a < r < b, r > b. (b), (c) Tìm mật độ điện tích mặt trong và ngoài. (d) Phác đường sức và vị trí các điện tích. (e) Vẽ E theo r.

Hình P22.42: Nguồn Q trong vỏ dẫn mang tổng điện tích −3Q

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Q trong hốc, mặt trong cần −Q, mặt ngoài còn −2Q.

Hướng đi:

• Gauss trong vật liệu dẫn xác định mặt trong.
• Tổng vỏ xác định mặt ngoài. Sau đó dùng Gauss ở từng vùng.

Trong hốc, E = kQ/r² hướng ra. Trong vật liệu, E = 0. Ngoài vỏ, E = 2kQ/r² hướng vào vì toàn hệ là −2Q.

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_a& =-Q/(4\pi a^2),\\ {\sigma }_b& =-2Q/(4\pi b^2).\end{array}$$

Đường sức từ Q kết thúc ở mặt trong mang −Q. Những đường ngoài đi từ xa vào mặt ngoài mang −2Q. Không có đường trong vật liệu. Đồ thị độ lớn dùng các giá trị dương vừa tìm, còn đồ thị thành phần xuyên tâm có nhánh âm ngoài vỏ.

Độ lớn và thành phần xuyên tâm của trường trong hệ nguồn Q và vỏ −3Q

Nguồn Q tạo đường sức ra thành hốc, còn đường sức bên ngoài đi vào mặt ngoài mang −2Q

Bài tập 22: 43 •: Hai vỏ cầu đồng tâm

Vỏ cầu dẫn nhỏ có bán kính trong a, ngoài b, đồng tâm với vỏ lớn có bán kính trong c, ngoài d. Vỏ nhỏ mang +2q, vỏ lớn mang +4q. (a) Tính vector trường theo r trong năm vùng r < a, a < r < b, b < r < c, c < r < d, r > d, rồi vẽ thành phần xuyên tâm. (b) Tìm trên mặt trong và ngoài của mỗi vỏ.

Hình P22.43: Bốn bán kính giới hạn của hai vỏ dẫn đồng tâm

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hốc trong cùng không chứa nguồn, hai vỏ mang +2q và +4q.

Hướng đi:

• Trong vật liệu mỗi vỏ, Gauss cho tổng được bao bằng không.
• Bắt đầu từ hốc trống, lần lượt xác định các mặt rồi trường từng vùng.

Các mặt theo thứ tự a,b,c,d là 0, +2q, −2q, +6q. Trường xuyên tâm trong năm vùng lần lượt là:

$$0,0,\frac{2kq}{r^2},0,\frac{6kq}{r^2}.$$

Với q dương, các nhánh khác không hướng ra. Tổng cả hệ bằng +6q, khớp trường xa.

Đồ thị trường của hai vỏ dẫn mang +2q và +4q

Bài tập 22: 44 •

Làm lại Bài 22.43 khi vỏ ngoài mang −2q, còn vỏ trong vẫn +2q. Tìm trường, đồ thị và trên bốn mặt.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Tổng toàn hệ bằng không.

Hướng đi:

• hai mặt vỏ nhỏ vẫn 0 và +2q.
• Mặt trong vỏ lớn phải −2q để trường trong vật liệu bằng không. Vỏ lớn tổng −2q nên mặt ngoài bằng không.

Các mặt a,b,c,d là 0, +2q, −2q, 0. Chỉ khe b < r < c có trường $E_r=2kq/r^2$. Các vùng còn lại đều có trường bằng không. Đồ thị chỉ có một nhánh trong khe.

Đồ thị trường của hai vỏ cầu có tổng điện tích bằng không

Phân bố điện tích không đều

Bài tập 22: 45 ••• CALC

Vỏ cầu cách điện có bán kính trong a, ngoài b. Trong vật liệu, mật độ thể tích $\rho (r)=\alpha /r$ với α dương. (a) Tìm độ lớn trường ở a < r < b theo α và a. (b) Đặt nguồn điểm q tại tâm hốc. Tìm dấu và độ lớn q để trường ở a < r < b không đổi, rồi tìm giá trị trường ấy.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ đối xứng cầu giảm theo 1/r trong lớp a < r < b.

Hướng đi:

• $dQ=\rho (s)4\pi s^{2}ds$ vì mật độ không đều.
• Gauss cho $E_r=k{Q}_{\mathrm{trong}}/r^2$. Nguồn ở tâm có thể triệt tiêu số hạng phụ thuộc $1/r^2$.

(a)

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}& =4\pi \alpha {\int }_a^{r}sds\\ & =2\pi \alpha (r^2-a^2),\\ E_r& =\frac{\alpha }{2{\epsilon }_0}(1-\frac{a^2}{r^2}).\end{array}$$

(b) Thêm q cho:

$$E_r=\frac{\alpha }{2{\epsilon }_0}+\frac{k(q-2\pi \alpha a^2)}{r^2}.$$

Chọn $q=+2\pi \alpha a^2$ làm số hạng sau bằng không. Trường khi ấy có độ lớn α/(2${\epsilon }_0$), hướng ra ở toàn vùng vật liệu.

