Siêu phẳng phân tách và siêu phẳng tựa

Hai rời nhau luôn có một phân tách: Tồn tại $a\ne 0$ và b với $a^{T}x\le b$ trên tập này và $a^{T}x\ge b$ trên tập kia. Siêu phẳng tựa của tập C tại điểm biên $x_0$ là siêu phẳng đi qua $x_0$ sao cho C nằm trọn một phía.

Lĩnh vực: Tối ưu hóa

Định nghĩa trên trang này được dùng trong lĩnh vực vừa nêu. Một từ giống nhau ở môn khác có thể mang nghĩa khác.

Giải thích kỹ thuật

Định lý. Nếu $C$ và $D$ lồi, rời nhau thì tồn tại $a\ne 0$ và $b$ với $a^{T}x\le b$ trên $C$ và $a^{T}x\ge b$ trên $D$. Phân tách chặt cần thêm giả thiết, chẳng hạn $C$ đóng và $D$ compact.

tựa và tiếp tuyến. Mọi điểm biên của một có ít nhất một siêu phẳng tựa. Với khả vi, tiếp tuyến tại $x$ là siêu phẳng tựa của tại $(x,f(x))$. Tại nghiệm của bài toán lồi, siêu phẳng vuông góc với tựa vào .

Học máy. Hai lớp dữ liệu phân biệt được bằng một khi và chỉ khi của chúng rời nhau, và lề lớn nhất bằng nửa khoảng cách giữa hai bao lồi. Nguồn: Convex Optimization, §2.5 và §8.6.1.

Ví dụ

Hai hình tròn bán kính 1 có tâm $(-2,0)$ và $(2,0)$ được đường thẳng $x_1=0$ phân tách. Đường thẳng $x_2=0$ thì không phân tách được chúng.

Khi nào cần dùng?

Chứng minh các định lý lựa chọn và đối ngẫu, và hiểu bộ phân loại tuyến tính.

Câu hỏi ôn lại

Hai tập không lồi rời nhau có luôn phân tách được bằng một không?

Xem đáp án

Không. Một hình tròn và một vành khăn bao quanh nó rời nhau nhưng không nào tách được.

Thuật ngữ liên quan

• Siêu phẳng và nửa không gian
• Tập lồi
• Epigraph