Hạt trong hộp ba chiều

Mô hình hạt bị trong một hộp có thành thế vô hạn. Ba số lượng tử nguyên dương xác định các dạng sóng đứng theo ba trục.

Lĩnh vực: Cơ học, nhiệt, điện từ và lượng tử

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Bài giảng dùng khái niệm này

• Cơ học lượng tử II: Cấu trúc nguyên tửVật lý 2
• Phân tử và vật chất ngưng tụVật lý 2

Giải thích kỹ thuật

Xét hộp lập phương cạnh L, đáy thế bằng không và thành vô hạn. phải triệt tiêu ở sáu mặt. Vì ba phương tách được, ta viết hàm riêng thành tích ba nghiệm một chiều.

$$\psi (x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z).$$

Mỗi nhân tử là một sóng sin có nút ở hai thành tương ứng. Ba số lượng tử đều bắt đầu từ 1. Nếu một số bằng 0, một nhân tử và do đó toàn đều triệt tiêu.

$$\begin{array}{rl}N& =n_x^2+n_y^2+n_z^2,\\ E& =\frac{N{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}.\end{array}$$

Xác suất trong một miền chữ nhật được tính bằng tích các một chiều khi đang xét là nghiệm tích. Điều này không cho phép thay xác suất bằng tỉ lệ thể tích, vì mật độ lượng tử nói chung không đều. Với các trạng thái suy biến, phải tính bình phương môđun của toàn tổ hợp trước.

Ví dụ

Trong hộp lập phương, các bộ (2,1,1), (1,2,1) và (1,1,2) có cùng nhưng là ba không gian khác nhau.

Khi nào cần dùng?

Phân tích điều kiện biên, xác suất trong một miền và suy biến do đối xứng hình học.

Câu hỏi ôn lại

Bộ có một số lượng tử bằng 0 có phải thấp nhất không?

Xem đáp án

Không. Nhân tử sin theo trục đó triệt tiêu ở mọi điểm, làm toàn bằng 0 và không chuẩn hóa được.

Thuật ngữ liên quan

• Điều kiện biên của hàm sóng
• Suy biến mức năng lượng
• Nguyên lý loại trừ Pauli

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 41, trang 1360–1398.