Bài tập 22: 46 •• CP: Mô hình nguyên tử Thomson

Trong mô hình Thomson đầu thế kỷ XX, electron âm nằm trong một khối cầu vật chất dương, giống các hạt chocolate trong khối bột bánh. Xét một electron khối lượng m, −e, coi là nguồn điểm, nằm trong cầu dương đều có điện tích +e và bán kính R. (a) Giải thích vì sao cân bằng ở tâm. (b) Giả sử vật chất dương gần như không cản chuyển động, chứng tỏ khi lệch tâm ít hơn R, electron dao động điều hòa và tìm tần số. Ôn dạng lực dao động ở mục 14.2. (c) Mô hình giả sử tần số ánh sáng phát ra bằng tần số dao động electron. Để phát ánh sáng đỏ $4.57\times {10}^{14}$ Hz, R phải bằng bao nhiêu? So với kích thước nguyên tử thật cỡ ${10}^{-10}$ m. (d) Nếu lệch ban đầu lớn hơn R, electron có dao động không và có điều hòa không? Việc phát hiện hạt nhân nhỏ cỡ ${10}^{-14}$–${10}^{-15}$ m đã bác bỏ giả thiết điện tích dương trải đều trong cả thể tích nguyên tử.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Electron âm chuyển động trong trường của cầu dương đều, không có lực cản trong mô hình.

Hướng đi:

• Trong cầu, trường tỷ lệ với vector vị trí. Nhân −e tạo lực phục hồi tỷ lệ với độ lệch.
• So sánh với $\overrightarrow{F}=-m{\omega }^2\overrightarrow{r}$ để xác định tần số.

(a) Tâm có trường bằng không. Lệch sang phía nào, electron cũng bị hút về tâm. (b)

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}& =\frac{ke}{R^3}\overrightarrow{r},\\ \overrightarrow{F}& =-\frac{k{e}^2}{R^3}\overrightarrow{r},\\ f& =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k{e}^2}{m{R}^3}}.\end{array}$$

(c) Đảo biểu thức tần số, dùng khối lượng electron:

$$\begin{array}{rl}R& ={\left(\frac{k{e}^2}{4{\pi }^2{m}_e{f}^2}\right)}^{1/3}\\ & =3.13\times {10}^{-10}\mathrm{m}.\end{array}$$

Giá trị cùng bậc kích thước nguyên tử. Điều đó chưa chứng minh mô hình đúng. (d) Nếu thả từ nghỉ ngoài cầu, lực hút vẫn đưa electron về và xuyên qua tâm rồi sang phía đối diện, nên có dao động trong mô hình không cản. Tuy nhiên ngoài cầu lực tỷ lệ với $1/r^2$, không tỷ lệ với độ lệch, nên toàn chuyển động không điều hòa. Công trình về cấu trúc nguyên tử của Rutherford năm 1911 cho thấy dương tập trung trong vùng nhỏ, thay vì trải đều như giả thiết Thomson. Công trình Rutherford.

Bài tập 22: 47 •• CALC

Phân bố cầu đối xứng có $\rho (r)={\rho }_0(1-r/R)$ khi 0 ≤ r ≤ R, bằng không khi r ≥ R, với ${\rho }_0=3Q/(\pi R^3)>0$. (a) Chứng tỏ tổng Q. (b) Chứng tỏ trường ngoài giống nguồn Q ở tâm. (c) Tìm trường trong. (d) Vẽ độ lớn trường theo r. (e) Tìm vị trí và giá trị trường cực đại.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ giảm tuyến tính từ ρ₀ ở tâm xuống không tại R.

Hướng đi:

• các lớp cầu để tìm được bao, rồi áp dụng Gauss.
• Lấy đạo hàm trường trong theo r để tìm cực đại, vì ngoài cầu trường giảm theo $1/r^2$.

$$\begin{array}{rl}F(r)& ={\int }_0^r{s}^{2}ds-\frac{1}{R}{\int }_0^r{s}^{3}ds\\ & =\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4R},\\ Q_{\mathrm{trong}}(r)& =4\pi {\rho }_{0}F(r).\end{array}$$

Thay r = R cho $Q_{\mathrm{tong}}=\pi {\rho }_0{R}^3/3=Q$. Với u = r/R, trường trong là:

$$E=\frac{kQ}{R^2}(4u-3u^2).$$

Trường ngoài là kQ/r², hướng ra. Đạo hàm theo u bằng hệ số dương nhân (4 − 6u), nên:

$$\begin{array}{rl}{r}_{max}& =2R/3,\\ E_{max}& =\frac{4kQ}{3R^2}.\end{array}$$

Đồ thị tăng từ không, đạt cực đại trong cầu, giảm về kQ/R² ở mặt rồi tiếp tục giảm bên ngoài.

Đồ thị trường của cầu có mật độ giảm tuyến tính theo bán kính

Bài tập 22: 48 ••

(a) Cần bao nhiêu electron dư phân bố đều trong quả cầu nhựa cô lập đường kính 30,0 cm để trường ngay ngoài mặt có độ lớn 1390 N/C? (b) Trường cách mặt 10,0 cm ra ngoài bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: R = 0,150 m, nguồn âm do electron dư.

Hướng đi:

• Trường ngoài cho $|Q|=E{R}^2/k$, số electron bằng |Q|/e.
• Điểm thứ hai cách tâm 0,250 m, dùng cùng tổng Q.

(a) $N=2.17\times {10}^{10}$ electron. (b) $E=1390(0.150/0.250{)}^2=500$ N/C, hướng về tâm.

Bài tập 22: 49 •• CALC

Trụ cách điện rất dài bán kính R có mật độ dương $\rho (r)=\alpha (1-r/R)$, đối xứng trụ, α có đơn vị C/m³. Suy ra E(r) ở r < R và r > R. Hai kết quả có khớp tại r = R không?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ thay đổi theo khoảng cách đến trục.

Hướng đi:

• Lớp trụ mỏng dài ℓ có thể tích $2\pi s\ell ds$, không phải thể tích lớp cầu.
• Dùng Gauss trụ sau khi theo bán kính.

