Phương trình Schrödinger ba chiều

Phương trình mô tả lượng tử theo ba tọa độ. Với khối lượng không đổi, toán tử động năng chứa tổng các bậc hai theo x, y và z.

Lĩnh vực: Cơ học, nhiệt, điện từ và lượng tử

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Bài giảng dùng khái niệm này

• Cơ học lượng tử II: Cấu trúc nguyên tửVật lý 2

Giải thích kỹ thuật

Chọn một mô hình một hạt phi tương đối tính có khối lượng không đổi. Trong ba chiều, động năng có ba đóng góp tương ứng với ba phương . Vì thế toán tử động năng chứa toán tử Laplace.

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}^2\psi & ={\psi }_{xx}+{\psi }_{yy}+{\psi }_{zz},\\ {\psi }_{xx}& =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.\end{array}$$

Hai theo y và z được định nghĩa tương tự. Khi không phụ thuộc thời gian, nghiệm riêng năng lượng thỏa phương trình sau.

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi +U\psi =E\psi .$$

Miền không gian, điều kiện tại biên và điều kiện ở vô cực chọn những nghiệm có ý nghĩa vật lý. Nghiệm đại số của phương trình vi phân chưa đủ nếu không thỏa các điều kiện ấy. Với đã chuẩn hóa, xác suất trong một miền được tính bằng bình phương môđun theo thể tích.

Ví dụ

Trong hộp lập phương, nghiệm tách thành tích ba hàm một chiều khi và điều kiện biên cho phép tách biến.

Khi nào cần dùng?

Tìm , và phân bố xác suất của hệ có cấu trúc không gian.

Câu hỏi ôn lại

Có thể giữ nguyên theo x và chỉ đổi tên thành hàm ba biến không?

Xem đáp án

Không. Động năng phải kể đủ ba phương. Bỏ các còn lại làm thay đổi bài toán vật lý.

Thuật ngữ liên quan

• Phương trình Schrödinger
• Hạt trong hộp ba chiều
• Chuẩn hóa hàm sóng

Tài liệu tham khảo

Young & Freedman, University Physics with Modern Physics, ấn bản 15, chương 41, trang 1360–1398.