Hàm lồi

Hàm f trên miền lồi là lồi nếu $f(\theta x+(1-\theta )y)\le \theta f(x)+(1-\theta )f(y)$ với mọi x,y trong miền và $\theta$ trong [0,1]. Với hàm khả vi trên miền mở lồi, mặt phẳng tiếp tuyến luôn nằm dưới hàm.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Bài giảng dùng khái niệm này

• Giới thiệu tối ưu, tập lồi và hàm lồiToán cho AI
• Các bài toán tối ưu lồiToán cho AI
• Đối ngẫu LagrangeToán cho AI

Giải thích kỹ thuật

Trên miền mở lồi, nếu $f$ khả vi thì tính lồi tương đương

$$f(y)\ge f(x)+\mathrm{\nabla }f(x{)}^T(y-x).$$

Với $f$ hai lần khả vi, có thể kiểm ${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)⪰0$ ở mọi điểm. Hàm lồi có thể không khả vi, chẳng hạn $|x|$ ở 0. Lồi nghiêm dùng dấu nhỏ hơn với $x\ne y$, $0<\theta <1$. Nó không tự bảo đảm đạt nghiệm. Nguồn: Convex Optimization, §3.1.

Ví dụ

$f(x)=x^2$: Tại $x=-1$, $y=2$, $\theta =\frac{1}{2}$, giá trị ở trung điểm là $\frac{1}{4}$, còn trung bình hai giá trị là $\frac{5}{2}$.

Khi nào cần dùng?

Chứng nhận tối ưu toàn cục và kiểm dạng chuẩn của mô hình tối ưu.

Câu hỏi ôn lại

Hàm lồi có luôn duy nhất một nghiệm cực tiểu không?

Xem đáp án

Không. Hàm hằng có mọi điểm trong miền là nghiệm. Lồi nghiêm bảo đảm nhiều nhất một nghiệm trên lồi.

Thuật ngữ liên quan

• Tập lồi
• Gradient
• Hessian