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{\mathrm{trong}}(r)& =2\pi \alpha {\int }_0^r(s-\frac{s^2}{R})ds,\\ E_{\mathrm{trong}}& =\frac{\alpha }{{\epsilon }_0}(\frac{r}{2}-\frac{r^2}{3R}),\\ {\lambda }_{\mathrm{tong}}& =\pi \alpha R^2/3,\\ E_{\mathrm{ngoai}}& =\frac{\alpha R^2}{6{\epsilon }_{0}r}.\end{array}$$

Tại R, cả hai bằng αR/(6${\epsilon }_0$). Trường hướng ra và liên tục tại mặt trụ.

Bài tập 22: 50 •• CALC

Cầu cách điện đặc bán kính R có mật độ $\rho (r)={\rho }_0(1-r/R)>0$ trong cầu, đối xứng cầu. (a) Suy ra E(r) bên trong. (b) Bên ngoài. (c) Tìm r làm trường cực đại.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cùng dạng mật độ như Bài 22.47, nhưng ρ₀ được cho trực tiếp.

Hướng đi:

• $4\pi s^2\rho (s)ds$ để tìm được bao.
• Dùng Gauss cầu rồi đạo hàm nhánh trong để tìm cực đại.

$$\begin{array}{rl}{E}_{\mathrm{trong}}& =\frac{{\rho }_0}{{\epsilon }_0}(\frac{r}{3}-\frac{r^2}{4R}),\\ Q_{\mathrm{tong}}& =\pi {\rho }_0{R}^3/3,\\ E_{\mathrm{ngoai}}& =\frac{{\rho }_0{R}^3}{12{\epsilon }_0{r}^2},\\ r_{max}& =2R/3.\end{array}$$

Hai nhánh khớp tại r = R và trường hướng ra.

Bài tập 22: 51 • CALC: Tấm có mật độ không đều

Tấm cách điện dày 2d có hai mặt x = ±d, song song mặt yz. Kích thước theo y,z rất lớn so với d, coi vô hạn. Mật độ $\rho (x)={\rho }_0(x/d{)}^2$ với ρ₀ dương. Dùng Gauss tìm độ lớn và hướng trường ở mọi điểm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ chẵn theo x, trường chỉ có thành phần x và đổi dấu qua mặt trung tâm.

Hướng đi:

• Với x > 0 trong tấm, chọn hộp Gauss hai đáy ±x có diện tích A.
• là 2AE(x), được bao là $2A{\int }_0^x\rho (s)ds$.
• Ngoài tấm, cận dừng ở d vì không có thêm .

Trong tấm, kể cả x âm:

$$E_x=\frac{{\rho }_0{x}^3}{3{\epsilon }_0{d}^2}.$$

Phía x > d, $E_x={\rho }_{0}d/(3{\epsilon }_0)$. Phía x < −d, $E_x=-{\rho }_{0}d/(3{\epsilon }_0)$. Trường bằng không ở tâm, hướng ra xa mặt phẳng trung tâm, liên tục ở hai biên.

Bài tập 22: 52 • CALC

Mật độ cầu đối xứng là $\rho (r)={\rho }_0[1-4r/(3R)]$ khi r ≤ R và bằng không khi r ≥ R, với ρ₀ dương. (a) Tìm tổng . (b) Tìm trường ở r ≥ R. (c) Tìm trường ở r ≤ R. (d) Vẽ độ lớn trường. (e) Tìm vị trí và giá trị trường cực đại.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ dương gần tâm và âm khi r > 3R/4.

Hướng đi:

• Cộng với dấu bằng lớp cầu. Không thay mật độ bằng độ lớn của nó.
• Gauss cho trường ngoài từ tổng , còn trường trong từ điện tích từng bán kính.

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}(r)& =\frac{4\pi {\rho }_0}{3}(r^3-\frac{r^4}{R}),\\ Q_{\mathrm{tong}}& =0,\\ E_{\mathrm{ngoai}}& =0,\\ E_{\mathrm{trong}}& =\frac{{\rho }_{0}r}{3{\epsilon }_0}(1-\frac{r}{R}).\end{array}$$

Trong cầu trường hướng ra, dù mật độ ở phần ngoài âm. Lấy đạo hàm r(1 − r/R) cho cực đại tại r = R/2, với $E_{max}={\rho }_{0}R/(12{\epsilon }_0)$. Đồ thị bằng không ở tâm và mặt, đạt cực đại giữa hai vị trí ấy, rồi bằng không ngoài cầu.

Đồ thị trường của phân bố cầu có điện tích tổng bằng không

Bài tập 22: 53 •

(a) Cầu cách điện bán kính a có mật độ đều ρ, tâm ở vector $\overrightarrow{b}$. Chứng tỏ trường trong cầu là $\overrightarrow{E}=\rho (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b})/(3{\epsilon }_0)$. (b) Cầu lớn bán kính R có hốc cầu bán kính a, tâm hốc lệch tâm cầu lớn một khoảng b, với a < b < R và hốc nằm trọn trong cầu. Vật liệu còn lại có mật độ đều ρ. Tìm độ lớn, hướng trường trong hốc và chứng tỏ trường đều. Gợi ý: Chồng chất với kết quả (a).

Hình P22.53: Hốc cầu lệch tâm trong quả cầu cách điện

Chú thích:

• Mật độ điện tích ρ. (Charge density ρ)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Chọn gốc tại tâm cầu lớn, vector b hướng đến tâm hốc.

Hướng đi:

• Trường trong cầu đều phụ thuộc độ lệch so với tâm riêng của cầu.
• Tạo hốc bằng chồng cầu lớn mật độ +ρ với cầu nhỏ mật độ −ρ, rồi cộng vector trường ở điểm trong hốc.

