Nón lồi

Tập C là nón nếu $\theta x\in C$ với mọi $x\in C$ và mọi $\theta \ge 0$. Nón lồi là nón đồng thời là , tương đương với việc chứa mọi tổng ${\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$ với ${\theta }_1,{\theta }_2\ge 0$. Tổng với hệ số không âm như vậy gọi là nón.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Giải thích kỹ thuật

Bốn loại . Tổ hợp tuyến tính không ràng buộc hệ số, đòi tổng hệ số bằng 1, tổ hợp nón đòi hệ số không âm, đòi cả hai điều kiện. Tương ứng với chúng là không gian con, tập affine, nón lồi và .

Các ví dụ quan trọng. Nón không âm ${\mathbb{R}}_{+}^n$, nón bậc hai $\{(x,t):\parallel x{\parallel }_2\le t\}$ và nón ${\mathbb{S}}_{+}^n$. Kiểm tra $b$ có thuộc nón sinh bởi các cột của $A$ hay không là một bài toán khả thi tuyến tính: Tìm $\lambda ⪰0$ với $A\lambda =b$. Nguồn: Convex Optimization, §2.1.5 và §2.2.3–2.2.5.

Ví dụ

Góc phần tư thứ nhất ${\mathbb{R}}_{+}^2$ là nón lồi. Hợp của hai tia dương trên hai trục tọa độ là nón nhưng không lồi.

Khi nào cần dùng?

Mô tả ràng buộc không âm, nón bậc hai, nón và các .

Câu hỏi ôn lại

Một nón khác rỗng có luôn chứa gốc tọa độ không?

Xem đáp án

Có, vì lấy $\theta =0$ được $0\cdot x=0$ thuộc nón.

Thuật ngữ liên quan

• Tập lồi
• Ma trận nửa xác định dương
• Nón đối ngẫu