Nón đối ngẫu

Nón đối ngẫu của tập K là $K^{\ast }=\{y:y^{T}x\ge 0,\mathrm{\forall }x\in K\}$, gồm các tạo góc không quá ${90}^{\circ }$ với mọi phần tử của K. Nó luôn là một đóng, kể cả khi K không lồi.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Giải thích kỹ thuật

Hình học. Mỗi $y\in K^{\ast }$ xác định một $\{x:y^{T}x\ge 0\}$ có biên đi qua gốc và chứa trọn $K$. Nếu $K$ là đóng thì $K^{\ast \ast }=K$, và nếu $K$ là thì $K^{\ast }$ cũng vậy.

Các nón tự đối ngẫu. ${\mathbb{R}}_{+}^n$, nón bậc hai và nón đều tự đối ngẫu. Đối ngẫu của nón chuẩn ứng với chuẩn đối ngẫu, chẳng hạn nón ${\ell }_1$ và nón ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ là đối ngẫu của nhau.

. Cực tiểu ${\lambda }^{T}z$ trên một tập với $\lambda$ thuộc phần trong của $K^{\ast }$ cho một theo thứ tự sinh bởi $K$. Nguồn: Convex Optimization, §2.6.

Ví dụ

Nón ${\mathbb{R}}_{+}^2$ là nón tự đối ngẫu, bởi vì $y^{T}x\ge 0$ với mọi $x⪰0$ khi và chỉ khi $y⪰0$.

Khi nào cần dùng?

Chọn trọng số hợp lệ khi nhiều mục tiêu, và làm cho ràng buộc nón.

Câu hỏi ôn lại

Nón đối ngẫu của toàn không gian ${\mathbb{R}}^n$ là gì?

Xem đáp án

Chỉ gồm 0, vì $y^{T}x\ge 0$ với mọi x buộc $y=0$.

Thuật ngữ liên quan

• Nón lồi
• Bất đẳng thức tổng quát
• Hàm đối ngẫu Lagrange