(a) Khoảng cách vector từ tâm cầu nhỏ đến điểm là $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}$. Chọn cầu bán kính s < a, đồng tâm cầu nhỏ. Đối xứng cầu làm trường xuyên tâm và có độ lớn không đổi trên mặt. Như ở Ví dụ 22.9:

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}& =\frac{4}{3}\pi \rho s^3,\\ E_s(4\pi s^2)& =Q_{\mathrm{trong}}/{\epsilon }_0,\\ \overrightarrow{E}& =\frac{\rho \overrightarrow{s}}{3{\epsilon }_0}\\ & =\frac{\rho (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b})}{3{\epsilon }_0}.\end{array}$$

Thành phần E_s giữ dấu của ρ. (b) Cộng trường của cầu lớn +ρ và cầu nhỏ −ρ:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}& =\frac{\rho \overrightarrow{r}}{3{\epsilon }_0}-\frac{\rho (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b})}{3{\epsilon }_0}\\ & =\frac{\rho \overrightarrow{b}}{3{\epsilon }_0}.\end{array}$$

Độ lớn là ρb/(3${\epsilon }_0$) nếu ρ dương, hướng từ tâm cầu lớn đến tâm hốc. Không còn phụ thuộc r nên trường đều trong toàn hốc. Điều kiện hốc nằm trọn còn đòi hỏi a + b < R.

Bài tập 22: 54 •

Trụ cách điện đặc rất dài bán kính R có hốc trụ xuyên dọc, bán kính a. Trục hốc lệch trục trụ một khoảng b, với a < b < R và hốc nằm trọn trong trụ. Vật liệu còn lại có mật độ đều ρ. Tìm độ lớn, hướng trường trong hốc và chứng tỏ trường đều. Gợi ý: Xem Bài 22.53.

Hình P22.54: Hốc trụ lệch trục trong trụ tích điện

Chú thích:

• Mật độ điện tích ρ. (Charge density ρ)

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Vector b nối từ trục trụ lớn đến trục hốc trong mặt cắt ngang.

Hướng đi:

• Chồng trụ lớn +ρ với trụ nhỏ −ρ để tạo hốc.
• Trường trong trụ đều là $\rho {\overrightarrow{r}}_{\perp }/(2{\epsilon }_0)$, khác hệ số 1/3 của cầu.

Để thấy hệ số 1/2, chọn trụ đồng trục, bán kính s trong một trụ đều, chiều dài ℓ. Hai đáy không góp , mặt bên có điện thông E_s·2πsℓ:

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}& =\rho \pi s^2\ell ,\\ E_s(2\pi s\ell )& =Q_{\mathrm{trong}}/{\epsilon }_0,\\ E_s& =\rho s/(2{\epsilon }_0).\end{array}$$

Đây là kết quả của Bài 22.39. Viết dạng vector cho hai tâm trục rồi chồng chất:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}& =\frac{\rho {\overrightarrow{r}}_{\perp }}{2{\epsilon }_0}-\frac{\rho ({\overrightarrow{r}}_{\perp }-\overrightarrow{b})}{2{\epsilon }_0}\\ & =\frac{\rho \overrightarrow{b}}{2{\epsilon }_0}.\end{array}$$

Trường đều, độ lớn ρb/(2${\epsilon }_0$), hướng đến trục hốc khi ρ dương. Hốc nằm trọn cần a + b < R.

Bài tập dữ liệu và ứng dụng

Bài tập 22: 55 •• DATA

Thí nghiệm thứ nhất đo trường ở khoảng cách r đến dây đều dài ℓ với ℓ ≫ r. Thí nghiệm thứ hai đo trường ở r > R của cầu cách điện đều bán kính R = 8,00 mm. Bảng cho hai bộ dữ liệu nhưng chưa ghi bộ nào ứng với nguồn nào. Với mỗi bộ, vẽ Er² theo r và Er theo r. (a) Xác định nguồn của bộ A và B, giải thích. (b) Dùng đồ thị tìm λ của dây và ρ của cầu.

r (cm)	E_A (${10}^5$ N/C)	E_B (${10}^5$ N/C)
1,00	2,72	5,45
1,50	1,79	2,42
2,00	1,34	1,34
2,50	1,07	0,861
3,00	0,902	0,605
3,50	0,770	0,443
4,00	0,677	0,335

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Bảy cặp khoảng cách và trường, bán kính cầu 0,00800 m.

Hướng đi:

• Dây dài có E ∝ 1/r nên Er gần hằng số.
• Ngoài cầu có E ∝ 1/r² nên Er² gần hằng số.
• Đổi r sang m trước khi suy ra hằng số và các mật độ.

Bốn đồ thị Er và Er² cho hai bộ dữ liệu A, B

(a) A có Er gần $2.70\times {10}^3$ N m/C, nên là dây. B có Er² gần 54,1 N m²/C, nên là cầu. (b) Lấy trung bình những tích đã biến đổi để giảm ảnh hưởng làm tròn dữ liệu:

Gọi cᵢ = Eᵢrᵢ với bộ A và dᵢ = Eᵢrᵢ² với bộ B, i chạy từ 1 đến 7 qua các hàng dữ liệu. Khai triển phép trung bình trước khi viết gọn:

$$\begin{array}{rl}\overline{c}& =\frac{c_1+c_2+\cdots +c_7}{7}\\ & =\frac{1}{7}\sum _{i=1}^7{c}_i\\ & =2695.57\mathrm{N}\mathrm{m}/\mathrm{C},\\ \overline{d}& =\frac{d_1+d_2+\cdots +d_7}{7}\\ & =\frac{1}{7}\sum _{i=1}^7{d}_i\\ & =54.0971\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/\mathrm{C}.\end{array}$$

Các giá trị này là hệ số gần hằng của hai dạng đồ thị. Dùng chúng trong các công thức mật độ:

$$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{\overline{c}}{2k}\approx 1.50\times {10}^{-7}\mathrm{C}/\mathrm{m},\\ Q& =\frac{\overline{d}}{k},\\ \rho & =\frac{3Q}{4\pi R^3}\\ & \approx 2.81\times {10}^{-3}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^3.\end{array}$$

Đây là độ lớn các mật độ vì bảng chỉ cho độ lớn trường. Muốn xác định dấu cần biết hướng trường đo được.

