Tập mức dưới

Tập mức dưới mức $\alpha$ của hàm f là $\{x\in \mathrm{dom}f:f(x)\le \alpha \}$. Nếu f lồi thì mọi tập mức dưới đều lồi. Hàm có mọi tập mức dưới lồi được gọi là hàm tựa lồi, một lớp rộng hơn .

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Nghĩa ở lĩnh vực khácHàm tựa lồi · Tối ưu hóa

Giải thích kỹ thuật

Chiều thuận và chiều ngược. Nếu $f(x)\le \alpha$ và $f(y)\le \alpha$ thì tính lồi cho $f(\theta x+(1-\theta )y)\le \alpha$, nên tập mức dưới lồi. Chiều ngược sai, và các hàm có mọi tập mức dưới lồi tạo thành lớp hàm tựa lồi.

Hàm tựa lồi khác ở đâu. Với hàm tựa lồi khả vi, bất đẳng thức $f(y)\le f(x)$ suy ra $\mathrm{\nabla }f(x{)}^T(y-x)\le 0$, nên vẫn loại được . Nhưng gradient bằng 0 không còn bảo đảm , và cực tiểu cục bộ có thể không toàn cục, chẳng hạn $x^3$ có bằng 0 tại gốc tọa độ. Nguồn: Convex Optimization, §3.1.6 và §3.4.

Ví dụ

Hàm $-e^x$ lõm, nhưng mọi tập mức dưới của nó là một nửa trục, nên lồi: Hàm này tựa lồi mà không lồi.

Khi nào cần dùng?

Chứng minh một tập là lồi bằng cách viết nó thành tập mức dưới của một , chẳng hạn ràng buộc $\parallel w{\parallel }_2\le r$.

Câu hỏi ôn lại

Tập mức dưới của một hàm không lồi có thể là không?

Xem đáp án

Có. Chẳng hạn $-e^x$ và $x^3$ có mọi tập mức dưới là một khoảng.

Thuật ngữ liên quan

• Hàm lồi
• Epigraph
• Tập lồi