Infimum

Infimum của một tập giá trị là cận dưới lớn nhất của tập đó. Nó có thể không thuộc tập, nên giá trị tối ưu có infimum hữu hạn nhưng bài toán vẫn không có điểm đạt giá trị ấy.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Bài giảng dùng khái niệm này

• Giới thiệu tối ưu, tập lồi và hàm lồiToán cho AI
• Các bài toán tối ưu lồiToán cho AI
• Đối ngẫu LagrangeToán cho AI
• Quy hoạch tuyến tính và quy hoạch độngToán cho AI

Giải thích kỹ thuật

Cận dưới và . Số $a$ là cận dưới của tập $S$ nếu $a\le s$ với mọi $s\in S$. Infimum $infS$ là cận dưới lớn nhất. Nếu tồn tại $s^{\star }\in S$ bằng $infS$, khi đó $s^{\star }$ là phần tử nhỏ nhất.

Trong tối ưu, $p^{\star }=\underset{x\in C}{inf}f(x)$ luôn mô tả giá trị tối ưu mở rộng, kể cả khi không có nghiệm đạt hoặc khi giá trị là $-\mathrm{\infty }$. Muốn khẳng định có nghiệm, cần thêm lập luận về tính đạt, chẳng hạn hàm liên tục trên một miền đóng và bị chặn khác rỗng. Nguồn: Convex Optimization, §4.1.

Ví dụ

Với $x>0$, $infx=0$ nhưng không có $x>0$ nào bằng 0.

Khi nào cần dùng?

Phân biệt giá trị tối ưu với sự tồn tại của nghiệm đạt tối ưu.

Câu hỏi ôn lại

Bài min x với $x>0$ có nghiệm tối ưu $x=0$ không?

Xem đáp án

Không. 0 là infimum nhưng không thuộc miền $x>0$.

Thuật ngữ liên quan

• Điểm và miền khả thi
• Nới lỏng bài toán
• Hàm đối ngẫu Lagrange