Bài tập 22: 56 •• DATA

Đo trường tại r < R trong một cầu cách điện đều có mật độ ρ. Dựa vào đồ thị Hình P22.56, tính ρ.

Hình P22.56: Trường tăng tuyến tính theo khoảng cách trong cầu

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đồ thị cho E ≈ $7.5\times {10}^4$ N/C tại r = 10 mm.

Hướng đi:

• Trong cầu đều, $E=|\rho |r/(3{\epsilon }_0)$.
• Hệ số góc E/r của đồ thị cho độ lớn mật độ. Đổi mm sang m.

$$\begin{array}{rl}|\rho |& =3{\epsilon }_0\frac{7.5\times {10}^4}{0.010}\\ & \approx 2.0\times {10}^{-4}\mathrm{C}/{\mathrm{m}}^3.\end{array}$$

Nếu trường hướng ra, ρ dương. Đồ thị độ lớn đơn độc chưa xác định dấu.

Bài tập 22: 57 •• DATA

Cầu bán kính R = 6,00 mm có mật độ không đều theo Hình P22.57. Tính trường tại r bằng (i) 1,00 mm, (ii) 3,00 mm, (iii) 5,00 mm, (iv) 7,00 mm.

Hình P22.57: Mật độ theo ba vùng bán kính, lần lượt 10, 4 và −2 µC/m³

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Các lớp 0–2 mm, 2–4 mm và 4–6 mm có mật độ 10, 4 và −2 µC/m³.

Hướng đi:

• Cộng của từng lớp nằm bên trong điểm khảo sát, giữ dấu mật độ.
• Lớp từ a đến b có $4\pi \rho (b^3-a^3)/3$.
• Sau đó dùng $E_r=k{Q}_{\mathrm{trong}}/r^2$.

(i) Chỉ có phần lớp đầu: E = 376 N/C. (ii) Bao hết lớp đầu và phần lớp thứ hai đến 3 mm: E = 653 N/C. (iii) Bao hai lớp đầu và phần lớp âm đến 5 mm: E = 274 N/C. Ba trường đều hướng ra.

(iv) tổng tỷ lệ với:

$$10(2^3)+4(4^3-2^3)-2(6^3-4^3)=0.$$

Vì thế trường ở 7 mm bằng không. Các số trong phép so cuối dùng cùng đơn vị mm và µC/m³, nên chỉ dùng để xác nhận tổng bằng không. Khi tính giá trị trường, đã đổi sang SI.

Bài tập 22: 58 •• BIO

Khi ong mật bay, không khí lấy bớt electron khỏi lông, làm ong dương. Hoa âm có thể kéo phấn nhảy lên ong dù ong chưa chạm phấn. (a) Ước lượng đường kính đĩa giữa hoa cúc. (b) Ong mất 75.000 electron có bao nhiêu? (c) Ong đậu ở một mép đĩa, tìm trường của ong tại mép đối diện, coi ong là vỏ cầu mỏng có điện tích đều. (d) Một hạt phấn cần lực 10 pN để rời nhị. Ước lượng điện tích hạt phấn ở mép xa để nó rời nhị và nhảy đến ong.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Số electron bị lấy bớt cho dương. Đường kính hoa cần được ước lượng.

Hướng đi:

• Chọn và nêu rõ giả thiết kích thước, vì đề không cho một đường kính duy nhất.
• Ngoài vỏ cầu đều, dùng trường nguồn điểm. Hạt phấn phải âm để chịu lực hút về ong.

(a) Chọn d ≈ 1 cm làm ước lượng cho đĩa giữa một bông cúc nhỏ. (b) $Q=75000e=1.20\times {10}^{-14}$ C. (c)

$$\begin{array}{rl}E& \approx kQ/d^2=1.08\mathrm{N}/\mathrm{C},\\ |q_{\mathrm{dust}}|& \approx F/E\\ & =9.3\times {10}^{-12}\mathrm{C}.\end{array}$$

(d) cần xấp xỉ −9,3 pC với ước lượng kích thước đã chọn. Nếu chọn đường kính d khác, trường tỷ lệ 1/d² và độ lớn điện tích phấn cần tỷ lệ d². Không nên coi số ước lượng là phép đo chính xác.

Bài tập 22: 59 •• CP CALC

Trụ cách điện rất dài bán kính $R_c$ có mật độ $\rho (r)=(1-r/R_c){\rho }_0$. Hạt −Q, khối lượng M quay tròn quanh trụ ở bán kính $R_o>R_c$. (a) Tìm mật độ dài λ của trụ. (b) Tìm chu kỳ theo $R_o$. Gợi ý: Dùng Gauss tìm lực điện đóng vai trò hướng tâm.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Hạt âm chuyển động ngoài trụ dương có mật độ không đều.

Hướng đi:

• tiết diện để tìm λ trước khi dùng trường ngoài trụ.
• Lực Coulomb là chính lực hướng tâm, không cộng thêm một lực hướng tâm riêng.

$$\begin{array}{rl}\lambda & =2\pi {\rho }_0{\int }_0^{R_c}(r-\frac{r^2}{R_c})dr\\ & =\pi {\rho }_0{R}_c^2/3,\\ \frac{M{v}^2}{R_o}& =\frac{Q\lambda }{2\pi {\epsilon }_0{R}_o},\\ T& =2\pi R_o\sqrt{\frac{2\pi {\epsilon }_{0}M}{Q\lambda }}.\end{array}$$

Tốc độ không phụ thuộc bán kính quỹ đạo trong mô hình này, nên chu kỳ tỷ lệ với $R_o$.

