Tập affine

Tập C là affine nếu với mọi $x,y\in C$ và mọi số thực $\theta$, điểm $\theta x+(1-\theta )y$ vẫn thuộc C, tức C chứa trọn đường thẳng qua hai điểm bất kỳ của nó. Mọi tập affine có dạng $x_0+V$ với V là một không gian con. Bao affine của một tập là tập affine nhỏ nhất chứa nó.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Giải thích kỹ thuật

Từ affine tới không gian con. Tổ hợp affine ${\theta }_1{x}_1+\cdots +{\theta }_k{x}_k$ với $\sum _i{\theta }_i=1$ cho phép trọng số âm. Nếu $C$ affine và $x_0\in C$ thì $V=C-x_0$ đóng với phép cộng và nhân vô hướng, nên là không gian con, và chiều của $C$ được định nghĩa là chiều của $V$.

Tập nghiệm của hệ tuyến tính. Tập $\{x:Ax=b\}$ là affine, và ngược lại mọi tập affine đều viết được dưới dạng này, với không gian con tương ứng là không gian không $\mathcal{N}(A)$. Vì vậy ràng buộc đẳng thức trong bài toán lồi phải affine: Một đẳng thức phi tuyến như $x_1^2+x_2^2=1$ cho đường tròn, không lồi.

Bao affine. Bao affine $\mathrm{aff}C$ gồm mọi affine của các điểm trong $C$. Ba điểm không thẳng hàng trong ${\mathbb{R}}^3$ có bao affine là cả một mặt phẳng. Nguồn: Convex Optimization, §2.1.1–2.1.3.

Ví dụ

Tập nghiệm của $x_1+x_2=2$ là đường thẳng qua $(2,0)$ và $(0,2)$, một tập affine. Đoạn thẳng nối hai điểm đó thì lồi nhưng không affine.

Khi nào cần dùng?

Mô tả tập nghiệm của và các ràng buộc đẳng thức của bài toán lồi.

Câu hỏi ôn lại

Tập affine có nhất thiết chứa gốc tọa độ không?

Xem đáp án

Không. Chỉ không gian con mới phải chứa gốc. Tập affine là một không gian con được tịnh tiến bởi một $x_0$.

Thuật ngữ liên quan

• Tập lồi
• Hệ phương trình tuyến tính
• Vector