Hệ phương trình tuyến tính

Hệ $Ax=b$ gồm các phương trình tuyến tính cùng dùng một ẩn x. Hệ có nghiệm khi b thuộc không gian sinh bởi các cột A. Nếu A vuông và khả nghịch thì hệ có nghiệm duy nhất. Còn khi A suy biến, hệ có thể vô nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Bài giảng dùng khái niệm này

• Giới thiệu tối ưu, tập lồi và hàm lồiToán cho AI
• Các bài toán tối ưu lồiToán cho AI
• Đối ngẫu LagrangeToán cho AI
• Tối ưu không ràng buộc và ràng buộc đẳng thứcToán cho AI
• Các phương pháp tối ưu trong học sâuToán cho AI
• Quy hoạch tuyến tính và quy hoạch độngToán cho AI

Giải thích kỹ thuật

Nếu $A$ kích thước $m\times n$, thì $x\in {\mathbb{R}}^n$, $b\in {\mathbb{R}}^m$. Tập nghiệm nếu khác rỗng có dạng $x_0+\{v:Av=0\}$. Điều này giải thích vì sao hệ thiếu hạng có thể có nhiều nghiệm.

Với vuông khả nghịch, dùng thuật toán giải hệ thay vì tính ma trận nghịch đảo rồi nhân. Phương trình chuẩn $A^{T}Aw=A^{T}b$ đặc trưng nghiệm . Khi tính số, QR/SVD có thể thích hợp hơn việc lập $A^{T}A$. Nguồn: Convex Optimization, §A.5.1–A.5.4 và §1.2.1.

Ví dụ

$x+y=3$, $x-y=1$ cho $x=2$, $y=1$. Hai phương trình $x+y=3$ và $2x+2y=7$ lại mâu thuẫn.

Khi nào cần dùng?

Giải phương trình chuẩn của hồi quy, hệ và bước Newton.

Câu hỏi ôn lại

A có hai hàng giống nhau thì có luôn vô nghiệm không?

Xem đáp án

Không. Nếu hai vế phải tương ứng bằng nhau thì hai phương trình trùng nhau, còn nếu chúng khác nhau thì hệ mâu thuẫn.

Thuật ngữ liên quan

• Ma trận
• Vector
• Hessian