Bài tập 22: 60 •• CP

(a) Chứng tỏ thành phần lực điện vuông góc một mặt phẳng mang mật độ đều σ là $F_{\perp }=\sigma {\mathrm{\Phi }}_E$, với Φ là của trường ngoài qua mặt đó. (b) Một bán cầu cách điện bán kính R mang Q đều trên mặt tròn phẳng, nằm phía trên mặt phẳng rất lớn có mật độ đều σ. Trục bán cầu thẳng đứng. Khối lượng M phải bằng bao nhiêu để đứng yên? (c) Nếu mật độ trên mặt tròn và mặt lớn đều 100 µC/m², R = 3,00 cm, M = 100 g, gia tốc hướng lên bằng bao nhiêu?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Lực do trường ngoài tác dụng lên mặt. Mặt mang Q của bán cầu là mặt tròn phẳng.

Hướng đi:

• Phần tử diện tích dA mang dq = σ dA, nên thành phần lực cho σ nhân ngoài.
• Ở (b), trường mặt vô hạn đều. Cân bằng lực điện hướng lên với trọng lượng.
• Ở (c), phải trừ g khi chuyển lực điện sang gia tốc tổng.

(a)

$$\begin{array}{rl}{F}_{\perp }& =\int E_{\perp }dq\\ & =\sigma \int E_{\perp }dA\\ & =\sigma {\mathrm{\Phi }}_E.\end{array}$$

Không dùng trường do chính phần mặt đang xét tạo ra như một trường ngoài gây lực lên toàn hệ. (b) Nếu Q và σ cùng dấu, lực điện hướng lên có độ lớn Qσ/(2${\epsilon }_0$). Vì thế $M=Q\sigma /(2g{\epsilon }_0)$. Nếu trái dấu, lực điện cũng hướng xuống nên không có cân bằng này.

(c) $Q=\sigma \pi R^2$, lực điện bằng 1,60 N. Gia tốc tổng:

$$a_z=\frac{{\sigma }^2\pi R^2}{2M{\epsilon }_0}-g=6.17\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$$

Bài tập nâng cao

Bài tập 22: 61 ••• CALC

Cầu cách điện đều, bán kính r, điện tích +Q, ở tâm một trụ rỗng thành mỏng bán kính R > r và chiều dài L > 2r. Trụ không dẫn điện và không mang điện tích tổng. (a) Tìm ra qua mặt bên, bỏ hai đáy. Gợi ý: Trục z theo trục trụ, gốc tại tâm cầu, phần diện tích bên là dA = 2πR dz. (b) Tìm điện thông hướng lên qua đáy trên. (c) Hướng xuống qua đáy dưới. (d) Cộng điện thông ba phần. (e) Kiểm tra sự phù hợp với Gauss.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Toàn mặt trụ ở ngoài cầu tích điện, nên trường nguồn giống trường Q ở tâm.

Hướng đi:

• Trên mặt bên, chỉ thành phần theo bán kính trụ xuyên qua mặt.
• theo z cho mặt bên. Dùng tích phân vòng trên đáy hoặc đối xứng hai đáy và Gauss để đối chiếu.

Trên mặt bên, khoảng cách đến tâm là $\sqrt{R^2+z^2}$ và thành phần vuông góc là $kQR/(R^2+z^2{)}^{3/2}$. Vì vậy:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{side}}& =2\pi kQ{R}^2\times {\int }_{-L/2}^{L/2}\frac{dz}{(R^2+z^2{)}^{3/2}}\\ & =\frac{Q}{{\epsilon }_0}\frac{L}{\sqrt{L^2+4R^2}}.\end{array}$$

Đặt h = L/2. Trên đáy trên, thành phần đứng là $kQh/(s^2+h^2{)}^{3/2}$, phần diện tích vòng là 2πs ds. s từ 0 đến R cho:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{top}}& =\frac{Q}{2{\epsilon }_0}(1-\frac{L}{\sqrt{L^2+4R^2}}),\\ {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{bot}}& ={\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{top}}.\end{array}$$

ở đáy dưới được đo hướng xuống, tức hướng ra ngoài, nên cũng dương. Cộng ba phần được Q/${\epsilon }_0$, đúng Gauss vì trụ bao toàn bộ Q.

Bài tập 22: 62 ••• CP CALC

tổng dương Q có phân bố cầu đối xứng bán kính R, với mật độ:

• Khi 0 ≤ r ≤ R/2, $\rho (r)=3\alpha r/(2R)$.
• Khi R/2 ≤ r ≤ R, $\rho (r)=\alpha [1-(r/R{)}^2]$.
• Khi r ≥ R, mật độ bằng không.

Hằng số α dương có đơn vị C/m³. (a) Tìm α theo Q,R. (b) Dùng Gauss tìm độ lớn trường trong cả ba vùng, biểu diễn theo Q. (c) Phần trong R/2 ≤ r ≤ R chiếm tỷ lệ nào của Q? (d) Tìm E tại R/2. (e) Electron thả từ nghỉ trong một trong ba vùng dao động nhưng không điều hòa. Giải thích.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mật độ có hai biểu thức nối liên tục tại R/2.

Hướng đi:

• riêng cho từng vùng, rồi cộng để tìm Q.
• Trong vùng ngoài của cầu, phải giữ cả vùng trong đã được bao.
• Chỉ sau khi tìm theo r mới chia diện tích Gauss để có E.

