Ellipsoid

Ellipsoid là tập $\{x:(x-x_c{)}^T{P}^{-1}(x-x_c)\le 1\}$ với P đối xứng xác định dương. Các bán trục nằm theo của P và có độ dài bằng căn bậc hai của trị riêng tương ứng.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Giải thích kỹ thuật

Hai cách biểu diễn. Ngoài dạng dùng $P$, ellipsoid còn là ảnh affine của quả cầu đơn vị, $\{x_c+Au:\parallel u{\parallel }_2\le 1\}$ với $A=P^{1/2}$. Khi $A$ suy biến, ta được một ellipsoid suy biến, dẹt xuống một không gian thấp chiều hơn.

Thể tích và liên hệ thống kê. Thể tích của ellipsoid tỉ lệ với $(detP{)}^{1/2}$, nên nhiều bài toán tìm ellipsoid nhỏ nhất hay lớn nhất dẫn tới cực trị của $\log det$. Các tập mức của mật độ Gauss $\mathcal{N}(\mu ,\mathrm{\Sigma })$ là ellipsoid với tâm $\mu$ và tỉ lệ với $\mathrm{\Sigma }$. Nguồn: Convex Optimization, §2.2.2 và §8.4.

Ví dụ

Với $x_c=0$ và $P=\mathrm{diag}(4,1)$, ellipsoid là $x_1^2/4+x_2^2\le 1$, có bán trục dài 2 theo trục $x_1$ và bán trục dài 1 theo trục $x_2$.

Khi nào cần dùng?

Mô tả vùng bất định, vùng tin cậy của và các trơn trong bài toán tối ưu.

Câu hỏi ôn lại

Quả cầu Euclid bán kính r là ellipsoid với P bằng gì?

Xem đáp án

$P=r^{2}I$.

Thuật ngữ liên quan

• Ma trận nửa xác định dương
• Trị riêng & vector riêng
• Phân phối Gauss