(a) Hai phần là:

$$\begin{array}{rl}{Q}_1& =\frac{3\pi \alpha R^3}{32},\\ Q_2& =\frac{47\pi \alpha R^3}{120},\\ Q& =\frac{233\pi \alpha R^3}{480},\\ \alpha & =\frac{480Q}{233\pi R^3}.\end{array}$$

(b) Đặt u = r/R. Với 0 ≤ u ≤ 1/2, mật độ cho $Q_{\mathrm{trong}}=(720Q/233)u^4$. Do đó:

$$E_1=\frac{kQ}{R^2}\frac{720u^2}{233}.$$

Với 1/2 ≤ u ≤ 1:

$$\begin{array}{rl}f(u)& =640u^3-384u^5-23,\\ g(u)& =640u-384u^3-\frac{23}{u^2},\\ Q_{\mathrm{trong}}& =\frac{Q}{233}f(u),\\ E_2& =\frac{kQ}{233R^2}g(u).\end{array}$$

Với u ≥ 1, $E_3=kQ/r^2$. Trường hướng ra, bằng không tại tâm và liên tục ở hai điểm nối.

(c) $Q_2/Q=188/233\approx 80.7\mathrm{\%}$. (d) $E(R/2)=180kQ/(233R^2)$. (e) Electron chịu lực hút về tâm và trong mô hình không mất năng lượng sẽ chuyển động qua lại. Lực không tỷ lệ tuyến tính với độ lệch, chẳng hạn trong vùng trong cùng E ∝ r², nên dao động không điều hòa. Nếu thả đúng tâm r = 0, electron đứng yên tại cân bằng. Kết luận dao động áp dụng cho vị trí ban đầu lệch tâm.

Bài đọc và câu hỏi kiểu MCAT

Che chắn bức xạ trong không gian

Bức xạ không gian gồm các hạt mang điện năng lượng cao do Mặt Trời phát ra. Khi có bùng phát Mặt Trời, cường độ có thể tăng đến mức nguy hiểm đối với con người. Một phương án được đề xuất là đặt các quả cầu tích điện lớn phía trên khu sinh sống và làm việc trên Mặt Trăng hoặc Mars. Trường mạnh của các cầu sẽ làm lệch những hạt mang điện.

Mỗi cầu có thể có cấu tạo tương tự bóng Mylar, với một lớp dẫn điện mỏng ở mặt ngoài mang dương hoặc âm. Đường kính điển hình trong mô hình này là 5 m. Các câu sau khảo sát mô hình , không đánh giá đầy đủ hiệu quả kỹ thuật của phương án che chắn.

Bài tập 22: 63

Để đẩy electron của bức xạ bùng phát, mỗi cầu cần tạo trường có độ lớn $1\times {10}^6$ N/C ở cách tâm 25 m. cần trên mỗi cầu là (a) −0,07 C, (b) −8 mC, (c) −80 µC, hay (d) $-1\times {10}^{-20}$ C?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Trường ngoài cầu tại r = 25 m, cần đẩy electron âm.

Hướng đi:

• Cầu phải âm để đẩy electron, nên Q âm.
• Trường ngoài cầu cho $|Q|=E{r}^2/k$.

$$Q=-\frac{({10}^6)(25{)}^2}{k}\approx -0.070\mathrm{C}.$$

Chọn (a).

Bài tập 22: 64

Độ lớn trường ngay ngoài mặt cầu ấy là (a) 0, (b) ${10}^6$ N/C, (c) ${10}^7$ N/C, hay (d) ${10}^8$ N/C?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Đường kính 5 m nên bán kính mặt cầu bằng 2,5 m.

Hướng đi:

• Ngoài cầu, E tỷ lệ 1/r².
• Khoảng cách từ 25 m xuống 2,5 m giảm mười lần, nên trường tăng một trăm lần.

$$E(R^{+})={10}^6(25/2.5{)}^2={10}^8\mathrm{N}/\mathrm{C}.$$

Chọn (d).

Bài tập 22: 65

Trường ngay ngoài cầu có hướng (a) tiếp tuyến mặt, (b) vuông góc mặt và hướng vào cầu, (c) vuông góc mặt và hướng ra, hay (d) không có trường ngay ngoài mặt?

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Mặt cầu dẫn mang điện âm ở cân bằng tĩnh điện.

Hướng đi:

• Trường tại mặt dẫn phải vuông góc, nếu không sẽ chuyển động tiếp tuyến.
• âm cho trường hướng vào.

Chọn (b). Electron có lực ngược chiều trường nên bị đẩy ra, phù hợp mục tiêu ở Bài 22.63.

Bài tập 22: 66

Trường trong cầu âm vừa mô tả có tính chất nào? (a) Hướng từ tâm ra mặt và lớn nhất ở tâm. (b) Hướng từ mặt vào tâm và lớn nhất ở mặt. (c) Bằng không. (d) Không đổi nhưng khác không.

Lời giải: Chi tiết

Tóm tắt đề bài: Cầu là vỏ dẫn mỏng với dư trên mặt ngoài, không chứa nguồn trong hốc.

Hướng đi:

• Trong vật liệu dẫn cân bằng, trường bằng không.
• Hốc kín không chứa nguồn riêng cũng có trường bằng không. Không được thay mô hình bằng quả cầu cách điện trong thể tích.

Chọn (c).

Đáp số tra cứu

Lời giải: Đáp số các bài biến thể

Bài	Kết quả
VP22.4.1	−E₁L², +E₁L², −E₂L², +E₂L², 0, 0. Tổng 0
VP22.4.2	+452, −226, −226 N m²/C
VP22.4.3	+678 N m²/C toàn mặt, +113 N m²/C mỗi mặt
VP22.4.4	+339, −565, −565 N m²/C
VP22.10.1	Cầu cách điện có 8,63 kN/C tại 4 cm và 7,49 kN/C tại 6 cm. Cầu dẫn có 0 tại 4 cm và 7,49 kN/C tại 6 cm
VP22.10.2	2,40 µN, lực hút
VP22.10.3	$+1.79\times {10}^{-7}$ C/m²
VP22.10.4	$5.41\times {10}^{-8}$ C/m²
VP22.12.1	Mặt ngoài −5,00 nC, mặt trong −3,00 nC
VP22.12.2	Nguồn +2,00 nC. Dời nguồn không đổi tổng mỗi mặt
VP22.12.3	0, $2.7\times {10}^{-5}$ C, $2.7\times {10}^{-6}$ C/m²
VP22.12.4	−4,00 nC, −2,00 nC, $2.50\times {10}^3$ N/C, 165 N/C

Câu hỏi mở đầu chọn (iii). Với bài tổng hợp hydrogen, đặt u = r/a₀:

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\mathrm{trong}}& =Q{e}^{-2u}(1+2u+2u^2),\\ E& =k{Q}_{\mathrm{trong}}/r^2,\\ E/E_p& =e^{-2u}(1+2u+2u^2).\end{array}$$

Trường hướng ra và tỷ số giảm từ 1 về 0 khi r tăng.

Lời giải: Đáp số các bài lẻ

Bài	Kết quả ngắn
22.1	1,75 N m²/C. Không phụ thuộc hình dạng. Độ lớn lớn nhất khi pháp tuyến song song trường, nhỏ nhất khi vuông góc
22.3	Độ lớn $3.53\times {10}^5$ N m²/C, 3,13 µC
22.5	$7.70\times {10}^3$ N/C
22.7	14,8 cm²
22.9	0, $1.22\times {10}^8$ N/C, $3.64\times {10}^7$ N/C. Hai trường ngoài hướng vào
22.11	0,977 N m²/C hướng vào
22.13	0,0810 N, lực đẩy
22.15	350, 700, 1400 N/C
22.17	$6.47\times {10}^5$ N/C hướng +y, $7.19\times {10}^4$ N/C hướng −y
22.19	$5.73\times {10}^{-6}$ C/m², $6.48\times {10}^5$ N/C, $-5.65\times {10}^4$ N m²/C
22.21	Độ lớn mật độ $2.60\times {10}^{-7}$ C/m³, trường 1960 N/C
22.23	$6.56\times {10}^{-21}$ J, $1.20\times {10}^5$ m/s
22.25	+6,00 nC và −1,00 nC
22.27	λ = 2πRσ. Trường ngoài có độ lớn $
22.29	1,16 km/s
22.31	10,2°
22.33	+750 N m²/C, 0, 577 N/C hướng +x. Có nguồn trong và ngoài tấm
22.35	Lực ngoài có độ lớn kQq/r² hướng về tâm. Lực trong bằng không
22.37	Trường khe và ngoài có độ lớn λ/(2π${\epsilon }_0$r). Mặt trong vỏ −λ, mặt ngoài +λ
22.39	Trong trụ E = ρr/(2${\epsilon }_0$). Ngoài E = λ/(2π${\epsilon }_0$r). Hai nhánh bằng nhau tại R
22.41	Ba vùng có trường 0, kQ/r² và 2kQ/r², các trường khác không hướng ra
22.43	Năm vùng có trường 0, 0, 2kq/r², 0, 6kq/r². Bốn mặt mang 0, +2q, −2q, +6q
22.45	Nguồn cần ở tâm q = +2παa², trường hằng α/(2${\epsilon }_0$)
22.47	Trường cực đại tại 2R/3, bằng 4kQ/(3R²)
22.49	Trong trụ $E=\alpha (r/2-r^2/(3R))/{\epsilon }_0$. Ngoài trụ $E=\alpha R^2/(6{\epsilon }_{0}r)$
22.51	Trong tấm $E_x={\rho }_0{x}^3/(3{\epsilon }_0{d}^2)$. Ngoài có độ lớn ρ₀d/(3${\epsilon }_0$), hướng ra
22.53	Trong hốc cầu $\overrightarrow{E}=\rho \overrightarrow{b}/(3{\epsilon }_0)$
22.55	A là dây, B là cầu. Độ lớn λ ≈ $1.50\times {10}^{-7}$ C/m, ρ ≈ $2.81\times {10}^{-3}$ C/m³
22.57	Xấp xỉ 377, 653, 274 và 0 N/C
22.59	$\lambda =\pi {\rho }_0{R}_c^2/3$. Chu kỳ tỷ lệ bán kính quỹ đạo
22.61	tổng Q/${\epsilon }_0$. Mặt bên và từng đáy có biểu thức bên dưới
22.63	Chọn (a)
22.65	Chọn (b)

Các biểu thức dài để tra cứu được viết riêng. Với Bài 22.45:

$$E=\frac{\alpha }{2{\epsilon }_0}(1-\frac{a^2}{r^2}).$$

Với Bài 22.47, đặt u = r/R:

$$E_{\mathrm{trong}}=\frac{kQ}{R^2}(4u-3u^2).$$

Với Bài 22.59:

$$T=2\pi R_o\sqrt{\frac{2\pi {\epsilon }_{0}M}{Q\lambda }}.$$

Với Bài 22.61, đặt $\eta =L/\sqrt{L^2+4R^2}$:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{side}}& =Q\eta /{\epsilon }_0,\\ {\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{base}}& =Q(1-\eta )/(2{\epsilon }_0).\end{array}$$

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, ấn bản 15, chương 22, trang 739–746 và phụ lục đáp số A-14–A-15.